Ecuaciones diferenciales lineales: definición y método general de solución. Modelos de un compartimento.

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Ecuaciones diferenciales lineales: definici´

on y

m´

etodo general de soluci´

on. Modelos de un

compartimento.

Juan Ruiz ´Alvarez1

1_{Departamento de Matem´}_{aticas. Universidad de Alcal´}_{a de Henares.}

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Contenidos

1 Introducci´on

2 Ecuaciones diferenciales lineales

3 Resoluci´on de ecuaciones diferenciales lineales

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´Indice

1 Introducci´on

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Introducci´

on

En temas anteriores hemos estudiado t´ecnicas para encontrar solucines expl´ıcitas de ecuaciones diferenciales de variables separadas. Aunque muchos problemas interesantes conducen a ecuaciones de tipo diferencial, la mayor parte de ellas no pueden separarse. En este tema estudiaremos uno de los procedimientos usuales para resolver ecuaciones diferenciales lineales. De forma general, estas ecuaciones ser´an del tipo:

dy

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´Indice

1 Introducci´on

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Ecuaciones diferenciales lineales

Una ecuaci´on diferencial de primer orden es linealsi puede escribirse en la forma,

dy

dt =g(t)·y+r(t) donde g(t) y r(t) son funciones arbitrarias det. Un ejemplo puede ser,

dy dt =t

2

·y+cos(t)

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Ecuaciones diferenciales lineales

A veces es necesario alguna operaci´on previa para determinar si una ecuaci´on es de tipo lineal. Por ejemplo,

ty + 2 = dy dt −3y puede reescribirse como,

dy

dt = (t+ 3)y + 2.

Algunas ecuaciones caen en varias categor´ıas simultaneamente. Por ejemplo,

dy

dt =−2y+ 8

es lineal con g(t) =₋2,r(t) = 8. La ecuación también es separable por ser una ecuación autónoma.

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Ecuaciones diferenciales lineales

La palabralinealen el nombre de la ecuación se refiere al hecho de que la variable dependiente y aparece en la ecuación elevada solo a la primera potencia. La ecuación

dy dt =y

2

No es lineal ya que no puede ser reescrita en la forma

dy

dt =g(t)·y+r(t).

Otros ejemplos de ecuaciones lineales son, dP dt =e 2t_P −sin(t) dw dt = sin(t)·w

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Ecuaciones diferenciales lineales

Un ejemplo de ecuaci´on no lineal es, dz

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´Indice

1 Introducci´on

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Factor integrante

Para resolver una ecuaci´on diferencial lineal, la reescribimos primero como

dy

dt +a(t)·y=r(t)

Donde a(t) =₋g(t). Esto se parece a la derivada de un producto. Para tener la derivada de un producto, podemos multiplicar toda la ecuaci´on por µ(t),

µ(t)dy

dt +µ(t)a(t)y=µ(t)r(t) La regla del producto para la derivada dice que,

d(µ(t)_·y(t)) dt = dµ(t) dt y(t) +µ(t) dy(t) dt

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Factor integrante

¿ C´omo encontrar µ(t)?.

Para encontrarlo disponemos de dos condiciones: d(µ(t)·y(t)) dt = dµ(t) dt y(t) +µ(t) dy(t) dt d(µ(t)_·y(t)) dt =µ(t) dy dt +µ(t)y(t)a(t) Puesto que queremos que µ(t) satisfaga ambas condiciones,

hacemos µ(t) dy dt + dµ(t) dt y(t) =µ(t) dy dt +µ(t)y(t)a(t)

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Factor integrante

Cancelando el primer t´ermino, obtenemos: dµ(t)

dt y(t) =µ(t)y(t)a(t),

que es otra ecuaci´on diferencial de variables separadas y cuya soluci´on es,

µ(t) =e

R

adt

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Factor integrante

Una vez que conocemos µ(t), podemos reescribir la ecuaci´on inicial µ(t) dy dt +µ(t)a(t)y=µ(t)r(t) como, d(µ(t)·y(t)) dt =µ(t)r(t).

Integrando ahora ambos miembros de la ecuaci´on, obtemos que

µ(t)·y(t) = Z µ(t)r(t)dt y, por tanto y(t) = 1 µ(t) Z µ(t)r(t)dt.

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Factor integrante

Siguiendo esta estrategia hemos encontrado una funci´n µ(t),

denominada factor de integración ofactor integrante. El motivo es que si multiplicamos la ecuación original por este factor, podemos resolverla por integración.

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Factor integrante

Resoluci´on de una ecuaci´on lineal por pasos:

Para calcular la soluci´on expl´ıcita de una ecuaci´on lineal del tipo, dy

dt +a(t)y =r(t), Procedemos seg´un los siguientes pasos:

1 Calculamos el factor de integraci´on

µ(t) =e

R

a(t)dt .

2 Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´on diferencial lineal por dicho factor de integraci´on.

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Ejemplo

dy dt +

2

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´Indice

1 Introducci´on

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Modelo de un compartimento: Ejemplo

Supongamos un estanque que inicialmente tiene un volumen inicial v0. En el instante inicial t= 0 el agua del estanque est´a limpia. El

estanque tiene 2 corrientes de entrada que fluyen hacia ´el, la Ay la B. Una tercera corriente C, fluye fuera del estanque. Supongamos que de la corriente Afluye un volumen VA por d´ıa hacia el

estanque. De la corriente B fluye un volumen VB por d´ıa hacia el

estanque. A trav´es de la corriente C se desaloja el agua que entra traves de AyB, de forma que el volumen de agua que hay en el estanque es siempre constante.

El agua aportada por la corriente A est´a contaminada. El contaminante tiene una concentraci´on en el agua de CA .

Asumimos que la concentraci´on de contaminante en cada instante de tiempo es constante dentro del estanque (el agua est´a bien mezclada con el contaminante).

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Modelo de un compartimento: Ejemplo

Aparte de esto, un d´ıa empieza a arrojarse al estanque un volumen Vt de tierra, que va reduciendo el volumen del estanque d´ıa a d´ıa.

Para que el estanque no se desborde, se ajusta el volumen que sale por C aVC. ¿Cual es la cantidad de contaminante que hay en el

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Claudia Neuhaser. Matem´aticas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.