9 Momentos y funciones generatrices de Momentos

(1)

9‐ Momentos y funciones generatrices de Momentos

Edgar Acuna

ESMA 4001 Edgar Acuna 1

(2)

Sea X una variable aleatoria se define su k‐esimo momento con respecto al origen como μ_k=E[X^k], siempre que

en el caso discreto y que

9.1 Momentos

∞

∑

<

x

k

k p x

x| ( )

|

∞

∫

<

∞

−

dx x f x|^k _X ( )

|

en el caso continuo.

Obviamente, μ=μ_1..Tambien, se puede definir el k‐esimo con respecto a la media por μ’_k=E[(X‐μ)^k]. Claramente, σ²=μ’₂. Mientras mas momentos se conoce de una variable aleatoria X mas se conoce acerca de una distribucion. Otros parametros son el coeficiente de asimetria y el coeficiente de curtosis (aplanamiento),

definidos por

) 3 (

) (

4 4

4 ' 4 2

3 3

3 ' 3 1

− −

=

= −

=

σ μ σ

γ μ

σ μ σ

γ μ

X E

(3)

Ejemplo 9.1

Los momentos de una distribucion no siempre existen. Por ejemplo, si X es una

variable aleatoria con una funcion de densidad Cauchy entonces probar que E(X) no existe

Solucion: si X tiene una distribucion Cauchy entonces su funcion de densidad esta dada por

Luego,

∞

<

∞ + −

= x

x x

f (1 )

) 1

( ₂

π

∞

−

∞

= +

+ =

= ^∞ ^∞₋_∞

∞

−∫ ₍₁ ₎ ₂¹ ⁽¹ ⁾^|

)

( ₂ dx Ln x²

x X x

E π π

Que es una forma indeterminada por lo tanto E(X) no existe. La densidad Cauchy no tiene momentos de ningun orden.

(4)

Teorema

Si E(X^k) existe entonces E(X^J) con j<k tambien existe.

Prueba. Solo consideraremos el caso continuo. Sea X una variable aleatoria continua con funcvion de densidad f(x). E(X^j) existira si

El calculo del k‐esimo momento podria ser tedioso muchas veces y para simplificarlo se introduce la funcion generatriz de momentos.

∫ ∫

∫

≤ >

>

≤

∞

−

∞

<

∞ +

≤ +

≤

+

=

∞

<

=

1

|

| | |1

1

|

| 1

|

1 ) (

|

| )

(

) (

|

| )

(

|

| )

| (|

) (

|

| )

| (|

X X

k X

j

X j j

j j

dx x f x dx x f

dx x f x dx x f x X

E

dx x f x X

E

(5)

9.2. Funcion generatriz de momentos

Sea X una variable aleatoria se define su funcion generatriz de momentos (fgm) por M_X(t)=E(e^Xt),

Siempre que el valor esperado exista, para el numero real t.

Ejemplo 9.2 Calcular la fgm de una variable aleatoria binomial X con parametros n y p.

Solucion:

La ultima igualdad es simplemente una aplicacion del teorerma del binomio de Newton.

n et

x n x

n

x

t x

n x

n

x xt Xt

X e p p p p

x p n

x p e n e

E t

M ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( 1 )

0 0

− +

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ⁻

=

−

= ∑

∑

(6)

Mas ejemplos

Ejemplo 9.3. Si X es una variable Poisson con parametro λ, hallar su funcion generatiz de momentos.

Solucion:

λ λ λ

λ

λλ λ λ _e^t _e^t

x

x x t

x xt Xt

X e e e

x e e

x e e e

E t

M ⁻ ⁻ ⁺

∞

=

∞ −

=

− = = =

=

∑ ∑

0

0 !

) ( ) !

( ) (

Ejemplo 9.4. Si X es exponencial con parametro λ, hallar su funcion generatriz de momentos.

Solucion:

λ λ λ λ

λ λ λ

λ ^λ ^λ ^λ <

= −

− −

=

∫ ∫ ∫

^∞

∞

−

∞ −

∞

−

∞ −

∞

−

− si t

dx t e

t t dx

e dx

e e e

E t

M_X( ) ( ^Xt) ^xt ^x ⁽ ^t⁾^x ( ) ⁽ ^t⁾^x ,

(7)

Mas ejemplos (cont)

Ejemplo 9.5. Si X es una normal estandar N(0,1) , hallar su funcion generatriz de momentos.

Solucion

La ultima integral da 1, porque es la integral de una densidad Normal(t,1). Para hallar la densidad de una Normal general necesitamos la siguiente propiedad.

Propiedad 9.1: Si X tiene funcion generatriz M_X(t) entonces la fgm M_Y(t) de Y=aX+b esta dada por e^btM_X(at).

Prueba: M_Y(t)=E(e^Yt)=E[e^(aX+b)t]=E[e^bt+X(at)]=e^btE[e^X(at)]=e^btM_X(at) Ejemplo 9.6. Si X es N(μ,σ²), hallar su fgm.

Solucion: Estandarizando Z=(X‐μ)/σ. Luego, X=μ+σZ , asi usando a=σ y b=μ se llega a que M_X(t)=e^μtM_Z(σt)=e^μte^σ2t2/2=e^μt+σ2t2/2

2 / 2

/ ) ( 2

/

2 / 2 / ) ( 2

/ ) 2 ( 2

/

2 2

2

2 2 2

2

) 2 (

2 2

) 2 ( )

(

t t

x t

X

t t x xt

x x

xt Xt

X

e e dx

e t M

e dx e dx

e dx e e

E t

M

=

∫

∫ ∫

∫

∞

−

∞

−

∞

−

+

−

∞ −

∞

−

π

π π

π

(8)

Propiedades de la fgm

Teorema: Si X tiene fgm M_X(t) entonces

Por otro lado, la serie de Taylor de M_X(t) alrededor de t=0 esta dada por

Luego igualando los coeficientes de t^k en las dos series anteriores se tiene )

( )

0

)(

(k k

X E X

M =

Prueba:

∑

^∞

∑

=

∞

=

0 0 !

) ] (

! ) [ (

) ( ) (

k k

k Xt

X k

X E t k

E Xt e

E t M

∑

^∞

=

0 ) (

! ) 0 ) (

(

k

k k

X

X k

t t M

M

) ( )

0

)(

(k k

X E X

M =

(9)

Ejemplo 9.7

Luego, E(X^k) =M_X^(k)(0)=k!/λ^k.

Asi, E(X)=1/λ, E(X²)=2/λ², E(X³)=6/λ³, E(X⁴)=24/λ⁴. En consecuencia, Var(X)=σ²=E(X²)‐[E(X) ]²= 1/λ². Tambien,

γ₁=E(X‐μ)³/σ³=(E(X³)‐3 μ E(X²)+3 μ³‐μ³)λ³=[6/λ³‐ 6/λ³+ 2/λ³] λ³=2 y γ₂=E(X‐μ)⁴/σ⁴=(E(X⁴)‐4 μ E(X³)+ 6μ²E(X²)‐4 μ⁴+μ⁴)λ⁴‐3=[12/λ⁴‐ 72/λ⁴] λ⁴

‐3=‐57

Si X es una exponencial con parametro λ a) Hallar E(X^k)

b) Hallar los coeficientes de simetria y de kurtosis Solucion:

a) Del ejemplo 9.4 se tiene que M_X(t)=λ/(λ‐t). Una alternativa es derivar varias veces la fgm M_X(t) y por inspeccion encontrar una expresion para la k‐esima derivada . La segunda alternativa seria usar series de potencia de M_X(t). Asi,

∑

^∞

=

∞

=

− =

=

0

0 !

) ! ) (

/ ( 1 ) 1 (

k k

k

k k

X k

t k t

t t

M λ λ λ

(10)

Ejemplo 9.8

Si X es una Poisson con parametro λ. Hallar sus tres primeros momentos y su coeficiente de asimetria.

Solucion:

Si X es Poisson(λ) entonces su fgm es M_X(t)=e^‐λ+λet

Luego, M’_X(t)=λe^te^‐λ+λet , M’_X(0)= λ=E(X), M’’_X(t)= λe^te^‐λ+λet+ λ²e^2te^‐λ+λet M”_X(0)=λ(1+λ) =E(X²), M”’_X(t)= λe^te^‐λ+λet+ 3λ²e^2te^‐λ+λet+ λ³e^3te^‐λ+λet

M’’’_X(0)= λ(1+3λ+λ²)=E(X³).

Por lo tanto,

λ λ λ λ

λ λ

σ

γ λ 1 /

) (

2 ) 1

( 3 ) 3

1 ( )

(

2 / 3 3

3 2

2 3

3

1

= E X − = + + − + + = =

(11)

Ejemplo 9.9

Si X es N(0,1) hallar el k‐esimo momento de X con respecto al origen.

Solucion:

Si X es N(0,1) entonces por el ejemplo 9.5

∑

^∞

=

∞

=

∞

=

0

2

0 2

0 2 2

/

)!

2 (

! 2

)!

2 (

! 2

! ) 2 / ) (

( ²

k k

k

k k

k

k t

X k k

t k k

t k

e t t M

Obervando los coeficientes de t^Jse concluye que E(X^J)=0 si j=2k+1, para k=0,1,2,3,..

y que E(X^2k)=(2k)!/2^kk!. O sea que, todos los momentos impares de una normal son 0. Luego, el coeficiente de asimetria γ₁ debe ser cero y como E(X²)=1 y E(X⁴)=3, entonces el coeficiente de kurtosis γ₂ tambien da cero

(12)

Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes

Propiedad 9.2. Si X y Y son dos variabkes aleatorias independientes entonces M_X+Y(t)=M_X(t)M_Y(t)

Prueba: M_X+Y(t)=E(e^(X+Y)t]=E[e^Xte^Yt]=E[e^Xt]E[e^Yt], por independencia y en consecuencia M_X+Y(t)=M_X(t)M_Y(t)

La propiedad anterior se puede aplicar a una secuencia de n variables aleatorias independientes. Esto es,

∏

=

+ = = ⁿ

i

X X

X t M t M t M t

M n n i

1

... ( ) ( )... ( ) ( )

1 1

Si ademas, las variables X_i’s son igualmente distribuidas con fgm M_X(t) . Entonces,

n X

X

X t M t

M _... n ( ) [ ( )]

1₊ =

(13)

Funcion generatriz de una suma de

variables aleatorias independientes(cont )

Propiedad 9.3 : Sean X y Y dos variables aleatorias tales que M_X(t)=M_Y(t) entonces X y Y son identicamente distribuidas.

Ejemplo 9.10. Si X_i (i=1,…2) es una variable aleatoria Poisson con parametro λ_i. Considerando Independencia de las X_i’s , probar que X₁+X₂….+X_n es tambien una Poisson.

Solucion: Por el ejemplo 9.3 se tiene que

Aplicando la propiedad 9.2 se tendria

t i i i

e

X t e

M ( )= ⁻^λ⁺^λ

= ∑ ∑

= ⁻ ⁺ ⁻ ⁺ ⁻⁼ ⁺ ⁼

+

n

i n

i t i t i

n n t

n

e e

e X

X t e e e

M ¹ ¹ ¹ ¹

1

) ( ... ( ) ...

λ λ λ

λ λ

λ

Luego, X₁+X₂….+X_n tambien se distribuye como una Poissson con parametro λ₁+λ₂….+λ_n

(14)

Funcion generatriz de una suma de

variables aleatorias independientes(cont )

Ejemplo 9.11. Si X_i (i=1,…2) es una variable aleatoria Normal con media μ_I y varianza σ_i² . Considerando independencia de las X_i’s probar que X₁+X₂….+X_n se distribuye tambien en forma Normal.

Solucion: Por el ejemplo 9.6 se tiene que

Aplicando la propiedad 9.2 se tendria

2

2/

) 2

( ^t ^t

X

i i

i t e

M = ^μ ⁺^σ

∑ ∑

=

⁺ ⁺ ⁼ ⁺ ⁼

+

n

i

n

i i i

n n n

t t

t t t

t X

X

t e e e

M

¹ ¹

2 2 2

2 2

2 1 1 1

2 / ) ( ) ( 2 / 2

/

...

( ) ...

σ σ μ

μ σ

μ

Luego, X₁+X₂….+X_n tambien se distribuye como una Normal con media

∑= n

i i 1

μ y varianza

∑

= n

i i 1

σ 2

(15)

Funcion generatriz de una suma de

variables aleatorias independientes(cont )

Ejemplo 9.12. Si X_i (i=1,…2) es una variable aleatoria distrbuida como una χ² con n_i grados de libertad. . Considerando independencia de las X_i’s probar que X₁+X₂….+X_n se distribuye tambien como una χ².

Solucion: Una χ²con n grados de libertad es un caso particular de una Gamma con parametros α=n/2 y β=2. Luego, su funcion de densidad esta dada por

Luego, su fgm. esta dada por

( )^/² ² ^, ⁰

)

( _/₂

2 / 1 2

/ >

= Γ ⁻ ⁻ x

n e x x

f _n

x n

2 / 0

2 / ) 2 / 1 ( 1 2 / 2

/ 0

2 /

) 2 / 1 ( 1 2 /

0

2 /

2 / 1 2 /

) 2 1 (

1 )]

2 1 /(

2 )[

2 / ( )

2 1 (

1 2

) 2 / ( 2

) 2 / ] (

[ )

( _n _n

t x n n

n t x n n

x n xt Xt

X dx t

t n

e x dx t

n e dx x

n e x e e

E t

M = −

− Γ

= −

= Γ

= ^∞

∫

⁻ ⁻

∫

^∞ ⁻ ⁻ ⁻

∫

^∞ ⁻ ⁻ ⁻

Siempre que t<1/2. La ultima integral vale 1, porque es la integral de una densidad Gamma(n/2,2/(1‐2t)).

(16)

Funcion generatriz de una suma de

variables aleatorias independientes(cont )

Ejemplo 9.12 (cont).

Luego,

2 / 2

/ 2

.... /

1 1 1

) 2 1 (

1 )

2 1 ( .. 1 ...

) 2 1 ( ) 1

( ∑

−

− =

= −

=

+ ⁿ

i i n n

n n

X n X

t t

t t M

Por lo tanto, X₁+X₂….+X_n tambien se distribuye como una χ2 con

∑

= n

i

ni 1

grados de libertad