UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA
DE LOS ANDES
FACULTAD DE EDUCACIÓN Y COMUNICACIÓN
MAESTRÍA EN GERENCIA DE LA EDUCACIÓN ABIERTA
PROYECTO EXAMEN COMPLEXIVO PREVIO A LA
OBTENCIÓN DEL GRADO ACADÉMICO DE MAGISTER EN
GERENCIA DE LA EDUCACIÓN ABIERTA
TEMA:
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN EL PROCESO LÓGICO
-MATEMÁTICO DE LOS ESTUDIANTES
AUTOR: Ing. JOSÉ ARCESIO BAÑO PAZMIÑO
ASESOR: Dr. ARIEL ROMERO FERNÁNDEZ, PHD
BABAHOYO – ECUADOR
CERTIFICACIÓN DEL ASESOR
En mi calidad de Asesor del Proyecto “ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN
EL PROCESO LÓGICO -MATEMÁTICO DE LOS ESTUDIANTES”, que fue
elaborado por el ING. JOSÉ ARCESIO BAÑO PAZMIÑO, Certifico que el trabajo se encuentra concluido y ha cumplido con los requisitos técnicos y pedagógicos que la Universidad Regional Autónoma de los Andes UNIANDES exige para la sustentación previa a la obtención del Título de Magister en Gerencia de la Educación Abierta.
DECLARACIÓN DE AUTORÍA
Me es grato poner a disposición y a favor de la educación este trabajo de investigación del cual declaro ser el autor intelectual directo. Este trabajo se ha respaldado en fuentes de investigacion de autores nacionales y extrajeros, los cuales han enriquecido el conocimiento y la fundamentacion que podran encontrar en el desarrollo del mismo En cuanto a las metodologías, garantizo que esta investigacion ayudará a identificar las falencias en el actual sistema educativo para la enseñanza de la materia matemática, así como también la vericidad de aquellos métodos y conceptos que repetimos al momento de la enseñanza.
Han sido agregados y transcritos algunos contenidos que pertenecen a autores de diferente categoría, todos enfocados al desarrollo de la materia basados en investigación científica, cuyo único objetivo ha sido el de mostrar al mundo lo que realmente es la enseñanza de esta materia y derrumbar paradigmas que la sociedad ha creado alrededor de esta.
DEDICATORIA
Dedico este trabajo primerisimamente
a Dios que me ha facultado de vida,
para poder culminar esta investigación,
A mis amados padres y hermanos
por acompañarme cuando más he necesitado un apoyo;
en especial a mi padre,
cuyas sabias palabras aun siguen haciendo ruido en mi cabeza
motivandome cada día
A mi adorada esposa Sally
por ser mi pilar
por apoyarme siempre, acompañarme
y ayudarme en los
AGRADECIMIENTO
Muy primeramente a Dios que me ha facultado de vida,
para poder culminar esta investigación.
A la Universidad Autónoma de los Andes,
a su Rector y demás autoridades
quienes nos han guiados durante este crecimiento.
A todos nuestros colegas,
quienes dedican su vida
para compartir conocimientos en búsqueda de la verdad
A mi Asesor de proyecto Dr. Ariel Romero Fernández, phd.
INDICE
Resumen Ejecutivo ... Ejecutive Summary ...
a) Tema ... 1
b) Problema que se va a investigar ... 1
c) Justificación de la necesidad, importancia y actualidad del tema a investigar. ... 1
d) Línea de investigación... 4
e) Objetivos ... 4
f) Fundamentación teórica – conceptual de la propuesta y elementos que motivaron a elegir el tema. ... 4
Las deficientes aplicaciones de estrategias afectan el desarrollo del proceso Lógico Matemático de los estudiantes ... 4
Algunos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas ... 8
Conocimientos que no lo son: ... 10
Representación matemática ... 11
Representación numérica. ... 12
Procedimientos matemáticos. ... 12
g) Metodología ... 13
Métodos Teóricos:... 13
Métodos Empíricos: ... 13
Población y muestra ... 14
Encuesta a Docentes ... 15
Encuesta a Estudiantes... 19
La implicación lógica en el proceso de demostración matemática (Nivel
Inicial) ... 23
Impulso del pensamiento matemático (Nivel Inicial y Primario) ... 24
Rectas numéricas ... 24
Tablas de multiplicar ... 25
Material concreto ... 25
Problemas de historia ... 25
Juegos Mentales (Lucha de hemisferios) ... 27
Desarrollar la intuición lógica - matemática ... 27
Resolución de problemas (Niveles inicial, primario, medio)... 31
El Plan de Pólya. ... 32
Las estrategias en la resolución de problemas. ... 36
Método de Singapur ... 37
Recuperación del pensamiento geométrico y de la intuición espacial (Niveles inicial, primario, medio y superior) ... 39
Desarrollo del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadística ... 40
j) Conclusiones ... 40
Resumen Ejecutivo
Palabras Claves: Estrategias Metodológicas, Proceso Matemático y Lógico, Métodos de Enseñanzas, Educación.
Ejecutive Summary
Palabras Claves: Estrategias Metodológicas, Proceso Matemático y Lógico, Métodos de Enseñanzas, Educación.
1
a) Tema
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN EL PROCESO LÓGICO -MATEMÁTICO DE LOS ESTUDIANTES
b) Problema que se va a investigar
La deficiente preparación de los docentes bajo las normativas de una nueva tecnología, que implica el desconocimiento del desarrollo de los métodos de enseñanza activa conlleva a formar alumnos desinteresados en las diferentes materias de estudio, lo cual perjudica el proceso de aprendizaje de los mismos, tornándolos en muchos casos repetidores de una teoría mas no en críticos o analíticos.
El problema que se investigará será el siguiente:
¿Cómo perfeccionar las estrategias utilizadas por los docentes para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático de los estudiantes de la Unidad Educativa Bernardino Echeverría en las diferentes etapas de su enseñanza?
Este proyecto de investigación será llevado a cabo en la ciudad de Guayaquil, en la provincia del Guayas, en la República del Ecuador.
c) Justificación de la necesidad, importancia y actualidad del tema a
investigar.
El desconocimiento de los pasos agigantados con que la ciencia y la tecnología avanzan actualmente, da lugar a que en determinados lugares, la educación continué su marcha lenta, como si nada nuevo ocurriera en el mundo, aplicando métodos de enseñanza que se identifican con un modelo conductivista antes que con un modelo constructivista, existiendo por lo tanto un divorcio antagónico entre la ciencia y la educación.
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XXI la mayoría de la humanidad se encuentre bajo los efectos de una ignorancia atroz y sin precedentes, sin reconocer en muchos casos que la educación es el motor fundamental para un verdadero desarrollo social de los pueblos, existiendo muchas preguntas con respuestas memorísticas y que tienden a un posterior olvido.
La no comprensión del porque se imparten una serie de contenidos y además no relacionar dichos contenidos con conocimientos científicos encadenados provoca que los estudiantes aprendan de forma aislada y además que recurran a un memorismo desmedido que no les permite salir de la ignorancia existente, provocando una continua repetición de la información, ocasionando la producción de una persona insegura en las operaciones que realiza.
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Contar con las habilidades, estrategias, métodos, y formas de expresión para facilitar la comunicación y la comprensión de la información matemática en los estudiantes, así como también facilitar la toma de decisiones y el desarrollo de estrategias de manera que estas conduzcan a un desenvolvimiento eficaz en las diversas actividades o situaciones a las que se enfrenta diariamente los estudiantes, teniendo por consiguiente personas con capacidad para desenvolverse en un mundo altamente tecnificado donde la vinculación de las matemáticas con el resto de las ciencias se hace cada vez más intensa. Las estrategias inadecuadas conllevan a que los estudiantes opten por el camino de la repetición sistemática de conocimientos y se desvinculen del camino de la criticidad, llegando a ser personas no creativas ni reflexivas, y por lo tanto no están preparados para enfrentar un mundo cambiante y de decisiones cada vez más complejas y crecientes.
Según Carlo Frabetti: “Un buen profesor de matemáticas ha de tener inteligencia, sentido del humor y ganas de enseñar” (Frabetti, 2008). Se considera pertinente la investigación ya que es una manera coherente de estudiar relaciones lógicas con estrategias convencionales y métodos coherentes que conllevan a realizar inferencias no sólo en el campo de las matemáticas sino en todo campo de estudio.
Esta investigación será de singular trascendencia para los estudiantes ya que existirá un antes y un después de la misma de manera tal que el estudiante se autoevalúe y se convenza de la importancia de las estrategias correctas para tratar ejercicios y demostraciones que impliquen razonamientos lógicos.
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d) Línea de investigación
Procesos didácticos
e) Objetivos
General
Proponer estrategias didácticas para potencializar el raciocinio en los estudiantes mediante el empleo de argumentos lógicos en la Educación General Básica Superior.
Específicos:
Elaborar estrategias matemáticas para mejorar el raciocinio lógico de los estudiantes.
Reforzar las destrezas intelectuales en la formación de conceptos matemáticos en los estudiantes de la Educación General Básica.
Potencializar el nivel de incidencia práctica entre el lenguaje común y el lenguaje simbólico matemático a través de ejemplos.
f) Fundamentación teórica – conceptual de la propuesta y elementos que
motivaron a elegir el tema.
Las deficientes aplicaciones de estrategias afectan el desarrollo del
proceso Lógico Matemático de los estudiantes
Lo que es seguro es que la matemática está ahí, a la vuelta de la esquina, en nuestra vida cotidiana y esperando a que la descubramos.
Matemática… ¿Estás Ahí? (Paenza, 2005)
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especies. Se ha observado que tanto en niños, en etapas pre verbales, como en animales existe la capacidad para apreciar cantidades, como por ejemplo el número de elementos en un grupo sin que exista la necesidad de contarlos verbalmente.
Tanto la representación mental de una cantidad, como los procedimientos para codificar, comparar y realizar procedimientos, y las regiones cerebrales reclutadas y activas en estos procesos son comunes tanto para humanos como animales. (Cantlon)
Es importante considerar, como indicó Socas, que la didáctica en el área de matemática está íntimamente relacionada a la semiótica, entendiendo por semiótica, “la teoría general y ciencia que estudia los signos, sus relaciones y su significado”i
(Socas, 2007). Así también tener presente que en el latín y también en el griego es donde nos encontramos con el origen etimológico de las dos palabras que dan forma al término pensamiento lógico. Pensamiento emana del verbo pensare que es sinónimo de “pensar”. Lógico, por su parte, tiene en el griego su punto de origen pues procede del vocablo logos que puede traducirse como “razón”. (Quezada, 2011)
En los niños se evidencia de conceptos sobre estimaciones y operaciones básicas. Los niños que todavía no hablan pueden distinguir numéricamente entre unos pocos objetos, al igual que algunos animales como los chimpancés, lo cual hace pensar que el sentido de la cantidad es una característica que compartimos con los primates, mientras que el pensamiento simbólico y verbalizado matemático es exclusivo del ser humano.
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Estas son algunas preguntas que las neurociencias intentan resolver y ya se vislumbran algunas respuestas.
El desconocimiento de las individualidades en el proceso de enseñanza aprendizaje implica que se ejecuten una serie de metodologías generales, lo cual desdice de la aplicación y utilización de las inteligencias múltiples como una manera eficaz de elevar el conocimiento.
Los efectos de la globalización neoliberal caracterizada por el aumento del desempleo, la inequidad en el ingreso, ha traído como consecuencia la agudización de la crisis de la educación no solo en América Latina sino en el mundo. Siendo la educación uno de los vectores importantes que deben incluirse en el plan de desarrollo nacional.
El desconocimiento de los procesos de pensamiento adecuados para la adquisición de nuevos conocimientos, así como el desconocimiento de las interconexiones existentes entre los diversos conectivos proposicionales que forman macro proposiciones, nos lleva a la incapacidad de extraer conclusiones o inferencias de un conjunto de proposiciones. De igual manera el desconocimiento de las tablas de verdad conduce a una meta equivocada en cuanto a interpretar el valor de verdad de proposiciones compuestas.
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No disponer de un lenguaje simbólico o de patrones de inferencia que nos permita relacionar proposiciones a simples símbolos, guía equivocadamente a los estudiantes a amplificar una serie de argumentos, haciéndonos muy difícil una demostración. Y nos impide en muchos casos comunicarnos de manera lógica con nuestros semejantes
Las matemáticas permiten resolver problemas en diversos ámbitos, tales como el científico, el técnico y el artístico; así como también en la vida diaria. Si bien el adulto ha construido a través de su experiencia diferentes conocimientos matemáticos, la mayoría de las veces, tales conocimientos no son suficientes.
El apego a la ignorancia traerá como consecuencia que no se está preparado para conocer el lenguaje que nos permita leer el gran libro de la naturaleza, el cual está siempre abierto ante nuestros ojos, pero escrito en un lenguaje con símbolos y caracteres matemáticos.
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Algunos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas
Las matemáticas resultan ser una ciencia tan misteriosa y tan incierta, que podría ser objeto a su vez de una fama tan incierta. Algunos jóvenes la consideran una tortura, y sin embargo otros la llegan a considerar como la ciencia con la verdad absoluta, solucionadora de los problemas de la humanidad. (Recamán Santos, 2004)
Son enormes los problemas que se presentan en todo lugar en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática, citaremos algunos de ellos:
1.- No se aplican aprendizajes significativos, el estudiante no comprende el porqué de lo que está estudiando y sólo estudia por aprobar la materia, de esta manera memoriza y repite lo enseñado para aprobar el curso y luego ese conocimiento se pierde ya que estuvo en la memoria de corto plazo.
Si no existe una buena comprensión de determinados conocimientos, es muy difícil que se puedan comprender los que siguen en orden. ¿Puede un estudiante multiplicar correctamente si no aprendió a sumar?
2.- Se conocen contenidos de forma aislada, y los problemas en general se dan de esta manera de tal forma que no se produce una integración de varios contenidos y ese aislamiento crea inseguridad en el estudiante. He escuchado a varios estudiantes decir: “Profesor, está bien así”.
3.- Falta perseverancia. En el momento en que se presenta la primera dificultad y se nubla el panorama, el estudiante desiste en la búsqueda de la solución o no continúa con seriedad en la búsqueda de una solución.
4. Creencias previas y factores emocionales
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recalcan la importancia que tienen las creencias previas y la inteligencia emocional en el aprendizaje.
Fomentar un clima educativo que favorezca las emociones positivas (facilitando factores como el optimismo o la resiliencia), en detrimento de las negativas, es tan importante o más que la aportación de contenidos puramente académicos.
La pedagogía utilizada en la fase inicial del aprendizaje de las matemáticas incide directamente en la motivación del alumno. El rechazo inicial provocado en muchos niños guarda una relación directa, en numerosas ocasiones, con una enseñanza basada en infinidad de cálculos mecánicos que coartan el proceso intelectual creativo del alumno y en una representación de la terminología incomprensible para él.
5. El papel del profesor
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Una simple explicación puede facilitar el proceso de atención. Además, sabemos que el funcionamiento de la memoria de trabajo está limitado por la atención que prestamos a los objetos.
(Guillén, 2012)
Conocimientos que no lo son:
A un grupo de docentes se le realizó la siguiente pregunta: ¿Cuántos rectángulos se pueden ver en el siguiente gráfico?
Ilustración 1. Cuadrado vs Rectángulo
La respuesta fue unánime por parte de los docentes: “Se ve un rectángulo y un cuadrado”. Es decir, no se distingue que en el gráfico hay dos rectángulos. Para explicar la situación se recurre a la etimología de la palabra:
Según la Real Academia de la Lengua (Real Academia Española, 2015), un ángulo es: “Figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto; o también la formada en el espacio por dos superficies que parten de una misma línea”.
Ángulo recto: “Un ángulo recto es aquel que mide 90° (sexagesimales). Su amplitud medida en otras unidades es: π/2 radianes y 100g (centesimales). Sus dos lados son dos semirrectas perpendiculares, y el vértice es el origen de dichas semirrectas”. (Wikipedia, 2015)
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como tal, tiene también los lados iguales, se le denomina cuadrado, pero cumple la definición y es rectángulo.
Este tipo de conocimiento ha sido llevado a lo largo de muchos años por estudiantes y docentes y se ha repetido el mismo error en innumerables ocasiones.
Teniendo en cuenta que Matemática los conceptos no se dice, se forman, es el estudiante quien luego de la respectiva ejercitación y orientación adecuada y con el respectivo sustento científico, forma los conceptos en su cerebro. Estos conceptos servirán de base para futuros conocimientos y desarrollo de destrezas. En Matemática, los conceptos se encadenan unos con otros, las premisas luego de su conjunción nos dan conclusiones. Las hipótesis conducen al desarrollo de tesis o a descartar posibles tesis. Luego del ejemplo anterior en el cual observamos que el probable conocimiento carece del sustento científico, viene a distorsionar futuras definiciones.
La preparación debe ser constante y el maestro tendrá la humildad necesaria para reconocer errores y cortar el ciclo de aprendizaje para no arrastrar falencias que poco a poco se convertirán en enormes abismos que nos separarán de aquellos estudiantes que recibieron no sólo mejores estrategias de aprendizaje sino el contenido científico correcto.
El docente debe entonces extraerse de esta cultura y empezar a auto prepararse, a leer, a comparar sus conocimientos, a profundizar en las definiciones y saber formar conceptos en sus estudiantes.
Representación matemática
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Representación numérica.
Se refiere a los elementos empleados para codificar y representar cantidades y que representan el lenguaje matemático. En cuanto al lenguaje matemático escrito, es más complejo que el idiomático. En el lenguaje escrito matemático se encuentran dos formas de codificación: uno gráfico (lingüístico) y otro simbólico (conceptual), cada uno de los cuales depende de funciones hemisféricas cerebrales particulares:
Gráfico. Letras que dependen del idioma (cinco, diez, cien, etc.). Está relacionado con el lenguaje y por tanto depende de la actividad del hemisferio izquierdo, el cual está encargado de las funciones verbales.
Símbolos. Dígitos, son representaciones abstractas del número que dependen de la cultura; arábicos (1, 2, 3), romanos (I, III, IV, X), binarios (00, 01, 11). Están relacionados con el hemisferio derecho principalmente, en este caso no está relacionado directamente con el lenguaje hablado.
Procedimientos matemáticos.
Por otro lado desde el punto de vista de ejecutar operaciones encontramos dos grandes grupos de procedimientos u operaciones:
Aproximadas. Comparaciones mentales. Estos procedimientos están relacionados con estimaciones de cantidades aproximadas. Dependen más de la actividad del hemisferio derecho. Desde el punto de vista evolutivo, son los primeros procedimientos que aparecen, ya que no requieren de verbalizar cantidades. Tienen un valor más importante la capacidad viso-espacial. Las áreas cerebrales activadas son comunes para primates, niños y adultos (Dehaene).
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hemisferio izquierdo, en este caso la expresión verbal de la cantidad es fundamental y de allí su relación con la capacidad lingüística. (Vargas, 2012)
El presente estudio tiene como propósito sustentar las bases de varias estrategias matemáticas, poner a disposición de los docentes las bases que de seguro tienen enseñanzas empíricas desarrolladas a lo largo de años de trabajo.
g) Metodología
En esta investigación se utilizarán los siguientes métodos:
Métodos Teóricos:
Al pasar de lo abstracto a información concreta, se utilizarán los siguientes métodos para llevar a cabo el análisis.
Histórico-lógico: Mediante el análisis diferentes antecedentes históricos y criterios derivados de profesionales en el aspecto.
Análisis y síntesis: Se analizaron diferentes campos del problema, analizándolos de manera general y así también como cada parte involucrada en el estudio por cada uno de los actores.
Inductivo-deductivo: Se emplea en el proceso de la información basada en hechos concretos y que son causa y factor directo de análisis, para determinar las falencias en el sistema educativo e inducir a posibles propuestas.
Métodos Empíricos:
Análisis de documentos: Se utiliza para conformar la teoría establecida respecto a la evaluación en la asignatura Didáctica. Además se revisa la malla curricular de la carrera, las evaluaciones realizadas por los profesores de la asignatura Didáctica en los dos últimos años.
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La evaluación educativa implica una actividad constante de tipo comparativa que contempla una diversidad de dimensiones, para que sea de calidad, es necesario tener claro el objetivo y la población a evaluar. (Instituto Nacional de Evaluacion Educativa)
Población y muestra
Docentes: Se encuesta al 100% de los docentes, que en total son 5 personas que se encargan de impartir la materia matemáticas en la unidad educativa
Estudiantes: Se considera un total de 640 estudiantes que comprenden el total de la población, del cual se tomará una muestra aleatoria.
Para la determinación de la muestra se utiliza la siguiente expresión:
Dónde:
z: corresponde al número de desviaciones estándar (95% de significancia cuyo valor es 1,96)
p: probabilidad de éxito
q: (1 - p) probabilidad de fracaso e: margen de error (5%)
N: tamaño de la población (640 estudiantes soldados) n: tamaño de la muestra
n = 65.61
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Encuesta a Docentes
Se encuestaron al total de docentes en el área de matemáticas de la Unidad Educativa que en total suman 5. Se obtuvo información sobre la pedagogía y aspectos generales de la enseñanza de las matemáticas, y a continuación los resultados:
Pregunta 1
¿Cuántos estudiantes tiene usted a su cargo, por curso?
Cuadro 1. Número de estudiantes por curso Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverria
Ilustración 2. Número de estudiantes por curso Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Se observa que en todos los cursos donde se realiza la investigación, tienen en promedio entre 30 y 40 estudiantes.
Pregunta 2
Marque la opción que se usted considera acorde a sus estudiantes al momento de atender clases. Solo una opción
Cuadro 2. Motivos para trabajar en clase Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 3. Motivos para trabajar en clase Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Se encontró que para la percepción de los docentes, la mayoría de estudiantes trabajan en clase por obligación y por la necesidad de aprobar el curso.
Docentes % a. Entre 25 y 30 estudiantes 0 0% b. Entre 30 y 40 estudiantes 5 100%
c. M ás de 40 0 0%
5 100% ¿Cuántos estudiantes tiene usted a su cargo, por curso?
0 5
Entre 25 y 30 estudiantesEntre 30 y 40 estudiantesMás de 40
Número de
estudiantes por curso
Docentes %
a. Trabajan por obligación 2 40% b. Trabajan porque le tiene miedo al profesor 0 0% c. Trabajan porque la clase les gusta 1 20% d. Trabajan porque desean pasar el curso 2 40% 5 100% M arque la opción que se usted considera acorde a sus
16 Pregunta 3
¿Cuál considera que es el origen de las dificultades de los estudiantes al aprender matemáticas?
Cuadro 3. Dificultades al aprender matemáticas Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 4. Dificultades al aprender matemáticas Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
El 60% de los docentes consideran que la principal dificultad para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático, radica en la familia, mientras que el 20% cree que el carácter de profesores y el mismo porcentaje por falta de buenas estrategias. Como dato importante, la situación económica no es considerada como parte crítica en el aprendizaje.
Pregunta 4
Cuando un estudiante da una respuesta equivocada, ¿cuál es su postura?
Cuadro 4. Acción correctiva
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 5. Acción correctiva
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
La mayoría de docentes al tener un estudiante con respuestas equivocadas, vuelven a explicar. Solo un docente, al tener esta situación, utiliza una estrategia diferente para explicar el problema.
Docentes %
a. La familia 3 60%
b. Situaciones económicas 0 0% c. El carácter de los profesores 1 20% d. La falta de buenas estrategias 1 20% 5 100% ¿Cuál considera que es el orígen de las dificultades de
los estudiantes al aprender matemáticas?
Docentes %
a. Le vuelve a explicar 4 80%
b. No le explica porque ya lo hizo 0 0% c. Le llama la atención por no atender 0 0% d. Busca otra estrategia para explicarla 1 20%
17 Pregunta 5
¿Cómo trabaja los contenidos de su asignatura?
Cuadro 5. Materiales utilizados en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 6. Materiales utilizados en clase Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
El 60% de los docentes solo explican, el 20% adiciona material concreto y el 20% restante utiliza material audiovisual.
Pregunta 6
¿Cree usted que en matemáticas se pueden aplicar estrategias variadas, de acuerdo con los temas a desarrollar?
Cuadro 6. Estrategias variadas en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 7. Estrategias Variadas en clase Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Todos los profesores consideran que se pueden aplicar estrategias variadas en los temas de enseñanza.
Docentes %
a. Explica 3 60%
b. Explica y utiliza material concreto 1 20% c. Explica, utiliza material concreto y audiovisual 1 20% 5 100% ¿Cómo trabaja los contenidos de su asignatura?
Docentes %
Si 5 100%
No 0 0%
5 100% ¿Cree usted que en matemáticas se pueden aplicar
18 Pregunta 7
¿Cree usted que en matemáticas se pueden aplicar estrategias variadas, de acuerdo con los temas a desarrollar?
Cuadro 7. Estrategias para institución
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 8. Estrategias para institución Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
El 60% de los docentes está de acuerdo que sí se pueden aplicar estrategias variadas en la enseñanza de matemáticas.
Pregunta 8
¿Aplica usted diferentes estrategias para enseñar matemáticas?
Cuadro 8. Estrategias para institución
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 9. Estrategias para institución Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
La mayoría de profesores del área de matemáticas de la Unidad Educativa si aplican estrategias variadas en sus clases.
Docentes
Si 2
No 3
¿Cree usted que en su institución educativa, se aplican variadas estrategias en la enseñanza de
matemáticas?
Docentes %
Si 3 60%
No 2 40%
5 100% ¿Aplica usted diferentes estrategias para enseñar
19
Encuesta a Estudiantes
El tamaño de la muestra fue de 66 estudiantes, los cuales fueron tomados de manera aleatoria para la encuesta. Los resultados se muestran a continuación
Pregunta 1
¿Cree que su profesor conoce que existen diferentes estilos de aprendizaje?
Cuadro 9. Conocimiento de estilos de aprendizaje Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 10. Conocimiento de estilos de aprendizaje Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Los estudiantes comienzan a diferenciar a sus profesores.
Pregunta 2
¿Cuál de las siguientes estrategias es más utilizada por su profesor para trabajar en el salón de clases?
Cuadro 10. Estrategias más utilizadas
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 11. Estrategias más utilizadas
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Como resultado entonces, la gran mayoría de estudiantes tienden a hacerse memoristas, más no críticos.
Estudiantes %
Si 45 68%
No 21 32%
66 100%
¿Cree usted que su profesor conoce que existen diferentes estilos de
aprendizaje?
Estudiantes % a. Explica y hace ejercicios en la pizarra 29 44% b. Explica y hace ejercicios de la vida real en la
pizarra 3 5% c. Hace leer a los estudiantes y luego trabajan 9 13% d. Realiza actividades participativas e interesantes 8 12% e. Realiza ejercicios grupales 5 8% f. Realiza ejercicios grupales con posteriores
exposiciones 3 4% g. A la vez que desarrolla la clase, permite
reflexionar a los estudiantes 5 8% h. Utiliza la tecnología en el desrrollo de sus clases 4 6% 66 100% ¿Cuál de las siguientes estrategias es más utilizada
20 Pregunta 3
Si algún estudiante tuvo dificultades en la comprensión, ¿su profesor repite la clase con otras estrategias?
Cuadro 11. Dificultades de comprensión
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 12. Dificultades de comprensión Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
Si repito la misma estrategia, el estudiante encontrará la misma dificultad de aprendizaje
Pregunta 4
¿Qué calificativo utilizaría usted para describir su clase de matemáticas?
Cuadro 12. Describir clase de matemáticas Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 13. Describir clase de matemáticas Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
Se visualiza la falta de destrezas en la enseñanza de esta asignatura. Estudiantes %
Si 14 21%
No 52 79%
66 100% Si algún estudiante tuvo dificultades en la
comprensión, ¿su profesor repite la clase con otras estrategias?
Estudiantes % a. Es interesante 11 16% b. Es motivadora 6 9% c. Es alegre 2 3% d. Es aburrida 18 28% e. Genera problemas 12 18% f. Es difícil 17 26% 66 100% ¿Qué calificativo utiliaría usted para describir su
21 Pregunta 5
¿En qué rango se ubican las calificaciones que usted obtiene en la asignatura matemáticas?
Cuadro 13. Rango de Calificaciones
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría Ilustración 14. Rango de Calificaciones Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
Demasiados estudiantes con tendencia al examen supletorio.
Pregunta 6
¿Qué considera usted necesario para que sus calificaciones sean mejores?
Cuadro 14. Para mejorar calificaciones
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 15. Para mejorar calificaciones Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
La gran mayoría de estudiantes desea mejorar sus notas.
Estudiantes % a. M enos de 5 9 13% b. Entre 5 y 7 22 34% c. Entre 7 y 9 31 47%
d. 10 4 6%
66 100% ¿En qué rango se ubican las calificaciones que usted
obtiene en la materia matemáticas?
Estudiantes % a. Que su profesor cambie de estrategias 32 48% b. Que su profesor cambie de actitud 18 28% c. Que hayan más deberes 3 5% d. Que usted se dedique más al estudio 7 10% e. Está satisfecho con sus calificaciones 6 9%
66 100% ¿Qué considera usted necesario para que sus
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i) Desarrollo de la Propuesta
Dentro de las falencias encontradas en la encuesta que se tomó fue que los docentes carecen de estrategias variadas para el desarrollo del pensamiento de los estudiantes con diferentes métodos y herramientas.
Una estrategia educativa es, a grosso modo, un proceso o acto para conocer de un asunto en una ciencia específica, y tiene como uno de sus objetivos dar a conocer el mundo a los niños para que estos lo usen y expliquen. En particular, uno de los objetivos de la matemática es dar explicaciones sobre los hechos mundanos. (Durán C., 1995)
Las falencias encontradas en nuestras encuestas fueron en líneas generales que los estudiantes no sentían una motivación para estudiar, y también que no sentían que poseen estrategias adecuadas.
Los métodos propuestos indican los procedimientos más adecuados y estrategias para que los estudiantes alcancen su mayor capacidad de desarrollo lógico matemático según las etapas en las que se encuentren cursando. Se encuentran divididas en las siguientes categorías:
Nivel Inicial
Nivel Inicial y Primario
Niveles Inicial, Primario y Medio
Niveles Inicial, Primario, Medio y Superior
23
A continuación, se citarán algunas estrategias, consideradas de fácil utilización en los diferentes niveles de educación formal, comprendidos entre la educación inicial y secundaria. Estas estrategias ofrecen al docente líneas de acción sobre las cuales manejar su planificación áulica, para el mejoramiento del pensamiento lógico-matemático.
La implicación lógica en el proceso de demostración matemática (Nivel
Inicial)
(Carbajal, 2011)
Vivencia con el propio cuerpo: la madurez neurológica, emocional, afectiva, el movimiento del cuerpo, el juego libre y la acción del niño le van a permitir desarrollar y organizar su pensamiento. Los siete primeros años de vida son muy importantes, ya que en este periodo se da la transición de una inteligencia en acción hacia un pensamiento conceptualizado y simbólico. Por lo tanto, el niño de educación inicial necesita actuar para poder pensar. El cuerpo y el movimiento son las bases a partir de las cuales el niño desarrolla su pensamiento.
Exploración y manipulación del material concreto: es importante la manipulación del material concreto para que estas habilidades se desarrollen, brindándole la oportunidad al niño de crear, comunicar y expresar sus diseños. la “exploración” brindan oportunidades de relacionarse de manera libre con los diferentes objetos estructurados y no estructurados, que permiten que el niño y la niña descubran características, propiedades, funciones y relaciones, y otras nociones y competencias matemáticas requeridas para el nivel inicial.
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representación gráfica a través del dibujo acompañada de la verbalización de cómo ha sido desarrollado.
Cabe recalcar que lo más importante para asegurar que nuestros niños estén preparados para los estudios secundarios y encaminados hacia el éxito en la universidad y en el mundo del trabajo, es que los padres deben participar desde una edad temprana—y seguir participando durante los años de escuela—para fortalecer las destrezas de los niños en las matemáticas, como así mismo una actitud positiva hacia su estudio. (Departamento de Educación de los, 2005)
Impulso del pensamiento matemático (Nivel Inicial y Primario)
Las matemáticas pueden ser un tema difícil de comprender para los escolares de primaria. La naturaleza abstracta del concepto suele hacerlo difícil de explicar a los jóvenes estudiantes. Las matemáticas en la enseñanza primaria son mucho más fáciles con la ayuda de una variedad de herramientas que ayudan a concretar los conceptos matemáticos y a demostrar a los estudiantes cómo utilizarán las matemáticas en su vida cotidiana.
Rectas numéricas
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básicas de suma y resta por primera vez, las líneas de números pueden ayudarles a comparar los valores de los números, así como a recordar el orden de los dígitos.
Tablas de multiplicar
Al desarrollar habilidades tempranas de matemáticas, los estudiantes deben aprender los hechos básicos de la multiplicación de memoria. Las tablas de multiplicar han sido una herramienta de repliegue durante años, pero siguen siendo valiosas. Al practicar las tablas con los estudiantes, los maestros pueden asegurar que sus estudiantes pueden recuperar rápidamente los hechos básicos de la multiplicación necesarios cuando pasen a conceptos matemáticos más avanzados en grados superiores.
Material concreto
Los materiales concretos son herramientas prácticas que ayudan a los estudiantes a descubrir problemas matemáticos simples o complejos. Los profesores suelen utilizar bloques de plástico o de madera con colores brillantes como materiales, pero se puede utilizar cualquier objeto concreto, incluyendo frutas de plástico pequeñas, pequeños trozos de caramelo o palillos de dientes. Cuando los estudiantes ven por primera vez un problema de suma, el concepto les resulta extraño. Puede ser difícil para ellos visualizar una situación en la que se agregue una cantidad a otra. A través de la ayuda de material concreto, los maestros pueden demostrar cómo funciona el concepto. Si un estudiante está tratando de determinar qué es dos más dos, fácilmente puede resolver el problema tomando dos manipuladores y luego tomar dos más. Entonces todo lo que tiene que hacer es contar para determinar la suma de los números.
Problemas de historia
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aplicarlas a situaciones reales. Al integrar problemas de historia en las lecciones diarias, los profesores efectivamente pueden asegurar que sus estudiantes aprendan a utilizar las matemáticas en la vida cotidiana. Además, los problemas de historia ayudan a los estudiantes a comprender la importancia de las matemáticas. Por medio de los problemas de historia, los estudiantes pueden empezar a ver que los conceptos que están aprendiendo no sólo son útiles en la escuela, sino que también tienen un valor inherente debido a aplicaciones del mundo real.
(Baroody, 1988)
Concentrarse en estimular el aprendizaje de relaciones: Debido a que los niños se niegan a memorizar información que para ellos no tenga sentido, entonces el docente debe promover que ellos establezcan relaciones que les permita ver las formas de aplicación de los conocimientos que van adquiriendo.
Ver conexiones y a modificar puntos de vista: Uno de los elementos que más ayudará a los niños a desarrollar su pensamiento matemático es que pueda establecer vínculos entre las instrucciones y los conocimientos que ya posee. Además, esta instrucción debería estar orientada a que el niño relacione entre sí varios bloques de información.
Estimular y aprovechar la matemática inventada por los propios niños: Los niños se inventan sus propias maneras para desenvolverse ante las situaciones en las que deben hacer uso de conocimientos matemáticos y es muy importante mostrarle la conexión que existe entre esas formas inventadas por ellos y las instrucciones escolares.
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los conceptos más elementales que le ayudarán a desarrollar su pensamiento matemático.
Juegos Mentales (Lucha de hemisferios)
Para enseñar unas matemáticas significativas, debe existir una relación recíproca entre
seriedad y frivolidad; la frivolidad mantiene alerta, la seriedad hace que el juego
merezca la pena. (Esperanza Casas, 1991)
Según este método aplicado por Niederman (Niederman, 2004), el autor logró encontrar la forma en que podemos desarrollar el cerebro con juegos mentales. Buscando que los estudiantes se diviertan en el aprendizaje, formule la pregunta si pueden llenar el siguiente diagrama: En las 8 casillas de la siguiente figura se trata de colocar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8 de modo que no resulten dos números consecutivos cerca ni en diagonal, ni en horizontal, ni en vertical.
Ilustración 16. Juegos Mentales (Niederman, 2004)
El estudiante experimenta una y otra vez una lucha fantástica entre los dos hemisferios. Es posible que comience ubicando el número 1 en la primera casilla, pero luego con un razonamiento lógico colocará los números 1 y 8 en las casillas del centro, pues son los que menos consecutivos tienen.
Desarrollar la intuición lógica - matemática
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enseguida que todo el contenido matemático surge como una necesidad de dar respuesta a algo que necesitamos para dar el paso siguiente en el recorrido de la humanidad. Decimos a los niños de la escuela con mucha naturalidad 5 – 3 = 2, 7 – 4 = 3, 8 – 2 = 6, etc. Los niños y los maestros aceptan con absoluta confianza que esto es verdad, pero de igual manera también los maestros manifiestan a los niños 3 – 4 es imposible realizarlo, no podemos tener 3 panes y comernos 4, eso es imposible; 5 – 9 es imposible realizar esta operación, si tenemos 5 manzanas es imposible comernos 9 y estudiantes niños y profesores aceptan esto de la manera más lógica, como lo aceptó la humanidad a lo largo de siglos. Lo conocido es N = {1,2,3,4,…}, que se trata del conjunto de los números naturales o conjunto de los números enteros positivos. (Aponte, y otros)
Pero un determinado día o noche perdida a lo largo de la historia, un cerebro humano que no sabemos de quien fue, pensó un paso más allá de toda la humanidad, pensó en los números negativos y derrumbó todos los paradigmas existentes hasta ese momento, es decir ahora 3 – 4 si era posible realizarlo, se había terminado lo imposible en este campo, pero la ciencia no llega tocando la puerta a cada uno de los docentes o padres de familia y gran cantidad de profesores todavía viven con el conocimiento anterior es decir que para ellos todavía 3 – 4 es imposible realizarlo.
Ahora bien que el niño como parte de su proceso acepte que tres menos cuatro no se puede realizar, no está mal porque en el camino de su preparación se irá develando lo que la ciencia descubrió hace muchos años atrás es decir el descubrimiento de los números negativos.
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Se toma sin darnos cuenta la experiencia de Cardano, el cual destruyó el tabú y empleó sistemáticamente los números menores que cero, y su lógica que puede haber algo menos que nada. Para él una deuda era menos que nada. (Asimov, 2005)
La ampliación del conjunto de los números naturales se hace con la introducción de los números enteros negativos, los cuales constituyen una forma de representar situaciones tales como deudas, temperaturas bajo cero y años antes de Cristo entre otras. (Santillana, 2006)
Ahora decimos con absoluta naturalidad cinco menos seis es menos 1, o damos ejemplo como: Si la temperatura en una determinada ciudad es 8º C y luego desciende 12º C, ¿cuál es la temperatura actual en esa ciudad? y la respuesta de la clase no se hace esperar, la nueva temperatura es menos cuatro grados centígrados. O ejemplos como: Si una persona tiene en su cuenta la cantidad de $ 800 y realiza una compra de $ 1200. Cuál es la realidad de esa persona y la clase responde: tiene una deuda de $ 400. Es decir la clase se apoderó del concepto de números negativos.
Aquel paradigma que recorrió siglos, se derrumbó por iniciativa del cerebro humano y es parte del proceso de educación a nivel mundial y las diversas maneras como se transmite el cambio de paradigma se convierten en las estrategias utilizadas por maestros, y tenemos científicos que nos dan explicaciones sobre cuál es la manera más eficaz de realizar este paso de un paradigma a otro, la pregunta de fondo sería: a qué edad se le comunica al niño de la existencia del nuevo paradigma, en qué momento el cerebro del niño está en capacidad de dar por sentado que 3 – 4 si es posible.
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planificada su cerebro es puesto a la nueva luz y en un día determinado de su ciclo escolar el profesor derrumba el paradigma con el que vivió hasta ese momento, y le comunica de la existencia de los números negativos, sería bueno pero no recomendado aislar a un grupo de niños para conocer en qué momento alguien de ellos descubre por si sólo la existencia de los números negativos, seguro estoy que sí lo descubrirían porque a lo largo de la historia, esa información ya se encuentra grabada en el laberinto de información conocido como cerebro.
Es el proceso de la evolución de la humanidad presente en el cerebro del estudiante para ubicarlo en un presente y buscar un futuro mejor para la humanidad.
“El mensaje cada vez es más claro, las estrategias, los métodos, el razonamiento lógico,
es al fin y al cabo el vehículo que nos ubica en el presente y nos proporciona las
“armas” para descubrir el nuevo horizonte de las matemáticas, porque el futuro de las
matemáticas marcará el futuro de la humanidad.”
Familiarización de conceptos
Para familiarizar al estudiante en todos los niveles y más aún en etapa inicial, con los términos matemáticos y con la cultura más culta en el ámbito educativo es recomendable que se utilicen los siguientes términos en nuestro lenguaje cotidiano:
Sustituir los términos Por estos otros (utilizándolos frecuentemente
“acostado”, “tumbado” Horizontal
“de pie”, “hacia arriba”, “recto” Vertical
“esquina” Ángulo
“raya” Línea recta
“redondo”, “redondel” Circular o esférico (según el caso), círculo
“punta” Vértice
“alrededor de”, “borde” Por el perímetro de
“desconocido” Incógnita
“trozo” Fracción
“es más grande que”, “es más pequeño que”
Tienes más longitud que…; menos superficie que…; más volumen que..; menos capacidad que…(según los casos) Tabla Número 16. Términos Sustituíbles
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Utilizar los términos En las siguientes situaciones
Paralelo; perpendicular Dibujos, juegos, croquis, planos, órdenes
verbales o escritas, enunciados de situaciones:
-Esa fila es paralela a esta… -Esta calle es perpendicular a…
-Esta figura es un polígono de… lados… -Dibuja un segmento de color…
-Dibuja un color… las diagonales de…, el radio de…, el diámetro de…
-Caminar en la misma dirección que… pero en sentido contrario a…
-El tejado tiene forma de trapecio… -Esta caja es un prisma…
-Este tubo es un cilindro…
Polígono
Diagonal, radio, diámetro Segmento
Inverso-opuesto Dirección-sentido
Nombres de polígonos o cuerpos geométricos, que aunque aparecen con frecuencia en situaciones habituales, no se suelen denominar con su nombre: trapecio, hexágono, pentágono, rombo, romboide… cilindro, cono, cubo, prisma, pirámide, esfera…
Tabla Número 17. Términos Utilizables Tomado de (Ripoll, 2001)
Resolución de problemas (Niveles inicial, primario, medio)
La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.
Se trata de considerar como lo más importante:
que el alumno manipule los objetos matemáticos;
que active su propia capacidad mental
que ejercite su creatividad
que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente;
que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental;
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que se divierta con su propia actividad mental;
que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana;
que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
A continuación se describen algunas estrategias sucintas en los métodos más generalizados de enseñanza y aprendizaje para la resolución de problemas.
El Plan de Pólya.
En los primeros años de la década de los años 80 del siglo XX, el NTCM de los Estados Unidos de Norte América hizo algunas recomendaciones sobre la enseñanza de la matemática, las que tuvieron una gran repercusión en todo el mundo. La primera de esas recomendaciones decía: “El Consejo Nacional de Profesores de Matemática recomienda que en los años 80 la Resolución de Problemas sea el principal objetivo de la enseñanza de matemática en las escuelas”.
Al resolver problemas se aprende a matematizar, lo que es uno de los objetivos básicos para la formación de los estudiantes. Con ello aumentan su confianza, tornándose más perseverantes y creativos y mejorando su espíritu investigador, proporcionándoles un contexto en el que los conceptos pueden ser aprendidos y las capacidades desarrolladas. Por todo esto, la resolución de problemas está siendo muy estudiada e investigada por los educadores. (Ministerio de Educacion, 2008)
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La Educación Básica debe asumir el desarrollo del pensamiento lógico matemático como un enfoque que pueda estar presente en cada una de las unidades curriculares, si a esta se le da el tratamiento adecuado, puesto que el pensamiento lógico matemático está íntimamente relacionado de una u otra forma con nuestras actividades cotidianas, es por ello que el docente puede y debe vincular en la medida de lo posible los contenidos que enseña las actividades que organiza como experiencias básicas con la realidad inmediata del educando, donde entre en juego la mediación y es el docente el encargado de transformar la realidad en lugar de imitarla.
Este plan fue creado por George Polya (Polya, 1973), y consiste en un conjunto de 4 pasos que orientan la búsqueda y exploración de soluciones de problemas de manera eficaz y a su vez aprender con la experiencia.
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por medios propios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimir una huella imperecedera en la mente y en el carácter". (Polya, 1973)
Se recomienda para que los estudiantes desarrollen su capacidad de desarrollar problemas, es fundamental que los docentes estimulen en sus alumnos interés por los problemas así como también muchas oportunidades de practicarlos.
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Se necesita para comprender el problema primero comprendero. Se debe leer detenidamente, notando con mucho cuidado las relaciones que existen en la información proporcionada. Se pueden formular las siguientes preguntas:
- ¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?
- ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema? - ¿Es posible hacer una figura, un esquema o un diagrama? - ¿Es posible estimar la respuesta?
2. Elaborar un plan
Se busca determinar las relaciones entre la incógnita y los datos del problema. Se trata de elaborar un plan o estrategia para resolver los datos del problema. Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final. Se elige las opciones y se indica las secuencias en que se deben realizar. Se estima la respuesta. Las preguntas que se pueden responder en este paso son:
- ¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda ayudarle a resolverlo?
- ¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
- ¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema?
- ¿Se puede resolver este problema por partes? - Intente organizar los datos en tablas o gráficos.
- ¿Hay diferentes caminos para resolver este problema? - ¿Cuál es su plan para resolver el problema?
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determinado grado de probabilidad. El razonamiento es el eslabón fundamental que permite pasar a nuevas formas de organización del conocimiento. De ahí su importancia como vía para la sistematización de este último. (Olaya, y otros, 2009)
3. Ejecutar el plan
Se ejecutan las operaciones en el orden establecido en el plan, y se verifica si los resultados en cada operación están correctos. Se aplican también todas las estrategias que fueron pensadas, y de ser necesario, se completan los gráficos, tablas o diagramas para obtener diferentes formas de resolver el problema. En caso de que no se obtenga éxito, se puede volver a empezar. En ocasiones sucede que un comienzo fresco o nueva estrategia conducen al éxito.
4. Mirar hacia atrás o hacer la verificación
En este paso de revisión y verificación, se analiza la solución no sólo para la corrección del resultado, sino también para examinar la posibilidad de usar estrategias diferentes de la seguida, para obtener la solución. A partir de este punto, se puede generalizar el problema o se puede formular otros a partir del mismo. Las preguntas que se pueden responder en este paso son:
- ¿Su respuesta tiene sentido?
- ¿Está de acuerdo con la información del problema? - ¿Hay otro modo de resolver el problema?
- ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver problemas semejantes?
- ¿Se puede generalizar?
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si realmente no se entiende qué es, cuál es su papel, y en donde reside su fuerza; y esto es algo que los alumnos no tienen claro, y lo que puede ser peor, es algo de lo que el docente no es consciente. (Aguirre, y otros)
Las estrategias en la resolución de problemas.
Los estudiantes deben percibir que no existe una única estrategia, ideal e infalible en la resolución de problemas. Además cada problema amerita soluciones determinadas y muchos podrían ser resueltos varias estrategias. Según (Blazquez, y otros, 2010), “Es que la matemática, tan abstracta y universal, tan útil a las ciencias exactas y naturales, también es bella y generadora de arte. Para apreciarla es necesario conocerla.”
A continuación se nombran algunas estrategias:
-Tanteo y error organizados (métodos de ensayo y error): Se eligen soluciones u operaciones al azar y se aplican las condiciones del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o en su defecto comprobar que no es posible. Después de los primeros ensayos, ya no se eligen opciones al azar sino se toman en cuenta los ensayos que ya se realizaron.
En matemáticas las relaciones se establecen a través de una lógica que utiliza los recursos de la lógica inferencial clásica. La secuencia con que se producen las cadenas inferenciales lógicas en cualquier problemática, permite analizar cómo el individuo las utiliza y las comprende. (Ruesga, 2012)
- Resolver un problema similar más simple: En ocasiones es mucho más útil resolver el problema pero con datos más sencillos para entender el sistema. Después de resolverlo, se puede aplicar el mismo método en la solución del problema más complejo.
- Hacer una figura, un esquema, un diagrama, una tabla: En algunos problemas se
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se puede hallar la representación adecuada. Esto sucede porque la mente asocia mucho mejor la solución con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos. - Buscar regularidades o un patrón: La estrategia considera que algunas veces existen particularidades en algunos casos, y a partir de estas, se puede buscar una solución general que sirva para todos los demás casos. Es útil cuando el problema presenta secuencias de números o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es usar el razonamiento inductivo para llegar a una generalización.
- Trabajar hacia atrás: Esta estrategia es útil cuando el problema implica números. Se empieza con los datos finales, tratando de descifrar con operaciones cómo llegar al principio, deshaciendo las originales.
- Imaginar el problema resuelto: En geometría suele ser muy útil imaginar el problema resuelto. Se traza figuras aproximadas que cumplan con las condiciones de la deseada. Se observan las relaciones con las características del problema y surgen los procedimientos para resolverlo.
- Utilizar el álgebra para expresar relaciones: Se puede relacionar con álgebra los problemas. Primero se nombran los números desconocidos con letras, y en seguida se empieza a expresar las condiciones del problema con operaciones. Al relacionar estas expresiones, se puede llegar a la respuesta concreta.
Adaptado de Mundomate, (Ministerio de Educacion, 2008)
Método de Singapur
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El método Singapur para enseñar matemáticas desarrolla la comprensión, retención, gusto por la aplicación de las matemáticas y la resolución de problemas de la vida diaria a través de habilidades sencillas.
No hay énfasis en la memorización, sino a generar habilidades de fondo. El método, tanto la enseñanza como el aprendizaje de las matemáticas, es aplicable a todos los niveles educativos, pues su propósito es en sumo sencillo: resolver problemas sobre la base de una adecuada lectura del planteamiento para conseguir una solución acertada.
Su cualidad ante otros métodos es la disposición gráfica de los datos y el manejo de algunos objetos para el apoyo a la comprensión, explicación y respuesta de los problemas. Su enseñanza va de lo concreto (material palpable) a lo pictórico (uso de imágenes y colores), para finalizar con lo abstracto (símbolos).
Es entonces necesario definir que el enfoque particular del método Singapur es que el aprendizaje de conceptos matemáticos se produce gradualmente, a la manera de una espiral, respetando el momento en el que el estudiante contará con la madurez cognitiva adecuada para entenderlo. Los contenidos se van retomando, pero con distintos grados de avance.
Otro de los principio básicos de este método es la “la variación sistemática”, que es una ejercitación reiterada de problemas matemáticos, pero con ajustes graduales en la dificultad, no es que los estudiantes repitan los mismo hasta memorizarlo o mecanizarlo, no se enseñan procedimientos como en la enseñanza de las matemáticas de manera tradicional, sino que se les ayuda a tomar las mejores decisiones en ciertas circunstancias.
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estrategias mentales, lo que propicia el pensamiento flexible para que los estudiantes consigan la mejor estrategia para aplicar en una situación de cálculo.
El procedimiento del Método Gráfico de Singapur comprende ocho pasos para resolver cualquier problema en forma rápida y sencilla. (Fundación UNAM, s.f.)
1. Leer y analizar varias veces el problema 2. Determina sobre qué o de quién se habla 3. Dibuja una barra unidad (rectángulo)
4. Lee nuevamente el problema frase por frase para evitar falsear u omitir información 5. Ilustrar las cantidades del problema
6. Identificar la pregunta guía, lo que ayudará a resolver el problema 7. Realizar las operaciones correspondientes
8. Escribir la respuesta con sus unidades
Recuperación del pensamiento geométrico y de la intuición espacial
(Niveles inicial, primario, medio y superior)
Hoy se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista didáctico, científico, histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la geometría.(Guzmán, s.f.)
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El matemático que ignora las fuerzas de evolución que han formado su pensamiento pierde una perspectiva de gran valor. (Collette, 1998)
En este abordaje es necesario evitar:
Llegar a los extremos en que se incurrió, por ejemplo, con la geometría del triángulo, tan en boga a finales del siglo XIX.
Evitar una introducción rigurosamente sostenida de una geometría axiomática.
Desarrollo del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadística
La probabilidad y la estadística son componentes muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras ciencias específicas. Deberían constituir una parte importante del bagaje cultural básico del ciudadano de nuestra sociedad.
Es éste un punto en el que todos los sistemas educativos parecen concordar. Y, efectivamente, son muchos los países que incluyen en sus programas de enseñanza secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se lleva a cabo con la eficacia deseada.
En este caso, se sugieren actividades como:
Proyectos integradores con otras áreas.
Diseño de encuestas y levantamiento de información del medio social.
Plenarias de socialización y mesas de debate.
Publicación de los resultados y análisis de casos investigados.
j) Conclusiones
Al final podemos concluir en los siguientes puntos:
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En nuestro medio, se puede observar que existe falta de aplicación de estrategias variadas al momento de la enseñanza de las matemáticas. La metodología de enseñanza muchas veces es aplicada de manera general, sin aprovechar modelos ya comprobados de enseñanza de matemáticas exitosos.
En las aulas de clase, se realizan muy poco la interacción entre estudiantes para compartir diferentes puntos de vista lógico matemático.
Los estudiantes consideran al sistema educativo actual como poco dinámico y ausente de diferentes estrategias que influyan en la vida de los aprendices. Las estrategias utilizadas no son las más efectivas para su aprendizaje.
La matemática es hoy en día uno de las aspectos más importantes en el mundo de la educación y del mundo entero, es por ello que se debe fomentar en las instituciones educativas, donde el docente debe aprender y enseñar en relación a este tópico, por lo cual se hace necesario incentivar a sus estudiantes hacia el buen uso inmediato, donde es de relevancia el aprender a aprender y aprender a enseñar a través de una serie de estrategias pedagógicas donde el educando se interese por este tema, permitiendo así al individuo construir significados y una conexión entre la teoría y la práctica, por ello en la educación se hace necesario la inclusión de estrategias pedagógicas para el logro de una mejor calidad de vida.
k) Recomendaciones
Luego de este estudio se pone a consideración las siguientes recomendaciones:
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2. Por sobre cualquier estrategia o método está el buen conocimiento de lo que deseo enseñar. Si nuestro cerebro dispone de un buen y profundo conocimiento del contenido matemático, encontrará con mayor facilidad las estrategias para transmitir dicho conocimiento. El profesor de Matemática tiene la obligación de estar en un proceso de preparación continua y convertirse en un investigador de la ciencia y los métodos de su asignatura.
3. Se debe priorizar antes que las soluciones, los diferentes métodos utilizados por los estudiantes para la resolución. Esto a su vez, facilitará el desarrollo de su pensamiento y evitará la resolución de problemas de manera mecánica y memorizada. de esta manera encontraremos variedad de pensamientos producto de cerebros que piensan diferente.
4. Darle oportunidad al hemisferio derecho. Con esto quiero decir: Pregunten cual es la respuesta sin hacer cálculo alguno o en que intervalos puede estar esa respuesta. El proceso de estimar es propio de nuestro cerebro.
5. Se tiene que insertar a los estudiantes en este mundo globalizado. Los problemas matemáticos actuales se tienen que caracterizar primero por ser pocos por clase y segundo, que sean diferentes el uno del otro.
6. Se debe incentivar a la interacción entre las personas. Compartir diferentes puntos de vista para un mismo problema y diferentes métodos de resolución harán que el mundo crezca. Los conceptos estrictos y únicos han quedado en épocas pasadas, y el desarrollo de nuevas teorías será la única oportunidad de mejorar lo actual. Ese debe ser el nuevo camino de los estudiantes y profesores. 7. La familia debe estar incluida en este proceso de enseñanza. Su inclusión en el
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Fuentes bibliográficas
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la tecnología en la demostración matemática [Informe]. - México : CinvestaV.
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Tunas : [s.n.], 2004.
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Básicas [Libro]. - Wilmington : Adison Wesley Iberoamericana S.A..
4. Asimov Isaac De los números y su historia [Libro]. - Buenos Aires : El Ateneo, 2005. - Vol. I.
5. Baroody A. El pensamiento matemático en los niños [En línea] // Un marco evoloutivo para el maestro de preescolar, inicial y educación especial. - 1988. - http://repositorios.unimet.edu.ve/docs/34/ATLB1140M3T7.pdf.
6. Blazquez Patricia y Sosa David 2000 Problemas para Aprender a Razonar
[Libro]. - Buenos Aires : Matemática-Mente, 2010.
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9. Collette Jean Paul Historia de las mateméticas [Libro]. - España : Siglo XXI de España, 1998. - Vol. I.
10.Dehaene Sources of mathematical thinking: behavioral and brain-imaging evidence [Libro]. - [s.l.] : Science 284, 1999.
