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Triángulos

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(1)
(2)

Juan Ángel Díaz Hernando Doctor Ingeniero Industrial Licenciado en Ciencias Matemáticas

Profesor Titular de la Universidad Politécnica de Madrid

MISCELÁNEA DE

GEOMETRÍA

Tomo IV

Triángulos

(3)

Datos de catalogación bibliográfica. '

&

$

% JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO.

Miscelánea de Geometría. Tomo IV. Triángulos

c

JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO, Madrid 2017

Formato 176 x 250 mm Páginas: 421

Todos los derechos reservados.

Queda prohibida, salvo excepción prevista por la ley, cualquier forma de reproducción, distribución,

co-municación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización del titular de la propiedad

intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la

propie-dad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal)

DERECHOS RESERVADOS

c

2017 por Juan Ángel Díaz Hernando

Presentación: M-002285/2017

R.P.I. 16/2017/5044 del 21 de Agosto de 2017

(España)

Editor: Juan Ángel Díaz Hernando

Técnico editorial: E.B.M.

(4)

A la memoria de mis padres.

(5)
(6)

Prólogo

EsteTomo IVno es sino la continuación, en todo, del anteriorTomo III, desdoblamiento que hubo que aceptar dada la extensión de lo tratado; por tanto, todo lo dicho en su prólogo, es válido aquí.

En cualquier caso, una rápida mirada al índice nos entera del contenido de este libro. ElCapítulo V está dedicado a la construcción de triángulos equiláteros, mientras que elCapítulo VIse dedica a los isósceles; en particular, elCapítulo VIItrata con los rectángulos. Por último,el Capítulo VIII, el más extenso, tiene como objetivo la construcción de los triángulos, en general, escalenos.

En todos los ejemplos, siguiendo las indicaciones del texto se llega a la construcción del triángulo pedido,

del que siempre tenemos como información tres datos. En muchos de ellos, antes de dar la solución es

decir los pasos a seguir para su realización, se hace una reflexión, como es la de suponer el problema

resuelto, lo que en general justifica la marcha a seguir.

Como curiosidad, en más de una ocasión aparecen enunciados repetidos, o equivalentes, como

justifica-ción de que la construcjustifica-ción de un triángulo no tiene por qué ser única.

Entiendo que estudiar una tras otra las construcciones propuestas significa repasar todo lo aprendido hasta

aquí, desde la primera lección del primer libro, como fueron, entre otras, lo que entendimos por rectas

antiparalelas, arco capaz, inscribibilidad de un cuadrilátero, así como las propiedades de las bisectrices,

tanto respecto del triángulo como de la circunferencia circunscrita al mismo, y las propias definiciones

de los distintos elementos del triángulo: alturas, medianas, semimedianas, mediatrices, circunferencias

inscrita y exinscritas, junto con sus distintas relaciones. La proyectividad juega, también, ocasionalmente

su papel, al igual que los distintos tipos de homología; recordemos que la afinidad y la homotecia son

casos particulares de ella.

La determinación de lugares geométricos y la construcción de cuadriláteros, estudiados en el

anteriorTomo III, constituyen una fuente de interesantes propiedades que se utilizan, ahora aquí, en la construcción de los triángulos.

Mi sugerencia al lector es, por tanto, la de tratar de conseguir que en cada construcción se intente aplicar,

en todo o en parte, lo ya aprendido, a modo de campo de prácticas y puesta a punto de sus conocimientos.

Sigo emocionándome cuando recuerdo lo que dijeron que Tagore había dicho a alguien que acababa

de perder a un ser querido: “Si lloras porque se ha puesto el sol, las lágrimas no te dejarán ver las

estrellas”.

Siguen, y seguirán siempre en mi memoria, mis amigos, mi esposa y mis padres, mis hijos, y mis nietos:

Lucía, Diego y Mario.

Juan Angel Díaz Hernando.

(7)
(8)

ÍNDICE

(9)
(10)

CAPÍTULO V

Lección 10 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS

10.1 Ejemplos... 3

CAPÍTULO VI

Lección 11 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS ISÓSCELES 11.1 Ejemplos... 17

CAPÍTULO VII

Lección 12 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 12.1 Ejemplos... 43

CAPÍTULO VIII

Lección 13 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS ESCALENOS 13.1 Ejemplos... 105

SÍMBOLOS ... 403

ALFABETO GRIEGO ... 407

BIBLIOGRAFÍA ... 411

(11)
(12)
(13)
(14)

Lección 10.- CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS

10.1 Ejemplos

10.1 Ejemplos

Ejemplo 1.Construir un triángulo equilátero conociendo el radio de la circunferencia circunscrita, R. Bastará dibujar la circunferencia circunscrita, dividirla en tres partes iguales, y luego unir esos puntos, lo que nos dará directamente el triángulo buscado.

A

B C

O R

R

Ejemplo 2.Construir un triángulo equilátero conociendo el radio de la circunferencia inscrita, r.

Bastará dibujar la circunferencia de radior, dividirla en tres partes iguales y trazar las tangentes a la misma en esos puntos:

O

r

(15)

Ejemplo 3.Construir un triángulo equilátero conociendo la altura, h. Dado que los ángulos internos del triángulo valen cada uno60otendremos:

A

B

C

h

H

30º

Bastará por tanto, fijadoh=AH, situar el ángulo Ab 2 =30

o

y levantar la perpendicular aAH, enH, que cortará el lado del ángulo en el puntoC. Veámoslo:

A

B

C

60º

H

30º

Ejemplo 4.Construir un triángulo equilátero conociendo la altura h. Si suponemos el problema resuelto tenemos:

A

B

H

C

h

A'

B'

C'

(16)

Bastará, por tanto, construir un triángulo equilátero cualquiera,

4

A0B0C0. Situar sobre su altura,A0H, el valor dado, h, lo que nos proporcionará el vérticeA, desde el que trazando sendas paralelas aA0B0yA0C0, cortarán éstas a la baseB0C0, en los vértices,ByC, del triángulo que nos interesa:

A

B

H

C

h

A'

B'

C'

h

O

h

Ejemplo 5.Dado un triángulo

4

ABC trazar una circunferencia que corte a sus lados según cuerdas de longitud igual al radio.

Si suponemos el problema resuelto tendremos el siguiente esquema:

I

A

C

Q

B

P

Observemos que determinado el incentro, con él como vértice bastará trazar un triángulo equilátero con base en cualquier lado, de altura el radio de la circunferencia inscrita. La circunferencia que soluciona el problema será la de centro enIy radioIQ.

I

A

C

Q

B

P

30º

(17)

Ejemplo 6.Construir un triángulo equilátero tangente a tres circunferencias dadas. El siguiente esquema nos da la pista para la construcción pedida

O

A

C

Q

B

P

60º 2 60º

O

1

O

3

r

1

r

2

r

3

(c )

2

(c )

3

(c )

1

Veamos como construiremos el menor de los posibles,

4

ABC.

1o.-Por el centro de(c1)trazamos la verticalPQ, y porPla normal a ésta,r1. 2o.-Trazamos dos rectas cualesquiera,r2yr3, que forman un ángulo de60oconr1. 3o.-PorO2yO3trazamos perpendiculares ar2yr3, que nos determinan los puntosRyS.

4o.-Las tangentes enRyS, respectivamente en(c2)y(c3)nos cierran el triángulo equilátero que nos interesa.

A

C

B

60º 60º

O

2

O

1

O

3

r

1

r

2

r

3

(c )

2

(c )

3

(c )

1

P

Q

S

R

(18)

Ejemplo 7.Dibujar un triángulo equilátero de modo que sus vértices están sobre tres paralelas dadas. Dadas las tres rectas paralelasb1,b2yb3, fijaremos un punto,A, sobre la primera,b1, y procederemos a hacer un giro de las tres, de60o, alrededor deA.

A continuación determinaremos todos los puntos de intersección posibles (9 en total).

De entre los puntos marcados haremos caso omiso de aquellos que son puntos de corte de una recta con su homóni-ma girada, salvo lab1(5y9)y de los que contienen las rectasb1(4y7)yb01(2y3).

Para cada uno de los puntos restantes tendremos una solución, que obtendremos uniendo el punto inicialA(1), con cada uno de ellos, que serán respectivamente, lados del triángulo buscado, que podemos pasar a construir inmedia-tamente.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

60º

b

1

b

2

b

3

b'

1

b'

2

b'

3

Ejemplo 8.Dibujar un triángulo equilátero de modo que sus vértices estén sobre tres circunferencias con-céntricas.

Consideremos tres circunferencias(c1),(c2), y(c3), de radios respectivosr1,r2, yr3.

Con centro en un punto arbitrario,A, de la circunferencia(c1), y con radior1, trazamos un arco que cortará a la misma en el puntoP.

Con centro enPtrazamos ahora una circunferencia de radior3, que cortará a lac2en los puntosByB0. Estos puntos nos definen los segmentosAByAB0, lados respectivos de dos triángulos equiláteros, que constituyen la solución pedida.

(Evidentemente, si la circunferencia trazada, con centroP, resulta tangente a la(c2), existirá una única solución, y en el caso de que no haya corte no habrá ninguna solución).

(c )

1

r

3

r

1

r

2

3

(c )

2

(c )

O

P

B'

A

C'

C

B

r

1

r

3

(19)

Ejemplo 9.Construir un triángulo equilátero con un vértice, A, en un punto del plano y los otros dos, B y C, sobre dos circunferencias dadas.

Consideremos las circunferencias(c1)y(c2)y el vértice conocido,A, interior a(c1). El procedimiento de construcción consiste en lo siguiente:

1o.-Girar la circunferencia,(c2),60ocon respecto al puntoA, con lo que obtendremos la(c3). 2o.-La intersección de(c3)con(c1)nos determinará el segundo vérticeB.

3o.-El segmentoABpermite, fácilmente, dibujar el triángulo pedido.

(Evidentemente, si la circunferencia(c3)resulta tangente a la(c1), existirá una única solución y en el caso de que no haya corte no habrá ninguna solución).

(c )1

O'

2 3

(c )

2 (c ) O A

C' C B

O1 2

60º B'

Ejemplo 10.Construir un triángulo equilátero con un vértice en un punto del plano y los otros dos sobre dos circunferencias dadas.

Consideremos las circunferencias(c1)y(c2), y el vértice conocido,A, exterior a ambas.

Como en el caso en que el punto A era interior a una de las circunferencias, tendremos que girar una de ellas60o con centro de giro enA, con lo que obtendremos la(c3).

A

B C

C'

B'

60º

(c )1 (c )2

(c )3

O1 O'2

O2

(Como ocurría en el caso de que el puntoAfuese interior a(c1), si la circunferencia(c3)resultase tangente a la(c1) existiría una única solución, y en el caso de que no haya corte no habría ninguna solución).

(20)

Ejemplo 11.Circunscribir a un triángulo cualquiera un equilátero de área máxima. Dado que el área del triángulo equilátero es: S=

√ 3

4 ·a, el área será máxima cuando lo sea el perímetro. En con-secuencia, nuestro problema equivale al decircunscribir a un triángulo cualquiera un equilátero de perímetro máximo.

El procedimiento para conseguirlo será trazar sobre cada lado arcos capaces de60oy dibujar, en los vértices del triángulo dado, secantes comunes a las dos circunferencias que sean las mayores secantes,que serán las paralelas a la recta que une los centros, con lo que obtendremos el triángulo pedido.

(Observemos que hubiese bastado con trazar arcos capaces sobre dos lados).

A

B

C

60º

60º

60º

Ejemplo 12.Dado un triángulo

4

ABC, circunscribirle un triángulo equilátero máximo.

Sobre los ladosAB,BCyCA, se trazan los arcos capaces de60o, Se unen luego los centrosD,EyF, de los arcos trazados y por los vértices del triángulo dado se trazan paralelas a las líneas que unen los centros, resultando el triángulo

4

GHIpedido.

H

I

G 60º

60º

60º

A B

C

arcos capaces de 60º

sobre:

BC

AB

arco capaz de 60º sobre: CA

60º E

D

F

(21)

Ejemplo 13.Construir un triángulo equilátero conocido su centro, O, y que dos de sus vértices se apoyan en dos rectas paralelas, r1y r2.

Giramos las rectasr1yr2en ángulo de120o, con centro enO, con lo que transforman en lasr01yr02.

Por otra parte los puntosAyA0, donde se cortan las rectas originales con las transformadas, serán el primer vértice de las dos soluciones posibles.

Unimos luego el centroOcon los puntosAyA0, y trazamos otras nuevas rectas que formen120ocon respecto a ellas, que cortarán a las rectas originales,r1yr2, en los segundos vérticesByB0, de las dos soluciones posibles. Una vez determinados los ladosAByA0B0es inmediato el trazado de los dos triángulos equiláteros solución.

A

B

C

A' B'

C'

r

r

r' r'

O

60º 120º

1 2

1

2

Ejemplo 14.Construir un triángulo equilátero de lado conocido,```, con sus vértices apoyados en tres rectas, dos de ellas paralelas.

El procedimiento de construcción que sigue nos va a proporcionar la solución como vamos a ver:

En primer lugar se elige un punto,X, cualquiera sobre la rectar2, y desde él, como centro, se traza un arco, de radio

```, que cortará a la rectar1en el puntoY, determinando el segmentoXY.

Haciendo centros aXeYtrazamos sendos arcos, de radio```, que se cortarán en el puntoZ, por el que dibujaremos una paralela a la rectar2. Esta recta cortará a la rectar3en el puntoA, primer vértice del triángulo buscado. Luego, por el puntoA, trazaremos una paralela a la rectaZX, que cortará a la rectar2, en el puntoB, segundo vértice del triángulo que nos interesa.

Por último, por el puntoAtrazamos una paralela a la rectaZY, que cortará ar1, en el puntoC, tercer vértice del triángulo buscado.

A

B

C Z

Y

X

r3

r1 r2

ZX por A

ZY por A

r 2 por Z

l

l

(22)

Una ligera variante a la construcción anterior sería la siguiente.

En primer lugar fijar un punto cualquieraP, enr2, construir el triángulo equilátero de lado```,

4

PQR, y proceder, luego, a su traslación a la posición pedida.

A B

C R

Q

P r3

r1 r2

l

l

l

Ejemplo 15. Construir un triángulo equilátero que se apoya en un punto A, una recta, r, y una circunferencia,(c).

La resolución de este problema sigue los siguientes pasos:

Giramos la recta,r,60ocon centro de giro en el punto dado,A, y donde la recta girada corte a la circunferencia,(c), tenemos dos posibles vértices del triángulo buscado, que habráque comprobar.

(c) B

A

B'

C' r r'

O

C

En este caso hemos obtenido dos soluciones, pero puede darse, fácilmente, que sólo uno de los puntos,BoB0nos den solución; incluso según la situación de los datos puede ocurrir que no exista solución alguna.

Ejemplo 16.Construir un triángulo equilátero cuyos lados pasen por tres puntos dados. Para la resolución de este problema utilizaremos por repetido el concepto dearco capaz, como sigue:

Dados los tres puntosP,QyR, sobre el segmentoPQdibujamos el arco capaz de60o, y hacemos lo mismo sobre el segmentoPR.

(23)

Luego desdeO1trazamos la perpendicular aPQ, que cortará a la circunferencia dibujada en el puntoM, y hacemos lo mismo con el puntoO2, lo que nos determinará el puntoN.

A continuación unimos los puntosMyN, y prolongamos la recta que determinan hasta cortar a la circunferencia de centroO1, lo que nos dará un vértice del triángulo pedido, elA.

Luego unimos el vértice así obtenido con el puntoP, y prolongamos la recta que determinan hasta cortar a la otra circunferencia de centroO2, lo que nos proporcionará otro de los vértices que nos interesan, elB.

Para la determinación del tercer vértice, elC, bastará considerar las rectas intersección de los dos anteriores con, respectivamente los puntosQyR.

P

Q

R

A

B

C

O

1

O

2

M

N

60º

60º

Ejemplo 17.Construir un triángulo equilátero conociendo un vértice y los otros dos apoyados en dos rectas oblicuas.

El procedimiento de construcción del triángulo

4

ABC se-rá el siguiente: (En general determina un triángulo isós-celes de ánguloA). En primer lugar giraremos las rectasb dadas,rys, un ánguloAbobteniéndose las rectasr0ys0. El punto de intersección der0ysserá ya uno de los vér-tices,B.

Levantamos, luego, sobre el segmentoABun ánguloA,b que cortará aren el vérticeC.

A

r

s

r'

s'

A

A

A

^

^ ^

(24)

(Como en nuestro caso pretendemos un triángulo equilátero deberá serAb=60o).

A

r

s

r'

s'

B

C

A = 60º^

Ejemplo 18.Construir un triángulo equilátero conociendo la suma del lado y la altura.

S=

l

+h

a

b

a

b

l

l

'

l

l

l

'

a

b

l

_ _

'

=

l

l

'

S

h

h'

h'

=

=

=

=

(25)

Ejemplo 19.Construir un triángulo equilátero conociendo la diferencia del lado y de la altura: d=```−h.

A

B

C

B'

A'

C'

B

M

M

d

(26)
(27)
(28)

Lección 11.- CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS ISÓSCELES

11.1 Ejemplos

11.1 Ejemplos

Ejemplo 1.Construir un triángulo isósceles conociendo la base, a, y el radio de la circunferencia inscrita, r. Bastará con situar la circunferencia dada tangente a la base, en su punto medio, y luego trazar tangentes a dicha circunferencia desde los vérticesByC, cuya intersección nos dará el vértice desconocido,A.

A

B C

a r

a 2

_

a

2

_

Ejemplo 2.Construir un triángulo isósceles conociendo la base, a, y el radio de la circunferencia circunscrita, R.

Bastará con dibujar la circunferencia que tenga su centro enO, determinando este punto como intersección de los arcos trazados con centros respectivos enByC, ambos de radior; la perpendicular a la base, en su punto medio, cortará a la circunferencia en el vértice desconocidoA.

A

B C

R

R O

a

(29)

Ejemplo 3.Construir un triángulo isósceles conociendo la base, a, y el ángulo opuesto, A.

Bastará construir el arco capazAb sobre la base, y luego trazar la perpendicular en el punto medio de la base, que cortará el arco trazado en el vértice desconocidoA.

A

B C

O ^ A

^ A

a

Ejemplo 4.Construir un triángulo isósceles conociendo la base, a, y la altura, ha.

Bastará trazar la perpendicular en el punto medio de la basea, y luego sobre ella situar la alturaha, lo que nos determinará el vértice desconocidoA.

A

B

C

h

a

a

(30)

Ejemplo 5.Construir un triángulo isósceles conociendo la base, a, y uno de los ángulos iguales,B.b

Bastará situar sobre la basea, los ángulosBbyCb=B; la intersección de los lados de esos ángulos, distintos de losb que están situados en la base, nos dará el vértice desconocidoA.

A

B

C

^

B

C = ^

^

B

a

Ejemplo 6.En un triángulo dado inscribir un triángulo isósceles, de altura dada, de manera que su base sea paralela a uno de sus lados.

Suponiendo el problema resuelto tenemos: A

B C

E D

F M

h

La construcción consistiría en, una vez situado el triángulo dado,

4

ABC, trazar una paralela al ladoBC, a una distancia la altura dada,h, del triángulo isósceles a inscribir, que cortará a los ladosAByAC, respectivamente, en los puntos DyE, que serán ya los vértices de la base del isósceles que buscamos inscribir. La mediatriz del segmentoDE cortará al ladoBCen el puntoF, tercer vértice del triángulo que nos interesaba determinar.

A

B

C

E

D

F

M

h

A

A

B

B

C

C

c

b

a

h

(31)

Ejemplo 7.Construir un triángulo isósceles conociendo hb y mb. Supongamos el problema resuelto, y observaremos:

A

B

C

M

P

H

m

b

h

b

paralela a

h

b

O

Es inmediata la construcción del triángulo

4

BHM. Dado que es un triángulo isósceles, el puntoOes el de intersección de las medianas, luego distará, del puntoM, un tercio deBM.

Trazamos luego la circunferencia de radioOP(OPperpendicular aMH), y desdeBdibujamos la tangente a ésta, que cortará a la rectaHMen el vérticeA.

Un arco de radioAB, y centro enA, cortará a la rectaMHen el vérticeC.

A B

C H P M

O hb

mb

(32)

Ejemplo 8.Construir un triángulo isósceles conociendo b y B.b

Sobre una rectaBDse construye el ángulobB, luego sobre uno de sus lados se determina el segmentoBA=b; tendremos así, determinados los vérticesByA.

A continuación, con centro enA, y radiob, se traza un arco que cortará a la rectaBDen el tercer vérticeC. A

B

D b

b B^

B^

C

Ejemplo 9.Construir un triángulo isósceles conocidos a, yA.b Si suponemos el problema resuelto tendremos el siguiente esquema:

A

B C

r B^

A^

C ^ B^

A ^

a

=

180º-B= 2 A^ , B^ C^

Un procedimiento para su construcción puede ser el siguiente:

1o.-Sobre una recta cualquiera, r, situar un puntoB(que será uno de los vértices del triángulo), y el segmentoBC=a, (Cserá otro de los vértices del triángulo).

2o.-Colocar el ángulo b

A, con vértice enB, y trazar la bisectriz de su suplementario, que será cortada por

la mediatriz del segmentoBC=a, en el tercer vérticeA.

A

B

C

B

^

A

^

C

^

B

^

A

^

a

b

c

A

^

a

Otro procedimiento hubiese podido ser: Trazar el arco capaz, sobreBC=adel ánguloA, y cortarle por la mediatrizb del segmentoBC=a, lo que nos hubiera dado el vérticeA.

(33)

Ejemplo 10.Construir un triángulo isósceles conociendo la altura, ha, y uno de los ángulos iguales,B.b Dibujada la altura,AH, y su perpendicular enH, dibujamos con vértice enA, el ánguloHAB[=90o−B. La rectab AB cortará a la perpendicular anterior en el puntoB; éste, y su simétricoC, respectoH, serán los vértices desconocidos que nos determinan, con elA, el triángulo buscado.

A

B

C

B

^

a

h

B

^

90º B_^

H

Ejemplo 11.Construir un triángulo isósceles conociendoA y ab +ha. El siguiente esquema aclarará la construcción del triángulo pedido:

A'

B' C'

Y B

A X'

a'

h'

C a' a A^ X

a+ha

En primer lugar se construye un triángulo isósceles cual-quiera,

4

A0B0C0, con la única condición que:Ab0=A.b Luego, a partir de su altura,h0, se lleva el ladoa0, lo que nos determina el segmentoYX0.

A continuación se unen los puntosX0yC0, determinan-do el segmentoX0C0.

Hecho lo anterior, se sitúa sobreYX0el segmento dado YX=a+ha, y por el puntoXse traza una paralela a X0C0, que cortará a la baseB0C0en el puntoC(uno de

los vértices del triángulo buscado).

Trazamos, ahora, porC, una paralela al ladoA0C0, que

cortará al segmentoYXen el vérticeAdel triángulo que nos interesa.

(34)

Cortando, por último, el segmentoB0C0por una paralela, porA, al segmentoA0B0, quedará determinado el tercer

vértice del triángulo pedido.

A'

B' B Y C'

A X'

C

a' a A^ X

a _

=

=

YX=a+h A'Y=h'_

BC=a'_

A^

a a+h

paralelas

paralelas

Ejemplo 12.Construir un triángulo isósceles conociendoA y bb +ha. El siguiente esquema aclarará la construcción del triángulo pedido:

En primer lugar trazamos el segmentoXY=b+ha; y por su extremo,X, se levanta un ángulo Ab 4 .

Y

B

A

X

C

A

^

2

_

a

b+h

A

^

2

_

A

^

4

_

A

^

b

Por el otro extremo, Y, se levanta una perpendicular aXY, que será cortada por el lado del ángulo Ab

4 en el puntoC(primer vértice determinado del triángulo bus-cado).

A continuación se traza la mediatriz del segmentoXC, que cortará al segmentoXYen el puntoA(segundo de los vértices buscados).

(35)

El tercer vértice,B, se obtendrá llevando la distanciaYChacia el otro lado.

Y

B

A

X

C

a

b+h

A

^

2

_

A

^

4

_

A

^

a

b+h

A

^

4

_

A

^

2

_

A

^

b

Ejemplo 13.Construir un triángulo isósceles conociendo b y ha. Si suponemos el problema resuelto vemos que la solución es inmediata:

A

B C

r a

h b

P

En efecto: Basta trazar una recta,r, y en un punto cualquiera,P, de ella una perpendicular, sobre la que situamos el segmentoPA=ha.

Luego con centro, en el vérticeA, y radio el valor deb, trazamos un arco que cortará aren los vérticesByC.

A

B

C

r

a

h

b

P

b

a

h

(36)

Ejemplo 14.Construir un triángulo isósceles conociendo a y hb. Si suponemos el problema resuelto vemos que la solución es inmediata.

A

B

C

r

b

h

b

h

a

En efecto: Basta trazar una recta,r, situar sobre ella el ladoBC=a, y desdeBtrazar un arco de radiohb; luego desdeCdibujar la tangente a dicho arco. Repetimos ahora la operación intercambiando lo hecho con los puntosBy C, y donde se corten las dos tangentes trazadas tendremos el tercer vértice,A.

A

B

C

r

b

h

a

b

h

h

b

B

a

C

b

h

(37)

Ejemplo 15.Construir un triángulo isósceles conociendo 2·p y ha. Si suponemos el problema resuelto tendremos el esquema siguiente:

A

B

C

r

a

h

P

Q

2·p

M

El procedimiento para construir el triángulo

4

ABCserá el siguiente:

Sobre una recta cualquiera,r, se sitúa el segmentoPQ=2·p, y sobre su punto medio,M, se levanta una perpendi-cular sobre la que se sitúa la altura,ha; el puntoAserá ya un vértice del triángulo buscado.

Se determinan después los segmentosAPyAQ, sobre los que se trazan sus mediatices, que cortará aren los vértices ByC, respectivamente.

A

B

C

r

a

h

P

Q

2·p

M

a

h

2·p

a

h

Ejemplo 16.Inscribir un triángulo isósceles, en una circunferencia dada,(c), conociendo la suma```de la base y de la altura.

Supongamos el problema resuelto:

4

ABCserá el triángulo buscado, tal que

AC+BD=``` .

El puntoL, situado sobre la mediatriz deAC, verifica

LD=AC,

con lo que se cumple

BL=``` .

(38)

Como todo triángulo semejante al

4

LAC, verifica que la altura es igual a la base, si prolongamosLAyLChasta la tangente, a la(c)en el puntoB, tendremos:

FE=BL ⇐⇒ BE= ```

2

A

B C D

(c) E

L

O

F

Las consideraciones anteriores nos sugieren la construcción siguiente: Sobre una tangente, a(c), se tomanBE= ```

2 yBL=```, trazándose despuésLE, lo que nos determina el puntoA, y en consecuencia el triángulo pedido

4

ABC.

(Observemos que, en general, existirá una segunda solución, el triángulo

4

A0BC0).

A

B C

A'

(c) E

L

O

F C' r

E

B B L

r l2

l

Ejemplo 17.Construir un triángulo isósceles conociendo la circunferencia circunscrita y la posición del punto medio de la base.

Dibujada la circunferencia(c), y el punto medio de la base,P, se traza el segmentoAPC. Sobre él se traza la perpendicular al segmento establecido, que cortará a la circunferencia en el puntoB.

A B

C (c)

P B'

(39)

Ejemplo 18.Construir un triángulo isósceles conociendo la circunferencia circunscrita y la situación del punto medio de uno de sus lados iguales.

Dibujada la circunferencia,(c), y el punto medio de uno de sus lados iguales,P, se traza el segmentoAPB, que ya es uno de esos lados. Se traza luego la rectaBO, a la que se traza la perpendicularAC, que cortará a la circunferencia en el puntoC.

A

B

C (c) P

O

Ejemplo 19.Construir un triángulo isósceles conociendo la circunferencia circunscrita, sabiendo que el punto medio de la base se encuentra sobre una recta dada XY, y conociendo un vértice A.

Dibujada la circunferencia,(c), fijamos sobre ella el puntoAy dibujamos la rectaXY.

Dibujamos, ahora, la circunferencia,(c1), de diámetro el segmentoAO. (Esta circunferencia es el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas que pasan porA).

La intersección de(c1)yXY, nos dará el punto medio,M, de la base del triángulo pedido lo que nos permitirá determinar el vérticeC.

La perpendicular en Mal segmentoAC; cortará a(c) en el vérticeB, lo que completará el triángulo que nos interesaba.

M B

C A

O'

O Y

(c)

(c )1

X

Ejemplo 20.Construir un triángulo isósceles conocido A, y que los lados b y c son tangentes a dos circunfe-rencias, de centros O y O0.

El proceso de construcción será el siguiente: En primer lugar se determina el centro de homotecia de las dos circun-ferencias, sea elH. Luego, inscribimos, en la circunferencia mayor, un ángulo Ab

2 con uno de sus lados pasando por el centro de la misma. A continuación dibujamos la circunferencia tangente al lado de ese ángulo, el que no pasa por

(40)

el centroO, con centro enO. Por último, desdeH, trazamos una tangente a esta circunferencia, que cortará a las cir-cunferencias dadas en los puntosByC. Las tangentes, a las circunferencias dadas, en esos puntos nos determinarán el vérticeA.

H

B

C

B'

O'

O

2

A

A

^

C'

A'

A

^

A

^

_

Ejemplo 21.Construir un triángulo isósceles conociendo 2·p y B.b Si suponemos el problema resuelto tendremos el esquema siguiente:

P

B

C

Q

A

B

^

B ^ _

2 B ^ _

2

B

^

B^ _

2

r

2·p

paralelas

(41)

El procedimiento para resolver este problema será el siguiente:

Sobre una recta cualquiera,r, se sitúa el segmentoPQ=2·p, y por sus extremos se levantan ángulos de Bb 2 yB.b Los lados de los ángulos correspondientes a los ángulos Bb

2 , se cortarán en el vérticeA. Luego, por el puntoAse trazan sendas paralelas correspondientes a los lados de los ángulosB, que cortarán ab ren los vérticesByC.

P

B

C

Q

A

B

^

B ^ _

2

B

^

B^ _ 2

r

2·p

paralelas paralelas

2·p

B

^

Ejemplo 22.Construir un triángulo isósceles conociendo el ánguloA, el vértice A, de forma que B y C esténb apoyados en dos rectas concurrentes, r y s.

El procedimiento de construcción del triángulo

4

ABCserá el siguiente: En primer lugar giraremos las rectas dadas,r ys, un

ánguloA, obteniéndose lasb r0ys0.

El punto de intersección der0ysserá ya uno de los vér-tices,B.

Levantamos, luego, sobre el segmentoABun ánguloA,b que cortará aren el vérticeC.

s A

s'

r

r' A^

B C

s A

s'

r

r' A^

B A^

A^

C

(42)

Ejemplo 23.Construir un triángulo isósceles conocido su perímetro, 2·p, y que los lados iguales, b y c, son el segmento áureo de a.

Recordemos como hallar el segmento áureo de una longitud cualquieraPQ: Una vez situadoPQ, porQse levanta una perpendicular y sobre ella sitúa el segmento

OQ= PQ

2 .

Luego, con centro enOy radior= PQ

2 se traza una circunferencia.

UniendoPconO, cortamos a la circunferencia trazada en el puntoA.

El segmentoPAes el áureo delPQ.

P Q

A

O

Una vez más utilizamos la semejanza en la resolución de este problema.

En primer lugar fijamos una0 y determinamos su segmento áureo;b0=c0. Hecho esto construidos un triángulo isósceles

4

A0B0C0, siendoB0C0=a0yA0B0=A0C0=b0. (B=B0será vértice del triángulo buscado). Prolongamos el segmentoB0C0hasta alcanzar el perímetro2·p0del triánguloA0B40C0; sea su extremo elD0.

UnimosA0conD0. Luego superponemos a2·p0el perímetro dado2·p; sea su extremo elD.

Trazamos porDuna paralela aA0D0, hasta que corte aA0B0, enAque será ya el vértice del triángulo pedido.

Una paralela porAaA0C0cortará a la rectaBDen el tercer vértice,C.

Determinación de b0=c0a partir de a0:

b'

a'

a' _ 2 a'

b'=c'

Construcción del triángulo

4

ABC :

a'

b'

A

B

C

C'

B'

D'

D

2·p'

2·p

2·p

b

= segmento áureo de

a

A'

=

=

= =

(43)

Ejemplo 24.Construir un triángulo isósceles conociendo su base, a, y su baricentro, G. Sabiendo que el baricentro es el punto de intersección de las medianas, que se cortan a sus 2

3 desde los vértices respectivos, bastará con unir el baricentro con los vérticesByC, prolongar 1

3 los segmentos de mediana,BGyCG, y unir luego con los extremos prolongados los vérticesByC, que se cortarán en el vérticeA.

A

a

C

P

B

P

G

G

P

a

G ,

baricentro de

ABC

Ejemplo 25.Construir un triángulo isósceles sabiendo que a= b

2 y se conoce R.

Para resolver este problema utilizaremos la semejanza, construyendo un triángulo semejante al pedido, sobre el que montaremos luego el definitivo.

Así, sobre una recta cualquiera,r, colocaremos un segmento,B0C0, de longitud también cualquiera, que llamaremos

x. Luego, haciendo centros enB0yC0, y con radios iguales a2·x, trazaremos dos arcos que se cortarán en el punto A0. El triángulo

4

A0B0C0, así construido, será semejante al que nos interesa.

A continuación determinaremos el circuncentro de este triángulo, bastando para ello con trazar las mediatrices de dos de sus lados, siendo su intersección dicho centro,O.

Con centro enO, dibujaremos la circunferencia de radioR, y luego uniendo dicho circuncentro con los vértices del triángulo

4

A0B0C0, los puntos de corte con la circunferencia serán los tres vértices del triángulo buscado,

4

ABC.

B

C

A

O

r B' C'

x 2·x

A'

R R

a=

_

b2

(44)

Ejemplo 26.Construir un triángulo isósceles conociendo a+b y B.b Si suponemos el problema resuelto tendremos el esquema:

A

B C P

A^

B^ B^ a

a+b

β β

α α

2· + B = 180º αα+ = 90ºβ



β= B^2

Así, podemos construir el triángulo

4

BAP, y a partir de él, trazando la mediatriz del segmentoAP, cortarán ésta al

segmentoBPen el vérticeC, lo que nos termina de resolver el problema.

A

B

a b

C 2

^ B

_

a+b ^

B a+b

^ B

P

Ejemplo 27.Construir un triángulo isósceles conociendo a y mb.

Conocer la baseay las medianas de los lados iguales,mb, equivale a poder determinar el baricentro del triángulo

4

ABC, bastando para ello con trazar arcos con centros enByC, de radio 2

3 ·mb, cuya intersección nos determinará el baricentro.

El problema se reduce a: Determinar un triángulo isósceles conocida su base,a, y su baricentro,G.

A

C

B

G

a

a

m

b

m

b

2

3 ·

_

m

b

2

3 ·

_

m

b

(45)

Ejemplo 28.Construir un triángulo isósceles conociendo A y tres puntos por los que pasa P1, P2, P2. Consideremos el segmentoP1P2y tracemos sobre él el arco capaz deA.b

Tracemos luego la mediatriz deP1P2, y unimos su punto de corte,E, con el tercer puntoP3.

Unamos luego, el punto medio del segmentoEP3, sea elM, con el centro,O1, de la circunferencia capaz dibujada. PorEtrazamos una paralela aMO1 que cortará a la circunferencia en cuestión en el puntoA(primer vértice del triángulo buscado).

PorP3trazamos una perpendicular a la rectaAE, que será cortada en los vérticesByC, por las rectas que pasan porA, y respectivamente porP1yP2.

A

C B

E

P1 P2

P3 M

O1 A^ ^

A

P1, , , P2 P3 puntos de paso

Ejemplo 29.Construir un triángulo isósceles conocido R y la suma a+ha. Si suponemos el problema resuelto tendremos el siguiente esquema:

A

B C

P M

S N

Q ha

2 a _ 2

a _

a

(46)

Observemos que, siendo el datoAM=a+ha, el triángulo

4

MNCes rectángulo, y tal que sus catetos están en la relación

MN

NC =

a a 2

=2

luego la solución pasa por construir un triángulo rectángulo

4

PQS, tal que sus catetos sean PQyQS, tales que PQ

QS =2, y que el cateto mayor se apoya enteramente en la rectaAM.

Trazando porMuna paralela aPS, donde corte a la circunferencia circunscrita tendremos el vérticeCdel triángulo buscado; completarlo resultará inmediato.

El caso que sigue nos muestra que la solución no tiene por qué ser única. Aquí se darán los triángulos

4

ABC y

4

A0B0C0.

A

B C

P M

S Q

A'

B' C'

O

R

s

2·s

(s cualquier valor)

ha a + R

A M

(47)

Ejemplo 30.Construir un triángulo isósceles conociendo 2·p y ha.

Para resolver el problema no tenemos más que seguir los pasos evidentes que nos sugiere el esquema siguiente en el que hemos supuesto resuelta la cuestión.

B

C

A

2·p

2·p

_

2

2·p

_

2

h

a

Así, si tenemos los siguientes datos:

B

C

A

2·p

2·p

_

2

2·p

_

2

h

a

2·p

h

a

Ejemplo 31.Construir un triángulo isósceles conociendoA y cb +a.

Conocido el ánguloA, dibujemos sobre él un triángulo isósceles cualquiera, de ladosb AB0=AC0. Luego sobreAB0, y a partir deB0tenemos el segmentoB0D0=B0C0(El triángulo

4

C0B0D0será asimismo un triángulo isósceles). La determinación del triángulo

4

ADC, semejante al

4

AD0C0, nos determinará el vérticeC. Para ello bastará con tomar sobreAD0el segmentoAD=c+a, y trazar porD, la paralelaDCaD0C0, que cortará a la rectaAC0enC.

A

B

D'

C B'

c+a

^ A

C' ^

A

c+a

(48)

Ejemplo 32.Construir un triángulo isósceles conociendoB y cb −a. Si suponemos el problema resuelto tendremos:

Sobre el ladoAB, se ha llevado, a partir deB, el seg-mentoBD=a, y porAse ha trazado la paralelaAEa la baseBC. Así tenemos que el triángulo

4

BCD y el

4

DAE, serán ambos isósceles.

Para la construcción del triángulo pedido se procede-rá como sigue:

A B D C a b c

r1 r2

E r

^

B B^

^ B

Se trazará una rectar, sobre la que fijaremos un punto cualquierA, que será luego uno de los vértices del triángulo. PorAtrazaremos dos rectas,r1yr2, formando conr, ambas, un ánguloB.b

Sobrersituaremos el segmentoAE=c−a. Asimismo, sobrer1situaremos el segmentoAD=c−a. La rectaEDcortará ar2en el vérticeC, y la paralela, porCa la rectaAEcortará a lar1en el vérticeB.

A B D C a b c

r1 r2

E r ^ B ^ B ^ B ^ B

(c-a)

(c-a)

Ejemplo 33.Construir un triángulo isósceles conociendoB y bb.b

En primer lugar se traza el ánguloBby su bisectriz, sobre la que llevaremos su longitudbb=BD.

Luego se traza porBuna rectarque forma el ángulobB con la prolongación de la rectaBC. (Bserá uno de los vértices del triángulo pedido). Por último, se traza, por Duna paralela arque cortará a las rectas que forma el ángulo inicialbBen los vérticesAyC, del triángulo bus-cado.

C A

B

B^ B^

bb bisectriz de

(49)

Ejemplo 34.Construir un triángulo isósceles conociendoA y mb b.

Trazamos el arco capaz deAbsobre el segmentomb=BD, sea éste el(c1). El puntoO, tal queOB= 2

3 ·BD, será centro de una circunferencia,(c2)que pasa por los puntosDyE, respectivamente, pies de las medianasmbymc. Por otra parte, la semicircunferencia de diámetroBO0, siendoO0el centro del arco capaz anterior, cortará a(c

2)en el puntoE, por ser rectángulo el triángulo

4

O0EB. Conocidos, por tanto, los puntosB,DyE, la construcción del triángulo pedido es inmediata.

O

O'

m

b

m

c

A

^

A

^

C

B

D

A

(

c

2

)

(

c

1

)

E

Ejemplo 35.Construir un triángulo isósceles dados un vértice, B, y su altura hbsobre su lado opuesto b.

O

A'

C

B

b

A

C'

B'

h

b

h

b

Punto

B

(50)

Ejemplo 36.Construir un triángulo isósceles dados el radio de la circunferencia inscrita y la altura sobre uno de sus lados iguales.

A

B

C

r

h

_

2

b

h

_

2

b

h

b

h

b

r

h

b

(51)
(52)
(53)
(54)

Lección 12.- CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

12.1 Ejemplos

12.1 Ejemplos

Ejemplo 1.Construir un triángulo rectángulo conociendo un lado del ángulo recto y la suma de la hipotenusa y del otro lado.

Supongamos el problema resuelto, siendoABel lado dado yBC+AC=```. Para obtener la suma bastará con llevar la hipotenusaBC

sobre la prolongación del ladoAC, lo que nos dará el segmentoAD=```.

Construido el triángulo

4

BAD, la perpendicularEC, en el

punto medio deBD, nos determinará el puntoC.

A

B

C

D

E

Procedamos, por tanto, siendo los datos los siguientes:

A B

C D

E

l

BA

_

Ejemplo 2.Construir un triángulo rectángulo conociendo un lado del ángulo recto y la diferencia de la hipotenusa y del otro lado.

Supongamos el problema resuelto, siendoABel lado dado yBC−AC=```. Para obtener la diferencia bastará con llevar la

hipote-nusaBCsobre el ladoCA, lo que nos dará el segmento AD=```.

Construido el triángulo

4

BAD, la perpendicularEC, en el

punto medio deBD, nos determinará el puntoC. B A

C

D E

(55)

Procedamos, por tanto, siendo los datos los siguientes:

A

B

C

D

E

l

BA

_

Ejemplo 3.Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y la suma de los lados del ángulo recto.

Supongamos el problema resuelto, siendoAB+AC=```. Para tener la suma de los catetos se puede llevarACa partir deAen la rectaBA, obteniendo el puntoD, siendo , entonces,Db=45o.

A

B

C

D

l

45º

La construcción se hará como sigue:

Fijando sobre una recta el puntoB, determinaremos elDhaciendoBD=```.

Dibujaremos luego el ánguloDb=45o, y con centro enBtrazaremos el arco de radio el valor de la hipotenusa, que cortará enCal lado del ánguloDbya dibujado.

La perpendicular porCa la rectaBDdeterminaráA.

A B

C

D 45º A'

C'

hipotenusa

suma de los catetos

(56)

Ejemplo 4.Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y la diferencia de los lados del ángulo recto.

(La solución es análoga a la del problema en el que lo que se conoce es la suma de los lados del ángulo recto). Se fija sobre una recta el puntoBy se determina elDhaciendoBD=AB−AC.

Dibujamos luego el ánguloDb=45o, en la posición indicada, y con el centro enBtrazaremos el arco de radio el valor de la hipotenusa, que cortará enCal lado del ánguloDb ya dibujado. La perpendicular porCa la rectaBD determinaráA.

A

B

C

D

45º

hipotenusa

diferencia de los catetos

Ejemplo 5.Construir un triángulo rectángulo conociendo may ba. Supongamos el problema resuelto, y el triángulo el

4

ABC. La circunferencia(c)circunscrita al triángulo tendrá de radioOA=ma. Por otra parte la bisectrizAI=ba, prolongada pasará por el puntoD, dado queODes la mediatriz del segmentoBC, y ademásBD_=

_

DC.

Además tendremos que, de la semejanza de los triángulos rectángulos

4

DOI y

4

DEA, se deduce

DI OD =

DE DA

igualdad en la que al sustituir los valores:

OD=ma , DI=p , AD=AI+ID=ba+p obtenemos

p ma =

2·ma ba+p es decir

2·m2a=p2+ba·p o bien

p2+ba·p−2·m2a=0, ecuación de segundo grado, que resuelta nos da

p= −ba±

p b2

a+8·m2a

2 =−

ba 2 ±

s

ba 2

2

+2·m2 a y dado que

(57)

sustituyendo en la raíz cuadrada tenemos

p=

s

b2 2

2

+DB2− ba 2

lo cual facilita la construcción gráfica de la solución, que será la siguiente: Una vez dibujada(c), y los segmentosBCyDE,

1.-Se construye el triángulo rectángulo de catetosDByBF= ba

2 , e hipotenusaDF= s

ba

2 2

+DB2. 2.-Restando a la hipotenusa,DF, el segmentoFG= ba

2 , se obtiene elDG=DI=p. 3.-Se traza el arco de centroDy radioDG=p, que cortará aBCen el puntoI. 4.-La intersección deDIy la circunferencia(c)resultará ser el vérticeA.

A

B C

G

D p F

O I

E

ba ma

2 ba

_

2 ba

_

p a m

ba

(c)

Ejemplo 6.Construir un triángulo rectángulo conociendo hay ba. Se construye, de entrada, el triángulo rectángulo

4

ADE, siendoAD=hayAE=ba. Luego se traza, porE, la per-pendicularMNaAE, que cortará al arco de centroEy radioEA=ba, en los puntosMyN. Las rectasAMyAN cortan entonces a la rectaDEen los vérticesByC.

A

B

C D

N

M

E ba a h a

h ba

(58)

Ejemplo 7.Construir un triángulo rectángulo conociendo a y b.

Sobre la hipotenusaCB=a, describimos la circunferencia(c), de diámetroCB, y luego, con centro enCy radio CA=b, trazamos el arco, que cortará a(c)en el vérticeA.

A

B C

c

a b a

b

(c)

2 a

_

b

Ejemplo 8.Construir un triángulo rectángulo conociendo b y c.

Sobre los lados de un ángulo recto, se sitúan las longitudesAC=byAB=c, de los catetos, siendoBC=ala hipotenusa.

A B

C

c a

b b

c

Ejemplo 9.Construir un triángulo rectángulo conociendo b yC.b

Trazamos sobre el ladoACde un ángulo recto, la longitudAC=b, y luego, con vértice enCse dibuja el ángulo d

ACB, cuyo ladoCBcorta aABen el vérticeB.

A B

C

c a

b b

C^ C^

(59)

Ejemplo 10.Construir un triángulo rectángulo conociendo uno de los ángulos agudosC, y el radio r de lab circunferencia inscrita.

Si suponemos el problema resuelto tenemos:

A

B C

s

r

t

C^

O

P r

r

La construcción seguirá, por tanto, los siguientes pasos:

Fijado el ánguloCbse trazarán paralelas, a sus lados, a una distanciar, cuya intersección determinarán el centro de la circunferencia inscrita,O. Una perpendicular desdeOa la rectasdeterminará el puntoP; desde él determinaremos el puntoA, sabiendo quePA=r.

Por último desdeAtrazamos una perpendicular a la rectat, que cortará al otro lado del ángulo enB.

A

B

C

C

^

O

P

r

r

Ejemplo 11.Construir un triángulo rectángulo conociendo los radios r y R de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Veamos, en primer lugar, que se verifica que:“En un triángulo rectángulo,

4

ABC, la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita”.

En efecto: Se verifican las igualdades

PB=BQ PC=CD

   que sumados dan

PB+PC=BQ+CD

es decir

2·R=```1−r+```2−r =⇒ 2·R+2·r=```1+```2

A B

C

P

O1 O2

D R

r Q

BC = 2·R AB = AC =

l

O Q = r _ _ _ _

1 1 2

(60)

El problema se reduce entonces al de :Construir un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa, 2·R , y la suma de los catetos,```1+```2, problema que sabemos resolver.

A B

C

D 45º

hipotenusa = 2·R

suma de los catetos = 2·R+2·r =

l

1 +

l

2

Ejemplo 12.Construir un triángulo rectángulo conociendo un lado, AB , del ángulo recto y el radio de la circunferencia inscrita, r.

Sobre el vérticeAtrazamos una perpendicular aAB, sea la rectas.

Sendas paralelas a las rectasABys, a una distanciar, determinarán el centro de la circunferencia inscrita. Una tangente, desdeB, a esa circunferencia determinará en su intersección cons, el vérticeC.

A B

C s

r r

r

Ejemplo 13.Construir un triángulo rectángulo conociendo b y c a. El siguiente esquema responde a tener el problema resuelto:

A

B

C

a

b

c

α

Observemos que la relación dada es :senααα= c

a.

(61)

La solución consiste en trazar un triángulo semejante al pedido y luego imponer el valor debal cateto base.

A B

C a

b c

C' B'

c' a'

b

paralelas

b c'

a'

���

los segmentos c' y a'

en la relación

_

ca

Ejemplo 14.Construir un triángulo rectángulo conociendo 2·p y un ángulo, elbB. El esquema del problema resuelto sería el siguiente:

A

B C

b

a c

P Q

B^ 2

_

C^

2

_

a B ^

C = 90º - B^ ^

2·p

c b

Sobre una recta cualquiera,r, se dibuja el perímetro2·p. Luego por uno de sus extremos, sea elP, se levanta un ángulo Bb

2 , y por el otro extremo, elQ, un ángulo b C

2 ; sus lados se cortarán en el vérticeA.

Por ultimo, se trazarán las mediatices de los segmentosPAyQA, que cortarán al segmentoPQ, respectivamente, en los vérticesByC.

A

B C

2·p

r 2·p

B ^

C^ C = 90º - B^ ^

B^ 2

_

C^

2

_

(62)

Ejemplo 15.Construir un triángulo rectángulo conociendo R y ha. Un procedimiento para construir el triángulo pedido puede ser el siguiente:

Se traza una recta cualquiera,s, y con centro en uno de sus puntos se traza la circunferencia,(c), de radioR. Los puntos de intersección desy(c)son, ya, dos de los vértices del triángulo buscado.

El tercer vértice resultará ser la intersección de(c)con una recta,t, paralela a las, distante la alturaha.

B

A

C t

s ha

R

ha R

(c)

Ejemplo 16.Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa, a, y la mediana de un cateto, mb. Un procedimiento para la construcción del triángulo pedido sería el siguiente, cuyo objetivo es la determinación del centro de gravedad del triángulo, el puntoG.

En primer lugar se traza la circunferencia de diámetroBC=a, y luego se traza, concéntrica con ella, otra de radio MG= a

6. Luego con centro enB, y radio 2

3 ·mbse traza un arco que cortará a la anterior en el puntoG. Prolongaremos, después, el segmentoBGen una longitud igual amb,BN=mb.

A continuación uniremos los puntosCyNhasta cortar, enA, a la primera de las circunferencias trazadas. El punto Aes el tercero de los vértices del triángulo buscado.

A

B

C

N

M

a

m

b

a

a 6

_

G

_

2

3

m

b

·

(63)

Ejemplo 17.Construir un triángulo rectángulo conociendo 2·p y b. Un procedimiento para la construcción de este triángulo puede ser el siguiente:

Sobre una recta cualquiera,r, se sitúa el segmentoPQ=2·p. Luego se detrae dePQel segmentoAQ=b. A continuación se levanta enAla perpendicular ary se sitúa el segmentoCA=b. El puntoAserá, ya, uno de los vértices del triángulo que nos interesa, y el puntoCotro de ellos.

Se unePconC, y se traza la mediatriz del segmentoPC, que cortará a la rectaren el puntoB, tercer vértice del triángulo pedido.

A B

C

P Q

b a

c r

2·p

b

b 2·p

Ejemplo 18.Construir un triángulo rectángulo conociendo b y a−c. El procedimiento que seguiremos para resolver este problema será el siguiente:

Sobre una recta cualquiera,r, situaremos el segmentoPQ=a−c, y por uno de sus extremos, sea elQ, levantaremos una perpendicular ar, sobre la que situaremos el segmentoQC=b; los puntosCyQ, serán vértices del triángulo que nos interesa.

Unimos, por últimoPconC, y trazamos la mediatriz del segmentoPC, que cortará aren el puntoB, tercer vértice del triángulo buscado.

A

B

C

Q

b

a

c

r

b

a - c

a - c

(64)

Ejemplo 19.Construir un triángulo rectángulo conociendo a y b−c. Un procedimiento para resolver este problema puede ser el siguiente:

Sobre una recta cualquiera,r, se coloca el segmentoPQ=b−c, y desde uno de sus extremos, sea elP, se levanta un ángulo de45o, mientras que desde el otro extremo, elQ, se traza un arco con radioQB=a. Donde se corten esas dos líneas tendremos el puntoB, vértice del triángulo pedido, siéndolo también el puntoQ. La perpendicular, porB, a la rectar, cortará a ésta en el puntoA, tercer vértice del triángulo que nos interesa.

A

B

C

Q

b

a

c

r

a

b - c

b - c

P

45º

a

Ejemplo 20.Construir un triángulo rectángulo conociendo a y b+c. Un procedimiento para resolver este problema puede ser el siguiente: Sobre una recta cualquiera,r, se coloca el segmentoPQ=b+c.

A continuación sobre uno de sus extremos,P, se levanta un ángulo de45o, y desde el otro extremo,Q, se traza un arco de radioQC=a, que se cortarán en el puntoC, vértice del triángulo pedido; el puntoQes también un vértice. DesdeCse traza, por último, una perpendicular ar, que la cortará en el puntoA, tercer vértice del triángulo que nos interesa.

A

B

C

Q

b

a

c

r

a

b + c

P

45º

a

b + c

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