TESIS DE MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL

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EFECTOS DE LOS DIFERENTES CRITERIOS DE AUTO-LIMPIEZA SOBRE EL RESULTADO FINAL DE UN DISEÑO OPTIMIZADO DE REDES DE

ALCANTARILLADO EN SISTEMAS DE DRENAJE URBANO

Presentado por: Manuel Felipe Pérez Pava

Asesor: Juan G. Saldarriaga Valderrama

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C. DICIEMBRE DE 2016

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AGRADECIMIENTOS

A Dios y la vida, por darme la oportunidad y el privilegio de estudiar. A mis padres, por su apoyo incondicional en todos los momentos de mi vida. A mis hermanas, por su compañía y cariño brindado. A Claudia, Antonia y Manuela, por el tiempo y los momentos sacrificados. Al profesor Juan G. Saldarriaga, por su total disponibilidad en la asesoría de la tesis.

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“Los retos hacen que la vida sea interesante, superarlos es lo que hace que

la vida tenga sentido”

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TABLA DE CONTENIDO 1 INTRODUCCIÓN ... 1 1.1 JUSTIFICACIÓN ... 2 1.2 OBJETIVOS ... 3 1.2.1 Objetivo General ... 3 1.2.2 Objetivos Específicos ... 3 1.3 METODOLOGÍA ... 4 2 MARCO TEÓRICO ... 5

2.1 TIPOS DE SISTEMAS DE ALCANTARILLADO ... 5

2.1.1 Sistemas convencionales ... 5

2.1.2 Sistemas no convencionales ... 5

2.1.3 Sistemas in situ ... 6

2.2 ECUACIONES BÁSICAS DE DISEÑO ... 6

2.3 CRITERIOS DE AUTOLIMPIEZA ... 8

2.3.1 Esfuerzo cortante ... 8

2.3.2 Velocidad de flujo ... 10

2.4 CARACTERÍSTICAS DE LOS SEDIMENTOS ... 11

2.4.1 Características físicas y químicas ... 11

2.4.2 Implicaciones hidráulicas ... 13

2.4.3 Movimiento de los sedimentos ... 14

2.5 METODOLOGÍAS DE DISEÑO EXISTENTES ... 15

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2.5.2 Movimiento de sedimentos existentes en el lecho de la tubería ... 17

2.5.3 Pendiente de energía ... 17

2.6 MÉTODO DE DISEÑO CIRIA ... 17

2.6.1 Procedimiento de diseño ... 18

2.7 PARÁMETROS DE DISEÑO EXISTENTES ... 20

3 METODOLOGÍA DISEÑO OPTIMIZADO SISTEMAS DE ALCANTARILLADO... 22

3.1 FUNCIÓN DE COSTOS EMPLEADA ... 22

3.2 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA ... 24

3.3 ALGORITMO DE BELLMAN-FORD ... 25

3.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ... 25

3.4.1 Datos de entrada ... 25

3.4.2 Modelaje del grafo ... 26

3.4.3 Variables de decisión ... 28

3.4.4 Función objetivo ... 28

4 ANÁLISIS FUNCIÓN DE COSTOS ... 30

4.1 FUNCIÓN DE COSTOS ALTERNA ... 31

4.2 ANÁLISIS VARIACIÓN FUNCIÓN DE COSTOS ... 32

4.3 ANÁLISIS FUNCIÓN DE COSTOS ALTERNA ... 36

4.3.1 Resultados escenario 1 ... 36

4.3.2 Resultados escenario 2 ... 38

5 LÍMITES DE APLICACIÓN CRITERIOS DE AUTOLIMPIEZA ... 41

5.1 ESCENARIO 1, CAUDALES ALTOS ... 41

5.1.1 Condiciones ... 41

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5.2 ESCENARIO 2, CAUDALES MEDIOS ... 43

5.2.2 Resultados ... 43

5.3 ESCENARIO 3, CAUDALES BAJOS ... 49

5.3.2 Resultados ... 49

6 RELEVANCIA OPTIMIZACIÓN SISTEMAS DE ALCANTARILLADO EN COLOMBIA 57 6.1 ÍNDICES DE MORTALIDAD INFANTIL ... 57

6.2 COSTOS DE INVERSIÓN ... 58

6.3 DISTRIBUCIÓN DE POBLACIÓN... 59

6.4 GENERACIÓN CAUDALES DE AGUA RESIDUAL ... 61

6.5 CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE ALCANTARILLADO ... 62

7 DETERMINACIÓN CONDICIONES LÍMITES DE DISEÑO PARA CAUDALES BAJOS 65 7.1 METODOLOGÍA PARA DETERMINACIÓN DE CONDICIONES LÍMITES DE DISEÑO ... 65

7.1.1 Condiciones técnicas ... 66

7.1.2 Condiciones hidráulicas ... 67

7.2 RESULTADOS DISEÑO SERIES DE TUBERÍAS CON Hmax 5.0m ... 67

7.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS DISEÑO SERIES DE TUBERÍAS CON Hmax 5.0 m . 75 7.4 ANÁLISIS DE COSTOS DISEÑO SERIES DE TUBERÍAS CON Hmax 5.0 m... 79

7.5 ANÁLISIS DE RESULTADOS VARIACIÓN ALTURA MÁXIMA DE INSTALACIÓN H=3.0 m ... 84

7.6 ANÁLISIS DE COSTOS DISEÑO SERIES DE TUBERÍAS CON Hmax 3.0 m... 93

8 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ... 98

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Propiedades geométricas de una tubería circular fluyendo parcialmente llena. (Duque V., 2013) ... 6 Figura 2. Volumen de control en una tubería circular a flujo libre, (Barrera T., 1996) ... 9 Figura 3. Relaciones geométricas para tuberías circulares, (Barrera T., 1996) ... 10 Figura 4. Depósitos de sedimentos típicos en un alcantarillado, (Butler & Davies, 2000) ... 12 Figura 5. Proyección del trapecio que produce el área excavada para una tubería de alcantarillado, (Duque V., 2013) ... 24 Figura 6. Conjunto de nodos que pertenecen a un mismo pozo de inspección, (Duque V., 2013)... 26 Figura 7. Representación de un arco (𝐯𝐢𝐤, 𝐯𝐢𝐤 + 𝟏), (Duque V., 2013) ... 27 Figura 8. Representación de un tramo de alcantarillado, (Duque V., 2013) ... 27 Figura 9. Metodología para el diseño optimizado de series de tramos de alcantarillado, (Duque V., 2013) ... 30

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ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 1. Efecto de sedimentos depositados en lecho de la tubería sobre la capacidad

de transporte, (Butler & Davies, 2000) ... 13

Gráfica 2. Velocidades mínimas de diseño basado método simplificado CIRIA, tomado de (Butler & Davies, 2000) ... 19

Gráfica 3. Perfil de diseño con base a tres tipos de costos ... 34

Gráfica 4. Relaciones d/D de diseño obtenidas con base a tres tipos de costos ... 34

Gráfica 5. Diámetros de diseño obtenidos con base a tres tipos de costos ... 35

Gráfica 6. Valores esfuerzo cortante de diseño obtenidos con base a tres tipos de costos ... 35

Gráfica 7. Perfil de diseño ecuaciones de costos 1 y 2, escenario 1... 37

Gráfica 8. Pendientes de diseño ecuaciones de costos 1 y 2, escenario 1 ... 37

Gráfica 9. Diámetros de diseño ecuaciones de costos 1 y 2, escenario 1 ... 38

Gráfica 10. Perfil de diseño ecuaciones de costos 1 y 2, escenario 2 ... 39

Gráfica 11. Pendientes de diseño ecuaciones de costos 1 y 2, escenario 2 ... 39

Gráfica 12. Diámetros de diseño ecuaciones de costos 1 y 2, escenario 2 ... 40

Gráfica 13. Velocidades de flujo escenario 1, caudales altos... 42

Gráfica 14. Esfuerzos cortantes escenario 1, caudales altos ... 42

Gráfica 15. Distribución velocidades de flujo escenario 2 criterio de diseño v=0.30 m/s, caudales medios ... 44

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Gráfica 18. Distribución esfuerzos cortantes escenario 2 criterio de diseño τ=1.0 Pa,

caudales medios ... 45

Gráfica 19. Distribución esfuerzos cortantes escenario 2 criterio de diseño τ=1.20 Pa, caudales medios ... 46

Gráfica 20. Distribución esfuerzos cortantes escenario 2 criterio de diseño τ=1.50 Pa, caudales medios ... 46

Gráfica 21. Perfiles de diseño a cota batea escenario 2, pendiente terreno 0.1% ... 47

Gráfica 25. Distribución velocidades de flujo escenario 3 criterio de diseño v=0.30 m/s, caudales bajos ... 50

Gráfica 28. Distribución esfuerzos cortantes escenario 3 criterio de diseño τ=1.0 Pa, caudales bajos ... 51

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Gráfica 36. Perfiles de diseño a cota batea escenario 3, pendiente terreno 0.9% ... 55 Gráfica 37. Porcentajes de cobertura sistema de alcantarillado en Colombia, (Comisión de Regulación de Agua Potable y Saneamiento Básico, CRA, 2014) ... 58 Gráfica 38. Recursos destinados para sector de agua potable y saneamiento básico, (Sánchez Torres & Vega Carvajal, 2014) ... 59 Gráfica 39. Estimación QMH de agua residual, niveles de complejidad Bajo y Medio .... 62

Gráfica 40. Distribución de tuberías de alcantarillado por edad para el Estado de California, (California Environmental Protection Agency) ... 64 Gráfica 41. Diámetro de tuberías, diseño serie de 30 tramos con pendiente terreno del 0.0%, criterio de autolimpieza τ= 1.0 Pa y Hmax 5.0 m ... 70

Gráfica 42. Diámetro de tuberías, diseño serie de 30 tramos con pendiente terreno del 0.10%, criterio de autolimpieza τ= 1.0 Pa y Hmax 5.0 m ... 70

Gráfica 45. Delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza v= 0.45 m/s y Hmax 5.0 m ... 73

Gráfica 46. Delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza τ= 1.0 Pa y Hmax 5.0 m ... 73

Gráfica 47. Delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza τ= 1.0 Pa - pendientes terreno ≥ 0.20% y Hmax 5.0 m ... 74

Gráfica 48. Delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza τ= 1.50 Pa y Hmax 5.0 m... 74

Gráfica 50. Esfuerzos cortantes, diseño series de 30 tramos pendientes terreno 0.0% y 0.10%, criterio de autolimpieza v=0.45 m/s y Hmax 5.0 m ... 77

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Gráfica 51. Factor incremento de costos diseño optimizado en series de 5 tuberías con Hmax= 5.0 m ... 81

Gráfica 57. Diámetro de tuberías, diseño series de 20 tramos con pendiente terreno del 0.0%, criterio de autolimpieza v=0.45 m/s y Hmax 3.0 m ... 85

Gráfica 58. Diámetro de tuberías, diseño serie de 20 tramos con pendiente terreno del 0.0%, criterio de autolimpieza τ=1.0 Pa y Hmax 3.0 m... 87

Gráfica 59. Diámetro de tuberías, diseño serie de 30 tramos con pendiente terreno del 0.10%, criterio de autolimpieza τ=1.0 Pa y Hmax 3.0 m ... 88

Gráfica 62. Delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza v=0.45 m/s - pendientes terreno ≥ 0.20% y Hmax 3.0 m ... 91

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ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Características físicas y químicas de los sedimentos depositados de acuerdo a su localización dentro de la tubería, (Butler & Davies, 2000) ... 12 Tabla 2. Pendientes mínimas recomendadas en alcantarillados. Tomado de (Montes, 2015) ... 16 Tabla 3. Pendientes mínimas recomendadas en alcantarillados sanitarios, (Metcalf & Eddy, INC., 1995) ... 16 Tabla 4. Características y aplicabilidad sedimentos típicos en alcantarillados, método simplificado CIRIA, tomado de (Butler & Davies, 2000)... 19 Tabla 5. Criterios de diseño, (autolimpieza), sistemas de alcantarillado en América Latina ... 20 Tabla 6. Criterio de velocidad mínima, (Vongvisessomjai, Tingsanchali, & Babel) ... 21 Tabla 7. Criterio de esfuerzo cortante mínimo, (Vongvisessomjai, Tingsanchali, & Babel) ... 21 Tabla 8. Conformación topológica red de tuberías en serie para análisis función variación de costos ... 32 Tabla 9. Diámetros comerciales empleados para pruebas tuberías en serie, tomado de (PAVCO, 2016) ... 33 Tabla 10. Costos totales de diseño, funciones de costos 1 y 2 ... 40 Tabla 11. Costos de diseño escenario 3, caudales bajos ... 56 Tabla 12. Asignación del nivel de complejidad, (Reglamento Técnico Del Sector de Agua potable y Saneamiento Básico, RAS-2000, Titulo A) ... 60 Tabla 13. Distribución poblacional urbana año 2015 con base al nivel de complejidad ... 60 Tabla 14. Distribución típica tamaños de tuberías sistemas de alcantarillado en ciudades de los Estados Unidos, (Metcalf & Eddy, INC., 1995) ... 63

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Tabla 15. Valores delta de caudal promedio en L/s, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza v= 0.45 m/s y Hmax 5.0 m ... 68

Tabla 16. Valores delta de caudal promedio en L/s, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza τ= 1.0 Pa y Hmax 5.0 m ... 69

Tabla 17. Valores delta de caudal promedio en L/s, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza τ = 1.50 Pa y Hmax 5.0 m ... 71

Tabla 18. Valores caudal total diseño series de 30 tramos (L/s) para los tres criterios de autolimpieza con Hmax 5.0 m ... 76

Tabla 19. Factor de incremento entre deltas de caudal (L/s) obtenidos para diseños con criterio v=0.45 m/s y τ= 1.0 Pa ... 78 Tabla 20. Factor de incremento entre deltas de caudal (L/s) obtenidos para diseños con criterio v=0.45 m/s y τ= 1.50 Pa ... 78 Tabla 21. Factor de incremento entre deltas de caudal (L/s) obtenidos para diseños con criterio τ= 1.0 Pa y τ= 1.50 Pa... 78 Tabla 22. Incremento de costos diseño optimizado series de tuberías entre criterios v=0.45 m/s y τ=1.0 Pa para Hmax= 5.0 m ... 80

Tabla 23. Incremento de costos diseño optimizado series de tuberías entre criterios v=0.45 m/s y τ=1.50 Pa para Hmax= 5.0 m ... 80

Tabla 24. Valores delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza v= 0.45 m/s y Hmax 3.0 m ... 85

Tabla 25. Incremento fraccional delta de caudal promedio entre diseños series de tuberías con Hmax 3.0 m y Hmax 5.0 m, criterio de autolimpieza v= 0.45 m/s ... 86

Tabla 26. Valores delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza τ= 1.0 Pa y Hmax 3.0 m ... 87

Tabla 27. Incremento fraccional delta de caudal promedio entre diseños series de tuberías con Hmax 3.0 m y Hmax 5.0 m, criterio de autolimpieza τ= 1.0 Pa ... 88

Tabla 28. Valores delta de caudal promedio, diseño series de tuberías con criterio de autolimpieza τ= 1.50 Pa y Hmax 3.0 m... 89

Tabla 29. Incremento fraccional delta de caudal promedio entre diseños series de tuberías con Hmax 3.0 m y Hmax 5.0 m, criterio de autolimpieza τ= 1.50 Pa ... 91

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ÍNDICE DE ECUACIONES

Ecuación 1. Ángulo generado por el ancho de la superficie, (Saldarriaga, 2008) ... 7

Ecuación 2. Área mojada sección transversal, (Saldarriaga, 2008) ... 7

Ecuación 3. Perímetro mojado sección transversal, (Saldarriaga, 2008) ... 7

Ecuación 4. Radio hidráulico, (Saldarriaga, 2008) ... 7

Ecuación 5. Ancho de la superficie, (Saldarriaga, 2008) ... 7

Ecuación 6. Profundidad hidráulica, (Saldarriaga, 2008) ... 7

Ecuación 7. Ecuación de Manning, (Saldarriaga, 2008) ... 8

Ecuación 8. Darcy-Weisbach en conjunto con Colebrook – White, (Saldarriaga, 2008) . 8 Ecuación 9. Deducción para expresar el esfuerzo cortante, (Barrera T., 1996) ... 9

Ecuación 10. Relación entre esfuerzo cortante mínimo y velocidad crítica de erosión, (Butler & Davies, 2000) ... 14

Ecuación 11. Costos por metro lineal de tubería, (Duque V., 2013) ... 22

Ecuación 12. Costos por metro lineal de excavación, (Duque V., 2013) ... 23

Ecuación 13. Calculo volumen de excavación, (Duque V., 2013) ... 23

Ecuación 14. Costos de construcción por metro lineal de tubería en sistemas de alcantarillado, (Duque V., 2013) ... 24

Ecuación 15. Representación problema ruta más corta, (Duque V., 2013) ... 25

Ecuación 16. Pendiente asociada al arco, (Duque V., 2013) ... 28

Ecuación 17. Variable de decisión, (Duque V., 2013)... 28

Ecuación 18. Función objetivo, (Duque V., 2013) ... 28

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Ecuación 20. Costos de construcción de alcantarillado bajo un modelo pseudo lineal, (Maurer, et al., 2012) ... 31 Ecuación 21. Costos profundidad relativa en función del diámetro de la tubería, (Maurer, et al., 2012) ... 31 Ecuación 22. Costos fijos en función del diámetro de la tubería y la superficie de cobertura, (Maurer, et al., 2012) ... 31 Ecuación 23. Estimación caudal máximo horario (QMH) de aguas residuales domesticas

... 61 Ecuación 24. Incremento de caudal por cada tramo, diseño series de tuberías ... 66

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1 INTRODUCCIÓN

El desarrollo de las civilizaciones ha estado determinado por la disponibilidad, acceso y explotación de los recursos naturales. Esto conllevo a un cambio en la forma de supervivencia, pasando de ser comunidades nómadas a establecer asentamientos de acuerdo a su vocación y a condiciones climáticas favorables para el desarrollo de la misma.

En consecuencia, uno de los principales factores que determinaron el desarrollo de las cavilaciones fue el acceso al suministro de agua y la evacuación de las aguas residuales generadas. Desde la antigua Roma, se tienen vestigios de los sistemas de desagües de las excretas, los cuales no eran de uso obligatorio dado el déficit de políticas públicas de salubridad y el respeto al derecho privado que tenían los ciudadanos sobre sus viviendas. Si bien, la concepción de sistemas de alcantarillado se emplearon inicialmente en Estados Unidos y Europa para la recolección de aguas lluvias, solo hasta el siglo XIX se inició la recolección de las aguas residuales domiciliarias. Tanto en los Estados Unidos como en Europa, (Metcalf & Eddy, INC., 1995, pág. 3), los problemas iniciales de los sistema de alcantarillado sanitario estaban ligados con la planificación de los mismos, dado que por ejemplo en Londres un gran porcentaje las redes estaba por encima de la cota de descarga de los desagües internos de las edificaciones; caso similar al presentado en Brooklyn, en donde los sistemas presentaban un pendiente promedio del 0.30% en una sección de 1.25 m de alto por 1.50 m de ancho los cuales drenaban menos de ocho hectáreas, generando bajas de velocidades de flujo y molestias en los usuarios debido a la generación de malos olores por los procesos de depuración de la materia orgánica sedimentada en las redes. Si bien, ya han pasado más de 150 años desde la creación de una de las primeras entidades encargadas de la planificación, construcción y operación de redes de alcantarillado de aguas residuales, (Metropolitan Board of Works, Londres 1855), en países en vía de desarrollo como Colombia, la gestión de los sistemas de drenaje urbano no está sujeta a una visión integral, en la cual los sistemas de recolección, (redes de alcantarillado), plantas de tratamiento de aguas residuales, (PTAR), y los efluentes o puntos de descarga, (cuerpos hídricos o suelo), sean evaluados simultáneamente con el objeto de estimar las necesidades reales de infraestructura y la optimización de los recursos públicos.

Para el caso, la presente investigación se centrara sobre el primer componente del sistema integrado de drenaje urbano, (redes de alcantarillado), y en especial sobre los efectos de los criterios de auto-limpieza en el diseño optimizado para redes de

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alcantarillado convencionales, lo cual está asociado directamente con la capacidad de transporte de sedimentos y los costos de construcción de la infraestructura.

El presente documento relaciona los criterios de autolimpieza, (velocidad y esfuerzo cortante), empelados en el diseño de redes de alcantarillado en sistemas de drenaje urbano convencionales o auto-limpiantes y su incidencia en los resultados finales, (hidráulicos y constructivos), bajo el concepto de diseño optimizado.

1.1 JUSTIFICACIÓN

El proceso de diseño de un sistema de alcantarillado no solamente involucra el dimensionamiento de la sección y su consecuente capacidad de transporte, sino que también, es ineludible verificar que se generen las condiciones para el transporte y arrastre de sólidos. De lo contrario, las probabilidades de desbordamientos y generación de malos olores aumentaran con el paso del tiempo debido a los procesos de sedimentación, obstrucción y degradación de la materia orgánica acumulada. Si bien los sistemas de alcantarillado pueden llegar a presentar comportamientos impredecibles o anómalos debido materiales de gran tamaño que ingresen al sistema y que a su vez lleguen a generar afectaciones en la prestación del servicio, la mayor parte del tiempo de operación transitan caudales cuya composición típica, (aguas residuales o lluvias), permite el arrastre de los sólidos susceptibles de sedimentar. En consecuencia, la mayoría de los países exigen a los diseñadores el cumplimiento de por lo menos alguno de los criterios de auto limpieza, los cuales varían de acuerdo al tipo de sistema a diseñar, (sanitario o pluvial), y el valor del criterio asumido por cada región.

Debido a que la velocidad de flujo y el esfuerzo cortante dependen del tipo de fluido, la pendiente hidráulica y el radio hidráulico, los costos de construcción de las redes de alcantarillado pueden llegar a incrementarse en caso de exigirse criterios de autolimpieza más restrictivos, y aún más, en los puntos de arranque de los alcantarillados donde los caudales suelen ser bajos y no constantes.

Lo anterior, es susceptible de análisis y verificación en razón a varios componentes: a) costos de construcción, estos deben evaluarse de forma general y no puntual, es decir, que tanto incide el cumplimiento de los criterios de autolimpieza sobre el global de los costos y no sobre un tramo en particular. b) capacidad técnica y económica de los operadores, debido a que se establece un límite sobre la profundidad máxima de instalación de las redes para evitar la construcción y operación de estaciones de bombeo, lo que conllevaría al incumplimiento de los criterios de diseño, (técnicos e hidráulicos). c) métodos de diseño, en razón al empleo de ecuaciones que no cubren

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todo el rango del flujo turbulento desde hidráulicamente liso hasta hidráulicamente rugoso y la falta de acceso a metodologías que permitan el diseño de las redes de forma optimizada.

Con base a lo anterior, es pertinente evaluar los efectos que tienen los criterios de autolimpieza, de acuerdo a los valores establecidos en la literatura, bajo el concepto de diseño optimizado de redes alcantarillado en condiciones variables de caudal y topografía.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo General

Determinar los efectos que genera los criterios de diseño de autolimpieza, (velocidad y esfuerzo cortante), sobre los resultados finales de un diseño optimizado de redes de alcantarillado en sistemas de drenaje urbano.

1.2.2 Objetivos Específicos

 Realizar una revisión del estado del arte sobre los conceptos básicos asociados a tipos de alcantarillados, transporte de sedimentos, velocidad de flujo, esfuerzo cortante y ecuaciones de diseño.

 Revisar los criterios de autolimpieza empelados en las normas de diferentes países para el diseño de sistemas de alcantarillado.

 Realizar un análisis de sensibilidad de la función de costos sobre la metodología de diseño optimizado en redes alcantarillado.

 Establecer los límites en los cuales los criterios de autolimpieza no son determinantes en los resultados finales de un diseño optimizado en redes de alcantarillado.

 Concluir acerca de los resultados encontrados sobre los diseños de sistemas de alcantarillado en los cuales se encuentre una alta incidencia de los criterios de autolimpieza y sus posibles límites de aplicabilidad.

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1.3 METODOLOGÍA

Se propone como metodología de investigación la siguiente secuencia de pasos con el ánimo de ejecutar los objetivos propuestos:

 Revisión bibliográfica: revisión del estado del arte correspondiente a los conceptos asociados a tipos de sistemas de alcantarillado, comportamiento de los sedimentos, velocidad de flujo, esfuerzo cortante, ecuaciones de diseño y criterios de autolimpieza empleados por distintos países para el diseño de alcantarillados convencionales. Para el caso, se hará énfasis en los valores recomendados de velocidad y esfuerzo cortante más recomendados o empleados en la literatura que garanticen autolimpieza en los sistemas de alcantarillado y que a su vez establezcan de forma preliminar su incidencia en los resultados hidráulicos y técnicos en un diseño de redes de alcantarillado.  Análisis de sensibilidad función de costos y criterios de autolimpieza: se

realizara una descripción detallada sobre la metodología empleada para diseño optimizado en tuberías de alcantarillado en serie desarrollada por Natalia Duque, (2013). Posteriormente se realizara un análisis de sensibilidad sobre la función de costos apropiada en la metodología de diseño optimizado, para la cual se cambiara esta función a fin de velicar su incidencia sobre los resultados. Por otra parte, se determinaran los límites en los cuales los criterios de autolimpieza no son determinantes en el diseño optimizado de redes de alcantarillado. Para esto, se plantearan una serie de diseños con distintos escenarios en las cuales se varíen los caudales de diseño, topografía del sistema, diámetros y materiales de las redes.

 Análisis de sensibilidad límites de aplicación: una vez determinados los límites en los cuales se encuentre una alta incidencia de los criterios de autolimpieza sobre el diseño de redes de alcantarillado, se evaluaran el comportamiento de las variables hidráulicas, constructivas y costos finales en una serie de diseños en las cuales se varíen los caudales de diseño, topografía y materiales de las redes.

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2 MARCO TEÓRICO

A continuación se presenta de forma general los conceptos asociados a tipos de sistemas de alcantarillado, ecuaciones de diseño, criterios de autolimpieza, comportamiento de los sedimentos y criterios de autolimpieza empleados por distintos países para el diseño de alcantarillados convencionales

2.1 TIPOS DE SISTEMAS DE ALCANTARILLADO

De acuerdo a lo establecido en el Reglamento Técnico Del Sector de Agua potable y Saneamiento Básico, RAS-2000, Titulo D, los sistemas de recolección y transporte de aguas residuales y/o lluvias se clasifican de acuerdo con su naturaleza en los siguientes tipos: sistemas convencionales de alcantarillado, sistemas no convencionales de alcantarillado y sistemas in situ.

2.1.1 Sistemas convencionales

Este es el sistema más utilizado para la recolección y conducción de las aguas residuales y pluviales. Pueden clasificarse en tres tipos: sanitario, exclusivo para la recolección de aguas residuales generadas por la actividad humana; pluvial, empleado solamente para la recolección de aguas lluvias superficiales; y combinado, en los cuales tanto las aguas residuales como las aguas lluvias son recolectadas y transportadas por el mismo sistema de tuberías. Se caracterizan por ser instalados generalmente en la parte central de calles y avenidas, cambios de dirección por medio de pozos de inspección, diámetros mínimos de tuberías, (200 mm para sanitario y 250 mm para pluvial y combinado, 160 mm para acometidas domiciliarias), y profundidades mínimas de instalación a cota clave de la tubería, (1.20 m para zonas vehiculas, 0.75 m a para zonas verdes y peatonales). Los criterios de diseño son rígidos, lo cual hace que los costos de construcción sean considerables.

2.1.2 Sistemas no convencionales

Estos sistemas son utilizados para localidades con baja capacidad económica baja debido a que usualmente los alcantarillados convencionales representan altos costos de construcción y mantenimiento. Dentro de estos sistemas se destacan los alcantarillados simplificados, los alcantarillados condominiales y los alcantarillados sin arrastre de sólidos. La principales diferencias con respecto a los sistemas convencionales radica en el empleo de tuberías de diámetros menores, (≤ 160 mm), cambios de dirección por medio de accesorios y cajas de inspección, áreas tributarias de servicio limitadas, (por ejemplo condominios), y profundidades de excavación menores. Para el caso de los sistemas sin arrastre de sólidos, no es necesario el

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cumplimento de los criterios de autolimpieza debido a que las acometidas incorporan tanques interceptores de sólidos.

2.1.3 Sistemas in situ

Se basan en la disposición in situ de las aguas residuales en sistemas como letrinas, pozos sépticos y campos de riego, los cuales son de muy bajo costo y pueden ser apropiados en áreas suburbanas con baja densidad poblacional.

Para el caso de la presente investigación, los análisis y resultados estarán basados en los criterios de diseño empleados para los sistemas de alcantarillado convencionales.

2.2 ECUACIONES BÁSICAS DE DISEÑO

El diseño de sistemas de alcantarillado está basado en las ecuaciones de fuljo parcialmente lleno, dado que no es remendable diseñar y operar las redes a tubo lleno debido a los problemas asociados a la ventilación del flujo, (minimizar generación de malos olores y acumulación de gases), y desbordamientos o reboses sobre la superficie del sistema. Las variables geométricas de una tubería de sección circular dependen de la altura de la lámina y su relación con el diámetro tal como se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Propiedades geométricas de una tubería circular fluyendo parcialmente llena. (Duque V., 2013)

Donde (a) es la cota batea de la tubería; (b) es la cota clave de la tubería; (θ) el ángulo generado por el ancho de la superficie; (d) es el diámetro de la tubería; (T) es el ancho de la superficie; (A) área mojada de la sección transversal; (y) es la profundidad de

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lámina agua en la tubería y (p) perímetro mojado de la sección. Cada una de las características geométricas pueden ser calculadas por las siguientes ecuaciones.

𝜃 = 𝜋 − 2𝑠𝑒𝑛−1₍𝑌𝑛 − 𝑑/2

𝑑/2 )

Ecuación 1. Ángulo generado por el ancho de la superficie, (Saldarriaga, 2008)

𝐴 =1

8(𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃) ∗ 𝑑2

Ecuación 2. Área mojada sección transversal, (Saldarriaga, 2008)

𝑃 =𝑑 2𝜃

Ecuación 3. Perímetro mojado sección transversal, (Saldarriaga, 2008)

𝑅 =𝐴 𝑃

Ecuación 4. Radio hidráulico, (Saldarriaga, 2008)

𝑇 = 𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠 ∗ (𝑠𝑒𝑛−1₍𝑌𝑛 − 𝑑/2

𝑑/2 ))

Ecuación 5. Ancho de la superficie, (Saldarriaga, 2008)

𝐷 =𝐴 𝑇

Ecuación 6. Profundidad hidráulica, (Saldarriaga, 2008)

Con base en las propiedades geométricas es posible calcular la velocidad de flujo, haciendo uso de las ecuaciones de resistencia fluida comúnmente usadas: Manning, (Ecuación 7), y Darcy-Weisbach en conjunto con Colebrook – White, (Ecuación 8).

(25)

𝑣 =1

𝑛𝑅3/2𝑆1/2

Ecuación 7. Ecuación de Manning, (Saldarriaga, 2008)

𝑣 = −2√8𝑔𝑅𝑆𝐿𝑜𝑔10(

𝑘𝑠 14.8𝑅+

2.51𝑣 4𝑅√8𝑔𝑅𝑠)

Ecuación 8. Darcy-Weisbach en conjunto con Colebrook – White, (Saldarriaga, 2008) La ecuación de Darcy-Weisbach en conjunto con Colebrook – White es una ecuación físicamente basada para representar el flujo uniforme en diferentes tipos de ducto, y cubre todo el rango del flujo turbulento desde hidráulicamente liso hasta hidráulicamente rugoso. La ecuación de Manning es aplicable únicamente para el caso de flujo turbulento hidráulicamente rugoso, (Saldarriaga, 2008).

2.3 CRITERIOS DE AUTOLIMPIEZA 2.3.1 Esfuerzo cortante

Esfuerzo cortante, de arrastre o tangencial, es la fuerza que actúa sobre las partículas que componen el perímetro de un canal y producida por el flujo del agua sobre estas partículas, (Corcho R., 1994). Lo anterior, se puede deducir del movimiento de un pequeño volumen de control a lo largo de una distancia ΔL en una tubería inclinada, (ver Figura 2), en la cual ocurren dos fenómenos. El esfuerzo de corte contra las paredes de la tubería que tiende a frenar el flujo y la pérdida de energía potencial de posición que tiende a acelerarlo, (Barrera T., 1996).

(26)

Figura 2. Volumen de control en una tubería circular a flujo libre, (Barrera T., 1996) Donde:

 p: perímetro mojado  a: área mojada

 s: pendiente de la tubería

 τ: esfuerzo de corte promedio contra las paredes  Área en el cual actúa el esfuerzo de corte: pΔx  Magnitud de la fuerza de corte: τ(pΔx)

 Trabajo hecho por la fuerza de corte: τ(pΔx) ΔL  Volumen de agua en el Vol. De control: a Δx  Peso de agua en el Vol. De control: γ(a Δx)  Perdida de altura al recorrer: s ΔL

 Perdida de energía potencial: γ(aΔx) s ΔL

La expresión del esfuerzo cortante, (Ecuación 9), puede establecerse debido a que la energía potencial que se pierde por el cambio de posición se iguala con la energía que se pierde por fricción, (donde r equivale al radio hidráulico).

𝛾(𝛼∆𝑥) 𝑠 ∆𝐿 = 𝜏(𝑝∆𝑥)∆𝐿 𝜏 = 𝛾𝑠 𝑎

𝑝 = 𝛾𝑠𝑟

(27)

2.3.2 Velocidad de flujo

De acuerdo a lo establecido en la literatura, (Barrera T., 1996), se ha encontrado que el esfuerzo cortante suficiente para el arrastre de sedimentos se alcanza cuando la velocidad del agua es de 0.6 m/s a tubo lleno, lo cual puede generar una pendiente específica para diámetro de tubería de acuerdo a la ecuación de Manning, (ver Ecuación 7). Como se menciona, el valor de velocidad está dado para condiciones de flujo a tubo lleno, siendo pertinente calcular las características reales de flujo, (área mojada, perímetro mojado, radio hidráulico, velocidad), de acuerdo al caudal de diseño estimado. La Figura 3 muestra las relaciones geométricas para tuberías circulares, siendo posible a partir de esta, determinar los valores aproximados de las variables hidráulicas involucradas respecto a su valor a tubo lleno, (d/D, v/V, q/Q).

(28)

2.4 CARACTERÍSTICAS DE LOS SEDIMENTOS

De acuerdo a la literatura, (Butler & Davies, 2000), los sedimentos en un sistema de alcantarillado se defienden como cualquier material particulado sedimentable y que de acuerdo a las condiciones del sistema, (caudal, material, velocidad, diámetro), es capaz de formar depósitos en el lecho de las estructuras de transporte. El origen de los sedimentos es muy diverso debido a que no son sistemas cerrados, (como por ejemplo los sistemas de acueducto), y son empleados en las diversas actividades humanas o el entorno urbano, (drenaje de aguas lluvias o descargas superficiales).

2.4.1 Características físicas y químicas1

Los depósitos de los sedimentos pueden clasificarse en cuatro tipos dependiendo de su localización dentro de la tubería, (Figura 4). El tipo A y B es un material grueso, ubicado típicamente en la batea de las tuberías; presentan una densidad aparente aproximadamente de 1.800 kg/m3_{, contenido orgánico del 7% y un 6% de partículas}

con diámetros inferiores a 63 micras. El tipo C es un material fino con un contenido del 50% de material orgánico, densidad aparente de aproximadamente 1200 kg/m3_y

un 45% de partículas con diámetros inferiores a 63 micras. El tipo E es un material fino el cual puede estar localizado en cualquier parte de la tubería. Los sedimentos tipo D se localizan en las paredes de las tuberías, conformados por limos y biopeliculas, cuya presencia es común en altas concentraciones lo cual puede llegar a afectar la rugosidad de la tubería. En la Tabla 1 se relacionan las características físicas y químicas de los sedimentos depositados de acuerdo a su localización dentro de la tubería.

1_{(Butler & Davies, 2000)}

(29)

Figura 4. Depósitos de sedimentos típicos en un alcantarillado, (Butler & Davies, 2000)

Tabla 1. Características físicas y químicas de los sedimentos depositados de acuerdo a su localización dentro de la tubería, (Butler & Davies, 2000)

(30)

2.4.2 Implicaciones hidráulicas2

La presencia de sedimentos en las tuberías de los sistemas de alcantarillado genera tres efectos considerables: perdida de energía por sólidos en suspensión, reducción del área de la sección transversal y aumento de las pérdidas por fricción. Para el primero, la presencia de sólidos en suspensión en tuberías que no presentan depósitos en el lecho pueden presentar una reducción en la capacidad de descarga del 1% para tuberías de alta rugosidad, (Ackers et al., 1996); este efecto es casi despreciable debido a que la mayor pérdida de descarga lo generan los sólidos depositados en la batea de la tubería. Para el segundo efecto, la disminución de la sección de la sección transversal está relacionada con los sedimentos depositados en lecho de la tubería, lo cual puede aumentar la velocidad y la perdida de energía para un caudal y altura de lámina de agua dado; este efecto puede ser considerable en el caso que los sedimentos representen un 10% de la altura del diámetro de la tubería. El tercer efecto es el de mayor relevancia, debido al aumento de la resistencia al flujo por la textura áspera de los sólidos sedimentados, es decir, aumento de la rugosidad de la tubería, (ks), hasta un 10% del valor inicial dependiendo de las condiciones de flujo, (caudal y velocidad). En la Gráfica 1 se observa el efecto de los sedimentos depositados en lecho de la tubería sobre la capacidad de transporte de acuerdo al porcentaje de altura acumulada con respecto al diámetro de la tubería.

Gráfica 1. Efecto de sedimentos depositados en lecho de la tubería sobre la capacidad de transporte, (Butler & Davies, 2000)

(31)

2.4.3 Movimiento de los sedimentos3

El movimiento de sedimentos en sistemas de alcantarillado se establece en tres fases: arrastre, transporte y depósito.

2.4.3.1 Arrastre

A medida que las aguas residuales fluyen sobre un lecho de sedimentos, las fuerzas hidrodinámicas y de arrastre ejercen una fuerza sobre los sedimentos, las cuales pueden generar arrastre encaso que estas superen las que determinan la presencia de sedimentos en el lecho de la tubería, (enclavamiento y cohesión). No todas las partículas son desprendidas dado que en la frontera flujo/sedimentos se desprenden y se mueven partículas al mismo tiempo a causa del flujo turbulento y las variaciones en la velocidad. La condición límite en la cual el movimiento de partículas es despreciable se encuentra definida en términos del esfuerzo cortante mínimo y la velocidad crítica de erosión, (ver Ecuación 10).

τ0 =

ρλv𝑣𝑒2

8

Ecuación 10. Relación entre esfuerzo cortante mínimo y velocidad crítica de erosión, (Butler & Davies, 2000)

Donde τ0 es el esfuerzo cortante (Pa); 𝜌 la densidad del fluido (kg/m3); λ factor de

fricción de Darcy – Weisbach y 𝑣𝑒 la velocidad crítica de erosión (m/s). En alcantarillados pluviales, los sedimentos son inorgánicos y no cohesivos, contarías a las redes sanitarias debido a la presencia de grasa y lodos biológicos. La cohesión tiende a aumentar el valor del esfuerzo cortante que ejerce el flujo para iniciar el movimiento de partículas sobre la capa superficial del lecho sedimentado. De acuerdo a pruebas de laboratorio, los valores de esfuerzo cortante que debe ejercer un flujo para materiales cohesivos sintéticos es de 2.5 Pa para la zona superficial y entre 6 y 7 Pa para depósitos granulares consolidados.

2.4.3.2 Transporte

Una vez ingresan los sedimentos al sistemas estos se pueden transportar como carga en suspensión o carga de lecho. Los materiales más finos tienden a viajar como sólidos

(32)

suspensión y dependen directamente de la turbulencia en el flujo, lo cual a su vez está influenciado por el material depositado. El movimiento de estas partículas pesadas se ve afectado por la distribución local de velocidades. El material más pesado se desplazada por rodamiento o deslizamiento a lo largo de la batea de la tubería como carga de lecho. Este tipo de movimiento se ve afectado por la distribución de velocidades locales y las velocidades de advección, las cuales en este modo son considerablemente más bajas que la velocidad promedio del flujo. El modo de transporte depende de la relación entre la velocidad de corte, (U*) y la velocidad de

sedimentación, (Ws). Cuando la relación Ws/U* es mayor a 0.6 se genera suspensión,

entre 0.6 – 0.2 se genera deslizamiento y valores mayores a 2 carga de lecho.

2.4.3.3 Deposito

Si la velocidad de flujo o la turbulencia decrece, se generara una reducción en la cantidad de sedimento en estado se suspensión. Esto induce eventualmente al incremento de la carga de lecho y su altura con respecto al diámetro de la tubería debido a las bajas velocidades.

2.5 METODOLOGÍAS DE DISEÑO EXISTENTES

De acuerdo a la investigación realizada por Carlos Montes, (2015), existen tres grandes grupos para clasificar la autolimpieza en sistemas de alcantarillado: 1) No depósito de sedimentos; 2) Movimiento de sedimentos existentes en el lecho de la tubería y 3) Pendiente de energía. A continuación se presenta los criterios de diseño más relevantes para cada uno de los grupos de acuerdo a la investigación desarrollada, (Montes, 2015).

2.5.1 No – depósito de Sedimentos

Este criterio se basa en la obtención de una velocidad mínima o esfuerzo cortante minino necesario para evitar el depósito de sedimentos. Se establecieron valores de velocidad mínima entre 0.6 m/s y 0.9 m/s y de esfuerzo cortante minino entre 1.3 Pa y 12.6 Pa. De acuerdo al trabajo realizado por La Great Lakes Upper Mississippi River Board, GLUMRB, se encontraron los valores de pendiente mínima para un rango diámetros comerciales a fin de garantizar una velocidad de flujo de 0.60 m/s para un coeficiente de rugosidad de Manning de 0.013, (ver Tabla 2).

(33)

Tabla 2. Pendientes mínimas recomendadas en alcantarillados. Tomado de (Montes, 2015) Diámetro de la tubería (mm) Pendiente calculada método GLUMRB (%) Diámetro de la tubería (mm) Pendiente calculada método GLUMRB (%) 152 0.40 686 0.067 203 0.28 762 0.058 254 0.22 838 0.052 305 0.15 915 0.046 381 0.12 991 0.041 457 0.10 1067 0.037 533 0.08

Los valores mostrados en la Tabla 2 son similares a los recomendados por Metcalf & Eddy, INC., (1995), (ver Tabla 3), en los cuales se establecen los valores minimos de pendientes para alcanatrillados sanitarios en un rango de diametros comerciales con valores de manning de 0.013 y 0.015. Para ambos casos se recomienda una pendiente minima de 0.05% debido a efectos constructivos.

Tabla 3. Pendientes mínimas recomendadas en alcantarillados sanitarios, (Metcalf & Eddy, INC., 1995)

Diámetro de la

tubería (mm) Pendiente (%) n=0.013 Pendiente (%) n=0.015

200 0.33 0.44 250 0.25 0.33 300 0.19 0.26 375 0.14 0.19 450 0.11 0.15 525 0.09 0.12 600 0.08 0.10 675 0.07 0.09 750 0.06 0.08 900 0.04 0.06

(34)

2.5.2 Movimiento de sedimentos existentes en el lecho de la tubería

Para el caso, Montes (2015) relaciona los estudios desarrollados por Lysne (1969), dado fue la primera persona en utilizar el diagrama de Shields para diseñar tuberías con transporte de sedimentos, sugiriendo un valor de esfuerzo cortante mínimo de 4.0 Pa para garantizar autolimpieza en alcantarillados. Igualmente, se establecen los valores encontrados por Yao (1974), en los cuales se midió la variación del esfuerzo cortante en tuberías fluyendo parcialmente; se encontró que el esfuerzo cortante debería estar en el rango de 1.0 Pa y 4.0 Pa para garantizar autolimpieza en sistemas de alcantarillado. Se concluyó que los problemas de autolimpieza se focalizan sobre la zona de depósito de sedimentos, siendo esta aproximadamente el 10% del diámetro de la tubería.

2.5.3 Pendiente de energía

Para el caso, Montes (2015) relaciona los estudios realizados por La Sociedad Estadounidense de Ingenieros Civiles (ASCE), en la cual se recomienda diseñar los sistemas de alcantarillado con el objeto de garantizar la capacidad de transporte para el caudal máximo de diseño y condiciones de autolimpieza en épocas de caudales mínimos. Se indica que la velocidad no debe empelarse como criterio de diseño debido a que es un pobre predictor del poder de autolimpieza, y en algunos casos, puede generar pendientes mayores a las requeridas. La aplicación del método de diseño de la ASCE, (denominado Tractive Force, TF) depende principalmente del diámetro del sedimento a transportar, (típicamente 0.5 – 2.0 mm redes sanitarias), y el caudal mínimo estimado. Se recomienda como criterio de autolimpieza un esfuerzo cortante de 0.87 Pa para tamaños de partículas de 1.0 mm, (valor promedio en alcantarillados sanitarios), de acuerdo a los resultados obtenidos por la ASCE en muestras tomadas en más de 100 alcantarillados en los Estados Unidos.

2.6 MÉTODO DE DISEÑO CIRIA4

El método de diseño CIRIA, fue desarrollado para relacionar la velocidad mínima de flujo en sistemas de alcantarillado con todos los factores que interviene en el diseño de los mismos: diámetro y rugosidad de la tubería, profundidad de flujo, características de los sedimentos y la concentración y presencia de la carga de lecho.

(35)

De acuerdo con el concepto de varios autores, (Ackers et al., 1996), el concepto de un alcantarillado auto limpiante eficiente es aquel que presenta una profundidad promedio de sedimentos y un equilibrio entre las cantidades de deposición y erosión a lo largo del tiempo, en los cuales se minimiza los costos de construcción, operación y

mantenimiento. Esto indica que, el diseño de los sistemas de alcantarillado no debe

contemplarse para operar completamente libre de sedimentos depositados, en razón a que las soluciones más económicas admiten un porcentaje de depósitos.

Butler & Davies, (2000), señala que para lograr una adecuada autolimpieza los sistemas de alcantarillado deben ser diseñados para transportar una concentración mínima de partículas de diámetro fino en suspensión, materiales gruesos como la carga de lecho y partículas erosionadas cohesivas presentes en el depósito de la tubería.

2.6.1 Procedimiento de diseño

El método CIRIA, (Butler & Davies, 2000), propone dos alternativas. La primera, un procedimiento detallado basado en los tres criterios de movimiento de sedimentos5_:

transporte de carga suspendida, transporte de carga de lecho y sedimentos cohesivos depositados. Para esto es necesario identificar las características de los sedimentos, criterios de movilidad de los sedimentos a transportar, altura permisible de sedimentos depositados, tipo de sistema de alcantarillado, propiedades físicas de la tubería, entre otros. A partir de esto, se determina la velocidad mínima de flujo requerida de acuerdo a las necesidades para mover los sedimentos.

Como segunda alternativa, se propone un procedimiento simplificado en el cual se proporcionan valores estándar de sedimentos, modos de transporte y tipos de alcantarillados. En la Tabla 4 se relacionan las características y aplicabilidad para sedimentos típicos en alcantarillados. Igualmente, en la Gráfica 2 se muestran los valores de velocidad mínima de flujo de acuerdo al diámetro de la tubería para alcantarillados de aguas residuales (F), pluviales (S), criterios de transporte de carga de sedimentos medios y altas, (M – H), criterio de no depósito de sedimentos (LOD), y criterio de depósitos permisibles del 2% de la altura del diámetro de la tubería. Los autores resaltan que la metodología presenta ciertas limitaciones, debido a que los valores recomendados se basan en experimentos de laboratorio, en las cuales se simplifican las condiciones reales de flujo como el tamaño y tipo de sedimentos.

(36)

Tabla 4. Características y aplicabilidad sedimentos típicos en alcantarillados, método simplificado CIRIA, tomado de (Butler & Davies, 2000)

Gráfica 2. Velocidades mínimas de diseño basado método simplificado CIRIA, tomado de (Butler & Davies, 2000)

(37)

2.7 PARÁMETROS DE DISEÑO EXISTENTES

Los parámetros de diseño hidráulicos de las redes de alcantarillado varían de acuerdo a las necesidades y el tipo de flujo transitado por las redes; por ejemplo, Metcalf & Eddy, INC., (1995), establece que una velocidad media de flujo igual a 0.30 m/s es suficiente para evitar depositos importantes de solidos, mientras que si se desea impedir la deposisicion de minerales areanas y gravillas, la velocidad adecuada de flujo debe ser igual a 0.75 m/s. En consecuencia, los valores definidos en la literatura y en las normatividades diferencian los criterios de autolimpieza para redes de alcantarillado sanitario y pluvial, sin embargo, no existe un conceso general sobre los valores de velocidad y esfuerzo cortante a emplear como criterio de diseño, haciendo que estos varíen de acuerdo a la localidad. En la Tabla 5 se relacionan algunos de los criterios de autolimpieza empleados en el diseño de sistemas de alcantarillado en distintos de América Latina. Igualmente, en la Tabla 6 y Tabla 7 se relacionan valores de velocidad y esfuerzo cortante respectivamente, de acuerdo a la normatividad en Estados Unidos y países Europeos.

Tabla 5. Criterios de diseño, (autolimpieza), sistemas de alcantarillado en América Latina

País Norma _SistemaTipo de Velocidad _(m/s) _{Cortante (Pa)}Esfuerzo

Colombia RAS-2016 Sanitario 0.45 1.0 – 1.50 Pluvial 0.75 2.50 – 3.0 México _{Alcantarillado y Saneamiento}Manual de Agua Potable, Sanitario 0.30 -

Pluvial 0.60 - Bolivia NB 688-07 Sanitario - 1.0

Pluvial - 1.50 Ecuador CPE INEN 5 Sanitario 0.45 -

Pluvial 0.90 -

(38)

Tabla 6. Criterio de velocidad mínima, (Vongvisessomjai, Tingsanchali, & Babel)

Source Country Sewer type Minimum velocity _(m/s) _conditionsPipe flow

ASCE (1970) USA Sanitary _Storm 0.6 _0.9 Full/half full _{Full/half full} British Standart

BS 8001 (1977) UK Combined Storm 0.75 0.10 Full Full Minister of interior (1977) France Sanitary Combined Separate 0.3 0.6 0.3 Mean daily 1/10 full flow 1/100 full flow European Standard EN

752-4 (1997) Europe All sewers

0.7 once/day for Pipe D<300mm 0.7 or more if Neccessary for Pipe D>300 N/A Abwassertechnische Verreinigung ATV, Standard A 110 (1998) replaced By ATV-DVWK-Regel Werk (2001)

Germany Sanitary Storm Combined Depends on pipe diameter Ranging from 0.48 (D=150 mm) to 2.03 (D=3000 mm) 0.3 to full for 0.1 to 0.3, velocity plus 10%

Tabla 7. Criterio de esfuerzo cortante mínimo, (Vongvisessomjai, Tingsanchali, & Babel)

Source Country Sewer type Minimum shear _{stress (Pa)} _conditionsPipe flow

Lysne (1969) ASCE (1970) Yao (1974) USA USA USA Storm Sanitary 2.0-4.0 1.3-12.6 3.0-4.0 1.0-2.0 Maguire rule (CIRIA

1986) UK 6.2 Full/ half full

Lindholm (1984) Norway Combined _Separate 3.0-4.0 _2.0 Scandiaconsult

(1974) Sweden All 1.0-1.5 1.5 if sand is present Macke (1982) Germany Sanitary Storm

Combined Depends on transport capacity and concentration 0.1 to full typical combined sewers under long term

conditions Brombach et al.

(39)

En general, se observa que los valores mínimos de velocidad para redes sanitarias oscilan entre 0.30 - 0.70 m/s, mientras que para redes pluviales o combinadas varía entre 0.60 - 1.0 m/s. Igualmente, los valores mínimos de esfuerzo cortante para redes sanitarias oscilan entre 1.0 – 2.0 Pa; para redes pluviales o combinadas varía entre 1.50 – 4.0 Pa. Es de resaltar que los valores menos restrictivos de velocidad y esfuerzo cortante para el diseño de alcantarillados se relacionan en las normatividades de Latinoamérica.

3 METODOLOGÍA DISEÑO OPTIMIZADO SISTEMAS DE ALCANTARILLADO

La metodología empelada para la realización de análisis está basada en la tesis de Natalia Duque (Duque V., 2013), la cual tiene como objetivo el diseño de redes de alcantarillado bajo el concepto de problemas asociados a ruta más corta. En este tipo de problemas se abordan cuatro componentes importantes para el modelaje y solución del problema: los parámetros, las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo. Los parámetros proporcionan la información necesaria, (o conocida), que se tiene de los problemas. Las variables de decisiones son los aspectos del problema sobre los cuales el decisor tiene injerencia. Las restricciones limitan el problema estableciendo las reglas que se deben cumplir en una solución del mismo. La función objetivo guía la búsqueda de la solución que se quiere encontrar, (Duque V., 2013).

3.1 FUNCIÓN DE COSTOS EMPLEADA

Dado que el diseño optimizado de cualquier de infraestructura civil está directamente relacionado con los costos asociados a la misma, Duque Villarreal, (2013), presenta una ecuación de costos la cual está basada en estudios realizados por el Ministerio de Ambiente, Vivienda y Desarrollo Territorial, (MAVDT), el Fondo Financiero de Proyectos de Desarrollo (FONADE), y la Comisión de Regulación de Agua Potable y Saneamiento Básico, (CRA). Como resultado, se encontraron dos ecuaciones para la estimación de los costos; la primera asociada a la tuberia, (Ecuación 11) y la segunda a la exacavacion, (Ecuación 12).

𝐶 = 9579.31 ∗ 𝑘 ∗ 𝑑0.5737

(40)

Donde:

 C= costo por metro lineal de tubería a mayo de 2009 (COP/m)  d= diámetro de la tubería en milímetros

 k= factor de conversión de pesos de diciembre de 2007 a mayo de 2009. Calculo como (1+IPC2008)*(1+IPC06/2009) = 1.32

𝐶 = 1163.77 ∗ 𝑘 ∗ 𝑉1.31

Ecuación 12. Costos por metro lineal de excavación, (Duque V., 2013) Donde:

 C= costo por metro lineal de excavación a mayo de 2009 (COP/m)  V= Volumen de excavación (m3₎

 k= factor de conversión de pesos de diciembre de 2007 a mayo de 2009. Calculo como (1+IPC2008)*(1+IPC06/2009) = 1.32

El volumen de excavación se calcula de acuerdo a lo mostrado en la Ecuación 13 y la Figura 5.

𝑉 = ([𝐻 + 𝐻′

2 ] + 𝑑 + 2𝑒 + ℎ) ∗ ((2𝐵 + 2𝑒 + 𝑑) + (l ∗ cos[tan−1s ])) Ecuación 13. Calculo volumen de excavación, (Duque V., 2013) Dónde:

 𝑉 = volumen excavado para la instalación de la tubería.  𝐻 = profundidad de excavación a cota clave aguas arriba.  𝐻′ = profundidad de excavación a cota clave aguas abajo.  d = diámetro interno de la tubería.

 𝑒 = el espesor de la pared de la tubería.

 ℎ = relleno que se debe disponer bajo la tubería (0.15 m, Titulo D RAS, (2016)).  𝐵 = espacio lateral que debe dejarse a ambos lados de la tubería para instalarla.  s = pendiente de la tubería.

(41)

Figura 5. Proyección del trapecio que produce el área excavada para una tubería de alcantarillado, (Duque V., 2013)

Al simplificar los sistemas anteriores, se obtiene la ecuación de costos de construcción, (ver Ecuación 14), empleada en el algoritmo de diseño optimizado de tramos en serie para sistemas de alcantarillado, (Duque V., 2013).

𝐶 = 𝑘 ∗ (9579.31 ∗ 𝑑0.5737_{+ 1163.77 ∗ 𝑉}1.31₎

Ecuación 14. Costos de construcción por metro lineal de tubería en sistemas de alcantarillado, (Duque V., 2013)

3.2 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA

El problema de la ruta más corta pertenece a una rama de la optimización que estudia los problemas de flujo en redes. Este problema busca encontrar el camino de mínimo costo, (distancia o tiempo de recorrido), desde un nodo específico inicial hasta un nodo final. Matemáticamente, un problema de ruta más corta se define de acuerdo a lo descrito en la Ecuación 15. 𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 (𝑣𝑖,𝑣𝑗)∈𝐴 ∑ 𝑥𝑖𝑗 {𝑗|(𝑣𝑖,𝑣𝑗)∈𝐴} − ∑ 𝑥𝑖𝑗 {𝑗|(𝑣𝑖,𝑣𝑗)∈𝐴} = { 10 −1 𝑣_𝑖 ≠ 𝑣_𝑖 = 𝑣𝑠 𝑣𝑠, 𝑣𝑡 𝑣𝑖 = 𝑣𝑠 ∀𝑣_𝑖 ∈ 𝑁

(42)

𝑥_𝑖𝑗 ∈ {0,1}∀𝑣_𝑖 ∈ 𝑁, 𝑣_𝑗 ∈ 𝑁

Ecuación 15. Representación problema ruta más corta, (Duque V., 2013)

Donde, xij, es una variable binaria que toma el valor de uno si el arco (𝑖,) ∈𝐴 está en la

solución del problema, (el camino), o toma el valor de cero de lo contrario; cij es el

costo de utilizar el arco (𝑖,) ∈𝐴 en el camino; 𝑣𝑠 el nodo inicial del cual parte el camino

y 𝑣𝑡 el nodo final del camino. La primera línea de la Ecuación 15 determina la función

objetivo del problema, que en este caso es la minimización de los costos; la segunda línea determina las restricciones que garantizan que un camino parta del nodo

𝑣

𝑠 y llegue al nodo

𝑣

𝑡; la última línea establece la naturaleza binaria de las variables, (Duque V., 2013).

3.3 ALGORITMO DE BELLMAN-FORD

Duque, (2013), propone la resolución del problema de la ruta crítica mediante el algoritmo de Bellman-Ford. Este algoritmo fue desarrollado inicialmente para conocer el camino que representa el mínimo tiempo de viaje entre dos ciudades que hacen parte de un conjunto de 𝑁 ciudades, donde cada par de ciudades están interconectadas entre sí por una vía que tiene un tiempo de viaje asociado. Estos tiempos no son directamente proporcionales a las distancias, debido a la cantidad de rutas que existen para viajar de una ciudad a otra y la variación del tráfico en cada una de ellas.

3.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Para la solución del algoritmo de Bellman – Ford es necesario desarrollar cuatro etapas: definición de los datos de entrada, modelaje del grafo, definición de las variables de decisión y planteamiento de la función objetivo.

3.4.1 Datos de entrada

Equivale a los datos topológicos bajo los cuales se va desarrollar el diseño, es decir, los relacionados con la topografía del terreno, (cotas terreno), características de las tuberías como materiales, diámetros, longitudes y numero de pozos de inspección.

(43)

3.4.2 Modelaje del grafo

Dado que se desean minimizar los costos de construcción en el diseño de una serie de tramos de una red de alcantarillado, la red se puede modelar como un grafo dirigido, en donde los nodos representan las profundidades a batea donde se podría instalar la tubería y los posibles diámetros a emplear. Los arcos representarían las tuberías desde el pozo inicial hasta el final. Cada nodo pertenece a un conjunto 𝒩𝑘 que contiene los nodos de un pozo k que pertenece al conjunto de pozos P. La notación que se emplea para representar estos conjuntos se la siguiente forma:

 𝒩: 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠  𝒩= {𝑣𝑜, 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3,…, 𝑣𝑛}

 𝒩𝑘: 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑧𝑜 𝑘∈𝑃  𝒩𝑘= {𝑣1𝑘_{, 𝑣2}𝑘_{, 𝑣3}𝑘_{,…, 𝑣𝑛}𝑘_}

Figura 6. Conjunto de nodos que pertenecen a un mismo pozo de inspección, (Duque V., 2013)

Por consiguiente, cada nodo 𝑣_𝑖𝑘 _{∈ 𝒩}_k_{tiene dos atributos. El primero corresponde a}

la cota en metros sobre el nivel de referencia ∇(𝑣𝑖𝑘) y el segundo el diámetro δ(𝑣𝑖𝑘).

El primer atributo representa la cota batea de una tubería y el segundo el diámetro de una tubería asociada con el tramo entre el pozo 𝑘−1 y 𝑘.

El grafo también lo conforman arcos (𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{) que se definen entre dos nodos}

𝑣_𝑖𝑘 _{∈ 𝒩}_k_{y 𝑣}

𝑖𝑘+1∈ 𝒩k + 1 , donde 𝑣𝑖𝑘 es el i-ésimo nodo del pozo 𝑘 ∈ 𝑃 y 𝑣𝑖𝑘+1 es el

(44)

costo asociado que representa el costo total de construcción, es decir, la suma entre el costo de la tubería. La notación y representación seria:

 𝒜: 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠  𝒜= {(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_)|(𝑣

𝑖𝑘∈ 𝒩k, 𝑣𝑖𝑘+1 ∈ 𝒩k + 1 }

 𝑐 (𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1): 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 (𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1 ) ∈ 𝒜

Figura 7. Representación de un arco (𝐯_𝐢𝐤, 𝐯_𝐢𝐤+𝟏_{), (Duque V., 2013)}

Dado que la información del diámetro está contenida en el nodo, el diámetro de un arco (𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1) adopta el valor del nodo 𝑣𝑖𝑘+1∈ 𝒩k + 1 . Asimismo, el nodo carga la

información de la cota batea donde se instalaría la tubería.  ∇(𝑣𝑖𝑘): 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑧𝑜 𝑘 ∈ 𝑃.  𝑑(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{): 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 (𝑣} 𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1) ∈ 𝒜, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑣_𝑖𝑘+1_{∈ 𝒩}_{k + 1} d(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{) = δ(𝑣} 𝑖𝑘)

(45)

La pendiente asociada con el arco s(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{), es función de las cotas de los nodos}

que lo componen, (Ecuación 16).

s(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{) =}∇(𝑣𝑖𝑘) − ∇(𝑣𝑖𝑘+1)

𝑙

Ecuación 16. Pendiente asociada al arco, (Duque V., 2013)

3.4.3 Variables de decisión

Las variables de decisión son los arcos (𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1) ∈ 𝒜 𝑥𝑖𝑗, es una variable binaria que

toma el valor de uno (1) si el arco (𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1) ∈ 𝒜 pertenece al camino que forma la

ruta más corta o toma el valor de cero (0) caso contrario, (ver Ecuación 17). 𝑥𝑖𝑗 ∈ {0,1} ∀ 𝑣𝑖𝑘 ∈ 𝒩𝑣𝑗𝑘+1∈ 𝒩

Ecuación 17. Variable de decisión, (Duque V., 2013) La escogencia de un arco (𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{) ∈ 𝒜 implica escoger un diámetro 𝑑(𝑣}

𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1) y

una pendiente de diseño s(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_). 3.4.4 Función objetivo

La función objetivo busca minimizar los costos propios del diseño, los cuales cumplan todas las restricciones y que a su vez sea el más económico. La función objetivo se define de la siguiente forma:

𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝑐(𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1)𝑥𝑖𝑗 (𝑣𝑖,𝑣𝑖)∈𝒜

𝑐(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_)𝑥

𝑖𝑗 = 𝑘(9579,31 ∗ 𝑑 ∗ (𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1)0.5737+ 1163.77 ∗ 𝑉1.31

(46)

El volumen se calcula en términos del diámetro de la tubería y la profundidad a la que se instale. La profundidad se calcula de acuerdo con las cotas batea del nodo inicial y final de cada tramo, tal como se expresa en la Ecuación 19.

𝑉 = ([𝐻 + 𝐻′ 2 ] + 𝑑(𝑣𝑖 𝑘_{, 𝑣} 𝑖𝑘+1) + 2𝑒 + ℎ) ∗ ((2𝐵 + 2𝑒 + 𝑑(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{) + (l ∗ cos[tan}−1_s(𝑣 𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1)]))

Ecuación 19. Calculo volumen de excavación, (Duque V., 2013) Dónde:

 𝑉 = volumen excavado para la instalación de la tubería.  𝐻 = profundidad de excavación a cota clave aguas arriba.  𝐻′ = profundidad de excavación a cota clave aguas abajo.  𝑑(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{) = diámetro del arco (𝑣}

𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1) ∈ 𝒜.

 𝑒 = el espesor de la pared de la tubería.

 ℎ = relleno que se debe disponer bajo la tubería (0.15 m, Titulo D RAS, (2016)).  𝐵 = espacio lateral que debe dejarse a ambos lados de la tubería para instalarla.  𝑠(𝑣_𝑖𝑘, 𝑣_𝑖𝑘+1_{) = pendiente asociada al arco (𝑣}

𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑘+1) ∈ 𝒜.

 𝑙 = la longitud de la tubería.

Una vez desarrollado el anterior proceso de representación de una serie de tuberías como un grafo en la selección del diseño optimo, es posible describir la metodología de diseño optimizado de series de tramos en sistemas de alcantarillado tal como se muestra en la Figura 9.