( x) Ejercicios. 2. Estudiar la función de la forma : 2. Solución : 1.- Dominio de la función :

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(1)

Ejercicios

2. Estudiar la función de la forma :

2 ) ( 2 + = x x x f Solución : 2 ) ( 2 + = x x x f 1.- Dominio de la función :

Su dominio será todoℜ menos los puntos donde el denominador sea 0. Por tanto 2 0 2= ⇒ = − + x x . El dominio de la función es : ℜ−{2}=

(

−∞,−2

) (

∪ −2,+∞

)

2.- Continuidad y derivabilidad :

Se trata de una división de funciones polinómicas, por lo que la función es continua y derivable en todo su dominio, es decir, es continua y derivable en

(

−∞,−2

) (

∪ −2,+∞

)

.

3.- Simetrías y periodicidades : Para todo x∈ℜ−{2} :

( ) ( )

f

( )

x x x x x x f ≠ + − = + − − = − 2 2 2 2

No es una función par

( ) ( )

f

( )

x x x x x x f ≠ − + − = + − − = − 2 2 2 2

No es tampoco una función impar.

Tampoco es una función periódica.

4.- Puntos de corte con los ejes:

Con el eje x f(x)=0: ; 0 0 0 2 ) ( 2 2 = ⇒ = ⇒ = + = x x x x x

f Así, obtenemos que la función corta al eje de las X en el punto x =0.

(2)

Con el eje y x =0:

Como hemos obtenido que el punto

( )

0,0 es un punto de corte con el eje de las X y también lo es del eje de las Y, ya no hace falta buscar más, pues puntos de corte para el eje de las X puede haber muchos, pero cortes con el eje de las Y sólo puede haber uno (ya que si hubiera dos, tendríamos que para x =0 la y toma dos valores distintos, lo cual va en contra de la propia definición de función).

5.- Signo de f : Como

( )

2 2 + = x x x

f , deducimos que el signo de f

( )

x es el mismo signo que el de x+2 ya que el otro numerador es siempre positivo.

El signo, por tanto, queda reflejado en la siguiente tabla :

(

−∞,−2

)

2

(

−2,0

)

0

( )

0,∞

(

x+2

)

-

0

+

2

+

( )

x f

-

No es del dominio

+

0

+

6.- Asíntotas : Asíntotas verticales : ( )

( )

= ( ) − + = −∞ → 2 2 2 2 x x lim x f lim x x ( ) +

( )

= ( ) + + =+∞ → 2 2 2 2 x x lim x f lim x x

Por tanto, la recta de ecuaciónx=−2 es una asíntota para la función f

( )

x . Es importante resaltar que la función se acerca infinitamente a esta recta en el punto -2, pero a cada lado por un sitio.

Asíntotas horizontales : −∞ = + = −∞ → −∞ → ( ) 2 2 x x lim x f lim x x +∞ = + = +∞ → +∞ → ( ) 2 2 x x lim x f lim x x

(3)

Asíntotas oblicuas :

Buscamos asíntotas que sean rectas del tipo y=mx+n. Para ello, calculamos :

1 2 2 ) ( 2 2 2 = + = + = = ±∞ → ±∞ → ±∞ → x x x lim x x x lim x f lim m x x

x Así, obtenemos que m=1

Pasamos a calcular el valor de n .

(

)

2 2 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 − =       + − =       + − − =       − + = − = ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ → x x lim x x x x lim x x x lim x x f lim n x x x x

Así, la recta de ecuación y= x−2 es una asíntota para la función f

( )

x .

Hemos de ver, una vez calculada la asíntota, de qué modo se acerca la función a esta recta (si se acerca por encima de ella o por debajo de ella). Para ello, se pueden utilizar dos procedimientos :

El primero de ellos es poco fiable y consiste en dar unos cuantos valores acercándonos al infinito (+∞ ó -∞ dependiendo del caso). En este caso, tomando por ejemplo el valor x = 300, obtenemos que

( )

298,01 302 300 300 2 = = f y sustituyendo en la recta y=300−2=298. Por tanto, la función irá por encima de la asíntota, ya que f

( )

x > . y

El segundo método, más científico, consiste en calcular :

( ) (

)

(

)

(

)

+ +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → = + =     + − + =       − − + = − − 0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 x lim x x x lim x x x lim x x f lim x x x x

( ) (

)

(

)

(

)

− −∞ → −∞ → −∞ → −∞ → = + =     + − + =       − − + = − − 0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 x lim x x x lim x x x lim x x f lim x x x x

De donde obtenemos que, cuando se tiende a + la función es más grande que la recta ∞ y entonces, la función va por encima de la recta ; y cuando se tiende a −∞ la función es más pequeña que la recta (ya que se obtienen valores negativos al restar una a la otra) y por tanto la función irá por debajo de la recta.

7.- Máximos, mínimos. Crecimiento y decrecimiento :

Como las dos funciones son polinómicas (por tanto derivables en todo su dominio), se pueden aplicar los teoremas de caracterización de los extremos locales.

De esta forma, calcularemos la primera derivada, igualaremos a 0 y las soluciones de la ecuación que obtengamos serán los candidatos a ser extremos locales o puntos de inflexión.

(4)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

0

(

4

)

0 4 2 4 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 = + ⇒ = + + ⇒ + + = + − + = ′ x x x x x x x x x x x x x

f Las soluciones serán :

     − = ⇒ = + = 4 0 4 0 x x x

Como la función es derivable dos veces en el dominio que nos interesa, podemos comprobar si son máximos, mínimos o puntos de inflexión calculando su segunda derivada.

( ) (

)(

)

(

)

(

)

(

+

)

=

(

+

)

= + + − + + = ′′ 3 4 2 2 2 8 2 2 2 4 2 4 2 x x x x x x x x

f Por tanto, sustituyendo los

dos puntos obtenidos :

(En realidad no nos hacía falta simplificar tanto la segunda derivada para ver si es máximo o mínimo, pues sólo nos interesa ver su signo, y además, el denominador, al estar elevado a 4 siempre será positivo)

( )

( )

4 0 Esun máximo 4 mínimo un Es 0 0 0 ⇒ < − ′′ ⇒ − = ⇒ > ′′ ⇒ = f x f x Conocemos un punto más :

(

− −4 8,

)

que es máximo, y conocíamos

( )

0,0 que es mínimo.

En este caso, no podemos suponer que si en el punto -4 es un máximo, entonces, en el punto 0 tiene que ser a la fuerza un mínimo, ya que la función no es continua en x=-2 y por tanto, podríamos tener perfectamente, dos máximos o dos mínimos, ya que, al cortar la función en el punto x=-2, ya no podemos decir que la función debe pasar de un máximo a un mínimo.

De la misma forma, para saber si es máximo o mínimo o punto de inflexión, no es imprescindible que se calcule la segunda derivada, También se puede ver comprobando el signo que tiene la función derivada en los intervalos :

(

−∞,−4

)

,

(

−4,−2

)

,

(

−2 0,

)

,

(

0,+∞

)

Este último método se utiliza sobre todo cuando la función no es dos veces derivable. Además, con este método, se calcula también cuándo la función es creciente y cuándo la función es decreciente. Como ejemplo, lo calcularé :

( )

(

)

(

(

)

)

′ = + + = + + f x x x x x x x 2 2 2 4 2 4 2

(5)

(

−∞,−4

)

-4

(

−4,−2

)

-2

(

−2 0,

)

0

(

0,+∞

)

x

- -4 - -2 - 0 +

x

+ 4

- 0 + 2 + 4 +

( )

x f ′ + 0 - - 0 +

f

máximo mínimo

8.- Puntos de inflexión. Intervalos de concavidad y convexidad :

Para ver los puntos de inflexión, se calcula la segunda derivada y se iguala a 0.

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

′′ = + + − + + + = + = ⇒ f x x x x x x x x 2 4 2 2 2 4 2 8 2 0 2 2 2 3 No hay solución.

Por tanto, no existe ningún punto de inflexión.

Sabiendo cuáles son los máximos y los mínimos, podemos decir que en el intervalo

(

−∞ −, 2 la función será convexa y en el intervalo

)

(

− +∞2,

)

la función será cóncava.

En este caso el punto x= −2 funciona como si fuera un punto de inflexión, pero es pura casualidad. No es necesario, si la función no es continua en un punto, que la gráfica pase de ser cóncava a convexa y viceversa. Sin embargo, si es necesario considerar el punto (o los puntos) donde la función no es continua como posibles puntos donde la función puede pasar de ser cóncava a convexa (y viceversa).

De la misma forma que hicimos para calcular los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, el cálculo de los puntos de inflexión y de los intervalos de concavidad y de convexidad se puede realizar sabiendo lo siguiente :

Una vez calculado la segunda derivada e igualado a cero para obtener los puntos de inflexión o en su caso, los puntos en los que la función no está definida, si hacemos un estudio del signo de la segunda derivada, obtendríamos los puntos en los que la segunda derivada es positiva o negativa y por tanto, la primera derivada es creciente o decreciente (ya sabemos que una derivada positiva implica una función creciente, por tanto, si la segunda derivada es positiva, la primera derivada será creciente).

Por tanto, si obtenemos los puntos donde la primera derivada es creciente, esos serán los puntos en los que la función primitiva era cóncava. Y viceversa, si obtenemos los puntos donde la primera derivada es decreciente, esos serán los puntos en los que la función primitiva era convexa.

El estudio del signo sería:

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

′′ = + + − + + + = + f x x x x x x x x 2 4 2 2 2 4 2 8 2 2 2 2 3

(6)

(

−∞ −, 2

)

-2

(

− +∞2,

)

(

x+ 2

)

3 - 0 +

( )

x

f ′

- +

( )

x

f ′

No importa

( )

x

f

convexa cóncava

Esto se utiliza cuando no podemos calcular o no existen los máximos y los mínimos. También se puede utilizar cuando no nos hace falta calcular los máximos y los mínimos para representar la función.

Figure

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