Instituto de Matem´atica y Estad´ıstica Facultad de Ingenier´ıa
“Prof. Ing. Rafael Laguardia” Universidad de la Rep´ublica
C1 y GAL1 anuales
2009
Trabajo: n´
umero de condici´
on y SVD
El objetivo de este trabajo es presentar una introducci´on al n´umero de condici´on, a los
valores singulares y a la descomposici´on en valores singulares de matrices reales. Para evitar complicaciones t´ecnicas presentaremos estos conceptos para matrices 2×2, pero se generalizan a matrices de cualquier tama˜no, y tambi´en a matrices complejas. La descomposici´on en valores singulares tiene mucho sentido geom´etrico, y es adem´as una herramienta importante para el an´alisis de datos, por lo que es de gran aplicabilidad en ´areas como la estad´ıstica, el tratamiento de im´agenes, la compresi´on de datos y la inteligencia artificial.
Ejercicio 1 1. Resolver el sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas AX =B, donde
A= 1 0,999 0,999 1 , 1,999 1,999 .
2. Considerar el sistemaAX =B1, con la misma matrizA, yB1 = (1,989,2,009)>. Dar una
estimaci´on del valor deX antes de resolver el sistema.
3. Resolver AX =B1. ¿Obtuviste un resultado cercano al que esperabas?
4. Resolver AX =B2, con B2 = (2,009,2,009).
5. Discutir los resultados obtenidos. Ejercicio 2
1. Hallar los dos valores propios λ1 > λ2 >0 y una base ortonormal de R2 formada por dos
vectores propios O1 y O2 de la matriz
A= 1 0,999 0,999 1 .
2. Para los vectores O1 y O2 hallados en la parte anterior, calcular las soluciones de AX =O1, AX =O2.
3. Para dos constantes reales α y β cualesquiera hallar la soluci´on de
AX =αO1+βO2.
4. Escribir (1,989,2,009) como una combinaci´on lineal de O1 y O2, y usar los resultados
de las partes anteriores para entender los resultados que se encontraron al resolver el ejercicio 1.
En el pr´oximo ejercicio estudiaremos la relaci´on que hay entre el m´odulo |AX| del vector
Ejercicio 3 Llamemos O1 y O2 a los vectores de la base ortonormal del ejercicio 2.
1. Mostrar que siX se escribe como X =α1O1+α2O2 entonces AX = 1,999α1O1+ 0,001α2O2.
2. Mostrar que, para X 6=O,
|AX|2 |X|2 = 1,9992α21+ 0,0012α22 α2 1+α22 , concluir que 0,001≤ |AX| |X| ≤1,999, (1)
y que los valores m´aximo y m´ınimo del cociente en (1) se alcanzan, respectivamente en los vectores colineales con O1 y con O2.
En el ejemplo del ejercicio anterior encontramos que 0,001 y 1,999 son la m´ınima y la m´axima dilataci´on que puede producir la matriz A al actuar sobre los vectores de R2. Estos n´umeros son los que controlan lo que ocurre con los errores relativos al resolver el sistema AX = B. Nuestra pr´oxima serie de ejercicios extiende estos resultados a matrices cualesquiera.
Introducimos entonces el n´umero m que mide la m´as peque˜na dilataci´on que produce A, simplemente examinando todos los cocientes |AX|/|X| para los vectores no nulos del espacio, consideramos entonces el conjunto
D= | AX| |X| ; X ∈R 2, X 6=O ⊂R. (2) Ejercicio 4
1. Mostrar que D es un conjunto acotado y no vac´ıo. Concluir que tiene un ´ınfimo m y un supremo M.
2. Mostrar queM = 0 si y s´olo siA es la matriz nula. ¿Puede serm= 0 para una matriz A
no nula? ¿Qu´e ocurre cuando m y M son iguales? 3. Mostrar que
D=
|AX|; X ∈R2, |X|= 1 .
4. Mostrar que el ´ınfimo m y el supremo M son en realidad el m´ınimo y el m´aximo de D. Sugerencia: los vectores de m´odulo 1 de R2 son los vectores de la forma (cosθ,senθ), con
θ ∈R.
5. Mostrar que para cualquierX ∈R2 se satisfacen las desigualdades
m|X| ≤ |AX| ≤M|X|, . (3)
En el pr´oximo ejercicio vamos a analizar como los n´umerosm yM intervienen en el control de los errores relativos. Consideraremos que al intentar resolver un sistema
su t´ermino independiente B est´a afectado de error, por lo que en realidad conocemos una perturbaci´on B+ ∆B. El vector ∆B es el error absoluto cometido en la determinaci´on de B, la diferencia entre el dato que ponemos en la ecuaci´on, y el valor correcto de B. Es interesante medir este error en relaci´on a B, y es la forma adecuada de medir el error para la mayor´ıa de las aplicaciones. Claro est´a, por ejemplo, que no es lo mismo cometer un error de algunos mil´ımetros respecto a lo planificado en la construcci´on de una carretera, que en el an´alisis de una imagen que se utiliza para preparar una operaci´on al coraz´on1. Introducimos entonces la noci´on de error relativo
δB = |∆B| |B| ,
comparando el tama˜no (m´odulo) del error absoluto ∆B contra el de B.
Ejercicio 5 1. Consideremos una soluci´on X de AX = B, y llamemos X + ∆X a una soluci´on del sistema en el que B se ha visto perturbado a B + ∆B. Es decir, X+ ∆X
satisface
A(X+ ∆X) =B+ ∆B.
El vector ∆X es entonces el error que ∆B introduce en la soluci´on del sistema. Mostrar que A(∆X) = ∆B.
2. Concluir que m|∆X| ≤ |∆B|. Observar tambi´en que M|X| ≥ |B|..
3. LlamandoδX =|∆X|/|X|al error relativo enX, concluir que se satisface la desigualdad
δX ≤ M
mδB.
¿Cu´al es el sentido de esta desigualdad en el caso en que m= 0?
El cociente M/m es lo que se llama eln´umero de condici´on de una matriz. Cuando m 6= 0 definimos entonces para una matriz A su n´umero de condicion κ(A) como
κ(A) = sup{|AX|/|X|; X 6=O} ´ınf{|AX|/|X|; X 6=O}. Por supuesto, vale la acotaci´on
δX ≤κ(A)δB
para el error relativo δX que se comete al resolverAX =B+ ∆B cuando se pretend´ıa resolver
AX =B. El n´umero de condici´on κ(A) controla la propagaci´on de los errores relativos.
Es posible que el ejemplo que hemos tratado haya dejado en el lector la idea de que el n´umero de condici´on de una matriz 2×2 es el cociente del m´aximo valor propio dividido el m´ınimo valor propio. Aunque esto es cierto para matrices sim´etricas cuando los valores propios se ordenan seg´un su valor absoluto, no es cierto en general. En los pr´oximos ejercicios desarrollamos la teor´ıa para matrices cualesquiera.
Ejercicio 6 1. Mostrar que si X es un vector donde la dilataci´on |AX|/|X| alcanza su m´aximo M, entonces
AX·AY =M2X·Y
1En este ejemplo los m´argenes de error tolerables no dependen s´olo de los ´ordenes de magnitud de las variables
se satisface para todo Y ∈R2. Sugerencia: considerar el hecho de que la funci´on auxiliar ϕ(t) = |A(X+tY|
2
|X+tY|2
tiene un m´aximo en t= 0, est´a definida en un entorno de t= 0 y es derivable.
2. Enunciar y demostrar un resultado an´alogo para los X en que la dilataci´on alcanza su m´ınimo.
3. Mostrar que si m < M entonces los vectores O1 en los que se alcanza el m´aximo y O2 en
los que se alcanza el m´ınimo de la dilataci´on por A son ortogonales, y que tambi´en los son sus im´agenesAO1 y AO2.
4. Mostrar que para toda matriz A 2×2 existen matrices ortogonalesU y V tales que
AU =VΣ, (4) con Σ = M 0 0 m .
La f´ormula (4) es equivalente a la factorizaci´on
A=VΣU>
para A. Esta factorizaci´on se conoce con el nombre de descomposici´on en valores singulares de
A. Su significado geom´etrico es que hay una base ortogonal deR2 que es transformada por A
en un conjunto ortogonal. Los n´umeros M y m que representan la dilataci´on que sufren los vectores de la base ortonormal al ser transformados son los valores singulares. El n´umero de condici´on de una matriz es el cociente entre su mayor y su menor valor singular.
Ejercicio 7 Es usual llamar S1 al conjunto de vectores de R2 que tienen m´odulo 1. Mostrar que, seg´un los valores dem y M, la imagen de S1 por una matrizAes una elipse, un segmento
o un punto.
El objetivo del pr´oximo ejercicio es determinar la descomposici´on en valores singulares y el n´umero de condici´on de una familia de matrices no sim´etricas, y observar que el n´umero de condici´on es diferente al cociente de los valores propios.
Ejercicio 8 Consideraremos las matrices
A= 2 −n 0 1 ,
donde n es un natural cualquiera.
1. Hallar los valores y vectores propios deA. 2. Para calcular el m´odulo de AX observemos que
|AX|2 = (AX)·(AX) = (AX)>
AX =X>(A>A)X =X·(A>AX).
Hallar los valores y vectores propios de A>A, verificar que existe una base ortonormal (U1, U2) de R2 formada por vectores propios de A>A y usar esa base para calcular el
cociente |AX|/|X| entre el m´odulo de AX y el de X. Sugerencia: el cuadrado de ese cociente tiene una expresi´on simple en t´erminos de los coeficientesα1 yα2 de la expresion
3. Hallar el n´umero de condici´onκ(A) de A. Determinar los vectores de R2 sobre los que A
produce las dilataciones m´axima y m´ınima, y sus im´agenes al multiplicarlos por A. 4. Determinar la descomposici´on en valores singulares de A.
5. Dibujar las im´agenes porA de S1, para distintos valores de n.
