Una metodología robusta para planificar redes de transmisión eléctrica bajo incertidumbre

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(1)PONTIFICIA UNIVERSID UNIVERSIDAD AD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERI INGENIERIA. UNA METODOLOGÍA ROBU ROBUSTA STA PARA PLANIFICAR REDES DE TRANSMISIÓN TRANSMISI ELÉCTRICA BAJO INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE. FERNANDO JOSÉ ANTONIO O TRAUB D’AMICO. Tesis para optar al grado de Magister en Ciencias de la Ingeniería. Profesor Supervisor: ENZO SAUMA S S.. Santiago de Chile, Septiembre de 2009  2009, Fernando José Antonio Traub D’Amico.

(2) PONTIFICIA UNIVERSID UNIVERSIDAD AD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERI INGENIERIA. UNA METODOLOGÍA ROBU ROBUSTA STA PARA PLANIFICAR REDES DE TRANSMISIÓN TRANSMISI ELÉCTRICA BAJO INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE. FERNANDO JOSÉ ANTONIO O TRAUB D’AMICO. Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores:. ENZO SAUMA S. JORGE VERA A. JUAN CARLOS ARANEDA T. CARLOS VIDELA C. Para completar las exigencias del grado de Magister en Ciencias de la Ingeniería. Santiago de Chile, Septiembre de 2009.

(3) A la confianza de mi padre, al cariño de mi madre, y a la compañía de mis hermanos.. ii.

(4) AGRADECIMIENTOS Quiero agradecer en forma muy especial a mi profesor guía, Sr. Enzo Sauma, por la gran disposición y excepcional vocación mostrada durante la realización de este trabajo, y que siempre fue acompañada con su confianza, amabilidad y empatía. A través de él, agradezco el apoyo del fondo FONDECYT N°11060347, que entregó financiamiento para la realización de esta tesis. Doy gracias también al profesor Jorge Vera, con quien experimenté una gran colaboración, atención y cordialidad, y que es demostrada en estos resultados.. Agradezco además la oportunidad que me brindó Transelec en el desarrollo de esta tesis. Especialmente, al Sr. Juan Carlos Araneda, al Sr. Osvín Martínez, y a todo su equipo de trabajo, quienes me orientaron a trazar sus límites, y me realizaron excelentes comentarios durante su avance.. No puedo dejar fuera de esta página a mis amigos de Universidad, Felipe Aros, Daniel Andahur y John Ríos. Si bien su ayuda no está tangiblemente plasmada aquí, sí lo está en vuestro apoyo emocional que me mostraron en numerosos momentos.. Finalmente, agradecer a Dios y a la Pontificia Universidad Católica de Chile por ofrecerme la posibilidad de desarrollar esta tesis, de estudiar y de formarme como ingeniero.. iii.

(5) ÍNDICE GENERAL Pág.. INDICE DE TABLAS ......................................................................................................... vii INDICE DE FIGURAS ........................................................................................................ ix RESUMEN ......................................................................................................................... xiii ABSTRACT ....................................................................................................................... xiv 1.. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 1 1.1. Características de la planificación de la transmisión ............................................. 2 1.2. Incertidumbre en redes eléctricas .......................................................................... 4 1.3. Planificación eléctrica en Chile ............................................................................. 8 1.4. Optimización Robusta ......................................................................................... 11 1.5. Objetivos y descripción de la investigación ........................................................ 13 1.6. Estructuración de la tesis ..................................................................................... 15. 2.. MODELO DETERMINÍSTICO .................................................................................. 17 2.1. Supuestos ............................................................................................................. 17 2.2. Definición de variables y parámetros .................................................................. 19 2.3. Modelo ................................................................................................................. 21. 3.. MODELO CON INCERTIDUMBRE ......................................................................... 24 3.1. Supuestos ............................................................................................................. 26 3.2. Definición de variables y parámetros adicionales ............................................... 27 3.3. Modelo primal ..................................................................................................... 29 iv.

(6) 3.4. Modelo dual ......................................................................................................... 30 3.5. Modelo dual-adversario ....................................................................................... 31 3.6. Algoritmo de solución ......................................................................................... 34 4.. ESTUDIO DE UN CASO DE 3 NODOS .................................................................... 36 4.1. Resultados preliminares ....................................................................................... 37 4.2. Resultados solución óptima ................................................................................. 39 4.2.1. Costo del sistema..................................................................................... 39 4.2.2. Numero de restricciones infactibles ........................................................ 40 4.2.3. Magnitud de la infactibilidad .................................................................. 43 4.2.4. Costo de inversiones en transmisión ....................................................... 48 4.2.5. Secuencia de implementación de las nuevas centrales ........................... 51 4.3. Análisis de sensibilidad ....................................................................................... 53 4.3.1. Sensibilidad sobre la variación conjunta del precio nudo ....................... 53 4.3.2. Sensibilidad en la variación del precio nudo sobre un nodo ................... 58 4.4. Criterio para la elección de Г por el modelador .................................................. 62. 5.. RESOLUCIÓN DE UN CASO REAL SIMPLIFICADO ........................................... 63 5.1. Datos utilizados para la confección de la red ...................................................... 65 5.1.1. Matriz de incidencia nodo-línea .............................................................. 65 5.1.2. Resistencias y Reactancias por línea ....................................................... 65 5.1.3. Potencia máxima de transmisión actual en cada línea ............................ 66 5.1.4. Valor de inversión por línea .................................................................... 66 5.1.5. Potencia disponible por central ............................................................... 67 5.1.6. Costo de generación por central .............................................................. 68 5.1.7. Proyección de demanda por nodo ........................................................... 69 5.1.8. Proyectos futuros de generación ............................................................. 71 v.

(7) 5.2. Resultados............................................................................................................ 73 6.. PLANTEAMIENTO DE UNA HEURÍSTICA ........................................................... 79 6.1.1. Problema de optimización Entero-Mixto ................................................ 79 6.2. Resultados obtenidos ........................................................................................... 82. 7.. ANÁLISIS DE LA RED SIMPLIFICADA ................................................................. 84 7.1.1. Clasificación de proyectos ...................................................................... 84 7.1.2. Ampliaciones recomendadas ................................................................... 86 7.1.3. Comparación con el esquema de planificación actual ............................ 91. 8.. CONCLUSIONES ....................................................................................................... 95. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 98 Anexo A : Resultados de variables por cada parámetro Г, sistema de 3 barras ............... 103 Anexo B : Variación de los Ω obtenidos para cada Г modelado ..................................... 112 Anexo C : Ampliaciones de capacidad por línea ............................................................. 113. vi.

(8) INDICE DE TABLAS Pág.. Tabla 4–1: Parámetros de los proyectos futuros para red de 3 nodos ................................. 37 Tabla 4–2: Periodo estimado a conectar proyectos futuros según Г, red de 3 nodos .......... 52 Tabla 5–1: Parámetros de las líneas red SIC ....................................................................... 67 Tabla 5–2: Descripción nodo Agua Santa 220 .................................................................... 69 Tabla 5–3: Parámetros de los nodos red SIC ....................................................................... 70 Tabla 5–4: Proyección de demanda total red SIC ............................................................... 71 Tabla 5–5: Características de las obras proyectadas en el plan de obras, Octubre 2008..... 72 Tabla 7–1: Ránking de impacto de las futuras centrales de generación .............................. 85 Tabla 7–2: Líneas con patrón de crecimiento con la misma potencia y período................. 89 Tabla 7–3: Líneas con patrón de crecimiento anticipado para la red robusta ..................... 89 Tabla 7–4: Líneas con patrón de crecimiento tardío para la red robusta ............................. 90 Tabla 7–5: Líneas con patrón de aumento de potencia mayor en la red robusta................. 90 Tabla 7–6: Líneas con patrón de aumento de potencia menor en la red robusta................. 90 Tabla 7–7: Líneas sin patrón definido ................................................................................. 91 vii.

(9) Tabla 7–8: Líneas que no requieren ampliaciones de capacidad......................................... 91 Tabla 7–9: Relación entre plan de obras y metodología propuesta ..................................... 93. viii.

(10) INDICE DE FIGURAS Pág.. Figura 1–1: Red simple de 3 nodos ....................................................................................... 4 Figura 1–2: Proceso de instalación de una central de generación ......................................... 6 Figura 1–3: Proceso de expansión troncal 2009-2010 (parte I)........................................... 10 Figura 1–4: Proceso de expansión troncal 2009-2010 (parte II) ......................................... 11 Figura 3–1: Algoritmo propuesto ........................................................................................ 35 Figura 4–1: Topología red de 3 nodos ................................................................................. 36 Figura 4–2: Progreso de la función objetivo según Г para distintas tolerancias, Red de 3 nodos.................................................................................................................................... 38 Figura 4–3: Relación entre costos del sistema y parámetro Г, Red de 3 nodos .................. 40 Figura 4–4: Relación entre la probabilidad de infactibilidad de la solución y parámetro Г, Red de 3 nodos .................................................................................................................... 41 Figura 4–5: Relación entre infactibilidad y costo del sistema, Red de 3 nodos .................. 42 Figura 4–6: Relación entre EAM y parámetro Г, Red de 3 nodos ...................................... 44 Figura 4–7: Relación entre EAM y costos del sistema, Red de 3 nodos ............................. 44 Figura 4–8: Relación entre EPAM y parámetro Г, Red de 3 nodos .................................... 45 ix.

(11) Figura 4–9: Relación entre EAM y costos del sistema, Red de 3 nodos ............................. 46 Figura 4–10: Relación entre EAM modificado y parámetro Г, Red de 3 nodos ................. 47 Figura 4–11: Relación entre EPAM modificado y parámetro Г, Red de 3 nodos ............... 47 Figura 4–12: Relación entre inversión en transmisión y el parámetro Г, Red de 3 nodos .. 48 Figura 4–13: Relación entre % costo de inversión en transmisión sobre el total y el parámetro Г, Red de 3 nodos ............................................................................................... 49 Figura 4–14: Capacidad máxima de transmisión óptima en la línea 1 por período, para cada parámetro Г, Red de 3 nodos ............................................................................................... 50 Figura 4–15: Capacidad máxima de transmisión óptima en la línea 3 por período, para cada parámetro Г, Red de 3 nodos ............................................................................................... 50 Figura 4–16: Análisis de sensibilidad, en variación de precios conjuntos, sobre costos totales del sistema ................................................................................................................ 54 Figura 4–17: Análisis de sensibilidad, en variación de precios conjuntos, sobre la probabilidad de infactibilidad .............................................................................................. 55 Figura 4–18: Análisis de sensibilidad, en variación de precios conjuntos, sobre el EAM .. 55 Figura 4–19: Análisis de sensibilidad, en variación de precios conjuntos, sobre inversión en línea 1.............................................................................................................................. 56 Figura 4–20: Análisis de sensibilidad, en variación de precios conjuntos, sobre inversión en línea 3.............................................................................................................................. 57 x.

(12) Figura 4–21: Análisis de sensibilidad, en variación de precios nodo 3, sobre costos totales del sistema ........................................................................................................................... 58 Figura 4–22: Análisis de sensibilidad, en variación de precios nodo 3, sobre probabilidad de infactibilidad ................................................................................................................... 59 Figura 4–23: Análisis de sensibilidad, en variación de precios nodo 2, sobre el EAM ...... 60 Figura 4–24: Análisis de sensibilidad, en variación de precios nodo 2, sobre inversión en línea 1 .................................................................................................................................. 61 Figura 4–25: Análisis de sensibilidad, en variación de precios nodo 2, sobre inversión en línea 3 .................................................................................................................................. 61 Figura 5–1: Red eléctrica simplificada SIC-Chile............................................................... 64 Figura 5–2: Relación entre costo del sistema y parámetro Г, Red Chilena Simplificada, algoritmo principal .............................................................................................................. 74 Figura 5–3: Relación probabilidad de infactibilidad y parámetro Г, Red Chilena Simplificada, algoritmo principal ........................................................................................ 75 Figura 5–4: Relación EAM y parámetro Г, Red Chilena Simplificada, algoritmo principal ............................................................................................................................................. 75 Figura 5–5: Relación EPAM y parámetro Г, Red Chilena Simplificada, algoritmo principal ............................................................................................................................................. 76 Figura 5–6: Relación entre Costo del Sistema e Infactibilidad de la Red Chilena Simplificada, algoritmo principal ........................................................................................ 77 xi.

(13) Figura 5–7: Relación entre Costo del Sistema y EAM, Red Chilena Simplificada, algoritmo principal .............................................................................................................. 77 Figura 5–8: Relación entre Costo del Sistema y EPAM, Red Chilena Simplificada, algoritmo principal .............................................................................................................. 78 Figura 6–1: Comparación entre resultados del problema MIP, respecto a la solución original ................................................................................................................................. 81 Figura 6–2: Evolución del costo del sistema, Red Chilena Simplificada............................ 82 Figura 6–3: Relación entre Costo del Sistema e Infactibilidad, Red Chilena Simplificada 83 Figura 6–4: Diferencia porcentual de los costos del sistema del algoritmo simplificado, sobre algoritmo normal, Red Chilena Simplificada ............................................................ 83. xii.

(14) RESUMEN La planificación de redes tiene un rol fundamental dentro de la transmisión eléctrica, puesto que el planificador no sólo debe preveer las operaciones en el futuro, a través de la coordinación entre la oferta y demanda para el funcionamiento del mercado eléctrico, sino también debe planificar las inversiones en el largo plazo. Una red que cumple estas cualidades se le denomina “red económicamente adaptada”.. Sin embargo, actualmente la transmisión eléctrica presenta numerosas fuentes de incertidumbre que dificultan la planificación a largo plazo, y que se han agravado por la desregulación del sistema. Esta incertidumbre no sólo se presentan en la demanda, sino también en los precios y capacidades de la generación, las fallas, las pérdidas, la fecha de entrada de las centrales, entre otros. Esto complica encontrar el equilibrio de adaptación económica para una red.. En esta investigación, se propone una metodología de planificación que considere las fluctuaciones por incertidumbre por el lado de las capacidades de generación, con el fin de alcanzar una red equilibrada de adaptación robusta. Específicamente, se analizará una forma de planificación que considere las posibles fluctuaciones sobre el momento en que se conectaría una serie de futuras centrales eléctricas. Para ello, se empleará la teoría de la optimización robusta en la planificación de una red ante contingencias que puedan desestabilizar su equilibrio de adaptación.. Palabras claves: Planificación de redes eléctricas, Optimización Robusta, Programación Entera Mixta.. xiii.

(15) ABSTRACT Network planning has an important responsibility over power transmission systems. The network planner must not only coordinate supply and demand in short run, but also has to minimize investment and operational cost in the long run. When a power network has accomplished these features is called “Adapted economical network”.. However, power transmission systems may present many kinds of uncertainties that make hard a long term planning of investments. These uncertainties are not only are the demand, but also in prices, generation capacities, faults, losses and operation system timing, among others. This makes hard finding the network economic equilibrium.. In this research work, a planning methodology is proposed, which considers generation capacities’ uncertainties. Specifically, we will analyze timing variation when a power generation is plugged to the power system, and its impacts to the system. We’ll use a robust approach, based on Robust Optimization concept, in order to plan a network that faces different scenarios that can psych out the economical equilibrium.. Keywords: Power network planning, Robust Optimization, MIP.. xiv.

(16) 1. 1.. INTRODUCCIÓN. Una de las etapas más trascendentales para el funcionamiento del sistema eléctrico es la transmisión. Su función es conectar los centros de generación con los lugares de consumo, que se encuentran separados físicamente: Por ejemplo, la hidroelectricidad se ubica cerca de ríos caudalosos, mientras que la termoelectricidad cerca de zonas proveedoras de sus combustibles (puertos y gasoductos).. Esta conexión es realizada a través de infraestructura de alto costo, por lo que su planificación debe ser acertada en términos técnicos y económicos para proveer el equipamiento correcto en el tiempo y en el lugar correcto, conforme a las restricciones de confiabilidad y de calidad de servicio. Por tanto, el sistema de transmisión no es independiente, pues el abastecimiento y la demanda de energía depende de él.. Este tema ha sido de especial motivación de investigación desde los años 70, cuando los mercados. eléctricos. operaban. centralizadamente.. Se. han. propuesto. variadas. metodologías considerando distintos supuestos, escenarios y técnicas de resolución. Por ejemplo, Kaltenbach, Peschon, & Gehrig (1970) plantearon un conjunto de condiciones de entorno, entre ellas, las numerosas posibilidades de ampliación, la necesidad de saber más información de las demandas, los costos de inversión y la mantención de la confiabilidad del sistema. El objetivo es obtener un criterio óptimo de expansión, basado en la minimización del valor presente de los costos de inversión y operación. Villasana, Garver y Salon (1985) plantean una serie de cualidades antes de resolver un problema de planificación: determinístico o estocástico, estático o dinámico, condición single o múltiple y variables continuas o entera-mixta. Por ejemplo, en aquel trabajo se resuelve un problema determinístico, estático, single y variable continua, derivándose en un modelo de programación lineal..

(17) 2. Más adelante, Lee, Ng, Zhong y Wu (2006) mencionan que, con el avance de las tecnologías computacionales, el problema puede ser resuelto ocupando diferentes técnicas: programación dinámica, programación no lineal, programación entera mixta, descomposición de Benders, algoritmo genético y diversas heurísticas, permitiendo una aproximación mucho más cercana a la realidad. Posteriormente, muestran cómo evolucionan las técnicas del problema hacia el escenario desregulado, proponiendo diferentes enfoques y algoritmos de planificación.. 1.1. Características de la planificación de la transmisión El negocio de la transmisión presenta las siguientes características:. •. Es intensivo en capital, pues los activos más importantes son sus líneas, transformadores y subestaciones que conforman la red.. •. Los activos son duraderos, pues la vida útil es de largo plazo.. •. La inversión de activos se realiza en tramos discretos, la construcción de una línea o la adquisición de un transformador es una decisión de cantidad entera, y no por partes. En efecto, la gran consecuencia es la presencia de economías de escala, pues prácticamente todos sus activos es costo fijo de baja depreciación. Esto implica que los costos medios y marginales decrecen al aumentar la capacidad de la línea, acentuándose aquello al aumentar la tensión de una línea para disminuir las pérdidas.. Esto conlleva a que este negocio presente características de monopolio natural. Aunque es bueno llegar a esta situación, ya que es menos costoso para la sociedad tener una sola empresa operando en estas condiciones, surge la necesidad de regularlo. Ante ello, variadas alternativas se han presentado para operar, todas convergiendo hacia un modelo de un único TSO (Transmission System Operator) operado por el estado o un privado.

(18) 3. fuertemente regulado. Dadas sus condiciones, tanto la inversión en el crecimiento de las redes como la tarificación de su uso está sujeta a regulación. Además, se le califica como un administrador de un bien de uso público, al estar obligado a otorgar la conexión a toda central que lo requiera sin discriminación.. En la planificación de redes, se emplean modelos estáticos o dinámicos. Los modelos estáticos se utilizan cuando se requiere estudiar parámetros y variables relacionados con el lugar y cantidad de potencia en que se originan en un instante determinado (Kirschen & Strbac, 2004), mientras que los modelos dinámicos incorporan además un horizonte de tiempo discreto (Escobar, Gallego, & Romero, 2004). Ambos tipos de modelo plantean un conjunto de restricciones que permiten la operación del sistema, como el abastecimiento de su demanda a mínimo costo, incluso considerando cualquier contingencia que ocurra. Además, toman en cuenta la fisonomía de la red, con su limitancia en la capacidad térmica de sus líneas.. Una de las condiciones técnicas de los flujos de potencia en redes, y fundamental en el caso de una red enmallada, corresponde a la ley de voltaje de Kirchhoff. Dentro del modelo de Chao, Peck, Oren y Wilson (2000) se muestra cómo se comportan los flujos eléctricos para una red de 3 nodos, con tres líneas de idéntica resistencia como la mostrada en la Figura 1–1. Si el nodo 1 inyecta a la red una potencia de 15 MW para abastecer la demanda de otro nodo, esta potencia se distribuirá en forma inversamente proporcional a la resistencia equivalente que tengan sus caminos. Es decir, por el tramo 1-3, el flujo tendrá un factor de 2/3 de lo despachado (10 MW), mientras que por el tramo 1-2-3, el flujo será 1/3 de lo despachado (5 MW). Estos factores se les denomina factores de transferencia o PTDF (Power Transfer Distribution Factor)..

(19) 4. Figura 1–1: Red simple de 3 nodos. Los factores PTDF son posibles de obtener mediante una técnica matricial, ocupando la expresión:. PTDF = K · A · (AT ·K · A)-1 (1.1). en donde K es la matriz diagonalizada de las suceptancias negativas de las líneas y A es la matriz de incidencia nodo – arco, sin considerar el nodo de referencia. referencia Estos factores son útiles para la operación de la transmisión, pues no cambian de acuerdo a la cantidad de flujo que pasa sobre las líneas, y permite tarificar su uso al obtenerse los orígenes y destinos de cada MW transmitido.. 1.2. Incertidumbre en redes eléctricas Las metodologías de planificación más tradicionales operan desde una mirada centralizada, en que las redes de transmisión son planificadas en conjunto con las centrales de generación para satisfacer la demanda eléctrica. Sin embargo, estos modelos.

(20) 5. trabajan con pocos factores de incertidumbre, fundamentalmente relacionados con la demanda, la que incluso es posible estimar mediante una distribución probabilística.. Aún más, estos tipos de modelos no son compatibles con las estructuras actuales de los mercados eléctricos, debido a los procesos de desregulación ejecutados en diversos países. Esto provocó que cada sector (generación, transmisión y distribución) se encuentre con distintos tipos de incertidumbre.. En la generación, la toma de decisiones la ejercen los agentes privados. La decisión de construir una central es realizada de acuerdo al ambiente en que se encuentran: Las condiciones financieras actuales y futuras, la jurisprudencia del sector, la disponibilidad, ubicación y el costo de los recursos, la construcción de proyectos sustitutos, la evolución de la demanda del sistema, entre otros. Dependiendo de ello, toman libremente la decisión de construir una central generadora que les garantice el retorno de su inversión, la cual se hace pública justo antes de ingresar el proyecto a los trámites ambientales. La tramitación ambiental es altamente incierta, pues un proyecto puede demorarse desde 6 meses a más de un año y medio, y que muchas veces acarrean modificaciones sustanciales del proyecto, con lo cual el agente privado puede desistirse del proyecto, tenerlo guardado por un tiempo, o bien vendérselo a otro. Por último, el agente decide finalmente iniciar su construcción, lo cual es un proceso cuya duración dependerá según la central que se instale y que, por lo general, es de poca variabilidad. Este proceso se resume en la Figura 1–2, lo que hace presumir que la instalación de una central es un proceso sumamente complejo y de alta incertidumbre en todas sus fases..

(21) 6. Determinación privada. Anuncio público. Evaluación pública. •Privados determinan su portafolio de proyectos •Decisiones a priori no se conoce •Sujeto a •Demanda del sistema •Costos •Proyectos sustitutos. •Anuncio sobre la instalación de una central •Se conoce potencia y lugar, aunque no es la definitiva. •Ingreso del proyecto a tramitación ambiental •Diálogo con las comunidades •Tiempo de evaluación de alta variabilidad. Espera. Construcción. •Evaluación de privados ante posibles cambios en el entorno •Se conoce definitivamente la potencia, el lugar.. •Según el tipo de central, se conoce el período en que comenzará la operación •Período de construcción de poca variabilidad. Figura 1–2: Proceso de instalación de una central de generación. La distribución eléctrica es ejercida por agentes privados regulados por una concesión estatal, y que es explotada por zonas demográficas. Sin embargo, el rol que posee es suministrar energía atendiendo las necesidades de la zona, por lo que su toma de decisiones está relacionada con los procesos de compra y venta. Por el lado de la venta, enfrentan la incertidumbre de cuanta energía demandarán de los consumidores. Por el lado de la compra, el precio de la energía dependerá del precio con que se adquieren los bloques de energía1.. La propia transmisión eléctrica también enfrenta incertidumbre. Por el lado operacional, se presenta en las capacidades térmicas de las líneas (dependen de la temperatura. 1. Esto dependerá del sistema de transacción que se haya adoptado. Por ejemplo, si es de tipo pool (caso de. Colombia, Noruega, New England) el precio estará sujeto según la oferta admitida por una central para la demanda al instante. Si es del tipo bilateral (California, España), el precio será según el contrato que haya tenido los generadores con los distribuidores..

(22) 7. ambiental) y en las posibles fallas que pudiesen existir. Pero además, por su condición de servicio público, debe incluir dentro de su plan, la incertidumbre que traen los otros dos sectores. Por ello, para asegurar que ambos sectores puedan inyectar o suministrar la energía que se ha transado, debe proveer la infraestructura suficiente para otorgar la capacidad, confiabilidad y suficiencia requerida.. Sin embargo, este proceso no se desarrolla en forma independiente, sino que mediante un proceso generalmente regulado por la autoridad, y que generalmente es de larga duración. Por ejemplo, en Chile, el período que transcurre desde la deliberación entre el portafolio de proyectos que son económicamente viable hasta la puesta en operación de una línea es de alrededor de 3 a 4 años, tiempo muy superior a la construcción promedio de ciertos tipos de centrales (fundamentalmente eólicas y carbón). Estos procesos de planificación se ejecutan tomando en cuenta diversos parámetros internos y externos de la red, como la demanda, los precios actuales y futuros de la energía, el precio de los activos, la topología, la disponibilidad de la energía, el precio de las materias primas (fundamentalmente el cobre, acero y aluminio), las regulaciones existentes, etc. Debido a la regulación por la condición de monopolio natural, el proceso tiene como objetivo la minimización de los costos de operación e inversión, como una señal de contener los costos sociales de transmisión.. No obstante, este proceso también se encuentra sujeto a distorsiones por incertidumbre, ya que se planifica para un horizonte futuro a largo plazo. Esto causa alteraciones en los parámetros del problema, y que pudiese resultar en una errada toma de decisiones. Si bien existen incertidumbre que pueden ser controladas ya que poseen una distribución probabilística (como la demanda, indisponibilidad de líneas y centrales, costos de generación, entre otros), hay otras que no es posible pues depende de una combinación de factores impredecibles (como la expansión y salida de centrales o consumidores de alta demanda, los eventuales cambios regulatorios, costos de expansión, entre otros) (Buigy, Balzer, Shanechi, & Shahidehpour, 2004; David & Wen, 2001)..

(23) 8. Frente a este escenario, y tomando en cuenta el largo tiempo en que se demora el proceso de planificación de redes, en la literatura se han encontrado propuestas para enfrentar estos escenarios, tales como formar un proceso colaborativo entre los tres sectores del mercado para reducir el margen de incertidumbre (Wakefield, et al., 2008). También, han aparecido nuevos modelos que al introducir competencia e incentivos en el mercado de la transmisión, logran manejar adecuadamente dichas incertidumbres (Sauma & Oren, 2006; Buygi, et al., 2004). Por el lado de la optimización estocástica, es posible encontrar aplicaciones en planificación de redes. Sin embargo, aquellas sólo cubren la incertidumbre relacionada con la demanda, la cual, como se explicó anteriormente, posee una distribución probabilística conocida (Silva, Rider, Romero y Murari, 2006; Alvarez, Ponnambalam y Quintana, 2006; Nadira, Austria, Dortolina y Lecaros, 2003). Además, ese tipo de soluciones no es fácil de implementar, pues muchas veces la violación de una restricción suele acarrear costos significativos (en términos de la función objetivo).. 1.3. Planificación eléctrica en Chile Chile es uno de los precursores en la desregulación del mercado eléctrico a nivel mundial, al constituirse los Centros de Despacho Económicos de Carga (CDEC) en el Sistema Interconectado Central (SIC) y en el Sistema Interconectado del Norte Grande (SING) gracias al D.F.L N°1 año 1982. El año 1993, se forma la empresa Transelec con la misión de construir y operar las líneas de transmisión. Sin embargo, la reglamentación para la empresa de transmisión se actualizó recientemente, al aprobarse la Ley Corta I el año 2004. En líneas muy generales, el sistema de transmisión se divide en 3 tipos. En cada clasificación se regulan los activos de diferente forma (Empresas Electricas A.G., 2006):. •. Sistema Troncal: Califican aquellas líneas que muestren una variación relevante en los flujos debido al abastecimiento óptimo del sistema para diferentes.

(24) 9. escenarios, que superen una tensión nominal de 220 kV y que sus flujos no abastezcan el consumo de pocos clientes o provengan de un único generador. •. Sistema de Subtransmisión: Califican las líneas que tienen una tensión nominal entre los 20 y 154 kV. En general son líneas que conectan el sistema troncal con zonas dispersas en donde pueden existir diversas empresas distribuidoras, y no abastezcan a un solo cliente.. •. Sistemas Adicionales: Son líneas que conectan al sistema troncal o subtransmisión tanto a las empresas generadoras, como a los grandes clientes. Estas inversiones no están reguladas.. El sistema troncal es el más importante dentro del SIC, pues está sometido a una alta regulación, y se le caracteriza por ser un servicio público al igual que la subtransmisión. La valoración de sus activos se desarrolla en un Estudio de Transmisión Troncal (ETT) cada cuatro años, el que permitirá calcular las tarifas por peajes para los años sucesivos.. Con respecto a las expansiones del sistema, el mismo ETT las desarrolla. Sin embargo, cada año se actualizan a través de un proceso de revisión entre la Comisión Nacional de Energía (CNE), el Ministerio de Economía, el CDEC-SIC y Transelec, tomando en cuenta el cambio de escenarios según el plan de obras. Las decisiones que abarca este proceso son tomadas con el fin de conseguir un mayor beneficio social al sistema con un horizonte de planificación a 10 años. Este proceso parte con el envío de una primera propuesta que puede ser de cualquier usuario, pero en particular de Transelec, la cual es discutida, para llegar a la publicación del Plan de Expansión Troncal. En el caso de que alguna de las partes no llegue a acuerdo, se recurre al Panel de Expertos, los que deliberan y posteriormente se elabora el Decreto de Expansión Troncal con la calendarización de las obras.. Este decreto es el que definitivamente ordena la expansión del sistema troncal. Por su naturaleza, se distinguen dos tipos de ampliaciones: Obras nuevas y Ampliaciones a.

(25) 10. Obras Existentes.. La primera consiste en instalar nueva infraestructura que opere en forma independiente al estado actual de la red red, y siguen un proceso de licitación pública abierta. La segunda sigue un proceso de decreto de obra de expansión en que el propietario afecto a la instalación de la obra es quien la desarrolla. En las la Figura 1–3 y Figura 1–4 se muestra el proceso de expansión troncal 2009 2009-2010.. Se puede apreciar que este proceso dura al menos 4 años.. Fuente: Transelec Figura 1–33: Proceso de expansión troncal 2009-2010 (parte I).

(26) 11. Fuente: Transelec Figura 1–4:: Proceso de expansión tr troncal 2009-2010 (parte II). 1.4. Optimización Robusta Una na herramienta matemática poderosa que se ha estado desarrollando en la última década, y que aún no se ha aplicado en la planificación de redes, es la l optimización robusta. Propone que la incertidumbre que existe en los modelos de optimización sea introducida en distintos escenarios. La idea es encontrar una solución que se adapte a todos los escenarios posibles con tal de no violar las restricciones debido al a efecto de la incertidumbre,, pero que a la vez no presente un costo significativo sobre el sistema. Aquello se consigue situando un grupo de parámetros ámetros con incertidumbre en el peor caso que cada uno pueda presentar presentar.. El primer trabajo quee propuso este enfoque fue Soyster (1973),, quien propone que la protección ección adecuada para las restricciones ante parámetros inciertos, será aquella que permita satisfacer todos los escenarios, in incluyendo el peor. Sin embargo, esta posición es muy criticada, debido a lo demasiado conservador y el alto costo que presenta la solución óptima..

(27) 12. En seguida, Mulvey, Vanderbei, & Zenios (1995) sugieren penalizar la violación de restricciones en la función objetivo. Aunque se consiguen mejores resultados que en la optimización estocástica, la necesidad de conocer las probabilidades para los distintos escenarios hace que este modelo sea poco atractivo, pues en muchas ocasiones no es posible conocerlas. Bajo esta línea, se vislumbra una primera aplicación para la planificación de redes eléctricas, pero que no es muy representativo pues no considera la topología de la red ni la capacidad máxima que poseen las líneas (Malcolm y Zenios, 1994).. Sin embargo, el desarrollo mayor surgió a partir de la idea de Ben-Tal y Nemirovski (1999), quien plantea una solución para problemas lineales en que cada parámetro incierto se encuentra dentro de un conjunto convexo acotado, demostrando que para este tipo de problema existe una contraparte robusta. Este conjunto de incertidumbre tiene una distribución probabilística normal, la cual deriva en un Modelo de Optimización Cuadrático.. Uno de los trabajos más importante fue el desarrollado por Bertsimas y Sim (2004). Su propuesta permite trabajar con parámetros que no necesitan presentar una distribución probabilística; sólo basta indicar el promedio y las cotas. Se propone un parámetro Γ en las restricciones de incertidumbre, que va desde 0 (problema nominal; asume que no existe incertidumbre y toma los valores promedios) hasta el número de coeficientes inciertos (problema conservador, donde se asume que todos ellos mantienen el peor caso). Este parámetro indica la cantidad de coeficientes inciertos que serán tomados como peor caso, mientras que el resto representa el caso promedio. Si Γ no es entero, uno de los parámetros incierto adoptará una posición intermedia, dependiendo del número decimal. A Г se le denomina “precio” o “grado de la robustez”.. Este tipo de investigaciones ha servido en distintas aplicaciones. Por ejemplo, Maturana, Ordoñez, Perez, & Vera (2007) emplean esta técnica para planificar la producción de.

(28) 13. madera ante incertidumbres tanto en la demanda como en la materia prima existente por cada árbol talado. O bien, en Bertsimas & Thiele (2004) se aplica en cadenas de abastecimientos, ante una demanda incierta. Sin embargo, aún no se han encontrado aplicaciones en la operación y planificación eléctrica.. 1.5. Objetivos y descripción de la investigación El objetivo principal de esta tesis es aportar con una herramienta que apoye la toma de decisiones en los procesos de expansión troncal del SIC. Fundamentalmente estará enfocada en la búsqueda de soluciones robustas que sustenten la decisión futura de construir obras nuevas que aumenten las capacidades de las redes, ante la incertidumbre en la conexión de un conjunto de centrales a 10 años. Por tanto, no se tomarán en cuenta las obras relacionadas para mantener la confiabilidad del suministro eléctrico.. Con el fin de acotar este problema, se evaluará un modelo que considere únicamente incertidumbre sobre el período en que entren en operación las centrales generadoras. Esta incertidumbre genera un problema, pues la demora en los procesos de construcción (trámites medioambientales, negociaciones de terreno, diálogos con las comunidades, etc.) causa que los proyectos de ampliación en capacidad de transmisión entren en operación después de lo estipulado previamente por las empresas generadoras, impactando sucesivamente en la capacidad de respuesta y en los costos del sistema de transmisión.. Como la incertidumbre planteada no tiene distribución probabilística, se ha planteado usar la teoría de la optimización robusta según Bertsimas y Sim (2004). Dentro de la literatura, no ha habido aplicaciones relacionadas con el sector eléctrico, por lo que éste será el aporte al estado del arte..

(29) 14. Por ello, dado que un objetivo específico es trabajar con esta incertidumbre, el problema abordará sólo los aspectos técnicos más básicos para conformar las restricciones del sistema, como las leyes de Kirchhoff y la capacidad térmica de las líneas. Por otra parte, se aislarán los otros tipos de incertidumbre. Se supondrá que el sector de distribución como un ente predecible, pues la demanda es fácilmente predecible ya que tiene una alta correlación con el PIB de un país. Además, otras incertidumbres como la variación en los precios de la energía, el costo de las nuevas inversiones y la variación de la capacidad térmica de las líneas no se tomarán en cuenta.. Hay que mencionar que el efecto de la incertidumbre sobre el modelo es distinto al enfoque tradicional. Lo común es observar un solo parámetro incierto e independiente en cada restricción, pero que posea una variación dentro de un rango según una función probabilística. En el caso de esta tesis, la incertidumbre se manifiesta en la variación del número de parámetros modificables en una magnitud definida. Por esta razón, se consideró trabajar con dos mecanismos que en forma conjunta incorporan el efecto de forma indirecta: A través de la aplicación del “enfoque adversario” (Bienstock y Özbay, 2008), y el uso de las variables duales. El primero permite identificar el conjunto de parámetros inciertos cuyos valores afectarán en mayor medida a la función objetivo. Para el segundo, esta información se utiliza dentro del “enfoque adversario”, pues las variables duales representan el grado de cambio de la función objetivo cuando se modifica un parámetro incierto. De esta manera, el problema adversario elige un conjunto de parámetros que representa un escenario específico, que altera en mayor medida la función objetivo según las variables duales.. Se espera que los resultados de esta metodología identifiquen las mejores opciones para enfrentar los distintos escenarios que pueden surgir a futuro, pues su desacierto puede impactar en los costos del sistema. Si se sobredimensiona el sistema de transmisión, se corre el riesgo de costear una red más cara que no se utiliza en forma eficiente. Por otro.

(30) 15. lado, si se subdimensiona, existe una mayor probabilidad de que exista congestión en las líneas, y por ende, se genera energía a un costo mayor.. Por último, se espera realizar recomendaciones como una forma de incorporarlas a los actuales procesos de planificación. También se espera que este trabajo encabece una serie de ideas conforme a resolver otros tipos de incertidumbre, de manera de integrarlas a través de la optimización robusta.. 1.6. Estructuración de la tesis Esta tesis se estructura de la siguiente manera:. En el Capítulo 2, se plantea el problema de referencia para la planificación de redes eléctricas, aislando todo tipo de incertidumbre. Aquí, con el objetivo de presentar los aspectos técnicos a utilizar, se enuncian los supuestos que hay detrás del modelo, la función objetivo y las restricciones del problema, que servirán de base para el desarrollo del modelo propuesto.. En el Capítulo 3, se altera el problema anterior. Primero, se modifica la restricción asociada a la capacidad de generación. Luego, para integrar el grado de la robustez a un solo factor Г, se plantea el problema dual. Posteriormente, se plantea el problema dualadversario, que permitirá encontrar la combinación de centrales que representa el peor caso para un grado de robustez dado. Finalmente, se plantea un algoritmo que trabaje el problema primal con el dual-adversario.. En el Capítulo 4 se resuelve un ejemplo sencillo mediante el algoritmo propuesto, y se describen las características principales que presentan los resultados, en términos de costos sociales, infactibilidades posibles, magnitudes de inversión, etc. También se realiza un análisis de sensibilidad relacionado con el supuesto de que los precios nudos.

(31) 16. se mantienen constante. Por último, se discute el significado del grado de robustez para encontrar la solución de una red.. En el Capítulo 5 se plantea una red simplificada del SIC, que se usará para visualizar las obras de transmisión recomendadas a futuro. Se presentan resultados en forma preliminar.. En el Capítulo 6, se plantea una simplificación del algoritmo, con el fin de reducir los tiempos de ejecución. Además, se evalúa el rendimiento comparado con la solución del capítulo 5.. En el Capítulo 7, se analizan las variables resultantes de la solución óptima para la red del capítulo 5. Fundamentalmente, se estudia el listado de proyectos de gran impacto en la red y los patrones de crecimiento en las capacidades de las líneas. Por último, las ampliaciones son comparadas con lo señalado actualmente en el plan de obras.. Finalmente, en el Capítulo 8 se realiza una conclusión acerca de los alcances del algoritmo, y de los resultados obtenidos. Además, se proponen nuevas ideas a considerar para desarrollarlas en futuros trabajos de esta línea..

(32) 17. 2.. MODELO DETERMINÍSTICO. Antes de estudiar el efecto de la incertidumbre, se planteará un problema determinístico que planifique la infraestructura de transmisión, en donde se incorporen las restricciones de balance de energía, de topología de la red y las capacidades máximas de generación y transmisión. Por las características planteadas sobre esta incertidumbre, es fundamental que el modelo sea dinámico.. Es importante que el modelo considere el efecto cuando una línea alcance su máxima capacidad de transmisión. Cuando aquello sucede, la demanda no satisfecha es suplida por generación local de mayor costo. Por otra parte, una red con capacidades de transmisión sobredimensionadas puede traer como consecuencia un alto costo por inversión. Por tanto, ambos efectos deben estar controlados para conservar la eficiencia económica de la red.. 2.1. Supuestos El planteamiento del problema requiere enunciar algunos supuestos que permitan simplificar el problema, los cuales se muestran a continuación.. •. Los costos de operación de las centrales son lineales por barra conectada a la red: En cada nodo puede haber muchas centrales conectadas, los cuales pueden proveer la energía a diferente costo. Además, típicamente las centrales térmicas presentan costos marginales más altos cuando producen una mayor potencia. Para la preservación del modelo, se linealizará ambas componentes para calcular el precio por barra..

(33) 18. •. La inversión por aumento de capacidad de transmisión es lineal: Una de las mayores razones para que se presenten monopolios a nivel de transmisión es la presencia de economías de escalas en este negocio; a mayor capacidad de transmisión son menores los costos medios por MW transmitido. Sin embargo, estas economías de escala harían que este modelo sea no lineal e intratable. Por ello, para preservar la tractabilidad, se linealizará dicho parámetro según el valor actual neto de la inversión más el costo de mantenimiento anualizado.. •. Las decisiones de inversión en transmisión no considerarán costos de setup: Si bien, las decisiones de inversión son discretas, este factor haría que el problema original se convierta en entero-mixto, con el riesgo de que a futuro, el modelo sea intratable. Por tanto, los costos de inversión del modelo se reflejarán solamente en el aumento continuo de las capacidades de las líneas.. •. No se considerarán penalizaciones por falla: Se supondrá que el sistema no presenta fallas tanto en las centrales como en las líneas de transmisión. Sin embargo, más adelante se pretenderá hacer un análisis ex-post por si existiesen probabilidades de falla por un aumento sustancial de la capacidad.. •. No se considerarán las pérdidas de transmisión, ni el flujo de potencia reactiva: Esto permite la simplificación de parámetros técnicos, y tener una visibilidad sobre los efectos de una inyección adicional. De esta manera, se modelará la red a través de una aproximación en flujo DC.. •. La modificación de las capacidades de transmisión no alterará la matriz de factores de distribución (PTDF): La matriz PTDF permite modelar la distribución de potencia de la red, debido a la ley de voltaje de Kirchhoff. Sin embargo, la modificación de las capacidades trae como consecuencia la.

(34) 19. alteración de las admitancias para la transmisión, y por consiguiente, el cambio en la matriz PTDF. Esto no será considerado, puesto que transformaría los PTDF en variables, y consecuentemente, la restricción de la ley de voltaje de Kirchhoff en una multiplicación de dos variables. Por ello, este supuesto estará concebido para efectos de simplificación del problema.. •. Se deberá plantear una red que disponga de capacidad de generación efectiva durante todo el horizonte de tiempo: Es decir, la suma de las demanda de todos los nodos no deberá superar la capacidad de generación del sistema. Además, para sistemas que presenten congestión en líneas y traigan como consecuencia la separación económica del sistema, se aplicará el mismo criterio. De esta manera, se aislará la posibilidad de racionamiento (insuficiencia de energía).. 2.2. Definición de variables y parámetros Para la construcción del modelo, se han definido los siguientes parámetros:. Variables  : Potencia generada en el nodo i para el período p.  : Potencia transmitida por la línea l para el período p  :. Capacidad máxima de transmisión en la línea l para el período p. Parámetros  :. Elemento de la matriz de incidencia nodo-línea para el nodo i con la línea l.

(35) 20  :. Precio nudo para el nodo i.  :. Potencia demandada en el nodo i para el período p.  : Costo de inversión para la ampliación de capacidad en la línea l.  : Capacidad máxima de generación para el nodo i en el período p.  : Capacidad inicial disponible en el nodo i.  : Factor de transmisión para la potencia inyectada/extraída en el nodo i, que será dirigida a través de la línea l (PTDF).  : Capacidad de transmisión inicial para la línea l.  : Factor de descuento en la operación del sistema (equivalente a ) .  : Factor de descuento en la ampliación de nuevas capacidades (equivalente a Índices : Número total de líneas : Número total de nodos. : Número total de períodos. . . ).

(36) 21. 2.3. Modelo En esta tesis, el problema de la planificación se analiza desde el punto de vista del regulador, ya que como la transmisión presenta características de monopolio, las inversiones en transmisión deben ser determinadas por la autoridad. Por ello, una red económicamente adaptada se obtiene al minimizar el costo social, que incluye el costo de generación más el costo de inversión asociados a las ampliaciones en transmisión.. La función objetivo es la siguiente, en donde el primer término explica los costos de operación, el segundo los costos de inversión y el tercero es la valoración actual de la red, la que es constante y solamente se utilizará como referencia: . !"#$ %#$ %&#$ '. ), )*. ( ( . +- + )3. . . (  4 +.   -. 4. ), )3.  . ( (   / + +. . 0. 1 2. (2.1). Las restricciones se relacionan con la confiabilidad para el funcionamiento del sistema. A continuación, se presentarán junto a la variable dual que se ha definido. La siguiente es la aproximación en corriente continua de la ley de corriente de Kirchhoff, que representa el balance de potencia por cada nodo: )3.  0 ( +. . 5  6.  7777777777777777778.  97777777777777777777777777:;. (2.2). La ley de voltaje de Kirchhoff relaciona el reparto de las potencias para una red enmallada, a partir de los factores de distribución (PTDF):.

(37) 22 )3.  6 ( < 5 / 0 +.  2 77777777777777789 =77777777777777777:>777. (2.3). Además, existen restricciones de capacidad sobre el sistema, asociadas a las líneas de transmisión y la inyección en los nodos:  ? 0.  7777777777777777777777777777777777777777777777777777777789 =77777777777777777:@777. (2.4). ?  7777777777777777777777777777777777777777777777777777789 =77777777777777777:A. (2.5).  ?  7777777777777777777777777777777777777777777777777777777789 777777777777777777:B. (2.6). . Por otra parte, se asume que el sistema de transmisión siempre aumentará su capacidad a lo largo del horizonte de tiempo, por lo que las actuales líneas existentes no salen jamás de la operación. Junto con ello, el sistema comienza desde una capacidad inicial: C  =7777777777:D. (2.7). 6  7777777777777777777777777777777777777777777777777777777778=777777777777777777777:F. (2.8). 1. -E. ?.  7777777777777777777777777777777777777777777777777789. Por último, la variable  necesariamente tiene que ser no negativa, mientras que tanto  como. restricción (2.8).. . son libres (aunque esta última es positiva, está acotada por la.

(38) 23  G 7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777789 H777777. (2.9). Una observación importante es que, por la teoría de la dualidad, para cualquier solución la variable y5 es negativa o nula, debido a la desigualdad “menor” de la restricción. Esto. implica que al disminuir la magnitud del parámetro  , el valor de la función objetivo. aumentará o no se alterará. Esto se explica en que, por ejemplo, si disminuye la. capacidad de un nodo que está generando toda su capacidad disponible, el modelo asignará la generación faltante a otro nodo cuyo costo sea mayor, provocando por consiguiente, un aumento en la función objetivo. O bien, si un nodo no genera toda su capacidad disponible, una disminución menor en la capacidad no alterará la solución (seguirá generando la misma cantidad), y en consecuencia, la función objetivo no cambiará..

(39) 24. 3.. MODELO CON INCERTIDUMBRE. Del capítulo 2, se puede deducir fácilmente que la incertidumbre que se ha planteado se relaciona con la capacidad disponible para la generación, es decir, sobre el parámetro c(p,i) de la restricción (2.6). Sin embargo, el efecto de la incertidumbre sobre el modelo es tal que la conexión de una central aumenta súbitamente la capacidad de generación disponible en un nodo entre un periodo y el siguiente, causando en muchas ocasiones un desequilibrio en la adaptación económica al sistema.. Asimismo, es importante recalcar que no existe una distribución probabilística para este tipo de incertidumbre, por lo que no es posible trabajar con elementos de optimización estocástica. Por ello, se empleará la teoría de la optimización robusta, pues su análisis estudia los distintos escenarios en que se presentan en el modelo. En la realidad, es poco probable que los plazos en la conexión de todas las futuras centrales se cumplan conjuntamente; siempre habrá casos en que se atrasen por diversos motivos (medioambientales, decisión privada, etc.). De la misma manera, tampoco no es probable que todos los proyectos presenten demoras para la conexión al sistema. Por ello, una alternativa es situarse en un lugar intermedio entre ambos criterios.. Como una forma de cuantificar este lugar intermedio, Bertsimas y Sim (2004) lo asocian a un factor gamma (Γ), que explica la cantidad de futuras centrales que se presentarán en el peor caso para el modelo. Es decir, para este modelo Г representará la cantidad de centrales que se atrasen. Este factor es fijado por el modelador, y es un valor que se encuentra entre 0 y el número total de centrales. Si Γ no es entero, entonces uno de los parámetros adoptará una posición intermedia, dependiendo de la fracción decimal. No obstante, la dificultad se encuentra en descubrir cuáles son los proyectos se ubicarán en su cota máxima, y que afecten negativamente al sistema por sobre los demás casos, pues esto conforma un problema combinatorial de difícil resolución..

(40) 25. Sin embargo, la aplicación de la optimización robusta sobre el modelo de planificación planteado en la sección 2.3 posee una complejidad mayor, debido a que la incertidumbre afecta en el periodo p donde el parámetro c(p,i) se modificará. Esto da origen a un salto abrupto en la capacidad instalada al comparar la entrada de una central en dos periodos sucesivos. Junto con ello, a diferencia de lo que plantea Bertsimas y Sim (2004), otro. problema es que la toma de decisiones, que es revelada por medio de la variable rpl, se encuentra en restricciones distintas a c(p,i).. Por ello, se trabajará con un algoritmo que incorpore el parámetro Г, y que ayudará a resolver este problema de forma indirecta. Este algoritmo incorpora dos metodologías matemáticas.. La primera es trabajar con las variables duales del modelo determinístico. Específicamente, el conjunto de variables duales y5 muestra los nodos más incidentes de la red, pues reflejan la magnitud con que cambia la función objetivo al alterar los parámetros de capacidad. De esta manera, se puede determinar los escenarios que presenten el peor desempeño.. Además, un resultado secundario de trabajar con el problema dual es que, al contrario del problema primal, los parámetros de incertidumbre se reúnen conjuntamente en una sola expresión: la función objetivo. De esta manera, se puede plantear un solo parámetro Г para todo el problema.. La segunda es incorporar el esquema “enfoque adversario” (Bienstock y Özbay, 2008). Como la incertidumbre se manifiesta a través del índice ‘p’ sobre la variable c(p,i) que provoca un aumento abrupto, esto no es posible trabajarlo en el problema primal, porque este problema se enfoca en optimizar el costo social y no en buscar un escenario que cumpla ciertas condiciones. De esta manera, el enfoque separa del primal el problema de.

(41) 26. decisión de escenarios para los parámetros c(p,i), y es resuelto según el valor del parámetro Г y las valores duales y5.. El algoritmo se resume de la siguiente manera: Se resolverá el problema primal en base a la estimación inicial en que las centrales se conectarán al sistema. Luego, se usarán los resultados obtenidos para solucionar un problema adversario, basado en el equivalente dual del problema original. Ello entregará como solución una aproximación al peor escenario de los c(p,i), bajo las condiciones en que se mueve la incertidumbre. Finalmente, este nuevo escenario es propuesto dentro de las restricciones para el problema original, volviendo nuevamente al problema adversario y así sucesivamente hasta que los valores de ambas funciones objetivos coincidan.. 3.1. Supuestos Para el planteamiento de este esquema, se añadirán las siguientes suposiciones:. •. La capacidad y localización de las nuevas centrales generadoras serán conocidas: La intención es realizar un análisis de la incertidumbre sobre el instante en que se encuentran disponible las nuevas centrales, por lo que se asumirán que los datos de capacidad y localización son conocidos por el modelador.. •. El período en que entrará en operación una central es incierto, pero con valor medio y cotas conocidas: Este supuesto le otorgará las cotas al modelo, para vislumbrar los peores casos. Además, como el peor caso sucede cuando se atrasen las centrales, y dado que la cota inferior mejora el problema, ésta se desestimará.. •. La conexión de una nueva central generadora al sistema no afectará el precio nudo: Por lo general, estos precios cambian cuando se instala una nueva central,.

(42) 27. pues cada una tiene un costo de generación independiente, lo que debiese alterar el precio nudo. En consecuencia, w(i) está correlacionado con c(p,i). Sin embargo, se permitirá este supuesto, pues incluir dentro del modelo una etapa de interacción de precios por decisiones de los privados a nivel de planificador central de redes, sería complicado de desarrollar y se alejaría del objetivo de esta tesis2.. 3.2. Definición de variables y parámetros adicionales Además de los presentados en la sección 2.2, se proponen las siguientes definiciones, las que serán válidas durante todo este trabajo.. Parámetros adicionales para el enfoque adversario  : Capacidad inicial disponible en el nodo i cinf(f,p,i): Capacidad disponible por la futura central f en el nodo i para el periodo p, en el caso nominal. Tendrá como valor la potencia ingresada desde el período medio hasta el último periodo a estudiar. Si f no se encuentra en el nodo i o p es menor que el periodo en que se conectará en el caso nominal, el valor es nulo. ∆sup(f,p,i): Variación que sufre la capacidad en un nodo, cuando se posterga la entrada de una central en su peor caso. Tiene el valor de la potencia de la central f ubicada en i, entre los periodos medio y máximo. Si f no se encuentra en el nodo i, p es menor que el. 2. Este tipo de interacciones es posible modelarlos mediante teoría de juegos. Un ejemplo para una. planificación proactiva es el trabajo de Sauma y Oren (2006).

(43) 28. periodo en que se conectará en el caso nominal o p es mayor que el periodo en que se conectará en el peor caso, el valor es nulo. ∆mid(f,p,i): Variación que sufre la capacidad en un nodo, cuando se posterga la entrada de una central en un intervalo medio. Tiene el valor de la potencia de la central f ubicada en i, entre el período medio y la fracción entre la diferencia para llegar al máximo, según la parte decimal de gamma. Si f no se encuentra en el nodo i, p es menor que el periodo en que se conectará en el caso nominal o p es mayor que el periodo en que se conectará en el peor caso, el valor es nulo. L : Parámetro que representa la sustracción de potencia cuando una central se atrasa.. Este es un parámetro para el problema primal, mientras que para el modelo dualadversario actuará como variable.. Variables adicionales para el enfoque adversario M;N : Variable binaria; tiene como valor 1 si el proyecto f será considerado como peor. caso (período máximo).. M>N : Variable binaria; tiene como valor 1 si el proyecto f será considerado como dentro. del caso nominal (período medio).. M@N : Variable binaria; tiene como valor 1 si el proyecto f será considerado como caso. intermedio, entre el período medio y máximo.. Índices adicionales para el enfoque adversario. NF: Número total de futuros proyectos.

(44) 29. 3.3. Modelo primal El modelo primal será el planteado en la sección 2.3, con la sola modificación de la restricción (2.6), quedando de la siguiente manera: )Q.  ?  . (  OP 0 L 777777777777789 P+. (3.1). El primer término de la parte derecha muestra la capacidad actual de generación disponible en el nodo i, el segundo término es la sumatoria de la capacidad disponible de todas las futuras centrales generadoras que se instalarán en el período p sobre el nodo i, y el tercer término sustrae la potencia que estará disponible a futuro para una central generadora, debido al atraso en su construcción.. Como la incertidumbre se explica por “cuándo” estará disponible una central, las. sucesivas iteraciones al problema se establecerán a través del parámetro L . Este. parámetro será alterado según el resultado del problema adversario. En consecuencia, a través de este parámetro, el problema primal obtendrá la información resultante del. problema adversario. En la sección 3.5, el parámetro L se definirá formalmente.. Es importante observar que, al igual que en el capítulo 2.3, la restricción (3.1) continúa teniendo una variable dual negativa pues la desigualdad no ha cambiado de forma. Por lo. tanto, si algún proyecto se atrasare (el parámetro L aumenta), el costo de la función objetivo será igual o mayor que el actual..

(45) 30. 3.4. Modelo dual El modelo primal planteado posee un inconveniente adicional para estudiar su robustez según Bertsimas y Sim (2004). Como se ha descrito, existe un parámetro con incertidumbre que está presente en la restricción de capacidad de generación por cada nodo de la ecuación (3.1). Por lo tanto, habría que tener tantos parámetros Г como nodos existentes, lo que haría muy complejo el estudio de la robustez del problema.. Sin embargo, es posible plantear un solo parámetro Г que reúna el efecto que tienen todas las incertidumbres en el problema. Al plantear el equivalente dual del problema, las fuentes de incertidumbre se reúnen en una sola expresión: la función objetivo. El problema dual es descrito en las siguientes expresiones (al costado de las restricciones se anuncia la variable que es representada según el problema primal): []. [\. 96. 6;. RST ( ( 4:;9 . UVUW. []. 9 . [\. []. [\. 96;. 6;. Y. .4 ( ( :B9  X  . (  OO9  0 L9  Z77. [^. [^. O6;. 0 ( ( ( < = 9  :>9= . ( = :F= p6. 6; =6;. _6;. (3.2). Sujeto a `a. :; 0 ( < :> . :B ? 7  +. `b. 0( +.  :;.  777777777777777777777789. 7777777. . :> . :@ 0 :A 6 7777777777777789 =77777777. (3.3). (3.4).

(46) 31 0:@ 0 :A 0 :D ? /7  0 7 1 2 . 787= 9 c d;  0 ;e77  (3.5). 0:@), 0 :A), 0 :D), ? 47 ), 4  7777777777777777777777777787=7777777777 . (3.6). 0:@- 0 :A- . :D- . :F ? ;4047   7777777777777777777777777777787=777777777777 . (3.7). :@  :Af  :Bf  :Df 7 ? 777777777777777777777777777777777777777777777777787H = 9777. (3.8). En base a la función objetivo descrita, interesa describir las variables duales que se relacionan con las capacidades de generación. La variable dual y5 representa la magnitud de cambio de la función objetivo del problema primal cuando se altera la capacidad de generación. Concordando con lo mencionado en el capítulo 2.3, esta variable tiene valor nulo o negativo en el óptimo, según la restricción (3.8).. 3.5. Modelo dual-adversario Como fue mencionado, el “enfoque adversario” trata de resolver un nuevo problema de optimización, pero a diferencia del otro modelo, los parámetros que son inciertos serán las variables del problema, mientras que el resto permanecerá constante. Esto es planteado con el fin de obtener el conjunto de capacidades máxima con que la función objetivo presentará su peor resultado.. Los parámetros inciertos del problema dual-adversario corresponden únicamente a la. componente de atraso de los proyectos (L ). Por otra parte, el dominio está compuesto. por los distintos escenarios que se han propuesto para cada central que entrará en operaciones, el cual estará configurado según los parámetros de la optimización robusta..

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