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4. Con b = ( 1) 1 n. 6. Con c = n = p = 1, 1, ( 1) 1 2, ( 1) 1 3, ( 1) 1 4, ( 1) 1 5, ( 1) , 1 3, 1 2, 1 6 6, 5, 1.

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Academic year: 2022

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(1)

Respuestas al desarrollo de la competencia del capítulo 4

En los problemas del 1 al 10, encuentra los primeros 6 términos de la sucesión dada. Verifica tus respuestas con el comando Secuencia[ <Expresión>, <Variable>, <Valor inicial>, <Va- lor final> ] en la vista CAS de GeoGebra.

1. Con a = +n n

4

2 3

n

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

= + + + + + +

n

f n

a

1 2 3 4 5 6

( ) 4 1 2 1 3, 4 2 2 2 3, 4 3 2 3 3, 4 4 2 4 3, 4 5 2 5 3, 4 6 2 6 3, = 4

5, 8

7, 12

9 , 16

11, 20

13, 24

15, n 2. Con a = − 4 n 3 n = = −             n f n a 1 2 3 4 5 6

( ) 4 3 , 4

3 , 4

3 , 4

3 , 4

3 , 4

3 , = 4

3, 16

9 , 64

27, 256

81 , 1024

243, 4096

729 , n 1 2 3 4 5 6 3. Con b =sennπ 2 n π π π π π π = =             n f n b 1 2 3 4 5 6 ( ) sen

2 ,sen 2

2 ,sen 3

2 ,sen 4

2 ,sen 5

2 ,sen 6 2 , = 1, 0, 1, 0, 1, 0, n

(2)

4. Con bn= −( 1) 1nn

=

= −

n

f n b

1 2 3 4 5 6

( ) ( 1) 1 1, ( 1) 1 2, ( 1) 1 3, ( 1) 1 4, ( 1) 1 5, ( 1) 1 6, = 1, 1

2, 1

3, 1

4, 1

5, 1

6, n 1 2 3 4 5 6 5. Con c = n n! n 2 = = n f n c 1 2 3 4 5 6

( ) 1

1!, 2

2!, 3

3!, 4

4!, 5

5!, 6

6!, = 1, 2, 3

2, 2

3, 5

24, 1

20, n 2 2 2 2 2 2 6. Con cn=(2 )!nn2 = = n f n c 1 2 3 4 5 6

( ) (2)!

1 , (4)!

2 , (6)!

3 , (8)!

4 , (10)!

5 , (12)!

6 , = 2, 6, 80, 2520, 145152, 13305600, n 2 2 2 2 2 2 7. Con p = − + 1 1 1n n n 2 = = − + − + − + − + − + − + n f n p 1 2 3 4 5 6

( ) 1 1 1 1 1 , 1 1 2 1 2 ,1 1 3 1 3 ,1 1 4 1 4 ,1 1 5 1 5 ,1 1 6 1 6 , = 1, 3

4, 7

9, 13

16, 21

25, 31 36,

n

2 2 2 2 2 2

(3)

8 Con pn= 2n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

= n

f n p

1 2 3 4 5 6 ( ) 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , = 2, 2, 6, 2 2, 10, 2 3, n

9. Con q =

( )

+

n n

1 1

n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

+

+

+

+

+

+

n

f n

1 2 3 4 5 6

( ) 1

1 1

1, 1

2 1

2, 1

3 1

3, 1

4 1

4, 1

5 1

5, 1

6 1

6, q = 0, 1, 0, 1n 2, 0, 13,

1 2 3 4 5 6

10. Con rn= +1 cos

( )

nπ

π π π π π π

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

= + + + + + +

n

f n b

1 2 3 4 5 6 ( ) 1 cos ,1 cos 2 ,1 cos 3 ,1 cos 4 ,1 cos 5 ,1 cos 6 , = 0, 2, 0, 2, 0, 2, n

En los problemas del 11 al 20, encuentra el n-ésimo término de la sucesión dada.

11.

{ }

an =4n2

12.

{ }

an =6n+1

13.

{ }

an =0.5n+0.2

14.

{ } ( )

an = − 1 nn1 n

2

(4)

15.

{ }

=

a n

n!

n 2

16.

{ }

=

( )





a n

4

4 1

n 2

17.

{ }

= +

a n

n

!

( 1)

n 2 .

18.

{ }

an =nn+11. 19.

{ } ( )

an = − 1 12n

n

20.

{ }

=  π

a cos n

n 2

En los problemas del 21 al 35, determina si la sucesión dada es convergente o divergente. Si la suce- sión converge entonces encuentra su límite.

21.

{ }

an =n41

=

=

→∞n lim 4

1 4 0

n , la sucesión converge = 0 22.

{ }

an =

{ }

10n

= = ∞

→∞

lim10 10 n

n , la sucesión es divergente = ∞

23.

{ }

an =(nn!3)!

→∞

n lim ( n3)!

!

n = 0, converge = 0n

(5)

24.

{ }

= 





a 1

5

n

n



 = =

lim 1→∞

5

n n

0, la sucesión converge = 0

25.

{ }

=



a n

n ln

n

10

= =

→∞

n

lim lnn 10n 0, converge = 0n

26. a n

senn

n π

{ }

=

( )

n

lim senn 0

n

( )

π =

→∞ , la sucesión es convergente =0 27.

{ }

= +

a n

n

n n

1 1

n

2 2

+



 =

→∞

n n

n lim n

1 1

n n

2 2

2, la sucesión converge = 2

28.

{ }

= +

a n

n

4 1

3 1

n

2 2

+

=

→∞

n lim 4n 1

3 1

n n

2 2

4 3

29.

{ }

=



an 8n1

→∞ =

lim8n n1 1, la sucesión converge.

30.

{ }

= −

a 1 2 1

n 2

n n



= lim 1 2 1→∞

2

n

n

n 0, la sucesión converge = 0

(6)

31.

{ }

= 





an 2 10n

n



 = −

→∞ n

lim 2 10n 10

n

. La sucesión es convergente.

32.

{ }

= +

a n

n 1

n 1

3 2

+ =

→∞

n limn 1

1

n n

3

2 ∞. La sucesión diverge = ∞.

33.

{ }

an =ln2ln4nn

= =

→∞

n lim ln2n

ln4

n n1. La sucesión converge = 1.

34.

{ }

= +

a 10

n 5 5

n n

+ =

lim 10→∞

5 5

n n

n ∞. La sucesión diverge = ∞ 35.

{ }

an =

{

4n− −1 4n

}

(

− −

)

=

→∞ n n

lim 4 1 4

n 0n

La sucesión converge = 0

En los problemas 36 al 40, determina si la sucesión dada es monótona, si lo es, indica si es creciente, decreciente, no creciente o no decreciente. Utiliza el comando Secuencia[ <Expresión>, <Va- riable>, <Valor inicial>, <Valor final> ] para trazar la gráfica de sus primeros 10 términos.

36.

{ }

= +

a n

n 1

n

=

an+1 an= −

+ <

n n 1

( 1) 0La sucesión monótona es decreciente.

(7)

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n an

1 2 3

37.

{ }

=

a

n 3

!

n n

La sucesión comienza con a1=3,a2=3,a3=4.5, la sucesión no es monótona.

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n an

1 2 3 3

38.

{ }

= +

a n

n 1 1

n

2 2

=

an+1 an < 0, la sucesión es monótona decreciente.

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n an

1

-1

(8)

39.

{ }

an =

{

cos( )nπ

}

{ } {

an = −1,1, 1,1, 1,...

}

, la sucesión es no monótona. Es una sucesión alternante.

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n an

1

-1

40.

{ } ( )

an =5 !5 !2nnn 

= a+

ann1 La sucesión es monótona decreciente.

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n an

1

En los problemas del 41 al 45, desarrolla la serie y usa el comando Suma[ <Expresión>, <Varia- ble>,<Valor inicial>, <Valor final> para hallar la suma de dichos términos.

41.

= n 2n

n 2

1 5

{

2,2,1, ,13 1

}

12

137 / 30 42.

+

=

n n

1

n 1 2

8

{

1, , , , , , ,34 64 58 106 127 148 169

}

3001 / 560

43.

π

= n

sen(n )

n

2 0 6

{

0,1,0, 1,0,1,0

}

(9)

44.

∑ ( )

+

=

n 1 1 cosn

1

n n 0

8

{

1, , , , , , , ,12 13 14 15 16 71 18 91

}

7129 / 2520 45.

=

n n

!

n 2 1

2 6

{

23, , , ,3

}

4 8 5 30

6 144 7

12007 / 420

En los problemas 46 al 48, encuentra la suma de la serie telescópica dada.

46.

+ +

=

n n

1 ( 2)( 3)

n 1

= 13

47.

+ +

=

j j

1

3 2

j 2

1

= 12

48.

+ +

=

n n

1 9 20

n 2

1

= 45

En los problemas 49 al 55 comprueba si la serie geométrica dada converge o diverge. En caso de ser convergente, calcula la suma.

49. La serie

 

=

10 12

n

n 1

1

= 20 La serie es convergente.

50.

( )

=

10 0.99 n

n 6

1 = 9 9000 000. La serie es convergente.

51.

 

=

2 32

n

n 1

1

= >

r 32 1. La serie es divergente.

52.

+

=

2

1 2

n

n 0

=S = +1 2 . La serie es convergente.

(10)

53.

 

=

5 15

n

n 1

1

=S 5

4 . La serie es convergente.

54.

∑ ( )

 

=

1 9

10

n n

n 1

S 10=

19. La serie es convergente.

55.

∑ ( )

=

1

4

n

n 0 n =S 4

5. La serie es convergente.

56. Se suelta una pelota desde lo alto de un edificio de 20 metros de altura y ésta rebota sobre una banqueta de concreto. Cada vez que la pelota, rebota su altura es de 2 / 5 de su altura anterior.

¿Qué distancia recorre la pelota antes de quedar en reposo?

La pelota recorre una distancia de 140

3 metros antes de quedar en reposo.

57. Determina la longitud del perímetro de la figura cuando el proceso se repite indefinidamente.

El perímetro del triángulo cuando el número de etapas crece sin medida es: ∞

En los problemas 58 al 65, usa el criterio integral para determinar si la serie dada converge o diverge.

Confirma el resultado con el comando Integral[ <Función>, <Extremo inferior del inter- valo>, <Extremo superior del intervalo> ] de GeoGebra.

58.

=

n 1

2 1

n 1 = ∞. La integral diverge.

59.

+

=

n 1

5 3

n 1

= ∞. La integral diverge.

60.

+

=

n 1

1

n 2

1

x21+1dx=

1

π

4. La integral converge.

61.

n nln1 = ∞. La integral diverge.

(11)

62.

=

e e 1

n n

n 1

e ex1 xdx=

1

= − −

+





e e 1

2ln 1

1 La integral converge.

63.

=

n

n

2 1

n 2

1 = ∞. La integral diverge.

64.

=

ne n

n 1

2=1e

2 1 La integral converge.

65.

=

n

n ln

n 2

1

La función dada es monótona creciente para >n 1, por lo que es divergente.

En los problemas 66 al 70, determina si la serie dada es convergente o divergente y encuentra el radio de convergencia.

66.

=

n x! n

n 1

= 0. La serie solo converge en =x 0

67.

++

=

n x

2

n n

n n

2 1 1 2 1

= ∞. La serie es convergente para todo valor de x, luego, el intervalo de convergencia es: ( )−∞ ∞, .

68.

=

n x

6n

n n

4

0 = 6

Así la serie es convergente si <x 6 y divergente si >x 6. Entonces el intervalo de convergencia es:

( )

−6,6 .

69.

=

nx 1 n n 1

= 1

Así la serie es convergente si <x 1 y divergente si >x 1. Entonces el intervalo de convergencia es −( 1,1).

70.

∑ ( )

=

n1 2x n

n 2

1

= =

L lim→∞ a

n n n ⇒ =R 1

2

(12)

Así la serie es convergente si <x 1

2y divergente si >x 1

2. Entonces el intervalo de convergen- cia es −

 

 1 2, 1

2 .

En los ejercicios 71 al 80, encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencias dada.

71.

 

=

x

10

n

n 0

La serie es una serie geométrica centrada en cero y converge solo si x <

10 1 entonces:

− <1 x <

10 1 lo cual implica que − < <10 x 10. 72.

=

n x 3n

n n

3

0

La serie converge solo si 1 x < ⇒ − < <x

3 1 3 3.

Cuando x= −3, la serie

∑ ( )

=

=

=

n n

3n 3 n ( 1)

n

n n 3

0

3

0 diverge.

Cuando x 3= , la serie

∑ ( )

=

=

=

n n

3n 3n

n n

3 0

3 0

diverge.

El intervalo de convergencia es − < <3 x 3. 73.

=

nx

1 n

n 1

La serie converge solo si x < ⇒ − < <1 1 x 1. Cuando x= −1, la serie

∑ ( )

=

n

1 1n

n 1

converge.

Cuando x 1= , la serie

=

n 1

n 1 diverge.

El intervalo de convergencia es − ≤ <1 x 1.

74.

+

=

n

n x

4 n

n 2

1

La serie converge solo si x < ⇒ − < <1 1 x 1.

(13)

Cuando x= −1, la serie

+

( )

=

n

n 4 1n

n 2

1

converge.

Cuando x 1= , la serie

+

=

n

n n 42

1 diverge.

El intervalo de convergencia es − ≤ <1 x 1. 75.

=

n x! 10n n

n 1

La serie converge solo en x 0= , el radio de convergencia es R 0= 76.

=

(2 )!n x 2n

n

n 1 .

La serie converge solo en x 0= , el radio de convergencia es R 0=

77.

+

=

n10 x 10n ( 10)n

n 2 0

.

La serie converge sólo si converge en 100x10 1< , es decir, si 999< <x 100

1001 100. Cuando x= −10, la serie

+

=

n 10

10n ( 20)n

n 2 0

diverge.

Cuando x 10= , la serie

+ =

=

n 10

10n (0)n 0

n 2 0

converge.

El intervalo de convergencia es 999< ≤x 100

1001 100.

78.

=

n1 x 3n( 3)n

n 1

La serie converge sólo si converge en 1 x− <

3 3 1, es decir, si 0< <x 6. Cuando x= −3, la serie

=

=

=

n n

1

3n( 6)n ( 1) (2)

n

n n

n

1 1

diverge.

Cuando x 3= , la serie

=

=

n 1

3n(0) 0n

n 1 converge.

El intervalo de convergencia es 0< ≤x 6.

(14)

79.

=

x

n (5 ) (5 )!

n

n 0

El intervalo de convergencia es −∞ < < ∞x .

80.

=

( 1) !n x 2nn ( 2)n

n 0

Entonces R 0= , la serie solo converge en x 2= .

En los ejercicios 81 al 90, encuentra el polinomio de Taylor de la función dada en el grado indicado.

Comprueba tu resultado con el comando PolinomioTaylor[ <Expresión>, <Valor de x>, <Nú- mero (orden)> ] en la vista CAS de GeoGebra

81. =

+ =

f x( ) x1 n

1; 5 en potencias de

( )

x 3

Derivando sucesivamente 5 veces y evaluando en =x 3.

El polinomio de grado 5 es:

= − − + − − − + − − −

P x( ) 1 x x x x x

2 1

16( 3)

2!( 3)

31( 3)

4! ( 3)

5! ( 3)

5

3 2 15

1024 3 105

8192 4 945

65536 5

82. f x( )= 3 x; =n 4 en potencias de

( )

x 1

Derivando sucesivamente 4 veces y evaluando en =x 1 El polinomio de grado 4 es:

= + − − − + − − −

P x( ) 1 1 x x x x

3( 1)

2!( 1)

3!( 1)

4!( 1)

4

2

9 2 10

27 3 80

81 4

83. f x( )= 4 x+16; =n 4 en potencias de

( )

x 9

Derivando sucesivamente 3 veces y evaluando en =x 9 El polinomio de grado 4 es:

= + − −

⋅ − +

⋅ − −

⋅ −

P x( ) 5 5 x x x x

10 ( 9)

10 2!( 9)

10 3!( 9)

10 4!( 9)

4 2

3 5

4 2 21 5

6 3 231 5

8 4

(15)

84. f x( ) sec ; == x n 3en potencias de  −π



x 

4

Derivando sucesivamente 3 veces y evaluando en x=π El polinomio de grado 3 es: 4

= + − +ππ + −π

P x( ) 2 2(x ) 3 2 x x

2! ( ) 11 2

3! ( )

3 4 4 2

4 3

85. f x( ) log= 10x; =n 5 en potencias de

( )

x 1

Derivando sucesivamente 5 veces y evaluando en =x 1 El polinomio de grado 5 es:

=  − − − + − − − + −

 



=  − − − + − − − + −

 



P x x x x x x

x x x x x

( ) 1

ln10 ( 1) 1

2!( 1) 2

3!( 1) 6

4!( 1) 24 5!( 1) 1

ln10 ( 1) 1

2( 1) 1

3( 1) 1

4( 1) 1 5( 1)

5 2 3 4 5

2 3 4 5

86. =

f x + ( ) x1

1; =n 5 en potencias de

( )

x 1

Derivando sucesivamente 5 veces y evaluando en =x 1 El polinomio de grado 5 es:

= − − + − − − + − − −

= − − + − − − + − − −

P x x x x x x

x x x x x

( ) 1 2

1 4( 1)

2!( 1)

3!( 1)

4!( 1)

5!( 1) 1

2 1

4( 1) 1

8( 1) 1

16( 1) 1

32( 1) 1

64( 1)

5

14 2 3

8 3 3

4 4 15

8 5

2 3 4 5

87. f x( )= 3 x; =n 4 en potencias de

( )

x 8

Derivando sucesivamente 4 veces y evaluando en =x 8 El polinomio de grado 4 es:

= + − − − + − − −

= + − − − + − − −

P x x x x x

x x x x

( ) 2 1

12( 8)

2!( 8)

3! ( 8)

4! ( 8) 2 112( 8) 1

288( 8) 10

41472( 8) 10

497664( 8)

4

1441 2 5

3456 3 5

10368 4

2 3 4

(16)

88. = f x +

( ) x

1; =n 5 en potencias de

( )

x 2

Derivando sucesivamente 5 veces y evaluando en =x 2 El polinomio de grado 5 es:

= + − − − + − − − + −

= + − − − + − − − + −

P x x x x x x

x x x x x

( ) 2 3

1 9( 2)

2!( 2)

3!( 2)

4!( 2)

5!( 2) 2

3 1

9( 2) 1

27( 2) 1

81( 2) 1

243( 2) 1

729( 2)

5

272 2 6

81 3 24

243 4 120

729 5

2 3 4 5

89. f x( )=xe2x; =n 5 en potencias de

( )

x 1

Derivando sucesivamente 5 veces y evaluando en =x 0

= − + = − +

P x( ) 1 2 x x x x

2!

12

4! 1 1

2

5 2 4 2 4

90. =

f x + ( ) x 1

4 1; =n 4 en potencias de

( )

x 1

Derivando sucesivamente 4 veces y evaluando en =x 1 El polinomio de grado 4 es:

= − − + − + − − −

= − − + − + − − −

P x x x x x

x x x x

( ) 1

2 ( 1) 1

2!( 1) 6

3!( 1) 42 4!( 1) 1

2 ( 1) 1

2( 1) ( 1) 7 4( 1)

4 2 3 4

2 3 4

En los problemas del 91 al 100, encuentra el desarrollo en una serie de MaClaurin la función dada.

Comprueba tu respuesta con el comando PolinomioTaylor[ <Expresión>, <Valor de x>, <Nú- mero (orden)> ] en la vista CAS de GeoGebra.

91. f x( )+=ex =

=

n1x

n !

n 0

92. f x( ) sec = += cxx 1 1 x + x + 2!

5 4!

2 4

93. f x( ) senh= + x =

1 x2 1n+

(17)

94. f x( )=+e4x =

=

n x ( 1) (2)

!

n n

n

2 n 0

95. f x( )= xx++ = +11 1 xx + xx + x

1! 2! 3! 4! 5!

12 1

4 2 3

8 3 15

16 4 105 32 5

96. f x( ) sen= 2xx= 2 xx + xx 2!

8 4!

32 6!

128 8!

2 2 4 6 8

97. f x( )= x+1ln(x+1) = −x x + xx + 3!

1

4! 5!

14 3 4 71

16 5

98. f x( ) tan = += xx x 2x + x + x + 3!

16 5!

272 7!

3 5 7

99. f x( ) tan= 1xx x= − 2x + xx + 3!

24 5!

720 7!

1 3 5 7

100. f x( ) sen= 1xx x= + 1 x + x + x + 3!

9 5!

225 7!

1 3 5 7

En los problemas 101 al 110, usa serie de potencias para evaluar la integral dada.

101.

ex22x dx= − + + + + + = − + +

+

=

x x x x x C

x x

n nx C

1 2ln 4 2!

8 2 3!

16

3 4! 1 2ln 2

( 1) !

n n

n

2 3

2

1

102.

senhx xdx = + + + + =

=

(

+

)

+ +

+

x x x x

n n x C

1 3 3!

1 5 5!

1 7 7!

1

2 1 (2 1)!

n

n

3 5 7

0

2 1

103.

xlnx1dx= − + + + =

+ +

=

x x x x C

n x C

1

2 ( 1) 1

3 ( 1) 1

4 ( 1) ... ( 1) ( 1)n

n

n

2 2

2 3

2 4 1

1 2

104.

1+1x5dx = − + + + + =

+ +

=

+

x x x x x C

n x C

1 5

1 11

1 16

1 20

( 1) 5 1

n n

n

6 11 16 21

0

5 1

105.

xx1dx=ln(x− +1) 12(x− −1) 116(x1)2+481 (x1)35125 (x1)4+12807 (x1)5++C

(18)

106.

(

x3x8

)

2dx

( ) ( )

=2ln(x− +8) 1 x− − x− + x− − x− + +C

12( 8) 1

576( 8) 5

3 207366 ( 8) 5

4 248832 ( 8) ...

2 3 4

107.

3 x2+1dx= +x 19x2451 x5+5675 x7218710 x9+ +... C

108.

sen xdx= +x 12x2+16x3 401 x5 901 x616801 x7+7201 x8+ +... C

109.

cosexxdx= −x 12x2+121 x4301 x5+1801 x644101 x8+201601 x9+ +... C

x3+1dx = +x 18x4561 x7+1601 x103645 x13+40967 x16+ +... C

110.

Referencias

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