Curso de Métodos Cuantitativos Banco Central de Reserva del Perú Curso de Extensión agosto de 2012 Profesor: Ramón García-Cobián Jáuregui
Notas de clases basadas en el texto de E. Cerdá Tena, Optimización Dinámica.
0. Revisión de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencias
1. Sistemas dinámicos en tiempo continuo (i) x&= f(x) con f : Rn → Rn función de clase C1.
Se dice que el sistema (i) es lineal cuando la función f es una matriz constante.
Un equilibrio de (i) es cualquier p de Rn tal que 0 = f (p).
Se dice que un equilibrio p de (i) es asintóticamente estable si ∃ ε > 0, ∀ q de B(p, ε), si z(⋅) es una solución de (i) tal que z (0) = q, entonces p = limt→∝ z (t).
Se dice que un equilibrio p de (i) es (meramente) estable si ∀ε > 0, ∃ δ> 0 , tal que
∀q de B(p, δ), si z(⋅) es una solución de (i) tal que z (0) = q, entonces ∀t > 0, z (t) ∈ B(p, ε).
Se dice que un equilibrio p de (i) es inestable si él no es (meramente) estable.
De estas definiciones se sigue que (ser asintóticamente estable ⇒ ser estable) pero que
(ser asintóticamente estable ⇍ ser estable).
Teorema (de Hartman): Un equilibrio p de (i) es asintóticamente estable si todos los
valores propios de la matriz jacobiana Df (p) tienen parte real negativa; pero él es
inestable si algún valor propio de dicha matriz tiene parte real positiva.
Se llama sistema lineal asociado en p a (i) ó linealización en p de (i) al sistema x
p Df
x&= ( ) si es que p es un equilibrio de (i).
Nótese que si p´es otro equilibrio de (i), los sistemas lineales asociados a (i) en p y en p´serán diferentes en general.
Dado un sistema lineal (ii): x&= Ax, con A matriz n×n de números reales, la única
solución que cumple la condición inicial x (0) = a es x (t) = eAt a.
En esto, si es que M es una matriz cuadrada, se define la matriz exponencial eM por:
eM = I + M +(
! 2
1 ) M2 + … + (
! 1
k ) Mk + …. . En todo sistema lineal la solución general es una combinación lineal de las soluciones
básicas, las cuales son generadas por los valores propios de la matriz, como se indica a continuación.
Teorema : 1º) Si v es un vector propio de la matriz A correspondiente al valor propio
real λ, entonces una solución básica de (ii) es t ֏ eλt v.
2º) Si r + i s es un vector propio de A correspondiente al valor propio complejo α + i β, entonces son soluciones básicas de (ii) las funciones
t ֏ eαt (r cos βt – s sen βt) y t ֏ eαt (r sen βt + s cos βt).
Ejemplos: 1º) De equilibrio: El sistema (no lineal)
2 1 2
2 2 1 1
x x x
x x x x
−
=
−
=
&
&
tiene por
equilibrios a las soluciones del sistema algebraico:
2 1
2 2 1
0 0
x x
x x x
−
=
−
= .
Éstas son dos: p = (0, 0) y p´ = (1, 1). Para averiguar si estos equilibrios son estables o no, hay que hallar los valores propios de las matrices jacobianas del sistema en ellos.
Como Df (x) =
−
− 1 1
1 1
2 x
x , se sigue que Df (0, 0) =
−
− 1 1
1
0 y que Df (1, 1) =
−1 1
0
1 . Los valores propios de la primera se encuentran resolviendo la ecuación
característica de la primera matriz: 0 = det (
−
− 1 1
1
0 - λ
1 0
0
1 ) = (-λ)(-1 -λ)-(1)(-1);
esto da las raíces complejas
2 3 2
1mi
− .
Para la segunda matriz se obtienen las raíces reales -1 y 1.
Por lo tanto, se concluye que el equilibrio p es asintóticamente estable pero que el
segundo es inestable.
2º) De sistema lineal asociado: Para el sistema no lineal de arriba, se obtienen como sistemas lineales asociados en p y p´ los dos siguientes
2 1 2
2 1
x x x
x x
−
=
−
=
&
&
y
2 1 2
1 1
x x x
x x
−
=
=
&
&
. Ha de notarse que en todo sistema lineal el origen (0, 0) es un equilibrio.
3º) De soluciones básicas:
a) Para el sistema lineal asociado en p´ : Como la matriz es
−1 1
0
1 , sus valores
propios son -1 y 1 con respectivos vectores propios
1
0 y
1
2 .
Las correspondientes soluciones básicas son et
1
2 y e-t
1
0 .
Luego, la solución general es x(t) = c1 et
1
2 + c2 e-t
1
0 , esto es,
t t
t
e c e c t x
e c t x
+ −
=
=
2 1 2
1 1
) (
2 )
( .
Si, por ejemplo, se hubiera pedido que x(0) = (3, 1), entonces los valores de las constantes c1 y c2 habrían salido de
2 1 0 2 0 1
1 0 1
1
2 2 3
c c e c e c
c e c
+
= +
=
=
=
− .
Así, resultaría que c1 = 3/2 y c2 = -1/2. Por ende, la solución buscada sería x(t) = et
2 / 3
3 + e-t
−1/2
0 .
b) Para el sistema lineal asociado en p : Como la matriz es
−
− 1 1
1
0 , sus valores
propios son
2 3 2 1mi
− , con vectores propios
1
2 im
− 3
0 .
Las correspondientes soluciones básicas son ))
2 ( 3 3 ) 0
2 cos( 3 1 ( 2
2
/ t sen t
e t
− −
− y
2 )) cos( 3 3 ) 0
2 ( 3 1 ( 2
2
/ sen t t
e t
+ −
− .
Luego, la solución general es
2 )) cos( 3 3 2 )
( 3 ( 2 ))
( 3 3 2 )
(cos( 3 )
(
2 )) ( 3 2 ( 2 ))
cos( 3 2 ( )
(
2 / 2 2
/ 1 2
2 / 2 2
/ 1 1
t t
sen e
c t sen t
e c t x
t sen e
c t e
c t x
t t
t t
− +
+
=
+
=
−
−
−
−
.
Si, por ejemplo, se hubiera pedido que x(0) = (2, 1), entonces los valores de las constantes c1 y c2 habrían salido de
) 3 ( ) 1 ( 1
) 0 ( ) 2 ( 2
2 1
2 1
− +
=
+
= c c
c
c , de donde
0 1
2 1
=
= c
c .
Así, la solución general habría sido
2 )) ( 3 3 2 )
(cos( 3 )
(
2 ) cos( 3 2 )
(
2 / 2
2 / 1
t sen t
e t x
t e
t x
t
t
+
=
=
−
−
.
Caracterización gráfica para n = 2:
2. Sistemas dinámicos en tiempo discreto
(i) xt+1 = f (xt) con f: Rn → Rn función de clase C1. Se dice que el sistema (i) es lineal cuando la función f es una matriz constante.
Un equilibrio de (i) es cualquier p de Rn tal que p = f (p).
Se dice que un equilibrio p de (i) es asintóticamente estable si ∃ε > 0, ∀ q de B(p, ε), si zt es una solución de (i) tal que z0 = q, entonces p = limt→∝ zt . Se dice que un equilibrio p de (i) es (meramente) estable si ∀ε > 0, ∃δ> 0 , tal que
∀q de B(p, δ), si zt es una solución de (i) tal que z0 = q, entonces ∀t > 0,
zt ∈ B(p, ε).
Se dice que un equilibrio p de (i) es inestable si él no es (meramente) estable.
De estas definiciones se sigue que (ser asintóticamente estable ⇒ ser estable) pero que (ser asintóticamente estable ⇍ ser estable).
Teorema (de Hartman): Un equilibrio p de (i) es asintóticamente estable si todos los valores propios de la matriz jacobiana Df (p) tienen módulo menor que 1; pero él es
inestable si algún valor propio de dicha matriz tiene módulo mayor que 1.
Se llama sistema lineal asociado en p a (i) ó linealización en p de (i) al sistema
t
t Df p x
x+1 = ( ) si es que p es un equilibrio de (i).
Nótese que si p´es otro equilibrio de (i), los sistemas lineales asociados a (i) en p y en
p´serán diferentes en general.
Dado un sistema lineal (ii): xt+1= Axt, con A matriz n×n de números reales, la única
solución que cumple la condición inicial x0 = a es xt = At a.
En todo sistema lineal la solución general es una combinación lineal de las soluciones básicas, las cuales son generadas por los valores propios de la matriz, como se indica a continuación.
Teorema : 1º) Si v es un vector propio de la matriz A correspondiente al valor propio
real λ, entonces una solución básica de (ii) es t ֏ λt v.
2º) Si r+is es un vector propio de A correspondiente al valor propio complejo λ = α+iβ = |λ|(cosθ + i senθ), entonces son soluciones básicas de (ii) las funciones t ֏ |λ|t (r cos θt – s sen θt) y t ֏ |λ|t (r sen θt + s cos θt).
Ejemplos: 1º) De equilibrio: El sistema (no lineal)
t t t
t t t t
y x y
y y x x
−
=
−
=
+ +
1
1 tiene por
equilibrios a las soluciones del sistema algebraico
y x y
y xy x
−
=
−
= .
Éstas son dos: p = (0, 0) y p´= (3, 3/2).
Para averiguar si estos equilibrios son estables o no, hay que hallar los valores propios de las matrices jacobianas del sistema en ellos.
Como Df (x) =
−
− 1 1
1 x
y , se sigue que Df (0, 0) =
−
− 1 1
1
0 y que Df (3, 3/2) =
−1 1
2 2 /
3 .
Los valores propios de la primera son -
2 3 2
1 mi , y los de la segunda son (1m 57)/4.
Como 1 = |-
2 3 2
1 mi | , no puede saberse si p es o no estable. Como 1 < |(1m 57)/4|,
resulta que p´ es inestable.
2º) De sistema lineal asociado: Para el sistema no lineal de arriba, se obtienen como sistemas lineales asociados en p y p´ los dos siguientes
t t t
t t
y x y
y x
−
=
−
=
+ + 1
1 y
t t t
t t t
y x y
y x x
−
= +
=
+ +
1
1 2
2 3
.
3º) De soluciones básicas:
a) Para el sistema lineal asociado en p´ : Como la matriz es
−1 1
2 2 /
3 , sus valores
propios son las raíces de 0 = λ2 -
2 7 2
1λ− , esto es: (1m 57)/4.
Vectores propios correspondientes a estos valores propios son, por ejemplo,
+
1
4 / ) 57 5
(
y
−
1 4 / ) 57 5
( .
Entonces las correspondientes soluciones básicas son t ֏
+ +
14 57 5 4 )
57
(1 t y
t ֏
−
−
1 4
57 5 4 )
57
(1 t .
Luego, la solución general del sistema asociado en p´ es:
t t
t
t t
t
C C
y
C C
x
4 ) 57 (1
4 ) 57 (1
4 ) 57 )(1
4 57 (5
4 ) 57 )(1
4 57 (5
2 1
2 1
+ −
= +
− + −
+
= +
.
b) Para el sistema lineal asociado en p se encuentra que la solución general es una combinación lineal de las dos soluciones básicas siguientes.
(1)t( )
3 (2 2
3 0 3 )
cos(2 2 / 1
1 πt sen πt
− −
) y (1)t( )
3 cos(2 2
3 0 3 )
(2 2 / 1
1 sen π t π t
− −
).
Caracterización gráfica para n = 2:
Caso de sistemas lineales inhomogéneos
1º) En tiempo continuo: (I) x&(t)= Ax+ f(t)con f : ℝ→ℝn y A matriz n × n de reales. 1 Hay n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Con ellas
como columnas defínase la matriz Φ(t).
Entonces Φ&(t)= AΦ(t). Definir Y(t) := Φ(t)
∫
tΦ s
−f s ds
0
1
( )
)
(
.Entonces, se sigue que Y t =Φ t
∫
tΦ s − f s ds0
1 ( )
) ( ) ( ) ( &
& + Φ(t)Φ(t)-1
f (t) =
AΦ(t)
∫
tΦ s − f s ds0
1 ( )
)
( + f (t) = A Y (t) + f (t).
Luego, Y(t) es una solución particular de (I).
2º) En tiempo discreto: (II) xt+1 = Axt + ft con ft∈ ℝ y A matriz n × n de reales2. Hay n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Con ellas
como columnas defínase la matriz Φt .
1 Si A es invertible, entonces una solución particular de (I) es x(t) = -A-1f (t).
2 Si (I – A) es invertible, entonces una solución particular de (II) es xt = (I – A)-1f t.
Entonces Φt+1 =AΦt. Definir Yt := Φt
∑
t Φs− fs− 11
1 .
Entonces, se sigue que Yt+1 =
∑
+ − −+ Φ
Φ 1
1
1 1 1
t
s s
t f = AΦt (
∑
t Φs− fs−1
1
1 + Φt+1−1ft) = AYt + AΦtΦt+1-1
ft = AYt + Φt+1Φt+1-1
ft = AYt + ft. Luego, Yt es una solución particular de (II).
1. Cálculo de Variaciones
Formulación del problema (PCV): Dados los momentos t0 < t1 en R, la función de clase C2, F: R3→R, y los estados a y b en R; se quiere hallar una función de clase C2, x(⋅) que maximice la
∫
10
) ), ( ), ( (
t
t
dt t t x t x
F & sujeta a: x(t0) = a y x(t1) = b.
Nótese que si el problema consistiera en minimizar, en vez de maximizar, no haría falta una nueva teoría, pues la solución que minimiza la integral de F es la que maximiza la integral de –F.
Ejemplo: Hallar la función real de variable real cuya gráfica tenga longitud mínima
entre las que pasan por dos puntos dados, (a, α) y (b, β), siendo a ≠ b.
Este problema se formula como: min
∫
b +a
dt t x( )2
1 & sujeto a: x (a) = α ∧ x (b) = β.
Nociones preliminares:
En el conjunto Ω de las funciones reales de clase C2 definidas en [t0 , t1] se definen las operaciones de adición y de multiplicación por escalares así:
1º) Si x ∈Ω ∧ y ∈Ω, entonces x + y : [t0, t1] →R, se define por (x + y) (t):= x(t) + y(t).
2º) Si x ∈Ω ∧ γ ∈R, entonces γ x : [t0, t1] →R, se define por (γ x)(t):= γ x(t).
Se comprueba fácilmente que Ω, provisto de estas dos operaciones, es un espacio
vectorial real. Ahora bien, en dicho espacio vectorial se define una norma así:
x := max {|x(t)|: t∈[t0, t1]}.
Ejemplos: Si t0 = 1 y t1 = 5, entonces para x(t) = t2, será x = max {t2 : t ∈ [1, 5]} = 25;
y si y(t) = 1 + t – t2/4, se tendrá y = max {ñ1 + t – t2/4ñ : t ∈ [1, 5]} = 2.
Dada una norma en un espacio vectorial, ella induce una métrica en él, i. e., una función de distancia entre elementos del espacio, como se indica a continuación. Si x y y son
elementos de Ω, entonces la distancia entre ellos será d (x, y):= x - y . Así, para las funciones del ejemplo sería d(x, y) = max{ñt2 – (1 + t – t2/4)ñ: t∈[1, 5]} = 25¼.
Teniendo ya una métrica el espacio vectorial, en él puede definirse la bola abierta de centro x y de radio r como B(x, r):= {z∈Ω : d(x, z) < r}.
En el contexto de optimización, se distingue entre máximo global y máximo local.
El primero es el que lleva a su máximo valor posible a la integral de la función objetivo;
el segundo es uno tal que en alguna bola abierta centrada en él, ningún otro elemento lleva a la integral de la función objetivo a un valor mayor que el que alcanza con el máximo local. Así, x* de Ω es un máximo global del PCV si ∀y de Ω,
∫
10
) ), (
* ), (
* (
t
t
dt t t x t x
F & ≥
∫
10
) ), ( ), ( (
t
t
dt t t y t y
F & si es que y(t0) = a = x*(t0) ∧ y(t1) = b = x*(t1).
Pero, una xde Ω es un máximo local del PCV si ∃ r > 0 tal que ∀ y de B(x, r), se tiene que
∫
10
) ), ( ), ( (
t
t
dt t t x t x
F & ≥
∫
10
) ), ( ), ( (
t
t
dt t t y t y
F & si es que y(t0) = a = x(t0) ∧ y(t1) = b = x(t1).
Ecuación de Euler como condición necesaria de primer orden:
Teorema: Una función x de Ω es un máximo local del PCV sólo si satisface a la siguiente ecuación diferencial, llamada de Euler: 0 = Fx(x(t),x&(t),t)- F (x(t),x(t),t)
dt d
x &
&
en [t0, t1]. En esta ecuación Fx :=
x F
∂
∂ , Fx&:=
x F
&
∂
∂ y dt
dF , derivada total de F, es igual a +
x t t x t x
Fx( ( ),&( ), )& Fx(x(t),x&(t),t)x&& Ft(x,x&,t)
& + .
Ejemplo:
Para el PCV de la página anterior, min
∫
b +a
dt t x( )2
1 & sujeto a: x (a) = α ∧ x (b) = β,
vemos que, ya que él equivale a: max
∫
b− +a
dt t x( )2
1 & sujeto a: x (a) = α ∧ x (b) = β , se tendrá :F(x(t),x&(t),t) = − 1+x&(t)2 , por lo que Fx = 0 y
) 1 ( x2 Fx x
&
&
&
+
= − .
Entonces, la ecuación de Euler es: 0 = (1+x&(t)2)-3/2 x&& , i. e., 0 = x&& , ya que el otro factor es distinto de 0. Las soluciones de esa ecuación diferencial son todas las que se obtienen dando valores arbitrarios a los parámetros h y k en x(t) = h + kt. Entre ellas, las
condiciones extremas exigen que α = h + a k ∧ β = h + kb, de donde sólo queda que k = (β - α)/(b - a) ∧ h = α - a (β - α)/(b - a). Luego, si el problema tuviera solución, ella habría de ser la función x (t) = α - a (β - α)/(b - a) + ((β - α)/(b - a)) t.
Otro ejemplo: Se pide max
∫
2 − −0
2) 12
( tx x& dt sujeto a: x(0) = 2 ∧ x(2) = 12.
La ecuación de Euler resulta ser: 0 = -12 t - ( 2x) dt
d − & = -12t + 2 x&& , i. e., x&& = 6t.
Entonces, integrando, se obtienen todas las extremales (así se llaman las soluciones de la ecuación de Euler). Ellas son dadas por x(t) = t3 + ht + k. Las condiciones extremas
exigen que 2 = k ∧ 12 = 8 + 2h +k, de donde, h = 1 ∧ k = 2, por lo que la única candidata a solución es la función x (t) = t3 + t +2.
Nota: Para problemas de minimización, la ecuación de Euler es la misma, como fácilmente puede comprobar el estudiante diligente.
Casos especiales de la ecuación de Euler:
1º) En la función F no aparece x:
Como Fx = 0, se obtiene que 0 = Fx dt
d
&, lo que equivale a Fx&= h, siendo h una constante
arbitraria.
Ejemplo: max
∫
1 −0
2
2 )
(t x& dt sujeto a: x(0) = 1 ∧ x(1) = 2.
La ecuación de Euler es: -2 x& = h , de donde x(t) = -ht/2 + k, que con las condiciones extremas da: 1 = x(0) = k ∧ 2 = x(1) = -h/2 + k. De esto resulta que h = -2 ∧ k = 1, por lo que la única posible solución es x(t) = t + 1.
2º) En la función F no aparece x& :
Como Fx&= 0, se obtiene que 0 = Fx , que es una ecuación algebraica que no depende de constantes arbitrarias, por lo que difícilmente se satisfarán las condiciones extremas.
Ejemplo:
Se pide min
∫
1 − +0
3 2)
( t x dt sujeto a: x(0) = α ∧ x(1) = β, con α y β dados.
La ecuación de Euler es: 0 = Fx = 3 (-t + x2) 2x, de donde ∀t, x(t) = 0 ∨ x(t) = ± t . Hay cuatro casos posibles:
(i) α = 0 = β ; entonces la única posible solución continua sería x(t) = 0 ∀t ; (ii) α = 0 ∧ β = 1; entonces la única posible solución continua sería x(t) = √t ∀t ;
(iii) α = 0 ∧ β = -1; entonces la única posible solución continua sería x(t) = - t , ∀t . En cualquier otro caso, no habría solución al problema planteado.
3º) En la función F no aparece t:
Como F no depende de t, F F x F x dt
d
x x& &&
&
+
= , y, como según la ecuación de Euler,
Fx = Fx dt
d
&, se obtiene F x Fx
dt F d dt
d
x x & &&
&
& +
=( ) = (Fx) dt
d
x&
& , de lo cual se sigue que ha de
ser constante la expresión F - Fxx&
& . Ejemplo: Se pide max
∫
1 −0
2) 3 2
( x&x dt sujeto a: x(0) = 0 ∧ x(1) = 1.
Entonces, (2 – 3xx&2)- (-6x x& ) x& = h, de donde x&x2 = H (cte.). Así, pues,
x x&= H , de
donde
∫
xdx=∫
Hdt; ahora, de esto se sigue que x3/2 = ( ) 23 Ht+K , que con las condiciones extremas dan: K = 0 ∧ H = 4/9. Por lo tanto, la única posible solución sería la función x(t) = t2/3.
Condición de Legendre como condición necesaria de 2º orden para optimalidad:
Teorema: Una función x* de Ω es un máximo local del PCV sólo si Fx&&x(x*(t),t)≤0, ∀t de [t0, t1]. Además, una función x* de Ω es un mínimo local del PCV sólo si
) ), (
* (x t t
Fx&&x ≥0, ∀t de [t0, t1].
Ejemplo: Dado el problema de opt
∫
1 + +0
2
2 2 )
(x x& xet dt sujeto a: x(0) = 0 ∧ x(1) = ½ , la ecuación de Euler es 0 = (2x + 2et) – d(2 x& )/dt , que equivale a: &x&−x=et, cuya
solución general es x(t) = A et + B e-t +t et
2 . Las condiciones extremas dan como única posible solución a la función x(t) = t t t et
e e e
e
) 2 )(
1 (
2 − +
+ − . Como Fx&x&= 2, sólo se cumple la condición de Legendre necesaria para un mínimo local. Así, no hay solución para el problema si se trata de maximizar, pero quizá sí la haya para el problema de minimizar.
Condiciones de transversalidad
El PCV planteado es uno de momentos inicial y final dados así como de estados inicial y final también dados. Además de éste, hay otros tipos de problemas, a saber:
a) problema de estado final libre pero estado inicial y momentos inicial y final dados;
b) problema de estado y momento finales libres pero estado y momento iniciales dados;
c) problema de momento final libre pero estado final y momento y estado iniciales dados;
d) problema de estado y momentos iniciales parcialmente determinados por cierta ecuación dada: 0 = g(t, x), con estado y momento iniciales dados.
En todos estos casos siguen vigentes las condiciones necesarias dadas por la ecuación de Euler y la condición de Legendre, pero aparece una nueva condición necesaria, a
saber, la llamada condición de transversalidad que se abreviará por Ŧ.
Para enunciarla, se requiere definir el vector de ortogonalidad : v⊥:= (F - x&Fx&,Fx&).
Ahora bien, el enunciado general de la condición Ŧ es el siguiente.
En el punto terminal (t1*, x(t1*)) de una curva óptima, x*(⋅), el vector de ortogonalidad, v⊥, ha de ser perpendicular (u ortogonal) a cualquier dirección admisible3 desde el punto terminal.
3 Se llama dirección admisible desde el punto terminal a cualquier recta tangente a una curva que parta desde dicho punto terminal y satisfaga las condiciones finales dadas durante un lapso positivo.
Veamos qué se sigue de esto en cada uno de los casos antes mencionados.
Caso (a): Como la única dirección admisible es la vertical, el v⊥ha de ser horizontal, por lo cual su segundo componente ha de ser nulo, i. e., Ŧ es: 0 = Fx(x*(t1),x&*(t1),t1)
& .
Caso (b): Como toda dirección desde el punto terminal (t1, x*(t1)) es dirección admisible puesto que son libres el momento y el estado finales, entonces el v⊥ ha de ser el vector nulo. i. e., Ŧ es:
0 = F (x*(t1),x&*(t1),t1) - ( ) ( *( ), *( ), )
1 1 1
1 F x t x t t
t
x& x& & ∧ 0 = Fx&(x*(t1),x&*(t1),t1). Ha de notarse que esto equivale a:
F (x*(t1),x&*(t1),t1)= 0 ∧ 0 = ( *( ), *( ), )
1 1
1 x t t
t x
Fx &
& .
Caso (c): como en este caso la única dirección admisible desde un punto terminal es la horizontal, el v⊥ ha de ser vertical, por lo cual su primer componente habrá de anularse en el punto terminal, i. e., Ŧ es: 0 = F (x*(t1),x&*(t1),t1) - ( ) ( *( ), *( ), )
1 1 1
1 F x t x t t
t
x& x& & . Caso (d): Como en este caso la única dirección admisible desde el punto terminal es la de la recta tangente en dicho punto a la gráfica de la función 0 = g (t, x), se deduce que el vector v⊥ habrá de ser paralelo al gradiente de la función g en el punto terminal, i. e., Ŧ es: grad g (t1 , x*(t1)) // (F - x&Fx&,Fx&)en (t1 , x*(t1)) 4.
Ha de notarse que incluso en el PCV se cumple el enunciado general de la condición de Ŧ, pues, no habiendo ninguna dirección admisible en el punto terminal, el vector de ortogonalidad en dicho punto es absolutamente libre de tomar cualesquiera valores, ya que no está obligado a ser perpendicular a ninguna dirección en particular.
Ejemplos
1) Se pide optimizar
∫
2 +0
2)
(tx& x& dt sujeto a: x (0) = 0. Entonces, la ecuación de Euler es: 0 = (t 2x)
dt
d + & , de donde se sigue que ha de ser constante la expresión t+2x&. Esta ecuación se resuelve fácilmente dando como solución general x (t) = -t2/4 + kt/2 + h. La condición inicial da por resultado que 0 = h. Así, sólo quedan como posibles soluciones las funciones de la forma x (t) = -t2/4 + kt/2. Veamos lo referente a la condición de Legendre: como Fx&x&(en t = 2) = 2 ≥ 0, se ve que sólo puede haber mínimos locales. Finalmente, la condición de Ŧ exige que 0 = Fx&(en t
= 2) = (t+2x&)|t = 2 = 2 + 2(-1 + k/2) = k, por lo que la única posible solución es x*(t) = -t2/4.
2) Se pide optimizar
∫
1 +0
2
2 )
(x x& dt sujeto a: x(0) = 0 ∧ x(1) ≥ 1.
La ecuación de Euler es: 0 = x x x
dt
x− d (2&)⇔0= −&&
2 , de donde se sigue que las
extremales del problema son dadas por x(t) = Aet + Be-t, que con la condición inicial da 0 = A + B, por lo que las extremales se reducen a x(t) = A(et - e-t).
4 Recuérdese que el gradiente de una función g (t, x) := ( , ) x g t g
∂
∂
∂
∂
Además, ya que x(1) ≥ 1, ha de ser A(e - e-1) ≥1, de lo que se sigue que A > 0.
La condición de Legendre: Fx&x& = 2 ≥ 0, de donde se sigue que sólo puede haber mínimos locales.
Ahora, supongamos, momentáneamente, que x(1) > 1; entonces la condición de Ŧ implicaría que 0 = Fx&|t = 1 = 2x&(1) = 2 A (e - 1/e), que es imposible ya que A ha de
ser positivo como se estableció cinco líneas más arriba.
De todo esto concluimos que x(1) = 1, i. e., A = e /(e2-1), y que la única posible solución es x* (t) = ( )
2 1
t
t e
e e
e − −
− .
3) Se pide optimizar
∫
1 +0
2 10 )
(
t
dt tx
x& sujeto a: x(0) = 1 ∧ t1 > 0.
La ecuación de Euler: 0 = x t x
dt
t d (2&) 10 2&&
10 − = − por lo que las extremales son dadas por x= t2 +h∧x t = t3+ht+k
6 ) 5 ( 2
/ 5
& . Con la condición inicial se obtiene
que las extremales se reducen a x (t) = 1 6
5t3+ht+ . La condición de Legendre: Fx&x&= 2 ≥ 0, por lo que sólo puede haber mínimos
locales.
La condición de Ŧ: 0 = (F−x&Fx&)|pto. term. ∧ 0 = Fx&|pto. term.. Así, se obtiene que 2( t12+h
2
5 ) = 0 ) .
2 (5 ) 6 1
(5 10 ) 2 10 (
0= x2+ tx− x2 = t1 t13+ht1+ − t12+h 2
∧ & &
Finalmente, de estas dos últimas condiciones se obtiene que t1 = (3/5)1/3 ∧ h =
3 /
)2
5 (3 2
−5
, por lo que la única posible solución es x (t) = (5/6) t3 – (5/2)(3/5)2/3t + 1, con t1 = (3/5)1/3.
4) Se pide optimizar
∫
1 +0
2 )
3 (
t
dt x
x& sujeto a: x (0) = 0 ∧ x (t1) = 5.
La ecuación de Euler: 0 = 1 - ( x6 ) dt
d & = 1 - x&6 , por lo que las extremales son dadas &
por t ht k
t x h t
x= + ∧ = + +
) 12 6 (
1 2
& . Ahora, con la condición inicial sale que k = 0.
La condición de Legendre: Fx&x& =6≥0, por lo que sólo puede haber mínimo local.
La condición terminal: 5 = x (t1) = 1
2 1
12t +ht . La condición de Ŧ: 0 = (F −x&Fx&)|pto. term.= (x−3x&2)|pto.term.= 5 – 3 (t1/6 + h)2. De estas dos últimas condiciones se obtiene que t1 = 60 ∧ h = 0, por lo que la única posible solución es x (t) = t2/12.
5) Encontrar, si existe, la senda más corta desde el punto (0, 1) hasta la recta de ecuación: x = 3t. El problema puede ponerse en la forma típica del cáculo de
variaciones: min
∫
1 +0
1 2 t
dt
x& sujeto a: x (0) = 1 ∧ x (t1) – 3t1 = 0.
La ecuación de Euler: 0 = ) 1
( 2
x x dt
d
&
&
+ , de donde resulta:
1 x2
x
&
&
+ constante, por lo que queda x& = h, es decir, x = h t + k, y con la condición inicial se obtiene k = 1.
La condición de Legendre:
2 / 3 2) 1 (
1 Fxx x
&
&
&
= + > 0, por lo que sólo puede haber
mínimos locales. De la condición terminal se obtiene h t1 + 1 = 3 t1. (i) La condición de Ŧ : v⊥ (pto. term.) // grad ψ (pto. term.), donde ψ (t , x) := - 3 t + x.
Esto es: - 3 = ( )
x x
F F x F
&
&
&
− |pto. term. , i. e., h =
3 ) 1 (t1 =−
x& (ii) lo que con (i) da que t1 = 3/10.
Entonces, la única posible solución es la función x (t) = 1 – t /3 con t1 = 3/10.
Condiciones suficientes para óptimos del PCV
Han de considerarse algunas variantes del problema típico del Cálculo de Variaciones.
La diferencia entre ellas consiste en la condición final solamente. Así, los problemas que han de ocuparnos ahora son:
PCV1: max
∫
10
) , , (
t
t
dt t x x
F & sujeto a: x (t0) = a ∧ x (t1) = b ;
PCV2: max
∫
10
) , , (
t
t
dt t x x
F & sujeto a: x (t0) = a ∧ x (t1) ≥ b ;
PCV3: max
∫
10
) , , (
t
t
dt t x x
F & sujeto a: x (t0) = a ∧ x (t1) libre.
Para todos estos problemas vale la siguiente condición suficiente.
Teorema: Si en cualquiera de los PCVi , con i ∈ {1, 2, 3}, la función F es cóncava en (x &, ) y x* (⋅) satisface la condición de Ŧ, la ecuación de Euler y las condiciones x extremas; entonces x*(⋅) es un máximo global.
Nota: Si en vez de maximizar se quisiera minimizar, entonces la concavidad en (x &, ) x de la función F ha de sustituirse por la convexidad en (x &, ) para garantizar que se tiene x un mínimo global .
Ejemplo: Se quiere min
∫
1 +0
2
2 )
(x x& dt sujeto a: x (0) = 1 ∧ x (1) libre.
La función F es convexa en (x &, ) pues su matriz hessiana correspondiente a esas x
variables es positivo-definida, ya que
=
2 0
0 2
x x x x
x x xx
F F
F F
&
&
&
&
, matriz todos cuyos autovalores son positivos. Así, la posible solución hallada mediante la ecuación de Euler, la condición de Ŧ y la condición inicial, a saber x*(t) = (1 + e2)-1 (et + e2-t), es un mínimo global.
Extensiones del Cálculo de Variaciones:
1) Funcional objetivo más general:
El problema ahora es el PCV′: max (
∫
10
) , , (
t
t
dt t x x
F & + S (x (t1))) sujeto a: x (t0) = a, en donde son datos los momentos t0 y t1 así como las funciones F(⋅, ⋅, ⋅) y S(⋅) . Teorema: Una función x(⋅) es un máximo local del problema PCV′ sólo si satisface la ecuación de Euler: 0 = x Fx
dt
F − d &, la condición de Legendre: Fx&x& ≤0, la condición
inicial y la nueva condición de Ŧ : 0 = (Fx& +S′( tx( )))|pto. term.. Demostración:
Como S(x(t)) S (x(t))x(t) dt
d = ′ & , se tiene que
∫
1 ′ = −0
)) ( ( )) ( ( )
( 1
t
t
a x S t x S dt x x
S & .
Entonces, la funcional objetivo es
∫
1 + ′ −0
) ( ) ) ( ) , , ( (
t
t
a S dt x x S t x x
F & & . Y como maximizar
una función equivale (en términos de soluciones) a maximizar dicha función sumada
con una constante cualquiera, el problema puede formularse como el de
max
∫
1 + ′0
) ) ( ) , , ( (
t
t
dt x x S t x x
F & & sujeto a: x (t0) = a.
Para éste, la ecuación de Euler es: 0 = Fx+S′′(x)x& (F S(x)) dt
d
x+ ′
− & = x Fx
dt
F − d & .
La condición de Legendre: Fx S x Fxx
x x x S
x F & & &&
&
& + ′ =
∂
= ∂ + ′
∂
≥ ∂ ( ( ) ) ( ( ))
0 2
2
. La condicición de Ŧ : 0 (F(x,x,t) S(x)x)
x
&
&
& + ′
∂
= ∂ |pto. term.= (Fx& +S′(x))|pto. term..
Teorema: Si F es cóncava en (x &, ) y S(⋅) es cóncava, entonces cualquier función x (⋅) x que satisfaga la ecuación de Euler, la condición de Legendre, la condición de Ŧ y las condiciones extremas es un máximo global.
Nota: Si se quisiera minimizar, en vez de concavidad en (x &, ) para la función F, habría x de exigirse convexidad en (x &, ); además, para la función S(⋅) también habría que x exigirse convexidad en lugar de concavidad.
Ejemplo: Se pide min (
∫
1 + +0
2 2
2 ) (1)
(x x& dt x ) sujeto a: x (0) = 1.
La ecuación de Euler: x−x&& = 0, de donde x (t) = A et+ Be-t. De la condición inicial sale que 1 = A + B, por lo que x(t) = A et + (1 - A) e-t.
La condición de Legendre: Fx&x& =2≥0, por lo que sólo puede haber mínimos locales.
La condición de Ŧ : 0 = (2x&+2x)|pto. term. = 2 (x&(1)+x(1)) = 2 Ae, de donde A = 0 ∧ B = 1. Entonces, la única posible solución es x (t) = e-t. Como la función S(s) = x2 es convexa y la F es (x &, )-convexa, se satisfacen las x
condiciones suficientes para que la función x (t) = e-t sea un mínimo global.
2) Espacio de estados multidimensional:
Ahora la variable x es vectorial de dimensión n, i. e., que x ∈Rn. El problema: max
∫
10
) ), ( ),..., ( ), ( ),..., (
( 1 1
t
t
n
n t x t x t t dt
x t x
F & & sujeto a: x (t0) = a ∧ x1 (t1)
= b1 ∧ … xk (t1) = bk con xk+1(t1), …, xn(t1) libres.
Se tienen n ecuaciones de Euler: F i n dt
F d
i
i x
x − ∀ ≤
= &
0 . Hay también n – k condiciones de Ŧ : F ptoterm i k
xi ∀ >
= ( . .)
0 & .
La condición de Legendre consiste en que sea negativo-semidefinida la matriz hessiana
x
Fx&& en (x &, ). x La condición suficiente es que F sea (x &, )-cóncava para todo momento t. x
Ejemplo: Se pide min
∫
1 + +0
1 2 2 2
1 2 )
(x& x& x dtsujeto a: x (0) = (1, 0) ∧ x (1) = (3/2, 1).
Las ecuaciones de Euler: 0 = 2 - 2x&&1 ∧ 0 = 0 - 2x&&2, de donde: x1(t) = t2/2 + At + B ∧ x2(t) = Ct + D.
De las condiciones extremas se sigue: A = 0 ∧ B = 1 ∧ C = 1 ∧ D = 0.
Así, la única candidata a mínimo local es la función vectorial (x1(t), x2(t)) = (t2/2 + 1, t).
La condición de Legendre: Fx&x& =
2 0
0
2 es positivo-definida, por lo cual sólo puede haber mínimos locales.
Para ver si se cumplen las condiciones suficientes hay que examinar la convexidad de F
en (x &, ): x
=
2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
x
Hx& que es positivo-semidefinida, y por ende, sí se cumple
la suficiencia pudiendo afirmarse que la función antes hallada sí es un mínimo global.
3) Derivadas de orden superior en la funcional objetivo:
Ahora el problema es: max
∫
10
) , ,..., , ,
( ( )
t
t
n t dt x x x x
F & && sujeto a:
1 1
) 1 ( 1
1 1
1 0
) 1 ( 1
0
0) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
(t =a∧x t =a ∧ ∧xn− t =an− ∧x t =b∧x t =b ∧ ∧xn− t =bn−
x & &
La ecuación de Euler-Poisson es: 0 = 2 ... ( 1) ( )
2
xn
n n n x
x
x F
dt F d
dt F d dt
F − d & + &&− + − .
Ejemplo: Se quiere min
∫
10 2dt x&
& sujeto a: x(0) = 0 = x(1) ∧ x&(0)=a∧x&(1)=b.
La ecuación de Euler-Poisson es: 0 = x x Fx dt F d dt
F d & 2 &&
+ 2
− = 0 – 0 + 2(2 )
2
dt x
d && = 2 x(4). De esto se sigue que x(t) = h t3/6 + k t2/2 + l t + m.
Las condiciones extremas dan: m = 0 ∧ l = a ∧ h = 6 (a + b) ∧ k = -2 (b + 2a), luego x(t)
= (a + b) t3 – (b + 2a) t2 + at es la única posible solución. Además se verifica fácilmente que se cumplen las condiciones de Legendre y la de concavidad.
Interpretación económica:
Se considera un modelo de gestión de reservas. En un momento dado, t0 , la empresa posee una cantidad dada, x0 , de reservas de cierto producto. Por almacenamiento se pagan S/. c diariamente por unidad del producto.
En cada momento t de un lapso dado, [t0 , t1], la tasa de venta es de q(t) unidades diarias del producto. Esto genera un beneficio de S/. Π(q (t)) por día, siendo Π(⋅) una función dada. Se quiere hallar la manera de ir vendiendo a fin de maximizar las ganancias en el horizonte temporal dado. Esto es:
max
∫
1 Π −0
)) ( )) ( ( (
t
t
dt t cx t
q sujeto a: x&=−q∧x(t0)=x0 ∧x(t1)≥0.
Esto equivale a hallar una x* (⋅) que maximice x t cx t dt
t
t
∫
1 Π − −0
)) ( )) ( (
( & sujeto a:
0 ) ( )
(t0 =x0 ∧x t1 ≥
x .
Se asume que Π(⋅) es estrictamente cóncava y que después del momento t1 el producto es nulo.
Entonces, la ecuación de Euler es: 0 = x Fx dt
F − d &= -c + (q)
dt
d Π′ , i. e. , c = (q) dt
d Π′ =
).
)(
( q t
dt
d Π′o Como c es constante, se sigue que ct + h = Π′(q(t)).
Puesto que Π″(⋅) < 0, ∃(Π′)-1, por lo cual (Π′)-1(ct + h) = q(t) = -x&(t), de donde x (t) = k
+
∫
1− Π′ − + ∧ = = +0
0 )
( )
( )
( 1 0 0
t
t
k t x x dt h
ct , de donde k = x0 ∧ x(t) = x0 - ct h dt
t
t
) ( ) (
0
1 +
∫
Π′ − .Si, por ejemplo, Π(q) = q , entonces Π′(q) = 1 2
4 ) 1 ( ) 2 (
1
z z
q ∧ Π′ − = , luego
0
0 0
1 4
1 )
( 4 ) 1
( )
( 1 2
t
t t
t
t
t dt c ct h
h dt ct
h
