IQ57A: Dinámica y control de procesos Capítulo 3: Control Feedback

(1)

Prop ósito Control Feedback Controladores Respuesta en lazo cerrado Efecto del controlador en la din ámica del lazo cerrado An álisis de estabilidad de sistemas feedback

IQ57A: Din ´amica y control de procesos Cap´ıtulo 3: Control Feedback

J. Cristian Salgado - [email protected]

Departamento de Ingenier´ıa Qu´ımica y Biotecnolog´ıa, Universidad de Chile

September 23, 2008

(2)

Objetivos

Al final de esta clase usted ser ´a capaz de

Identificar un lazo cerrado de control Feedback

Entender los problemas de servo control y de regulaci ´on

Conocer las caracter´ısticas los controladores b ´asicos: P, PI y PID

Analizar la respuesta de un lazo cerrado utilizando el criterio de ubicaci ´on

de polos y la matriz de Routh.

(3)

Modelo de entrada y salida

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

Modelo de entrada y salida

Considere un sistema en modelo de entrada y salida

Proceso m

d

Proceso y

m y

T(t) F

i s

T(t) F

^s

Calefactor

T(t) V

^s

q TT

TC T

sp

Perturbación (d)

Variable manipulable (m)

Salida (y)

(4)

Modelo de entrada y salida

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

T(t) Fi s

T(t) F^s Calefactor

T(t) V^s q TT

TC Tsp

Perturbación (d)

Variable manipulable (m)

Salida (y)

Proceso d

m y

Actuador Controlador c

e

Sensor yM

ySP

(5)

Tipos de controladores Controlador Proporcional (P) Controlador Proporcional Integral (PI) Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)

Tipos de controladores

Tipos b ´asicos de controlador:

Proporcional P.

Proporcional Integral (PI)

Proporcional Integral Derivativo (PID)

(6)

Controlador Proporcional (P)

c ( t ) = K _C · e ( t ) + C _S

− L

→ G C ( s ) = ^c

0 ( s ) e ( s )

= K C

K C : ganancia del controlador

Los controladores P son descritos por la ganancia del controlador K C o por su

banda proporcional PB = 100 / K C

(7)

Controlador Proporcional Integral (PI)

c ( t ) = K _C · e ( t ) + ^K ^C τ I

Z t 0

e ( t ) dt + C _S

− L

→ G C ( s ) = ^c

0 ( s ) e ( s )

= K C

1 + ¹

τ I s

K C : ganancia del controlador τ I : constante de tiempo integral

Un controlador PI puede eliminar errores peque ˜nos en la entrada pero si el

error no es eliminado r ápidamente la acci ón del controlador aumentar á hasta

saturar su salida.

(8)

Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)

c ( t ) = K

C

· e ( t ) + ^K

^C

τ

I

Z

t 0

e ( t ) dt + K

C

τ

D

de dt C

S

−

L

→ G

C

( s ) = ^c

0 ( s ) e ( s )

= K

_C

1 + ¹

τ

I

s + τ

D

s

K

C

: ganancia del controlador τ

I

: constante de tiempo integral τ

D

: constante de tiempo derivativo

El t érmino derivativo anticipa la se ñal de error (la estima en funci ón de la derivada) y

genera una se ˜nal proporcional a la tasa de cambio del error. Desventajas en el caso

de e constante o ruidoso.

(9)

Diagrama de bloques Respuesta en lazo cerrado

Diagrama de bloques para la respuesta en lazo cerrado

+

-

G (s)

C

G (s)

F

G (s)

d

G (s)

P

G (s)

M

y ´

SP

e c´ m´

d´

y´ y ´

M

+ +

Proceso

(10)

Diagrama de bloques Respuesta en lazo cerrado

Respuesta en lazo cerrado

y ⁰ ( s ) = ^G ^C ^G ^F ^G ^P 1 + G _M G _C G _F G _P

| {z }

y _sp ⁰ ( s ) + ^G ^d 1 + G _M G _C G _F G _P

| {z }

d ⁰ ( s )

G SP G load

Funci ón de transferencia Funci ón de transferencia para el problema servo para el problema de regulaci ón

d ⁰ ( s ) = 0 y _sp ⁰ ( s ) = 0

(11)

Efecto de un controlador P en un sistema de primer orden Efecto de un controlador P en un sistema de segundo orden Efecto de un controlador I en un sistema de primer orden Efecto de un controlador D en un sistema de primer orden Efecto de un controlador PI y PID en un sistema de primer orden

Efecto de un controlador P en un sistema de primer orden

Suponiendo primeros ordenes para el proceso G P ( s ) = K P /(τ P s + 1 ) y para la perturbaci ´on G _d ( s ) = K _d /(τ _P s + 1 ) y adem ´as que G _M = G _F = 1

La respuesta para el lazo cerrado ser ´a:

y ⁰ ( s ) = ^K

0 P

τ ⁰ _P s + 1 y _sp ⁰ ( s ) + ^K

0 d

τ ⁰ _P s + 1 d ⁰ ( s )

donde, K

_P⁰

= ^K

^P

^K

^C

1 + K

P

K

C

, K

_d⁰

= ^K

^d

1 + K

P

K

C

, τ

⁰P

= τ

P

1 + K

P

K

C

Note que

Se mantiene el orden del sistema (primer orden) La constante de tiempo y la ganancia est ´atica se reducen

Existe un offset en la regulaci ´on y en el servo control distinto de cero, offset = y

_∞

− y

sp

6= 0

(12)

Efecto de un controlador P en un sistema de segundo orden

Suponiendo un segundo orden para el proceso G P ( s ) = K P /(τ ² s + 2 ζτ + 1 ) y adem ´as que G _M = G _F = 1

La respuesta para el problema servo (d ⁰ ( s ) = 0) en lazo cerrado ser ´a:

y ⁰ ( s ) = ^K

0 P

τ ⁰ ² s ² + 2 τ ⁰ ζ ⁰ s + 1 y _sp ⁰ ( s )

donde, K

_P⁰

= ^K

^P

^K

^C

1 + K

P

K

C

, ζ

⁰

= ζ

√ 1 + K

P

K

C

, τ

⁰

= τ

√ 1 + K

P

K

C

Note que

Se mantiene el orden del sistema (segundo orden)

La ganancia est ática, el factor de amortiguaci ón y el periodo de oscilaci ón decrecen (un sistema sobre amortiguado puede volverse subamortiguado!)

Un aumento de K

C

producir á un sistema con una respuesta m ás r ápida, con m ás overshoot y mayor

decay ratio

(13)

Efecto de un controlador I en un sistema de primer orden

Suponiendo un primer orden para el proceso G P ( s ) = K P /(τ P s + 1 ) y adem ´as que G _M = G _F = 1

La respuesta para el problema servo (d ⁰ ( s ) = 0) en lazo cerrado ser ´a:

y ⁰ ( s ) = ¹

τ ⁰ ² s ² + 2 τ ⁰ ζ ⁰ s + 1 y _sp ⁰ ( s )

donde, K

_P⁰

= 1, ζ

⁰

= ¹ 2

r τ

I

τ

P

K

P

K

C

, τ

⁰

=

r τ

I

τ

P

K

P

K

C

Note que

Aumenta el orden del sistema (de primer orden a segundo orden) La respuesta puede ser m ´as lenta que un sistema de primer orden La ganancia del sistema en lazo cerrado es igual a 1, luego el offset es 0!

Un aumento en K

C

provoca una respuesta m ´as r ´apida pero puede hacer oscilar el sistema

(overshoot)

(14)

Efecto de un controlador D en un sistema de primer orden

Suponiendo un primer orden para el proceso G P ( s ) = K P /(τ P s + 1 ) y adem ´as que G _M = G _F = 1

La respuesta para el problema servo (d ⁰ ( s ) = 0) en lazo cerrado ser ´a:

y ⁰ ( s ) = ^K ^P ^K ^C τ D s

(τ P + K P K C τ D ) s + 1 y _sp ⁰ ( s )

Note que

El orden del sistema se mantiene

Mientras m ´as alta la constante derivativa ( τ

D

) m ´as lenta la respuesta

En sistemas de alto orden eso provoca estabilizaci ´on de la respuesta

(15)

Efecto de un controlador D en un sistema de primer orden

PI

Orden del sistema crece (acci ´on integral) Offset es eliminado (acci ´on integral)

Aumento en K _C produce sistemas con respuesta m ´as r ´apida pero oscilatoria (overshoot)

PID

Sistema se estabiliza (acci ´on derivativa)

Se puede aumentar K C sin aumentar demasiado el overshoot (acci ´on

derivativa)

(16)

Definici ´on

Criterio de estabilidad de Routh Ejemplo

Preguntas

Definici ´on

Un sistema es considerado estable si para toda entrada acotada produce una respuesta acotada independiente del estado inicial

Definici ´on operativa

La estabilidad de un sistema en lazo cerrado est á definida por la ubicaci ón de los polos de su funci ón de transferencia:

y ⁰ ( s ) = ^G ^C ^G ^F ^G ^P

1 + G _M G _C G _F G _P y _sp ⁰ ( s ) + ^G ^d

1 + G _M G _C G _F G _P d ⁰ ( s ) los cuales son obtenidos de las ra´ıces de su ecuaci ´on caracter´ıstica:

1 + G M G C G F G P = 0

(17)

Definici ´on

Preguntas

Criterio de estabilidad de Routh

Routh

Criterio para determinar la localizaci ´on de las ra´ıces de la ecuaci ´on caractet´ıstica cuando esta se puede escribir como un polinomio:

1 + G M G C G F G P = a 0 s ⁿ + a 1 s ⁿ ⁻ ¹ + a 2 s ⁿ ⁻ ² + · · · + a n − 1 s + a n = 0 Procedimiento:

1

El sistema se debe escribir de manera que a ₀ sea positivo

2

Si hay un coeficiente negativo entonces la ecuaci ´on tiene una ra´ız positiva y entonces el sistema es inestable

3

Si todos los coeficientes son positivos entonces el sistema puede ser

estable o inestable. Entonces aplicamos el criterio de Routh

(18)

Definici ´on

Preguntas

Criterio de estabilidad de Routh

Routh

1 + G

_M

G

_C

G

_F

G

_P

= a

₀

s

ⁿ

+ a

₁

s

ⁿ

⁻

¹

+ a

₂

s

ⁿ

⁻

²

+ · · · + a

_n

₋

₁

s + a

_n

= 0 1 a

₀

a

₂

a

₄

a

₆

· · ·

2 a

₁

a

₃

a

₅

a

₇

· · · 3 A

₁

A

₂

A

₃

· · · · · · 4 B

₁

B

₂

B

₃

· · · · · · 5 C

₁

C

₂

C

₃

· · · · · ·

. . .

A

1

= ^a

¹

^a

²

− a

0

a

3

a

1

A

2

= ^a

¹

^a

⁴

− a

0

a

5

a

1

A

3

= ^a

¹

^a

⁶

− a

0

a

7

a

1

· · · donde B

1

= ^A

¹

^a

³

− a

1

A

2

A

1

B

2

= ^A

¹

^A

⁵

− a

1

A

3

A

1

· · · C

1

= ^B

¹

^A

²

− A

1

B

2

B

1

C

2

= ^B

¹

^A

³

− A

1

B

3

B

1

· · · . .

.

(19)

Definici ´on

Preguntas

Criterio de estabilidad de Routh

Routh

Una vez construida la matriz de Routh para el sistema examine los coeficientes en la primera columna

1

Si alguno de estos coeficientes es negativo significa que al menos una raiz tiene parte real ubicada a la derecha del eje imaginario y el sistema es inestable

2

El n ´umero de cambios de signo en la primera columna es igual al n ´umero

de raices a la derecha del eje imaginario

(20)

Definici ´on

Preguntas

Ejemplo

+

-

KC 1

G (s)d

y´SP e c´ m´

d´

y´

y´M

+ +

Proceso

3

1 1 s t +

1 2

1 1

s s

t + t +

Entonces,

1 + G M G C G F G P = 1 + ¹

τ ₁ s + 1 · ¹

τ ₂ s + 1 · 1 · K C · ¹ τ ₃ s + 1 = 0 Si τ 1 = 1, τ 2 = 1 / 2, τ 3 = 1 / 3, entonces

s ³ + 6s ² + 11s + 6 ( 1 + K C ) = 0

(21)

Definici ´on

Preguntas

IQ57A: Dinámica y control de procesos Capítulo 3: Control Feedback

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Objetivos

Al final de esta clase usted ser ´a capaz de

Identificar un lazo cerrado de control Feedback

Entender los problemas de servo control y de regulaci ´on

Conocer las caracter´ısticas los controladores b ´asicos: P, PI y PID

Analizar la respuesta de un lazo cerrado utilizando el criterio de ubicaci ´on

de polos y la matriz de Routh.

Modelo de entrada y salida

Considere un sistema en modelo de entrada y salida

Proceso m

d

Proceso y

m y

T(t) F

T(t) F

Calefactor

T(t) V

q TT

TC T

Perturbación (d)

Variable manipulable (m)

Salida (y)

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

Tipos de controladores

Tipos b ´asicos de controlador:

Proporcional P.

Proporcional Integral (PI)

Proporcional Integral Derivativo (PID)

Controlador Proporcional (P)

c ( t ) = K C · e ( t ) + C S

− L

→ G C ( s ) = c

0 ( s ) e ( s )

= K C

K C : ganancia del controlador

Los controladores P son descritos por la ganancia del controlador K C o por su

banda proporcional PB = 100 / K C

Controlador Proporcional Integral (PI)

c ( t ) = K C · e ( t ) + K C τ I

Z t 0

e ( t ) dt + C S

− L

→ G C ( s ) = c

0 ( s ) e ( s )

= K C

 1 + 1

τ I s



K C : ganancia del controlador τ I : constante de tiempo integral

Un controlador PI puede eliminar errores peque ˜nos en la entrada pero si el

error no es eliminado r ápidamente la acci ón del controlador aumentar á hasta

saturar su salida.

Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)

c ( t ) = K

· e ( t ) + K

τ

Z

e ( t ) dt + K

τ

de dt C

−

→ G

( s ) = c

0 ( s ) e ( s )

= K

 1 + 1

τ

s + τ

s



K

: ganancia del controlador τ

: constante de tiempo integral τ

: constante de tiempo derivativo

El t érmino derivativo anticipa la se ñal de error (la estima en funci ón de la derivada) y

c ( t ) = K _C · e ( t ) + C _S

→ G C ( s ) = ^c

c ( t ) = K _C · e ( t ) + ^K ^C τ I

e ( t ) dt + C _S

→ G C ( s ) = ^c

1 + ¹

· e ( t ) + ^K

( s ) = ^c

1 + ¹

y ⁰ ( s ) = ^G ^C ^G ^F ^G ^P 1 + G _M G _C G _F G _P

y _sp ⁰ ( s ) + ^G ^d 1 + G _M G _C G _F G _P

d ⁰ ( s )

d ⁰ ( s ) = 0 y _sp ⁰ ( s ) = 0

Suponiendo primeros ordenes para el proceso G P ( s ) = K P /(τ P s + 1 ) y para la perturbaci ´on G _d ( s ) = K _d /(τ _P s + 1 ) y adem ´as que G _M = G _F = 1

y ⁰ ( s ) = ^K

τ ⁰ _P s + 1 y _sp ⁰ ( s ) + ^K

τ ⁰ _P s + 1 d ⁰ ( s )

= ^K

^K

= ^K

Suponiendo un segundo orden para el proceso G P ( s ) = K P /(τ ² s + 2 ζτ + 1 ) y adem ´as que G _M = G _F = 1

La respuesta para el problema servo (d ⁰ ( s ) = 0) en lazo cerrado ser ´a:

y ⁰ ( s ) = ^K

τ ⁰ ² s ² + 2 τ ⁰ ζ ⁰ s + 1 y _sp ⁰ ( s )

= ^K

^K