GEOMETRIA LA PITAGORAS ACADEMIA

Profesor

mu) Edson Curahua

GEOMETRIA

LA

PITAGORAS

ACADEMIA

EA CLASE 19: POLIEDROS Y POLIEDROS REGULARES

POLIEDROS

DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y ELEMENTOS CLASIFICACIÓN

TEOREMAS PARA POLIEDROS CONVEXOS POLIEDROS REGULARES

DEFINICIONES

POLIEDROS CONJUGADOS

>. A POLIEDROS

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DEFINICIÓN

Un poliedro es la reunión de cuatro o más regiones poligonales tales que cada lado pertenezca a dos de ellas, las cuales deben estar en planos distintos.

Las regiones poligonales que determinan al poliedro se llaman caras del poliedro; los lados de los polígonos son las aristas y los vértices de los mismos son los vértices del poliedro.

Se llaman ángulos diedros del poliedro, los formados ELEMENTOS:

por las caras que tienen una arista común; y ángulos

sólidos o poliédricos, los formados por varias caras que Vértices: A, B, C, ...

tienen un vértice común. Aristas: AB, BC, CD, ...

Diagonal de un poliedro es el segmento que une dos Caras: AGHB, CDI, ...

vértices no situados en una misma cara.

Diedros: Diedro AB, Diedro BC, ...

Ángulos Poliedros: Triedro A-BEG, ...

Diagonales: FB, Al,...

>

PITAGORAS

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POLIEDROS

Un poliedro se designa por sus vértices o por una sola CLASIFICACIÓN letra. Así, el poliedro de la figura anterior lo denotamos

por ABCDEFGHI o simplemente por M. Atendiendo al número de caras un poliedro se llama:

s " 7 Tetraedro, si tiene 4 caras

En el poliedro anterior tenemos una cara triangular, 5

caras cuadrangulares y una cara pentagonal, es decir el Pentaedro, si tiene 5 caras

poliedro tiene 7 caras; también tiene 9 vértices y 14 Hexaedro, si tiene 6 caras

aristas.

Octaedro, si tiene 8 caras Los poliedros dividen al espacio del mismo modo que Dodecaedro, si tiene 12 caras los polígonos dividen al plano, esto es, en un conjunto

de puntos interiores, un conjunto de puntos que pertenecen al poliedro y un conjunto de puntos exteriores al poliedro.

Icosaedro, si tiene 20 caras

En general se dice poliedro de siete, nueve, diez, ...

caras. Sin embargo, hay algunos poliedros que toman nombres especiales, como prisma, pirámide, etc.

>

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POLIEDROS

NOTA: Un poliedro se llama convexo si el segmento que une

dos puntos cualesquiera del poliedro está en el poliedro o en su interior, en caso contrario el poliedro se llamará En la figura se muestra un tetraedro, el poliedro de

menor número de caras, todas ellas triangulares. Este

N ma iy SpA par no convexo.

poliedro también tiene 4 vértices y seis aristas.

Tetraedro

Poliedro convexo Poliedro no convexo

PROPIEDADES PARA TODO POLIEDRO CONVEXO

Sean: C, V y A los números de caras, de vértices y de aristas respectivamente de un poliedro convexo.

01. En todo poliedro convexo el número de caras aumentado en el de vértices es igual al número de aristas más 2 (Teorema de Euler).

Teorema de Euler

Nota:

Existen algunos poliedros no convexos que cumplen con el teorema de Euler.

POLIEDROS

02. La suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un poliedro convexo, esta dada por la siguiente expresión:

La suma de las medidas de las caras de todos los ángulos sólidos de un poliedro convexo es igual a la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras.

Nota:

>

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03. El número de aristas de cualquier poliedro es igual a la mitad de la suma de los números de lados de las caras

Consecuencias:

a) Si todas las caras de un poliedro convexo están limitadas por polígonos de n lados, entonces:

POLIEDROS

b) Si en cada vértice de un poliedro concurren m aristas,

entonces:

04. El número de diagonales de un poliedro convexo se calcula mediante la siguiente fórmula:

Observación:

Si en un poliedro convexo se quita una o más caras consecutivas, para el nuevo poliedro abierto se cumple:

n E POLIEDROS

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EJEMPLO Calculemos el número de diagonales:

Un poliedro tiene por caras: una región triangular, cinco

regiones cuadrangulares y una región pentagonal. = — A Dias |

Calcular su número de diagonales.

RESOLUCIÕN:

DpoLIEDRO = C2 — 14 — (0 +5 x 2 + 5)

Pordato: 1A,5A4 y10

DPOLIEDRO = = 14- 15

Luego: C=1+5+1=7 (E)

š 2

Por el teorema de Euler:

C+V=A+2

7+V=14+2

nm POLIEDROS REGULARES

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EJEMPLO: EJEMPLO:

Un poliedro convexo tiene 7 caras y 14 aristas, ¿cuántos En un hexaedro convexo de nueve aristas y caras

vértices tiene? congruentes, ¿cuál es el número de lados de cada cara?

A) 6 B)7 08 A) 3 B) 4 05

D)9 E) 10 D) 6 E) No existe tal hexaedro

Rpta. D Rpta. A

>. A POLIEDROS REG

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EJEMPLO:

La suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un poliedro convexo es 3 600. Si el número de aristas excede en 3 al doble del numero de caras, calcular el número de caras.

A)6 B)7 C) 8

D)9 E) 10

Rpta. B

LARES

EJEMPLO:

Calcular el número de aristas de aguel poliedro convexo cuyo número de caras es igual al número de vértices, si se sabe gue la suma de las medidas de los ángulos de todas sus caras es 2 520.

A) 12 B) 14 C) 16

D) 18 E) 20

Rpta. C

POLIEDROS REGULARES

POLIEDROS REGULARES

Se llama poliedro regular al poliedro convexo de caras regulares y congruentes, además en cada vértice concurren igual número de aristas.

Todo poliedro regular se puede inscribir y circunscribir a esferas concéntricas, siendo el centro de éstas el centro del poliedro regular.

TEOREMA

Solo existen cinco clases de poliedros regulares.

A continuación detallaremos las características más importantes de los poliedros regulares.

PITA AC

>

SoRAS

A

OR POLIEDROS REG

TETRAEDRO REGULAR

Esta limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras unidas de tres en tres.

Número de caras = C = 4 Número de vértices = V = 4 Número de aristas = A = 6

Tetraedro ABCD

Medida de uno de los diedros del tetraedro regular:

Medida del ángulo que forman una arista lateral con la base:

PITA AC

>

SoRAS

A DEMIA

Cálculo de la altura

Recordemos que la altura del tetraedro regular cae en el centro de la base, luego:

En el triángulo rectángulo AOB:

3

h2 + (5) =a?

POLIEDROS REG LARES

Cálculo del volumen

En toda pirámide el volumen es igual a un tercio del área de la base multiplicada por la altura.

Vol oume — 3,8, 676 4 3

L ný POLIEDROS REGULARES

ADEMIA

HEXAEDRO REGULAR

Esta limitado por seis regiones cuadradas unidas de tres en tres.

Número de caras = C = 6 š Número de vértices = V = 8

Número de aristas = A = 12

Hexaedro regular ABCD — EFGH

>

PITAGORAS

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OCTAEDRO REGULAR

Esta limitado por ocho regiones triangulares equiláteras unidas de cuatro en cuatro.

Número de caras = C = 8 Número de vértices = V = 6

Número de aristas = A = 12

Octaedro regular P — ABCD — Q

POLIEDROS REGULARES

En el octaedro regular P-ABCD-Q, mostrado en la figura los cuadriláteros ABCD, APCQ y PBAD son cuadrados.

>

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POLIEDROS REGULARES

En un octaedro regular la distancia de un vértice al centro de cualquiera de las caras opuestas a dicho vértice es igual a la arista del octaedro.

G: Baricentro de la cara BPC

L a POLIEDROS REG

ADEMIA

DODECAEDRO REGULAR

Esta limitado por doce regiones limitadas por pentágonos regulares unidas de tres en tres.

Número de caras = C = 12 Número de vértices = V = 20 Número de aristas = A = 30

anaq POLIEDROS REGULARES

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ICOSAEDRO REGULAR

Esta limitado por veinte regiones triangulares equiláteras unidas de cinco en cinco.

Número de caras = C = 20 Número de vértices = V = 12

Número de aristas = A = 30

POLIEDROS CONJUGADOS

Se llaman poliedros conjugados a aquellos poliedros regulares en que el número de caras de uno de ellos es igual al número de vértices del otro y viceversa.

Por el teorema de Euler se cumple que ambos poliedros tienen el mismo número de aristas.

Son poliedros conjugados: el octaedro y el hexaedro, el icosaedro y el dodecaedro; el tetraedro es conjugado por si mismo.

POLIEDROS REGULARES

POLIEDRO REGULAR | Ë dP lados de |: de aristas en

TETRAEDRO R. 3 3

HEXAEDRO R. 4 3

OCTAEDRO R. 3 4

DODECAED. R. 5 3

ICOSAEDRO R. 3 5

>

PITAGORAS

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POLIEDROS REGULARES

Los centros de las caras de un poliedro regular son los Octaedro regular inscrito en el hexaedro regular, los vértices de un poliedro conjugado al primero (poliedro centros de las caras del cubo son los vértices del

conjugado inscrito). octaedro regular.

Tetraedro regular inscrito en el tetraedro regular, cuyos vértices son los centros de las caras del primer tetraedro.

>

PITAGORAS

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OBSERVACIONES

Tetraedro regular inscrito en un hexaedro regular, éste se obtiene al unir vértices no consecutivos del hexaedro.

ABCD: Tetraedro regular

POLIEDROS REGULARES

TEOREMAS

01. La razón de volúmenes entre el tetraedro y el hexaedro es 1/3.

02. Las aristas opuestas del tetraedro regular son perpendiculares.

03. La distancia entre dos aristas opuestas del tetraedro regular mide igual que la arista del cubo.

>

PITAGORAS

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POLIEDROS REGULARES

Octaedro regular inscrito en el tetraedro regular, los TEOREMAS puntos medios de las aristas del tetraedro regular son

vértices de un octaedro regular. 01. La razón de volúmenes entre el tetraedro y el octaedro es 1/2.

02. Las distancia entre dos caras opuestas del octaedro regular es igual a la altura del tetraedro regular de igual arista.

= POLIEDROS REGULARES

PITAGORAS ACADEMIA

EJEMPLO:

La altura de un tetraedro regular mide V6, entonces el área total es igual a:

A) 2V3 B) 6V3 c) 9V3

D) 3V3 E) 8/3

Rpta. C

EJEMPLO:

¿Cuánto mide la arista de un cubo, si se sabe que la distancia de un vértice a una diagonal del cubo es V6?

A) VZ B) 2 c) 4

D) 3 E) 3V2

Rpta. D

= POLIEDROS REGULARES

PITAGORAS ACADEMIA

EJEMPLO: EJEMPLO:

Calcular la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un dodecaedro regular

P A) 5 840 B) 6480 C) 8 490

D) 7 280 E) 3 890 En el octaedro regular mostrado calcular la medida del

ángulo entre AP y BC.

A) 90 B) 60 c) 45

D) 30 E) 75

Rpta. B Rpta. B

e POLIEDROS REGULARES

DEMIA

EJEMPLO: EJEMPLO:

En el icosaedro regular mostrado, calcular la medida del En la figura se muestra un tetraedro regular. Calcular el

ángulo entre PQ y MN. valor de x.

A) V3 B) 2 C)15

D) VZ E) V5

A) 30 D) 36

Rpta. D Rpta. D

hi POLIEDROS REGULARES

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EJEMPLO: EJEMPLO:

En un octaedro regular M - ABCD - N la longitud de su Calcular la razön entre los volümenes de un octaedro

arista es a. calcular la distancia entre los baricentros de regular y el de su poliedro conjugado inscrito.

A) 9/4 B) 9/2 C) 2/9 las caras DMC y ABN.

D) 1/3 E) 8/3 2a a ayz

A) A B) > C) z

p) 24 €) a

Rpta. B Rpta. D

>

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POLIEDROS REGULARES

EJEMPLO:

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. Los centros de las caras de un tetraedro regular son los vértices de un tetraedro.

II. Los centros de las caras de un octaedro regular son los vértices de un octaedro.

III. Los centros de las caras de un icosaedro regular son los vértices de un dodecaedro.

A) VVV B) VVF C) VFF

D) FFV E) VFV (UNI 2009-2)

Rpta. E

PROBLEMAS

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PROBLEMAS DE CLASE

>

PITASORAS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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01. Un poliedro convexo tiene como caras 12 triángulos, 16 cuadriláteros, 24 pentágonos y 13 hexágonos. Halle su número de vértices.

A) 84 B) 85 C) 86

D) 87 E) 88

RESOLUCIÓN:

Rpta. C

>

PITAGORAS

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

RESOLUCIÓN: OTRO MÉTODO

Dato: 12 triángulos, 16 cuadriláteros, 24 pentágonos y Smzs Caras = 360(V — 2) 13 hexágonos

12 x 180 + 16 x 360 + 24 x 540 + 13 x 720 = 360(V — 2)

C=12+16+24+13=65

12x1+16x2+24x3+13x4= 2(V—2)

Cälculo de A:

a —12X3116x4+24x5+13x6 seli

S 2

„V = 86 A — 149

Por Euler:

C+V=A+2

65 +V= 149 +2 Rota. G

=V = 86

>

PITASORAS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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02. Un poliedro convexo está formado por 8 regiones triangulares, 9 regiones cuadrangulares y m regiones pentagonales. Si dicho poliedro tiene 33 vértices, entonces m sería:

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN:

Rpta. C

hirm RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ACADEMIA

RESOLUCIÓN:

Dato: BA ,9A ym

V=33 Sabemos:

Smzs Caras = 360(V — Z)

8 x 180 +9 x 360 + m x 540 = 360(33 — 2)

8+18+3m = 2(31)

“.m = 12 Rpta. C

>

añas s RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

03. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro formado por 6 cuadriláteros y 8 triángulos?

A)36 B)26 C) 24

D) 48 E) 30

RESOLUCIÓN:

Rpta. E

PITA

AC

ma RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ADEMIA

RESOLUCIÓN:

Dato: 6 cuadriláteros y 8 triángulos C=14

6x4+8x3

=— 24

2

Por el teorema de Euler:

C+V=A+2 14+V=24+2

> V=12

Por ültimo calculamos las diagonales del poliedro mediante la fórmula:

DpoLIEDRO = C}? — 24 — (6 x 2 + 8 x 0)

12 x 11

DPOLIEDRO = 1x2. 2+-(6X2+8x0)

DpoLIEDRO — 66 — 36

".DpoLIEDRO = 30 Rpta. E

>

PITAGORAS

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PROBLEMAS

04. En el exterior de un poliedro convexo se toma un punto, el cual se une con los vértices de la cara más próxima; este nuevo poliedro posee 16 aristas, su número de vértices es igual al número de caras, y el número de aristas excede en 4 a las del poliedro inicial.

Determine el número de caras del poliedro inicial.

A)5 B)6 c)7

D) 8 E) 9 (UNI 2018-2) RESOLUCIÓN:

Rpta. B

Pn A PROBLEMAS

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RESOLUCIÓN:

Al unir el punto exterior con los vértices de la cara más próxima se forma un nuevo poliedro que tiene un vértice más que el poliedro inicial. Esto permite plantear el problema mediante un cuadro en donde colocaremos los datos del problema.

Poliedro inicial Poliedro final

# De vértices = V # De vértices=V +1

# De aristas = 12 # De aristas = 16

# De caras = x # De caras = V+1

Por teorema de Euler:

# Caras + + Vértices = + Aristas + 2 En el poliedro final:

(V+ D)+(V+1)= 16+2

>V=8 En el poliedro inicial:

() +V=12+2

=-=

Rpta. B

a RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

05. Calcule el área de la sección determinada por un plano de simetría que pasa por una de las aristas de un tetraedro regular de arista a.

A) a B) a2/2 c) tú

a2/2 a2/2

TR Bea

RESOLUCIÓN:

Rpta. D

n am RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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RESOLUCIÓN: Se pide: S, =?

En AAMD (isósceles):

D

aV3

Pn s" PROBLEMAS

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06. En un tetraedro regular S-ABC, se toma O punto medio de la altura SH. Calcular mZAOB.

A) 60 B) 45 c) 90

D) 75 E) 120

RESOLUCIÓN:

Rpta. B

>

ACADEMIA

RESOLUCIÓN:

PROBLEMAS

Se pide: mZAOB = x

Sea 2a la medida de la arista del tetraedro.

En la base prolongamos CH hasta cortar a AB en el punto M, luego:

AM=MB=a

y CH = 2(HM) = 2n

En el triängulo SHC ubicamos el punto medio N de CH, entonces:

ON=a (Porbase media)

Ahora por el teorema de la mediatriz se tiene:

ON = OM=a Finalmente, en el triängulo AOB:

AM=MB=0M=a .x290

a RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

07. Calcular el área de la proyección de un octaedro regular sobre un plano perpendicular a una arista. La arista del octaedro mide a.

a2 2 a?/2 a2V2

A) — B) E o=

D) a2/3 E)

RESOLUCIÓN:

Rpta. B

RES@LUCION DE PROBLEMAS

P

RESOLUCIÓN:

Sea 7H el plano perpendicular a la arista AB del octaedro regular P- ABCD-Q.

Al proyectar el octaedro regular sobre el plano H, se observa que su proyección resulta un rombo PCOB,en donde:

BC =BC=a

PO = PQ = aV2

Finalmente:

SProyección — = a2/2

D SProyección s 2

>

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

08. Calcular el área del poliedro que se obtiene al unir los puntos medios de las aristas de un octaedro regular, donde la distancia entre dos vértices opuestos es a.

Aj 25 BÉB+V/ 0

D) 2/3 + 3) E) (3 +3)

RESOLUCIÓN:

ažV3

4

Rpta. E

>

PITAGORAS ACADEMIA

RESOLUCIÓN:

€ P

AS E

Si g

<

CIÓN DE PROBLEMAS

Se pide: Área del poliedro que se obtiene al unir los puntos medios de las aristas del octaedro regular = Sy

Dato: La distancia entre dos vértices opuestos del octaedro es a.

Si la arista del octaedro mide b, entonces por dato:

byž 2a >b=2

En el gráfico, hemos construido tal poliedro.

Notemos que frente a cada vértice hay una región cuadrada, es decir hay 6 en total, además en cada cara del octaedro se forma una región triangular equilátera, es decir se forman 8. Luego:

2 2

b bY 3) 3b? b2/3 S,26(3) +8((5) =| =—+ 2 2) 4 2 2

b? až

S| = (8 +13) =— (3 + V3)

>

PITASORAS PROBLEMAS

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09. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, en el cual la distancia entre AC y DF es 6, calcular el volumen del poliedro conjugado inscrito en dicho hexaedro.

A) 30 B) 28 C) 12

D) 24 E) 36

RESOLUCIÓN:

Rpta. E

m sm PROBLEMAS

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RESOLUCIÓN: Finalmente se pide el volumen del poliedro

conjugado inscrito en el hexaedro regular.

Dato: d(AC, DF) = 6 En el octaedro regular: b = 3V2

Se observa: AC 1 /7BFHD b?. VZ BVD? VZ

Luego: V, = —— s —

> d(AC, DF) = ON = V6 8 3

En AFBD: a.aV2—aV3.2/6 >a=6 ¿Vaz = 36

9. PROBLEMAS

10. En cuánto excede la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un dodecaedro regular, a la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de su poliedro conjugado.

A) 2600 B) 2880 C) 3600

D) 3880 E) 4600 (UNI 2018-1) RESOLUCIÓN:

Rpta. B

A. A PROBLEMAS

ACADEMIA

RESOLUCIÓN:

Recordemos gue el poliedro conjugado del dodecaedro regular es el icosaedro regular.

Luego, se pide:

= SmzsCaras(Dodecaedro) N: SmzsCaras(Icosaedro)

x = 360(20 — 2) — 360(12 — 2) x = 360(8)

x= 2880

Rpta. B

mõra An PROBLEMAS RESUELTOS

CLAVES DE LA TAREA

PROBLEMA RESPUESTA PROBLEMA RESPUESTA

01 D 06

02 E 07 E

03 G 08 E

04 G 09 G

05 c 10 C

MUCHAS GRACIAS