Tema 1: Cuándo una función tiene función inversa?

Texto completo

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Lección 6

Tema 1: ¿Cuándo una función tiene función inversa?

¿Qué aprenderé?

A comprender el concepto de función inversa a través de tablas, estableciendo la relación entre una función y su función inversa.

¿Para qué?

Para distinguir entre dos fun- ciones que sean inversas una de la otra e interpretarlas como tales en problemas de distintos contextos.

Actividad en pareja

En la imagen se observa un termómetro exterior, que incluye las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit.

1 ¿Qué temperatura marca el termómetro?

°C °F

2 Observando el termómetro, completen la siguiente tabla que relaciona los grados Celsius y Farhenheit.

Grados ºC –40 O 15

Grados ºF 0 40 90

3 La función que relaciona las dos escalas está dada por la expresión f(x ) = 9 __ 5 x + 32 , donde x es la temperatura en grados Celsius y f(x), la temperatura en grados Fahrenheit.

a. ¿Cuál es la temperatura, en grados Fahren- heit, cuando hay 25 °C?

b. ¿A cuántos grados Celsuis equivale 72 °F?,

¿cómo lo calcularon?

c. ¿Es posible determinar una función similar g(x), pero que permita calcular los grados Celsuis si se conoce la tempe- ratura en grados Fahrenheit?, ¿por qué?

Taller

Individualmente

¿Cómo trabajé el taller?

Individualmente Grupalmente

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1. El siguiente esquema representa el funcionamiento de una máquina de Carnot. Esta es una máquina térmica ideal de máxima eficiencia, que funciona entre dos fuentes de calor: una a mayor temperatura (en rojo) y otra a menor temperatura (en azul).

El calor se transfiere de x a y.

En el proceso, parte de la energía se transforma en movimiento, funcionando

como un motor.

X

Y

–3 3 Joules se transforman en energía mecánica.

Función principal

Al aplicar energía mecánica a la máquina, se extrae calor

de y para depositarse en x, funcionando como

un frigorífico.

Y

X

+3 3 Joules se aplican para extraer calor.

Función inversa

a. Observando el esquema, ¿cómo pueden expresarse matemática- mente ambas funciones de la máquina? Completa.

Función principal f(x) = x – 3

f(x)

x y

4 1

5 6 7 8

Función inversa f −1 (x) =

f −1 (x)

x y

1 4

2 3 4 5

b. ¿Cómo se relacionan las tablas de valores de ambas funciones?

Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796-1832)

Ingeniero y físico francés cuyo trabajo influyó en el estudio de la termodinámica. Aunque se trata de un dispositivo ideal (no real), una máquina de Carnot es un ejemplo de una máquina térmica. Fue propuesta en 1824.

Máquina térmica: máquina cuyo funcionamiento se basa en la utilización de la energía en forma de calor.

Función inversa: de una función f(x) se denota como f −1 (x) .

Glosario

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Lección 6

2. Analiza cada situación. Luego, describe su proceso inverso.

Máquina Función Función inversa

Automóvil Avanza 15 km

Escáner Aumenta al doble

Aire acondicionado Baja la temperatura en 15 °C

Cajero automático Realiza un giro de $ 50 000

Ascensor Baja la cabina por 12 m

3. En el siguiente diagrama sagital se representa la función g(x). Se muestran los ele- mentos del conjunto de partida o dominio y los elementos del conjunto de llegada o codominio.

1

g(x)

6

2 7

3 8

4 9

5 10

Conjunto de partida

(dominio) Conjunto de llegada

(codominio)

a. ¿Cómo se puede representar en un diagrama sagital la función inversa g −1 (x) ? Completa.

6

g -1 (x) 1 Conjunto de partida

(dominio) Conjunto de llegada

(codominio)

El dominio (dom f) de una función f(x) corresponde a todos los elementos que pertenecen al conjunto de partida.

Ayuda

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recorrido de ambas funciones?

El dominio y el recorrido de g(x ) corresponden a:

Dom g(x) = {1, 2, 3, 4, 5} Rec g(x) = El dominio y el recorrido de g −1 (x) corresponden a:

Dom g −1 (x) = Rec g −1 (x) = {1, 2, 3, 4, 5}

El dominio de g(x) es equivalente al de su función inversa, mientras que el recorrido de g(x) es equivalente al de su función inversa. Es decir:

Dom g(x) = y Rec g(x) =

En resumen

Si f(x) es una función tal que a cada elemento de un conjunto A le asigna un elemento de un conjunto B y g(x) es una función que realiza el proceso contrario, es decir, que a cada elemento del conjunto B le asigna su elemento de origen del conjunto A, es de- cir, se conservan los pares de elementos relacionados, entonces se dice que f(x) es la función inversa de g(x) y se puede designar como f −1 (x).

Dada una función f(x), su función inversa f −1 (x) existe cuando se cumple que a cada elemento del recorrido le corresponde una única preimagen y también que su recorrido coincide con el codominio.

Cuando una función f(x) está representada en una tabla de valores, entonces es posible determinar su función inversa f −1 (x) utilizando, también, una tabla de valores.

Por ejemplo:

Función f −1 (x) x f −1 (x)

d a

e b

f c

Función f(x)

x f(x)

a d

b e

c f

De las tablas, se puede observar que se cumple que Dom f(x) = Rec f −1 (x) y también Rec f(x) = Dom f −1 (x) .

Katherine Coleman Goble Johnson (1918 - EE.UU.)

Física, científica espacial y matemática estadounidense.

Trabajó en los programas espaciales de la NASA. Des- tacada por su precisión en la navegación astronómica, calculó la trayectoria para los vuelos a la Luna del Apolo 11 en 1969 y del Apolo 13 en 1970.

Una vez que esta última misión fue abortada, implementó los procedimientos y las cartas de navegación que ayudaron a que la tripulación regresara a salvo a la Tierra cuatro días después.

Recibió de Barack Obama la Medalla Presidencial de la Libertad en 2015.

Imagen: de un número por f(x) es el número obtenido al valorizar la función. Si f(5) = 12, 12 es la imagen de 5.

Preimagen: de un número por f(x) es el valor del dominio con el que se obtiene el número. Si f(10) = 7, 10 es la preimagen de 7.

Glosario

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Lección 6

de práctica

Actividades

1. Observa las descripciones en lenguaje natural de algunas funciones y determina la correspondiente descripción para la función inversa de cada una.

Descripción de f Descripción de f −1

Aumenta en 10 unidades cada número. Disminuye en 10 unidades cada número.

Disminuye en 5 unidades cada número.

Cuadriplica cada número.

Aumenta al triple cada número.

Eleva al cuadrado cada número positivo.

Aumenta en dos unidades cada número reducido a la mitad.

Eleva al cuadrado el doble de cada número positivo.

Aplica la raíz cuadrada a cada número positi- vo aumentado en 3 unidades.

2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica.

a. Si f(7) = 3, entonces siempre se cumple que f −1 (−7) = − 3 . b. Si la preimagen de 2 es 4 respecto de f −1 , entonces f(2) = 4.

c. El punto (1, 5) pertenece a la gráfica de f(x). Luego, el punto (5, 1) pertene- ce a la gráfica de f −1 (x) .

d. Si y ∈ Dom( f −1 ), entonces y ∈ Dom(f).

e. Si h(x) es la función inversa de g(x) y g(x) es la función inversa de f(x), entonces h(x) = f(x).

3. Las siguientes tablas corresponden a valores de dos funciones f(x) y g(x).

x 0 –1 1 –2 2 –3 3

f(x) 1 –1 3 –3 5 –5 7

x 0 –1 1 –2 2 –3 3

g(x) − 1 __ 2 –1 0 − 3 __ 2 1 __ 2 –2 1 a. En un mismo plano cartesiano, bosqueja las gráficas de las funciones f(x) y g(x).

b. A partir de cada gráfica, define algebraicamente las funciones f(x) y g(x).

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les. Determina en cada caso si la función tiene función inversa. Justifica.

a.

–1 0

0 2

–2 4

1 –2

f(x)

b.

–10

5 9

7 2

g(x)

c.

10 5

4 2

8 4

12 6

h(x)

3

5. Si g(x) es la función inversa de f(x) y f(x) es la función inversa de h(x), ¿qué relación tienen las funciones g(x) y h(x)? Completa los diagramas sagitales para corroborar tu respuesta.

f(x)

a f

b e

c h

d g

g(x) h(x)

6. La siguiente tabla representa la energía potencial gravitatoria U que experimenta un cuerpo de 2 kg de masa, según la altura h en la que se encuentre respecto de la su- perficie terrestre.

U(h)

h (metros) U (Joules)

0 0

1 20

2 40

3 60

4 80

a. ¿Cómo se interpretaría la función inversa de la función presentada?

b. ¿A cuánto equivale h(40) si U(2) = 40?, ¿cómo se interpreta este resultado?

c. Construye una tabla de valores para la función inversa h(U).

¿Qué aprendí hoy?

La cantidad vendida de un producto se conoce como demanda del producto. La de- manda se puede modelar por la función D(x) = 26x + 300, donde x es el precio.

a. Encuentra la función D −1 (x) . b. Determina D −1 (600 ) .

c. Explica qué representa la función inversa de la demanda, es decir, D −1 (x) . página 71Cuaderno

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