Introducción al Cál lculo Infinitesimal

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Tema

Tema

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1. Conceptos básicos: dominio, recorrido.

2. Funciones reales de dos variables reales.

3. Gráficas.

4. Curvas de nivel.

5. Trazas.

6. Concepto de límite.

José R. arro

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José R. arro

6. Concepto de límite.

7. Límites reiterados, según trayectorias y,

direccionales.

8. Utilización de coordenadas polares:

Criterio de la función mayorante.

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Conceptos básicos

El volumen de una caja rectangular de dimensiones: x, y, z vale xyz; este es un ejemplo de una función real de tres variables reales, que simbolizamos así:

f(x, y, x) = xyz.

En general, una función real de n variables reales es una correspondencia: que asigna a cada (x1, x2, …xn) , perteneciente a un cierto conjunto, un único

valor: u=f (x1, x2, …, xn) , y lo indicamos así

f : Rn →→→→ R .

Las variables x1, x2, …, xn se llaman independientes (que también pueden

re-In

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Las variables x1, x2, …, xn se llaman independientes (que también pueden

re-presentarse sin subíndices como en el caso del ejemplo) siendo u la variable dependiente. ormalmente se definen a partir de una fórmula.

Ejemplos:

f(x, y) = x + y2, que es una función de dos variables. Algunos valores son: f(0,-2) = 4, f(-2, 3) = 7.

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Los conceptos conocidos para funciones de una variable tienen su equivalente para funciones de n variables.

Se llama dominio de una función al conjunto de puntos para los que la función

tie-ne sentido.

Llamamos recorrido o imagen de una función al conjunto de valores que toma la función.

uestro estudio se centrará fundamentalmente en las funciones de dos variables, escribiéndose entonces:

Conceptos básicos

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José R. arro Dominio de f = D = {(x, y)∈∈∈∈R /2 ∃∃∃∃f(x, y)} .

Imagen o recorrido de f = Im (f)=

{{{{

f(x,y)/ (x,y)∈∈∈∈D

}}}}

.

Ejemplo

Obtener el dominio de z=f(x,y)=3x-2y+7 .

El dominio es R , pues la fórmula que define existe para cualquier par (x, y) : D = 2

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Im(f) z

Dominio e imagen

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y

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Ejemplo

Obtener el dominio de z=f(x, y)=3x-5y₂

{{{{

(x, y) R /y-x2 2 0

}}}}

y-x ⇒⇒⇒⇒ D ==== ∈∈∈∈ ≠≠≠≠ , luego el

do-minio es todo el plano R2 excepto los puntos de la parábola y = x2.

Ejemplo

Obtener el dominio de z=f(x, y)= 9-x -y2 2 ⇒⇒⇒⇒ D ====

{{{{

(x, y)∈∈∈∈R /9-x -y2 2 2 ≥≥≥≥ 0

}}}}

.

Conceptos básicos

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José R. arro

Como x2+y2=9, es la ecuación de una circunferencia de centro el origen y radio 3, D

representa el interior y la frontera de dicha circunferencia.

Ejemplo

Obtener dominio de z ==== f x y( , )====log(x−−−− y)⇒⇒⇒⇒ D ====

{{{{

(x, y)∈∈∈∈R /x-y>02

}}}}

Luego el dominio es el semiplano inferior definido por y = x.

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Ejercicio

Obtener el dominio de

2 2 3

log(x -2x-15)(4-y )

f(x, y)=

x

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Conceptos básicos

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Las funciones de varias variables pueden operarse de igual forma que las de una variable, así para dos variables se tiene:

Suma o diferencia: (f±g)(x, y)=f((x, y)±g(x, y) Producto: (fg)(x, y)=f(x, y)g(x, y)

Operaciones entre funciones

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José R. arro

Producto: (fg)(x, y)=f(x, y)g(x, y)

Cociente: f (x, y)= f(x, y) , para g(x, y) 0

g g(x, y) ≠≠≠≠

Composición: (f g)(x, y)=f(g(x, y)) , siendo g una función de dos variables y f de una sola variable.

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Se utilizan frecuentemente las siguientes funciones de dos variables:

a) Funciones polinómicas, que son aquellas que se escriben como suma de

fun-ciones de la forma kxmyn , siendo k un número real y m y n enteros no

nega-tivos .

b) Funciones racionales, que son aquellas que se expresan como cociente de

dos funciones polinómicas.

Funciones polinómicas y racionales

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Ejemplos: f(x, y) = -x2y5 + y - 1 7 xy 3

, es una función polinómica.

g(x, y) =

3 4

5 2

x y

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De igual forma que para funciones de una variable, también se pueden considerar las gráficas de funciones de dos variables. La gráfica de la función de dos variables f se entiende como el conjunto de puntos de la forma (x, y, z), donde z = f(x, y) y (x, y) pertenece al dominio de f. Dicha gráfica se interpreta geométricamente como una superficie en el espacio, y se dice que z = f(x, y) es la ecuación en forma explicita de dicha superficie.

Gráficas

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Ejemplo

Estudiemos la gráfica de f(x, y)= 49-x -y 2 2

Haciendo z=f(x, y)⇒⇒⇒⇒ z= 49-x -y2 2 ⇒⇒⇒⇒ z =49-x -y2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ x +y +z =492 2 2 ⇒⇒⇒⇒

2 2 2

(x-0) +(y-0) +(z-0) =7 , que representa el conjunto de los puntos del espacio cu-ya distancia al origen vale 7, es decir se trata de la esfera de centro el origen y ra-dio7.

Como la función considerada es positiva : z ≥≥≥≥ 0 , su gráfica es la semiesfera, con z positiva, centro el origen y radio 7.

Gráficas

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Ejemplo

Estudiemos la gráfica de f(x, y) = -x+8y.

Haciendo z = f(x, y) ⇒⇒⇒⇒ z = -x+8y, que es la ecuación de un plano siendo este la gráfica de la función.

Gráficas

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El obtener la gráfica de una función es, en general, complicado. Un método para conseguir una idea aproximada de la gráfica consiste en obtener los cortes o inter-secciones de la superficie que representa la gráfica con planos paralelos a los pla-nos coordenados, es decir, de la forma x = a, y = b, z = c siendo a, b, c números re-ales arbitrarios.

Las intersecciones anteriores se llaman trazas de la superficie en el plano conside-rado.

Ejemplo

Estudiar la gráfica de f(x, y) = x2 + y2. La ecuación de la superficie será z = x2 + y2

Trazas

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La ecuación de la superficie será z = x2 + y2

Cortando por planos de la forma x = a ⇒⇒⇒⇒z = a2 + y2, que son parábolas en el plano OZY.

Cortando por planos de la forma y = b ⇒⇒⇒⇒z = x2 + b2, que son parábolas en el plano OZX.

Cortando por planos de la forma z = c ⇒⇒⇒⇒c = x2 + y2, que son, para c>0, circunfe-rencias de centro el origen.

Luego las trazas obtenidas sobre planos paralelos a los coordenados son parábolas o circunferencias.

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Trazas

El estudio anterior da una idea de la forma de la superficie que se llama paraboloi-de elíptico. José R. arro

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_{Otra forma de obtener una idea aproximada de la superficie que}

re-presenta una función de dos variables z = f(x, y), es a traves de sus curvas de nivel (o líneas de contorno), que son aquellas curvas de la superficie donde el valor de f(x, y) permanece constante, luego su ecuación será de la forma f(x, y) = c, siendo c una constante arbitraria; gráficamente se obtienen cortando la superficie que representa a la función por planos paralelos a OXY de ecuación z = c. Si

represen-Curvas de nivel

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.

función por planos paralelos a OXY de ecuación z = c. Si represen-tamos en un mismo plano varias curvas de nivel, correspondientes a distintos valores de c, se obtiene un mapa de curvas de nivel (o mapa de contorno), los cuales se suelen utilizar para representar regiones de la superficie terrestre, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar.

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Ejemplo

Obtener las curvas de nivel de z= 100-x -y . 2 2

Haciendo z = c ⇒⇒⇒⇒ c2 = 100-x2-y2 ⇒⇒⇒⇒ x2+y2 = 100-c2, que son circunferencias de centro el origen para c<10. Para c = 10 representa el punto (0, 0), y para c>10 no tienen significado geométrico.

Curvas de nivel

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Antes de entrar en le estudio de los límites para funciones de dos variables veremos unos conceptos previos.

Recordando que la distancia entre dos puntos P(x, y) y Q(a, b) es d(P, Q) = (x-a) +(y-b)2 2

Definimos el δ -entorno, bola o disco bidimensional de centro Q y radio δ como el conjunto de puntos contenidos en el circulo de centro Q y radio δ

Disco cerrado

{{{{

(x, y)∈∈∈∈R / (x-a) +(y-b)2 2 2 ≤≤≤≤ δ

}}}}

Límites

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Disco cerrado

{{{{

(x, y)∈∈∈∈R / (x-a) +(y-b) ≤≤≤≤ δ

}}}}

Disco abierto

{{{{

(x, y)∈∈∈∈R / (x-a) +(y-b) <δ2 2 2

}}}}

Luego el disco cerrado incluye la circunferencia o frontera y el abierto no. Estos conceptos son análogos a los de entorno cerrado o abierto para una va-riable.

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José R. arro

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Se dice que un punto Q(a, b), es un punto interior de una región R, si existe un dis-co abierto dis-con centro en Q(a, b) y radio no nulo, dis-completamente dis-contenido en R . Una región se dice abierta si todos sus puntos son interiores.

Un punto frontera es aquel que verifica que todo disco centrado en el contiene puntos interiores y no interiores (exteriores).

Si una región contiene todos sus puntos frontera se llama cerrada.

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Para una variable, la expresión

x a

lim f(x)=L

→ → →

→ , donde a y L son números reales,

signi-fica que cuando x es próximo a a, entonces f(x) es próximo a L. En este caso x se puede aproximar a a de dos formas distintas: por la izquierda o por la derecha de a.

En el caso de dos variables el significado de la expresión

( x, y)lim→→→→(a, b)f(x, y)=L, siendo

a, b y L números reales, es análogo, es decir, cuando (x, y) se aproxima a (a, b) en-tonces

f(x, y) se aproxima a L, pero en este caso dicha aproximación se puede hacer de infinitas formas.

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José R. arro

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.

La definición rigurosa de límite bidimensional es análoga al unidimen-sional:

Si f es una función de dos variables definida en un disco abierto de centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b), y L es un número real, entonces se dice que L es el límite de

f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) y se escribe

( x, y)lim→→→→(a, b)f(x, y)=L

Si cualquiera que sea el número ε>0 , debe existir otro número δ>0 tal que

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s

.

que

si 0< (x-a) +(y-b) <δ , entonces 2 2 |f(x, y)-L|<ε

otemos que al igual que en el caso de una variable el número δ depende del número ε .

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L+ L-L z

Límite para una función de dos variables z = f(x, y)

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José R. arro (a, b) (x, y) Disco de radio x y

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.

Aun siendo esta definición análoga al caso de una variable, existe una diferencia fundamental. Para comprobar si una función de una variable tiene límite solo necesitamos comprobar que ocurre al aproximarnos por la izquierda o por la derecha. Si los límites por la izquierda y por la de-recha coinciden entonces el límite existe. Para una función de dos varia-bles (x, y) se puede aproximar a (a, b) siguiendo infinitos caminos o tra-yectorias.

Si el valor de

(x, y)lim→→→→(a, b)f(x, y), no es el mismo para todas las trayectorias,

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(x, y)→→→→(a, b)

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Si las trayectorias que utilizamos son las rectas que pasan por (a, b), al límite correspondiente le llamamos direccional.

Si el límite existe su valor debe ser el mismo para cualquier trayectoria:

y = ϕ(x), o bien x = γ(y), que pase por el punto (a, b), es decir: b = ϕ(a), a = (b)γ .

Luego debe ser

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José R. arro

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José R. arro (x,y) (a,b) x a _{( , ) ( , )} y b y= (x) _{( )}

lim f(x, y)= lim f(x, (x))= lim f(x, y) lim f(γ(y), y)=L

x y a b x y ϕ _γ ϕ → → → →→ →→ →→ → → _→→→→ → = = = = = == = .

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z

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(x,y) (a,b) x a _{( , ) ( , )} y b y= (x) _{( )}

lim f(x, y)= lim f(x, (x))= lim f(x, y) lim f(γ(y), y)=L

x y a b x y ϕ _γ ϕ → → → → → → → → → → → _→→→→ → = == = = == =

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y

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Ejemplo

Estudiar el límite en el origen de la función

2

5 2

x y f(x, y)=

x +y . Se pide estudiar la existencia de

2 5 2 ( , ) (0,0) x y lim x +y x y →→→→ .

Calculemos primero los límites direccionales según las rectas que pasan por el origen, que tienen por ecuación y = mx

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José R. arro

el origen, que tienen por ecuación y = mx

2 5 2 2 3 2 x 0 x 0 x mx mx lim = lim =0 x +m x x +m → → → → → → → → , para cualquier m.

Calculemos ahora el límite a lo largo de la trayectoria y = x3, que pasa por (0, 0) 0 0 5 5 6 x 1 lim lim =1 1+x x +x x→→→→ ==== x→→→→ .

Como los límites obtenidos son distintos podemos afirmar que no existe el límite en el origen de la función dada.

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Límites

Gráfica de la función

2 5 2 x y z= x +y

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Ejemplo Estudiar el 0 0 2 2 2 ( , ) ( , ) y lim x +y x y →→→→ , calculándolo en su caso.

Calculemos los límites direccionales según las rectas y = mx

0 0 0

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

m x m x m |x|

lim lim lim =0

x +m x |x| 1+m 1+m

x→→→→ ==== x→→→→ ==== x→→→→

Como los límites obtenidos no dependen de m, es posible que el límite valga 0.

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José R. arro

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.

José R. arro

Intentemos demostrar que es 0 aplicando la definición de límite En este caso L = 0, luego se debe probar que

2 2 2 y | -0| x +y ε < < < < , siempre que 2 2

(x-0) +(y-0) <δ ,es decir, dado ε ,debe determinarse δ en función de ε .

2 2 2 2 2 2 2 y |y| | |= |y|= y x +y <δ x x +y ( ) +1 y ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ , luego tomando δ ====ε , queda

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Gráfica de la función 2 2 2 y z= x +y

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Ejercicio Estudiar el 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 5(x-1) (y-2) lim (x-1) +(y-2) x y →→→→ , calculándolo en su caso.

Límites

2 2 2 5(x-1) (y-2) z= (x-1) +(y-2) José R. arro

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José R. arro

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.

Consideremos la función z = f(x, y), si fijamos la variable x, f se convierte en una función solo de y, entonces tiene sentido el lim f(x, y)

y→→→→b , que llamamos:

f1(x) = lim f(x, y)

y→→→→b .

Análogamente, fijando y , f se convierte en una función de x, y tiene sentido llamar: f2(y) = lim f(x, y) x→→→→a .

Límites reiterados

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.

f2(y) = lim f(x, y) x→→→→a .

Si a su vez calculamos los límites de f1(x) y de f2(y), se obtienen los llamados límites reiterados o sucesivos en el punto (a, b), que son

1 2

lim ( ) lim(lim ( , )), lim ( ) lim(lim ( , ))

x→→→→a f x ==== x→→→→a y→→→→b f x y y→→→→b f x ==== y→→→→b x→→→→a f x y

Dichos límites, en general, no tienen por que coincidir entre si, ni con el lim f(x, y)

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.

_Ejemplo

Hallemos los límites reiterados de

3 3 3 x+y-2 f(x, y)= x +y -2 en el punto (1, 1). 0 0 3 2 3 _{(x -1)} x+y-2 x-1 1

lim(lim )==== lim ==== ==== lim ==== lim ====

Límites reiterados

José R. arro

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s

.

José R. arro 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2 3 3 3 3 3 2 3 x+y-2 x-1 1

lim(lim ) lim lim lim

1 3x x x +y -2 x -1 3 _{(x -1)} x→→→→ y→→→→ ==== x→→→→ ==== ==== x→→→→ ==== x→→→→ ==== 1 1 1 1 1 0 0 0 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 3 (y -1) x+y-2 y-1 1

lim(lim ) lim lim lim

1 3y x +y -2 -1 3 _{(y -1)} y x y y y _y y → → → → → →→ →→ →→ →→ →→ → → ==== → ==== ==== → ==== → ====

In

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C

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ia

b

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r

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le

s

.

_{Una aplicación útil de los límites reiterados la da el siguiente:}

Teorema

Sea f : D⊂⊂⊂⊂R2 →→→→ R, (a, b) ∈∈∈∈ R2, si los límites

f (x)₁ ==== lim f(x, y), f (y)₂ ==== lim f(x, y), existen y existe lim f(x, y) = L,

Límites reiterados

In

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.

f (x)₁ lim f(x, y), f (y)₂ lim f(x, y), y→→→→b x→→→→a = = = = = = = = existen y existe ( x, y)lim→→→→(a, b)f(x, y)= L,

entonces existen los límites reiterados y coinciden con L.

Los límites reiterados pueden existir y ser distintos, lo que significaría que no que no existe

In

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s

.

Ejemplo Estudiemos el 0 0 2 2 2 2 ( , ) ( , ) x -y lim x +y

x y →→→→ , utilizando los límites reiterados.

0 0 0 0 0 0

1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x -y x x -y -y

lim(lim ) lim( ) , lim(lim ) lim( )

x +y x x +y y x→→→→ y→→→→ ==== x→→→→ ==== y→→→→ x→→→→ ==== y→→→→ = −= −= −= − . Luego no existe el 2 2 x -y lim .

Límites reiterados

José R. arro

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s

.

José R. arro Luego no existe el 0 0 2 2 ( , )x ylim→→→→( , ) _{x +y} . 2 2 2 2 x -y z= x +y

In

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.

Los límites reiterados pueden existir, ser iguales, y no existir

( x, y)lim→→→→(a, b)f(x, y): Ejemplo:

Estudiemos

0

( x, y)lim→→→→(0, )f(x, y), utilizando los límites reiterados y siendo

2 2 xy si (x, y) (0, 0) x +y f(x, y) 0 si (x, y)=(0, 0)    ≠ ≠ ≠ ≠    = == =       

Límites reiterados

In

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.

0 si (x, y)=(0, 0)       0 0 2 2 0 xy lim(lim ) lim 0=0 x +y x→→→→ y→→→→ ==== x→→→→ , 0 0 2 2 0 xy lim(lim ) lim 0=0 x +y y→→→→ x→→→→ ==== y→→→→ .

Luego los límites reiterados existen y valen 0.

Estudiemos el límite direccional según las rectas y = mx 2

In

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.

Puede existir el límite

0

( x, y)lim→→→→(0, )f(x, y) sin que exista alguno o ninguno de los límites reiterados.

Ejemplo.

Estudiar el

0

( x, y)lim→→→→(0, )f(x, y) y, los límites reiterados, siendo 0 0 y si x f(x, y) -y si x > > > >    = == =  ≤ ≤≤ ≤   

Límites reiterados

José R. arro

In

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s

.

José R. arro

Probemos que el límite es 0 utilizando la definición.

Dado _{ε >>>>} 0_{, |f(x, y)-0|<<<<ε} ⇒⇒⇒⇒_{| y|<<<<ε , esto se debe cumplir tomando un δ}

conveniente que verifique x +y2 2 <<<<δ, como |y|= y2 ≤≤≤≤ x +y2 2 <<<<δ , se pue-de tomar δ ====ε , luego se ha probado que el límite es 0.

Calculemos los límites reiterados

0 0

lim f(x, y)=y, lim f(x, y)=-y

x→→→→ ++++ x→→→→ −−−−

luego para y≠≠≠≠0, no existe

x 0 lim f(x, y) → → → →

por tanto tampoco existe el límite reiterado lim(lim f(x, y))

→ →

In

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s

.

En ciertos casos se puede simplificar el estudio del límite de una función mediante la utilización de coordenadas polares, ya empleadas en la representación de núme-ros complejos.

Recordemos que si (x, y) son las coordenadas cartesianas de un punto P del plano, entonces sus coordenadas polares ( , )ρ θ verifican

x=ρcosθ y=ρsenθ

donde ρ, representa la distancia de P al origen de coordenadas O, y θ es el ángulo entre OP y la dirección positiva de eje OX.

Uso de coordenadas polares

In

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.

x=ρcosθ

y=ρsenθ

In

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s

.

Uso de coordenadas polares

Si sustituimos x, y por sus expresiones en polares, la función z = f(x,y) toma la forma:

z=f(ρcosθ, ρsenθ) . Se verifica el siguiente

Teorema (Criterio de la función mayorante) Una condición necesaria y suficiente para que exista

0 0

( , )x ylim→→→→( , )f(x, y)=L, es que la

expresión |f(ρcosθ, ρsenθ)-L| esté acotada por una función F( ρ ), para cualquier

José R. arro

In

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s

.

José R. arro

expresión |f(ρcosθ, ρsenθ)-L| esté acotada por una función F( ρ ), para cualquier valor deθ, cumpliéndose además que

0 lim F(ρ)=0 ρ ++++ → →→ → . Ejemplo

Demostrar, utilizando el criterio anterior que

0 0 3 2 2 2 ( , ) ( , ) x +2xy lim =0 x +y x y→→→→ . La expresión a acotar es 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 ρ cos θ+2ρ cosθsen θ | -0|=|ρcos θ+2ρcosθsen θ| ρ cos θ+ρ sen θ ≤≤≤≤ 3 2

|ρcos θ|+|2ρcosθsen θ|≤≤≤≤ ρ+2ρ=3ρ=F(ρ), luego

0 lim F(ρ)=0 ρ ++++ → → → → , como se quería demostrar.

In

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.

Uso de coordenadas polares

Ejercicio

Demostrar el resultado anterior utilizando la definición de límite.

In

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.