1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice,
entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple que F'(x) = f(x), x. Dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x).
Ejemplo:
a) F(x)=sen x es una primitiva de f(x)=cos x en
b) F(x)=ln x es una primitiva de f(x)=1/x en (0,+).
c) F(x)=exes una primitiva de f(x)=exen .
Proposición 1: Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C es también una primitiva de f(x), C.
Proposición 2: Si F(x) y G(x) son dos primitivas de f(x), entonces G(x)=F(x)+C’. Es decir, dos
primitivas de una misma función se diferencian en una constante C’.
Nota: Según hemos visto en la proposición 2, para hallar todas las primitivas de una
función f(x), basta calcular una primitiva concreta F(x), ya que las infinitas primitivas de dicha función serán todas de la forma F(x)+C, con C una constante cualquiera.
2. CONCEPTO DE INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA
El proceso mediante el cual obtenemos una primitiva de una función f(x) se denomina
Integración. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x),
busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Definición: Se llama Integral Indefinida de una función f(x) al conjunto de todas
las primitivas de f(x). y se representa por
:
∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = 𝐅(𝐱) + 𝐂
-Se lee: integral de f(x) diferencial de x.
-
: es el signo de integración
-f(x): es el integrando o función a integrar.
-dx (diferencial de x): indica cuál es la variable de la función que se integra.
Nota: Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Ejemplo:
2.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA (LINEALIDAD)
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.
∫[𝐟(𝐱) + 𝐠(𝐱)]𝐝𝐱 = ∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 + ∫ 𝐠(𝐱)𝐝𝐱
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por
la integral de la función.
∫ 𝐤𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = 𝐤 ∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱
Nota: Para evitar errores graves en los cálculos, conviene tener en cuenta que, en general:
𝒂) ∫[𝒇(𝒙) · 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 ≠ ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 · ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙; 𝒃) ∫𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 ≠
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙
3. INTEGRACIÓN INMEDIATA:
Como ya hemos podido comprobar en lo visto hasta ahora en la unidad, el problema de determinar la integral indefinida de una función se reduce al de hallar una primitiva, es decir, al de calcular una función cuya derivada sea la función a integrar.
Antes de empezar con los métodos y, a modo de curiosidad, debemos saber que no todas las integrales se pueden expresar como una función elemental. Algunos ejemplos de éstas son: ∫𝑠𝑒𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥2𝑑𝑥; ∫ 𝑒−𝑥2𝑑𝑥; ∫𝑒𝑥
𝑥 𝑑𝑥; …
Realmente son pocas las integrales que se pueden abordar con un único método. Por el contrario, es muy normal que debamos combinar varios de los métodos que veremos en lo que resta de unidad para integrar una función. Todos los métodos que abordaremos tienen como objetivo final transformar la integral inicial en otras hasta llegar finalmente a integrales inmediatas.
Aunque la aplicación de las propiedades de linealidad de la integral vistas (integración por descomposición) no es realmente un método de integración considerado como tal, es uno de las estrategias más utilizadas o combinadas con otros métodos, proporcionándonos, en muchos casos, soluciones sencillas a determinadas integrales.
3.1. TABLA DE INTEGRALES
a, e, k, y C son constantes; u es una función y u' es la derivada de u.
Integrales Simples o Inmediatas Si x=u (siendo “u” una función)
EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA:
a) Integrales Inmediatas Polinómicas:
; ; ;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
b) Integrales Inmediatas Trigonométricas:
;
;
;
;
d) Integrales trigonométricas:
;
;
;
;
;
;
:
-Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del
arco-tangente. Asimismo, transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.
-Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador. Dentro del
4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
4.1. INT E GRA LE S PO R SU ST IT U CIÓ N
E l mét o d o d e i n t egr ac i ó n p or s u s ti t u ció n o c amb i o d e var i ab l e se b asa e n la r e gla d e la ca d ena.
∫ 𝒇′(𝒖) · 𝒖′· 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪
E l m ét o do se b asa e n id e nt if icar un a par t e d e lo q ue se va a in t e gra r con u n a n ue va var i ab l e t , d e m od o q u e se ob t en ga u n a i nt egr al m á s se n cilla
Pas o s p ar a i nt egr ar p o r su s ti t uc i ón : ∫ 𝒇′(𝒖) · 𝒖′𝒅𝒙
1 º S e h ace e l c amb i o d e var i ab l e y se “ d if ere n cia ” (d e rivad a im p lícit a ) en lo s d o s t é rmin o s:
t = u ; d t= u ’ ·d x ;
Se d e sp e ja u y d x , su st itu ye nd o e n la int e gral:
∫ 𝒇′(𝒕) · 𝒖′𝒅𝒕
𝒖′ = ∫ 𝒇 ′(𝒕)𝒅𝒕
2 º S i la i n t egr al re su lt an t e e s m ás se n cilla , p ro ced e m o s a int e gra r:
∫ 𝒇′(𝒕) · 𝒅𝒕 = 𝒇(𝒕) + 𝑪
3 º S e vu e lve a la var i ab l e i ni c i al :
f (t )+ C = f (x)+ C
E j e m p l o s :
;1+x=t2; x=t2-1;dx=2tdt
; ;
; ;
; 3x=t ;
;
;1+ex=t2; ex=t2-1; ;
;
;
4.1.1. I NT E GR ALE S IR RA CIO N ALE S CO N D IST I NT O S Í NDI CE S
a) E n las f u nc i on es r ac i on al es d e r adic al es c o n d i st i nt o s í n di c es , d e un m ism o rad icand o lin e al d e la f o r m a: “ax + b ” , e l c amb i o d e var i ab l e e s t e le v ado al mínimo c omún múlt ipl o de los índic e s .
E j e m p l o s :
I ) ; ;
;
I I ) ; ;
;
;
b) Otros cambios de variables usuales:
1.
2.
3.
4.
3 ;
4; ; ;
5 ; ; ; x + 2 = t2x - t2; t2x - x = t2+ 2 ; x ( t2- 1 ) = t2+ 2 I n t e g r a m o s.
;
S e r e a l i z a l a i n t e g r a l r a c i o n a l.
;t = 1 , 1 = 2 A , A = 1 / 2 ; t = - 1 , 1 = - 2 B , B = - 1 / 2 ;
;
A p l i c a m o s l a s p r o p i e d a d e s d e l o s l o g a r i t m o s.
4.1.2. I NT E GR ALE S R ACIO N ALE S (S E N X, CO S X) PAR E S
( N O E N T R A C O M O C O N T E N I D O S E X I G I B L E S )
Si R(s en x , co s x ) es p ar ; E s d ec ir : R(sen x, c o s x)= R( - s en x , - co s x)
Se re a liz a el camb io t = t g x .
T a mb ién se ut iliz a est e camb io p ara t o da f un ció n ra cio nal de t g x .
;
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
√1 + 𝑡2 ; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑡 ; 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 1 + 𝑡2
E j e m p l o s :
;
4.1.3. I NT E GR ALE S R ACIO N ALE S (S E N X, CO S X) NO PARE S
( N O E N T R A C O M O C O N T E N I D O S E X I G I B L E S )
Si R(s en x , co s x )no es p ar ; Se r eal i z a el c amb i o t = t g x/2.
;
E j e r c i c i o s
;
E JE RC I C I O S DE I NT EG RA C I Ó N PO R SUST IT UCI Ó N
1 . 2 . 3 . 4 .
5 . 6 . 7 . 8 .
∫ √1 + 𝑥
4· 𝑥
3𝑑𝑥
9 . 1 0 .
∫ √
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)1−𝑥2
· 𝑑𝑥
1 1 .
∫
𝑑𝑥𝑥·𝐿𝑛(𝑥3)
1 2 .
∫
𝑒1⁄𝑥2𝑥3
𝑑𝑥
1 3 .
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) · 𝑠𝑒𝑐
2(𝑥) · 𝑑𝑥
1 4 .
∫
𝑑𝑥𝑥·√4−𝐿𝑛2(𝑥)
1 5 .
∫
𝑑𝑥 √𝑒𝑥−14.2. INT E GRA CIÓ N PO R PA RT E S
E l mét o d o d e i ntegr ac i ó n p or p ar tes se b a sa e n la d er i vad a d e u n
p r o du c t o y se u t iliza p ar a r e so lve r algun a s in t egr al es d e p ro d u c to s .
Se a n u y v d o s f u ncio n e s d e rivab le s. La d e riva d a d e l p rod u ct o u· v vie ne d ad a p o r la f ó r mu la: d (u · v)= v· d u+ u ·d v; d e sp e jan d o u ·d v= d ( u · v)- v· du, in t e gramo s e st a e xpre sió n :
∫ 𝒖 · 𝒅𝒗 = 𝒖 · 𝒗 − ∫ 𝒗 · 𝒅𝒖
a) Se eligen como u: l as f u n cion e s p o linóm icas, lo garít m icas o a rco -t a n gen -t e .
b) S e e lige n co m o d v: l a s f u n cion e s e xpo n e n cia le s o t rigono m é t r ica s (t ip o sen o y co se no ) + d x.
c) T e n e mo s q u e d eri var u e i n t egr ar d v, p o r lo q u e se rá co n ve n ie n te q u e la i n t egr al d e dv se a i n med i at a
E j e m p l o s :
; ;
Resuelve:
Pr o p o si c i ón 1 : S i al i n t egr ar p o r p ar t es t o m a mo s u = xn hay q u e re pe t ir el p ro ce so n ve ce s
E j e m p l o s :
; ;
; ;
Solución de I:
Pr o p o si c i ón 2 : S i t en e mo s un a i nt egr al e n la q ue só lo ap a rece u n logarit mo
o un " arc o", i nt egr amo s p o r p art es t oma n d o: d v = d x
E j e m p l o s
; ;
;
Pr o p o si c i ón 3: S i al i n t egr ar p o r p ar t es ap a re ce e n e l se gu n do m ie mb r o la
in t e gra l qu e h ay q ue calcu lar, se re su e lve co m o u n a e cu ació n .
E j e m p l o s
; ;
; ;
Observamos que nos ha salido de nuevo la integral I.
Solución de I:
Resolvemos la ecuación despejando I:
Res u el ve : ; ; ;
E JE RC I C I O S DE I NT EG RA C I Ó N PO R PA RTE S
4.3. INT E GRA LE S RAC IO N ALE S
E n l a int e gr ación d e f u n cion e s r acio n ale s se t ra ta d e h a lla r la
in t e gra l ∫𝐏(𝐱)𝐐(𝐱)𝐝𝐱 sie nd o P (x) y Q(x) p o lin o mio s .
N o t a: En p rime r lugar , su po nd r e m o s el gra d o d e P (x) e s m e n o r qu e e l de
Q(x), si n o fu e r a así se d ivid ir ía.
∫P(x)
Q(x)dx = ∫ C(x)dx + ∫
R(x)
Q(x)dx
D o n d e C ( x ) e s e l c o c i e n t e y R ( x ) e l r e s t o d e l a d i v i s i ó n p o l i n ó m i c a.
Un a ve z qu e sabe mo s qu e e l de no m in ado r t ie ne mayo r grad o qu e n u m e r ad o r, d e sco mp o n em o s e l d en o m in ad o r e n f a ct o re s.
D e p en d ie nd o d e las raíce s d e l d e n om in ad or n o s e n con t ramo s co n lo s sigu ie nt e s caso s:
C as o 1 : E l d en o mi nad o r ti en e s ól o r aí ces r eal es si mp l es:
Q (x)= (x - a)· (x - )· (x - c )· …
La f ra cció n 𝐏(𝐱)
𝐐(𝐱) p u ed e e scrib irse así: 𝐏(𝐱) 𝐐(𝐱) = 𝐀 (𝐱−𝐚)+ 𝐁 (𝐱−𝐛)+ 𝐂
(𝐱−𝐜)+ …,d o nd e A , B ,
C,… so n n ú me r o s q u e se o bt ie ne n ef e ct u an do la su m a e id e n t if ica ndo co e f icie nt e s o dan do valo r e s a x . Ob ten ie nd o , así, un a sum a d e int e gr a le s d e las f raccio ne s simp le s q u e se r án inm e d ia ta s o ca si in me d iat a s
E j emp l o :
; S e e f e c t ú a l a s u m a :
C o m o l a s d o s f r a c c i o n e s t i e n e n e l m i s m o d e n o m i n a d o r , l o s n u m e r a d o r e s h a n d e s e r i g u a l e s :
C a l c u l a m o s l o s c o e f i c i e n t e s d e A , B y C d a n d o a l a x l o s v a l o r e s q u e a n u l a n a l d e n o m i n a d o r .
O t r a f o r m a d e h a l l a r l o s c o e f i c i e n t e s e s r e a l i z a n d o l a s o p e r a c i o n e s e i g u a l a n d o c o e f i c i e n t e s .
I g u a l a m o s c o e f i c i e n t e s :
C as o 2 : E l d en o minad o r ti en e s ól o r aí ces r eal es mú l ti p l es :
Si Q x)= (x - a)n, la fracció n 𝐏(𝐱)
𝐐(𝐱) p u ed e e scrib irse así:
𝐏(𝐱) 𝐐(𝐱) = 𝐀𝟏 (𝐱 − 𝐚)+ 𝐀𝟐 (𝐱 − 𝐚)𝟐+ ⋯ + 𝐀𝐧 (𝐱 − 𝐚)𝐧
E j emp l o I
;
P a r a c a l c u l a r A , B y C , s u s t i t u i m o s x p o r − 3 : x = - 3 , C = 3 8
D e r i v a m o s y v o l v e m o s a s u s t i t u i r p o r m e n o s − 3 :6 x - 2 = 2 A ( x + 3 ) + B ; X = - 3 , B = - 2 0
V o l v e m o s a d e r i v a r : 6 = 2 A , A = 3
T a m b i é n p o d e m o s h a l l a r l o s c o e f i c i e n t e s r e a l i z a n d o l a s o p e r a c i o n e s e i g u a l a n d o c o e f i c i e n t e s :
E j emp l o I I
;
C as o 3 :El d en o mi n ad o r t i en e r aí c es c omp l ej as si mpl es :
Si Q(x)= ax2+ b x+ c sin r aíce s re ale s ; l a f racció n 𝐏(𝐱)
𝐐(𝐱) p u ed e e scrib irse así: 𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)=
𝑴𝒙 + 𝑵 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄
N o t a: E sta int e gral s e d e sco mp o ne en un a de t ip o lo g a r ítm ico y o t ra d e t ip o
ar co - t an ge nt e .
E j e m p l o I
;
;
I g u a l a m o s l o s c o e f i c i e n t e s d e l o s d o s m i e m b r o s .
L a p r i m e r a i n t e g r a l e s d e t i p o l o g a r í t m i c o y l a s e g u n d a l a t e n e m o s q u e d e s c o m p o n e r e n d o s , q u e s e r á n d e t i p o l o g a r í t m i c o y t i p o a r c o - t a n g e n t e .
M u l t i p l i c a m o s p o r 2 e n l a s e g u n d a i n t e g r a l p a r a i r p r e p a r á n d o l a .
E l 2 d e l n u m e r a d o r d e l a 2 ª i n t e g r a l l o t r a n s f o r m a m o s e n 1 + 1 : D e s c o m p o n e m o s l a 2 ª i n t e g r a l e n o t r a s d o s .
L a s d o s p r i m e r a s i n t e g r a l e s s o n d e t i p o l o g a r í t m i c o .
L a i n t e g r a l q u e n o s q u e d a e s d e t i p o a r c o - t a n g e n t e .
V a m o s a t r a n s f o r m a r e l d e n o m i n a d o r d e m o d o q u e p o d a m o s a p l i c a r l a f ó r m u l a d e l a i n t e g r a l d e l a r c o - t a n g e n t e .
T r a n s f o r m a m o s e l d e n o m i n a d o r e n u n b i n o m i o a l c u a d r a d o :
E j e m p l o I I
S u m a m o s y r e s t a m o s 3 e n e l n u m e r a d o r , d e s c o m p o n e m o s e n d o s f r a c c i o n e s y e n l a p r i m e r a s a c a m o s f a c t o r c o m ú n 3 .
M u l t i p l i c a m o s y d i v i d i m o s e n l a p r i m e r a f r a c c i ó n p o r 2 .
V a m o s a t r a n s f o r m a r e l d e n o m i n a d o r d e m o d o q u e p o d a m o s a p l i c a r l a f ó r m u l a d e l a i n t e g r a l d e l a r c o - t a n g e n t e . A s í , t r a n s f o r m a m o s e l d e n o m i n a d o r e n u n b i n o m i o a l c u a d r a d o .
;
R e a l i z a m o s u n c a m b i o d e v a r i a b l e: