SUMA PRODUCTO COCIENTE. f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x) g(x) f(x).g(x) f(x) g(x) f(x)/g(x)

(1)

OPERACIONES CON LÍMITES:

SUMA PRODUCTO COCIENTE f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x) g(x) f(x).g(x) f(x) g(x) f(x)/g(x) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ α β α+β α β α.β α β≠0 α /β +∞ β +∞ ∞ β≠0 ∞ ∞ β ∞ −∞ β −∞ ∞ ∞ ∞ α ∞ 0 +∞ +∞ +∞ ∞ 0 ? α≠0 0 ∞ −∞ −∞ −∞ acot 0 0 ∞ ∞ ? +∞ - ∞ ? 0 0 ? “INDETERMINACIONES” :

“

+∞−∞

” “

∞

.

0 ” “

∞

/

∞

” “

0 /

0 ”

LÍMITES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA. y y ex Lx 0 1 x 1 0 x

x

→

e

x

→

g(x)

→

e

g(x)

→

x

→

Lx

→

g(x)

→

Lg(x)

→

−∞

0

+

−∞

₀

+ ₀+

−∞

₀

+

−∞

a

∈

R

e

a

∈

R

e

a

∈

R+

La a

∈

R+

La

0 1 0 1 1 0 1 0

+∞

6to Arq

MATEMÁTICA

(2)

LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES 1) LÍMITES DE LA FUNCIÓN CONSTANTE:

Sea f : f (x) = k / k∈R. De acuerdo a las definiciones de límite : y

lím k = k k “el límite de una x→a constante es la x→∞ propia constante”

0 x

2) Consecuencia de los teoremas de límite de la suma y el producto surge :

Si f es una función polinómica ⇒

lím f (x) = f (a)

x→a

(es continua!!!)

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE LÍMITES : (se aplicarán los teoremas de las tablas) →10 →1 →2 1) 2 3 ) 1 ).( 3 ( 2 2 ₊ = − + → x x x x lím_x 2) =∞ − + − → 1 3 2 1 x x lím_x →5 →0 →3 3) lím =−∞ − + 4 5 2 x x Para determinar si x2-4 tiende a 0- o 0+ le estudiamos x → -2+ _→0- su signo : sig(x2-4) + + + + + 0 - - - -0 + + + + + ++ -2 ← 2 x →0 → -8 4) lím = − + − 4 12 5 2 2 3 x x x lím 2 ) 2 ).( 2 ( ) 6 3 ).( 2 ( 2 − = + − − − − x x x x x x→2 x→0 x→2 →4

Este es el primer caso de indeterminación que nos encontramos. Teniendo en cuenta que tanto numerador como denominador tienen raíz 2 Pueden factorizarse aplicando el teorema de Descartes : f(x)=(x-2).Q(x) (siendo Q(x) el cociente de dividir f (x) entre x-2). 1 -5 0 12

2 2 -6 -12 ⇒ x3-5x2+12=(x-2).( x2-3x-6) 1 -3 -6 0

(3)

0 0 0 LÍMITES PARA X→ ∞ Ejemplo: − + − = − + − = 3 =∞ 3 2 3 2 3 . ) 1 1 2 1 .( . ) 1 2 .( límx x x x x lím x x x lím x→∞ x→∞ ↓ ↓ ↓ x→∞ 1 ∞ ∞ ∞

Razonando en forma análoga, podemos deducir que : lím (anxn + an-1xn-1 +…..+ a0 )= lím anxn

x→∞ x→∞ Ejemplos: →+∞ 1) lím (-2x3 +4x-1)= lím (-2 x3) = -∞ x→ +∞ x→ +∞ 2) lím (3x4 -4x3+2)= lím (3 x4) = +∞ x→ +∞ x→ +∞

EQUIVALENTES:

DEF: f (x) ≈ g (x) ⇔ lím 1 ) ( ) ( ₌ x g x f x→a x→a ∞ ∞ x2 -1 y EJEMPLOS: →2 1 1) lím = − − ) 1 ( 2 1 2 x x lím = − − + ) 1 ( 2 ) 1 )( 1 ( x x x 1  →def.≈ x2 −1≈2(x−1) 1 x→1 x→1 1 x→1 (Observar las gráficas en un entorno de centro 1)

2(x-1) 2) lím (anxn + an-1xn-1 +…..+ a0 )= 1 (justificar)

x→∞ anxn

⇓

def.≈

(anxn + an-1xn-1 +…..+ a0 ) ≈ anxn x→∞ (an≠0)

Puede demostrarse también que:

n

(anxn + an-1xn-1 +…..+ a0 ) ≈ anxn x→∞ (an≠0) (en condiciones de ∃)

Ejercicio: Demostrar que si lím f(x) = α ≠ 0 ⇒_{f (x) ≈ α}

x→a x→a

DOS EQUIVALENTES IMPORTANTES:

e

u(x)

-1

∼

u(x)

→

0 Lu(x)

∼

u(x) – 1

(4)

SUSTITUCIÓN POR EQUIVALENTES:

Demostraremos que en el cálculo de límites es posible sustituir en ciertas condiciones una expresión por una equivalente sin alterar el límite.

TEOREMA DE SUSTITUCIÓN POR EQUIVALENTES EN PRODUCTO: H f (x) ≈ h(x) T lím f(x).g(x) = lím h(x).g(x)

x→a x→a x→a ∃ lím f(x).g(x) x→a h(x)≠0 ∀x∈E(a,δ) Demostración : →1 por H y def.≈ lím f (x).g(x) = lím f(x) .h(x).g(x) = lím h(x).g(x) x→a x→a h(x) ↓ x→a

teoremas de límite del producto. Divido y multiplico por h(x)≠0 en E(a,δ)

TEOREMA DE SUSTITUCIÓN POR EQUIVALENTES EN COCIENTE: (completar enunciado y demostración)

H f (x) ≈ h(x) T lím f(x)/g(x) = ... x→a x→a ∃ lím f(x)/g(x) x→a h(x)≠0 ∀x∈E(a,δ) Demostración : →………..- lím f (x)/g(x) = lím f(x) .h(x) = ……… x→a x→a ... g(x) ↓ x→a

...

... SUSTITUCIÓN EN LA SUMA :

Puede probarse que es posible sustituir por equivalentes en el límite de una suma, salvo el caso de diferencia de equivalentes.

EJEMPLOS : ∼ 3x2 _∼x 1) lím (3x2 +3x-6).(x+2) = lím 3x2 .x = lím 3 = 0 x→ +∞ (x2 +5).( x2 –5x) x→ +∞ x4 x→ +∞ x ∼ x2 _{∼ x}2

(5)

x > 0 por ser x→ +∞ ∼ 2 4x = 4 x2 =2.x =2.x 2) lím + = x x x2 4 lím 2 =2 x x x→ +∞ x→ +∞ x < 0 por ser x→ -∞ ∼ 2 4x = 4 x2 =2.x =−2.x 3) lím + = x x x2 4 lím −2 =−2 x x x→ -∞ x→ -∞ ∼ 2x 4) lím ( 4x2 +x −x)= lím (2x-x) = lím x = +∞ x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞

no puede sustituirse por equivalentes

∼2x ↑ por ser diferencia de equivalentes.

5) lím ( 4 2 + −2 )= x x x lím = + + − + x x x x x x 2 4 4 4 2 2 2 lím 4 1 4x = x x→ +∞ ↓ x→ +∞ ↓ ∼2x x→ +∞ B A B A B A + − = − 2 2 ∼ 4x no puede sustituirse por equivalentes

∼ -3x ↑ por ser diferencia de equivalentes. 6) lím ( 9 2 −5 +3 )= x x x lím = − − − − x x x x x x 3 5 9 9 5 9 2 2 2 lím 6 5 6 5 ₌ − − x x x→ -∞ ↓ x→ -∞ ↓ ∼ -3x x→ -∞ B A B A B A − − = + 2 2 ∼ .6x

(6)

EAyRG DE UNA FUNCIÓN RACIONAL INCLUYENDO LÍMITES, EJEMPLO: Sea f : f (x) 1 2 2 − − = x x x D(f)=R - ±1 SIGNO ; sig f (x) + + + ∃ - - - - 0 + + + + ∃ + + + + + + -1 0 1 x LÍMITES: →2 lím = ∞ − − _m 1 2 2 x x x sig (x2-1) + + + 0 - - - 0 + + + x→ −1±_x→0m -1 1 x →1 1 lím = − − 1 2 2 x x x lím 2 1 ) 1 ).( 1 ( ) 1 .( = − + − x x x x x→ 1 x→ 1 →2 1 ∼ x2 lím = − − 1 2 2 x x x lím ₂ = 2 x x 1 x→±∞ ∼ x2_x→±∞

Queda a cargo del lector efectuar el bosquejo gráfico.

teorema de sustitución en cociente.

EJERCICIOS: Estudio analítico y bosquejo gráfico de :

3) f . f (x) ) 1 .( 2 2 2 + − − = x x x x 4) f : f (x) 3 2 ) 1 .( 2 2 − + − = x x x x 5) f : f (x) 4 2 2 − − = x x x 6) f : f (x) 3 2 3 1 − − + − = x x x 7) f : f (x) 1 4 4 2 2 − − = x x 8) f : f (x) 3 2 2 3 − + − = x x x x

EAyRG DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL INCLUYENDO LÍMITES, EJEMPLO: f : f (x) 3 − = x x

e

x

−

+

1

D(f)=R - 1,3 SIGNO : sig 3 − x x + + + 0 - - - - - - ∃ + + + + + + + + + + 0 3 x sig

e

x

−

+

1

+ + + + + +∃ + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 x sig f (x) + + + 0 - - ∃ - - - - - - -∃ + + + + + + + + + + + 0 1 3 x

(7)

−∞ 3 -2 +∞ 3 LÍMITES :

lím

_x_→₃− 3 − x x

e

x

−

+

1

= −∞

lím

_x_→₃− 3 − x x

e

x

−

+

1

= +∞ 0- e -2 >0 e -2 >0 _{+∞ 2} _{−∞ 2} −1/2 1 0+ -1/2 0-

lím

_x_→₁− 3 − x x

e

x

−

+

1

= −∞

lím

_x_→₁+ 3 − x x

e

x

−

+

1

= 0 -2 +∞ +∞ 0+ 1 ∼ x -1 ±∞ → x

lím

3 − x x

e

x

−

+

1

=

e

-1 ≅ 0,37 ∼ x ∼ -x Queda a cargo del lector efectuar el bosquejo gráfico. y 0 1 3 x

(8)

EAyRG DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA INCLUYENDO LÍMITES, EJEMPLO: f : f (x) =













+

−

1

1 ).

2 (

x

L

x

Dominio: 0 1 1 > + − x x 1 1 + − x x sig + + + + ∃ - - - 0 + + + + -1 1 x Df=(-∞,-1)∪(1,+ ∞) Signo 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + − = + − − − =       − + − =       + − x sig x x x sig x x sig x x sigL sig L       + − 1 1 x x + + ∃ - - - - -1 1 x sig

(

x−2

)

- - - 0 + + + + 2

Sig f(x) - - -

∃

+ + 0 - - - -

-1 1 2 x -3 +∞ -∞

(

)

=−∞      + − − → ₁ 1 . 2 Lim_x _-1 -x x L x

(

)

=+∞      + − − + → ₁ 1 . 2 lim ₁ x x L x x o+ +∞ 0 ±∞

(

)

lim

2

1

1 .

2 lim

1 1

=

−













₋

=













+

−

→±∞ ±∞ →

x

L

x

x x ∼x 1 ∼ 1 2 1 1 1 + − = − + − x x x ∼ x 2 − Bosquejo gráfico a cargo del lector.

(9)

EJERCICIOS: estudiar dominio, signo, límites y bosquejo gráfico de: 9) f : f (x) =

e

x−2 x 12)-

(

)

      − + = 1 2 . 3 ) ( : x x L x x f f 10 ) f : f (x) = 1 1 2 − − x x

e

x 1 13)-

( )

3 2 . 1 : ₂ − + − = x x L x x x f f 11 ) f : f (x) = 4x2 −1.

e

2 3 − − x 14)- 2 2 2 . 1 ) ( : − + − = x x L x x x f f

Def: f(x) es un infinito para

x

→

a

(

∞

)

⇔

lim

x→a f(x)=∞ Ejemplos: 2

x es un infinito para x→±∞

x

e es un infinito para x→+∞

Lx es un infinito para x→+∞ y para x→0+

1 1

−

x es un infinito para x→1

15)Ejercicio: demostrar que:

(

x x

)

L 2 +3 ∼ 2 Lx , pero

e

x +x 2

∼

x2

e

x→+∞ Orden de infinitos:

Veamos el comportamiento de los siguientes infinitos para x→+∞:

. , , ,

,Lx2 x4 ex xx

Lx Complete la siguiente tabla:

X Lx 2 Lx x4 ex xx 4 x Lx 4 x ex Lx Lx2 1 5 10 100 +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞

Apartir de estas ideas definiremos orden por comparación:

(10)

Admitiremos, como se observa en la tabla anterior que:

Estos infinitos se llaman respectivamente: logarítmico, potencial, exponencial, potencial-exponencial APLICACIONES : →+∞ (potencial) 1) ₂

0

10

=

+∞ → x x

e

x

lím

_{por definición y teorema de órdenes.}

→+∞ (exponencial) →+∞ (potencial) 2)

lím

_x_→_+∞ = x L x 2

lím

x→+∞ = x L x 2 2 1 +∞ (por órdenes) →0 →+∞ (logarítmico) 3)

lím

x_→_−∞ =0 x ex no es indeterminado!! → - ∞ En este caso ex no es un infinito. El teorema anterior solo es válido para →+∞.

Definición: sean f(x) y g(x) infinitos para x→a.Diremos que: ∞ 1)- ORD f(x)>ORDg(x) ↔ _→→_∞ x a x

lim

₌_∞ ) ( ) ( x g x f

∞

→

x

a

x

2)-ORDf(x)<ORDg(x) ↔ _→→_∞ x a x

lim

) ( ) ( x g x f = 0

∞

→

x

a

x

3)-ORDf(x)=ORDg(x) ↔ _→→_∞ x a x

lim

) ( ) ( x g x f =α≠ 0

∞

→

x

a

x

en caso α=1, decimos f(x)∼g(x) (x→a o x→∞)

TEOREMA DE ORDENES PARA

x→+∞

)

(

)

(

)

(

)

(

L

h

x

ORD

x

k

ORD

e

.x

ORD

x

.x

ORD

<

α

<

β

h>0 k>0

α

>0

β

>0

(11)

INFINITOS EN LA SUMA : TEOREMA1 :

“suma de infinitos de distinto orden es equivalente al de mayor orden”. f (x) y g (x) infinitos para x→a(∞) f(x)+g(x)∼g(x)

ord[f(x)]<ord[g(x)] ⇒ x→a(∞) Demostración :



 →



=

+

=

+

≈ → →a x a def. x

)

1 )

x

(

g

)

x

(

g

)

x

(

g

)

x

(

f

(

lím

)

x

(

g

)

x

(

g

)

x

(

f

lím

a

x

)

x

(

g

)

x

(

g

)

x

(

f

→

≈

+

por H y def. ordenes

0 1 teo lím. Suma ∼ x

e

por teo anterior Ejemplo :

lím

_x_→₊_∞

(

e

x

−

x

2

)

=

lím

_x_→₊_∞

e

x

=

+∞

TEOREMA2

f (x) infinito para x→a(∞) f(x)+g(x)∼f(x) g(x)→α∈R para x→a(∞) ⇒ x→a(∞)

Ejercicio 16: Demostrar dicho teorema.

CAMBIOS DE VARIABLE PARA APLICAR TEOREMA CON X→+∞

A efectos de poder aplicar el teorema de infinitos para x→ ∞, en algunas Indeterminaciones pueden hacerse cambios de variable adecuados.

Algunos de ellos pueden ser : →+∞

− = → + a x z hacemos a x si. , ..: 1 →+∞ − − = → − a x z hacemos a x si. , ..: 1 si.x→−∞,hacemos..:z=−x→+∞

≈

z

2

(teo1, órdenes) 1)

lím

_x

→

−∞

(

x

2 −

Lx

)

=

lím

z

→

+∞

(

z

2 −

L

−

z

)

=

+

∞

z = - x→

+

∞

(12)

0 →+∞ 4 2)

lím

_x_→₂+

−

−2

=

1 2

).

4 (

_x

_e

x + →2 x

lím

+

−

−2

=

1

).

2 ).(

2 (

_x

_e

x +∞ = _→ + 2 x

lím

−

−2

=

1

).

2 .(

4 _x

_e

x

=

+∞ → z z

e

z

lím

4 .

1 .

_→_+∞

=

+∞

z

e

lím

z z

4 .

z = →+∞ −2 1 x (por órdenes) ∞ −∞ 3)

lím

_x_→₋₁− 1 2 2

3

₊

+

_x

e

x

=

lím

_x_→₋₁−

=

+

+1 2

)

1 .(

2

_x

e

x

0 − − → 1 x

lím

1 2

1

2

₊

+

−

_e

x

=

→+∞

=

− +∞ → z z z z

e

z

lím

e

z

lím

.

1

0 =

=

z_→_+∞ _z

e

z

lím

_{(por órdenes)} 1 2 + − = x z 3 1 − = x z 7 4) _→ +

(

+

−

12 ).

(

−

3 )

=

2 3

x

L

x

lím

_x

lím

_x_→₃+

(

x

+

4 ).(

x

−

3 ).

L

(

x

−

3 )

=



_

=









+∞ →

z

L

z

lím

_z

7 .

1 .

1

7 

=

0 









−

+∞ →

z

Lz

lím

_z 0 L1-Lz =0

(13)

EJERCICIOS: Calcular los siguientes límites:

17)

6

2

1

3 3 2

−

− →

x

e

lím

x x x 18)

1 )

4

3 (

2 1

−

+

− →

x

L

lím

_x 19)

(

1 )

5

2 2

−

+

+∞ → x x

e

x

lím

20)

6

5 )

3

7 (

)

5

3 (

2 2

−

+

−

+

→

x

L

x

L

lím

_x ₂₁₎ _x _x

e

x

lím

₂ 5

4

+∞ → 22)

Lx

x

lím

_x_→_+∞ 23)

3

4 )

1

7 (

2

−

+∞ →

x

L

lím

_x 24)

x

Lx

x

e

lím

x x

₊

−

+∞ → 3 25)

x

L

x

e

lím

x x

+

−

−∞ → 3 26) 2 1 2 2

₅

2

₊ − →

₊

+

+ x x

_x

e

x

lím

27) 3 1 2 3

₉

2

₋ →

₋

−

− x x

_x

e

x

lím

28)lím_x_→₁+(x2 +3x−4).L(x−1) 29)

x

e

lím

x x→−∞ 30) 2 2

x

e

lím

x x − +∞ → 31) Lx x x x lím_x 2 2 3 2 2 − + − − − →

EJERCICIOS: estudiar dominio, signo, límites y bosquejo gráfico de:

32) f : f(x) = 2 1 2

).

2 (

_x

+

_x

_e

x+ 33) f : f (x)=

(

4

1 )

1

2

−

+

x

L

x

34) f : f (x) =

6

2

−

+

−

+

x

L

x

35) f : f (x) =

2

3 +

+

x

L

x

36) f : f (x) =

3

2 −

−

x

L

e

x 37) f : f (x) =

2

1

2 −

+

−

+

x

L