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FORMULARIO TEORIA DE FILAS

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Academic year: 2021

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FORMULARIO TEORIA DE FILAS

Proceso general de nacimiento y muerte.

Tasas de entrada: λ0, λ1, ..., λn−1 clientes por unidad de tiempo.

Tasas de salida: µ1, µ2, ..., µnclientes por unidad de tiempo. n = 1,2, ... Raz´on entrada/salida: C0 = 1 Cn= λµ0·λ1·...·λn−1

1·µ2·...·µn

Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = k=0 Ck −1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2...):

pn =Cn·p0

N´umero medio de clientes. En fila: Lf =k=s(k−s)·pk

En servicio: Ls =L−Lf =sk−1=0k·pk+s·∞k=spk En el sistema: L=Ls+Lf =k=0k·pk

Tiempos medios de espera. En fila: Wf = Lfλe

En servicio: Ws = Lsλe En el sistema: W = λeL

(2)

Modelo de Filas de espera M/M/1

Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, 1 servidor. Factor de utilizaci´on: ρ= (λ/µ)

Probabilidades de estado estable. (ρ <1) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = 1−ρ

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn = (1−ρ)·ρn N´umero medio de clientes.

En fila: Lf = 1−ρ2ρ En servicio: Ls =ρ En el sistema: L= 1−ρρ Tiempos medios de espera. En fila: Wf = µ(µλλ)

En servicio: Ws = µ1 En el sistema: W = µ1λ

(3)

Probabilidades de tiempos de espera. En fila: P rob(wf = 0) = 1−ρ

P rob(wf > t) =ρ·exp[(µ−λ)·t)] si t >0 En el sistema: P rob(w > t) =exp[(µ−λ)·t)] si t >0 Modelo M/M/s, s >1

Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, s servidores. Tasa de llegada: λ clientes por unidad de tiempo.

Tasa de servicio: µclientes por unidad de tiempo. Factor de utilizaci´on: ρ= sλ·µ

(ρ <1)

Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = s−1 k=0 (λ/µ)k k! + (λ/µ)s s!(1−ρ) −1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn= ⎧ ⎨ ⎩ (λ/µ)n n! p0 si0< n < s (λ/µ)n s!sn−sp0 sin≥s

(4)

N´umero medio de clientes. En fila: Lf = s(!(1−λ/µ)ρs)ρ2p0 En servicio: Ls = (λ/µ) En el sistema: L=Lf +Ls Tiempos medios de espera. En fila: Wf = Lfλ

En servicio: Ws = µ1

En el sistema: W =Wf +Ws

Probabilidades de tiempos de espera. En fila: P rob(wf = 0) =sk−1=0pk

P rob(wf > t) =exp[(sµ−λ)t][1−P rob(wf = 0)] si t >0

En el sistema: P rob(w > t) =exp[(µt)] 1 + (λ/µ) s s!(1−ρ) 1−exp[−µ(s−1(λ/µ))t] s−1(λ/µ) p0 si t >0

(5)

Modelo (M/M/1):(G/Q/).

Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, 1 servidor, n´umero m´aximo de clientes en el sistema Q.

Factor de utilizaci´on: ρ=λ/µ Caso ρ= 1.

Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = 11ρQρ+1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn=

1−ρ

1−ρQ+1 ·ρn si 0≤n≤Q

0 sin > Q

N´umero medio de clientes.

En fila: Lf =L−(1−p0) = 1−(1−QρQ−ρ)(1−1+(ρQQ−1)+1)ρQρ2

En servicio: Ls = 1−p0 =ρ(1−pQ) =ρ· 1−1−ρρQQ+1

En el sistema: L= 1−ρρ (Q1−+1)ρQρ+1Q+1 = 1−((1−Q+1)ρ)(1−ρQ+ρQ+1Q)+1ρ Tiempos medios de espera.

En fila: Wf = Lfλe = λ(1−LfpQ) = µ(1−Lfp

0)

En servicio: Ws = µ1

En el sistema: W = λeL = λ(1−LpQ)

(6)

Modelo (M/M/1):(G/Q/) Caso ρ= 1. Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn=

1

Q+1 si 0≤n≤Q

0 sin > Q

N´umero medio de clientes. En fila: Lf = Q2((QQ+1)−1)

En servicio: Ls = QQ+1 En el sistema: L= Q2 Tiempos medios de espera. En fila: Wf = Lfλe = Q2−1λ En servicio: Ws = µ1

En el sistema: W = λeL = Q2+1λ Tasa efectiva de llegada: λe = QλQ+1

(7)

Modelo (M/M/s):(G/Q/), 1< s≤Q.

Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, s servidores, n´umero m´aximo de clientes en el sistema Q.

Factor de utilizaci´on: ρ= λ Caso ρ= 1.

Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = s k=0 (λ/µ)k k! + (λ/µ)s s! Q k=s+1 ρk−s −1 = s−1 k=0 (λ/µ)k k! + (λ/µ) s1−ρQ−s+1 s!(1−ρ) −1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ (λ/µ)n n! p0 sin = 1,2, ..., s (λ/µ)n s!sn−sp0 sin =s+ 1, s+ 2, ...Q 0 sin > Q

N´umero medio de clientes.

En fila: Lf = s(!(1−λ/µ)ρs)ρ2 1−ρQ−s−(Q−s)ρQ−s(1−ρ)p0 En servicio: Ls =sk−1=0kpk+s1−sk−1=0pk

En el sistema: L=Lf +Ls Tiempos medios de espera. En fila: Wf = Lfλe

En servicio: Ws = µ1 En el sistema: W = λeL

(8)

Modelo (M/M/s):(G/Q/), 1< s≤Q. Caso ρ= 1. Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = s−1 k=0 (λ/µ)k k! + (λ/µ)s s! (Q−s+ 1) −1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ (λ/µ)n n! p0 si n= 1,2, ..., s (λ/µ)n s!sn−sp0 si n=s+ 1, s+ 2, ...Q 0 si n > Q

N´umero medio de clientes. En fila: Lf = (λ/µ)s(Q−2ss!)(Q−s+1)p0 En servicio: Ls = λeµ = (λ/µ)(1−p0)

En el sistema: L=Lf +Ls=Lf + (λ/µ)(1−p0) Tiempos medios de espera.

En fila: Wf = Lfλe En servicio: Ws = µ1 En el sistema: W = λeL

(9)

Modelo (M/M/1):(G//M).

Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, 1 servidor, capacidad de fila infinita, poblaci´on de clientes finita tama˜no M. Factor de utilizaci´on: ρ= (λ/µ)

Probabilidades de estado estable. (ρ <1) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = M k=0 M k k!(λ/µ)k −1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ M n n!(λ/µ)np0 si 0≤n < M 0 si n > M

N´umero medio de clientes.

En fila: Lf =M 1 + µλ(1−p0) En servicio: Ls = 1−p0

En el sistema: L=Lf + 1−p0 =M µλ(1−p0) Tiempos medios de espera.

En fila: Wf = Lfλe = λ(MLfL) = µ(1−Lfp 0) En servicio: Ws = Lsλe = 1−p0 λ(M−L) = µ1 En el sistema: W = λeL = λ(MLL) = µ(1−Lp 0)

(10)

Modelo (M/M/s):(G//M), s >1.

Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, s servidores, capacidad de fila infinita, poblaci´on de clientes finita tama˜no M. Factor de utilizaci´on: ρ= (λ/µ) (puede tomar cualquier valor). Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 = s−1 k=0 M k (λ/µ)k+ M k=s M k k! s!sk−s(λ/µ) k −1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn= ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ M n (λ/µ)np0 si 0 ≤n < s M n n! s!sn−s(λ/µ)np0 si s≤n ≤M 0 si n > M

N´umero medio de clientes. En fila: Lf =L−s+ s−1 k=0(s−k) M k (λ/µ)k p0 En servicio: Ls =L−Lf =s− s−1 k=0(s−k) M k λ µ k p0 En el sistema: L= s−1 k=0k M k λ µ k +s1!Mk=sk M k k! sk−s λ µ k p0

(11)

Modelo (M/M/).

Autoservicio. Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales. Cada cliente es un servidor: El n´umero de servidores es infinito. Probabilidades de estado estable.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

p0 =e−λ/µ

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn = e

−λ/µ·λ/µ

n! N´umero medio de clientes.

En fila: Lf = 0

En servicio: Ls =λ/µ En el sistema: L=λ/µ Tiempos medios de espera. En fila: Wf = 0

En servicio: Ws = µ1 En el sistema: W = 1µ

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