1 2x dx

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “A”

31 de Mayo de 2010 Semestre 2010-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Mediante el límite de la suma de Riemann calcular

( )

0

1

1 2x dx

−

∫ −

10 puntos

2. Obtener

0 x

dy

dx

2 x

cos x

y log e =

10 puntos

3. Calcular, si existe

( )

2 2 x

ln sen x lim

x

 

 

 − 

 

10 puntos

1EF10-2A 4. Efectuar

2 2

2 2

1

1 2

x

x dx

a ) e sen x dx b ) dx c )

x x x

+

− −

∫ ∫ ∫

20 puntos

5. Por medio de integrales calcular la longitud de una circunferencia de radio

r

15 puntos

6. Trazar la región de definición de la función

f

z = 0

z = 1

( )

¹

f x ,y = x + y −

15 puntos 7. Calcular la magnitud de la derivada direccional de la función

( )

f x, y = ln y + ln x

en el punto

( ) ^{1 1 ,}

v = + i j

20 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

Solución del

1.

(

1 1

0

1

1 1

3 3 1

1 2 2

n n

i i

n n

n

S .R . i x f i h i h h n h

S .R n S .R .

n n

l i m S .R l i m

l i m S .R x d x

∆ θ

= =

→ ∞ → ∞

→ ∞ −

⇒ = = − = −

 +   

= −    

   

∴ = − + =

= − =

∑ ∑

∫

2. Si la función la escribimos como:

( )

2

2

2

3 3

1 2

3 2 3

c o s x

l n e c o s x

y y , p o r l o q u e

l n l n

y ' s e n x x ó b i e n y '

l n l n

s i x ^π

= ⇒ =

= − =

=

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Final Tipo “A”

Semestre 2010 – 2

( ) ( ( ) )

( )

1

1 2 1 1 2 2

3 2

ix h i ih

n

f i ih ih

f i ih

∆ θ

θ θ

= = =

⇒ = − − + = + −

⇒ = −

( ) ( )

)

(

1 1

0

1

3 2 3 2

1 1

3 3 1

3 1 1 2

1 2 2

n n

i i

S .R . i x f i h i h h n h

S .R S .R .

n n

l i m S .R l i m

n

l i m S .R x d x

R e s u l t a d o

∆ θ

= =

→ ∞ → ∞

−

= = − = −

   

⇒ = − +

   

   

  

∴ =  −  +  =

= − =

∑ ∑

∫

Si la función la escribimos como:

2

2

3 3

1 2

3 2 3

l n e c o s x

y y , p o r l o q u e

l n l n

x s e n x

y ' s e n x x ó b i e n y '

l n l n

=

= − = −

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

1 2 1 1 2 2

f i = − − + ih = + − ih

( )

( )

2

0

1

3 2 3 2 1

2

1 2 2

n n

S .R . i x f i h i h h n h

R e s u l t a d o x d x

 + 

= = − = −  

 

− =

∫

10 puntos

S1EF10-2A

(

) ^{( )}

2 2

3 3

2 3 s e n

y ' l n l n

R e s u l t a d o d y

d x l n

π π

π

π

⇒ = − = −

= −

10 puntos

3.

Al calcular se obtiene

0

0

( ) ( )

( )

2 2 2

2

3

3

3

3 3 0 0

1 2

0 2

c o s x s e n x

x x x

x

l n s e n x

l i m l i m l i m c o t x

x

R e s u l t a d o l n s e n x l i m

x

π π π

π

π

π

→ → →

→

= = − = − • =

  −

−  + 

 

  =

−  + 

 

10 puntos

4. a)

1

x

x

x

x x

I

e s e n x d x p o r p a r t e s

u e d v s e n x d x

d u e d x v c o s x

I e c o s x e c o s x d x

= =

= = −

= − +

∫

∫

S1EF10-2A

( )

1

1

2 2

2

x

x

x x

x x

x x

x

I a su vez por partes

u e dv cos x dx

du e dx v s en x I e s en x e s en x dx

I e cos x e s en x I

e e

I cos x s en x C

Re sultado

I e cos x s en x C

= =

= =

= −

⇒ = − + −

⇒ = − + +

= − − +

∫

b)

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2

2

1 2

1 1 1

2 1

1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

2 1 1

2

1 1 1 1

2 2 1 1

2 1 2 1

x d x a l h a c e r l a d i v i s ió n d x

x x

I d x d x

x

p o r f r a c c i o n e s p a r c ia le s o s u s t it u c ió n t r i g o n o m é tr ic a

A B

A x B x

x x

x

S i x A

x B

d x d x l n x ln x C

x x

R e s u lt

+  

 + 

−  − 

= +

−

⇒ = + ⇒ = + + −

− +

−

= ⇒ =

= − ⇒ = −

⇒ + − = − − + +

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

1 1 a d o

I x ln x C

x

 − 

= +   +

 + 

c)

(

( )

(

2 2

2

1 1

2 1

1 1

d x d x p o r su stitu ció n trig o n o m étrica

x x

x se c

d x se c ta n d

x ta n

sec ta n d

I sec d

ta n

I ln se c ta n C

θ

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ

θ θ

=

−

− =

=

− − =

⇒ = =

⇒ = + +

∫ ∫

∫ ∫

5. Sea la circunferencia de radio

( )

f x = r −x de gráfica la longitud solicitada puede calcularse como

( )

0 0 0

0

4 1 ' 4 4

4 4 0 2

r r r

r

L f x dx dx r dx

L r angsen x r r

r

= +  = =

= = − =

∫ ∫ ∫

( )

)

(

2 2

1 1

1 1

1 1 1

d x d x p o r su stitu ció n trig o n o m étrica x

sec ta n d

I se c d

I ln se c ta n C

R e su lta d o

I ln x x C

θ θ θ

θ θ

θ θ

− −

= =

= + +

 

=  − + − −  +

 

∫ ∫

∫ ∫

Sea la circunferencia de radio r de ecuación x² +y² =r² y sea la función de gráfica la longitud solicitada puede

)

2 2

2 2 2 2

0 0 0

4 1 ' 4 4

4 4 0 2

2

Re 2

r r r

r r

L f x dx dx r dx

r x r x

L r angsen r r

sultado

L r u

π π

π

= +  = =

− −

= = − =

=

∫ ∫ ∫

S1EF10-2A

)

1 1 1

d x d x p o r su stitu c ió n trig o n o m étrica

I ln x x  C

=  − + − −  +

 

20 puntos

y sea la función de gráfica la longitud solicitada puede

[ ]

2 2

2

r r

L f x dx dx r dx

r x

sultado L πr u

−

15 puntos

6. El dominio de esta función es

entonces la región es:

7. Sea

f f y x

f i j ln y i ln x j

x y x y

∂ ∂

∇ = + = + + +

∂ ∂

[

]

f P , y s e a u ,

d f f u

d s

∇ = =

⇒ = ∇ i = + = =

0 1

1 2

Si z la curva es x y

Si z la curva es x y

= + =

= + =

El dominio de esta función es

^D

⁼ { ( ^{x, y x} )

^{+ y}

^{− ≥ 1 0} }

f f y x

f i j ln y i ln x j

x y x y

 

 

∇ = + =  +  +  + 

   

1 1

1 1

2 2

1 1 2

2

2 2 2

v

v

f , y s e a u ,

f u

R e s u l t a d o d f

d s

 

∇ = =  

 

= ∇ i = + = =

2 2

2 2

0 1

1 2

Si z la curva es x y

Si z la curva es x y

= + =

= + =

S1EF10-2

1 0

x

+ y

≥ 1

15 puntos

2 R e s u l t a d o

d s =

20 puntos