INSTITUTO TECNOL ´OGICO DE COSTA RICA 11 de enero del 2 007 ESCUELA DE MATEM ´ATICA Total: 42 puntos C ´ALCULO Y ´ALGEBRA LINEAL Tiempo: 2 h. 30 m.
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (Per´ıodo Intensivo)
1. Resuelva el siguiente sistema: (5 puntos)
x + 3y + 3z − w = 1
−2x + y + z + 2w = 2 2x − y + w = −2
2. Considere las matrices B =
−1 −2 1
0 2 1
1 1 −1
y H =
3 −1 0
1 4 2
calcule B−1 + 2I3 − Ht · H
(5 puntos) 3. Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema:
2x + y − 3z = 0 y − z = 2 x + 3y + 2z = 6
(5 puntos) 4. Encuentre los valores de k, de manera que el sistema:
x − 3z = −3 2x − ky − z = −2 x + 2y − kz = 1 (a) no tenga soluci´on
(b) tenga soluci´on ´unica (c) tenga infinitas soluciones
(5 puntos)
5. Si A y B son matrices de 5 × 5, tales que det(A) = −4 y det(B−1) = 35, calcule det(2A−1 · Bt)
(2 puntos) 6. Encuentre el n´umero complejo z que resuelva el siguiente sistema
de ecuaciones: (5 puntos)
|z + 1 + i| = 5 Arg(z − 5) = 3π
4 7. Resuelva la ecuaci´on
x4 − 2x3 + 6x2 − 8x + 8 = 0
si se sabe que 1 + i es una soluci´on. (5 puntos) 8. Calcule y exprese en la forma a + bi la expresi´on
2 + i21− i−49
i +
Ã1 + i 3 − i
!−1
+ (−1 + i)15
(5 puntos) 9. Calcule las ra´ıces cuartas de z = −8 + 8√
3i, y expr´eselas en la forma a + bi.
(5 puntos)
