1 medio Matemática Enseñanza a distancia 26ª sesión Semana del 12 al 16 de octubre. GUÍA: Productos notables Cuadrado de binomio y cubo de binomio

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1 COLEGIO SAINT MAURICE’S

Cerrillos

Av. El Mirador #1543 – Fono 22 533 19 32

Departamento de Matemática

Profesora Paula Astorga Gálvez

Nivel educativo 1º medio

1° medio – Matemática

Enseñanza a distancia 26ª sesión

Semana del 12 al 16 de octubre

GUÍA: Productos notables – Cuadrado de binomio y cubo de binomio

Objetivo: Desarrollar los productos notables de cuadrado de binomio y cubo de binomio de manera concreta, pictórica y simbólica.

Indicaciones:

- En esta guía comenzaremos a ver algunos productos notables ocupados en matemática, principalmente en álgebra. Empezaremos haciendo un repaso de contenidos importantes vistos en años anteriores y luego se desarrollarán los productos notables de cuadrado de binomio y cubo de binomio. Finalmente, realiza los ejercicios de la sección “Ahora tú”.

- Trata de usar tu calculadora solo para comprobar o hacer cálculos complejos.

- Consultas, dudas y resolución de los ejercicios para su revisión deben ser enviadas al correo

profe.pastorga.sm@gmail.com hasta el martes 20 de octubre.

- La resolución puede ser mandada como fotos o escaneo de hojas de cuaderno o de la guía impresa, como archivo Word o PDF, etc. En el asunto del correo, pon tu nombre, curso y asignatura.

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2

Productos notables

Los productos notables son multiplicaciones comunes ocupadas frecuentemente en matemática que cumplen con ciertas reglas y que tienen como resultado una estructura especial que no necesita ser verificada una vez que se desarrolla. Generalmente se usan en álgebra.

Hay varios productos notables. En 8° básico se estudiaron algunos, que este año recordaremos y complementaremos con más contenidos.

Antes de avanzar es importante repasar algunos aspectos importantes del álgebra que nos permitirán entender mejor los productos notables.

• Término algebraico

Un término algebraico se compone por un coeficiente numérico (un número) y un factor literal (una incógnita, generalmente representada por letras).

Ejemplo 1: 2 7𝑚 Coeficiente numérico: 2/7 Factor literal: m Ejemplo 2: –8xy Coeficiente numérico: –8 Factor literal: xy Ejemplo 3: –PQR3 Coeficiente numérico: –1 Factor literal: PQR3

Importante: cuando un término algebraico no presenta un coeficiente numérico visible, este en realidad corresponde a un 1.

• Expresión algebraica

Cuando tenemos varios térmicos algebraicos unidos por sumas o restas, se forma una expresión algebraica. Dependiendo la cantidad de términos que tenga la expresión, se llaman de distintas maneras:

Cantidad de términos Nombre de la expresión Ejemplo

Un término Monomio 80pq

Dos términos Binomio 80pq + 3d

Tres términos Trinomio 80pq + 3p – 14n Tres o más términos Polinomio 80pq + 3p – 14n + kv

(3)

3

• Reducción de términos semejantes

Para poder reducir una expresión algebraica, debemos sumar (o restar) los términos que tengan el mismo factor literal (exactamente las mismas letras).

Ejemplos: reduce las siguientes expresiones algebraicas. 1. 8m + 7q – 13m + 2q + 3mq

8m – 13m + 7q + 2q + 3mq –5m + 9q + 3mq

En este caso podemos identificar tres factores literales distintos: m, q y mq. Podemos reordenar nuestra expresión juntando las mismas letras (incluyendo sus coeficientes numéricos) y proceder a hacer las sumas o restas.

Esta expresión es la final, pues esos términos no se pueden sumar ni restar entre ellos.

2. –3a –12b + 20c –b + 5a –3a + 5a –12b –b + 20c

–2a –13b + 20c

• Multiplicación de términos algebraicos

Para multiplicar términos algebraicos no es necesario que los factores literales sean iguales, basta con multiplicar los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre ellos.

Ejemplos: multiplica los términos algebraicos. 1. 6 𝑚3_𝑥2_{∙ 3 𝑚}4

(6 ∙ 3) 𝑚

3

_𝑥

2

_𝑚

4

18 𝑚

3

_𝑥

2

_𝑚

4

18 ∙ 𝑚

3

∙ 𝑥

2

∙ 𝑚

4

𝟏𝟖 ∙ 𝒎

𝟕

∙ 𝒙

𝟐

En este caso, tenemos que multiplicar los coeficientes numéricos (6 y 3) y los factores literales.

Importante: si entre las letras y los números no hay ningún signo de operatoria, corresponde a una multiplicación. Así, esta expresión se puede escribir como sigue:

Podemos observar que los factores literales 𝑚3_{y 𝑚}4_{tienen la misma base, por lo} que podemos sumar sus exponentes gracias a las propiedades de las potencias, quedando como:

Que sería el resultado final.

2.

_{−9 𝑥 𝑦}

5

_{∙ 4 𝑥}

6

_𝑦

3

(−9 ∙ 4) 𝑥 𝑦

5

_𝑥

6

_𝑦

3

−36 𝑥 𝑥

6

𝑦

5

𝑦

3

−𝟑𝟔 𝒙

𝟕

𝒚

𝟖 3. 2𝑐 (5𝑑 − 8𝑐4₎

2𝑐 ∙ 5𝑑 + 2𝑐 ∙ −8𝑐

4

(2 ∙ 5)𝑐 𝑑 + (2 ∙ −8) 𝑐 𝑐

4

10 𝑐 𝑑 + −16 𝑐

5

𝟏𝟎𝒄𝒅 − 𝟏𝟔𝒄

𝟓

En este caso, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación para resolver. El término 2𝑐 debe multiplicar a 5𝑑 y luego a −8𝑐4_{, como se muestra a continuación:}

(4)

4

Producto notable: Cuadrado de binomio

El área de un cuadrado de lado “𝑎” se puede expresar como “𝑎2_{”. Por ejemplo, un cuadrado de lado 3 tiene un} área de 32, es decir, 9.

Ahora bien, ¿qué ocurre si el lado del cuadrado mide (𝑎 + 𝑏)? Un cuadrado de estas características podría dibujarse como sigue:

Fíjate que cada lado se puede escribir como

(

𝑎 + 𝑏

)

. Dentro del cuadrado se forman dos más (naranjo y burdeo), cuyas áreas son 𝑎2 y 𝑏2.

Además, se forman dos rectángulos (verde y celeste) de áreas 𝑏 ∙ 𝑎 y 𝑎 ∙ 𝑏.

Si determinamos el área de este cuadrado de lado (𝑎 + 𝑏), obtendríamos lo siguiente:

(𝑎 + 𝑏)

2

= (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏)

= 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏) + 𝑏 ∙ (𝑎 + 𝑏)

= 𝑎

2

+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏

2

= 𝑎

2

+ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏

2

= 𝒂

𝟐

_{+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃}

𝟐

Se aplica la propiedad distributiva. Multiplicamos.

Reordenamos los términos con la propiedad conmutativa. Reducimos términos semejantes.

La expresión anterior corresponde al área del cuadrado, que coincide con los términos expresados en el dibujo, y que además es el producto notable llamado cuadrado de binomio.

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más (o menos si el binomio es una diferencia) el doble del producto del primer por el segundo término, más el cuadrado del

segundo término:

(𝑎 + 𝑏)

2

= 𝑎

2

+ 2𝑎𝑏 + 𝑏

2

(𝑎 − 𝑏)

2

= 𝑎

2

− 2𝑎𝑏 + 𝑏

2

Ejemplo: obtén la expresión extendida de (4𝑚 − 3𝑝)2_.

Como se trata de un cuadrado de binomio, podemos aplicar el producto notable anterior siguiendo su estructura:

(4𝑚 − 3𝑝)

2

= (4𝑚)

2

− 2 ∙ (4𝑚) ∙ (3𝑝) + (3𝑝)

2

= 16𝑚

2

− 2 ∙ (4𝑚) ∙ (3𝑝) + 9𝑝

2

= 16𝑚

2

− (2 ∙ 4 ∙ 3)𝑚 𝑝 + 9𝑝

2

= 16𝑚

2

_{− 24𝑚𝑝 + 9𝑝}

2

Aplicamos el producto notable. Desarrolla las potencias. Resuelve la parte central.

(5)

5

Producto notable: Cubo de binomio

Si tenemos un cubo de lado “𝑎”, su volumen se puede expresar como “𝑎3_{”. Por ejemplo, un cubo de lado 4 tiene} un volumen de 43, es decir, 64.

Entonces, si tenemos un cubo de lado (𝑎 + 𝑏), su volumen será (𝑎 + 𝑏)3 que, si desarrollamos, queda como sigue:

(𝑎 + 𝑏)

3

_{= (𝑎 + 𝑏) ∙}

_{(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏)}

= (

𝑎

+

𝑏) ∙ (𝑎

2

+ 2𝑎𝑏 + 𝑏

2

)

=

𝑎 ∙ 𝑎

2

+ 𝑎 ∙ 2𝑎𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑏

2

+ 𝑏 ∙ 𝑎

2

+ 𝑏 ∙ 2𝑎𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑏

2

= 𝑎

3

+

2𝑎

2

𝑏

+

𝑎𝑏

2

+

𝑎

2

𝑏

+

2𝑎𝑏

2

+ 𝑏

3

= 𝑎

3

+

2𝑎

2

𝑏 + 𝑎

2

𝑏

+

𝑎𝑏

2

+ 2𝑎𝑏

2

+ 𝑏

3

= 𝑎

3

+ 3𝑎

2

𝑏 + 3𝑎𝑏

2

+ 𝑏

3

Aplica el cuadrado de binomio. Aplica prop. Distributiva. Multiplica.

Agrupa los términos semejantes. Reduce los términos semejantes.

La expresión anterior representa el volumen de un cubo, y es el producto notable llamado cubo de binomio.

El cubo de un binomio corresponde a la multiplicación de un binomio por sí mismo tres veces, y se representa como: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)3_{. Se tienen los siguientes casos:}

(𝑎 + 𝑏)

3

= 𝑎

3

+ 3𝑎

2

𝑏 + 3𝑎𝑏

2

+ 𝑏

3

(𝑎 − 𝑏)

3

= 𝑎

3

− 3𝑎

2

𝑏 + 3𝑎𝑏

2

− 𝑏

3

Se puede representar gráficamente el volumen de un cubo como sigue:

Al descomponerlo en cubos y prismas más pequeños, se obtienen los siguientes cuerpos con sus respectivos volúmenes:

Al sumar los volúmenes de cada cuerpo se obtiene el volumen del cubo original: 𝑎3+ 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2+ 𝑏3.

Ejemplo: desarrolla la expresión (2𝑘 − 6)3.

(2𝑘 − 6)

3

_{= (2𝑘)}

3

_{− 3 ∙ (2𝑘)}

2

_{∙ 6 + 3 ∙ (2𝑘) ∙ 6}

2

_{− 6}

3

= 8𝑘

3

_{− 3 ∙ 4𝑘}

2

_{∙ 6 + 3 ∙ (2𝑘) ∙ 36 − 216}

= 8𝑘

3

− (3 ∙ 4 ∙ 6) ∙ 𝑘

2

+ (3 ∙ 2 ∙ 36) ∙ 𝑘 − 216

= 8𝑘

3

− 72𝑘

2

+ 216𝑘 − 216

Aplicamos el producto notable. Desarrolla las potencias. Resuelve las multiplicaciones.

(6)

6

Ahora tú

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando los productos notables estudiados.

1. Completa la siguiente tabla.

𝒂

𝒃

(𝑎 + 𝑏)

2

_𝑎

2

_{+ 2𝑎𝑏 + 𝑏}

2

_{(𝑎 + 𝑏)}

3

_𝑎

3

_{+ 3𝑎}

2

_{𝑏 + 3𝑎𝑏}

2

_{+ 𝑏}

3

3 2

1 5

2. Calcula el cuadrado o cubo de binomio.

Ejercicios obtenidos del libro de matemática, ítem 2, pág. 76.

a)

(4 + 1)

2 b)

(2 − 𝑦)

2 c)

(3𝑥 + 2𝑦

2

₎

3 d)

(4𝑧

2

_{− 5𝑤}

3

₎

3 3. Completa cada recuadro.

a)

(

+3)

2

= 𝑎

2

+ 6𝑎 +

b)

(3𝑎

2

_{− 2𝑏)}

2

_{= −12𝑎}

2

_{𝑏 +}

c)

(2𝑎 + )

3

_{= 8𝑎}

3

_{+ +54𝑎𝑏}

2

₊

d)

(5𝑥

2

_{− 2𝑦}

3

₎

3

_{= 125𝑥}

6

_{− +60𝑥}

2

_𝑦

6

₊

4. Calcula el área del cuadrado y el volumen del cubo.

a)

(

3

5 𝑥 + 2,1𝑦) 𝑐𝑚

b)

(2,5𝑎 + 0,2𝑏) 𝑚

5. Resuelve el siguiente problema.

Ejercicio obtenido del libro de matemática, ítem 8.a, pág. 77.