Solucionario Winston

PROGRAMACION

LINEAL

Problemas

de

Solucionario de Winston

Universidad Privada del Norte Ing. Manuel Sánchez Terán

Capítulo3: Introducción a la programación lineal Problemas de repaso - Pág. 113

Ing. Manuel Sánchez Terán !VARIABLES:

CH: Pasteles de chocolate a elaborar V: Pasteles de vainilla a elaborar FUNCION OBJETIVO;

MAX = CH + 0.5*V; !Maximizar ingreso; !RESTRICCIONES; 20*CH + 40*V <= 480; !Minutos disponibles; 4*CH + V <= 30; !Huevos disponibles; SOLUCIÓN MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 60.00 VARIABLE VALOR C 12.00 A 0.00 Valor objetivo: 9.857143 VARIABLE VALOR CH 5.142857 V 9.428571 Producción de cerveza

Bloomington Breweríes produce cerveza (común) y ale (cerveza que usa levadura de alta fermentación). La cerveza se vende a 5 dólares el

barril y la ale a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cerveza requiere 5 Ib de maíz y 2 Ib de lúpulo. Para elaborar un barril de ale se necesitan 2 Ib de maíz y 1 Ib de lúpulo. Se dispone de 60 libras de maíz y 25 Ib de lúpulo. Plantee un PL que se pueda utilizar para maximizar los ingresos.

01

!VARIABLES:

C: Barriles de cerveza a producir A: Barriles de ale a producir FUNCION OBJETIVO;

MAX = 5*C + 2*A; !Maximizar ingresos; !RESTRICCIONES;

5*C + 2*A <= 60; !Libras de maíz disponibles; 2*C + A <= 25; !Libras de lúpulo disponibles;

MODELO MATEMÁTICO

SOLUCIÓN

Elaboración de pasteles

El granjero Jones hornea dos tipos de pasteles (chocolate y vainilla) para complementar sus ingresos. Los pasteles de chocolate se pueden vender en 1 dólar cada uno, y los de vainilla a 50 centavos cada uno. Para elaborar un pastel de chocolate se requieren 20 min de horneado y 4 huevos. Cada pastel de vainilla requiere 40 min de horneado y sólo un huevo. Se dispone de 8 h de tiempo de horneado y de 30 huevos. Plantee un PL que maximice el ingreso del granjero Jones. (Una cantidad fraccionaria de pastel es aceptable.)

!VARIABLES:

ij: $ a invertir en la opción “i” durante el año “j” FUNCION OBJETIVO;

MAX = 1.30*A1 + 1.50*C2 + 1.06*F3; !Disponible al final del año 3; !RESTRICCIONES;

A1 + B1 + C2 + F1 <= 100; !Capital inicial;

C2 + F2 <= 0.10*A1 + 0.20*B1 + 1.06*F1; !$ para invertir en el año 2;

F3 <= 1.1*B1 + 1.06*F2; !$ para invertir en el año 3;

!Inversión máxima por opción; A1 <= 50;

B1 <= 50; C2 <= 50;

MODELO MATEMÁTICO

!VARIABLES:

Xi: Millar de barriles de crudo destinado al producto "i"

Yi: Millar de barriles de crudo destinado al producto "i" que pasan por el desintegrador catalítico

(i= C:Combustible, A:Aceite) FUNCION OBJETIVO;

MAX = 60*XC + 40*XA + 130*YC + 90*YA - 40*(XC + YC + XA + YA); !Utilidad; !RESTRICCIONES;

XC + YC + XA + YA <= 20; !Crudo disponible al día;

(XC + YC + XA + YA)/2 = XC + YC; !La mitad de crudo se destina a combustible; (XC + YC + XA + YA)/2 = XA + YA; !La mitad de crudo se destina a aceite;

1*YC + 3/4*YA <= 8; !Horas disponibles del desintegrador;

MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN

1

2

3

4

Tengo 100 dólares. Se puede invertir en las opciones siguientes en los tres años próximos.

Inversión A Cada dólar invertido hoy rinde 0.10 de dólar dentro de un año a partir de hoy y 1.30 tres años después de este momento.

Inversión B Cada dólar invertido hoy rinde 0.20 de dólar dentro de un año a partir de hoy y 1.10 dos años a partir de ahora. Inversión C Cada dólar invertido durante un año a partir de hoy (año 2) rinde 1.50 dólares dentro de tres años a partir de hoy. El efectivo que no se invierte se puede asignar a los fondos del mercado de valores durante cada año, en donde rinde 6% de intereses por año. Se pueden colocar cuando mucho 50 dólares en cada inversión A, B y C. Plantee un PL que maximice mi efectivo disponible dentro de tres años a partir de ahora.

PROBLEMA

03

Procesado de crudo

Sunco procesa crudo para obtener combustible para aviones y aceite combustible. Cuesta 40 dólares la compra de cada 1000 barriles de

crudo, el cual es destilado y rinde 500 barriles de combustible para aviones y 500 barriles de aceite combustible. El producto de la destilación se podría vender directamente o procesar en el desintegrador catalítico. Si el combustible para aviones se vende después de la destilación sin ningún otro proceso, su precio es de 60 dólares por cada 1000 barriles, y el del aceite combustible es de 40 dólares por cada mil barriles. Se requiere una hora para procesar 1000 barriles de combustible para aviones en el desintegrador catalítico, y estos 1000 barriles se pueden vender en 130 dólares. Procesar 1000 barriles de aceite combustible requiere 45 min en el desintegrador; estos barriles se pueden vender en 90 dólares. Se pueden comprar a diario cuando mucho 20000 barriles de crudo y se dispone de 8 horas de desintegrador catalítico. Plantee un PL para maximizar la utilidad de Sunco.

Ing. Manuel Sánchez Terán

0

1

2

3

A0

Bono 0 Bono 1 Bono 2

A0

SOLUCIÓN

!VARIABLES:

ij: $ a invertir en la opción "i" durante el año "j" FUNCION OBJETIVO;

MAX = 1.20*C2 + 1.10*BONOS2; !Total en año 3; !RESTRICCIONES;

A0 + B1 + BONOS0 <= 100; !Dinero disponible en el tiempo 0(podría guardarse algo para B1);

B1 + BONOS1 <= 0.10*A0 + 1.10*BONOS0; !Dinero disponible en el tiempo 1;

C2 + BONOS2 <= 1.30*A0 + 1.60*B1 + 1.10*BONOS1; !Dinero disponible en el tiempo 2; !Inversión máxima; A0 <= 50; B1 <= 50; C2 <= 50; SOLUCIÓN MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 760.0000 VARIABLE VALOR XC 2 XA 10 YC 8 YA 0 XC 2 XA 10 Valor objetivo: 149.1000 VARIABLE VALOR C2 50.0000 BONOS2 81.0000 A0 50.0000 B1 0.0000 BONOS0 50.0000 BONOS1 60.0000 Opciones de inversión

Finco tiene las inversiones siguientes como opciones:

Inversión A Por cada dólar invertido en el tiempo 0 se reciben 0.10 de dólar en el tiempo 1 y 1.30 dólares en el tiempo 2.

(Tiempo 0 = hoy; tiempo 1 = un año a partir de hoy, y así sucesivamente.)

Inversión B Por cada dólar invertido en el tiempo 1 se reciben 1.60 dólares en el tiempo 2. Inversión C Por cada dólar invertido en el tiempo 2 se reciben 1.20 dólares en el tiempo 3.

El efectivo excedente se podría invertir en cualquier momento en bonos del tesoro, los cuales rinden 10% por año. En el tiempo 0, hay 100 dólares. Se pueden invertir cuando mucho 50 dólares en cada una de las inversiones A, B y C. Plantee un PL que se pueda usar para maximizar el efectivo disponible de Finco en el tiempo 3.

!VARIABLES

Xi: Fracción de tonelada a utilizar de la aleación "i"; !FUNCION OBJETIVO; MIN = 190*X1 + 200*X2; !RESTRICCIONES; !Requisitos de Carbón; 3*X1 + 4*X2 >= 3.2; 3*X1 + 4*X2 <= 3.5; !Requisitos de Silicio; 2*X1 + 2.5*X2 >= 1.8; 2*X1 + 2.5*X2 <= 2.5; !Requisitos de Níquel; X1 + 1.5*X2 >= 0.9; X1 + 1.5*X2 <= 1.2; !Resistencia a la tensión; 42000*X1 + 50000*X2 >= 45000; !Respecto a una tonelada de mezcla; X1 + X2 = 1; MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN Valor objetivo: 193.7500 VARIABLE VALOR X1 0.6250000 X2 0.3750000 Producción de acero

Todo el acero que produce Steelco debe cumplir los requisitos siguientes: 3.2 a 3.5% de carbón; 1.8 a 2.5% de silicio, 0.9 a 1.2% de níquel; resistencia a la tensión de por lo menos 45000 libras por pulgada cuadrada (lb/pulg2_{). Steelco produce acero mediante la combinación de} dos aleaciones. El costo y propiedades de cada aleación se proporcionan en la tabla adjunta. Suponga que la resistencia a la tensión de una combinación de dos aleaciones se puede determinar mediante el promedio de la resistencia de las aleaciones que se mezclan. Por ejemplo, una tonelada (t) de una mezcla que tiene 40% de la aleación 1 y 60% de la aleación 2 tienen una resistencia a la tensión de 0.4(42000) + 0.6(50000). Aplique la programación lineal para determinar cómo minimizar el costo de producir una tonelada de acero.

Aleación 1 Aleación 2

Costo por ton ($) $190 $200

% de Silicio 2.0% 2.5%

% de Níquel 1.0% 1.5%

% de Carbono 3.0% 4.0%

Resistencia a la tensión (lb/pulg2_{) 42000 50000}

Ing. Manuel Sánchez Terán !VARIABLES

Xij: Ton. de acero tipo "i" producido en la acerera "j" (i=1,2) (j=1,2,3);

!FUNCION OBJETIVO;

MIN = 10*X11 + 12*X12 + 14*X13 + 11*X21 + 9*X22 + 10*X23; !RESTRICCIONES;

!Tiempo disponible en cada acerera; 20*X11 + 22*X21 <= 200*60;

24*X12 + 18*X22 <= 200*60; 28*X13 + 30*X23 <= 200*60; !Se debe producir;

X11 + X12 + X13 >= 500; X21 + X22 + X23 >= 600; SOLUCIÓN MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 10400.00 VARIABLE VALOR X11 500.00 X12 0.0000 X13 0.0000 X21 0.0000 X22 600.00 X23 0.0000 Producción de cultivos

El vivero Walnut tiene dos granjas en donde se cultiva trigo y maíz. Debido a las condiciones del suelo distintas, hay diferencias en el rendimiento y el costo al cultivar los cereales en las dos granjas. Los rendimientos y los costos se muestran en la tabla adjunta. Ambas granjas cuentan cada una con 100 acres disponibles para el cultivo; se deben sembrar 11000 bushels de trigo y 7000 bushels de maíz. Encuentre un plan de siembra que minimice el costo para poder cumplir con la demanda. ¿Cómo se podría usar una generalización de este modelo para asignar en forma eficiente la producción de cultivos en toda una nación?

(Un acre es una medida de superficie anglosajona usada en agricultura. Los bushels, que se utilizan para medir la compra y venta de granos, son unidades de masa)

Granja 1 Granja 2

Rendimiento de maíz por acre 500 bushel 650 bushel Costo por acre de maíz $100 $120

Rendimiento de trigo por acre 400 bushel 350 bushel

Costo por acre de trigo $90 $80

PROBLEMA

08

Steelco produce dos tipos de acero en tres acereras distintas. Cada acerera tiene disponibles en un mes dado 200 horas de tiempo de alto

horno. Debido a las diferencias en los hornos de cada acerera, el tiempo y el costo por producir una tonelada de acero son distintos en cada una de ellas. El tiempo y el costo en cada acerera se proporcionan en la tabla adjunta. Cada mes, Steelco debe producir por lo menos 500 toneladas del acero 1 y 600 toneladas del acero 2. Plantee un PL para minimizar el costo de producir el acero deseado.

Acero 1 Acero 2

Acerera Costo ($) Tiempo (min) Costo ($) Tiempo (min)

1 10 20 11 22

2 12 24 9 18

3 14 28 10 30

SOLUCIÓN !VARIABLES:

Xij: Acres dl cereal "i" cultivados en la granja "j" (i=M,T) (j=1,2);

!FUNCION OBJETIVO;

MIN = 100*XM1 + 120*XM2 + 90*XT1 + 80*XT2; !Minimizar costos; !RESTRICCIONES; !Acres disponibles; XM1 + XT1 <= 100; XM2 + XT2 <= 100; !Demanda en bushels; 500*XM1 + 650*XM2 >= 7000; 400*XT1 + 350*XT2 >= 11000; MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN SOLUCIÓN !VARIABLES:

Xi: Tandas de producción en el proceso "i" (i=1,2)

Y: Horas en que se contrata a la modelo; !FUNCION OBJETIVO;

MAX = 5*(3*X1 + 5*X2) - 3*(X1 + 2*X2) - 2*(2*X1 + 3*X2) - 100*Y; !Maximizar utilidad; !RESTRICCIONES;

X1 + 2*X2 <= 20000; !Unidades de mano de obra disponibles;

2*X1 + 3*X2 <= 35000; !Unidades de productos químicos disponibles; 3*X1 + 5*X2 = 1000 + 200*Y; !Demanda de perfume (varía con la modelo);

MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 3767.308 VARIABLE VALOR XM1 0.0000 XM2 10.7692 XT1 27.5000 XT2 0.0000 Valor objetivo: 118000.0 VARIABLE VALOR X1 10000.00 X2 5000.000 Y 270.0000 Producción de perfume

Candy Kane Cosmetics (CKC) fabrica el perfume Leslie, el cual requiere productos químicos y mano de obra. Hay dos procesos de

producción: en el proceso 1 se transforma una unidad de mano de obra y dos unidades de productos químicos en 3 oz de perfume. En el proceso 2 se transforman dos unidades de mano de obra y tres unidades de productos químicos en 5 oz de perfume. CKC gasta 3 dólares al comprar una unidad de mano de obra y 2 dólares por una unidad de productos químicos. Se pueden comprar cada año hasta 20000 unidades de mano de obra y 35000 unidades de productos químicos. Como no hay publicidad, CKC opina que puede vender 1000 oz de perfume. Para estimular la demanda de Leslie, CKC desea contratar a la bella modelo Jenny Nelson. Jenny cobra $100 la hora. Se estima que por cada hora que Jenny trabaja para la compañía la demanda del perfume se incrementa en 200 oz. Cada onza del perfume Leslie se vende en 5 dólares. Utilice la PL para determinar cómo CKC puede maximizar su utilidad.

Ing. Manuel Sánchez Terán !VARIABLES:

Xij: Cantidad de anuncios en el medio "i" en el rango "j" (i=D:Diario, TV:Televisión) (j=1,2,3)

!FUNCION OBJETIVO;

Max = 900*XD1 + 600*XD2 + 300*XD3 + 10000*XTV1 + 5000*XTV2 + 2000*XTV3; !Maximizar clientes; !RESTRICCIONES;

XD1 + XD2 + XD3 <= 30; !Anuncios máximos en diarios; XTV1 + XTV2 + XTV3 <= 15; !Anuncios máximos en TV;

1000*(XD1 + XD2 + XD3) + 10000*(XTV1 + XTV2 + XTV3) <= 150000; !Presupuesto;

!Anuncios por rango (la cantidad de clientes nuevos ya le da un orden en la asignación); XD1 <= 10; XD2 <= 10; XD3 <= 10; XTV1 <= 5; XTV2 <= 5; XTV3 <= 5; MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN SOLUCIÓN Valor objetivo: 97000.00 VARIABLE VALOR XD1 10.00 XD2 10.00 XD3 10.00 XTV1 5.00 XTV2 5.00 XTV3 2.00 Anuncios publicitarios

Carco tiene un presupuesto para publicidad de 150000 dólares. La compañía planea anunciarse en diarios y en TV, con el fin de aumentar

las ventas de automóviles. A medida que Carco utiliza más un medio en particular, es menos efectivo cada anuncio que se agrega. En la tabla adjunta se señala la cantidad de nuevos clientes a los que alcanza cada anuncio. Cada anuncio en los periódicos cuesta 1000 dólares y cada anuncio en TV cuesta 10000. Se pueden contratar, cuando mucho, 30 anuncios en los diarios y 15 en TV ¿Cómo puede maximizar

Carco la cantidad de clientes nuevos creados por la publicidad?

Medio Número de anuncios Clientes nuevos Diarios 1-10 900 11-20 600 21-30 300 TV 1-5 10000 6-10 5000 11-15 2000 PROBLEMA

10

!VARIABLES:

Xij: Millones de barriles de crudo procesados en la refinería "i" y enviados al punto de distribución "j"

Yi: Millones de barriles ampliados en la capacidad de la refinería "i" (i=A:Los Angeles, C:Chicago) (j=H:Houston, N:Nueva York)

!FUNCION OBJETIVO

Maximizar la utilidad de los 10 años;

MAX = 10*(20000*XAH + 15000*XAN + 18000*XCH + 17000*XCN) - (120000*YA + 150000*YC); !RESTRICCIONES;

XAH + XAN <= 2 + YA; !Capacidad de proceso de la refinería de Los Angeles; XCH + XCN <= 3 + YC; !Capacidad de proceso de la refinería de Chicago;

XAH + XCH <= 5; !Ventas máximas en Houston;

XCN + XAN <= 5; !Ventas máximas en Nueva York;

SOLUCIÓN MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 1210000 VARIABLE VALOR XAH 5.000 XAN 2.000 XCH 0.000 XCN 3.000 YA 5.000 YC 0.000 Refinerías

Sunco Oil tiene refinerías en Los Ángeles y Chicago. La refinería de Los Ángeles puede procesar hasta 2 millones de barriles de crudo por

año, y la refinería de Chicago refina hasta 3 millones. Una vez refinado, el crudo de embarca hacia dos puntos de distribución: Houston y la ciudad de Nueva York. Sunco estima que cada punto de distribución puede vender hasta 5 millones de barriles por año. Debido a las diferencias en los costos de embarque y refinación, la utilidad ganada (en dólares) por millón de barriles de aceite refinado embarcado depende de dónde se refinó el crudo y del punto de distribución (véase tabla adjunta). Sunco planea ampliar la capacidad de cada refinería. Cada millón de barriles de capacidad de refinación anual que se sume costará 120000 dólares en el caso de la refinería de Los Angeles y 150000 dólares en el caso de la refinería de Chicago. Utilice la PL para determinar cómo puede maximizar Sunco su utilidad menos los costos de expansión sobre un periodo de 10 años.

Utilidad por millón de barriles ($)

De A Houston A Nueva York

Los Angeles 20000 15000

Chicago 18000 17000

PROBLEMA

11

Encuesta telefónica

Un grupo de investigación de mercado necesita detectar por lo menos a 150 esposas, 120 esposos, 100 varones adultos solteros y 110 mujeres adultas solteras mediante una encuesta telefónica. Cuesta 2 dólares hacer una llamada en el día y (debido a los costos de mano de obra más altos) 5 dólares una llamada por la noche. Los resultados se dan en la tabla adjunta. Debido a que el personal es limitado, cuando mucho la mitad de todas las llamadas pueden ser nocturnas. Plantee un PL para minimizar el costo de completar la encuesta.

Persona que contesta % de llamadas en el día % de llamadas en la noche

Esposa 30 30 Esposo 10 30 Varón soltero 10 15 Mujer soltera 10 20 Nadie 40 5 PROBLEMA

12

Ing. Manuel Sánchez Terán SOLUCIÓN !VARIABLES

Xij: Libras del insumo "i" destinado al alimento "j"; !FUNCION OBJETIVO;

MAX = 1.50*(XT1 + XA1) + 1.30*(XT2 + XA2) - 0.50*(XT1 + XT2) - 0.40*(XA1 + XA2); !RESTRICCIONES;

!Composición de los alimento; XT1 >= 0.8*(XT1 + XA1); XA2 >= 0.6*(XT2 + XA2); !Insumos máximos; XT1 + XT2 <= 1000; XA1 + XA2 <= 800; MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN !VARIABLES

Xi: Llamadas efectuadas en el turno "i" (i: D,N)

!FUNCION OBJETIVO;

MIN = 2*XD + 5*XN; !Minimizar costos; !RESTRICCIONES;

0.30*XD + 0.30*XN >= 150; !Contestan esposas; 0.10*XD + 0.30*XN >= 120; !Contestan esposos;

0.10*XD + 0.15*XN >= 100; !Contestan varones solteros; 0.10*XD + 0.20*XN >= 110; !Contestan mujeres solteras;

XN <= (XD+XN)/2; !Máximo la mitad del total son nocturnas;

MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 2300.000 VARIABLE VALOR XD 900.000 XN 100.000 Valor objetivo: 2300.000 VARIABLE VALOR XT1 1000.00 XA1 250.00 XT2 0.00 XA2 550.00 Alimento para ganado

Feedco produce dos tipos de alimento para ganado; ambos constan totalmente de trigo y alfalfa. El alimento 1 debe contener por lo

menos 80% de trigo, y el alimento 2 debe contener por lo menos 60% de alfalfa. El alimento 1 se vende a 1.50 dólares/lb y el alimento 2, a 1.30/lb. Feedco puede comprar hasta 1000 Ib de trigo a 50 centavos la libra y hasta 800 Ib de alfalfa a 40 centavos la libra. La demanda por cada tipo de alimento es ilimitada. Formule un PL que maximice la utilidad de Feedco.

!VARIABLES

Xi: Tandas en el proceso "i" para fabricar los productos (i=1,2)

!FUNCION OBJETIVO;

MAX = 16*(2*X1+3*X2)+14*(X1+2*X2)-2*D; !Maximizar ingresos; !RESTRICCIONES;

2*X1 + 3*X2 <= 60; !Horas disponibles de mano de obra; X1 + 2*X2 <= 40; !Libras de materia prima disponibles; D >= 2*X2-20; !Onzas a desechar del producto B;

MODELO MATEMÁTICO !FUNCION OBJETIVO;

MAX = 1.50*(XT1+XA1)+1.25*(YT1+YA1)+1.30*(XT2+XA2)+1.00*(YT2+YA2) -0.50*(XT1+XT2+YT1+YT2)-0.40*(XA1+XA2+YA1+YA2);

!RESTRICCIONES;

!Composición de los alimento; XT1+YT1 >= 0.8*(XT1+YT1+XA1+YA1); XA2+YA2 >= 0.6*(XT2+YT2+XA2+YA2); !Insumos máximos;

XT1+YT1+XT2+YT2 <= 1000; XA1+YA1+XA2+YA2 <= 800; !Cantidades sin descuento; XT1+XA1<=300;

XT2+XA2<=300;

!Las cantidades descontadas son después de 300 lb; (YT1+YA1)+300<=(XT1+XA1+YT1+YA1); (YT2+YA2)+300<=(XT2+XA2+YT2+YA2); MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN Valor objetivo: 1457.500 VARIABLE VALOR XT1 300.00 XA1 0.00 YT1 700.00 YA1 250.00 XT2 0.00 XA2 300.00 YT2 0.00 YA2 250.00

Alimento para ganado con descuento

Chemco elabora dos productos químicos: A y B. Estos productos se fabrican por medio de dos procesos de manufactura. El proceso 1

requiere 2 h de mano de obra y 1 Ib de materia prima para producir 2 onzas de A y 1 onza de B. Para el proceso 2 se necesitan 3 h de mano de obra y 2 Ib de materia prima para fabricar 3 onzas de A y 2 onzas de B. Se dispone de 60 h de mano de obra y 40 Ib de materia prima. La demanda de A es ilimitada, pero sólo se puede vender 20 oz de B. El producto A se vende a 16 dólares/oz y B se vende a 14 dólares/oz. Cualquier cantidad de B que no se venda se tiene que desechar a un costo de 2 dólares/oz. Encuentre un PL que maximice los ingresos de Chemco menos el costo de destruir el producto.

Alimento para ganado con descuento

Feedco (véase problema 13) decidió hacer un descuento a su cliente (suponga que tiene sólo un cliente). Si el cliente compra más de 300

Ib del alimento 1, cada libra por arriba de las primeras 300 costará sólo 1.25 dólares. De igual manera, si el cliente compra más de 300 Ib del alimento 2, cada libra por arriba de las primeras 300 Ib costará un dólar. Modifique el PL del problema 13 para explicar la presencia de los descuentos. (Sugerencia: Defina variables para el alimento vendido a cada precio.)

PROBLEMA

14

Ing. Manuel Sánchez Terán SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

!VARIABLES:

Xi: Técnicos nuevos capacitados desde el mes "i" Yi: Técnicos experimentados al inicio del mes "i" (i=1,2,3,4,5);

!FUNCION OBJETIVO;

MIN = 1000*(2*X1+2*X2+2*X3) + 2000*(Y1+Y2+Y3+Y4+Y5); !RESTRICCIONES;

!Horas disponibles de servicio técnico en cada mes (quitando el tiempo de capacitación);

160*Y1-50*X1 >= 6000; 160*Y2-50*X2-10*X1 >= 7000; 160*Y3-50*X3-10*X2 >= 8000; 160*Y4-50*X4-10*X3 >= 9500; 160*Y5-10*X4 >= 11000;

!Técnicos experimentados disponibles en cada mes

(añadiendo los capacitados y quitando los que renuncian); Y1 = 50; Y2 = Y1-0.05*Y1; Y3 = Y2+X1-0.05*Y2; Y4 = Y3+X2-0.05*Y3; Y5 = Y4+X3-0.05*Y4; MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN SOLUCIÓN Valor objetivo: 1480.000 VARIABLE VALOR X1 0.0000 X2 20.000 D 20.000 Valor objetivo: 619746.30 VARIABLE VALOR X1 9.055698 X2 8.631582 X3 11.65192 X4 0 Y1 50 Y2 47.5 Y3 54.1807 Y4 60.10324 Y5 68.75 Capacitación de técnicos

CSL es una cadena de tiendas de servicio para computadoras. La cantidad de horas de tiempo de reparación calificada que CSL requiere

durante los cinco meses siguientes es como sigue:

Mes 1 (enero) 6000 h Mes 2 (febrero) 7000 h Mes 3 (marzo) 8000 h Mes 4 (abril) 9500 h Mes 5 (mayo) 11000 h

A principios de enero, 50 técnicos calificados trabajan para CSL. Cada técnico puede trabajar hasta 160 horas por mes. Para cumplir con las demandas en el futuro, es necesario capacitar a nuevos técnicos. Toma dos meses capacitar a un nuevo técnico. Durante el primer mes de capacitación, un técnico experimentado debe supervisar al aprendiz durante 50 horas y 10 horas durante el segundo. Cada técnico experimentado gana $2000 al mes (incluso si no trabaja las 160 horas completas). Además, durante los meses de entrenamiento, el aprendiz recibe $1000. Al final de cada mes 5% de los técnicos experimentados de CSL abandonan el trabajo para unirse a Plum

Computers. Formule un problema PL con cuya solución CSL pueda minimizar el costo de mano de obra en el que incurre para cumplir con

el servicio de reparación en los cinco meses siguientes. (considerar que no habrá nuevas capacitaciones en el último mes e ignorar el hecho de que la solución muestre algunos valores decimales)

SOLUCIÓN !VARIABLES

Xij: Cantidad de "i" hechos de tablones de "j" (i=M:Mesas,S:Sillas), (j=E:Encino, P:Pino); !FUNCION OBJETIVO;

MAX = 40*(XME + XMP) + 15*(XSE + XSP); !Ingreso total; !RESTRICCIONES;

5*XSE + 17*XME <= 150; !Pies de tablón de encino;

13*XSP + 30*XMP <= 210; !Pies de tablón de pino;

MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 730.000 VARIABLE VALOR XME 0.0000 XMP 7.0000 XSE 30.000 XSP 0.0000 Producción de sillas y mesas

Furnco produce mesas y sillas. Todas las mesas y sillas deben estar hechas por completo de encino o de pino. Hay un total de 150 pies de

tablón de encino y 210 pies de tablón de pino. Se requieren 17 pies tablón de encino o 30 pies tablón de pino para una mesa y 5 pies tablón de encino o 13 pies tablón de pino para una silla. Las mesas se venden a 40 dólares cada una, y las sillas a 15 dólares cada una. Formule un PL que maximice el ingreso.

PROBLEMA

17

Estudiantes en escuelas

La ciudad de Busville tiene tres distritos escolares. La cantidad de estudiantes de minorías étnicas y de las mayorías en cada distrito se proporciona en la tabla adjunta.

Distrito Estudiantes de _{alguna minoría} Estudiantes de _{las mayorías}

1 50 200

2 50 250

3 100 150

De todos los estudiantes, 25% (200/800) son estudiantes que pertenecen a alguna minoría.

La corte local decidió que las dos escuelas de bachillerato de la ciudad (escuela Cooley y escuela Walt Whitman) deben tener aproximadamente el mismo porcentaje de estudiantes pertenecientes a las minorías (dentro ±5%) que el que hay en toda la ciudad. Las distancias (en millas) entre los distritos escolares y las escuelas de bachillerato se proporcionan en la tabla siguiente.

Distrito Escuela _{Cooley Walt Whitman} Escuela

1 1 2

2 2 1

3 1 1

Cada escuela debe tener una inscripción de 300 a 500 estudiantes. Aplique la programación lineal para determinar la cantidad de estudiantes en las escuelas que minimice la distancia total que los estudiantes deben recorrer para llegar a la escuela.

Ing. Manuel Sánchez Terán SOLUCIÓN

SOLUCIÓN !VARIABLES:

Xijk: Estudiantes del distrito "i" que pertenecen a "j" que irán a la escuela "k" (i=1,2,3) (j=A:alguna mayoría,B:alguna minoría) (k=C:Cooley,W:Whitman);

!FUNCION OBJETIVO;

MIN = X1AC+X1BC+2*(X1AW+X1BW)+2*(X2AC+X2BC)+X2AW+X2BW+X3AC+X3BC+X3AW+X3BW; !Minimizar distancias a recorrer;

!RESTRICCIONES;

!Estudiantes de minorías en las escuelas; X1AC+X2AC+X3AC >= X1AW+X2AW+X3AW - 40; X1AC+X2AC+X3AC <= X1AW+X2AW+X3AW + 40; !Estudiantes de la minoría por distrito; X1AC + X1AW = 50;

X2AC + X2AW = 50; X3AC + X3AW = 100;

!Estudiantes de la mayoría por distrito; X1BC + X1BW = 200;

X2BC + X2BW = 250; X3BC + X3BW = 150;

!Capacidades en las escuelas; X1AC+X1BC+X2AC+X2BC+X3AC+X3BC>=300; X1AC+X1BC+X2AC+X2BC+X3AC+X3BC<=500; X1AW+X1BW+X2AW+X2BW+X3AW+X3BW>=300; X1AW+X1BW+X2AW+X2BW+X3AW+X3BW<=500; MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 800 VARIABLE VALOR X1AC 50.00 X1BC 200.00 X1AW 0.00 X1BW 0.00 X2AC 0.00 X2BC 0.00 X2AW 50.00 X2BW 250.00 X3AC 70.00 X3BC 150.00 X3AW 30.00 X3BW 0.00 Procesado de tablones

Brady Corporation fabrica alacenas. Requiere cada semana 90000 pies cúbicos de tablones. La compañía puede conseguir madera de dos

maneras: primero, la podría comprar con un proveedor y secarla en el horno del proveedor. Segundo, podría cortar troncos en sus propios terrenos, cortarlos en tablones en su aserradero y, por último, secarlos en su propio homo. Brady puede comprar tablones grado 1 o grado 2. Los tablones grado 1 cuestan 3 dólares por pie cúbico, y cuando se secan rinden 0.7 pies cúbicos de madera útil. Los tablones grado 2 cuestan 7 dólares el pie cúbico, y luego de secarlos rinden 0.9 pies cúbicos de madera útil. A la compañía le cuesta 3 dólares cortar los troncos. Además, cuesta 2.50 dólares enviar cada tronco al aserradero. Después de cortar y secar un tronco, éste rinde 0.8 pies cúbicos de tablones. Brady gasta 4 dólares por pie cúbico de tablones secados. El aserradero puede procesar cada semana hasta 35000 pies cúbicos de tablones. Se pueden comprar cada semana hasta 40000 pies cúbicos de tablones grado 1 y hasta 60000 pies cúbicos del grado 2. Se dispone cada semana de 40 h para secar los tablones. El tiempo que se requiere para secar 1 pie cúbico de madera grado 1, madera grado 2 o troncos es como se indica; grado 1, 2 segundos (s); grado 2, 0.8 s; troncos, 1 a 3 s. Determine un PL que ayude a Brady a minimizar el costo a la semana por cumplir con la demanda de tablones procesados.

!VARIABLES:

Xij: acres de la zona "i" para la actividad "j" (i=1,2)(j=1,2,3);

!FUNCION OBJETIVO;

MAX = 200*X11 + 400*X12 + 500*X13 + 60*X21 + 90*X22 + 1100*X23; !Utilidad total; !RESTRICCIONES;

X11 + X12 + X13 <= 300; !Area de la zona 1; X21 + X22 + X23 <= 100; !Area de la zona 2;

300*X11 + 300*X12 + 400*X13 + 100*X21 + 3000*X22 + 1000*X23 <= 150000; !Capital disponible; 0.1*X11 + 0.2*X12 + 0.2*X13 + 0.05*X21 + 5*X22 + 1.01*X23 <= 200; !Horas m.o. disponibles;

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN MODELO MATEMÁTICO !VARIABLES:

Xi: Pies cúbicos de madera grado "i" a comprar T: Troncos propios a procesar

(i=1:Grado1,2:Grado2); !FUNCION OBJETIVO;

Min = 3*X1+7*X2+(3+2.50)*T+4*T/0.8; !Minimizar costo semanal; !RESTRICCIONES;

T/0.8 <= 35000; !Capacidad máxima de procesado en el aserradero;

X1 <= 40000; !Disponibilidad de tablones grado 1;

X2 <= 60000; !Disponibilidad de tablones grado 2;

0.7*X1 + 0.9*X2 + T/0.8 = 90000; !Pies cúbicos de tablones requeridos; 2*X1+0.8*X2+3*T <= 144000; !Segundos disponibles en el horno;

MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 636000.000 VARIABLE VALOR X1 30000.00 X2 60000.00 T 12000.00 Valor objetivo: 186000.000 VARIABLE VALOR X11 0.00 X12 300.00 X13 0.00 X21 0.00 X22 0.00 X23 60.00

Uso de zonas en parque

La Canadian Parks Commission controla dos zonas. La zona 1 consiste en 300 acres y la zona 2, de 100 acres. Cada acre de la zona 1 se puede usar para abetos* o caza, o ambos. Cada acre de la zona 2 se puede usar para abetos o para acampar, o para ambas cosas. El capital (en cientos de dólares), la mano de obra (días/trabajador) que se requieren para conservar un acre de cada zona y la utilidad (en miles de dólares) por acre para cada uso posible se proporciona en la tabla adjunta. Hay un capital disponible de 150000 dólares y 200 días/hombre. ¿Qué usos se le pueden asignar a las zonas para maximizar la utilidad que se obtenga de las dos zonas?

Zona Capital Mano de obra Utilidad

1 Abetos 3 0.1 0.2 1 Caza 3 0.2 0.4 1 Ambos 4 0.2 0.5 2 Abetos 1 0.05 0.06 2 Acampar 30 5 0.09 2 Ambos 10 1.01 1.1

*El abeto es un tipo de árbol que en algunos países se usa durante el festejo navideño.

Ing. Manuel Sánchez Terán Xi: Precio asignado al producto "i"

(i=A,B);

!FUNCION OBJETIVO;

MAX = 1000*XA+1500*XB; !Ingreso total; !RESTRICCIONES; !Condiciones de compra de A; 10-XA >= 8-XB; 10-XA >= 0; !Condiciones de compra de B; 15-XB >= 12-XA; 15-XB >= 0; MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN Valor objetivo: 29500.000 VARIABLE VALOR XA 10.00 XB 13.00 Establecimiento de precios de productos

Chandler Entreprises elabora dos productos competitivos: A y B. La compañía quiere vender estos productos a dos grupos de clientes, el

grupo 1 y el grupo 2. El valor que cada cliente asigna a una unidad de A y de B es el que se muestra en la tabla siguiente:

Cliente del

grupo 1 Cliente del grupo 2

Valor dado de A $10 $12

Valor dado de B $8 $15

Cada cliente comprará el producto A o el B, pero no ambos. Un cliente está dispuesto a comprar el producto A si cree que:

Valor del producto A - Precio del producto A >= Valor del producto B - Precio del producto B, y Valor del producto A - Precio del producto A >= 0

Un cliente está dispuesto a comprar el producto B si cree que:

Valor del producto B - Precio del producto B >= Valor del producto A - Precio del producto A, y Valor del producto B - Precio del producto B >= 0

El grupo 1 tiene 1000 miembros y el grupo 2 consta de 1500. Chandler desea establecer los precios para cada producto, de tal manera que haya certeza de que los miembros del grupo 1 compren el producto A y los miembros del grupo 2 compren el producto B. Determine un PL que ayude a Chandler a maximizar sus ingresos.

SOLUCIÓN !VARIABLES:

Xi: Unidades del producto "i" a fabricarse en la máquina "j" para el mes "k" (i=1,2)(j=1,2);

!FUNCION OBJETIVO;

MAX = 55*(X111+X121)+12*(X112+X122)+65*(X211+X221)+32*(X212+X222); !Ingreso total; !RESTRICCIONES;

!Disponibilidad de tiempo de la máquina 1; 4*X111+7*X211<=500; !En el primer mes; 4*X112+7*X212<=500; !En el segundo mes; !Disponibilidad de tiempo de la máquina 2; 3*X121+4*X221<=500; !En el primer mes; 3*X122+4*X222<=500; !En el segundo mes; !Demandas del producto 1;

X111+X121<=100; !En el primer mes; X112+X122<=190; !En el segundo mes; !Demandas del producto 2;

X211+X221<=140; !En el primer mes; X212+X222<=130; !En el segundo mes;

MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 20108.57 VARIABLE VALOR X111 100 X121 0 X112 116.25 X122 0 X211 14.28571 X221 125 X212 5 X222 125 Ingresos por ventas

Alden Enterprises elabora dos productos. Cada uno de los productos se puede fabricar en una de las dos máquinas que hay. El tiempo

necesario para elaborar cada producto (en horas) en cada una de las máquinas se presenta en la tabla siguiente:

Producto Máquina 1 Máquina 2

1 4 3

2 7 4

Se dispone cada mes de 500 h en cada una de las máquinas. Los clientes están dispuestos cada mes a comprar hasta las cantidades de cada producto que se señalan en la tabla adjunta y a los precios indicados ahí. El objetivo de la compañía es maximizar el ingreso obtenido por la venta de unidades durante los dos meses siguientes. Plantee un PL que ayude a alcanzar ese objetivo. (ignorar que puedan

obtenerse valores decimales en la solución óptima)

Demanda Precios

Producto Mes 1 Mes 2 Mes 1 Mes 2

1 100 190 $55 $12

2 140 130 $65 $32

Ing. Manuel Sánchez Terán !VARIABLES:

Xj: Unidades a fabricar del producto "i"

Yij: Horas en la máquina "i" dedicadas al producto "j"; !FUNCION OBJETIVO;

MAX = 6*X1+8*X2+10*X3; !RESTRICCIONES;

!Horas de cada máquina a cada producto; Y11=2*X1; Y12=3*X2; Y13=4*X3; Y21=3*X1; Y22=5*X2; Y23=7*X3; Y31=4*X1; Y32=6*X2; Y33=9*X3;

!Horas hombre totales;

Y11+Y12+Y13+Y21+Y22+Y23+Y31+Y32+Y33<=10*35; !Horas máximas por máquina;

Y11+Y12+Y13<=5*40; Y21+Y22+Y23<=3*40; Y31+Y32+Y33<=4*40; MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 233.3333 VARIABLE VALOR X1 38.88889 X2 0 X3 0 Y11 77.77778 Y12 0 Y13 0 Y21 116.6667 Y22 0 Y23 0 Y31 155.5556 Y32 0 Y33 0 Asignación en máquinas

Kiriakis Elctronics elabora tres productos. Cada producto debe pasar por un proceso en tres máquinas distintas. Cuando una máquina está

en uso la debe operar un trabajador. El tiempo (en horas) necesario para procesar cada producto en cada máquina y la utilidad asociada con cada producto se muestra en la tabla adjunta. Se dispone en la actualidad de cinco máquinas tipo 1, tres máquinas tipo 2 y cuatro máquinas tipo 3. La compañía tiene 10 trabajadores y debe determinar cuántos empleados asignar a cada máquina, La planta está abierta 40 h por semana, y cada trabajador labora 35 horas por semana. Establezca un PL que le permita a Kiriakis asignar trabajadores a las máquinas, de tal manera que se maximice la utilidad semanal. (Nota: Un trabajador no pasa toda la semana laboral operando una sola máquina) (Ignorar que puedan obtenerse valores decimales en la solución óptima)

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Máquina 1 2 h 3 h 4 h

Máquina 2 3 h 5 h 6 h

Máquina 3 4 h 7 h 9 h

Utilidad ($) 6 8 10

SOLUCIÓN SOLUCIÓN

!VARIABLES:

Xi: Número de pacientes del GRD "i" a ser atendidos; !FUNCION OBJETIVO;

MAX = 2000*X1+1500*X2+500*X3+300*X4; !Utilidad total; !RESTRICCIONES; 7*X1+4*X2+2*X3+X4 <= 570; !Horas de diagnóstico; 5*X1+2*X2+X3 <= 1000; !Dias cama; 30*X1+10*X2+5*X3+X4<= 50000; !Horas de enfermería; 800*X1+500*X2+150*X3+50*X4 <= 50000; !$ en fármacos; !Mínimos a atender; X1 >= 10; !GRD1; X2 >= 15; !GRD2; X3 >= 40; !GRD3; X4 >= 160; !GRD4; MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 181000.000 VARIABLE VALOR X1 10.00 X2 50.00 X3 40.00 X4 220.00 Pacientes a atender

El hospital de Gotham City atiende pacientes de cuatro grupos relacionados por el diagnóstico (GRD). La contribución a la utilidad, el uso del servicio de diagnóstico (en horas), días-cama (en días), atención de enfermeras (en horas) y uso de medicamentos (en dólares) se proporcionan en la tabla adjunta. El hospital dispone ahora cada semana de 570 h de servicios de diagnóstico, 1000 días-cama, 50000 horas de atención de enfermeras y 50000 dólares en medicamentos. Para cumplir las demandas mínimas de atención a la salud de la comunidad, se deben atender todas las semanas por lo menos 10 pacientes del GRD1, 15 del GRD2, 40 del GRD3 y 160 del GRD4. Utilice un PL para determinar la mezcla óptima de los GRD.

GRD Utilidad _diagnóstico Servicio de Días-Cama _enfermería Uso de Fármacos

1 2000 7 5 30 800 2 1500 4 2 10 500 3 500 2 1 5 150 4 300 1 0 1 50 PROBLEMA

24

Oliver Winery elabora cuatro vinos ganadores de premios en Bloomington, Indiana. Las contribuciones a la utilidad, horas de mano de

obra y uso del tanque (en horas) por galón por cada tipo de vino se indican en la tabla adjunta. De acuerdo con la ley, se pueden producir cuando mucho cada año 100000 galones de vino. Se dispone cada año de un máximo de 12000 horas de mano de obra y 32000 horas de tanque. Cada galón del vino 1 gasta un promedio de 1/3 del año en inventario; el vino 2, un promedio de 1 año; el vino 3, un promedio de 2 años; el vino 4, un promedio de 3.333 años. La bodega puede manejar un inventario promedio de 50000 galones. Determine cuánto se debe producir al año de cada tipo de vino para maximizar la utilidad de Oliver Winery.

Vino Utilidad _($) Mano de _{Obra (h)} Tanque _(h)

1 6 0.2 0.5

2 12 0.3 0.5

3 20 0.3 1

4 30 0.5 1.5

Ing. Manuel Sánchez Terán SOLUCIÓN !VARIABLES:

Xi: Galones a producir de vino tipo "i"; !FUNCION OBJETIVO; MAX = 6*X1+12*X2+20*X3+30*X4; !RESTRICCIONES; X1+X2+X3+X4 <= 100000; !Producción máxima; 0.2*X1+0.3*X2+0.3*X3+0.5*X4 <= 12000; !Mano de obra; 0.5*X1+0.5*X2+X3+1.5*X4 <= 32000; !Tanque; 1/3*X1+1*X2+2*X3+3.333*X4 <= 50000; !Inventario máximo; MODELO MATEMÁTICO Valor objetivo: 574000 .000 VARIABLE VALOR X1 21000.00 X2 9000.000 X3 17000.00 X4 0.000000 Solución gráfica

Resuelva mediante el método gráfico el PL siguiente:

min z = 5X1 + X2 sujeto a: 2X1 + X2 >= 6 X1 + X2 >= 4 2X1 + 10X2 >= 20 X1, X2 >= 0 PROBLEMA

26

!VARIABLES:

Xi: Camiones tipo "i" a fabricar en el año "j" para venderse en el año "k"; !FUNCION OBJETIVO: Maximizar la utilidad;

MAX = 200000*(X111+X112+X113+X122+X123+X133)+170000*(X211+X212+X213+X222+X223+X233)- 150000*(X111+X112+X113+X122+X123+X133)+140000*(X211+X212+X213+X222+X223+X233)- 2000*(X112+X212+X123+X223)+4000*(X113+X213);

!RESTRICCIONES; !Demandas anuales;

X111 = 100; !Año 1, camión tipo 1;

X211 = 200; !Año 1, camión tipo 2;

X112+X122 = 200; !Año 2, camión tipo 1;

X212+X222 = 100; !Año 2, camión tipo 2;

X113+X123+X133 = 300; !Año 3, camión tipo 1; X213+X223+X233 = 150; !Año 3, camión tipo 2;

MODELO MATEMÁTICO SOLUCIÓN

SOLUCIÓN Valor objetivo:

VARIABLE VALOR X111 100 X112 0 X113 300 X122 200 X123 0 X133 0 X211 200 X212 0 X213 150 X222 100 X223 0 X233 0 Asignación en máquinas

Grummins Engine fabrica camiones a diesel. Las nuevas normas gubernamentales sobre las emisiones señalan que las emisiones

contaminantes promedio de todos los camiones fabricados en los tres años próximos no pueden ser mayores de 10 gramos por camión.

Grummins produce dos tipos de camiones. Cada camión tipo 1 se vende en 20000 dólares, cuesta 15000 dólares fabricarlo y emite 15

gramos de contaminantes. Cada camión tipo 2 se vende en 17000 dólares, cuesta 14000 dólares fabricarlo y emite 5 gramos de contaminantes. La capacidad de producción limita la producción total de camiones durante cada año, a cuando mucho 320 camiones.

Grummins sabe que la cantidad máxima que se puede vender de cada tipo de camión durante cada uno de los tres años próximos, se da

en la tabla siguiente:

Año Tipo 1 Tipo 2

1 100 200

2 200 100

3 300 150

Por consiguiente, se pueden vender durante el año 3 cuando mucho 300 camiones tipo 1. La demanda se podría cumplir con la producción anterior o con la producción del año actual. Cuesta 2000 dólares conservar un camión (de cualquier tipo) en inventario durante un año. Formule un PL que ayude a Grummins a maximizar su utilidad durante los próximos tres años.