Sobre la estabilidad globalmente asintótica de sistemas singulares no lineales

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Sobre la estabilidad globalmente asint´

otica de sistemas

singulares no lineales

B. Cant´

o, C. Coll, E. S´

anchez

Instituto de Matem´atica Multidisciplinar, Universidad Polit´ecnica de Valencia, Camino de Vera s/n, 46022 Valencia. E-mails:bcanto@mat.upv.es, mccoll@mat.upv.es, esanchezj@mat.upv.es.

Palabras clave: sistema singular, sistema no lineal, estabilidad globalmente asint´otica, Lyapunov

Resumen

En este trabajo se estudia el problema de la estabilidad global para sistemas sin-gulares no lineales. Para ello se utiliza la definición de estabilidad asintótica según Lyapunov. Los resultados obtenidos son una generalización de dicho problema para el caso de sistemas no lineales estándar.

1. Preliminares

Por lo general, los modelos matemáticos que representan procesos atmosféricos, ecológi-cos, de ingenier´ıa, biológicos y económicos son sistemas no lineales. Uno de los problemas más importantes en el estudio de modelos es la estabilidad del proceso. En el caso de sistemas lineales es conocido que si el sistema es asintóticamente estable, la estabilidad asintótica se mantiene para todos los estados. Desafortunadamente en el caso no lineal, esto no es suficiente, y es cuando aparece el concepto de estabilidad globalmente asintótica, [1] y [5]. Recientemente varios autores han tratado estos temas, pero sólo unos pocos trabajos generalizan estos resultados para los sistemas singulares no lineales.

En este trabajo se estudia el concepto de estabilidad global que juega un importante papel en los problemas referentes a la estabilizaci´on de los sistemas en su forma espacio-estado. Para ello se aplica la teor´ıa de estabilidad de Lyapunov. Se resuelve el problema para distintas clases de sistemas no lineales, aportando ejemplos num´ericos con el fin de ilustrar los resultados obtenidos.

A continuaci´on introducimos algunas definiciones y propiedades que se usan a lo largo del trabajo.

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Ex(k+ 1) =f(x(k)), k ∈N (1) donde E ∈ Rn×n _{es una matriz singular,} _x₍_k₎ _∈_Rn _{representa el estado y} _f _:_Rn _→ _Rn es una funci´on continuamente diferenciable enRn_.

Se dice que un vectorx∗_∈_Rn _{es un} _{punto de equilibrio} _{del sistema (1) si verifica que} Ex∗ ₌ _f₍_x∗_{). Si se denota por} _x

0 el estado inicial, se pueden extender las definiciones

habituales de estabilidad para el caso est´andar, dadas en [4], al caso singular. Definici´on 1.1 Consideramos el sistema (1).

i) El punto de equilibrio x∗ de (1) es estable si dado² >0, existe δ=δ(²)>0 tal que

kx0−x∗k< δ entonces kx(k)−x∗k< ², para todo k≥0. Dicho punto de equilibrio

es inestable si no es estable.

ii) El punto de equilibrio x∗ _{de (1) es atractor si} _∃ _µ ₌ _µ₍₀₎ _{tal que} _k_x

0 −x∗k < µ

entonces l´ım

k→∞x(k) =x ∗_.

iii) El punto de equilibrio x∗ de (1) es asintóticamente estable si es estable y atractor. La región donde se verifica la propiedad de estabilidad asintótica se llama dominio de atracción.

La propiedad de estabilidad, en el sentido de Lyapunov, se da en términos de las matrices definidas. Una matriz A ∈ Rn×n es (semi) definida positiva si es simétrica y xT_{Ax >} ₀ ¡_xT_Ax_≥₀¢ _{para todo} _x _∈ _Rn _{distinto de cero. El término} _{(semi) definida} negativa significa que−Aes (semi) definida positiva. Denotamos porA >0 (A≥0) donde A es una matriz (semi) definida positiva y por A < 0 (A ≤ 0) donde A es una matriz (semi) definida negativa.

El concepto de funci´on de Lyapunov se muestra en la siguiente definici´on.

Definición 1.2 Sea V : Rn _→ _R _{una función de valores reales. El decremento de la} variación de V relativo al sistema se define como

∆V(x(k)) =V(x(k+ 1))−V(x(k)).

La funciónV es una función de Lyapunov siV es continua y el decremento∆V(x)≤0. En [4] aparece un resultado sobre el análisis de la estabilidad del punto de equilibrio cuando el sistema considerado es estándar, es decir,E =I.

Teorema 1.1 SiV es una función de Lyapunov para el punto de equilibriox∗ _{y satisface} V (x∗) = 0 y V (x) > 0 , entonces x∗ es estable. Si, además, ∆V(x) < 0, siempre que x6=x∗_{, entonces}_x∗ _{es asintóticamente estable.}

Cuando el sistema a estudiar es un sistema lineal singular dado por Ex(k+ 1) =Ax(k)

conE, A ∈Rn×n_{, la respuesta del puede darse en términos de los valores propios} gener-alizados (finitos e infinitos) del par (E, A). Para asegurar que el sistema admite solución necesitamos la propiedad de regularidad del par (E, A). En la siguiente definición recoge-mos los conceptos básicos para un par de matrices (para más detalles, ver [2] y [7]).

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Definici´on 1.3 Consideramos el par(E, A). Este es regular sidet(λE−A)6= 0, es causal si grado(det (λE−A)) = rg(E), es Schur estable si es regular y todos sus valores propios se encuentran en el interior del c´ırculo unidad en el plano complejo. Y finalmente, el par (E, A) es admisible si es regular, causal y Schur stable.

El siguiente resultado sobre la estabilidad del par (E, A) se encuentra en [9].

Teorema 1.2 Si el par (E, A) es admisible entonces para cada matriz (semi) definida positiva Q la ecuaci´on

ATP A−ETP E=−Q (2)

tiene una ´unica soluci´on (semi) definida positiva P. Inversamente, si existen dos matrices definidas positivas P y Q que satisfagan (2), entonces el par(E, A) es admisible.

Adem´as, usando la funci´on generalizada de Lyapunov, (ver [8]), dada por V(x) = xTETP Ex, se obtiene el siguiente resultado (ver [3] y [10] ).

Teorema 1.3 El par (E, A) es admisible si y s´olamente si existe una matriz sim´etrica invertible P tal queET_{P E} _{es una matriz semidefinida positiva y} _AT_{P A}₋_ET_{P E} _{es una} matriz definida negativa.

2. El problema de la estabilidad globalmente asint´

otica

Si la estabilidad asintótica se mantiene para todos los estados iniciales, es decir, si la trayectoria converge en el punto de equilibrio, entonces se obtiene el concepto de estabilidad globalmente asintótica. Dicho concepto queda formalizado en la siguiente definición. Definición 2.1 El punto de equilibriox∗ _{de (1) es globalmente asintóticamente estable si} es asintóticamente estable y el dominio de atracción es todo el espacio Rn_.

Si el sistema es estándar (E =I) yx∗_{es asintóticamente estable entonces la estabilidad} del sistema es global. Este no es el caso del sistema no lineal, donde es necesario añadir alguna condición a la función de Lyapunov.

Teorema 2.1 [4] Si V es una funci´on de Lyapunov para el punto de equilibrio x∗ _del sistema x(k+ 1) = f(x(k)) que satisface V (x∗_{) = 0} _y _V ₍_x₎ _> ₀_, _∆_V₍_x₎ _< ₀_{, siempre} que x 6=x∗, y V(x) → ∞ cuando kxk → ∞, entonces x∗ es globalmente asint´oticamente estable.

En este trabajo estudiamos los sistemas singulares no lineales dados por Ex(k+ 1) =f(x(k)).

Si rg(E) = n1 < n entonces, sin p´erdida de generalidad, este sistema puede escribirse

como _µ In1 O O O ¶ µ x1(k+ 1) x2(k+ 1) ¶ = µ f1(x(k)) f2(x(k)) ¶ (3)

(4)

donde x₁(k) ∈ Rn1_, _x

2(k) ∈ Rn2, f1 : Rn → Rn1 y f2 : Rn → Rn2, n1+n2 = n, son

funciones continuamente diferenciables en Rn_.

Obs´ervese que por la estructura del sistema (3), x∗ _{= (}_x∗

1T x∗2T)T es un punto de

equilibrio si f₁(x∗_{) =} _x∗

1 y f2(x∗) = 0. Esto significa que los puntos de equilibrio del

sistema (3) vienen determinados a partir de los del subsistema est´andar. Es decir, six∗₁ es un punto de equilibrio de

x₁(k+ 1) =f₁(¯x(k)), (4)

con ¯x(k) = (xT

1(k) 0)T, y satisface que

f2((x∗1T 0)T) = 0, (5)

entonces ¯x∗ = (x∗₁T 0)T es un punto de equilibrio de (3). Inversamente, si f2 satisface que

la soluci´on de f2(x(k)) = 0 es x(k) = ¯x(k), entonces cualquier punto de equilibriox∗ de

(3) se construye como (x∗

1T 0)T, siendo x∗1 un punto de equilibrio de (4) que satisface la

condici´on (5).

En el siguiente resultado se establecen condiciones que aseguren esta propiedad para sistemas singulares no lineales, usando, para ello, la funci´on de Lyapunov.

Teorema 2.2 Supongamos que el sistema singular no lineal (3) tiene soluci´on. Sea f₂ tal que la matriz Jacobiana J = ∂f2

∂x2

es invertible para todo x, y f₂(x(k)) = 0 implica x2(k) = 0. Si V es una funci´on de Lyapunov para el punto de equilibrio x∗ tal que

i) V (x∗_{) = 0}_{, V} ₍_x₎_>₀ _y_∆_V₍_x₎_<₀_{, siempre que} _x₆₌_x∗_{, y} ii) V(x)→ ∞ cuando kxk → ∞

entonces x∗ _{es globalmente asint´oticamente estable.}

Demostraci´on.Comof2(x(k)) = 0 implica quex2(k) = 0, la soluci´on del sistema (3)

es ¯x(k) = (xT

1(k) 0)T y satisface

x1(k+ 1) =f1(¯x(k))

0 =f2(¯x(k)). (6)

A partir de V(x) definimos V1(x1) = V(¯x) y directamente se comprueba que V1(x) es

una funci´on de Lyapunov que satisface todas las condiciones que aseguran que el punto de equilibrio x∗

1 del sistema est´andar (4) es globalmente asint´oticamente estable. Por lo

tanto, el punto de equilibriox∗ _{= (}_x∗

1T 0)T del sistema (3) es globalmente asint´oticamente

estable. ¤

A continuación, damos algunas condiciones sobre la función f1 con el propósito de

construir una funci´on de Lyapunov apropiada.

Teorema 2.3 Supongamos que el sistema singular no lineal (3) tiene soluci´on. Seaf1 tal

que satisfaga

kf1(¯x(k))k<kx¯(k)k

siendo x¯(k) = (xT₁(k) 0)T, y sea f2 tal que la matriz Jacobiana J = ∂f_∂x2

2 es invertible para

todo x y f2(x(k)) = 0implica que x2(k) = 0, entonces x∗ es globalmente asint´oticamente

(5)

Demostración. Aplicando la hipótesis en el sistema (3) tenemos que su solución ¯

x(k) = (x1(k)T 0)T satisface (6). Construyendo V(x) = kExk, tenemos que V(x) > 0 y

V(0) = 0 y adem´as,

∆V(x(k)) =V(x(k+ 1))−V(x(k)) =kf1(¯x(k))k − kx¯(k)k<0

yV(x)→ ∞ cuandokxk → ∞. ¤

Como ejemplo de un sistema singular que satisface las condiciones del teorema anterior, podemos considerar un sistema compartimental del tipo (3) tomando f2(x) = Ax2, con

A una matriz invertible. Para ilustrar el desarrollo te´orico realizado incluimos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1 Consideramos el sistema singular no lineal (3) dado por

    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         x11(k+ 1) x12(k+ 1) x21(k+ 1) x22(k+ 1)    =     0,25x12(k)[x22(k) + 1] −0,5x11(k) x21(k)−x22(k) x22(k)x221(k)    . Entonces, comox¯= (xT 1(k) 0)T, tenemos kf₁(¯x(k))k= 0,5 q 0,25x2 12(k) +x211(k)<kx¯(k)k.

Por otra parte, se verifican las condiciones sobref2, es decir J = ∂f_∂x2

2 es invertible, y

f₂(x(k)) = 0 implica x₂(k) = 0. Por lo tanto, la hip´otesis del Teorema 2.3 se satisface y el sistema es globalmente asint´oticamente estable.

Adem´as, la soluci´on de este sistema es x¯ = (xT

1(k) 0)T, siendo x1(k) la soluci´on del

subsistema est´andar x1(k+ 1) = µ 0 0,25 −0,5 0 ¶ x1(k).

Como los valores propios de la matriz se encuentran dentro del c´ırculo unidad, la solución del subsistema estándar es globalmente asintóticamente estable.

A continuaci´on se consideran algunos tipos especiales del sistema dado en (3) que admiten un estudio particular. Para ello, introducimos en primer lugar los siguientes con-juntos de funciones F yF, F = {φ:R→R / |φ(x)| ≤ |x| y φ(0) = 0} F = n Φ : Rn→Rn / Φ(x) = (φ₁(x₁), . . . , φ_n(x_n))T , φ_i ∈F, i= 1, . . . , n o , y los conjuntos de matrices M yM,

M = ©P1 ∈Rn1×n1 / P1= diag(p1i)>0 ª , M = ©P ∈Rn×n / P = diag(P1, P2) withP1∈M, n1 < n ª . Si ahora consideramos el sistema

Ex(k+ 1) =AΦ(x(k)) (7)

donde A ∈ Rn×n _{y Φ :} _Rn _→ _Rn _{es una funci´on continuamente diferenciable en} _Rn_, Φ∈ F, podemos establecer el siguiente resultado.

(6)

Teorema 2.4 Sea el sistema (7). Si existe una matrizP ∈ Mtal que AT_{P A}₋_ET_{P E} _es una matriz definida negativa, entonces la soluci´on cero de (7) es globalmente asint´otica-mente estable.

Demostraci´on. ComoP ∈ M entoncesV(x) = (Ex)TP Ex=xT₁P1x1 >0, y

4V(x(k)) = V(x(k+ 1))−V(x(k))

= ΦT (x(k))ATP AΦ (x(k))−xT(k)ETP Ex(k).

Para x(k)6= 0 con Φ (x(k)) = 0 tenemos

4V(x(k)) =−xT(k)ETP Ex(k) =−xT₁(k)P1x1(k),

entonces 4V(x(k)) es definida negativa. Y en el caso en que x(k) 6= 0 y Φ (x(k)) 6= 0, como Φ∈ F, ΦT (x(k))ETP EΦ (x(k)) = n1 X i=1 p1i(φi(xi(k)))2 = n1 X i=1 p1i|φi(xi(k))|2 ≤ n1 X i=1 p1i|xi(k)|2 =xT(k)ETP Ex(k). Por lo tanto, 4V (x(k)) = φT(x(k))ATP Aφ(x(k))−φT (x(k))ETP Eφ(x(k)) ≤ φT(x(k))¡ATP A−ETP E¢φ(x(k)).

De aqu´ı4V(x(k)) es definida negativa. ¤

Con el fin de ilustrar el resultado obtenido en el Teorema 2.4 se muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2 Consideramos un sistema dado por

E=   1 0 0_{0 1 0} 0 0 0  _{, A}₌   0 1_{0 0} −1₁ 1 0 3   _{y Φ (}_x₍_k₎₎_{∈ F}_.

Usando la matriz diagonal P =

  1 0_{0 2} 0₀ 0 0 −1   ATP A−ETP E=   −2₀ ₋0₁ −₋3₁ −3 −1 −6  _,

es una matriz definida negativa. De forma an´aloga a la demostraci´on del Teorema 2.4 comprobamos que

(7)

Por otra parte, para x(k)6= 0, si Φ (x(k)) = 0tenemos que 4V(x(k)) =−(x2₁₁+ 2x2₁₂)<0, y si Φ (x(k))6= 0 obtenemos 4V (x(k))≤φT(x(k))   −2₀ ₋0₁ −₋3₁ −3 −1 −6  _φ₍_x₍_k₎₎_<₀_.

Por lo que la soluci´on del sistema es globalmente asint´oticamente estable. En el caso en que el sistema venga dado por

Ex(k+ 1) = Φ (Ax(k)), k∈N (8) donde Φ∈ F y A= µ A1 O O I_n₂ ¶ , (9)

obtenemos los siguientes resultados.

Proposici´on 3 Sea A dada en (9) y Φ∈ F. Entonces kΦ(Ax)k <kA1x1k, x∈ Rn y si

P ∈ M con P2 <0 entonces ΦT(Ax)PΦ(Ax)<(A1x1)TP1(A1x1).

Demostraci´on. Por la estructura de la funci´on Φ y de la matrizA, Φ(Ax) = µ Φ1(A1x1) Φ2(x2) ¶ ,

y por tanto, kΦ(Ax)k < kAxk ≤ kA₁x₁k, x ∈ Rn_{. Por otra parte, si} _P

2 < 0 y

tenien-do en cuenta ΦT₍_Ax₎_P_Φ(_Ax_{) = Φ}T

1(A1x1)P1Φ1(A1x1) + ΦT2(x2)P2Φ2(x2), tenemos que

ΦT₍_Ax₎_P_Φ(_Ax₎_<₍_A

1x1)TP1(A1x1). ¤

Teorema 3.1 Sea el sistema (8). Si existe una matrizP ∈ Mtal queAT_{P A}₋_ET_{P E <}₀_, entonces la soluci´on cero de (8) es globalmente asint´oticamente estable.

Demostraci´on.A partir de la condici´on del teorema se sigue queAT

1P1A1−P1 <0 y P₂<0. EntoncesV(k) = (Ex)T_{P Ex}₌_xT 1P1x1 >0, y4V(x(k)) = ΦT(Ax(k))PΦ (Ax(k))− xT(k)ETP Ex(k). Para x(k)6= 0 con Φ (Ax(k)) = 0 4V(x(k)) =−xT(k)ETP Ex(k) =−xT₁(k)P1x1(k),

entonces 4V(x(k)) es definida negativa. Y si x(k) 6= 0 con Φ (Ax(k)) 6= 0, usando la Proposici´on 3

4V(x(k)) ≤ x₁T(k)AT₁P1A1x1(k)−xT1(k)P1x1(k)

= xT₁(k)¡AT₁P1A1−P1

¢

x1(k).

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Referencias

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