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Se puede demostrar que la derivada de la función compuesta yy = ff gg(xx) es

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Página 1 de 36 DOCUMENTO DE CLASE

Clase N°6: Derivadas (Parte B)

1. Objetivo de la clase:

Estudio de aplicaciones analíticas de la derivación, de aplicación directa en las Ciencias Económicas.

2. Mapa conceptual de la clase:

3. Desarrollo:

Derivada de la función compuesta

Supongamos que tenemos una función "𝑦𝑦" que depende de una variable "𝑢𝑢": 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑢𝑢), y a su vez "𝑢𝑢" es una función que depende de la variable "𝑥𝑥": 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥). Podemos escribir

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓�𝑔𝑔(𝑥𝑥)�

Se dice que 𝑦𝑦 es la función compuesta de 𝒇𝒇 con 𝒈𝒈.

Por ejemplo, 𝑦𝑦 = sen(𝑥𝑥 2 ) es la función compuesta de 𝑦𝑦 = sen(𝑢𝑢) con 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 2 . Se puede demostrar que la derivada de la función compuesta 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓�𝑔𝑔(𝑥𝑥)� es

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 �𝑔𝑔(𝑥𝑥)� ∙ 𝑔𝑔 (𝑥𝑥) Como 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), podemos escribir

DERIVADA

ELASTICIDAD FUNCIONES

MARGINAL Y FUNCIONES MEDIAS FUNCIONES

ECONÓMICAS TOTALES DE UNA VARIABLE

FUNCIÓN

COMPUESTA DERIVACIÓN

LOGARÍTMICA

ELASTICIDAD DE LA

DEMANDA

(2)

Página 2 de 36 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 (𝑢𝑢) ∙ 𝑢𝑢

A la derivada de la función compuesta se la conoce como regla de la cadena.

Ejemplos: Hallar la derivada de las siguientes funciones (1) 𝑦𝑦 = sen(𝑥𝑥 2 )

Llamamos 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 2 y obtenemos 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥

Tenemos que 𝑦𝑦 = sen 𝑢𝑢 Aplicando la regla de la cadena 𝑦𝑦 = cos 𝑢𝑢 ∙ 𝑢𝑢 Sustituyendo queda 𝑦𝑦 = cos(𝑥𝑥 2 ) ∙ (2𝑥𝑥) Es decir 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 cos(𝑥𝑥 2 )

(2) 𝑦𝑦 = �15𝑥𝑥 2 + 1

Llamamos 𝑢𝑢 = 15𝑥𝑥 2 + 1 y obtenemos 𝑢𝑢 = 30𝑥𝑥 Entonces tenemos que 𝑦𝑦 = √𝑢𝑢 Derivando 𝑦𝑦 = 1

2√𝑢𝑢 ∙ 𝑢𝑢 Sustituyendo queda 𝑦𝑦 = 1

2√15𝑥𝑥 2 + 1 ∙ 30𝑥𝑥 Es decir 𝑦𝑦 = 15𝑥𝑥

√15𝑥𝑥 2 + 1 (3) 𝑦𝑦 = ln 2 � 1

1 + 𝑥𝑥 �

Sabemos que 𝑦𝑦 = �ln � 1 1 + 𝑥𝑥 �� 2 Llamamos 𝑢𝑢 = ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � Tenemos así que 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 2 Derivando 𝑦𝑦 = 2𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 Sustituyendo 𝑦𝑦 = 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ⋅ 𝑢𝑢 Nos falta 𝑢𝑢 . Tenemos que drivar 𝑢𝑢 = ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � . Para ello llamamos 𝑡𝑡 = 1

1 + 𝑥𝑥

(3)

Página 3 de 36 Tenemos así que 𝑢𝑢 = ln 𝑡𝑡 Derivando 𝑢𝑢 = 1

𝑡𝑡 ⋅ 𝑡𝑡 Es decir 𝑢𝑢 = 1

1 + 𝑥𝑥 1

⋅ 𝑡𝑡 ⇒ 𝑢𝑢 = (1 + 𝑥𝑥) ∙ 𝑡𝑡

Sabemos que 𝑡𝑡 = 1

1 + 𝑥𝑥 entonces aplicando la derivada de un cociente tenemos 𝑡𝑡 = (1) ∙ (1 + 𝑥𝑥) − (1) ∙ (1 + 𝑥𝑥)

(1 + 𝑥𝑥) 2 = 0 ∙ (1 + 𝑥𝑥) − 1 ∙ 1

(1 + 𝑥𝑥) 2 = −1

(1 + 𝑥𝑥) 2 Sustituyendo tenemos 𝑢𝑢 = (1 + 𝑥𝑥) ∙ � −1

(1 + 𝑥𝑥) 2 � ⇒ 𝑢𝑢 = −1 1 + 𝑥𝑥 Sabemos que 𝑦𝑦 = 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ⋅ 𝑢𝑢 Sustituyendo 𝑦𝑦 = 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ⋅ � −1 1 + 𝑥𝑥�

Es decir 𝑦𝑦 = − 2

1 + 𝑥𝑥 ∙ ln � 1 1 + 𝑥𝑥 �

En forma práctica podemos proceder así (1) 𝑦𝑦 = sen(𝑥𝑥 2 )

𝑦𝑦 = [sen(𝑥𝑥 2 )] = cos(𝑥𝑥 2 ) ∙ (𝑥𝑥 2 ) = cos(𝑥𝑥 2 ) ∙ 2𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 cos(𝑥𝑥 2 ) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 cos(𝑥𝑥 2 )

(2) 𝑦𝑦 = �15𝑥𝑥 2 + 1

𝑦𝑦 = ��15𝑥𝑥 2 + 1� = 1

2√15𝑥𝑥 2 + 1 ∙ (15𝑥𝑥 2 + 1) = 1

2√15𝑥𝑥 2 + 1 ∙ 30𝑥𝑥 = 30𝑥𝑥 2√15𝑥𝑥 2 + 1 𝑦𝑦 = 15𝑥𝑥

√15𝑥𝑥 2 + 1 (3) 𝑦𝑦 = ln 2 � 1

1 + 𝑥𝑥 � = �ln � 1 1 + 𝑥𝑥 �� 2 𝑦𝑦 = ��ln � 1

1 + 𝑥𝑥 �� 2

= 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ∙ �ln � 1 1 + 𝑥𝑥 �� 𝑦𝑦 = 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ∙ 1 1 + 𝑥𝑥 1

∙ � 1

1 + 𝑥𝑥 �

(4)

Página 4 de 36 𝑦𝑦 = 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ∙ 1 1 + 𝑥𝑥 1

∙ (1) ∙ (1 + 𝑥𝑥) − (1) ∙ (1 + 𝑥𝑥) (1 + 𝑥𝑥) 2

𝑦𝑦 = 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ∙ (1 + 𝑥𝑥) ∙ 0 ∙ (1 + 𝑥𝑥) − 1 ∙ 1 (1 + 𝑥𝑥) 2 𝑦𝑦 = 2 ln � 1

1 + 𝑥𝑥 � ∙ (1 + 𝑥𝑥) ∙ −1 (1 + 𝑥𝑥) 2 𝑦𝑦 = − 2

1 + 𝑥𝑥 ∙ ln � 1 1 + 𝑥𝑥 � (4) 𝑦𝑦 = �ln(sen(3𝑥𝑥 + 1))

𝑦𝑦 = ��ln(sen(3𝑥𝑥 + 1))� = 1

2�ln(sen(3𝑥𝑥 + 1)) ∙ [ln(sen(3𝑥𝑥 + 1))]

𝑦𝑦 = 1

2�ln(sen(3𝑥𝑥 + 1)) ∙ 1

sen(3𝑥𝑥 + 1) ∙ [sen(3𝑥𝑥 + 1)]

𝑦𝑦 = 1

2�ln(sen(3𝑥𝑥 + 1)) ∙ 1

sen(3𝑥𝑥 + 1) ∙ cos (3𝑥𝑥 + 1) ∙ (3𝑥𝑥 + 1)

𝑦𝑦 = 1

2�ln(sen(3𝑥𝑥 + 1)) ∙ 1

sen(3𝑥𝑥 + 1) ∙ cos (3𝑥𝑥 + 1) ∙ 3

𝑦𝑦 = 3

2�ln(sen(3𝑥𝑥 + 1)) ∙ cos(3𝑥𝑥 + 1) sen(3𝑥𝑥 + 1)

𝑦𝑦 = 3

2�ln(sen(3𝑥𝑥 + 1)) ∙ cotg(3𝑥𝑥 + 1) 𝑦𝑦 = 3 cotg(3𝑥𝑥 + 1)

2�ln(sen(3𝑥𝑥 + 1))

Método de derivación logarítmica

Este método permite deducir algunas reglas de derivación y la derivada de algunas funciones.

(1) Derivada del producto

Esta regla ya la conocemos. Vamos a deducirla utilizando derivación logarítmica.

Siendo 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) y 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥)

𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 ⋅ 𝒗𝒗 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 ⋅ 𝒗𝒗 + 𝒖𝒖 ⋅ 𝒗𝒗

(5)

Página 5 de 36 Deducción.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 con 𝑢𝑢 > 0, 𝑣𝑣 > 0

Aplicamos logaritmo miembro a miembro

ln 𝑦𝑦 = ln(𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣) Por la propiedad del logaritmo de un producto, tenemos

ln 𝑦𝑦 = ln 𝑢𝑢 + ln 𝑣𝑣 Derivamos miembro a miembro

(ln 𝑦𝑦) = (ln 𝑢𝑢 + ln 𝑣𝑣)

Como la derivada de la suma es la suma de las derivadas, tenemos (ln 𝑦𝑦) = (ln 𝑢𝑢) + (ln 𝑣𝑣)

Derivamos utilizando la regla de la cadena y operamos 1

𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 = 1

𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 + 1 𝑣𝑣 ⋅ 𝑣𝑣 𝑦𝑦

𝑦𝑦 = 𝑢𝑢′

𝑢𝑢 + 𝑣𝑣′

𝑣𝑣 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⋅ (𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 )

𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 Como 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣, lo sustituimos

𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 ⋅ (𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 ) 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 Simplificamos 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣

(2) Derivada del cociente

Esta regla ya la conocemos. Vamos a deducirla utilizando derivación logarítmica.

Siendo 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) y 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥) 𝒚𝒚 = 𝒖𝒖

𝒗𝒗 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 ⋅ 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖 ⋅ 𝒗𝒗 𝒗𝒗 𝟐𝟐 Deducción.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢

𝑣𝑣 con 𝑢𝑢 > 0, 𝑣𝑣 > 0 Aplicamos logaritmo miembro a miembro

ln 𝑦𝑦 = ln � 𝑢𝑢

𝑣𝑣�

(6)

Página 6 de 36 Por la propiedad del logaritmo de un cociente, tenemos

ln 𝑦𝑦 = ln 𝑢𝑢 − ln 𝑣𝑣 Derivamos miembro a miembro

(ln 𝑦𝑦) = (ln 𝑢𝑢 − ln 𝑣𝑣)

Como la derivada de la resta es la resta de las derivadas, tenemos (ln 𝑦𝑦) = (ln 𝑢𝑢) − (ln 𝑣𝑣)

Derivamos utilizando la regla de la cadena y operamos 1

𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 = 1

𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 − 1 𝑣𝑣 ⋅ 𝑣𝑣 𝑦𝑦

𝑦𝑦 = 𝑢𝑢′

𝑢𝑢 − 𝑣𝑣′

𝑣𝑣 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⋅ (𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 )

𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 Como 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢

𝑣𝑣 , lo sustituimos 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑣𝑣 ⋅

(𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 ) 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 Operamos y simplificamos 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 − 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣

𝑣𝑣 2

(3) Derivada de la función potencial

Esta regla ya la conocemos. Vamos a deducirla utilizando derivación logarítmica.

Siendo 𝑛𝑛 ∈ ℝ

𝒚𝒚 = 𝒙𝒙 𝒏𝒏 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒏𝒏−𝟏𝟏 Deducción.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 con 𝑥𝑥 > 0 Aplicamos logaritmo miembro a miembro

ln 𝑦𝑦 = ln 𝑥𝑥 𝑛𝑛 Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos

ln 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛⏟

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

ln 𝑥𝑥 Derivamos miembro a miembro y operamos

1

𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦

𝑦𝑦 =

𝑛𝑛

𝑥𝑥

(7)

Página 7 de 36 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⋅ 𝑛𝑛

𝑥𝑥 Como 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , lo sustituimos

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ⋅ 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 ⋅

𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑥𝑥 1 Restamos los exponentes 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1

(4) Derivada de la función potencial generalizada Siendo 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) y 𝑛𝑛 ∈ ℝ

𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 𝒏𝒏 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝒏𝒏𝒖𝒖 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋅ 𝒖𝒖 Deducción.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑛𝑛 con 𝑢𝑢 > 0 Aplicamos logaritmo miembro a miembro

ln 𝑦𝑦 = ln 𝑢𝑢 𝑛𝑛 Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos

ln 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛⏟

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ln 𝑢𝑢 Derivamos miembro a miembro y operamos

1

𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛 1 𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 𝑦𝑦

𝑦𝑦 = 𝑛𝑛 𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⋅ 𝑛𝑛

𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 Como 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑛𝑛 , lo sustituimos

𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑛𝑛 ⋅ 𝑛𝑛

𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 ⋅ 𝑢𝑢 𝑛𝑛 𝑢𝑢 1 ⋅ 𝑢𝑢 Restamos los exponentes 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑢𝑢 𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑢𝑢

Ejemplo: Dada la función

𝑦𝑦 = (6𝑥𝑥 2 + 1) 3 2

su derivada es

(8)

Página 8 de 36 𝑦𝑦 = 3

2 (6𝑥𝑥 2 + 1) 3 2−1 ∙ (6𝑥𝑥 2 + 1) = 3

2 (6𝑥𝑥 2 + 1) 1 2 ∙ 12𝑥𝑥 = 18𝑥𝑥(6𝑥𝑥 2 + 1) 1 2

(5) Derivada de la función exponencial Siendo 𝑎𝑎 > 0 y 𝑎𝑎 ≠ 1

𝒚𝒚 = 𝒂𝒂 𝒙𝒙 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂 𝒙𝒙 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 Deducción.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥

Aplicamos logaritmo miembro a miembro

ln 𝑦𝑦 = ln 𝑎𝑎 𝑥𝑥 Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos

ln 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ln 𝑎𝑎 �

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Derivamos miembro a miembro y operamos 1

𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 = ln 𝑎𝑎 𝑦𝑦

𝑦𝑦 = ln 𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⋅ ln 𝑎𝑎 Como 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 , lo sustituimos 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ln 𝑎𝑎 ∎ Ejemplo: Dada 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥 , su derivada es 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥 ln 2

Observación. Si 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒, tenemos que 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 . Derivamos aplicando la fórmula obtenida 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⋅ ln 𝑒𝑒 �

=1

= 𝑒𝑒 𝑥𝑥 como ya sabíamos

(6) Derivada de la función exponencial generalizada

Siendo 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥), 𝑎𝑎 > 0 y 𝑎𝑎 ≠ 1

(9)

Página 9 de 36

𝒚𝒚 = 𝒂𝒂 𝒖𝒖 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂 𝒖𝒖 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 ∙ 𝒖𝒖 Deducción.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑢𝑢 Aplicamos logaritmo miembro a miembro

ln 𝑦𝑦 = ln 𝑎𝑎 𝑢𝑢 Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos

ln 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 ln 𝑎𝑎 �

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Derivamos miembro a miembro y operamos 1

𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 ⋅ ln 𝑎𝑎 𝑦𝑦

𝑦𝑦 = ln 𝑎𝑎 ∙ 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⋅ ln 𝑎𝑎 ∙ 𝑢𝑢 Como 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑢𝑢 , lo sustituimos 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑢𝑢 ⋅ ln 𝑎𝑎 ∙ 𝑢𝑢

Ejemplo: Dada 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 2 +1 , su derivada es 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 2 +1 ln 5 ∙ (𝑥𝑥 2 + 1) = 5 𝑥𝑥 2 +1 ∙ 2𝑥𝑥 ln 5

(7) Derivada de la función potencial exponencial Siendo 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) y 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥)

𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ⋅ �𝒗𝒗 ⋅ 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 𝒖𝒖 ⋅ 𝒖𝒖 Deducción.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑣𝑣 con 𝑢𝑢 > 0 Aplicamos logaritmo miembro a miembro

ln 𝑦𝑦 = ln 𝑢𝑢 𝑣𝑣 Por la propiedad del logaritmo de una potencia, tenemos

ln 𝑦𝑦 = 𝑣𝑣 ln 𝑢𝑢 Derivamos miembro a miembro y operamos

1

𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 = 𝑣𝑣 ⋅ ln 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 ⋅ 1 𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 𝑦𝑦

𝑦𝑦 = 𝑣𝑣 ⋅ ln 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣

𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢

(10)

Página 10 de 36 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⋅ �𝑣𝑣 ⋅ ln 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣

𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 � Como 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑣𝑣 , lo sustituimos 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑣𝑣 ⋅ �𝑣𝑣 ⋅ ln 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣

𝑢𝑢 ⋅ 𝑢𝑢 � ∎ Ejemplo: Derivar la función 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 sen 𝑥𝑥

Llamamos 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 entonces 𝑢𝑢 = 1

𝑣𝑣 = sen 𝑥𝑥 entonces 𝑣𝑣 = cos 𝑥𝑥 Aplicando la fórmula obtenida

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 sen 𝑥𝑥 ⋅ �cos 𝑥𝑥 ⋅ ln 𝑥𝑥 + sen 𝑥𝑥

𝑥𝑥 ⋅ 1� = 𝑥𝑥 sen 𝑥𝑥 �cos 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 + sen 𝑥𝑥 𝑥𝑥 �

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

La función inversa del seno es el 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥 (arco seno) y se define como 𝑓𝑓: [−1,1] → �− 𝜋𝜋

2 , 𝜋𝜋

2� /𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = arc sen 𝑥𝑥 Así, por ejemplo:

∘ arc sen � 1 2 � = 𝜋𝜋

6 porque sen � 𝜋𝜋 6� =

1 2

∘ arc sen �− √3 2 � = −

𝜋𝜋

3 porque sen �−

𝜋𝜋 3� = −

√3 2 Podemos escribir que

𝑦𝑦 = arc sen 𝑥𝑥 ⟹ 𝑥𝑥 = sen 𝑦𝑦

Calculemos la derivada de

𝑦𝑦 = arc sen 𝑥𝑥 Podemos escribir que 𝑥𝑥 = sen 𝑦𝑦 Derivamos miembro a miembro 1 = cos 𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦

𝑦𝑦 = 1 cos 𝑦𝑦

Recordando que sen 2 𝑦𝑦 + cos 2 𝑦𝑦 = 1, obtenemos que cos 𝑦𝑦 = �1 − sen 2 𝑦𝑦 Sustituimos

𝑦𝑦 = 1

�1 − sen 2 𝑦𝑦

(11)

Página 11 de 36 Como sen 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, nos queda

𝑦𝑦 = 1

√1 − 𝑥𝑥 2 ∎ Tenemos así que

𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥 𝒙𝒙 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏

√𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 𝟐𝟐

La función inversa del coseno es el 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝐚𝐚𝐜𝐜𝐬𝐬 (arco coseno) y se define como 𝑓𝑓: [−1,1] → [0, 𝜋𝜋]/𝑓𝑓(𝑥𝑥) = arc cos 𝑥𝑥

Análogamente se prueba que

𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝐚𝐚𝐜𝐜𝐬𝐬 𝒙𝒙 ⟹ 𝒚𝒚 = − 𝟏𝟏

√𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 𝟐𝟐

La función inversa de la tangente es el 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝐭𝐭𝐚𝐚𝐥𝐥 (arco tangente) y se define como 𝑓𝑓: ℝ → �− 𝜋𝜋

2 , 𝜋𝜋

2� /𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = arc tan 𝑥𝑥 Análogamente se prueba que

𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝐭𝐭𝐚𝐚𝐥𝐥 𝒙𝒙 ⟹ 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 𝟐𝟐

Ejemplo: Derivar la función 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 ∙ arc tan(5𝑥𝑥 2 )

𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥) ∙ arc tan(5𝑥𝑥 2 ) + 2𝑥𝑥 ∙ [arc tan(5𝑥𝑥 2 )] 𝑦𝑦 = 2 ∙ arc tan(5𝑥𝑥 2 ) + 2𝑥𝑥 ∙ 1

1 + (5𝑥𝑥 2 ) 2 ∙ (5𝑥𝑥 2 ) 𝑦𝑦 = 2 ∙ arc tan(5𝑥𝑥 2 ) + 2𝑥𝑥 ∙ 1

1 + 25𝑥𝑥 4 ∙ 10𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 2 ∙ arc tan(5𝑥𝑥 2 ) + 20𝑥𝑥 2

1 + 25𝑥𝑥 4

Definición de Funciones Económicas

(12)

Página 12 de 36

Las funciones económicas son relaciones entre conceptos económicos expresadas mediante una ecuación en la cual una variable depende de otra u otras.

En el caso de las funciones económicas de una variable, la variable dependiente representa a la función económica considerada y la variable independiente (o variable simplemente) representa generalmente el precio o la cantidad de un determinado bien o servicio.

Los valores de las variables y de las funciones económicas se consideran siempre no negativas o positivas según el caso (ya que carecen de sentido para valores negativos), por lo tanto, su gráfico quedará representado en el primer cuadrante.

Dichas funciones pueden ser polinómicas, hiperbólicas, exponenciales, etc.

Podemos destacar las siguientes funciones económicas:

Función Demanda: Representa la cantidad de un bien o servicio requerida por los consumidores.

Esa cantidad (demanda) requerida por los consumidores puede depender del precio del producto, del ingreso del consumidor, del precio de los productos sustitutos, etc. Por lo tanto, que la demanda dependa de esos factores significa que, al variar los valores de alguno de ellos, también variará la cantidad demandada. Entonces, dicha función expresa las cantidades requeridas de un producto al variar alguno de esos factores.

En general, la función demanda que depende del precio es decreciente (comportamiento normal), pues al aumentar el precio de un determinado bien, los consumidores llevarán menor cantidad de dicho bien (es el caso de los bienes típicos). A la función demanda la representamos con “ 𝐷𝐷”, al precio del bien lo simbolizamos con “𝑝𝑝” y la cantidad demanda del mismo con “ 𝑥𝑥” o con “𝑞𝑞”. Entonces escribimos:

𝑥𝑥 = 𝐷𝐷(𝑝𝑝)

Por convención en economía, el precio se grafica en el eje de las ordenadas (eje vertical) aunque es considerada la variable independiente. Esto fue planteado por el economista Alfred Marshall 1 . Sin embargo, graficarlo de una u otra manera es indistinto desde el punto de vista matemático. Nosotros consideraremos en la mayoría de las aplicaciones, a la variable independiente en el eje de las abscisas (eje horizontal).

1 Marshall en su análisis de la oferta encaro la cantidad como la variable ajustada por la empresa, respondiendo a

precios de mercado dados. Al definir la demanda, para ser coherente, aplico el mismo criterio.

(13)

Página 13 de 36 Respecto de la función tendremos:

Dominio de la función demanda: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷 = {𝑝𝑝 ≥ 0: 𝐷𝐷(𝑝𝑝) > 0}

Imagen de la función demanda: 𝐼𝐼𝐷𝐷𝑔𝑔 𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 > 0: 𝑝𝑝 ≥ 0 ∧ 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷(𝑝𝑝)}

Las funciones de demanda se consideran continuas

Existen casos donde no se cumple este comportamiento normal de la demanda:

a) Bienes Giffen

Alfred Marshall, a fines del siglo XX, sostenía que en casos limites como por ejemplo una guerra, se produce el aumento de la demanda de algunos bienes de primera necesidad.

Por volverse imprescindibles, su precio aumentará con la demanda. Representan un caso teórico extremo, donde la demanda es creciente.

b) Bienes Suntuarios

Estos son bienes especiales, consumidos por determinados sectores de la sociedad que los demandará siempre, independientemente de su precio. La demanda se considera constante.

Función Oferta: Representa la cantidad de un bien o servicio que ofrecen los productores, fabricantes o comerciantes.

La cantidad ofrecida (Oferta) depende del precio del producto, por lo tanto, la función Oferta es creciente, ya que el comerciante está dispuesto a aumentar la cantidad de artículos para la venta cuando aumenta el precio de dicho artículo. A la función oferta la representamos con “ 𝑂𝑂”, siendo “𝑝𝑝” el precio del producto y “𝑥𝑥” o “𝑞𝑞” la cantidad ofertada del mismo. Entonces escribimos:

𝑥𝑥 = 𝑂𝑂(𝑝𝑝)

(14)

Página 14 de 36 Respecto de la función tendremos:

Dominio de la función oferta: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑂𝑂 = {𝑝𝑝 ≥ 0: 𝑂𝑂(𝑝𝑝) > 0}

Imagen de la función oferta: 𝐼𝐼𝐷𝐷𝑔𝑔 𝑂𝑂 = {𝑥𝑥 > 0: 𝑝𝑝 ≥ 0 ∧ 𝑥𝑥 = 𝑂𝑂(𝑝𝑝)}

Las funciones de oferta se consideran continuas

Equilibrio de Mercado: Se dice que un mercado está en equilibrio cuando la Oferta y la Demanda son iguales, y el precio de equilibrio es el precio existente en un mercado en equilibrio.

Geométricamente es el punto de intersección entre la función oferta y la función demanda, o sea es aquel en el cual la Oferta y la Demanda son iguales para un determinado precio y se lo conoce como punto de equilibrio o punto de Cournot.

(𝑝𝑝 0 , 𝑥𝑥 0 ) es el punto de equilibrio o punto de Cournot

Ejemplo:

Dadas las siguientes funciones de Oferta y Demanda:

𝑂𝑂(𝑝𝑝) = 3𝑝𝑝 − 30 𝐷𝐷(𝑝𝑝) = −2𝑝𝑝 + 70

(15)

Página 15 de 36 Se pide hallar el punto de equilibrio.

Solución:

Se comienza igualando las funciones Oferta y Demanda 3𝑝𝑝 − 30 = −2𝑝𝑝 + 70

3𝑝𝑝 + 2𝑝𝑝 = 70 + 30 5𝑝𝑝 = 100 𝑝𝑝 = 20 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.

Luego: 𝑂𝑂(20) = 𝐷𝐷(20) = 30 unidades (cantidad de equilibrio)

Respuesta: El mercado está en equilibrio cuando 𝑝𝑝 = 20 𝑢𝑢. 𝐷𝐷. (unidades monetarias) pues 𝑂𝑂(20) = 𝐷𝐷(20) = 30 unidades.

Función Costo Total: Representa los gastos totales de una empresa, fábrica o de un comerciante.

Esos gastos totales o costos totales pueden ser fijos o variables.

Los costos fijos ( 𝐶𝐶 𝐹𝐹 ) son los gastos que no dependen de la cantidad demandada, por ejemplo, el pago de servicios, del alquiler, etc.

Los costos variables ( 𝐶𝐶 𝑉𝑉 ) son los gastos que dependen de la cantidad demandada, por ejemplo, los gastos que tiene un fabricante en materia prima para producir cierta cantidad de artículos según la cantidad demandada, los gastos que tiene un comerciante al comprar cierta cantidad de bienes para venderlos, etc.

Generalmente el Costo Total ( 𝐶𝐶 𝑇𝑇 ) se expresa en función de la cantidad de artículos demanda demandada ( 𝑥𝑥).

Su fórmula es:

𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 𝑉𝑉 (𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 𝐹𝐹 (𝐶𝐶 𝐹𝐹 constante ) El costo variable es:

𝐶𝐶 𝑉𝑉 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥

siendo 𝑝𝑝 el precio unitario de costo y 𝑥𝑥 la cantidad demandada.

Función Ingreso Total: Representa la suma de dinero obtenida por la venta de determinada cantidad de artículos.

En general, el Ingreso Total se expresa en función de la cantidad de artículos demanda (x).

Su fórmula es:

(16)

Página 16 de 36 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥

siendo 𝑝𝑝 el precio unitario de venta y 𝑥𝑥 la cantidad demandada

Función Beneficio Total: Representa la ganancia total obtenida por la venta de determinada cantidad de artículos.

El Beneficio se obtiene por la diferencia entre el Ingreso Total y el Costo Total.

Generalmente, el Beneficio Total se expresa en función de la cantidad de artículos demanda demandada (x).

Su fórmula es:

𝐵𝐵 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) − 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥)

Ejemplo:

Se sabe que una empresa tiene costos fijos de $30.000 y que cada artículo tiene un costo unitario de $120 y se venden a $150 cada uno.

Se pide:

a) Hallar la función Costo Total b) Hallar la función Ingreso Total

c) Hallar la función Beneficio Total y cuál será su ganancia cuando vende 2500 artículos.

Solución:

a) 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 𝑉𝑉 (𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 𝐹𝐹

El costo variable es: 𝐶𝐶 𝑉𝑉 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥

Entonces: 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 120 ∙ 𝑥𝑥 + 30000 es la función Costo Total b) 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥

Entonces: 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 150 ∙ 𝑥𝑥 es la función Ingreso Total c) 𝐵𝐵 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) − 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥)

𝐵𝐵 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 150𝑥𝑥 − (120𝑥𝑥 + 30000) 𝐵𝐵 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 150𝑥𝑥 − 120𝑥𝑥 − 30000

𝐵𝐵 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 30𝑥𝑥 − 30000 es la función Beneficio Total

𝐵𝐵 𝑇𝑇 (2500) = $45.000

Su ganancia cuando vende 2500 artículos será de $45.000

(17)

Página 17 de 36

Función Económica Media: Representa el valor promedio de la función económica por cada unidad, y ese valor depende de la cantidad de unidades considerada.

Se calcula mediante el cociente entre la función económica total y la cantidad de unidades (x).

Su fórmula es:

𝑓𝑓 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Funciones económicas medias:

∘ Función Costo Medio: 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥

∘ Función Ingreso Medio: 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥

∘ Función Beneficio Medio: 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝐵𝐵 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Interpretación:

• Cuando se producen “𝑎𝑎” unidades de un bien, el 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑎𝑎) es el costo promedio por unidad.

• Cuando se venden “𝑎𝑎” unidades de un bien, el 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑎𝑎) es el ingreso promedio por unidad.

Notar que el ingreso promedio por unidad es el precio por unidad, ya que:

𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥 =

𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝

• Cuando se venden “𝑎𝑎” unidades de un bien, el 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑎𝑎) es la ganancia promedio por unidad.

Observación: Las funciones económicas medias carecen de sentido para 𝑥𝑥 = 0.

Función económica marginal: Representa la variación aproximada de la función económica total cuando la variable se incrementa en una unidad a partir de determinada condición inicial.

Como la variación de una función cuando el incremento de la variable es pequeño es

aproximadamente igual al valor de la derivada de la función en el punto; esta variación

(18)

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aproximada de la función económica total en un determinado valor de la variable se obtiene mediante la derivada de dicha función total.

Su fórmula es:

𝑓𝑓 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 𝑇𝑇 (𝑥𝑥)

Observar que, en economía, el incremento más pequeño de la variable cantidad de un bien (que simbolizamos 𝑥𝑥) es un incremento de una unidad.

𝑓𝑓 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑎𝑎) es un valor APROXIMADO DEL VALOR REAL de 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 1) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) Funciones económicas marginales:

∘ Función Costo Marginal: 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 𝑇𝑇 ′ (𝑥𝑥)

∘ Función Ingreso Marginal: 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 ′ (𝑥𝑥)

∘ Función Beneficio Marginal: 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = 𝐵𝐵 𝑇𝑇 ′ (𝑥𝑥)

Interpretación:

• El costo marginal de un bien evaluado en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (es decir: 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑎𝑎)) permite saber aproximadamente el costo de producir la unidad número 𝑎𝑎 + 1 de ese bien.

• El ingreso marginal de un bien evaluado en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (es decir: 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑎𝑎)) permite saber aproximadamente el ingreso que se obtiene al vender la unidad número 𝑎𝑎 + 1 de ese bien.

• El beneficio marginal de un bien evaluado en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (es decir: 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑎𝑎)) permite saber aproximadamente la ganancia que se obtiene al vender la unidad 𝑎𝑎 + 1 de ese bien.

Ejemplo: Dada la función de Costo Total 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 10 de elaboración de barbijos, se pide:

a) Hallar las funciones de Costo Marginal y de Costo Medio.

b) Determinar el costo aproximado de elaborar el barbijo N° 71 y el costo medio considerando los 71 barbijos. Interpretar los resultados obtenidos y comparar dichos valores.

c) Determinar su costo real y compararlo con el aproximado.

Solución:

a) 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) ⟹ 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 10)′ ⟹ 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 4

(19)

Página 19 de 36 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥)

𝑥𝑥 ⟹ 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 10

𝑥𝑥 ⟹ 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 4 + 10 𝑥𝑥 b) 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (70) = 2 ∙ 70 + 4 ⟹ 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (70) = 144 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.

El costo aproximado de elaborar el barbijo N°71 es 144 𝑢𝑢. 𝐷𝐷., es decir, el costo aumenta 144 𝑢𝑢. 𝐷𝐷. cuando a partir del barbijo N° 70 se elabora uno más.

𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (71) = 71 + 4 + 10

71 ⟹ 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (71) = 75,14 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.

Al producir 71 barbijos, el costo promedio de fabricar cada barbijo es de 75,14 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.

Al comparar ambos valores, se puede observar que el costo aproximado de elaboración de cada barbijo no es constante, esto significa que el costo unitario va aumentando a medida que aumenta la cantidad producida.

c) Sabemos que la función Costo Total es: 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 10 El costo de fabricar los primeros 71 barbijos es:

𝐶𝐶 𝑇𝑇 (71) = 71 2 + 4 ∙ 71 + 10 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (71) = 5335 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.

El costo de fabricar los primeros 70 barbijos es:

𝐶𝐶 𝑇𝑇 (70) = 70 2 + 4 ∙ 70 + 10 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (70) = 5190 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.

El costo real de elaborar el barbijo N°71 es:

𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 (de elaborar el barbijo N°71) = 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (71) − 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (70)

𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 (de elaborar el barbijo N°71) = 5335 𝑢𝑢. 𝐷𝐷. −5190 𝑢𝑢. 𝐷𝐷. = 145 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.

El costo marginal ( 144 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.) es una aproximación del costo real (145 𝑢𝑢. 𝐷𝐷.) de elaborar el barbijo N° 71.

Elasticidad de una función:

El concepto de elasticidad de una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), introducido por el economista inglés

Alfred Marshall, se utiliza para medir el grado del cambio de una variable dependiente

ante un cambio de la variable independiente.

(20)

Página 20 de 36

Definición de Elasticidad: Se denomina Elasticidad de una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un punto 𝑥𝑥 0 , al cociente entre la variación porcentual de la función y la variación porcentual de la variable.

Dado un valor 𝑥𝑥 0 , un aumento porcentual en la variable es:

%∆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0

𝑥𝑥 0 ∙ 100 = ∆𝑥𝑥 𝑥𝑥 0 ∙ 100

Un aumento porcentual en la variable produce un aumento porcentual en la función, que es

%∆𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 0

𝑦𝑦 0 ∙ 100 = ∆𝑦𝑦

𝑦𝑦 0 ∙ 100 = ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) ∙ 100 =

∆𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 0 ∙ 100 Entonces la fórmula de la Elasticidad en 𝑥𝑥 0 :

𝐸𝐸(𝑥𝑥 0 ) = %∆𝑦𝑦

%∆𝑥𝑥

𝐸𝐸(𝑥𝑥 0 ) =

∆𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 0 ∙ 100

∆𝑥𝑥 𝑥𝑥 0 ∙ 100

𝐸𝐸(𝑥𝑥 0 ) =

∆𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 0

∆𝑥𝑥 𝑥𝑥 0

𝐸𝐸(𝑥𝑥 0 ) = 𝑥𝑥 0

𝑦𝑦 0 . ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)

∆𝑥𝑥

El resultado expresa la variación porcentual de la función cuando la variable se incrementa en un 1% a partir de un valor inicial 𝒙𝒙 𝟎𝟎

Un incremento de un 1% en la variable ocurre cuando ∆𝑥𝑥 es pequeño. Podemos entonces, para obtener la elasticidad de una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un punto 𝑥𝑥 0 , tomar en la fórmula anterior el límite cuando ∆𝑥𝑥 → 0.

Tenemos así

𝐸𝐸(𝑥𝑥 0 ) = lim ∆𝑥𝑥→0 � 𝑥𝑥 0

𝑦𝑦 0 . ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)

∆𝑥𝑥 �

𝐸𝐸(𝑥𝑥 0 ) = 𝑥𝑥 0

𝑦𝑦 0 . lim ∆𝑥𝑥→0 � ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)

∆𝑥𝑥 �

(21)

Página 21 de 36 𝐸𝐸(𝑥𝑥 0 ) = 𝑥𝑥 0

𝑦𝑦 0 . 𝑓𝑓′(𝑥𝑥 0 )

Como ya expresamos, la elasticidad puede interpretarse como la variación porcentual de la función obtenida por una variación del 1% en la variable independiente.

Elasticidad de la Demanda

Sea la función demanda 𝑞𝑞 = 𝐷𝐷(𝑝𝑝), donde 𝑝𝑝 es el precio por unidad y 𝑞𝑞 la cantidad demandada. Si la función demanda es normal, será decreciente. Por lo tanto, cada vez que se produzca un incremento en el precio se producirá una disminución en la cantidad demandada, y la elasticidad será siempre negativa. Pero para trabajar con una elasticidad positiva se puede trabajar con el módulo. Entonces, la elasticidad de la demanda en 𝑝𝑝 0 es:

𝐸𝐸 𝑑𝑑 (𝑝𝑝 0 ) = � 𝑝𝑝 0

𝑞𝑞 0 . 𝐷𝐷′(𝑝𝑝 0 )� = � 𝑝𝑝 0

𝑞𝑞 0 . 𝑞𝑞′(𝑝𝑝 0 )�

Clasificación de la demanda según su elasticidad:

• La demanda es inelástica si 𝐸𝐸 𝑑𝑑 < 1

Esta situación se da cuando un aumento en el precio provoca una caída proporcionalmente menor en la demanda.

Por ejemplo: los bienes esenciales como ciertos alimentos tienen demanda inelástica, puesto que, aunque el precio aumente, el consumidor no puede prescindir de ellos y debe seguir comprándolos.

• La demanda es unitaria si 𝐸𝐸 𝑑𝑑 = 1

En este caso un aumento en el precio provoca una caída proporcionalmente igual en la demanda.

• La demanda es elástica si 𝐸𝐸 𝑑𝑑 > 1

Esta situación se da cuando un aumento en el precio provoca una caída proporcionalmente

mayor en la demanda.

(22)

Página 22 de 36

Por ejemplo: para los bienes de lujo la demanda es elástica, puesto que, frente a un aumento de precio, podemos dejar de adquirirlos ya que son prescindibles

En particular

• Si 𝐸𝐸 𝑑𝑑 = 0, se dice que la demanda es perfectamente inelástica

Esta situación se da cuando un aumento en el precio no provoca un cambio en la demanda.

Por ejemplo: un medicamento absolutamente imprescindible.

• Si 𝐸𝐸 𝑑𝑑 → +∞, se dice que la demanda es perfectamente elástica

Esto sucede cuando un aumento en el precio provoca que la demanda desaparezca, es decir, ante un aumento en el precio los consumidores ya no están dispuestos a adquirir el bien.

Por ejemplo: bienes de lujo que sean totalmente prescindibles.

Ejemplo:

La función de demanda de un fabricante de heladeras es:

𝑞𝑞 = 32 − 4𝑝𝑝 Se pide:

a) Hallar la elasticidad de la demanda en 𝑝𝑝 = 6.

b) Interpretar económicamente el resultado obtenido.

c) Clasificar a la demanda.

Solución:

a) 𝐸𝐸 𝑑𝑑 (𝑝𝑝 0 ) = � 𝑝𝑝 0

𝑞𝑞 0 . 𝑞𝑞′(𝑝𝑝 0 )�

𝐸𝐸 𝑑𝑑 (𝑝𝑝 0 ) = � 𝑝𝑝 0

32 − 4𝑝𝑝 0 . (−4)�

𝐸𝐸 𝑑𝑑 (6) = � 6

32 − 4 ∙ 6 . (−4)� = � 6

8 . (−4)� = 3

b) Si el precio aumenta un 1%, la demanda cae un 3%

(23)

Página 23 de 36 c) 𝐸𝐸 𝑑𝑑 (6) = 3 > 1, la demanda es elástica

4. Bibliografía:

Purcell, E., & Varberg, D. (1993). Cálculo con Geometría Analítica (6ta ed.). México:

Prentice-Hall.

Rutenberg, E., & Averna, C. (2007). Nociones de cálculo (4 ed., Vol. 1 y 2). Buenos Aires: Prometeo.

Rutenberg, E., Averna, C., & Galardo, O. (2005). Nociones de cálculo (3 ed.). Buenos Aires: Prometeo .

Stewart, J. (1999). Cálculo - Conceptos y Contextos. México: Thomson Editions.

5. Actividad pedagógica:

TRABAJO PRÁCTICO: DERIVADAS

Nota: Para esta clase, los ejercicios indicados con (†) son obligatorios.

1) Derivar las siguientes funciones por definición:

Utilizar la definición de derivada “en un punto”: 𝑓𝑓′(𝑥𝑥 0 ) = lim 𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 )

𝑥𝑥−𝑥𝑥 0 o de “función derivada” 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐷𝐷 ℎ→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)

.

a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 g) 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 b) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 − 2 h) 𝑦𝑦 =

1

𝑥𝑥 c) 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 6 i) 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥+1

𝑥𝑥−2 d) 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) j) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 + 2

e) 𝑦𝑦 = cos (𝑥𝑥) k) 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 1) 2 − 3

f) 𝑦𝑦 = ln 𝑥𝑥 l) 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥

(24)

Página 24 de 36

m) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 1 en 𝑥𝑥 0 = 2 n) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 + 3 en 𝑥𝑥 0 = 1 o) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 0 = 4 p) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 0 = −2

2) Derivar las siguientes funciones “por tabla”:

a) 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 3 + ln 𝑥𝑥 b) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 5 + √𝑥𝑥 3 − √𝑥𝑥 c) 𝑦𝑦 = 6 ln 𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥 d) 𝑦𝑦 = 2e 𝑥𝑥 − 3 ln 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 e) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 4 cos 𝑥𝑥

f) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 5 cos 𝑥𝑥 g) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟+5 𝑥𝑥 𝑛𝑛−3 h) 𝑦𝑦 = (5𝑥𝑥 3 − 2) ln 𝑥𝑥 i) 𝑦𝑦 =

1+𝑥𝑥 2 𝑥𝑥+1

j) 𝑦𝑦 =

1−𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛𝑥𝑥 1+𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛𝑥𝑥

k) 𝑦𝑦 = tan 𝑥𝑥

l) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 3 + 1 𝑥𝑥

3) Analizar la existencia de la derivada y clasificar:

a) En 𝑥𝑥 = 2 si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �4 − 𝑥𝑥 2 si 𝑥𝑥 ≤ 2 𝑥𝑥 − 2 si 𝑥𝑥 > 2

b) En este caso cuanto debe valer “a” y “b” para que la función sea derivable en 𝑥𝑥 = 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) � 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 si 𝑥𝑥 ≤ 1

−𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 si 𝑥𝑥 > 1

c) En 𝑥𝑥 = 3 𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 3|

d) En 𝑥𝑥 = 1 si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 3 − 1 si 𝑥𝑥 ≤ 1

−𝑥𝑥 2 + 3 si 𝑥𝑥 > 1 e) En 𝑥𝑥 = 0 si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 3

4) Derivar las siguientes funciones aplicando la “regla de la cadena”:

(25)

Página 25 de 36 (†) 𝐚𝐚) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝐷𝐷𝑠𝑠(5𝑥𝑥) + 𝑙𝑙𝑛𝑛(3𝑥𝑥) (†)

i) 𝑦𝑦 = (𝑐𝑐𝐷𝐷𝑠𝑠 𝑥𝑥) √𝑥𝑥 𝐛𝐛) 𝑦𝑦 = ln(𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝐷𝐷𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑥𝑥) 𝐣𝐣) 𝑦𝑦 =

𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛 2 𝑥𝑥+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑥𝑥

𝐚𝐚) 𝑦𝑦 = ln � √𝑥𝑥−2 √𝑥𝑥+2 k) 𝑦𝑦 = ln 4−𝑥𝑥 2𝑥𝑥 4 2 (†) d) 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑛𝑛 � √𝑥𝑥 𝑥𝑥 2

(†) l) 𝑦𝑦 = �

1+𝑥𝑥 1−𝑥𝑥

e) 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(3𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝐷𝐷𝑡𝑡𝑔𝑔(5𝑥𝑥)

(†) m) 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿𝑛𝑛 � 1+𝑥𝑥 1−𝑥𝑥 f) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 √9 − 𝑥𝑥 2 + 9 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 � 𝑥𝑥 3 � n) 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 2 𝑙𝑙𝑛𝑛 (𝑥𝑥)

g) 𝑦𝑦 = (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥) 1 𝑥𝑥 (†) o) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝐷𝐷𝑠𝑠 2𝑥𝑥+1 √𝑥𝑥

h) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1 𝐩𝐩) 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 (ln 𝑥𝑥)

5) Sea 𝑓𝑓: ℝ − [0 ; 1]→ℝ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥) + 4, Hallar todos los puntos (𝑥𝑥; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) en los cuales la recta tangente tiene pendiente − 3 2 .

6) Teniendo la siguiente función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(25𝑥𝑥 2 + 4) se pide encontrar los puntos donde la pendiente de la recta tangente al gráfico en dichos puntos sea igual a 2.

7) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 1 en 𝑥𝑥 0 = 1 . Graficar.

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 + 1 𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 0 = −1

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 si 𝑥𝑥 < 1

𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 + 1 si 𝑥𝑥 ≥ 1 en 𝑥𝑥 0 = 1

8) Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas:

(†) a) y = arcsen(𝑥𝑥 2 − 1) b) 𝑦𝑦 = arcsen 𝑥𝑥 + arccos 𝑥𝑥 (†) c) 𝑦𝑦 = arctan �

1

𝑥𝑥 �

d) 𝑦𝑦 = arctan[sen(2𝑥𝑥)]

(26)

Página 26 de 36 RESPUESTAS:

1) a) 2𝑥𝑥 b) 6𝑥𝑥 c) 12𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 d) 𝑐𝑐𝐷𝐷𝑠𝑠 𝑥𝑥 e) −𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑥𝑥 f) 1 𝑥𝑥 g) 𝑒𝑒 𝑥𝑥 h) − 𝑥𝑥 1 2 i) (𝑥𝑥−2) −3 2 j) 1

2√𝑥𝑥+2 k) 2𝑥𝑥 − 2 l) −2 𝑥𝑥 − 1 m) 4 n) 1 p) −65 2) a) 𝑦𝑦′ = 18 𝑥𝑥 2 + 1 𝑥𝑥 g) 𝑦𝑦′ = (𝑛𝑛 + 2 + 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑟𝑟+1

b) 𝑦𝑦′ = 1 5 𝑥𝑥 4 5 + 1 3 𝑥𝑥 2 31 2 𝑥𝑥 1 2 h) 𝑦𝑦 = 15 𝑥𝑥 2 ln 𝑥𝑥 + (5𝑥𝑥 3 − 2) 1 𝑥𝑥 c) 𝑦𝑦′ = 6 𝑥𝑥 − sec 2 𝑥𝑥 i) 𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 (𝑥𝑥+1) 2 +2𝑥𝑥−1 2

d) 𝑦𝑦′ = 2𝑒𝑒 𝑥𝑥3 𝑥𝑥 + 1 j) 𝑦𝑦′ = −2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 (1+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥) 2

e) 𝑦𝑦′ = 4𝑥𝑥 3 𝑐𝑐𝐷𝐷𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 4 𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑥𝑥 k) 𝑦𝑦 = sec 2 𝑥𝑥

f) 𝑦𝑦′ = 5 √𝑥𝑥 5 1 4 𝑐𝑐𝐷𝐷𝑠𝑠 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 5 𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑥𝑥 l) 𝑦𝑦′ = 2√𝑥𝑥 1 + 3 √𝑥𝑥 3 1 2𝑥𝑥 1 2

3) a) No, las derivadas laterales son finitas y distintas, “punto anguloso”

b) 𝑏𝑏 = −1 , 𝑎𝑎 = 2 c) No, las derivadas laterales son finitas y distintas, “punto anguloso”.

d) No es continua.

e) No, las derivadas laterales son infinitas, de igual signo, “ punto de inflexión”

4) a) 𝑦𝑦′ = −5𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(5𝑥𝑥) + 𝑥𝑥 1 j) 𝑦𝑦´ = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛 2 𝑥𝑥 b) 𝑦𝑦 = − csc 𝑥𝑥

k) 𝑦𝑦′ = 2�8−𝑥𝑥 𝑥𝑥(4−𝑥𝑥 2 2 )

c) 𝑦𝑦´ = (𝑥𝑥−4) √𝑥𝑥 1 l) 𝑦𝑦′ = (1−𝑥𝑥)�√1−𝑥𝑥 1 2

d) 𝑦𝑦´ = 2 𝑥𝑥 3 m) 𝑦𝑦′ = 1−𝑥𝑥 2 2 e) 𝑦𝑦´ = 𝑒𝑒 cos(3𝑥𝑥) � −3𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛(3𝑥𝑥) cos(5𝑥𝑥)

𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛(5𝑥𝑥) − 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛 2 5 (5𝑥𝑥) � n) 𝑦𝑦′ = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 2 �2𝑥𝑥𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑥𝑥) + 1 𝑥𝑥

f) 𝑦𝑦′ = 2√9 − 𝑥𝑥 2 o) 𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 � 𝑥𝑥+1 2√𝑥𝑥2√𝑥𝑥(𝑥𝑥+1) 𝑥𝑥−1 2

h) 𝑦𝑦´ = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1) p) 𝑦𝑦′ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(ln(𝑥𝑥)) 𝑥𝑥

i) 𝑦𝑦´ = � 2√𝑥𝑥 1 ln(cos 𝑥𝑥) + √𝑥𝑥 (− tan 𝑥𝑥)� (cos 𝑥𝑥) √𝑥𝑥

(27)

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5) (−1; 4,7) 6) 𝑃𝑃 1 = � 4 5 ; ln 20� 𝑃𝑃 2 = ( 1 5 ; ln 5)

7) a) 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = 2𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑁𝑁 = − 1 2 𝑥𝑥 + 5 2 b) 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = −7𝑥𝑥 − 5 𝑦𝑦 𝑁𝑁 = 1 7 𝑥𝑥 + 15 7 c) 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = −𝑥𝑥 − 1 𝑦𝑦 𝑁𝑁 = 𝑥𝑥 − 3

8) a) 𝑦𝑦′ = �1−(𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2 −1) 2 c) 𝑦𝑦′ = − (1+𝑥𝑥 1 2 ) b) 𝑦𝑦′ = 0 d) 𝑦𝑦′ = 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(2𝑥𝑥)

1+𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛 2 (2𝑥𝑥)

TRABAJO PRÁCTICO: FUNCIONES ECONOMICAS Los ejercicios indicados con (†) son obligatorios.

1) Definir cuáles de las siguientes ecuaciones representa una función de oferta, cual de demanda y cual ninguna de ellas, donde 𝑝𝑝 es precio y 𝑄𝑄 oferta o demanda. Graficar las funciones

𝐚𝐚) 𝑝𝑝 = 3𝑄𝑄 𝐛𝐛) 2𝑝𝑝 + 3𝑄𝑄 − 12 = 0 𝐚𝐚) 3𝑝𝑝 − 5𝑄𝑄 + 4 = 0 𝐝𝐝) 2𝑄𝑄 + 5𝑝𝑝 + 7 = 0 𝐬𝐬) 4𝑝𝑝 + 3𝑄𝑄 − 13 = 0 𝐟𝐟) 2𝑝𝑝 + 5𝑄𝑄 =0

2) Determinar las cantidades intercambiadas y el precio de equilibrio, para los mercados en los cuales se verifican las siguientes leyes de oferta y demanda. Graficar ambas funciones.

(†) 𝐚𝐚) �𝑄𝑄 𝑑𝑑 = −2𝑝𝑝 + 30

𝑄𝑄 𝑠𝑠 = 2𝑝𝑝 − 10 b) �𝑄𝑄 𝑑𝑑 = −10𝑝𝑝 + 200

𝑄𝑄 𝑠𝑠 = 6𝑝𝑝 − 40 c) �𝑄𝑄 𝑑𝑑 = −3𝑝𝑝 + 630 𝑄𝑄 𝑠𝑠 = 𝑝𝑝 − 170

𝐝𝐝) � 𝑝𝑝 = 10 − 2𝑄𝑄

3

2 𝑄𝑄 = 𝑝𝑝 − 3 e) �𝑄𝑄 = −2𝑝𝑝 + 6 𝑄𝑄 = 3𝑝𝑝 + 1 f) �2𝑝𝑝 + 3𝑄𝑄 = 10 𝑄𝑄 − 4𝑝𝑝 = −6 g) � 𝑄𝑄 = 16 − 2𝑝𝑝

4𝑄𝑄 = 4𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 2 h) �𝑄𝑄 = 3𝑝𝑝 2 − 3𝑝𝑝 − 2

𝑄𝑄 = 10 − 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 2

(28)

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3) ¿Cuál es la función oferta en un cierto mercado, si se sabe que es lineal y cuando el precio es $50 hay disponibles 50 artículos y cuando el precio es de $ 75 se ofrecen 100 artículos?

4) Supongamos que la demanda semanal de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $58 por unidad y de 200 unidades con precio de $51 cada una.

a) Hallar la función demanda, suponiendo que es lineal.

b) Calcular 𝑄𝑄(65). ¿Qué representa?

5) Una empresa vende un producto a $65 por unidad. Los costos variables por unidad en concepto de materiales y mano de obra ascienden a $37 . Los costos fijos mensuales ascienden a $10.000 .

a) Expresar el costo total en función de 𝑥𝑥unidadesproducidas.

b) Expresar el ingreso total en función de 𝑥𝑥unidades vendidas.

6) La función de demanda para el producto de un fabricante es 𝑝𝑝 = 1200 − 3𝑄𝑄 donde 𝑝𝑝 es el precio (en pesos) por unidad cuando se tiene una demanda semanal de Q unidades.

a) Expresar el ingreso total en función de la demanda.

b) Graficar ambas funciones.

7) Un artículo tiene la siguiente ley de costo total: 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 8 , donde 𝑥𝑥 representa la cantidad de artículos.

a) Indicar cuál es el costo fijo y que representa.

b) Calcular 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (5) e interpretar.

c) Hallar la cantidad de artículos que genera un costo total de 63 .

g) Graficar la función.

(29)

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8) Dada la siguiente función de ingresos totales: 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 . Si la venta de x unidades produce un ingreso de 560 , calcular el valor de 𝑥𝑥. Graficar la función.

9) El costo de fabricar una cierta cinta de video es 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 20000 + 5𝑥𝑥, donde x es el número de cintas fabricadas. El Costo promedio por cinta, denotado por 𝐶𝐶(𝑥𝑥) o 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑥𝑥) se encuentra dividiendo 𝐶𝐶(𝑥𝑥) entre 𝑥𝑥. Encontrar:

a) 𝐶𝐶(1000) b)𝐶𝐶(10000) c) lim 𝑥𝑥→100000 𝐶𝐶 (𝑥𝑥) d) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐷𝐷 𝑥𝑥→+∞ 𝐶𝐶 (𝑥𝑥)

(†)10) La función Costo medio está dada por 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥+120 𝑥𝑥 , donde 𝑥𝑥 es la cantidad de artículos producidos:

Determinar el costo fijo y el precio de costo unitario.

11) Un negocio vende un determinado artículo en $40 pesos la unidad y se estima un costo fijo en $300. Con estos datos:

a) Escribir las funciones de Ingreso y de Costo total sabiendo que ambas coinciden en 𝑞𝑞 = 20.

b) Encontrar el o los valores de q para que el negocio sea rentable.

c) Si q aumenta indefinidamente, ¿en qué valor se estabiliza el Beneficio medio?

12) La función Oferta está dada por la función: Q (𝑝𝑝) = 𝑒𝑒 p −1 donde p es el precio del bien, y q la cantidad ofertada, en decenas de miles. La función Demanda está dada por la función: 𝑄𝑄(𝑝𝑝) = 7 − 𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑝𝑝 + 1),donde p es el precio del bien, y q la cantidad demandada, en decenas de miles. Usando el teorema de Bolzano halla el precio y la cantidad de equilibrio.

(†)13) La función Demanda de un producto es: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 1000 𝑥𝑥+5 . Encontrar la función

Ingreso marginal y calcularla en 𝑥𝑥 = 45 ¿Cuál es el Ingreso adicional por vender la

unidad número 46? Interpretar los resultados.

(30)

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(†)14) Si la función Demanda de un cierto artículo está representada por la función 50𝑝𝑝 + 𝑥𝑥 3 2 = 1000 y además la función de Costo Total es 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 50 + 𝑥𝑥 3 2 .

Se pide evaluar el Beneficio marginal cuando la producción es de 25 unidades.

Interpretar los resultados.

(†)15) Se analiza la demanda de un periódico mensual mediante la función X = −2000𝑝𝑝 + 6000 siendo X la cantidad de periódicos vendidos mensualmente a un

determinado precio 𝑝𝑝. Editar el diario tiene un costo de $0,50 por ejemplar y un costo fijo de $2000 mensualmente. Teniendo en cuenta estos datos se pide hallar la función Beneficio marginal y el precio que hace a este igual a cero.

16) Suponga que una ecuación de Demanda está dada por 𝑥𝑥 = 5000 − 100𝑝𝑝.

Encuentre el Ingreso marginal para los siguientes niveles de producción:

a) 1000 unidades; b) 2500 unidades; c) 3000 unidades.

Sugerencia: Comience expresando la función de Demanda: 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)y luego halle la función Ingreso: 𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥

17) Determinar el Ingreso marginal cuando 𝑥𝑥 = 225 si la ecuación de Demanda es 𝑥𝑥 + 90𝑝𝑝 = 900. Interpretar el resultado.

(†)18) El Ingreso Total por la venta de un cierto artículo está dada por:

𝐼𝐼 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 10. √300𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 150 . Se pide:

a) Hallar la función Ingreso marginal, b) calcularla en 𝑥𝑥 = 30 ; 60 ; 90 𝑦𝑦 120 c) Interpretar los resultados anteriores.

19) Una compañía produce cierta cantidad de artículos y el Costo Total de elaboración

está dado por 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 600 + √50 + 15𝑥𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 200. Se pide hallar la función

Costo marginal.

(31)

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(†)20) El Costo Total (en miles de pesos) de fabricar x botes está dado por:

𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 600 + 𝑥𝑥 + 42𝑥𝑥 2 3 , 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 100. Se pide:

a) Encuentre la función de Costo marginal.

b) ¿Cuál es el costo marginal en 𝑥𝑥 = 40?

c) ¿Cuál es el costo real de fabricar el bote número 41?

d) ¿Es el costo marginal en 𝑥𝑥 = 40 una aproximación razonable del costo real de fabricar el bote N° 41?

21) Dada la función Costo Total: 𝐶𝐶 𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 0,02𝑥𝑥 2 + 50𝑥𝑥 + 400 . Se pide:

a) Hallar las funciones: Costo medio y Costo marginal.

b) Compare el Costo marginal en x = 130 con el costo real de producir la unidad Nº 131. Interpretar.

c) ¿A partir de que cantidad el 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) comienza a ser mayor que el 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑥𝑥)?

22) Dada la función 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5 , se pide calcular:

a) La elasticidad de la función “y” con respecto a “x”.

b) La elasticidad para x = 5. Interpretar el resultado.

c) La elasticidad para x = 1. Interpretar el resultado.

23) La demanda de bebidas destiladas está dada por: 𝑞𝑞 = −0,00375𝑝𝑝 + 7,87 , donde p es el precio al menudeo (en pesos) de una caja de licor y q es el

número promedio de cajas compradas por año por un consumidor.

a) Calcule e interprete la elasticidad de la demanda cuando p = $118 por caja y cuando p = $1200 por caja.

b) Determine el precio por caja para que la demanda tenga elasticidad unitaria (es

decir E = 1). ¿Cuál es el significado de este precio?

(32)

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24) Dada la demanda: 𝑙𝑙𝑛𝑛 �� 4 2 𝑥𝑥 � − 𝑝𝑝 = 0 , se pide hallar el precio y la cantidad demandada para que la demanda resulte unitaria o sea E = 1.

25) Dada la función 𝑞𝑞 = 10 − ln(𝑝𝑝) , se pide:

a) Calcular la elasticidad de la demanda respecto al precio para p = 1.

b) Hallar los intervalos para los cuales la demanda es inelástica, elástica o unitaria.

RESPUESTAS PRACTICO FUNCIONES ECONOMICAS:

1) Demanda: b, e . Oferta: a, c Ninguno: d, f

2) a) 𝑝𝑝 = 10 , 𝑄𝑄 = 10 b) 𝑝𝑝 = 15 , 𝑄𝑄 = 50 c) 𝑝𝑝 = 200 , 𝑄𝑄 = 30 d) 𝑝𝑝 = 6 , 𝑄𝑄 = 2 e) 𝑝𝑝 = 1 , 𝑄𝑄 = 4 f) 𝑝𝑝 = 2 , 𝑄𝑄 = 2 g)𝑝𝑝 = 4 , 𝑄𝑄 = 8 h) 𝑝𝑝 = 2 , 𝑄𝑄 = 4

3) 𝑝𝑝 − 1 2 𝑄𝑄 = 25 4) 𝑝𝑝 + 0,07𝑄𝑄 = 655) 𝐶𝐶 𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 37𝑥𝑥 + 10.000 𝐼𝐼 𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 65𝑥𝑥 6) 𝐼𝐼 𝑐𝑐 (𝑥𝑥) = 1200 𝑄𝑄 − 3𝑄𝑄 2 7) a) 𝐶𝐶 𝑓𝑓 = 8 b) 𝐶𝐶 (5)= 63 c) 5 8) 𝑥𝑥 = 20 9) a) 25 b) 7 c) 5,2 d) 5

10) Costo fijo: 120 precio de costo unitario: 6

11) a) I(q) = 40 q C(q) = 300 + 25 q b) q > 20 c) 15 12) 𝑝𝑝 = 2,853 𝑞𝑞 = 6,382

13) 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚 (45) = 2 , Ingreso adicional real = 1,96

14) 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = 20 − 20 1 𝑥𝑥 3 23 2 𝑥𝑥 1 2 ; 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 (25) = 6.25 15) 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑥𝑥) = − 1000 𝑥𝑥 + 2,5 ; 𝑝𝑝 = $1,75

16) a) 30; b) 0; c) -10 17) 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚 (225) = 5

18) b) 10,61 ; 2,89 ; -2,89 ; -10,61

Referencias

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