UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS.

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS.

06. EL SÍMBOLO SUMATORIO Y LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

SÍMBOLO SUMATORIO ( ).

En matemática aparecen en ocasiones expresiones como:

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 b) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 100

c) _n

2 ... 1 8 1 4 1 2 1

d)

a

₁

a

₂

a

₃

... a

_n

Las cuales pueden abreviarse con el símbolo , así:

a)

8

1 i

i

, que se lee: “suma de i, desde 1 hasta 8”.

b)

50

1

2

k

k

, que se lee: “suma de 2k, desde 1 hasta 50”.

c)

n

j j 1

2

1

d)

n

k

a

k 1

respectivamente. Las letras i, j, k, se denominan índices de la sumatoria.

Una suma puede escribirse con el símbolo , de diferentes maneras:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =

8

1 i

i

=

8

1 k

k

7

0

) 1 (

k

k

9

2

) 1 (

k

k

ACTIVIDADES.

1) Escribir con el símbolo : a) 3 + 6 + 9 + 12

b)

3 ( 9 )

... 1 ) 3 ( 3

1 ) 2 ( 3

1 ) 1 ( 3

1

c) 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + … + n³

d)

11

... 3 4 3 3 3 2 3

e) x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ + … + x_ny_n 2) Hallar el valor de las siguientes sumas:

a)

4

1 k

k

b)

3

0

2

1 r

r c)

5

1

) 1 2 (

i

i

d)

5

1

( 1 )

1

k

k k

PROPIEDADES DE :

1. Aditiva:

n

k

n

k k n

k k k

k

b a b

a

1 1 1

) (

2. Homogénea:

n

k

n

k k

k

c a

ca

1 1

3. Telescópica: ₀

1

1

)

( a a a a

n

k

n k

k

ACTIVIDADES.

Demostrar las siguientes igualdades:

1.

n

k

n

1

1

. Sugerencia: 1 = k – (k – 1)

2.

n

k

n k

1

)

2

1 2

(

. Sugerencia: 2k – 1 = k² – (k – 1)²

3.

1

0

)

1

(

n

k

k n k n

n

b a b a b

a

. Sugerencia: 1 = k – (k – 1)

4.

5. D 6. D 7. d

INDUCCION COMPLETA O MATEMATICA.

En el estudio de la matemática, es frecuente encontrarnos con proposiciones que dependen del conjunto de los enteros positivos y cuya veracidad es demostrada empleando el principio de inducción matemática.

Supongamos que deseamos demostrar que:

a) Una proposición es verdadera para el número 1

b) Siempre que es verdadera para el entero positivo k, entonces es verdadera para el siguiente k +1.

De acuerdo con esto, si probamos que la proposición es verdadera para 1, también será verdadera para 2. Si es verdadera para 2, será verdadera para 3 y así sucesivamente.

Principio de inducción matemática.

Sea p(n) una proposición que contiene un entero positivo n tal que:

a) p(1) es verdadera.

b) Siempre que p(k) es verdadera, para un entero positivo k, entonces p(k+1) es verdadera.

Entonces p(n) es verdadera, para todo entero positivo.

Ejemplos:

1) Probar por inducción matemática que

2 ) 1 (

1

n i n

n

i

, para todo entero positivo n.

a) p(1) es verdadero: 1=

2 ) 1 1 ( 1

b) Ahora probaremos que p(k) p(k+1). Es decir del supuesto que

2 ) 1 (

1

k i k

k

k

es

verdadera, demostraremos que

2

) 1 ) 1 )((

1

1

(

1

k i k

k

k

, es verdadera.

Demostración:

i)

2

) 1 (

1

k i k

k

k

Hipótesis.

ii)

( 1 )

2 ) 1 ) (

1 (

1

k k k k

i

k

k

Ley de adición.

iii)

2

) 1 ( 2 ) 1 ) (

1 2 (

) 1

1

(

1

k k

k k k

i k

k

k

Adicionando.

iv)

2

) 1 ) 1 )((

1 ( 2

) 2 )(

1 ) (

1 2 (

) 1

1

(

1

k k k

k k k

i k

k

k

Factorización y propiedad asociativa. Con esto hemos demostrado que p(k+1) es verdadera y por ello P(n) es verdadera.

2) Sabemos que x – y = x – y

x² – y² = (x – y )(x + y ) x³ – y³ = (x – y )(x² +xy +y²);

x⁴ – y⁴ = (x² – y²)(x² + y²) = (x – y )(x + y ) )(x² + y²)

Esto nos permite conjeturar que (x – y ) es un factor de xⁿ – yⁿ , para todo n Z⁺ Probemos que esta afirmación es correcta:

Sea p(n): “ (x – y ) es un factor de xⁿ – yⁿ ”.

a) Comprobemos para n = 1: (x – y ) es un factor de x¹ – y¹, es verdadera.

b) Admitamos que para n = k, se cumple que: (x – y ) es un factor de x^k – y^k c) Demostremos que : (x – y ) es un factor de x^{k + 1} – y^{k + 1}

i) x^{k +1} – y^{k +1} = x^{k +1} – x y^k + x y^k – y^{k +1} Existencia de inversos.

ii) = x(x^k – y^k ) + y^k( x – y ) Factorizando.

iii) (x – y) es un factor de x^k – y^k Hipótesis.

iv) (x – y ) es por lo tanto factor de cada término de la expresión escrita a la derecha de la igualdad en ii) y en consecuencia será factor de la expresión de la izquierda. Con esto queda probado que p(k + 1) es verdadera y con ella p(n).

3) Demostrar que para todo entero positivo n, se cumple que n < 2ⁿ a) Si n = 1: 1 < 2¹ = 2. Se cumple la desigualdad.

b) Aceptemos que la expresión n < 2ⁿ es cierta.

c) Demostremos que también es verdadera para n +1: (n +1) < 2^{(n +1)}

De los renglones 1 y 3, se tiene: por transitividad.

ACTIVIDADES.

Utilizar el principio de inducción matemática para probar que las siguientes proposiciones son verdaderas, para todo entero positivo n.

1) 2 + 4 + 6 + … + 2n = n² + n 2) 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) =

2 ) 1 3 ( n n

3) 1² + 2² + 3² + … + n² =

6 ) 1 2 )(

1

( n n

n

4)

( 4 1 ) ( 2 1 )

1

n n i

n

i

5) n² +n es divisible entre 2.

6) 3ⁿ ≥ 1 + 2n

7)

3

ⁿ

- 1

es divisible entre 2

COEFICIENTE FACTORIAL.

Los siguientes productos:

a) 1 2 3 4 b) 1 2 3 4 5 6 c) 1 2 3 4 5 6 7 … n, se abrevian así:

a) 4! (4 factorial) b) 6! (6 factorial) c) n! ( n factorial)

DEFINICIÓN. El factorial de n, escrito n!, es: n! = (n – 1)!n, si n 1 y 0! = 1.

COEFICIENTE BINOMIAL.

Si 0 k n , el coeficiente binomial e define por:

ACTIVIDADES.

1) Hallar el valor de los siguientes coeficientes binomiales:

a) b) c) d)

2) Utiliza la definición de factorial para comprobar que

1 )!

4 (

)!

3 )(

4 (

n n n

Utiliza la definición de coeficiente binomial para comprobar que:

3)

0 1 0

n n

4)

1 1 n n n n

5)

1 1

k n k

n k

n

TEOREMA DEL BINOMIO.

Para todo entero positivo n,

n

k

k k n

n

a b

k b n

a

0

)

(

. La demostración será por inducción.

a) para n = 1:

1

0

1 1 1 0

0 1 1

1

1 1 0

1 ) 1

(

k

k

k

b a b a b a b

k a b

a

b) supongamos que se cumple para n:

n

k

k k n

n

a b

k b n

a

0

) (

c) demostraremos que se cumple para n + 1:

1

0

1

1

1

) (

n

k

k k n

n

a b

k b n

a

Demostración:

(a + b)ⁿ⁺¹ = (a + b)(a + b)ⁿ = (a + b)

n

k

k k

n

b

k a n

0

= a

n

k

k k

n

b

k a n

0

+ b

n

k

k k

n

b

k a n

0

=

n

k

k k

n

b

k a n

0

1 +

n

k

k k

n

b

k a n

0

1

pero

n

k

k k

n

b

k a n

0

1= =

1

1

1

1

n

k

k k

n

b

k a

n

.Reemplazando:

(a + b)ⁿ⁺¹ =

n

k

k k

n

b

k a n

0

1 +

1

1

1

1

n

k

k k

n

b

k a

n

=

= ^{1 0}

0 a b n

_n

+

n

k

k k

n

b

k a n

1

1 +

n

k

k k

n

b

k a n

1

1

1

⁺

1 0 n

b n a n

= ¹

0 a

n

n

+ ^{1 1}

1

1

n k

k n n

k

n b b n k a

n k

n

= ¹

0 1

_n

n a

+ ^{1 1}

1

1

1 1

n k

k n n

k

n b b n k a

n k

n

= ^{n k k}

n

k

b k a

n

₁

1

0

1

, como se quería demostrar.

ACTIVIDADES.

Escribir los 5 primeros términos de:

a) (2a + b)⁶ = b) ( p – q )⁸ = Hallar el término que se indica en cada caso:

a) sexto en (x – 2y )⁹ b) décimo en (h + y )¹⁰ c) noveno en ^{3 17}

2

3 )

(x

Utilizando el teorema del binomio, evaluar las siguientes potencias:

a) 99³ = (sugerencia 99 = 100 – 1) b) 102⁴ c) (1.1)⁵