Mario Cosenza Mec anica Cl asica Versi on A-2016

(1)

Mec´

anica Cl´

asica

(2)

Universidad de Los Andes M´erida, Venezuela

Mec´

anica Cl´

asica

Versi´

on A-2016

c

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(5)

Quizás nada hay en la naturaleza más antiguo que el movimiento, respecto al cual los libros escritos por filósofos no son ni pocos ni pequeños; no obstante, he descubierto, experimentando, algunas propiedades que merecen ser conocidas.

(6)

Identidades A·(B×C) = (A×B)·C=C·(A×B) = (C×A)·B=B·(C×A) (1) A×(B×C) =B(A·C)−C(A·B) (2) (A×B)·(C×D) = (A·C)(B·D)−(A·D)(B·C) (3) Derivadas de sumas ∇(f+g) =∇f+∇g (4) ∇ ·(A+B) =∇ ·A+∇ ·B (5) ∇ ×(A+B) =∇ ×A+∇ ×B (6) Derivadas de productos ∇(f g) =f∇g+g∇f (7) ∇(A·B) =A×(∇ ×B) +B×(∇ ×A) + (A· ∇)B+ (B· ∇)A (8) ∇ ·(fA) =f(∇ ·A) +A· ∇f (9) ∇ ·(A×B) =B·(∇ ×A)−A·(∇ ×B) (10) ∇ ×(fA) =f(∇ ×A)−A×(∇f) (11) ∇ ×(A×B) =A(∇ ·B)−B(∇ ·A) + (B· ∇)A−(A· ∇)B (12) Derivadas segundas ∇ ×(∇ ×A) =∇(∇ ·A)− ∇2_A ₍₁₃₎ ∇ ·(∇ ×A) = 0 (14) ∇ ×(∇f) = 0 (15) Teoremas integrales Z b a (∇f)·dl=f(b)−f(a) (16) Z V (∇ ·A)dV = I S

A·nˆdS Teorema de Gauss (divergencia) (17)

Z S (∇ ×A)·nˆdS= I C A·dl Teorema de Stokes (18) Z V (f∇2_g₋_g_∇2_f₎_dV ₌ I S (f∇g−g∇f)·nˆdS Teorema de Green (19)

(7)

´

_{Indice general}

1. Ecuaciones de movimiento 9

1.1. Leyes de Newton y mec´anica de una part´ıcula . . . 9

1.2. Mec´anica de un sistema de part´ıculas . . . 20

1.3. Coordenadas generalizadas . . . 26

1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler . . . 32

1.5. Principio de m´ınima acci´on y ecuaciones de Lagrange . . . 43

1.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange . . . 45

1.7. Ecuaciones de Lagrange para varios sistemas . . . 49

1.8. Problemas . . . 64

2. Leyes de conservaci´on y simetr´ıas 71 2.1. Momento conjugado . . . 71

2.2. Teorema de Noether . . . 72

2.3. Homogeneidad del espacio y conservaci´on del momento lineal . . . 76

2.4. Isotrop´ıa del espacio y conservaci´on del momento angular . . . 78

2.5. Homogeneidad del tiempo y conservaci´on de la energ´ıa . . . 80

2.6. Teorema de Euler para la energ´ıa cin´etica . . . 81

2.7. Fuerzas generalizadas: part´ıcula en un campo electromagn´etico . . . 83

2.8. Sistemas integrables y sistemas ca´oticos . . . 87

2.9. Movimiento unidimensional . . . 90

2.10. Problemas . . . 97

3. Fuerzas centrales 101 3.1. Problema de dos cuerpos . . . 101

3.2. Potencial efectivo . . . 108

3.3. Ecuaci´on diferencial de la ´orbita . . . 113

3.4. Fuerza gravitacional y problema de Kepler . . . 115

3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal . . . 125

3.6. Estabilidad de órbitas circulares y ángulo de precesión . . . 133

3.7. El vector de Laplace-Runge-Lenz . . . 139

3.8. Dispersi´on en campo de fuerza central . . . 142

3.9. Problemas . . . 150 7

(8)

4. Oscilaciones peque˜nas 155

4.1. Oscilaciones en una dimensi´on . . . 155

4.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad . . . 159

4.3. Modos normales . . . 165

4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas . . . 175

4.5. Problemas . . . 178

5. Movimiento de cuerpos r´ıgidos 183 5.1. Velocidad angular de un cuerpo r´ıgido . . . 183

5.2. ´Angulos de Euler . . . 185

5.3. Energ´ıa cin´etica y tensor de inercia . . . 189

5.4. Momento angular de un cuerpo r´ıgido . . . 200

5.5. Ecuaciones de movimiento para cuerpos r´ıgidos . . . 203

5.6. Ecuaciones de Euler para cuerpos r´ıgidos . . . 212

5.7. Problemas . . . 224

6. Din´amica Hamiltoniana 227 6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . 227

6.2. Sistemas din´amicos y espacio de fase . . . 234

6.3. Teorema de Liouville . . . 238

6.4. Par´entesis de Poisson . . . 242

6.5. Transformaciones can´onicas . . . 247

6.6. Transformaciones can´onicas infinitesimales . . . 254

6.7. Propiedades de las transformaciones can´onicas . . . 256

6.8. Aplicaciones de transformaciones can´onicas . . . 262

6.9. Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi . . . 264

6.10. Variables de acci´on-´angulo . . . 276

6.11. Integrabilidad . . . 292

6.12. Problemas . . . 296

A. Lagrangiano de una part´ıcula relativista 305

B. Transformaciones de Legendre 319

C. Teorema del virial 321

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Cap´ıtulo 1

Ecuaciones de movimiento

1.1. Leyes de Newton y mec´

anica de una part´ıcula

LaMecánica consiste en el estudio del movimiento; esto es, la evolución de la posición de una part´ıcula o de la configuración de un sistema de part´ıculas en el tiempo. La

Mecánica Clásicase refiere a movimientos que ocurren en escalas macróscopicas; es decir, no incluye fenómenos cuánticos (nivel atómico). La Mecánica Clásica provee descripciones válidas de fenómenos en una extensa escala espacial que va desde el orden de 100 nm (R. Decca et al., Phys. Rev. Lett.94, 240401 (2005)) hasta distancias cosmológicas.

Actualmente, la Mecánica Clásica se enmarca dentro de un campo de estudio más general denominadoSistemas Dinámicos. Éstos son sistemas descritos por variables gene-rales cuyos estados evolucionan en el tiempo de acuerdo a reglas deterministas, e incluyen sistemas f´ısicos, qu´ımicos, biológicos, sociales, económicos, etc.

El origen del método cient´ıfico está directamente vinculado a la primeras formulacio-nes cuantitativas de la Mecánica Clásica realizadas por Galileo con base en sus experi-mentos. La Mecánica Clásica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construido toda la F´ısica.

Figura 1.1:Galileo Galilei (1564-1642).

(10)

Durante el siglo XX, la Mecánica Clásica se encontró con varias limitaciones para explicar nuevos fenómenos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades condujeron a tres grandes revoluciones intelectuales en la F´ısica:

i. Limitaci´on para explicar fen´omenos a altas velocidades o a altas energ´ıas, lo que

condujo a la Teor´ıa de Relatividad (Especial y General).

ii. Limitación para explicar fenómenos a escala atómica o microscópica, lo cual dio

origen a la Mec´anica Cu´antica.

iii. Limitación en la capacidad de predicción en sistemas dinámicos deterministas no

lineales, que condujo al desarrollo del Caos y eventualmente al estudio actual de Sistemas Complejos.

Para describir el movimiento, se requiere la definición de algunos conceptos básicos. Un sistema de referencia es una convención necesaria para asignar una posición o ubicación espacial a una part´ıcula u objeto con respecto a un origen o punto escogidoO. Se asume que una part´ıcula tiene asociada una cantidad de masa, denotada porm.

Laposición de una part´ıcula en un sistema de referencia puede describirse mediante un conjunto de tres coordenadas que definen un vector. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, el vector de posición r = (x, y, z) da la ubicación de una part´ıcula en el espacio con respecto a un origenO. Las componentes del vector de posición en coordenadas cartesianas también se denotan comox1≡x, x2≡y, x3≡z.

Figura 1.2:Posición de una part´ıcula en un sistema de coordenadas cartesianas. La posición de una part´ıcula puede depender del tiempo, r(t) = (x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posición en el tiempo constituye el movimiento de la part´ıcula. En Mecánica Clásica, el tiempot se considera un parámetro real que permite establecer el orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especificar las posiciones sucesivas que una part´ıcula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos que el parámetrot posee la propiedad de incremento monotónico a medida quer(t) var´ıa a través de sucesivas posiciones: dados dos valores t1 y t2 tales que t2 > t1, entonces la

part´ıcula ocupa la posiciónr(t2) después de la posiciónr(t1).

El vector dedesplazamiento infinitesimal se define como

(11)

Lavelocidad de una part´ıcula se define como

v≡dr

dt. (1.2)

En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad son vx= dx dt, vy= dy dt, vz= dz dt. (1.3)

Las componentes de la velocidad tambi´en se denotan comov1=vx, v2=vy, v3=vz.

Laaceleraci´on se define como

a=dv dt =

d2_r

dt2. (1.4)

Se acostumbra usar la siguiente notaci´on para las derivadas con respecto al tiempo, ˙

x≡ dx

dt, x¨≡ d2x

dt2. (1.5)

Elmomento lineal o cantidad de movimientode part´ıcula con masamque se mueve con velocidad aes la cantidad vectorial

p=mv. (1.6)

Una part´ıcula puede experimentar interacciones con otras part´ıculas. Las interaccio-nes entre part´ıculas est´an asociadas a sus propiedades intr´ınsecas y se manifiestan como

fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interacción electromagnética está asociada a la carga eléctrica, mientras que la interacción gravitacional depende de la masa. Las fuerzas son cantidades vectoriales. La suma de las fuerzas debido a interacciones con otras part´ıculas o con agentes externos se denomina fuerza total (neta) sobre la part´ıcula; se denota por

F. La fuerza total sobre una part´ıcula puede afectar su estado de movimiento.

LasLeyes de Newton describen el movimiento de una part´ıcula sujeta a una fuerza total:

I. Primera Ley de Newton:

Una part´ıcula permanece en reposo o en movimiento rectil´ıneo uniforme si la fuerza total sobre ella es nula.

II. Segunda Ley de Newton:

Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una part´ıcula con masam y velocidadv est´a descrito por la ecuaci´on

F= dp dt =

d(mv)

dt . (1.7)

III. Tercera Ley de Newton:

Si Fji es la fuerza que ejerce una part´ıculaj sobre una part´ıculai, y Fij es la

fuerza que ejerce la part´ıculaisobre la part´ıculaj, entonces

(12)

Figura 1.3:Isaac Newton (1642-1727).

La Segunda Ley de Newton establece una relación causa (fuerza)↔efecto (cambio de momento). La Primera Ley de Newton también se llama Ley de inercia, y es conse-cuencia de la Segunda Ley: siF= 0, entoncesv= constante. La Tercera Ley también es conocida comoLey de acción y reacción. Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza sustentadas en observaciones experimentales.

La Segunda Ley de Newton es una ecuaci´on vectorial, es decir, equivale a tres ecua-ciones, una para cada componente cartesiana:

Fi= dpi dt, i= 1,2,3. (1.9) Simes constante, F=ma=md 2_r dt2. (1.10)

Matemáticamente, la Segunda Ley de Newton, Ec (1.10), corresponde a una ecuación diferencial de segundo orden para cada componente der(t). La soluciónr(t) está deter-minada por dos condiciones iniciales,r(to),v(to). Este es el principio deldeterminismo

en Mecánica Clásica, y que ha sido fundamental en el desarrollo del método cient´ıfico. A finales del siglo XX, se encontró que el determinismo no necesariamente implica estabili-dad de la predicción: existen sistemas dinámicos no lineales en los cuales perturbaciones infinitesimales de las condiciones iniciales de sus variables pueden conducir a evoluciones muy diferentes de esas variables. Este es el origen del moderno campo de estudio del Caos.

Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominan

sistemas de referencia inerciales. En ausencia de fuerzas, una part´ıcula en reposo en un sistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante.

Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecen términos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas expl´ıcitas en el sistema. Esos términos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos a la aceleración del sistema de referencia.

(13)

Ejemplos:

1. Un sistema no inercial: p´endulo en un sistema acelerado (x0, y0, z0).

Figura 1.4: P´endulo en un sistema acelerado.

El sistema (x0, y0, z0) posee una aceleración a en la dirección x, visto desde un sistema fijo (x, y, z). En el sistema acelerado, la componente en la direcciónx0 de la fuerza que actúa sobre la masa del péndulo esfx0 =Tsinθ, pero esta masa está en

reposo en ese sistema; esto implica que ¨x0= 0. Luego, una fuerza adicionalficticia

igual a−Tsinθdebe anular afx0, de modo que no haya fuerza neta en la direcci´on

x0. En el sistema (x, y, z), la Segunda Ley de Newton da simplementeTsinθ=ma. La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de refe-rencia en rotaci´on (Cap. 5).

2. Oscilador arm´onico simple.

Figura 1.5: Oscilador arm´onico simple.

La fuerza del resorte sobre la masames proporcional y opuesta al desplazamiento xdesde la posici´on de equilibrio, tomada comox= 0, i.e., F=−kxxˆ, dondek es la constante del resorte. Entonces,

F=ma

⇒ −kx=mx¨ ¨

x+ω2x= 0, (1.11)

dondeω2 ≡k/m. La Ec (1.11) es la ecuación del oscilador armónico. Su solución general es

(14)

Tambi´en se puede escribir

x(t) =Csin(ωt+φ), (1.13)

con A=Csinφ, B =Ccosφ. Los coeficientes A yB est´an determinados por las condiciones inicialesx(0) y ˙x(0) =v(0),

x(0) = A, (1.14)

˙

x(t) = −ωAsinωt+Bωcosωt ⇒ B= v(0)

ω . (1.15)

Luego,

x(t) =x(0) cosωt+v(0)

ω sinωt. (1.16)

3. Part´ıcula en un medio viscoso.

Figura 1.6:Part´ıcula en medio viscoso.

Experimentalmente se sabe que la fuerza ejercida por un medio viscoso sobre una part´ıcula que se mueve en ese medio es proporcional a la velocidad de la part´ıcula,

F= −αv, donde α es un coeficiente de fricción caracter´ıstico del medio. Supon-gamos que la part´ıcula se mueve en la direcciónxa partir de una posición inicial x(0) con velocidad inicial v(0). La Segunda Ley de Newton para la componentex de la fuerza da: −αv=mdv dt. (1.17) Integrando obtenemos, v(t) = c1e−(α/m)t= dx dt, c1=v(0), (1.18) x(t) = v(0) Z e−(α/m)tdt = −v(0)m α e −(α/m)t₊_c 2. (1.19)

La constantec2 se determina usando la posici´on inicialx(0),

c2 = x(0) + v(0)m α . (1.20) Luego, x(t) =x(0) +v(0)m α 1−e−(α/m)t. (1.21)

(15)

4. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete.

Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional de la Tierra. La masa del cohete en un tiempo t esm. La velocidad del cohete ent esv, y la velocidad del propelente expulsado esu. Seadmp la masa del propelente

expulsado en un instantet+dt. Entonces el cambio de masa del cohete ent+dt esdm=−dmp, puesto que la masa del cohete disminuye en el tiempo.

Figura 1.7:Cohete en movimiento vertical.

Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la componente verticaly de la fuerza,

−mg=dp dt = p(t+dt)−p(t) dt . (1.22) Tenemos p(t) =mv, (1.23) p(t+dt) = (m−dmp)(v+dv) +dmpu (1.24) = mv+m dv−dmpv−dmpdv+dmpu. (1.25) Luego, p(t+dt)−p(t) = m dv−dmp(v+dv−u) = m dv−dmpvrel, (1.26)

donde hemos empleado la velocidad del propelente relativa al cohete, dada por

vrel= (v+dv)−u. (1.27)

Sustituyendo en la Ec. (1.22), obtenemos

−mg=mdv dt −vrel

dmp

(16)

La tasa de expulsion del propelente se define como R = dmp

dt . Luego, podemos escribir la denominadaecuaci´on del cohete como

mdv

dt =vrelR−mg. (1.29)

De la Ec. (1.28), se puede obtener la variaci´on de la velocidad del cohete en funci´on del cambio de su masa,

dv+dm

m vrel=−g dt. (1.30)

Integrando entre un valor inicial de masam0ent0= 0 y un valor finalmfent0=t,

tenemos Z f 0 dv = −vrel Z f 0 dm m −g Z t 0 dt0 ⇒ vf = v0+vrelln m0 mf −gt. (1.31)

Existen otros conceptos útiles en Mecánica, que definimos a continuación.

Consideremos una part´ıcula ubicada en la posici´onry cuya velocidad esv. Se define elmomento angular de la part´ıcula como la cantidad vectorial

l≡r×p=mr×v. (1.32)

Eltorque ejercido por una fuerzaFsobre una part´ıcula ubicada enrse define como

τ≡r×F. (1.33)

La Ec. (1.33) se puede expresar como

τ = r×F=r×dp dt = d(r×p) dt − dr dt ×p = dl dt +: 0 v×p ⇒ τ = dl dt. (1.34)

La Ec. (1.34) implica laconservaci´on del momento angular: si el torque sobre una part´ıcu-la esτ = 0, entonces l= constante. Esto significa que cada componente del vector les una constante.

En particular, una fuerza de la formaF=f(r)ˆr, se denomina unafuerza central. La fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas,τ = 0. Luego, el momento angular de una part´ıcula se conserva en presencia de fuerzas centrales.

(17)

La energ´ıa cin´etica de una part´ıcula con masa m y velocidad v se define como la cantidad escalar

T ≡1

2mv

2_. _(1.35)

Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una part´ıcula para llevarla desde una posici´onr1 hasta una posici´onr2, como la integral de l´ınea

W12≡

Z 2

1

F·ds, (1.36)

dondedses el vector tangente a la trayectoria que une la posici´onr1 con la posici´onr2.

Figura 1.8:Trayector´ıa de un part´ıcula entrer1 yr2, sujeta a una fuerzaF.

Note queds=dr=vdt. Luego, simes constante, podemos escribir, W12=m Z 2 1 _d_v dt ·(vdt). (1.37)

Usamos la relaci´ond(v2_{) =}_d₍_v_·_v_{) = 2}_v_·_d_v_{, para expresar}

W12 = 1 2m Z 2 1 v·dv= 1 2m Z 2 1 d(v2) = 1 2mv 2 2− 1 2mv 2 1, = T2−T1. (1.38)

Luego, el trabajo realizado por unaFexterna para llevar una part´ıcula desde la posici´on

r1 hasta la posici´onr2 depende solamente de la diferencia entre la energ´ıa cin´etica que

posee la part´ıcula enr2 y la energ´ıa cin´etica que posee enr1.

Note que, si se utiliza la misma fuerzaF y la misma trayectoria, denotada por B, para ir del puntor1 al puntor2 y para volver der2 ar1, entonces

Z 2 1 F·ds | {z } = − Z 1 2 F·ds | {z } ⇒ W12(B) =−W21(B), (1.39) camino B camino B

(18)

Si W12realizado por una Fexterna es independiente de la trayectoria entrer1 yr2,

entoncesFse llama fuerza conservativa. Es decir; siFes conservativa yA yB son dos caminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces

Z 2 1 F·ds | {z } = Z 2 1 F·ds | {z } (1.40) camino A camino B

Figura 1.9:Izquierda: dos trayectorias distintasAyBpara ir del punto 1 al punto 2. Derecha: contorno cerradoCque encierra un ´areaS.

Luego, siFes conservativa, las Ecs. (1.40) y (1.39) implican que

Z 2 1 F·ds | {z } + Z 1 2 F·ds | {z } = 0. (1.41) camino A camino B

Puesto que los caminosAyB son arbitrarios, tenemos que para unaFconservativa,

I

C

F·ds= 0, (1.42)

dondeCes un contorno cerrado arbitrario. Usando el Teorema de Stokes, la integral de contorno Ec. (1.42) se puede escribir como

I C F·ds= Z S (∇ ×F)·da= 0, (1.43)

dondeSes el ´area encerrada por el contorno cerradoC. Puesto queCes arbitrario y por lo tantoS6= 0, la Ec. (1.43) implica para una fuerza conservativa,

∇ ×F= 0. (1.44)

Por otro lado, para toda función escalarφ(r) se cumple la identidad vectorial∇×∇φ= 0. Esto implica que la fuerza conservativaFdebe ser proporcional al gradiente de alguna función escalar. Se define la funciónV(r) tal que

(19)

Luego, para una fuerza conservativa W12 = − Z 2 1 ∇V ·ds = − Z 2 1 3 X i=1 ∂V ∂xi dxi ! =− Z 2 1 dV = V1−V2. (1.46)

Vimos que el trabajo W12 realizado por toda fuerza es igual al cambio de energ´ıa

cin´etica,T2−T1, que es una funci´on escalar de la velocidad. La Ec. (1.46) muestra que,

en sistemas conservativos, el trabajo W12 adem´as est´a relacionado con cambios de otra

función escalarV que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2. La funcion escalarV(r) se denominaenerg´ıa potencialy expresa la energ´ıa almacena-da en un sistema, relacionaalmacena-da con la posición o configuración de los elementos constitu-yentes del sistema. Por ejemplo, un resorte estirado o comprimido una distanciaxtiene una energ´ıa potencial almacenada V(x) = 1₂kx2, donde k es la constante del resorte. Un sistema de dos part´ıculas con masasm1 ym2, separadas una distanciary sujetas a

una interacci´on gravitacional, posee una energ´ıa potencial asociadaV(r) =−Gm1m2/r,

dondeGes la constante universal gravitacional (Cap. 3).

La Ec. (1.46) v´alida para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.38) que se cumple para cualquier fuerza, conduce a la relaci´on

V1−V2 = T2−T1,

⇒T1+V1 = T2+V2. (1.47)

Laenerg´ıa mec´anica total de una part´ıcula se define como la cantidad escalar:

E≡T+V. (1.48)

La Ec. (1.47) implica que

E1=E2. (1.49)

Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mec´anica total es constante en cualquier punto para sistemas conservativos,

E=T+V = constante. (1.50)

El signo menos en el gradiente de la energ´ıa potencial, Ec. (1.45), tiene significado f´ısico; las propiedades de las fuerzas correspondientes a esta definición son consistentes con los comportamientos observados de todas las fuerzas conservativas en F´ısica. Este signo menos implica que la cantidad constante asociada con una fuerza conservativa, denotada como energ´ıa mecánica total, se pueda definir como la suma de la energ´ıa cinética y de la energ´ıa potencial.

Si la energ´ıa potencial depende tanto de las coordenadas como del tiempo,V(r, t) = V(x, y, z, t), la energ´ıa mec´anica total puede no conservarse. Consideremos la derivada

dE dt = d dt(T+V) = dT dt + dV dt. (1.51)

(20)

Calculamos dT dt = mv· dv dt =F·v, (1.52) dV(r, t) dt = 3 X i=1 ∂V ∂xi ˙ xi+ ∂V ∂t =∇V ·v+ ∂V ∂t. (1.53) Luego, dE dt = F·v+∇V ·v+ ∂V ∂t = −∇V ·v+∇V ·v+∂V ∂t = ∂V ∂t. (1.54)

donde hemos empleado F = −∇V, para un sistema conservativo. La Ec. (1.54) es la

condición para la conservación de la energ´ıa mecánica: la energ´ıa mecánica total es constante si la energ´ıa potencial no depende explicitamente del tiempo,

∂V

∂t = 0⇒ dE

dt = 0⇒E= constante. (1.55)

La energ´ıa potencial V tambi´en puede ser definida para sistemas no conservativos; en esos casosV depende expl´ıcitamente tanto de la posici´on como del tiempo. La fuerza correspondiente puede expresarse como el gradiente de estaV. Sin embargo, el trabajo hecho para mover una part´ıcula entre los puntos 1 y 2 ya no esV1−V2, puesto que V

cambia con el tiempo cuando la part´ıcula se mueve. La energ´ıa total tambi´en puede ser definida comoE=T+V; pero la cantidadE no se conserva durante el movimiento.

1.2. Mec´

anica de un sistema de part´ıculas

Consideremos un conjunto de N part´ıculas en un sistema de referencia cartesiano. Seanmi yri la masa y la posici´on de la part´ıculai, respectivamente, coni= 1, . . . , N.

Definimos el vector de posici´on relativarij≡rj−ri, que va en la direcci´on de la part´ıcula ia la part´ıculaj.

El vector de posici´on delcentro de masa de un sistema de part´ıculas se define como

R≡ P imiri P imi = P imiri MT , (1.56)

dondeMT =P_imi es la masa total del sistema.

La velocidad del centro de masa es

vcm= dR dt = 1 MT X i mi dri dt . (1.57)

(21)

Figura 1.10:Sistema deN part´ıculas en un sistema de referencia cartesiano.

El momento lineal total del sistema deN part´ıculas es

PT =X i pi=X i mi dri dt =MT dR dt =MTvcm. (1.58)

Luego, el momento total PT es equivalente al momento de una part´ıcula que posea la masa total del sistema, movi´endose con la velocidad del centro de masa del sistema.

Supongamos que existen fuerzas sobre las part´ıculas, tanto internas como externas al sistema. Denotamos porFjila fuerza que la part´ıculajejerce sobre la part´ıculai, y por

Fext(i) la fuerza total debida a influenciasexternas sobre la part´ıculai. Recordemos que

las fuerzas de interacci´on entre dos part´ıculasiyj obedecen la Tercera Ley de Newton,

Fji=−Fij. (1.59)

Figura 1.11:Tercera Ley de Newton, en sus dos formas. Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es m´as restrictiva. SiFij es central,

Fij =fij(|rij|) rij

|rij|

(22)

entonces las fuerzas sobre las part´ıculas van en la dirección (paralela o antiparalela) del vectorrij. Esta condición sobre fuerzas centrales se conoce comoforma fuerte de la ley de acción y reacción. Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condición; por ejemplo, las fuerzas magnéticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales.

La ecuaci´on de movimiento para la part´ıculaipuede expresarse como

X j6=i Fji+Fext(i) = dpi dt = d dt(mivi), (1.61) donde PN

i6=jFji es la suma de las fuerzas internas sobre la part´ıcula i, debido a las

interacciones con las otras part´ıculas.

Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las part´ıculas en la Ec. (1.61), * 0 X i X j Fji + X i Fext(i) = X i ˙ pi= d dt(mivi). (1.62) El primer t´ermino es cero porque contiene sumas de pares de fuerzas Fji+Fij que se

anulan debido a la Tercera Ley de Newton. Luego, simi es constante ∀i, la Ec. (1.62)

queda X i Fext(i) = X i mi d2ri dt2 . (1.63)

Usando la definici´on del centro de masa, la Ec. (1.56), se puede expresar como

X i Fext(i) = X i mi d2ri dt2 =MT d2R dt2 . (1.64) Luego, Fext(total)≡ X i Fext(i) = dPT dt , (1.65)

La Ec. (1.65) constituye una ecuaci´on de movimiento para el centro de masa. La Ec. (1.65) implica que si la fuerza externa total sobre un sistema de part´ıculas es cero, entonces el momento lineal totalPT del sistema se conserva.

El momento angular de la part´ıculaies

li=ri×pi. (1.66)

Entonces, el momento angular total del sistema de part´ıculas es

lT =X i li=X i (ri×pi) =X i (ri×mivi). (1.67)

Si definimos la posici´onr0_i de la part´ıculaicon respecto al centro de masa del sistema como

r0_i=ri−R, (1.68)

la velocidad de la part´ıculaicon respecto al centro de masa ser´a

(23)

Figura 1.12:Posici´on relativa de una part´ıcula con respecto al centro de masa. Entonces, en t´erminos del centro de masa podemos escribir

lT = X i (r0_i+R)×mi(vi0+vcm) = X i (r0_i×miv0i) + * 0 X i mir0i ! ×vcm +R× * 0 X i miv0_i ! +R× X i mi vcm ! . (1.70)

Para mostrar los t´erminos que se anulan en la Ec. (1.70), calculamos

MTR = X i miri= X i mi(r0i+R) = X i mir0_i+MTR ⇒ X i mir0_i= 0. (1.71)

Del mismo modo,

X i miv_i0 =X i mi dr0_i dt = d dt X i mir0_i ! = 0. (1.72)

Entonces, la Ec. (1.70) para el momento angular total queda

lT =X

i

(r0_i×p0_i) +R×(MTvcm). (1.73)

El momento angular total lT de un sistema de part´ıculas contiene dos contribuciones:

(i) el momento angular del centro de masa, R×(MTvcm);

(ii) el momento angular relativo al centro de masa,P i(r

0

(24)

Calculemos la derivada temporal delT, dlT dt = N X i=1 d dt(ri×pi) = X i : 0 (vi×mvi) + X i ri×p˙i = X i ri×  Fext(i) + X j6=i Fji   = X i ri×Fext(i) + :0 X i X j6=i (ri×Fji). (1.74)

El segundo t´ermino en la Ec. (1.74) contiene sumas de pares de la forma

ri×Fji+rj×Fij= (rj−ri)×Fij=rij×Fij, (1.75)

puesto queFji=−Fij, de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si adem´as suponemos que

se cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte,Fij =k|Fji|rij. Luego,rij×Fij= 0 y el segundo t´ermino de la Ec. (1.74) se anula.

Entonces, dlT dt = X i ri×Fext(i) = X i τi(externo) =τT(externo). (1.76)

La Ec. (1.76) expresa la conservaci´on del momento angular total de un sistema de part´ıcu-las: si el torque externo totalτ(externo total) = 0, entonceslT = constante.

La energ´ıa cin´etica total de un sistema de part´ıculas es Ttotal= 1 2 X i mivi2. (1.77)

En coordenadas del centro de masa,vi=v0_i+vcm, y podemos escribir

Ttotal = 1 2 X i mi(v0i+vcm)·(v0i+vcm) = 1 2 X i miv2cm+ 1 2 X i miv0i2+ 1 22vcm· X i miv0_i. (1.78) PeroP miv0_i= d dt( P mir0_i) = 0; luego Ttotal= 1 2MTv 2 cm+ 1 2 X miv0i2. (1.79)

Es decir, laenerg´ıa cin´etica totalde un sistema de part´ıculas contiene dos contribuciones: (i) la energ´ıa cin´etica del centro de masa, 1₂MTv2cm;

(ii) la energ´ıa cin´etica relativa al centro de masa, 1₂P_m iv0i2.

(25)

Para obtener la conservación de energ´ıa mecánica total de un sistema de part´ıculas, partimos de la ecuación de movimiento para una part´ıcula, Ec. (1.61),

Fext(i) + X j6=i Fji= d dt(mivi). (1.80)

Asumimos que las particulas interaccionan mediante fuerzas centrales que dependen de la distancia entre las part´ıculas; es decir,

Fji ∝ fij(|rij|) rij

|rij|, (1.81)

rij = (rj−ri). (1.82)

Entonces, se puede definir una energ´ıa potencial de interacci´onVij(|rij|) tal que

Fji=−∇iVji(|rij|), (1.83)

donde denotamos ∇i = ∂/∂ri. Puesto que Fji = −Fij, las funciones fij = fji son

sim´etricas con respecto al intercambio deiyj; luego debemos tener

Vij(|rij|) =Vji(|rij|), (1.84)

y, por lo tanto, ambas Fji y Fij son derivables a partir de una energ´ıa potencial de

interacci´on mutua entre la part´ıculaiy la part´ıculaj,

Fji=−∇iVij(|rij|), Fji=−∇jVij(|rij|). (1.85)

Luego, suponiendo que las masasmison constantes, la Ec. (1.80) se puede expresar como Fext(i)− X j6=i ∇iVij(|rij|) =mi dvi dt . (1.86)

Tomando el producto escalar de la Ec. (1.86) convi, obtenemos

vi·Fext(i)−vi· X j6=i ∇iVij(|rij|) = 1 2mi dv_i2 dt . (1.87)

Sumando sobre todas las part´ıculas, obtenemos d dt X i 1 2miv 2 i ! = X i vi·Fext(i)− X i X j6=i vi· ∇iVij(|rij|) = X i vi·Fext(i)− 1 2 X i X j6=i [vi· ∇iVij(|rij|) +vj· ∇jVji(|rij|)] = X i vi·Fext(i)− 1 2 X i X j6=i [∇iVij(|rij|)·vi+∇jVij(|rij|)·vj] = X i vi·Fext(i)− 1 2 X i X j6=i d dtVij(|rij|), (1.88)

(26)

donde hemos usadoVij(|rij|) =Vji(|rij|). Entonces, podemos escribir d dt   X i 1 2miv 2 i ! +1 2 X i X j6=i Vij(|rij|)  = X i vi·Fext(i). (1.89)

Si asumimos que las fuerzas externas son conservativas,Fext(i) =−∇Vext(i), tenemos,

X i vi·Fext(i) =− X i vi· ∇Vext(i) =− d dt X i Vext(i) ! . (1.90)

La Ec. (1.89) se puede expresar entonces como d dt   X i 1 2miv 2 i ! +1 2 X i X j6=i Vij(|rij|) + X i Vext(i)  = 0. (1.91)

Podemos identificar la energ´ıa cin´etica total del sistema, Ttotal= X i 1 2miv 2 i, (1.92)

y laenerg´ıa potencial total del sistema como, Vtotal= X i Vext(i) + 1 2 X i X j6=i Vij(|rij|), (1.93) donde Vint≡ 1 2 X i X j6=i Vij(|rij|) (1.94)

es la energ´ıa potencial total de la interacci´on entre las part´ıculas. La Ec. (1.91) implica entonces que laenerg´ıa total del sistema se conserva,

Etotal=Ttotal+Vtotal= constante. (1.95)

1.3. Coordenadas generalizadas

Consideremos un sistema deN part´ıculas,i= 1,2, . . . , N, cuyos vectores de posici´on son{r1,r2, . . . ,rN}. Cada vector de posici´on posee tres coordenadas, ri= (xi, yi, zi). El

sistema deNpart´ıculas con posiciones{r1,r2, . . . ,rN}est´a descrito por 3Ncoordenadas.

En general existenrestricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo, el movimiento ocurre sobre un plano (z=cte), o sobre un c´ırculo (x2₊_y2_{= cte), sobre}

una esfera (x2₊_y2₊_x2_{= cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar como}

(27)

Si un sistema posee k restricciones, ´estas se puede expresar como k relaciones o funciones que ligan las coordenadas:

f1(r1,r2, . . . , t) = 0, f2(r1,r2, . . . , t) = 0, .. . fk(r1,r2, . . . , t) = 0. (1.96)

Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de relaciones algebraicas de la forma Ecs. (1.96) se llamanrestricciones holonómicas. Las existencia de restricciones implica que no todas las 3N coordenadas son independientes. El número de coordenadas independientes cuando existenk restricciones holonómicas ess= 3N−k.

La cantidad s determina el número de grados de libertad del sistema, o el número m´ınimo de coordenadas independientes necesarias para describir el movimiento del siste-ma. Los grados de libertad definen un conjunto decoordenadas generalizadas, denotadas por{q1, q2, . . . , qs}. La evolución temporal de estas coordenadas permite definir también

un conjunto develocidades generalizadas{q˙1,q˙2, . . . ,q˙s}. En Mec´anica Cl´asica, el tiempo

t no es considerado como una coordenada, sino como un par´ametro.

Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, o inclusive pueden ser otras variables f´ısicas. Las coordenadas generalizadas{q1, q2, . . . , qs}

est´an relacionadas con las coordenadas cartesianas {r1,r2, . . . ,rN} por un conjunto de

transformaciones: r1=r1(q1, q2, . . . , t), r2=r2(q1, q2, . . . , t), .. . rN =rN(q1, q2, . . . , t). (1.97)

En general, el conjunto de ligaduras fα(r1,r2, . . . ,rN, t) = 0, α = 1,2, . . . , k, y las

transformaciones ri(q1, q2, . . . , qs, t) =ri, i= 1,2, . . . , N, permiten expresar las

coorde-nadas generalizadas en t´erminos de las coordenadas cartesianas,qj=qj(r1,r2, . . . ,rN, t),

j= 1,2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformacionesri↔qj son invertibles.

También pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales se denominan restricciones no holonómicas. Éstas se expresan como desigualdades o en forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas. Por ejemplo, la restricción de que un conjunto de part´ıculas con posicionesrise mantenga dentro de una esfera de radioR es no holonómica, y se expresa como |ri|< R.

Como veremos en este Cap´ıtulo, la formulación Lagrangiana de la Mecánica Clásica permite expresar las ecuaciones de movimiento del sistema directamente en términos de sus scoordenadas generalizadas, en lugar las 3N ecuaciones de movimiento para las componentes cartesianas que tendr´ıa el sistema en la descripción Newtoniana.

(28)

Ejemplos.

1. P´endulo simple.

Consiste en una part´ıcula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de una varilla r´ıgida de longitudly masa despreciable, cuyo otro extremo est´a fijo, tal que la varilla cual puede girar en un plano vertical.

Figura 1.13:P´endulo simple con longitudly masam.

Ubicamos el origenO del sistema de coordenadas en el extremo fijo del p´endulo. Hayk= 2 restricciones:

z= 0 ⇒ f1(x, y, z) =z= 0. (1.98)

x2+y2=l2 ⇒ f2(x, y, z) =x2+y2−l2= 0. (1.99)

Luego,s= 3(1)−2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistema sugiere escogerq=θcomo coordenada generalizada. Las transformacionesr(q) son

x = lsinθ (1.100) y = −lcosθ, (1.101) y la transformaci´onq(r) es θ= tan−1 −x y . (1.102) 2. P´endulo doble.

Consiste en un p´endulo plano que cuelga de otro p´endulo plano.

Hay N = 2 part´ıculas y seis coordenadas cartesianas correspondientes a las com-ponentes der1 yr2. Ubicamos el origen del sistema de coordenadas en el extremo

fijo del p´endulo superior. Hayk= 4 restricciones: f1=z1= 0 f2=z2= 0 f3=x21+y22−l12= 0 f4= (x2−x1)2+ (y2−y1)2−l22= 0. (1.103)

(29)

Figura 1.14:P´endulo doble.

Luego, hay s = 3(2)−4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere las coordenadas generalizadasq1=θ1yq2=θ2. Las transformacionesri(qj) son

x1=l1sinθ1, x2=l1sinθ1+l2sinθ2

y1=−l1cosθ1, y2=−l1cosθ1−l2cosθ2.

(1.104) Las transformaciones inversasqj(ri) son

θ1 = tan−1 −x1 y1 (1.105) θ2 = tan−1 _x 1−x2 y2−y1 . (1.106)

3. Part´ıcula dentro de un cono invertido con ´angulo de v´erticeα, cuyo eje es vertical.

Figura 1.15:Part´ıcula movi´endose dentro de un cono con su eje vertical.

Hay N = 1 part´ıcula y 3 coordenadas cartesianas para su posición. Hay una res-tricción, la relaciónr=ztanαque define al cono, la cual puede expresarse como

f1(x, y, z) = (x2+y2)1/2−ztanα= 0. (1.107)

Entonces, hays = 3(1)−1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomar comoq1=r, q2=ϕ.

(30)

Las transformacionesr(qj) son

x=rcosϕ y=rsinϕ z=rcotα,

(1.108)

y las transformaciones inversasqj(r) son

ϕ= tan−1y

x

r=ztanα. (1.109)

4. Part´ıcula deslizando sobre un aro en rotaci´on uniforme sobre su diam´etro.

Figura 1.16:Part´ıcula deslizando sobre aro de radioa, el cual rota sobre su di´ametro vertical con velocidad angularω.

La velocidad angular de rotaci´on del aro sobre ejezesω, asumida constante. Luego, ϕ=ωt. Hayk= 2 restricciones:

f1(x, y, z) = x2+y2+z2−a2= 0, (1.110)

y

x = tanϕ⇒f2(x, y, z, t) = y−xtanωt= 0. (1.111) La funci´on f2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas

como del tiempo. Luego,s= 3(1)−2 = 1. La coordenada generalizada apropiada esq=θ. Las transformaciones de coordenadasr(q) son

z=acosθ x=asinθcosωt y=asinθsinωt.

(1.112)

5. Polea simple (m´aquina de Atwood).

HayN = 2 part´ıculas. Las restricciones se pueden expresar como f1= y1+y2−c1= 0 f2= x1−c2= 0 f3= x2−c3= 0 f4= z1= 0 f5= z2= 0, (1.113)

(31)

dondec1, c2, c3 son constantes. Luego,k= 5 ys= 3(2)−5 = 1. Se puede escoger

q=y1, oq=y2 como la coordenada generalizada.

Figura 1.17:Polea simple.

6. Restricci´on no holon´omica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.

Figura 1.18: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha: condici´on de rodar sin deslizar;P es el punto de apoyo instant´aneo.

Existe la restricción z= cte. Sea θel ángulo que forma el vector velocidadv con respecto a la dirección ˆx. La condición de rodar sin deslizar se expresa como

ds=vdt=Rdϕ⇒ v=Rϕ.˙ (1.114)

Las componentes de la velocidadvson ˙

x=vcosθ=Rϕ˙cosθ ˙

y=vsinθ=Rϕ˙sinθ. (1.115)

Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holon´omicas, dx−R cosθ dϕ= 0,

dy−Rsinθ dϕ= 0. (1.116)

Las coordenadas generalizadas son: (x, y) para ubicar el punto de apoyo instantáneo P, θ para dar la dirección de la velocidad de P y la orientación del aro, yϕpara ubicar un punto cualquiera sobre el aro. Luegos= 4.

(32)

1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler

En los problemas de extremos en el cálculo diferencial buscamos el valor de una variable para el cual una función es máxima o m´ınima. En cambio, los problemas de extremos en el cálculo variacional consisten en encontrar la función que hace que una integral definida sea extrema.

Supongamos una funci´on y = y(x) que posee derivada y0(x) = dy_dx. Definimos una

funcional como una función de varias variables de la forma f(y, y0, x). En general, los argumentos de una funcional son funciones y sus derivadas. Una funcional es una función de funciones dadas. Por ejemplo, consideremos la funcional f(y, y0, x) = y(x) +y0(x). Para la funcióny(x) = 3x+ 2, tenemosf(y, y0, x) = 3x+ 5; mientras que paray(x) =x2, f(y, y0, x) = x2+ 2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la función y. Una funcional asigna un número a una función, mientras que una función asigna un número a otro número.

El problema de extremos en el c´alculo variacional se expresa mediante el requerimiento de que una integral definida de una funcional dada tome un valor m´aximo o m´ınimo.

Figura 1.19:Funci´ony(x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y).

Consideremos dos puntos fijos (x1, y1) y (x2, y2) en el plano (x, y), unidos por una

funci´on o trayectoria y = y(x), con derivada y0(x), x ∈ [x1, x2], tal que y(x1) = y1 y

y(x2) =y2.

Principio variacional:

Dada una funcionalf(y, y0, x), ¿cu´al es la funci´ony(x) que hace que la integral definida

I=

Z x2

x1

f(y, y0, x)dx , (1.117)

tenga un valor extremo (m´aximo ´o m´ınimo) entrex1 yx2?.

Puesto queIes una integral definida, la cantidadIcorresponde a un n´umero cuyo va-lor depende de la funci´ony(x) empleada en el argumento de la funcional dadaf(y, y0_{, x}_).

SiI es extremo de f para unay(x) (y por tantoy0(x)), entonces cualquier otra trayec-toria cercana ay(x) definida entrex1yx2debe incrementar (o disminuir) en valor de la

integralI, es decir, debe variarI.

Se emplea la notaci´onδI para indicar la variaci´on de I. Luego,δI = 0 significa que Ies extremo.

(33)

El principio variacional sobreI requiere queδI= 0 para unaf dada, lo cual implica una condición sobre y(x). Para encontrar esta condición, supongamos que y(x) es la función que pasa por x1 yx2, y que hace δI = 0. Ahora, consideremos una trayectoria

cercana a y(x) definida como

y(x, α) =y(x) +α η(x), (1.118) dondeαes un parámetro que mide la desviación con respecto a la funcióny(x) yη(x) es una función arbitraria, pero diferenciable (es decir, existeη0(x)), tal que se anule en los puntosx1yx2:η(x1) =η(x2) = 0. Entoncesy(x, α) también pasa por (x1, y1),(x2, y2):

y(x1, α) =y(x1) =y1; y(x2, α) =y(x2) =y2. (1.119)

Figura 1.20:Trayectoriay(x, α) =y(x) +α η(x).

Note quey(x,0) =y(x). CalculemosI para la trayectoria perturbaday(x, α), I(α) =

Z x2

x1

f(y(x, α), y0(x, α), x)dx; (1.120)

es decir,I es una función del parámetroα. La condiciónδI = 0 cuandoα= 0, implica que dI(α) dα _α₌₀ = 0, (1.121)

lo cual a su vez implica una condici´on sobref y sobrey(x). Calculemos la derivada dI dα = Z x2 x1 df(y(x, α), y0(x, α), x) dα dx (1.122) = Z x2 x1 _∂f ∂y ∂y ∂α(x, α) + ∂f ∂y0 ∂y0 ∂α(x, α) dx. Pero, ∂y ∂α(x, α) =η(x); ∂y0 ∂α(x, α) = ∂ ∂α _dy dx = d dx _∂y ∂α = dη dx (1.123)

puesto que αyxson independientes. Luego, dI dα = Z x2 x1 _∂f ∂yη(x) + ∂f ∂y0 dη dx dx. (1.124)

(34)

El segundo t´ermino se integra por partes, usandoRuv0dx=uv−R u0vdx, Z x2 x1 ∂f ∂y0 dη dxdx= ∂f ∂y0η(x) x2 x1 − Z x2 x1 d dx _∂f ∂y0 η(x)dx, (1.125) pero ∂f ∂y0η(x) x2 x1 = ∂f ∂y0η(x2)− ∂f ∂y0η(x1) = 0, (1.126)

puesto queη(x2) =η(x1) = 0. Luego:

dI dα = Z x2 x1 _∂f ∂y − d dx _∂f ∂y0 η(x)dx= 0. (1.127) Evaluando enα= 0, dI dα _α₌₀ = Z x2 x1 _∂f ∂y − d dx _∂f ∂y0 α=0 η(x)dx= Z x2 x1 M(x)η(x) = 0, (1.128) donde M(x) = _∂f ∂y − d dx _∂f ∂y0 α=0 . (1.129)

Cuandoα= 0, el integrando es una función de xsolamente:M(x)η(x). Luego, la con-dición _dαdI_α₌₀= 0⇒M(x)η(x) = 0. Pero como η(x) es una función arbitraria no nula,

entonces debemos tenerM(x) = 0. Se acostumbra escribir esta condici´on en la forma d dx ∂f ∂y0 −∂f ∂y = 0. (1.130)

La Ec. (1.130) es laecuación de Euler, y expresa la condición que debe satisfacer la funcióny(x) que haceδI = 0 para una integral definida I de una funcional f(y, y0, x) dada. La Ec. (1.130) es una ecuación diferencial de segundo orden paray(x), cuya solución permite encontrary(x) para las condiciones dadas.

(35)

Ejemplos.

1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia m´as corta entre dos puntos dados en un plano.

Figura 1.22:Trayectoria m´as corta entre dos puntos del plano (x, y).

El elemento de distancia sobre el plano es

ds=pdx2₊_dy2_. _(1.131)

La distancia entre entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) del plano es

I= Z 2 1 ds= Z x2 x1 s 1 + _dy dx 2 dx= Z x2 x1 f(y, y0)dx, (1.132) dondef(y, y0) =p1 + (y0₎2_.

Buscamos la trayectoriay(x) que da el valor m´ınimo de la integralI; es decir, que haceδI= 0. La ecuaci´on de Euler es la condici´on que satisface esa y(x),

d dx _∂f ∂y0 −∂f ∂y = 0. (1.133) Tenemos ∂f ∂y = 0, ∂f ∂y0 = y0 p 1 + (y0₎2. (1.134)

Luego, la ecuaci´on de Euler conduce a y0 p 1 + (y0₎2 = c= constante, (1.135) y0 = √ c 1−c2 ≡a (1.136) ⇒ y = ax+b, (1.137)

(36)

2. Superficie m´ınima de revoluci´on.

Encontrar el perfil y(x) entre x1, x2 que produce el ´area m´ınima de revoluci´on

alrededor del ejey.

Figura 1.23:Superficie m´ınima de revoluci´on dey(x) alrededor de ejey.

El elemento de ´area de revoluci´on alrededor de ejey es

dA= 2πx ds= 2πxpdx2₊_dy2_. _(1.138)

El ´area de revoluci´on generada pory(x) es A= Z dA= 2π Z x2 x1 xp1 + (y0₎2_dx_{= 2}_π Z x2 x1 f(y, y0, x)dx. (1.139)

Identificamos en el integrando la funcionalf(y, y0_{, x}_{) =} _xp

1 + (y0₎2 _{que satisface} la ecuaci´on de Euler, d dx _∂f ∂y0 −∂f ∂y = 0. (1.140)

Calculamos las derivadas, ∂f ∂y = 0, ∂f ∂y0 = xy0 p 1 +y02. (1.141)

Sustituyendo en la ecuaci´on de Euler, obtenemos xy0 p 1 +y02 = a= constante (1.142) y0 = dy dx = a √ x2₋_a2 (1.143) ⇒y = a Z _dx √ x2₋_a2 = aln(x+px2₋_a2_{) +}_k. _(1.144)

(37)

Los valores de las constantesaykse determinan con (x1, y1) y (x2, y2). Si

escribi-mosk=b−alna, la Ec. (1.144) tambi´en se puede expresar como

_y₋_b a = ln x+ √ x2₋_a2 a ! = cosh−1x a (1.145) ⇒x = acosh y−b a , (1.146)

que es la ecuaci´on de unacatenaria.

3. Braquistocrona (del griego, “tiempo m´as corto”).

Encontrar la trayectoriay(x) de una part´ıcula en el campo gravitacional terrestre que da el menor tiempo posible para ir de un punto (x1, y1) a otro punto (x2, y2)

sin fricci´on, partiendo del reposo (v0= 0).

Figura 1.24:Problema de la braquistocrona.

Fijamos el punto (x1, y1) = (0,0). Para este problema, escogemos la direcci´on del

ejeyhacia abajo, con el fin de obtener la funci´ony(x).

Si v es la magnitud de la velocidad en un punto de la trayectoria, entonces el elemento de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de la trayectoria es

dt= ds

v . (1.147)

El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es

t1→2= Z 2 1 ds v = Z 2 1 p dx2₊_dy2 v . (1.148)

En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la part´ıcula es

F=mgˆy, y por lo tanto la energ´ıa potencial esV =−mgy, tal queV(y= 0) = 0. Puesto quev0= 0, la conservaci´on de la energ´ıaE=T+V da

0 = 1 2mv

2₋_mgy _⇒ _v₌p

(38)

Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es t1→2= Z 2 1 p dx2₊_dy2 √ 2gy , (1.150)

la cual se puede expresar como

t1→2= Z y2 y1 s 1 + (x0₎2 2gy dy . (1.151)

La integralt1→2 es del tipo

I=

Z y2

y1

f(x, x0, y)dy , (1.152)

donde hemos intercambiado los roles de las variables xy y. Identificamos la fun-cional

f(x, x0, y) =

s

1 + (x0₎2

2gy . (1.153)

La ecuaci´on de Euler correspondiente es d dy _∂f ∂x0 −∂f ∂x = 0. (1.154)

Puesto que ∂f_∂x = 0, la ecuaci´on de Euler queda ∂f

∂x0 =

x0

√

2gyp1 + (x0₎2 =c= constante. (1.155)

Note que la ecuación de Euler para la funcionalf(x, x0, y) resulta más sencilla que la ecuación correspondiente a una funcionalf(y, y0, x) en este caso. Luego,

x0 = dx dy = s 2gc2_y 1−2gc2_y (1.156) ⇒x = Z s y 1 2gc2 −y dy= Z r _y 2R−ydy, (1.157)

donde hemos llamado 2R≡1/2gc2. Haciendo el cambio de variable

y=R(1−cosθ), dy=Rsinθdθ, (1.158) tenemos x = R Z s₍₁₋_cos_θ₎ (1 + cosθ)sinθ dθ=R Z (1−cosθ)dθ = R(θ−sinθ) +k. (1.159)

(39)

Luego, la trayectoria queda parametrizada en t´erminos de la variableθ,

y = R(1−cosθ), (1.160)

x = R(θ−sinθ), (1.161)

la cual corresponde a unacicloide que pasa por (x1, y1) = (0,0), conk= 0.

La constante R se determina con el punto (x2, y2) y da al valor del radio de la

circunferencia que genera la cicloide. La trayectoria de tiempo m´ınimo es un arco de cicloide que pasa por los puntos dados. Algunos puntos permiten trazar la cicloide,

θ=π 2 ⇒ y=R, x= π 2R; θ=π ⇒ x=πR, y= 2R; θ= 2π ⇒ x= 2πR, y= 0.

Figura 1.25:Trayectoria de la cicloide en el problema de la braquistocrona.

El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la F´ısica. Fue planteado originalmente por Galileo, quien pensó que la trayector´ıa de menor tiempo entre dos puntos era un arco de circunferencia. El problema fue estudiado años después por Johann Bernoulli, cuyo trabajo contribuyó a la fundación del cálculo variacional.

Figura 1.26:Johann Bernoulli (1667 -1748).

4. ElPrincipio de Fermat establece que la luz se propaga entre dos puntos dados en un medio siguiendo la trayectoria que corresponde al tiempo m´ınimo. A partir de este principio, pueden obtenerse las leyes de la ´Optica Geom´etrica.

(40)

Figura 1.27:Pierre de Fermat (1601-1665).

Como ejemplo, consideremos la ley de refracci´on de la luz entre dos medios cuyos ´ındices de refracci´on sonn1yn2, conn1< n2, como muestra la figura. La velocidad

de la luz en un medio con ´ındice de refracci´onnesv=c/n, dondeces la velocidad de la luz en el vac´ıo.

Figura 1.28:Ley de refracci´on de la luz.

El tiempo para viajar entre los puntos 1 y 2 es

t1→2 = Z 2 1 ds v = Z 2 1 n p dx2₊_dy2 c = 1 c Z x2 x1 np1 + (y0₎2_dx _(1.162)

El ´ındice de refracci´on depende dey, n=n1, para y >0, yn =n2, para y <0,

tal que dn_dy 6= 0 s´olo en y = 0. En la Ec. (1.162) podemos identificar la funcional f(y, y0, x) =np1 + (y0₎2_{, la cual satisface la ecuaci´}_{on de Euler,}

d dx _∂f ∂y0 −∂f ∂y = 0. (1.163)

Calculamos las derivadas, ∂f ∂y0 = ny0 p 1 +y02 , ∂f ∂y = 0. (1.164)

(41)

Entonces,

ny0

p

1 +y02 = cte. (1.165)

Note que y0 = dy_dx =−tanθ, donde θ es el ´angulo de la trayectoria con el eje y. Sustituyendo en la Ec. (1.165), obtenemos

−√ntanθ

1 + tan2_θ =−nsinθ= cte. (1.166)

La Ec. (1.166) implica la ley de refracci´on,n1senθ1=n2senθ2.

Principios variacionales para funcionales de varias variables.

Consideremos una funcional que depende desfunciones y de sus derivadas,

f(yi(x), y0i(x), . . . , x), i= 1,2, . . . , s (1.167)

tal que la integral definida I=

Z x2

x1

f(yi(x), y0i(x), x)dx (1.168)

adquiera un valor extremo, i.e.,δI= 0, para las funcionesyi(x),i= 1,2, . . . , s, que pasan

porx1 yx2.

Consideremos ahora la funcional de trayectorias perturbadas

f(yi(x, α), y0i(x, α), . . . , x), i= 1,2, . . . , s, (1.169)

donde

yi(x, α) =yi(x) +αηi(x), (1.170)

y las ηi(x) son funciones arbitrarias que satisfacenηi(x1) =ηi(x2) = 0.

(42)

Consideremos la integral definida con las funcionesyi(x, α) como argumentos,

I(α) =

Z x2

x1

f[yi(x, α), y0i(x, α), x]dx. (1.171)

La condici´on de queI(0) sea extremo, o queδI = 0, implica que dI dα _α₌₀ = 0. (1.172) Calculamos dI dα = Z x2 x1 s X i=1 _∂f ∂yi ∂yi ∂α + ∂f ∂y0 i ∂y0_i ∂α dx, (1.173) donde ∂yi(x, α) ∂α =ηi(x); ∂y0_i(x, α) ∂α =η 0 i(x). (1.174)

El segundo t´ermino en la suma de la Ec. (1.173) se integra por partes:

Z x2 x1 ∂f ∂y0 i η0_i(x)dx= * 0 ∂f ∂y0 i ηi(x) x2 x1 − Z x2 x1 d dx _∂f ∂y0 i ηi(x)dx , (1.175)

donde usamos la condici´on de que las funciones ηi(x) se anulan enx1y enx2. Luego,

dI dα = Z x2 x1 s X i=1 _∂f ∂yi − d dx _∂f ∂y0 i ηi(x)dx = s X i=1 Z x2 x1 _∂f ∂yi − d dx _∂f ∂y0_i ηi(x)dx. (1.176)

Puesto que las funcionesηi(x) son arbitrarias, la condici´on

dI dα _α₌₀ = 0, (1.177)

implica lasscondiciones d dx _∂f ∂y0 i − ∂f ∂yi = 0, i= 1,2, . . . , s (1.178)

(43)

1.5. Principio de m´ınima acci´

on y ecuaciones de

La-grange

Consideremos un sistema descrito porscoordenadas generalizadas {q1, q2, . . . , qs}y

sus correspondientes svelocidades generalizadas{q˙1,q˙2, . . . ,q˙s}.

Definimos una funcional escalar de{qj},{q˙j} yt, dada por

L(qj,q˙j, t)≡T −V, j= 1,2, . . . , s, (1.179)

dondeT yV son la energ´ıa cinética y la energ´ıa potencial del sistema, respectivamente, expresadas en términos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(qj,q˙j, t) se denominaLagrangianodel sistema. En principio, todo sistema mecánico se

puede caracterizar por un LagrangianoL.

Supongamos que el estado del sistema, en los instantes de tiempot =t1 y t =t2,

est´a descrito por los correspondientes conjuntos de coordenadas y velocidades generali-zadas,

t1:{qj(t1)},{q˙j(t1)}; t2:{qj(t2)},{q˙j(t2)}. (1.180)

Principio de m´ınima acci´on:

La evoluci´on del sistema entre el estado ent1 y el estado ent2 es tal que el valor de

la integral definida

S =

Z t2

t1

L(qj,q˙j, t)dt , (1.181)

denominada laacción del sistema, sea m´ınima; es decir,δS = 0 (S es un extremo). El Principio de m´ınima acción es un principio variacional; implica que las ecuaciones de movimiento de un sistema, en términos de sus coordenadas generalizadas, pueden formularse a partir del requerimiento de que una cierta condición sobre la acciónS del sistema sea satisfecha.

ElPrincipio de m´ınima acci´on fue formulado en distintas formas por Maupertuis y por Hamilton; tambi´en se llama Principio de Hamilton.

(44)

Para encontrar las ecuaciones de movimiento a partir del Principio de m´ınima acci´on, supongamos que qj(t), j = 1, . . . , s, son las trayectorias para las cuales S adquiere un

valor extremo. Consideremos la variaci´on de qj comoqj(t) +δqj(t), y la variaci´on de ˙qj

como ˙qj(t) +δq˙j(t). Supongamos extremos fijos ent1 yt2. Luego,δqj(t1) =δqj(t2) = 0.

La variaci´on deqj o de ˙qj produce un incremento (o decremento) en el valor deS. La

variaci´on enS cuandoqj(t) es reemplazado porqj(t) +δqj(t), y ˙qj por ˙qj(t) +δq˙j(t), es

δS = Z t2 t1 L(qj+δqj,q˙j+δq˙j, t)dt− Z t2 t1 L(qj,q˙j, t)dt = Z t2 t1 δL(qj,q˙j, t)dt = Z t2 t1 s X j=1 _∂L ∂qj δqj+ ∂L ∂q˙j δq˙j dt. (1.182)

Similarmente a la integral I en un principio variacional, podemos expresar el segundo t´ermino de la Ec. (1.182) como

Z t2 t1 ∂L ∂q˙j d dt(δqj)dt= ∂L ∂q˙j δqj t2 t1 − Z t2 t1 d dt _∂L ∂q˙j δqj. (1.183)

Puesto que los extremos son fijos, tenemos ∂L ∂q˙j δqj t2 t1 = 0. (1.184)

El principio de m´ınima acci´on requiere que

δS= Z t2 t1 s X j=1 ∂L ∂qj − d dt ∂L ∂q˙j δqjdt= 0. (1.185)

La condici´onδS = 0 implica que se deben cumplirsecuaciones para lasqj(t):

d dt _∂L ∂q˙j − ∂L ∂qj = 0, j= 1, . . . , s. (1.186)

Las Ecs. (1.186) se denominanecuaciones de Lagrange. Constituyen un conjunto des ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden para lasscoordenadas generalizadas qj(t), las cuales describen la evoluci´on del sistema en el tiempo.

Se pueden establecer las siguientes analog´ıas entre el Principio de m´ınima acci´on y un principio variacional: S= Z t2 t1 L(qj,q˙j, t)dt ↔ I= Z x2 x1 f(yi, y0i, x)dx (1.187)

(45)

L(qj,q˙j, t) ↔ f(yi, yi0, x) t ↔ x qj ↔ yi ˙ qj ↔ y0i δqj(t) ↔ ηi(x) δq˙j(t) ↔ η0i(x).

Figura 1.31:Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).

1.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange

Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las part´ıculas del sistema. Para ver esto, consideremos N part´ıculas denotadas por α = 1,2, . . . , N. Sea xj(α) la componente cartesianaj (j= 1,2,3) de la posici´onr(α) de la part´ıcula α.

Asumamos las coordenadas cartesianas como coordenadas generalizadas; i. e.,qj=xj(α).

La energ´ıa cin´etica del sistema es T = N X α=1 3 X i=1 1 2mαx˙ 2 i(α). (1.188) La energ´ıa potencial es V = N X α=1 Vα(r(1),r(2), . . . ,r(N)). (1.189)

El Lagrangiano est´a dado por L=T−V = N X α=1 3 X i=1 1 2mαx˙ 2 i(α)− N X α=1 Vα(r(1),r(2), . . . ,r(N)). (1.190)

La ecuaci´on de Lagrange para la coordenadaxj(α) es

d dt _∂L ∂x˙j(α) − ∂L ∂xj(α) = 0. (1.191)

(46)

Calculamos ∂L ∂x˙j(α) = ∂T ∂x˙j(α) =m(α) ˙xj(α) =pj(α), ∂L ∂xj(α) = − ∂Vα ∂xj(α) =Fj(α).

Sustituci´on en la ecuaci´on de Lagrange paraxj(α) da

dpj(α)

dt =Fj(α), (1.192)

lo que corresponde a la Segunda ley de Newton para la componentejde las coordenadas cartesianas de la part´ıculaα.

Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teor´ıa del movimiento; los resultados de la formulación Lagrangiana o de la formulación Newtoniana del movimiento de un sistema dado son los mismos; tan sólo la descripción y el método usado para obtener esos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto f´ısico.

Las leyes de Newton enfatizan causas externas vectoriales (fuerzas) actuando sobre

un cuerpo, mientras que la formulación Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energ´ıas cinética y potencial) asociadascon el cuerpo. La formulación Newtoniana des-cribe el movimiento de un sistemapart´ıcula por part´ıcula. La formulación Lagrangiana describe el movimiento como una propiedad detodoel sistema. En contraste con el punto de vista Newtoniano decausa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de m´ınima acción permite interpretar éste como el resultado de unpropósito de la Naturaleza.

En la formulaci´on Newtoniana, las ligaduras entre las coordenadas requieren ser des-critas como fuerzas actuando sobre las part´ıculas, mientras que en la formulaci´on La-grangiana las ligaduras pueden incluirse dentro de las coordenadas generalizadas.

Las ecuaciones de Lagrange son más generales que la segunda Ley de Newton; son aplicables a cualquier conjunto de coordenadas generalizadas de un sistema. Además de sistemas mecánicos clásicos, las ecuaciones de Lagrange se pueden aplicar para todo sistema donde se puede definir un Lagrangiano, incluyendo medios cont´ınuos, campos, Mecánica Cuántica. El Principio de M´ınima acción sugiere una conexión profunda entre la F´ısica y la Geometr´ıa, una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teor´ıas f´ısicas. Como veremos, una ventaja de la formulación Lagrangiana es que permite descubrir simetr´ıas fundamentales presentes en sistemas f´ısicos.

Las ecuaciones que describen la evolución de muchos sistemas, además de sistemas mecánicos, pueden derivarse a partir de algún principio variacional. Por ejemplo, el Prin-cipio de Fermat establece que la propagación de la luz entre dos puntos dados en un medio sigue la trayectoria que corresponde al tiempo m´ınimo. Como vimos en la Sec. 1.4, a partir de ese principio pueden obtenerse las leyes de la Óptica Geométrica.

Las ecuaciones de Lagrange poseen las siguientes propiedades:

1. Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano se le agrega una derivada total temporal de una funci´onf(qj, t).

(47)

SeaL(qj,q˙j, t) el Lagrangiano del sistema para el cualδS = 0. Entonces, el nuevo Lagrangiano ser´a L0(qj,q˙j, t) =L(qj,q˙j, t) + df(qj, t) dt . (1.193) La nueva acci´on es S0 = Z t2 t1 L0(qj,q˙j, t)dt = Z t2 t1 L(qj,q˙j, t)dt+f(qj(t2), t2)−f(qj(t1), t1). (1.194) Luego, δS0 =δS+δf(qj(t2), t2)−δf(qj(t1), t1). (1.195)

Perof(qj(t2), t2) y f(qj(t1), t1) son cantidades fijas cuya variaci´on es cero. Luego

δS0 = δS, y la condici´on δS = 0 ⇒ δS0 = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que se derivan deLy deL0 son equivalentes.

2. La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto de coordenadas generalizadas utilizadas en un sistema.

La derivaci´on de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordena-das generalizacoordena-das espec´ıficas; por lo tanto, laforma de las ecuaciones de Lagrange no depende de un conjunto particular de coordenadas{qi}. Se puede escoger otro

conjunto descoordenadas generalizadas independientes {Qi}, y las ecuaciones de

Lagrange tambi´en se cumplen en esas coordenadas.

Sea {qi}, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un

siste-ma cons grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(qi,q˙i, t). Las ecuaciones de

Lagrange para estas coordenadas son d dt _∂L ∂q˙j − ∂L ∂qj = 0. (1.196)

Supongamos una transformaci´on de las coordenadas{qi} a otro conjunto de

coor-denadas generalizadas{Qi},i= 1, . . . , s, de la forma

qi=qi(Q1, Q2, . . . , Qs, t), (1.197)

la cual se conoce como unatransformaci´on puntual. Por ejemplo, la transformaci´on puntual qi =qi(Qj, t) entre coordenadas cartesianas {qi} ={x, y} y coordenadas

polares{Qi}={r, ϕ}en un plano esx=rcosϕ, y=rsinϕ.

La invarianza de la forma de las ecuaciones de Lagrange significa que el Lagrangiano expresado como funci´on de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas, L(Qi,Q˙i, t), tambi´en satisface las ecuaciones de Lagrange

d dt _∂L ∂Q˙i − ∂L ∂Qi = 0. (1.198)

(48)

Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.197) calculamos ˙ qi= dqi dt = s X k=1 ∂qi ∂Qk ˙ Qk+ ∂qi ∂t. (1.199)

Luego, ˙qi= ˙qi(Q1, . . . , Qs,Q˙1, . . . ,Q˙s, t). Entonces, el Lagrangiano se puede

expre-sar como funci´on de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas como L(q1, . . . , qs, t) =L[qi(Q1, . . . , Qs, t),q˙i(Q1, . . . , Qs,Q˙1, . . . ,Q˙s, t), t]. (1.200) Tenemos, ∂L ∂Qi = s X j=1 _∂L ∂qj ∂qj ∂Qi + ∂L ∂q˙j ∂q˙j ∂Qi , (1.201) ∂L ∂Q˙i = s X j=1    ∂L ∂qj 7 0 ∂qj ∂Q˙i + ∂L ∂q˙j ∂q˙j ∂Q˙i   = s X j=1 ∂L ∂q˙j ∂q˙j ∂Q˙i . (1.202) Notemos que ∂q˙j ∂Q˙i = s X k=1 ∂qj ∂Qk ∂Q˙k ∂Q˙i = s X k=1 ∂qj ∂Qk δik= ∂qj ∂Qi . (1.203) Luego, d dt _∂L ∂Q˙i − ∂L ∂Qi = d dt   s X j=1 ∂L ∂q˙j ∂qj ∂Qi  − s X j=1 _∂L ∂qj ∂qj ∂Qi + ∂L ∂q˙j ∂q˙j ∂Qi = s X j=1 _∂q j ∂Qi _d dt ∂L ∂q˙j − ∂L ∂qj + ∂L ∂q˙j _d dt ∂qj ∂Qi − ∂q˙j ∂Qi . (1.204)

El primer t´ermino en la Ec. (1.204) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.196). Por otro lado, ∂q˙j ∂Qi = ∂ ∂Qi dqj dt = d dt ∂qj ∂Qi , (1.205)

por lo cual, el segundo t´ermino en la Ec. (1.204) tambi´en se anula. Luego, d dt _∂L ∂Q˙i − ∂L ∂Qi = 0. (1.206)

Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transforma-ciones puntuales de las coordenadas generalizadas.

(49)

1.7. Ecuaciones de Lagrange para varios sistemas

1. P´endulo simple.

Figura 1.32:Coordenada generalizadaθ para el p´endulo simple.

Vimos que la coordenada generalizada es el ´angulo θ. Entonces, x=lsinθ, x˙ =lθ˙cosθ y=−lcosθ, y˙=lθ˙sinθ. ExpresamosT yV en funci´on deθy ˙θ, T= 1 2mv 2₌ 1 2m( ˙x 2_{+ ˙}_y2_{) =}1 2ml 2_θ_˙2_, _(1.207) V =mgy=−mglcosθ. (1.208) Entonces, el Lagrangiano es L=T −V =1 2ml 2_θ_˙2₊_mgl_cos_θ. _(1.209)

La ecuaci´on de Lagrange paraθ es d dt _∂L ∂θ˙ −∂L ∂θ = 0. (1.210)

Calculamos los t´erminos ∂L ∂θ =−mglsinθ, ∂L ∂θ˙ =ml 2_˙ θ, d dt _∂L ∂θ˙ =ml2θ.¨ (1.211) Luego, la ecuaci´on de Lagrange queda como

ml2θ¨+mglsinθ = 0

⇒θ¨+g

l sinθ = 0, (1.212)

(50)

2. Part´ıcula libre.

La condici´on de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la part´ıcula,

F=−∇V = 0. Luego,V = constante para una part´ıcula libre. a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es

L=T =1 2m( ˙x

2_{+ ˙}_y2_{+ ˙}_z2₎_. _(1.213)

Las ecuaciones de Lagrange d dt _∂L ∂x˙i − ∂L ∂xi = 0, i= 1,2,3, (1.214) conducen a ∂L ∂x˙i =mx˙i = constante, (1.215)

que expresan la conservaci´on de la componenteidel momento lineal de la part´ıcula. b) Lagrangiano en coordenadas esf´ericas.

Figura 1.33:Coordenadas esf´ericas para una part´ıcula.

Las coordenadas se expresan como

x= rsinθcosϕ y= rsinθsinϕ z= rcosθ.

(1.216)

Las velocidades son ˙

x= r˙sinθcosϕ+rθ˙cosθcosϕ−rϕ˙sinθsinϕ ˙

y= r˙sinθsinϕ+rθ˙cosθsinϕ+rϕ˙sinθcosϕ ˙

z= r˙cosθ−rθ˙sinθ.

(1.217)

El Lagrangiano de una part´ıcula libre en coordenadas esf´ericas es L= 1

2m( ˙r

(51)

3. Part´ıcula en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.34:Part´ıcula en el campo gravitacional terrestre.

El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un plano vertical; i.e.,s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas (x, y) como coordena-das generalizacoordena-das. Supongamos que la part´ıcula posee posici´on inicial (xo, yo) y

velocidad inicial (vox, voy). Entonces,

T = 1 2m( ˙x 2_{+ ˙}_y2₎_, _V ₌_mgy _(1.219) L=T−V = 1 2m( ˙x 2_{+ ˙}_y2₎₋_mgy. _(1.220)

La ecuaci´on de Lagrange paraxes d dt _∂L ∂x˙ −∂L ∂x = 0, (1.221) la cual resulta en ¨ x= 0 ⇒ x=b1t+b2, (1.222)

conb1yb2 constantes. Usando las condiciones iniciales ent= 0, obtenemos

x(t) =xo+voxt. (1.223)

La ecuaci´on de Lagrange paray es d dt _∂L ∂y˙ −∂L ∂y = 0, (1.224) lo que conduce a ¨ y=−g ⇒ y=−1 2gt 2₊_c 1t+c2. (1.225)

Usando las condiciones iniciales, podemos expresar y(t) =yo+voyt−

1 2gt

2_. _(1.226)

La trayectoria descrita por la part´ıcula es unapar´abola, y(x) =yo+ voy vox (x−xo)− g 2v2 ox (x−xo)2. (1.227)

La trayectoria parab´olica corresponde a la minima acci´on; mientras que la cicloide corresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.

(52)

4. Oscilador arm´onico.

Figura 1.35:Oscilador arm´onico simple.

Usando la coordenada generalizadax, tenemos T =1 2mx˙ 2_, _V ₌ 1 2kx 2_, _(1.228) L=T−V =1 2mx˙ 2₋1 2kx 2_. _(1.229)

La ecuaci´on de Lagrange paraxes d dt _∂L ∂x˙ −∂L ∂x = 0. (1.230) Calculamos ∂L ∂x˙ =mx˙ ; ∂L ∂x =−kx. (1.231) Luego, obtenemos mx¨+kx= 0, ¨ x+ω2x= 0, (1.232) dondeω2_≡_k/m_.

5. Part´ıcula movi´endose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.36:Part´ıcula sobre un cono invertido con ´angulo de v´erticeα.

Coordenadas generalizadas sonq1=ϕyq2=r. Entonces,

x= rcosϕ y= rsinϕ z= rcotα.

(53)

Las velocidades correspondientes son ˙ x= r˙cosϕ−rϕ˙sinϕ ˙ y= r˙sinϕ+rϕ˙cosϕ ˙ z= r˙cotα. (1.234)

Energ´ıa cin´etica,

T = 1 2m( ˙x 2_{+ ˙}_y2_{+ ˙}_z2_{) =} 1 2m[ ˙r 2_{(1 + cot}2_α_{) +}_r2_ϕ_˙2_] = 1 2m( ˙r 2_csc2_α₊_r_ϕ_˙2₎_. _(1.235) Energ´ıa potencial, V =mgz=mgrcotα. (1.236)

Por lo tanto, el LagrangianoL=T−V es L= 1

2m( ˙r

2_csc2_α₊_r2_ϕ_˙2₎₋_mgr_cot_α. _(1.237)

La ecuaci´on de Lagrange paraϕes d dt _∂L ∂ϕ˙ −∂L ∂ϕ = 0, (1.238) donde ∂L ∂ϕ = 0, (1.239) Luego, ∂L ∂ϕ˙ =mr 2_ϕ_˙ _{= cte} ≡lz. (1.240)

La cantidad constante es la componentelz del momento angular en t´erminos de

las coordenadas generalizadas, lo que se puede verificar calculando la componente cartesianalz = m(xy˙−yx˙), y usando las Ecs. (1.233) y (1.234). La componente

lz se conserva porque la componenteτz del vector de torque total producido por

las fuerzas actuantes sobre la part´ıcula (su peso y la fuerza normal ejercida por la superficie del cono) es cero.

La ecuaci´on de Lagrange parares d dt _∂L ∂r˙ −∂L ∂r = 0, (1.241) donde ∂L ∂r =mrϕ˙ 2₋_mg_cot_α, ∂L ∂r˙ =mr˙csc 2_α. _(1.242) Luego, ¨ rcsc2α−rϕ˙2+gcotα = 0,