x = 2, por la izquierda? lim x 4

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(1)
(2)

Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma?

Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.

(3)

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:

lim

( )

x a

f x

 

(4)

¿Qué ocurre con 𝑓(𝑥) cerca de 𝑥 = 2, por la izquierda? 2 2

lim

4

x

x

 

(5)

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:

lim

( )

x a

f x

 

(6)

¿Qué ocurre con 𝑓(𝑥) cerca de 𝑥 = 2, por la derecha? 2 2

lim

4

x

x

 

(7)

Definición de límite

El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a»

Se denota por:

lim

( )

x a

f x

(8)

Existencia del límite

El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:

lim

( )

lim

( )

x a x a

f x

L

f x

 

(9)

En el caso de las figuras anteriores en f(x)=x2, luego de ver los

límites laterales por la izquierda y por la derecha, ¿qué concluye? Como: 2 2

lim

4

x

x

 

2 2

lim

4

x

x

 

2 2

lim

4

x

x

(10)

¿Qué ocurre con 𝑓(𝑥) cerca de 𝑥 = 1?

y x 1 5 3 2

2

f(x)

lim

1 x

2

f(x)

lim

-x

1 x

lim

1

f(x)

2

(11)

x

1 5

2 1

¿Qué ocurre con 𝑓 𝑥 cerca de 𝑥 = 1?

existe

no

f(x)

lim

1 x

1

f(x)

lim

-x

1 x

lim

f(x)

2

 1

(12)

y x 1 5 3 2 1

2

f(x)

lim

1 x

El límite existe, sin embargo, al ser f(1) ≠ 2, la función es discontinua en x=1

2

f(x)

lim

x

 1

2

f(x)

lim

-x

1

1

f(1)

(13)

Dado el gráfico de 𝑓(𝑥):

3 3 0 ) lim ( ) 0 ) lim ( ) 2, 3 ) lim ( ) x x x a f x b f x c f x        2 ) lim ( ) x d f x   

(14)
(15)
(16)
(17)

Propiedades de los límites

1 2 3 4

lim

xa

x

a

lim

xa

k

k

lim

( )

( )

lim ( ) lim ( )

xa

f x

g x

xa

f x

xa

g x

lim

( )

lim ( )

(18)

lim

( )

( )

lim ( ) lim ( )

xa

f x g x

xa

f x

xa

g x

lim ( )

( )

lim

;

lim ( )

0

( )

lim ( )

x a x a x a x a

f x

f x

g x

g x

g x

   

5 6 7

lim

( )

lim ( )

n n xa

f x

xa

f x

 

(19)

Pasos para calcular límites

Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada.

Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc.

(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)

   x 0 x 4 2 x

lim

      x 4 2 x 4 2 x x 4 2

    x 4 4 x x 4 2  x 4  4

 

x x 4 2 x x

x 4 2

  1 x 4 2

      x 0 x 0 x 4 2 1 x x 4 2 lim lim    1 0 4 2  2 1 2    x 0 1 x 4 2 lim 4  1

Ejemplo 1:

(28)

Ejemplo 2:

    x 0 1 x 1 x x lim           1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x

      1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1

   

x x 1 x 1 x 2 x x

1 x  1 x

   2 1 x 1 x         x 0 x 0 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x lim lim

    x 0 2 1 x 1 x lim  1 0 2 1 0121  22 1

(29)

Ejemplo 3:

         2 3 2 x 1 1/3 x x 2 x 4x 3x lim     23            1/3 x x 1 x x x 1 x2 x 1   3    x x x 1         1/3  23         1/3 x x x

 23               2 3 2 x 1 x 1 1/3 1/3 x x 2 x x 4x 3x x x lim lim  23          x 1 1/3 x x x lim   23    1/3 1 1 1 3 2       1/3 3 3 2  

(30)

Ejemplo 4:

   2 x 2 x 2 lim 4 x      x 2 2 x 2 x   2 x 2 4 x          2 x 2 x 2 x    2 x 2 x  2 x    1   2 x  1         x 2 x 2 lim 2 lim x 2 4 x 2 x

 1     x 2 lim 2 x2 21  41

(31)

Ejemplo 5:

     2 2 x a x b a b lim , a > b x a           x b a b x b a b x a x a x b a b  x b a +b x a x a   

x b  a b

x a  x a  x a 

x b  a b

 

1     x a x b a b  

1        x a x a lim 2 2 lim x b a b x a x a x b a b

 

1      x a lim x a x b a b  

1      a a a b a b 1  a a b 1       a b a a b a b       a b a a b

(32)

Ejemplo 6:

   2 x 4 4x x lim 2 x   2 4x x 2 x       x 4 x 2 x 2 x 2 x    x 4 x

    2 x 4 x x 2

 x

    x 4 x 4 lim lim 2 4x x x 2 x 2 x

     x 4 lim x 2 x  4 2

 4

16

Figure

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