( ) EJERCICIOS MÓDULO 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Seminario Universitario Matemática. 1) Hallar a y b para que los polinomios dados sean iguales:

(1)

EJERCICIOS – MÓDULO 3

1) Hallar a y b para que los polinomios dados sean iguales:

(

)

(

)

2 2 3 3 ) ( ) 5 7 ( ) 2 ) ( ) 2 3 ( ) 1 a P x a x x Q x x b x a b b P x a b x x a Q x x b x = + + = + + + = − + + = + +

2) Calcular a, b, c, d, sabiendo que:

(

_{a b x}₊

)

3 ₊_{a x}2 ₊

(

_{c a x}₊

)

₊

(

_{d c}₋

)

₌₅_x3 ₊₇_x2 ₊₃_x ₋₂

3) Calcular: a + 2 b – c + d, sabiendo que el polinomio P(x) está ordenado en forma decreciente y es completo: P x

( )

=9xa+7 −28x2 3− b +36x− −c 4 +11xd−5. 4) Dados: 2 3 2 2 ( ) 5 ; ( ) 3 ; ( ) 2 1 ; ( ) 3 1 P x = x −x Q x = − +x R x = x +x −x + S x = −x + x + Calcular:

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 3 ) ) ) 2 1 ) ) ) 5 ) ) ) ) ) : ) : a R S b P Q R S c P R d P x R e P S f R S Q g S Q R P h P Q i P Q S j P S Q k R Q l R S P + = + − + = − + = − ⋅ = ⋅ = − ⋅ = − + = + = − ⋅ = − − = = + =

5) Dividir aplicando regla de Ruffini:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 2 3 5 4 3 2 2 3 3 2 5 3 4 2 4 ) 3 2 1 : 2 ) 3 23 51 94 120 : 4 ) 72 48 2 2 : 6 1 ) 3 2 1 : 3 2 17 35 1 ) 3 10 6 22 : 2 2 2 1 1 ) : 16 2 a m m m m m b x x x x x x c x x x x d x x x x e x x x x x x f a a − + + + − = + − − + + − = − + + + = ₋ ₊ ₋ ₊  ₊ ₌         − + − − + − =          ₋   ₋ ₌        

6) Aplicar el teorema del resto a cada una de las divisiones del ejercicio anterior. 7) Dado el polinomio _{P x}_{( )}₌ _x4 ₊₂_x3 ₋₁₃_x2 ₋₁₄_x ₊₂₄

, determinar por cuáles de los siguientes binomios es divisible:

(x−1) ; (x+1) ; (x+2) ;(x +3) ; (x−3) ; (x+4) ; (x −4) ; (x+5)

(2)

8) Marcar con una cruz la casilla correspondiente a cada uno de los números que son raíces de los polinomios dados:

–2 –1 0 1 2 ( ) 3 6 P x = − x + 3 2 ( ) 2 Q x =x −x − x 2 ( ) 2 R x =x −x − 2 ( ) 1 S x = −x + 3 ( ) 1 T x =x −

9) Calcular k para que P(x) sea divisible por Q(x):

(

)

8 4 2 ) ( ) 1 ; ( ) 1 ) ( ) 4 ; ( ) a P x x kx Q x x b P x kx Q x x k = − + = + = − + = −

10) Determinar el valor de k sabiendo que el resto de la división entre los siguientes polinomios es igual a 30.

3 2

( ) 3 2 ( ) 2

P t = t −k t + Q t = +t

11) Hallar m ∈  , para que el polinomio _{P x}_{( ) 5}₌ _x4 ₋₂_{m x}2 3 ₊₃_x2 ₊_{m x} ₋₂_sea

divisible por Q x( )=

(

x −1

)

. 12) Extraer factor común:

+ − π − π = − − + = − = − − = 2 5 4 2 2 1 )2 2 ) 12 30 42 18 1 1 ) )2 8 40 5 15 n n n a R r b b b b b c x x d b b b

13) Extraer factor común por grupos:

+ − − = − + − =

3 2 3 2

) 3 6 2 )6 2 9 3

a x x x b x x x

14) Analizar si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, en caso de serlo, factorearlos: − + = − − = + + = + − = + + = + + = 6 3 6 3 4 3 2 2 2 4 2 ) 2 1 ) 2 1 ) 2 1 )4 4 1 )4 4 1 ) 4 a x x b x x c z z z d x x e x x f x x

15) Factorear los siguientes cuatrinomios cubos perfectos:

2 3 3 2

)8 12 6 ) 12 48 64

a + x + x +x = b x − x + x − =

16) Factorear las siguientes diferencias de cuadrados:

− = − = − =

2 4 9 8

) 81 )256 36 ) 49

25

a x b x c x

17) Factorear las sumas o diferencias de potencias de igual grado:

5 4 5 4

) 32 )16 1 )243 32 ) 625

a y + = b x + = c a − = d x − =

(3)

18) Factorear en función de las raíces los siguientes polinomios:

2 2

) 3 18 48 ) 5 41 8

a x − x − = b x − x + =

19) Factorear combinando diferentes casos:

− = − + = + − − = + − − = 5 3 2 4 3 3 2 ) 9 )8 24 18 ) 1 )5 2 20 8 a x x b x x c x x x d x x x 20) Hallar d.c.m.gr y m.c.m.gr: 5 6 4 3 3 3 2 2 ) ( ) 4 ; ( ) 6 ) ( ) 8 ; ( ) 2 8 ) ( ) 1; ( ) 1; ( ) 1 a P x x Q x x b P x x x Q x x x c P x x Q x x x x R x x x = = = − = − = + = + − − = − + 21) Resolver:

(

)

(

)(

)

 +  + _ − _⋅ = −   +   ₋  +  = =  ₋ ₊  ₊ ₋ ₊   + + +  −  − + ₌ ₊ _⋅ ₌  ₊  − + +   − 2 2 2 2 2 2 2 2 3 25 ) 26 6 3 5 169 9 4 8 2 3 1 ₄ ) : ) 2 3 3 4 3 4 9 16 4 12 1 1 3 3 18 5 ) ) 1 4 2 2 1 x a x x x x x b c x x x x x x x x x y x y d e x x x x x y

22) Si se multiplica un número por 5 se obtiene el mismo resultado que si se le suma 5. Hallarlo.

23) Calcular la longitud de un pilote sabiendo que su tercera parte está enterrada, su cuarta parte sumergida en el agua y que sobresale de ésta 3m. 24) Hallar cinco números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 50. 25) Una persona puede hacer un trabajo en seis días y otra lo puede hacer en 4 días. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntas?

26) La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 31.214 ¿Cuáles son dichos números?

27) Calcular el tiempo que tarda un móvil animado con M.R.U.A en recorrer 1044 metros, sabiendo que la velocidad inicial es de 40 cm/s y la aceleración de 6 cm/s2_.

28) Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon las manos. Uno de ellos advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

(4)

29) Este es un antiguo problema hindú, presentado en forma de verso: Regocíjanse los monos

Divididos en dos bandos Su octava parte al cuadrado

En el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay

en la manada, en total?

30) Dados los polinomios P(x) = (x – 1) (x + a) y Q(x) = (x – 2) (x – 1) (x + 3), determinar el valor de a para que:

a) El m.c.m.gr. sea (x – 2) (x – 1) (x + 3) b) El d.c.m.gr. sea (x – 1) (x + 3).

c) El d.c.m.gr. sea (x – 1). d) P(x) sea divisor de Q(x).

e) El resto de dividir Q(x) por P(x) no sea nulo. f ) El m.c.m.gr. sea (x – 2) (x – 1) (x + 3) (x – 3). g) El m.c.m.gr. sea (x – 2) (x – 1) (x + 3) (x + 2). 31) Determinar k ∈ _para que:

a) _x ₋₅_{divida a k x} 3 ₊_x2₋_k _.

b) _x ₊₁_{divida a}_x6 ₊_{k x}5₋₇_x3₋_k _.

c) ₂_x5 ₋_{k x}4₋_x3₋₂_{k sea m ltiplo de x} ₊₂

– ú .

32) a) ¿Es cierto que existe S(x), tal que ₆_x6 −₉_x4 +₁₀_x2 −₁₅=_{S x}_{( ). 2}

(

_x2 −₃

)

_?

b) Dividir ₈_{x por}9 ₋₅_x ₊₂_x3 ₊₁_.

33) a) Hallar a ∈ _ para que la siguiente operación de cómo resultado un polinomio de grado par:

(

₆_x2 ₋_{a x}5 ₊₇_x3

)

_

(

_a₋₁

)

_x4 ₋_x2_₋

(

₂_x2 ₊_{a x}9 ₋_x8

)

  .

b) Idem pero el resultado debe dar un polinomio de grado 4.

34) a) En una división de polinomios se pide hallar el dividendo sabiendo que el resto es _{R x}_{( ) 3}₌ _x2 ₊_x_{, el cociente es}_{x R x}3_{. ( )}_{y el divisor es}_{x R x}4_{. ( )}_.

b) Hallar a ∈ _ para que se verifique que:

(

)

(

)

7 ₂ 5 3 ₂ 5 4 ₃ 2 ₃ ₃

x − x = x +x _ a− x +x − x + _− x_.

c) Al dividir _{P x}_{( ) 2}₌ _x3₊₄_x2 ₋₂_{x a}₊ _{por x – 3 se obtuvo 10 como resto. Hallar} el término independiente de P(x).

d) El polinomio _{S x}_{( )}_{= −}₂_x2 ₊₃_x ₊₁₄_{es divisible por x –}_{a. Hallar los posible} valores de a ∈_.

(5)

e) Escribir en lenguaje simbólico: “Si la resta entre P(x) y Q(x) es la suma entre P(x) y el opuesto de Q(x), entonces la suma entre P(x) y Q(x) es la resta entre P(x) y el opuesto de Q(x).

f ) Sabiendo que el d.c.m.gr(P(x), Q(x)) = 1; las raíces de P(x) son 1, -1 y 2 y que Q(x) es divisible por x – 3 se pide hallar todas las raíces de:

6 5 4 3 2

. . . ( ( ), ( )) 6 2 60 71 54 72

m c m gr P x Q x = x − x − x + x − x − x + _.

35) a) P(x) es un polinomio de grado 6, con coeficiente principal 6 y seis raíces que son los primeros múltiplos positivos de 6. Expresar P(x) factorizado.

b) El polinomio _{L x}_{( )}₌_x4 ₋_{a x}3 ₊_{b x}2_{tiene raíces x = 3 y x = –1. Hallar a y b.} c) Hallar las raíces de _{z x}_{( )}₌ _x2n ₋₃2n_{sabiendo que n}_∈

 ∧ n > 1. d) Factorizar _{Q x}_{( )}₌ _x4 ₋₂_x3₊₈_x₋₂_a

sabiendo que una raíz es x =2_.

e) Los polinomios R(x) y S(x) comparten la misma raíz 1

2

x = _{. En R(x) es una}

raíz doble y en S(x) es triple. Determinar la multiplicidad de 1/2 como raíz de H(x) = R(x) S(x).

f ) Encontrar un polinomio P(x) que verifique: 2 5 4 4 ( ) ₂ 2 ₃ ₃

1 x x P x x x x − − = + + − . 36) Resolver:

(

)

2 2 2 2 ₁ ₁ ₁ ₃ 2 ) ) . 1 1 1 1 4 4 3 2 ₁ 2 x _x x _x x x x a b x x _x x x x x x x − + _ ₊ ₋ _ _ _ − + + =  −   + − = − _{− −}  − +    − −

(

)

2 2 2 2 2 2 ₂ 1 ₇ 1 4 4 3 3 5 6 ₂ ) : = ) : 1 2 1 2 2 2 ₁ 2 x b a a b x c d x a x a b a b x x x x _x +   − + ₊ ₋ ₌   − +  + − + −  ₋ 37) Probar que: a) 4 ₂₃ − _{7 .}4 ₂₃+ ₇ −6_{5 2 7 . 5 2 7 1}− 6 + = _b)₁ 1 6 2 1 4 1 1 ₁ 1 2 x x x + + = + + + c) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 6 2 x x y y x y x y x y x y x y x y + + ₋ − + − ₌ − d) 2 2 1 . 5 1 7 2 2 1 2 x x a a x x a x a − + _{+ =} + + − − − + 83

(6)

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) a) a = 2 ; b = 5 b) No existe solución. 2) a =7; b = −2; c = −4; d = −6 3) a+2b c d− + =6 ,donde a= −4; b=0; c = −5;d =5. 4) _{a R S}₎ + =₂_x3 +₂_x +₂ _{b P Q R S}₎ + − + = −₂_x3 +₃_x2 +₂_x +₃

(

)

− + = − − + − ⋅ = − − + − ⋅ = − + + − − ⋅ = − + + − 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 6 ) 2 4 3 2 ) 2 2 5 5 ) 5 16 2 ) 2 4 10 12 c P R x x x d P x R x x x x e P S x x x x f R S Q x x x x

(

)(

)

(

)

(

)

− + = − + + − + − + = − + − + − ⋅ = − + + − − + + − − = − + − + − − 5 4 3 2 2 2 4 3 2 2 ₆ ₅ ₄ ₃ ₂ 3 6 5 4 3 2 ) 2 2 22 21 8 2 ) 25 10 2 6 9 ) 25 75 55 90 39 27 9 ) 125 75 15 2 4 g S Q R P x x x x x h P Q x x x x i P Q S x x x x x x j P S Q x x x x x x

(

)

= − − − = + = + = + 2 ) : 2 7 20 resto 61 2 2 52 ) : resto 2 5 25 25 k R Q x x l R S P x x 5) _{a C x}_{) ( ) 3}= _m3 +₈_m2 +₁₅_m +₃₁ _{resto 63}= = + + − − = = − + = = − + − = 4 3 2 2 2 ) ( ) 7 5 31 30 resto 0 ) ( ) 2 10 12 resto 0 19 61 185 ) ( ) 3 resto 2 2 2 b C x x x x x c C x x x d C x x x = + − − + = = + + + = 4 3 2 3 2 ) ( ) 3 10 5 20 12 resto 0 1 1 1 ) ( ) resto 0 2 4 8 e C x x x x x f C x a a a

6) A cargo del alumno.

7)P x( )es divisible por

(

x −1 ,

)

(

x +2 ,

) (

x −3 y por

)

(

x +4

)

8) –2 –1 0 1 2 P(x) = –3 x + 6 X Q(x) = x3 – x2 – 2 x X X X R(x) = x2 – x – 2 X X S(x) = –x2 + 1 X X T(x) = x3 – 1 X 9) a) k = 2 b) k = ± 2 10) k = –13

11) m = 2 (la otra solución no es entera). 84

(7)

12) _a₎₂π

(

_{R r}−

)

_b₎₆_b

(

₂_b −₅_b4 − +_{7 3}_b3

)

 ₋  −

(

₋ ₋

)

    1 3 1 1 ) )2 4 20 5 3 n c x x d b b b 13) _a_{) 3}

(

_x +₁

)

(

_x2 −₂

)

_b_{) 2}

(

_x2 +_{3 3}

)

(

_x −₁

)

14) _{a x}₎

(

3 −₁

)

2 _b_{)no es trinomio cuadrado perfecto}

(

)

(

)

+   + _ + _   2 2 2 2 ₂

) )no es trinomio cuadrado perfecto 1 ) 2 1 ) 2 c z z d e x f x 15) a) 2

(

+x

)

3 b x)

(

−4

)

3 16)

(

+

)(

−

)

(

+

)(

−

)

_ + _{ }  − _     2 2 3 4 3 4 ) 9 9 ) 16 6 16 6 ) 7 7 5 5 a x x b x x c x x 17) _{a y}₎

(

₊₂

)

(

_y4 ₋₂_y3 ₊₄_y2 ₋₈_y ₊₁₆

)

_{b) es primo} _c_{) 3}

(

_a −_{2 81}

)

(

_a4 +₅₄_a3 +₃₆_a2 +₂₄_a +₁₆

)

_{d x}₎

(

₊₅

)

(

_x3 ₋₅_x2 ₊₂₅_x ₋_{125 o también}

)

(

_x ₋₅

)

(

_x3 ₊₅_x2 ₊₂₅_x ₊₁₂₅

)

18) ) 3( 2)

(

8

)

) 5 1

(

8

)

5 a x + x− b _x − _ x −   19)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

+ − − − + + + + − + 2 3 2 ) 3 3 ) 2 2 3 ) 1 1 1 ) 5 2 2 2 a x x x b x c x x x x d x x x 20) _a_{)d.c.m.gr 2}= _x5 _{m.c.m.gr 12}= _x6

(

)

(

)(

)

(

)

(

) (

)

(

)

= − = + − + + = = + − − + 2 2 ₂ )d.c.m.gr 2 m.c.m.gr 2 2 2 2 4 )d.c.m.gr 1 m.c.m.gr 1 1 1 b x x x x x x x c x x x x 21)

(

)

− − ₋ 2 9 10 16 )10 ) ) 3 4 ₂ x a b c x _x )2 )

₍

12

₎₍

₎

2 1 d x e x − x + 22) 5 4 x = 23) 7,2 m 24) 8; 9; 10; 11 y 12 25) 2,4 días 26) 101; 102 y 103 27) 180 segundos 28) 12 personas 85

(8)

29) El problema tiene dos soluciones: x = 48 o x = 16 monos en la manada. 30) ) 2 3 ) 3 ) 2 3 ) 2 3 ) 2 3 ) 3 ) 2 a a a b a c a a d a a e a a f a g a = − ∨ = = ≠ − ∧ ≠ = − ∨ = ≠ − ∧ ≠ = − = 31) a) 25 ) 4 ) 4 124 k = − b k = c k = 32) a) Sí, S(x) = 3 x4 + 5. b) _{( ) 4} 6 ₁₀ 4 ₂ 3 ₂₅ 2 ₁₀ 127 2 C x = x + x − x + x − x + con resto _{( )} ₇₅ 2 655 127 2 2 R x = − x + x − 33) a a) =0 ) b ∃ a 34) _{a D x}_{) ( ) 9}₌ _x11₊₆_x10 ₊_x9 ₊₃_x2 ₊_x₎_{b a}₌₂ ) 74 ) 7 2 2 c a= d a= ∨ a= − e) Si P x( )−Q x( )=P x( )+ −_ Q x( ) _ ⇒ P x( )+Q x( )=P x( )+ − −_ Q x( )_ f ) 1; –1; 2; 3; –3; 4.

(

)(

)

(

)(

)

(

2

)

35) ) ( ) 6 6 12 18 24 30 36 ) 2 3 ) 3 ) ( ) 2 2 2 4 8 a P x x x x x x x b a b c b d Q x x x x x a = − − − − − − = ∧ = − = ± = − + − + ∧ =

e) En H(x), x = ½ es raíz de orden de multiplicidad 5. f ) _{P x}

( )

₌₂_x5 ₋₄_x4 ₋₂_x3 ₋_x2 ₊₃ 36)

(

)

(

)

3 2 2 2 2 2 4 3 2 6 1 ) ) 3 ) ) 2 1 x x x a x x a b c d x x a b − + − + ₋ ₋ + + − −

37) A cargo del alumno.