Problemas Lineales de Contorno

(1)

CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA

Problemas Lineales de Contorno

( J.J. Anza, J. Albizuri, C. Bastero, M. Martínez-Nebreda)

INTRODUCCIÓN

Hasta el momento se han estudiado ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales de la forma:

y" + p(x)·y' + q(x)·y = r(x) (1)

verificando la condición inicial

y(a) = A (2)

y'(a) = B (3)

que tenía solución única si a ∈ [α,β], intervalo en el que las funciones p(x), q(x) y r(x) son continuas. El problema que se plantea ahora es averiguar si es posible determinar la solución a la ecuación diferencial (1), sabiendo que la función solución ha de pasar por los puntos (α,A) y (β,B), lo que puesto de otra forma más usual se expresa como

y(α) = A (4)

y(β) = B (5)

Para aclarar más lo que se pretende hacer considérense los ejemplos siguientes. Ejemplo 1

y" + y = 0 (6a)

con las condiciones:

y(0) = 0 (6b)

y(1) = 0 (6c)

Se pretende determinar una solución distinta de la trivial (obviamente la función y = 0, verifica la ecuación diferencial y las condiciones de contorno).

La solución general de esta ecuación diferencial es

( )

x C •cos

( )

x sin

• C

y= ₁ + ₂ (6d)

teniendo en cuenta (6b) y (6c) la única función que cumple estas condiciones a la par que la ecuación diferencial es la función trivial. En este caso se dice que la ecuación diferencial con las condiciones de contorno en dos puntos propuesta no tiene solución -se sobreentiende 'distinta de la trivial'-. Ejemplo 2 0 2 ₌ π + ′ ′ •y y (7a)

y(0) = 0 (7b)

y(1) = 0 (7c)

La solución general de esta ecuación diferencial es ) x • ( cos • C + ) x • ( sin • C y= ₁ π ₂ π (7d)

teniendo en cuenta (7b) y (7c) no existe una única función que cumple estas condiciones a la par que la ecuación diferencial. Cualquier función de la forma

) x ( sin • C y= ₁ (7e)

es solución del problema de contorno en dos puntos. Ejemplo 3

(2)

0 2 ₌ π + ′ ′ •y y (8a)

y(0) + y(1) = 0 (8b)

y'(0) + y'(1) = 0 (8c)

La solución general de esta ecuación diferencial es ) x • ( cos • C + ) x • ( sin • C y= ₁ π ₂ π (8d)

teniendo en cuenta (7b) y (7c) no existe una única función que cumple estas condiciones a la par que la ecuación diferencial. Cualquier función de la forma

) x • ( cos • C + ) x • ( sin • C y= ₁ π ₂ π (8e)

es solución del problema de contorno en dos puntos.

Se ha visto en el ejemplo 1 cómo no hay más que una solución al problema de contorno y ésta es la trivial. En el ejemplo 2, existe una simple infinitud de soluciones al problema de contorno y en el ejemplo 3, una doble infinitud de soluciones.

Con los ejemplos expuestos se ha pretendido introducir el problema y al mismo tiempo se ha tratado de expresar qué se entiende con el concepto de condición de contorno y condición de contorno en dos puntos.

Las condiciones de contorno de la forma:

1 1 1 1 1•y( ) b •y( ) c •y( ) d •y( ) A a α + β + ′α + ′β = (9a) 2 2 2 2 2•y( ) b •y( ) c •y( ) d •y( ) A a α + β + ′α + ′β = (9b)

se conocen con el nombre de condiciones de contorno lineales en dos puntos.

Si las constantes A₁ y A₂ son simultáneamente nulas, entonces las condiciones de contorno se dicen homogéneas.

AUTOVALORES Y AUTOFUNCIONES

Considérese la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden de la forma 0 = λ + ′ λ + ′ ′ p(x, )•y q(x, )•y y (10)

donde λ es un parámetro y las funciones p(x,λ) y q(x,λ) son continuas en el intervalo cerrado [α,β].

El problema que se va a plantear es ver para qué valores de λ la ecuación diferencial (10) tiene solución distinta de la trivial, cuando se le obliga a verificar a la solución las condiciones de contorno homogéneas en dos puntos, definidas por las expresiones vistas previamente:

0 1 1 1 1•y(α)+ b •y(β)+ c •y′(α)+ d •y′(β)= a (11a) 0 2 2 2 2•y(α)+ b •y(β)+ c •y′(α)+ d •y′(β)= a (11b)

La solución general de la ecuación diferencial será la combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes, que necesariamente han de ser función del parámetro λ. Así:

) , x ( y • C ) , x ( y • C y= ₁ ₁ λ + ₂ ₂ λ (12)

Teniendo en cuenta las condiciones de contorno (11), se obtienen dos ecuaciones de la forma:

{

a •y (α,λ)+ b •y (β,λ)+ c •y′(α,λ)+ d •y′(β,λ)

}

+ • C₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

{

₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

}

0 2 α λ + βλ + ′α λ + ′β λ = + C •a •y ( , ) b •y ( , ) c •y ( , ) d •y ( , )

{

a •y (α,λ)+ b •y (β,λ)+ c •y′(α,λ)+ d •y′(β,λ)

}

+ • C₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁

{

₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

}

0 2 α λ + βλ + ′α λ + ′βλ = + C • a •y ( , ) b •y ( , ) c •y ( , ) d •y ( , ) (13)

Obsérvese que estas dos ecuaciones constituyen un sistema de ecuaciones lineales simultáneas homogéneas. Para que tengan solución -las incógnitas son C₁ y C₂- distinta de la trivial el determinante del sistema ha de ser idénticamente nulo. Así

(3)

0 = λ λ λ λ ) ( D ) ( C ) ( B ) ( A (14) donde ) , ( y • d ) , ( y • c ) , ( y • b ) , ( y • a ) ( A λ = ₁ ₁ α λ + ₁ ₁ βλ + ₁ ₁′α λ + ₁ ₁′βλ (15a) ) , ( y • d ) , ( y • c ) , ( y • b ) , ( y • a ) ( B λ = ₁ ₂ α λ + ₁ ₂ βλ + ₁ ′₂ α λ + ₁ ′₂ βλ (15b) ) , ( y • d ) , ( y • c ) , ( y • b ) , ( y • a ) ( C λ = ₂ ₁ α λ + ₂ ₁ βλ + ₂ ₁′α λ + ₂ ₁′βλ (15c) ) , ( y • d ) , ( y • c ) , ( y • b ) , ( y • a ) ( D λ = ₂ ₂ α λ + ₂ ₂ βλ + ₂ ′₂ α λ + ₂ ′₂ βλ (15d)

La resolución de la ecuación (14) conducirá a los valores de λ que dan solución distinta de la trivial al problema homogéneo de contorno. A dichos valores de λ se les conoce con el nombre de autovalores. A aquellas funciones linealmente independientes asociadas a cada autovalor -como máximo dos- que verifican la ecuación diferencial y las condiciones de contorno homogéneas descritas en (11), se les da el nombre de autofunciones.

Lo que resulta obvio es que si una función ϕ(x) es autofunción la función A·ϕ(x), siendo A una constante cualquiera, también es una autofunción.

La determinación de los valores de λ a partir de la ecuación (14) resulta bastante complicada y por consiguiente el procedimiento usual, aunque se pudiera realizar del modo expresado teóricamente, se va a explicar a continuación con unos ejemplos.

Ejemplo 1

Determinar los autovalores y autofunciones del problema de contorno homogéneo de la ecuación diferencial:

y" + λ·y = 0 (16)

y(0) = 0 (17)

y(1) = 0 (18)

Aunque se justificará más adelante, el problema a estudiar sólo admite autovalores reales. Como la solución general de la ecuación diferencial cambia con el signo de λ, se van a estudiar los tres casos siguientes:

1) λ= − σ2 <

0 con σ∈ −R 0 La ecuación queda de la forma

′′− =

y σ2·y 0 (19a)

La solución general tiene la forma x • e • C x • e • C y = ₁ −σ + ₂ σ (19b)

Aplicando las condiciones de contorno resulta que, según (17) 0 2 1+ C = C (19c) de acuerdo con (18) 0 2 1•e− σ+ C •eσ= C (19d)

Las ecuaciones (19c) y (19d) constituyen un sistema homogéneo. Los valores de σ que hagan el determinante igual a cero permitirán que haya valores de C₁ y C₂ solución del sistema distintos de los nulos.

Obsérvese que el determinante del sistema vale 0 1 1 = σ σ − _e e (19e)

como σ ha de ser distinto de cero, no es posible obtener valores de C1 y C2 no nulos que

verifiquen (19c) y (19d) simultáneamente. Esto quiere decir que no hay autovalores negativos en el problema de contorno planteado.

(4)

Con este valor la ecuación diferencial queda de la forma:

y" = 0 (20a)

La solución general tiene la forma

y=C x₁· + C₂ (20b)

Aplicando las condiciones de contorno resulta que, según (17)

C2 =0 (20c)

de acuerdo con (18)

C₁=0 (20d)

Por tanto la solución que verifica la ecuación diferencial y las condiciones de contorno con λ = 0 es la función y = 0. Esto permite decir que este valor de λ tampoco es un autovalor del problema de contorno.

3) λ σ= 2 >

0 con σ∈ −R 0 La ecuación queda de la forma

0 2 ₌ σ + ′ ′ •y y (21a)

) x • cos( • C ) x • sin( • C y= ₁ σ + ₂ σ (21b)

Aplicando las condiciones de contorno resulta que, según (17) 0 2 = C (21c) de acuerdo con (18) 0 1•sinσ= C (21d)

Se busca una solución distinta de la trivial, es decir C₁ no puede ser idénticamente nulo. Por ello, los valores de σ que hacen la ecuación (21d) igual a cero son

σ = ± n·π (con n ∈ N) (21e)

Por consiguiente los autovalores del problema planteado son

λ=n2·π2 (con n ∈ N) (21f)

y las autofunciones tienen la forma: ) x • • n sin( ) x ( n = π ϕ (21g)

(recuérdese que si se multiplica por una constante también es una autofunción). Ejemplo 2

y" + λ·y = 0 (22)

y(1) - y(-1) = 0 (23)

y'(1) - y'(-1) = 0 (24)

Aunque se justificará más adelante, el problema a estudiar sólo admite autovalores reales. Como la solución general de la ecuación diferencial cambia con el signo de λ, se van a estudiar los tres casos siguientes:

1) λ= − σ2 <

0 con σ∈ R - 0 La ecuación queda de la forma

0 2 ₌ σ − ′ ′ •y y (25a)

La solución general tiene la forma x • e • C x • e • C y= ₁ − σ + ₂ σ (25b)

Aplicando las condiciones de contorno resulta que, según (23) 0 2 1 2 1•e− σ+ C •eσ− C •eσ− C •e− σ= C (25c) de acuerdo con (24) 0 2 1 2 1 σ − σ+ σ σ+ σ σ− σ − σ= − C • •e C • •e C • •e C • •e (25d)

(5)

Las ecuaciones (25c) y (25d) constituyen un sistema homogéneo. Los valores de σ que hagan el determinante igual a cero permitirán que haya valores de C₁ y C₂ solución del sistema distintos de los nulos.

Obsérvese que el determinante del sistema vale 0 = σ − σ − σ σ σ σ + σ − σ − σ − − σ σ − σ − e • e • e • e • e e e e _(25e)

como σ ha de ser distinto de cero, no es posible obtener valores de C1 y C2 no nulos que

verifiquen (25c) y (25d) simultáneamente. Esto quiere decir que no hay autovalores negativos en el problema de contorno planteado.

2) λ = 0

y" = 0 (26a)

y=C x₁· + C₂ (26b)

C₁+ C₂− −( C₁+ C₂)=0 (26c)

de acuerdo con (24)

C₁− C₁=0 (26d)

La ecuación (26c) define que C₁=0 ∀C₂ y la (26d) es una tautología. Por tanto la solución que verifica la ecuación diferencial y las condiciones de contorno con λ = 0 es la función

y = C (26e)

Por consiguiente λ = 0 es un autovalor y la función ϕ(x) = 1 es una autofunción (recuérdese que si se multiplica por una constante también es una autofunción).

3) λ σ= 2 >

0

con σ∈ R - 0

La ecuación queda de la forma ′′+ =

y σ2·y 0 (27a)

y=C sin₁· ( · )σ x + C₂· cos( · )σ x (27b)

(

)

C₁ •sinσ+ C₂ •cosσ− − C₁•sinσ+ C₂ •cosσ =0 (27c) de acuerdo con (24)

(

)

C₁ • •cosσ σ− C₂ • •sinσ σ− C₁ • •cosσ σ+ C₂ • •sinσ σ =0 (27d) La ecuación (27c) conduce a que

(

)

C₁•sinσ =0 ∀C₂ ∈R (27e)

Por otro lado, la ecuación (27d) conduce a que

(

)

C₂ •sinσ = 0 ∀C₁ ∈R (27f)

Los valores de σ que hacen se verifiquen (27e) y (27f) vienen definidos por

(

conn N

)

• n π ∈ ± = σ (27g)

(

con n N

)

•

n π ∈

=

λ 2 2 _(27h)

y las autofunciones tienen la forma:

(

n• •x

)

sin ) x ( n = π ϕ 1 (27i)

(

n• •x

)

cos ) x ( n = π ϕ ₂ (27j)

Repárese que en este ejemplo a un mismo autovalor (λ= n2•π2) se le asocian dos autofunciones linealmente independientes, sin (n·π·x) y cos (n·π·x).

(6)

EL PROBLEMA HOMOGÉNEO DE STURM-LIOUVILLE

Considérese la ecuación diferencial

p(x)·y" + p'(x)·y' - q(x)·y + λ·w(x)·y = 0 (28)

donde las funciones p(x), p'(x), q(x) y w(x) son continuas en el intervalo cerrado [α,β], con la característica supletoria de que las funciones p(x) y w(x) son mayores que cero para todos los valores de x de ese intervalo cerrado.

Por sencillez de notación la ecuación (28) se suele representar como

[p(x)·y'] ' - q(x)·y + λ·w(x)·y = 0 (29)

o también como y • ) x ( w • ) y ( L =λ (30) donde ) x ( q dx d • ) x ( p dx d • ) x ( p L ≡− − ′ + 2 2 (31) Obsérvese que L es un operador lineal.

El problema homogéneo de Sturm-Liouville es un problema de contorno en dos puntos, constituido por la ecuación (28) -o sus equivalente (29) y (30)- con las condiciones de contorno:

a₁· ( )y α + a₂·y′ =( )α 0 (32a)

b₁· ( )y β + b₂·y′ =( )β 0 (32b)

(

a₁,a₂,b₁,b₂ ∈R

)

Alguno de los ejemplos que se han visto en la pregunta precedente -en concreto, el ejemplo 1-responde a este tipo de ecuación diferencial que se está estudiando ahora de una forma general. Son muchos los fenómenos estudiados en la Física que conducen a esta ecuación diferencial y que han de verificar las condiciones de contorno (32a y b).

El objetivo de esta pregunta es determinar qué propiedades cumplen los autovalores y autofunciones de este problema. Para ello será necesario establecer previamente algunas definiciones y teoremas.

DEFINICION 1

Sean las funciones u(x) y v(x), en el caso más general funciones complejas de una variable real, continuas en el intervalo cerrado [α,β]. Se define como producto escalar de estas dos funciones, y se expresa como <u,v>, a la integral

u v, =

∫

u x( ) • ( ) •v x dx

α β

(33) siendo v x( ) la compleja conjugada de v(x).

De acuerdo con esta definición, se pueden ver una propiedades de esta definición del producto escalar: a) u x v x( ), ( ) = u x v x( ), ( ) b) u x v x( ), ( ) = v x u x( ), ( ) c) u1+ u v2, = u v1, + u v2, d) u v, ₁+ v₂ = u v, ₁ + u v, ₂ e) Si k ∈ R o C, entonces k u v· , =k· u v, f) Si k ∈ R o C, entonces u k v, · =k· u v,

g) Si u(x) y v(x) son funciones reales, entonces u v, = v u, IDENTIDAD DE LAGRANGE

Sean dos funciones u(x) y v(x) que, siendo continuas en el intervalo [α,β], verifican las condiciones de contorno, expresadas por (32a) y (32b). Se va a continuación a determinar el

(7)

producto escalar de u(x) por L[v(x)], siendo L el operador diferencial definido previamente en la fórmula (31).¤

(

)

u L v, ( ) =

∫

u x( ) •L v x( ) •dx α β (34) integrando por partes dos veces, se llega a que:

(

)

u L v, ( ) = − u v• ′ + ′•p u • •v p _αβ + L u v( ), (35) Ahora bien, como u(x) verifica las condiciones de contorno

a₁· ( )u α + a₂·u′ =( )α 0 (36a)

b₁· ( )u β + b₂·u′ =( )β 0 (36b)

y, al ser a a b b₁, ₂, ₁, ₂ reales y v(x) cumplir las condiciones de contorno, v(x) también las satisfará, basta con tomar los complejos con-jugados de las expresiones (32a) y (32b),

a₁· ( )v α + a₂·v′ =( )α 0 (37a)

b₁· ( )v β + b₂·v′ =( )β 0 (37b)

De acuerdo con estas expresiones

(

− u•v′•p+ u′•v•p

)

β_α =0 (38)

Por tanto de aquí se deduce que

u L v, ( ) = L u v( ), (39)

que se conoce con el nombre de identidad de Lagrange. TEOREMA 1

Todos los autovalores del problema de Sturm-Liouville son números reales.

Demostración.- Sea la función ϕ(x) una de las autofunciones (en principio puede haber dos linealmente independientes como máximo) asociada a un autovalor complejo λ. Como la función ϕ(x) es una solución de la ecuación diferencial que verifica las condiciones de contorno, cumplirá la identidad de Lagrange. Por tanto,

ϕ, ( )L ϕ = L( ),ϕ ϕ (40)

Al ser solución de la ecuación diferencial

L( )ϕ =λ·w x( ) ·ϕ (41)

Reescribiendo la expresión (40) y con las propiedades e) y f) del producto escalar entre funciones se llega a que

ϕ λ, ·w x( ) ·ϕ = λ·w x( ) · ,ϕ ϕ (42) se convierte en

λ ϕ· ,w x( ) ·ϕ =λ· w x( ) · ,ϕ ϕ (43) Como w(x) es una función real

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

α β

( ), ( ) • ( )x w x x =

∫

w x( ) • ( ) • ( ) •x x dx= w x( ) • ( ), ( )x x (44) Por consiguiente la expresión (43) se puede escribir en la forma:

(

λ λ ϕ−

)

• ( ), ( ) • ( )x w x ϕ x =0 (45) Si ϕ(x) es una función compleja de variable real, ϕ(x) = u(x) + i v(x).

Por tanto,

(

)

ϕ ϕ α β ( ), ( ) • ( )x w x x =

∫

w x( ) • u2( )x + v2( ) •x dx≠ 0 (46)

ya que w(x) > 0 ∀ x ∈ [α,β], y u(x) y v(x) no son funciones simultáneamente nulas. De acuerdo con (46), la conclusión lógica que se desprende de (45) es que λ λ= , o lo que es lo mismo los autovalores son números reales. (q.e.d.)

¤_{Como las funciones p(x) y q(x) son funciones reales,}_L≡_L_{. Por tanto, si v(x) es una función compleja de variable real, se}

(8)

COROLARIO 1

Las autofunciones asociadas a un autovalor son funciones reales.

La justificación de esta afirmación está en que si ϕ(x) es una autofunción compleja asociada al autovalor λ, que, como se acaba de demostrar, es un número real, su compleja conjugada también será autofunción, pues cumplirá la ecuación diferencial, en la que todas las funciones que aparecen son reales, y las condiciones de contorno, pues los coeficientes son números reales. Por consiguiente la semisuma de ambas funciones también será una autofunción y la semidiferencia dividida por i, también lo será; es decir la parte real y la parte imaginaria serán autofunciones.

TEOREMA 2

A cada autovalor le corresponde una única autofunción en el problema de Sturm-Liouville. Demostración.- Sea λ un autovalor y sean ϕ₁( )x y ϕ₂( )x dos autofunciones linealmente independientes asociadas al mismo autovalor. Por ser autofunciones satisfarán las condiciones de contorno, es decir:

ϕ α1( )= − a2·ϕ α1′( ) /a1 (47a)

ϕ β1( )= − b2·ϕ β1′( ) /b1 (47b)

ϕ α2( )= − a2·ϕ α2′( ) /a1 (48a)

ϕ β2( )= − b2·ϕ β2′( ) /b1 (48b)

Si las dos funciones son linealmente independientes en el intervalo [α,β], su wronskiano ha de ser distinto de cero.

W(ϕ ϕ₁, ₂)=ϕ₁( ) ·x ϕ₂′ −( )x ϕ₂( ) ·x ϕ₁′( )x (49)

Si se calcula el valor del wronskiano en x = α, teniendo en cuenta los valores expresado en las fórmulas (47a) y (48a), se concluye en que el valor es cero; de igual manera si se evalúa en x = β, por (47b) y (48b), se observa que el valor es cero. Esto contradice la condición de independencia lineal. Por tanto, a cada autovalor sólo se le puede asociar una autofunción. TEOREMA 3

El conjunto de los autovalores de un problema de Sturm-Liouville constituye una sucesión infinita que puede ser ordenada de modo creciente. Además λ_n → ∞, cuando n→ ∞.

Este teorema se aceptará sin demostración. TEOREMA 4

Si ϕ_k( )x y ϕ_r( )x son autofunciones asociadas a autovalores distintos λ_k y λ_r, entonces se verifica que 0 = β α ϕ ϕ

∫

w(x)• _k(x)• _r(x)•dx (50)

o lo que es lo mismo las autofunciones son ortogonales con respecto a la función de peso w(x). Demostración.- Si las funciones ϕ_k( )x y ϕ_r( )x son autofunciones, verifican necesariamente la ecuación diferencial y, por cumplir las condiciones de contorno, han de satisfacer la identidad de Lagrange. Expresando estas afirmaciones matemáticamente;

(

)

L ϕ_k( )x =λ_k • ( ) •w x ϕ_k( )x (51a)

(

)

L ϕ_r( )x =λ_r • ( ) •w x ϕ_r( )x (51b) y

(

)

∫

(

)

∫

= αβϕ ϕ β αϕk(x)•L ϕr(x) •dx r(x)•L k(x) •dx (52) sustituyendo (51a) y (51b) en (52), se obtiene

(9)

∫

=λ αβ ϕ ϕ

β

α ϕ ϕ

λ_k • w(x)• _k(x)• _r(x)•dx _r • w(x)• _r(x)• _k(x)•dx (53) pasando todo al primer miembro resulta que

(

)

=0 β α ϕ ϕ λ − λ_k _r •

∫

w(x)• _r(x)• _k(x)•dx (54) como los autovalores son distintos

(

λ_k − λ_r

)

≠ 0. Por consiguiente

0 = β α ϕ ϕ

∫

w(x)• _r(x)• _k(x)•dx (55) (c.q.d.)¥

EL PROBLEMA SINGULAR DE STURM-LIOUVILLE

Sea un ecuación diferencial homogénea de segundo orden de la forma de Sturm-Liouville, es decir

[

p(x)•y′

]

′− q(x)•y+ λ•w(x)•y =0 (57)

Al estudiar la identidad de Lagrange, la condición que debía cumplirse para que ésta tuviera lugar era que

(

− u•v′•p+ u′•v•p

)

β_α =0 (58)

que es lo mismo que decir que

[

′β β − β ′β

]

− α

[

′α α − α ′α

]

=0 β)•u( )•v( ) u( )•v ( ) p( )•u( )•v( ) u( )•v( ) (

p (59)

Para que (39) se verificara, se había exigido que las funciones u(x) y v(x) satisficieran las condiciones de contorno (32a) y (32b). Obsérvese, por otro lado, que la identidad de Lagrange también se cumpliría en los siguientes supuestos:

a) p(α) = 0 p(β) = 0 b) p(α) = 0 b₁· ( )u β + b₂·u′ =( )β 0 b₁· ( )v β + b₂·v′ =( )β 0 c) a1· ( )u α + a2·u′ =( )α 0 a₁· ( )v α + a₂·v′ =( )α 0 p(β) = 0

Repárese que en cada uno de estos casos se vulnera la condición de que p(x) fuera mayor que cero para todos los valores del intervalo [α,β]. En todos estos casos los puntos x = α y/o x = β constituyen puntos singulares de la ecuación diferencial: puntos en los que no se puede establecer la existencia y unicidad de solución para un problema de valor inicial. Por esta razón a estos problemas se les conoce con el nombre de problemas singulares de Sturm-Liouville

¥_{Lo dicho anteriormente sugiere la idea de "normalizar" las autofunciones -}ϕ$ _{( )}

r x - de modo que rk dx • ) x ( k ˆ • ) x ( r ˆ • ) x ( w =δ β α ϕ ϕ

∫

(56)

siendo δ_rk la delta de Kronecker de segundo orden.

También en algunas ocasiones, y por motivos razonados, se definen unas normas standard y las funciones normalizadas cumplen alguna condición distinta a la que su norma sea igual a 1. Así

) n ( F dx • ) x ( n ˆ • ) x ( n ˆ • ) x ( w = β α ϕ ϕ

∫

(56')

(10)

De todos modos algo de lo visto es aplicable al problema que ahora se plantea.

La función p(x) es positiva en todos los puntos del intervalo (α,β), analizando la ecuación diferencial

L y( )= λ·w x( ) ·y (60)

Si ϕ(x) y ψ (x) son dos funciones reales, soluciones de la ecuación diferencial asociadas a los valores λ y µ, se va a estudiar el valor de la integral

ϕ ψ ϕ ψ α β , ( )L = ( ) • ( ( )) •x L x dx ′ ′

∫

(61)

siendo α' y β' (α + ε) y (β - δ), donde ε y δ son magnitudes muy pequeñas pero que tienen la virtualidad de evitar los puntos de singularidad -en los que p(x) se anula- en los que las funciones ϕ(x) y ψ(x) no están definidas. Operando de igual modo que en la pregunta precedente se llega a que

(

)

ϕ, ( )L ψ = L( ),ϕ ψ + −( ϕ ψ• ′+ ′ϕ ψ• ) •p β_α ′ ′

(62) La identidad de Lagrange se cumplirá en función del valor que reciba

(

)

β′ α′ ψ ϕ′ + ψ ′ ϕ − → δ ε, ( • • )•p lim 0 (63)

Si este límite es nulo, entonces se verifica la identidad de Lagrange y se puede decir, basándose en el teorema 4 de la pregunta precedente que las soluciones de la ecuación diferencial son ortogonales respecto a la función de peso w(x).

Se pueden ver algunos ejemplos que ilustran lo que se acaba de decir: Ejemplo 1

Ecuación diferencial de Legendre:

0 2 2 1− x )•y′′− •x•y′+ λ•y= ( (64a) en el intervalo (-1,1)

Puede ser escrita de la forma: y • y • ) x ( ′=λ     ₋ _′ − ₁ 2 _(64b) donde λ = α·(α + 1), p x( )= −(1 x2), q(x) = 0 y w(x) = 1.

Se observa que p(-1) = p(1) = 0. Cuando α recibe valores naturales -incluyendo el cero-, se puede recordar que una de las soluciones se truncaba en un polinomio de grado α. Esto daba origen a los polinomios de Legendre. La condición, que han de satisfacer los polinomios de Legendre para que sean ortogonales, es que cumplan la identidad de Lagrange. La prueba crucial, que determina esta identidad, es si el límite marcado en la expresión (63) es nulo o no. En x = +1 y en x = -1 los valores de los polinomios de Legendre están acotados y también el valor de sus derivadas, ya que un polinomio es una función continua en toda la recta real. Por tanto el límite antes mencionado es idénticamente nulo. Por consiguiente, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1] con respecto a la función de peso w(x) = 1. Ejemplo 2

Ecuación diferencial de Tchebycheff:

(

1− x2

)

•y′′−x y• ′+λ•y=0 (65a) en el intervalo (-1,1)

Puede ser escrita de la forma:

(

)

[

]

(

)

− 1− x2 1 2 •y′′=λ•1− x2 −1 2 •y (65b) donde λ α= 2, ( )p x = −

(

1 x2

)

1 2, q(x) = 0 y w x( )= −

(

1 x2

)

−1 2.

(11)

Se observa que p(-1) = p(1) = 0. Cuando α recibe valores naturales, incluyendo el cero, se puede recordar que una de las soluciones se truncaba en un polinomio de grado α. Esto daba origen a los polinomios de Tchebycheff. La condición, que han de satisfacer los polinomios de Tchebycheff para que sean ortogonales, es que cumplan la identidad de Lagrange. La prueba crucial, que determina esta identidad, es si el límite marcado en la expresión (63) es nulo o no. En x = +1 y en x = -1 los valores de los polinomios de Tchebycheff están acotados y también el valor de sus derivadas, ya que un polinomio es una función continua en toda la recta real. Por tanto el límite antes mencionado es idénticamente nulo. Por consiguiente, los polinomios de Tchebycheff son ortogonales en el intervalo (-1,1) con respecto a la función de peso

(

)

w x( )= −1 x2 −1 2. Ejemplo 3

Ecuación diferencial de Laguerre:

x·y" + (1- x)·y' + λ·y = 0 (66a)

en el intervalo (0,∞)

y • x e • y • x • x e ′=λ −     − _′ − (66b) donde p(x)=e− x•x, q(x) = 0 y w(x)=e− x. Se observa que p(0) = 0 y =0 ∞ → p(x)

nlim . Cuando λ recibe valores naturales -incluyendo el cero-, se puede recordar que una de las soluciones se truncaba en un polinomio de grado λ. Esto daba origen a los polinomios de Laguerre. La condición, que han de satisfacer los polino-mios de Laguerre para que sean ortogonales, es que cumplan la identidad de Lagrange. La prueba crucial, que determina esta identidad, es si el límite marcado en la expresión (63) es nulo o no. En x = 0, los valores de los polinomios de Laguerre están acotados y también el valor de sus derivadas, ya que un polinomio es una función continua en toda la recta real. Cuando x tiende a infinito obsérvese que p(x) tiende a cero y es un infinitésimo tal que su producto por el valor de un polinomio, o de su derivada, cuando x tiende a infinito hace prevalecer su valor tendente a cero. Por tanto el límite antes mencionado es idénticamente nulo. Por consiguiente, los polinomios de Laguerre son ortogonales en el intervalo [0,∞) con respecto a la función de peso w x( )=e−x.

Ejemplo 4

Ecuación diferencial de Hermite:

y" - 2·x·y' + λ·y = 0 (67a)

en el intervalo (-∞,∞)

y • x e • y • x e 2 _′=λ − 2      ₋ _′ − (67b) donde p x( )=e−x2, q(x) = 0 y 2 x e ) x ( w = − . Se observa que =0 ∞ → p(x)

xlim y que x →lim− ∞p(x)=0. Cuando λ recibe valores naturales, incluyendo el cero, se puede recordar que una de las soluciones se truncaba en un polinomio de grado λ. Esto daba origen a los polinomios de Hermite. La condición, que han de satisfacer los polinomios de Hermite para que sean ortogonales, es que cumplan la identidad de Lagrange. La prueba crucial, que determina esta identidad, es si el límite marcado en la

(12)

expresión (63) es nulo o no. Cuando x tiende a (más o menos) infinito obsérvese que p(x) tiende a cero y es un infinitésimo tal que su producto por el valor de un polinomio, o de su derivada, cuando x tiende a (más o menos) infinito hace prevalecer su valor tendente a cero. Por tanto el límite antes mencionado es idénticamente nulo. Por consiguiente, los polinomios de Hermite son ortogonales en el intervalo (-∞,∞) con respecto a la función de peso

2 x e ) x ( w = − .

DESARROLLO EN SERIE DE AUTOFUNCIONES

TEOREMA DE FOURIER GENERALIZADO

Sean ϕ$_r( )x las autofunciones normalizadas de un problema de Sturm-Liouville. Considérese ahora la función f(x) definida en el intervalo cerrado [α,β]. Si esta función (f) y su derivada (f') son continuas a trozos en dicho intervalo, existe una serie de la forma

∑

∞ = ϕ = 1 n ) x ( n ˆ • n a ) x ( f (68)

que converge en cada punto del intervalo abierto (α,β) a

[f(x+) + f(x-)]/2 (69)

Si la función y su derivada son continuas en [α,β] y verifican en los extremos del intervalo las mismas condiciones de contorno que las autofunciones, las condiciones de contorno expresadas en (32a) y (32b), entonces la serie descrita por la fórmula (68) converge en cada punto de dicho intervalo cerrado (convergencia puntual).

El modo de determinar los coeficientes a_n de la serie se basa en lo visto en la pregunta precedente. Si f(x) es continua a trozos en el intervalo [α,β], de acuerdo con la hipótesis del teorema, multiplicando ambos miembros de la expresión (68) por w(x) y por ϕ$k( )x e integrando entre los extremos del intervalo, se llega a

∫

αβ ϕ

= w(x)•f(x)•ˆ_k(x)•dx k

a (70)

Véase que este desarrollo en serie de funciones asegura una convergencia puntual en los puntos en que la función f(x) sea continua.

NOTA

Con el fin de extender un poco más estos conceptos, considérese ahora un conjunto de n funciones continuas ortonormadas -ϕr( )x - en un inter-valo [α,β] con respecto a una función de

peso w(x) -que permanece positiva para todos los valores de x de dicho intervalo. Pueden ser n autofunciones de un problema de Sturm-Liouville o pueden ser arbitrariamente elegidas, con la condición de que sean ortogonales.

Considérese la función f(x) continua en el intervalo [α,β] y la serie constituida por las funciones ortogonales, definida por

∑

= ϕ = n r ) x ( r • r a ) x ( n S 1 (71)

El problema que ahora se plantea es determinar los coeficientes a (r = 1,2,3,...n) para que la función S x_n( ) sea la mejor aproximación de f(x) en el intervalo [α,β].

Al llegar a este estadio es preciso definir qué se entiende con el concepto de mejor aproximación de f(x) en [α,β]

(13)

1) Se pueden elegir n puntos de ese intervalo x x₁, ₂,...,x_n y se exige que S x_n( ) tenga los mismos valores que f(x) en cada uno de esos puntos. Los coeficientes a_r se obtienen resolviendo las ecuaciones algebraicas

∑

= ϕ = n r ) j x ( r • r a ) j x ( f 1 j=1,2,3,...,n (72)

Este procedimiento se denomina 'método de colocación'. Su ventaja estriba en que es muy sencillo establecer las n ecuaciones algebraicas y resolverlo. Si los puntos están bien elegidos y n es suficientemente elevado, presumiblemente S x_n( ) no sólo será igual a f(x) en los puntos elegidos, sino que dará valores razonablemente próximos en el resto de los puntos del intervalo.

Este método, sin embargo, tiene múltiples deficiencias. Por un lado, aunque su justificación se hará en próximos cursos, el sistema algebraico (72) está mal condicionado. Además, si se añade una nueva función ortogonal ϕn+1( )x se han de recalcular todos los coeficientes. Por otro

lado, los valores de ar dependen de los puntos x x1, 2,...,xn y no está claro cuál es el criterio de

selección de los puntos para que la aproximación sea buena.

2) Considérese ahora la diferencia entre f(x) y S x_n( ). Obviamente la aproximación será mejor cuanto menor sea la diferencia:

f x( )− S xn( ) (73)

El problema ahora estriba en que esta diferencia es función de x y de los coeficientes a_r y no es obvio el criterio para seleccionar los valores de a_r. Una elección de ellos que haga la expresión (73) pequeña en un punto puede hacerla grande en otro. Un procedimiento es obligar a que el máximo error sea mínimo (least upper bound). A esta técnica se le conoce con el nombre de minimax.

(

)

f(x) S_n(x) x . b . u .l n a ,..., a , a n E − β ≤ ≤ α = 2 1 (74)

Elegir los a_r es minimizar la función E a a_n

(

₁, ₂,...,a_n

)

. esta aproximación es teóricamente muy buena. Sin embargo, en la práctica, escribir una fórmula explícita de la función E a a_n

(

₁, ₂,...,a_n

)

es algo muy costoso, si no imposible. Además este método comparte la desventaja del anterior de tener que recalcular la función En cuando se añade una nueva función ortogonal.

3) Otro procedimiento es considerar la integral

(

)

∫

β α − = w(x)•f(x) S_n(x)•dx n a ,..., a , a n I ₁ ₂ (75)

Si w(x) fuera la función unidad, I_n

(

a₁,a₂,...,a_n

)

mediría el área entre las curvas f(x) y S_n( )x . La minimización de dicha área sería el criterio para determinar los valores de los coeficientes a_r. Para evitar los inconvenientes de evaluar la integral de la función valor absoluto es más útil definir una nueva función

(

)

∫

β

[

]

α − = w(x)•f(x) S_n(x) •dx n a ,..., a , a n R ₁ ₂ 2 (76)

como una medida de la calidad de la aproximación lineal de las funciones ortogonales Sn(x) a la

función f(x). Mientras R_n

(

a₁,a₂,...,a_n

)

es semejante en algún aspecto a I_n

(

a₁,a₂,...,a_n

)

, no se puede hablar de una interpretación geométrica clara de R a a_n

(

₁, ₂,...,a_n

)

. Sin embargo, es mucho más fácil trabajar matemáticamente con Rn que con In. La cantidad Rn se conoce con

(14)

el nombre de error cuadrático de la aproximación S x_n( ) a f(x). Si los a_j se eligen del modo que

R_n sea mínima, entonces S x_n( ) aproxima a f(x) en el sentido de la media mínimo cuadrática. Nos interesa por tanto que

n ,..., , r r a ) n a ,..., a , a ( n R 2 1 0 2 1 ₌ _∀ ₌ ∂ ∂ (77) es decir

[

]

0 2 = β α − ϕ = ∂ ∂

∫

w(x)•f(x) S_n(x) • _r(x)•dx • r a n R (78)

teniendo en cuenta la ortogonalidad de las funciones ϕ_k( )x con respecto a la función de peso w(x), se llega a que

∫

αβ ϕ

= w(x)•f(x)• _k(x)•dx k

a k = 1,2,3,...n (79)

Estos coeficientes se llaman coeficientes de Fourier de f con respecto al conjunto de funciones ortogonales {ϕi( )x , i = 1, 2, ..., n} y la función de ponderación w(x).

Como la condición =0 ∂ ∂ r a n R

es necesaria pero no suficiente para que Rn sea mínima, se

precisa establecer la condición suficiente. Si se llama

∑

= ϕ = n r ) x ( r • r c ) x ( n S 1 (80) y se definen

∫

αβ ϕ = w(x)•f(x)• _k(x)•dx k a k = 1,2,3,...n (81)

desarrollando Rn, de acuerdo con la definición (76), resulta que

∑

∫

+ ₌ = − = − = + β α = n r r a n r r a n r r a • r c • n r r c dx • ) x ( f • ) x ( w ) x ( n R 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ₍₈₂₎ es decir,

(

)

∑

∫

− ₌ = − + β α = n r r a n r r a r c dx • ) x ( f • ) x ( w ) x ( n R 1 2 1 2 2 _(82')

El primer sumando es mayor que cero, ya que w(x) es mayor que cero. Si c_i fuera distinto que

a_i para algún i, entonces existiría otro R menor posible que el planteado, luego éste no sería mínimo. Por tanto

n ,... , , k dx • ) x ( k • ) x ( f • ) x ( w k a k c ∀ =123 β α ϕ = =

∫

(83)

Se puede remarcar, por último, que si se añade otra función ortogonal ϕn+1( )x , al haber

obtenido los distintos coeficientes de un modo separado, no hay que recalcular los coeficientes previamente obtenidos.

DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER

(15)

y" + λ·y = 0 (84)

y(l) - y(-l) = 0 (85)

y'(l) - y'(-l) = 0 (86)

Antes de resolverlo se va a justificar que las autofunciones verifican la identidad de Lagrange. Sean dos funciones u(x) y v(x) que son continuas en el intervalo [-l,l] y verifican las condiciones de contorno, expresadas por (85) y (86). Se va a continuación a determinar el producto escalar de u(x) por L(v(x)), siendo L el operador diferencial definido por

L d dx ≡ 2₂ (87)

(

)

u L v, ( ) = u x( ) •L v x( ) •dx −

∫

(88)

integrando por partes dos veces, se llega a que:

(

)

u L v, ( ) = − u v• ′+ ′ +u v L u v( ), (89)

Ahora bien, como u(x) verifica las condiciones de contorno

u(l) - u(-l) = 0 (90a)

u'(l) - u'(-l) = 0 (90b)

y, al cumplir v(x) las condiciones de contorno, v(x) también las satisfará, basta con tomar los complejos conjugados de las expresiones (85) y (86),

v( )− v(− =) 0 (91a)

′ − ′− =

v ( ) v ( ) 0 (91b)

De acuerdo con estas expresiones

(

− u v• ′+ ′ =u v

)

0 (92)

Por tanto de aquí se deduce que

u L v, ( ) = L u v( ), (93)

Esto implica que las autofunciones asociadas a autovalores distintos van a ser ortogonales, de acuerdo con lo demostrado en el teorema 4 de la pregunta del problema de Sturm-Liouville homogéneo y además los autovalores van a ser reales y las autofunciones también.

Como la solución general de la ecuación diferencial cambia con el signo de λ, se van a estudiar los tres casos siguientes:

1) λ= − σ2 <

0

con λ∈ R - 0

La ecuación queda de la forma ′′− =

y σ2 y 0

· (94)

La solución general tiene la forma x • e • C x • e • C y = ₁ −σ + ₂ σ (95)

Aplicando las condiciones de contorno resulta que, según (85) 0 l 2 l 1 l 2 l 1•e−σ• + C •eσ• − C •eσ• − C •e−σ• = C (96) de acuerdo con (86) 0 l 2 l 1 l 2 l 1 σ −σ + σ σ + σ σ − σ −σ = − _C _• _•_e • _C _• _•_e • _C _• _•_e • _C _• _•_e • ₍₉₇₎

Las ecuaciones (96) y (97) constituyen un sistema homogéneo. Los valores de σ que hagan el determinante igual a cero permitirán que haya valores de C₁ y C₂ solución del sistema distintos de los nulos.

Obsérvese que el determinante del sistema vale

0 l l l l l l l l = σ − σ − σ σ σ σ + σ − σ − σ − − σ σ − σ − • e • • e • • e • • e • • e • e • e • e ₍₉₈₎

(16)

como σ ha de ser distinto de cero, no es posible obtener valores de C₁ y C₂ no nulos que verifiquen (96) y (97) simultáneamente. Esto quiere decir que no hay autovalores negativos en el problema de contorno planteado.

2) λ = 0

y" = 0 (99)

y=C x₁· + C₂ (100)

(

₁ l ₂

)

0 2 l 1• + C − − C • + C = C (101) de acuerdo con (86) C1− C1=0 (102)

La ecuación (101) define que C₁=0 ∀C₂ y la (102) es una tautología. Por tanto la solución que verifica la ecuación diferencial y las condiciones de contorno con λ = 0 es la función

y = C (103)

Por consiguiente l = 0 es un autovalor y la función ϕ(x) = 1 es una autofunción (recuérdese que si se multiplica por una constante también es una autofunción).

3) λ σ= 2 >

0

con σ∈ −R 0

La ecuación queda de la forma ′′+ =

y σ2·y 0 (104)

(

•x

)

C •cos

(

•x

)

sin • C

y = ₁ σ + ₂ σ (105)

(

)

(

)

(

)

(

)

C₁•sin σ• + C₂ •cosσ• − − C₁•sin σ• + C₂ •cosσ• =0 (106) de acuerdo con (86)

( )

l ₂

( )

l

(

₁

( )

l ₂

( )

l

)

0

1•σ•cosσ• − C •σ•sinσ• − C •σ•cosσ• + C •σ•sinσ• =

C (107)

La ecuación (106) conduce a que

( ) (

• C R

)

sin •

C₁ σ l =0∀ ₂∈ (108)

Por otro lado, la ecuación (107) conduce a que

( ) (

• C R

)

sin •

C₂ σ l =0∀ ₁∈ (109)

es decir, como C₁ y C₂ no pueden ser simultáneamente cero, ya que se trata de obtener los autovalores y autofunciones del problema, los valores de σ que verifican las ecuaciones (108) y (109) simultáneamente son

(

conn N

)

/ • n π ∈ ± = σ l (110)

(

conn N

)

/ • n π ∈ = λ 2 2 _l2 ₍₁₁₁₎

y las autofunciones tienen la forma:

(

l

)

1(x) sinn• •x/ n = π ϕ (112)

(

l

)

2(x) cosn• •x/ n = π ϕ (113)

Repárese que en este caso a un mismo autovalor (λ=n2•π2/l2 ) se le asocian dos autofunciones linealmente independientes, sin

(

n• • /π x

)

y cos

(

n• • /π x

)

.

Estas autofunciones, para un mismo valor de n, son ortogonales en el intervalo [-l,l], como puede ser fácilmente comprobado.

Se ha obtenido por tanto un conjunto de funciones ortogonales, constituido por {1,

(

n• •x/l

)

sin π , cos

(

n•π•x/l

)

/ n ∈ N}.

En estas condiciones se puede enunciar el siguiente: TEOREMA

(17)

Sean las autofunciones {1, sin

(

n• • /π x

)

, cos

(

n• • /π x

)

/ n ∈ N}. Considérese ahora la función f(x) definida en el intervalo cerrado [-l,l]. Si esta función (f) y su derivada (f') son continuas a trozos en dicho intervalo, existe una serie de la forma

(

)

∑

(

)

∑

∞ = π + ∞ = π + = 1 l 1 l 2 0 n / x • • n sin • n b n / x • • n cos • n a a ) x ( f (114)

que converge en cada punto del intervalo abierto (-l,l) a

[f(x+) + f(x-)]/2 (115)

A este desarrollo en serie se le conoce con el nombre de desarrollo en serie de Fourier de la función f(x). Los coeficientes se determinan teniendo en cuenta la ortogonalidad de las autofunciones. Así

∫

= l l -l 1 0 • f(x)•dx a (116)

(

)

∫

π = l l -l l 1 dx • / x • • k cos • ) x ( f • k a k=1,2,3,...,n (117) y

(

)

∫

π = l l -l l 1 dx • / x • • k sin • ) x ( f • k b k = 1,2,3,...n (118)

Supóngase ahora que la función f(x) está definida en toda la recta real y, manteniendo las mismas características descritas en el teorema de Fourier, además es periódica de período 2·l, es decir

f(x) = f(x + 2·l) ∀ x ∈ R (119)

en este caso, como las autofunciones {1, sin

(

n• • /π x

)

, cos

(

n• • /π x

)

/ n ∈ N} son también funciones periódicas de período 2·l, el desarrollo en serie de Fourier es válido para todo x ∈ R. TEOREMA DE FOURIER

Toda función periódica de período 2·l continua a trozos, tanto ella como su derivada, puede ser desarrollada en serie de la forma expresada en (114) y la suma de la serie converge en cada punto de la recta real a

[f(x+) + f(x-)]/2 (120)

Los coeficientes vienen determinados por las fórmulas (116), (117) y (118).

Una consecuencia de lo anterior es que si una función es impar su desarrollo en serie de Fourier vendrá definido en una serie de senos, mientras que si es par su desarrollo en serie tendrá el término constante más la serie de cosenos:

a) Función impar

(

)

∑

∞ = π = 1 l n / x • • n sin • n b ) x ( f (121) b) Función par

(

)

∑

∞ = π + = 1 l 2 0 n / x • • n cos • n a a ) x ( f (122) NOTA

Supóngase ahora una función f(x), definida en el intervalo [α,β], continua a trozos y con derivada también continua a trozos, siendo -l ≤α y β≥ l y que quiere ser desarrollada en serie de Fourier de la forma expresada en (114).

(18)

F(x) = m(x) -l ≤ x <α f(x) α≤ x ≤β n(x) β≤ x ≤ l

donde m(x) y n(x) son funciones arbitrarias, continuas a trozos y con derivadas también continuas a trozos en los correspondientes intervalos de definición. El desarrollo en serie de Fourier de la función F(x) definirá una serie convergente,del modo establecido en el teorema, que evaluará la función f(x) en el intervalo (α,β). Obviamente si no hay discontinuidad en la función F(x) en los puntos x = α y x = β, el suma de la serie definirá f(x) en [α,β].

Esto trae consigo que se pueda obtener 'la extensión impar de una función f(x)', es decir que se pueda desarrollar en serie de senos, según la forma de la expresión (121). Para ello basta con que la función F(x) anteriormente definida sea una función impar en el intervalo [-l,l]. De igual modo, la extensión par -expresión (122)-, haciendo que la función F(x) sea par en el intervalo [-l,l].

Una consecuencia de todo lo que se acaba de decir es que es posible encontrar infinitos desarrollos en serie de Fourier que evalúan la misma función en el mismo intervalo de longitud finita.

Obviamente si la función está definida en toda la recta real, únicamente existe desarrollo en serie si esta función es periódica. En este caso el desarrollo es único.

EL PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE NO HOMOGÉNEO

Considérese la ecuación diferencial no homogénea del problema de Sturm-Liouville:

L(y) = µ·w(x)·y + f(x) (123)

con las condiciones de contorno homogéneas en dos puntos 0 2 1•y(α)+ a •y′(α)= a (124a) 0 2 1•y(β)+ b •y′(β)= b (124b)

La función f(x) es continua en el intervalo [α,β] y µ es una constante real dada.

Sean λ_r los autovalores y ϕ_r(x) las autofunciones del problema homogéneo de Sturm-Liouville. Como la función f(x) es continua y con derivada continua, al menos a trozos, en el intervalo [α,β] y la función w(x) es continua y positiva en dicho intervalo, la función f(x)/w(x) admitirá un desarrollo en serie de las autofunciones del problema de contorno. Por tanto se podrá escribir que

∑

∞ = ϕ = 1 n ) x ( n ˆ • n d ) x ( w ) x ( f (125)

y la función solución admitirá un desarrollo -si existe- en serie en de las autofunciones, que tendrá la forma:

∑

∞ = ϕ = 1 n ) x ( n ˆ • n c ) x ( y (126)

Llevando (125) y (126) a (123), y teniendo en cuenta que las ϕ$_n( )x son las autofunciones normalizadas del problema homogéneo, se concluye que

∑

∞ = ϕ + ∞ = ϕ µ = ∞ = ϕ λ 1 1 1 n ) x ( n ˆ • n d • ) x ( w n ) x ( n ˆ • ) x ( w • • n c n ) x ( n ˆ • ) x ( w • n • n c (127)

como las autofunciones son linealmente independientes

(

_n

)

•w(x)•ˆ_n(x) d_n •ˆ_n(x)•w(x) •

n

c λ − µ ϕ = ϕ (128)

siendo w(x) mayor que cero, resulta que

(

n

)

dn

• n

(19)

Obsérvese que las incógnitas de este problema son las c_n. Pueden tener lugar los siguientes casos:

a) La constante µ no coincide con ningún autovalor. En tal caso, 0

≠ µ − λ_n

∀ n. Por consiguiente es posible despejar nc y obtener todos los coeficientes de la función solución, que será única.

b) La constante µ coincide con el autovalor rλ . En tal caso, 0

= µ − λ_r

b.1) Si rd es distinto de cero, no es posible obtener un valor para rc que verifique la ecuación (129). Por tanto no existe solución.

b.2) Si rd es igual a cero, esto significa que la función f(x)/w(x) es ortogonal a la autofunción ϕ_r(x)_{. Por tanto se puede elegir cualquier valor para r}c . Esto significa que existe una simple infinitud de soluciones del problema de contorno no homogéneo.

LA FUNCIÓN DE GREEN

Sea la ecuación diferencial

y" + p(x)·y' + q(x)·y = f(x) (130)

donde p(x), q(x) y f(x) son continuas en el intervalo [α,β]. Esta ecuación diferencial se puede expresar de modo simbólico como:

L(y) = f(x) (130') donde ) x ( q dx d • ) x ( p dx d L≡ + + 2 2 (131) Obsérvese que L es un operador lineal.

Se desea obtener la solución de esta ecuación diferencial, si existe, que verifique las condiciones de contorno homogéneas:

a1· ( )y α + a2·y′ =( )α 0 (132a)

b1· ( )y β + b2·y′ =( )β 0 (132b)

El estudio es distinto del realizado hasta ahora, aunque se demostrará formalmente que no va a ser posible obtener la solución del problema si ésta o no existe o no es única. En la pregunta precedente se vieron esos casos, que van a volver a surgir aquí.

El procedimiento de la función de Green es definir una función G(x,a), donde a es un valor perteneciente al intervalo (α,β). Dicha función cumple la siguientes propiedades

a G₁· ( , )α a + a₂·G′( , )α a =0 (133a) b G₁· ( , )βa + b₂·G′( , )β a =0 (133b) ′′ + ′ + = − G ( , )x a p x( ) ·G x( , )a q x G x( ) · ( , )a δ(x a ) (134) o lo que es lo mismo

(

)

L G x( , )a =δ(x− a) (134')

siendo δ(x-a) la delta de Dirac.

Obsérvese que una vez que se determina la función de Green , la solución de la ecuación diferencial propuesta se calcula mediante la integral

∫

-∞∞ a a a)•G(x, )•d f( = y(x) (135)

La función y(x), así definida, cumple las condiciones de contorno, al verificarlas G(x,a) y además, como se va a comprobar, también es solución de la ecuación diferencial.

(20)

( )

(

)

=f(x) ∞ ∞ δ = ∞ ∞

∫

-a a a -a a a)•L G(x, ) •d f( )• (x- )•d f( = y(x) L (136) Nota

Es necesario recordar ahora que, al introducir la función delta de Dirac, la propiedad que se había puesto de manifiesto era que

) ( f x x a -a = ∞ ∞ δ

∫

f( )• (x- )•d

Esta integral no coincide exactamente con la que aparece en la ecuación (136). Hay dos medios para probar que lo establecido en (136) es cierto. Uno es hacer un cambio de variable en dicha integral, pasando de la variable a a la variable t mediante a = 2·x - t en cuyo caso ) x ( f x t t x = ∞ ∞ − δ = ∞ ∞ δ

∫

- -a a a)• (x- )•d f(2• )• ( -x)•d f( .

El otro procedimiento es demostrando que: R x ) -(x • ) f( = (x) • ) -f(x a δ x δ a ∀ ∈

Si se conocen dos soluciones, y x1( ) e y2( )x , de la ecuación diferencial homogénea linealmente

independientes, tal como se ha definido G(x,a), se puede afirmar que G(x,a) es una función que verifica la ecuación diferencial homogénea cuando x ≠ a. Por consiguiente:

G x( , )a =A₁·y x₁( )+ A₂·y₂( )x x<a (137)

G x( , )a =B y x₁· ₁( )+ B₂·y₂( )x a<x (138)

Fijando ahora la atención en la ecuación (134), el primer miembro ha de ser discontinuo cuando x = a. Dicho primer miembro está constituido por la suma de tres sumandos. Obviamente si cuando x tiende a a, el primer miembro tiende a infinito, esto ha de significar que G"(x,a) ha de tender a infinito como la función delta de Dirac. Pero

δ(t a) •dt H x( a)

x

− = −

− ∞

∫

(139)

Por tanto G'(x,a) ha de ser también discontinuo cuando x tiende a a, es decir ha de tener un valor cuando se accede a a por la derecha y otro distinto cuando se va por la izquierda como la función de Heaviside. Pero

) a x ( R x dt • ) a t ( H = − ∞ − −

∫

(140)

Por tanto G(x,a) ha de ser continuo en x = a. De lo dicho se puede resumir que: lim x G x lim x G x → +a ( , )a = → −a ( , )a (141) lim x G x lim x G x → + ′a ( , )a − → − ′ =a ( , )a 1 (142)

Queda, por último, demostrar que, si no existe solución al problema no homogéneo o ésta no es única, no es posible obtener la función de Green.

Sea la ecuación diferencial homogénea de la que se está estudiando:

y" + p(x)·y' + q(x)·y = 0 (143)

siempre es posible encontrar una función r(x) de modo que se convierta en una ecuación de Sturm-Liouville:

r(x) = F(x) (144a)

r(x)·p(x) = F'(x) (144b)

(21)

∫

= =F(x) e p(x)•dx ) x ( r (145)

Como p(x) es continua, r(x) nunca se anula en el intervalo [α,β] y, habiendo elegido como constante de integración la unidad, r(x) es mayor que cero en todos los puntos de dicho intervalo. Por tanto la ecuación diferencial (143) se ha convertido en un problema homogéneo de Sturm-Liouville con las condiciones de contorno (132a) y (132b). Se define

r(x)·q(x) = -s(x) + µ·w(x) (146)

con w(x) esencialmente positiva en el intervalo [α,β]. Si µ es un autovalor, sólo existe una función (la autofunción correspondiente) que verifica las condiciones de contorno en el intervalo. Por tanto no se puede distinguir entre una función que verifica las condiciones de contorno en x = α (es decir α ≤ x < a) y otra en x = ß (o lo que es lo mismo en a < x ≤β). Consiguientemente no existe la función de Green.