CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_SERIES_II.pdf

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA

TEOREMA. Si en la serie alternada

( )

1 1

1 n _n n

a

∞ ₋

=

−

∑

se toma el valor absoluto de sus términos, se tiene la serie:

1 2 n

a + a +"+ a +"

que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.

DEFINICIÓN. La serie

1 n n

a

∞ =

∑

es absolutamente convergente si la serie que resulta de tomar el valor absoluto de cada término es convergente.

DEFINICIÓN. La serie

1 n n

a

∞ =

∑

es condicionalmente

convergente si, por un lado, la serie es convergente, pero la serie construida con el valor absoluto de sus términos, esto es,

1 n n

a

∞ =

∑

, es divergente.

Si la serie

1 n n

a

∞ =

∑

es de términos positivos, entonces a_n = a_n y en este caso, convergencia absoluta es lo mismo que convergencia.

Ejemplo. Determinar si las siguientes series son absolutamente convergentes:

( )

1

3 3 3 3

1

1 1 1 1

) 1 1

2 3 4

n n

i

n

∞

− =

− = − + − +

∑

"

( )

1

2 3 4

1

3 3 3 3 3

) 1

4

4 4 4 4

n n n

ii ∞ +

=

− = − + − +

2

Ejemplo. Investigar la naturaleza de la serie

3 1

cos 3 n

n n

π ∞

=

∑

Solución

Si se desarrolla la serie con algunos de sus términos, se tiene:

3 3 3 3 3 3 3

2 4 5 7

cos cos _cos cos cos _cos2 cos

3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6 7

π π π π π

π π

+ + + + + + +"

3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

1 1

2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 7

− ₋ −

= + + + + + + −"

1 1 1 1 1 1 1

2 16 27 128 250 216 686

= − − − + + + −"

Se analiza con los valores absolutos de sus términos y:

3 Como se sabe, para todo " "n entero positivo se cumple

que cos 1

3

nπ _{≤ y además}

3 3

cos

1 3

n

n n

π

≤ . La serie ₃ 1

1 n n

∞ =

∑

es una serie " "p con p = >3 1 por lo que es convergente y, como domina por el criterio de la comparación, entonces la

serie ₃

1

cos 3

n

n

n π ∞

=

∑

es convergente y se concluye que la serie en estudio es absolutamente convergente y por lo tanto, convergente.

Ejemplo. Investigar si la serie armónica alternada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

TEOREMA. PRUEBA DE LA RAÍZ. Sea la serie de términos no negativos

1 n n

a ∞

=

∑

y supóngase que limn n n→∞ a = L Entonces:

1

) 1 _n es convergente

n

i L ∞ a

=

< ⇒

∑

1

ii) 1 _n es divergente

n

L o ∞ a

=

> → ∞ ⇒

∑

4

Nota. Este teorema también se aplica para las series alternadas.

Ejemplo. Utilizar el criterio de la raíz para determinar la naturaleza de las siguientes series:

( )

2

5 1

1 1

2 1

1 1

3 4

) ; )

4

) ; ) 1

2 6

n _n

n

n n

n n

n n n

n n

i n ii

n

n n

iii iv

+

∞ ∞

= =

∞ ∞

−

= =

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

−

∑

∑

5 TEOREMA. PRUEBA DEL COCIENTE (D’ALEMBERT). Sea una serie

1 n n

a

∞ =

∑

de términos positivos y supóngase que

1 lim n n

n

a

M a

+

→∞ =

Entonces:

1

) 1 _n es convergente

n

i M ∞ a

=

< ⇒

∑

1

ii) 1 _n es divergente

n

M o ∞ a

=

> → ∞ ⇒

∑

iii) M=1 ⇒ el criterio no decide

Nota. Este teorema también se aplica para las series alternadas.

Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series a partir del criterio del cociente:

( )

₍

₎

( )

2 1

1 1

1 1

1

) 1 ; )

1 ! 3

) ; ) 1

! 1

n n

n n

n

n

n n

n

i ii

n

n n

iii iv

n n

∞ ₊ ∞

= =

∞ ∞

= =

−

−

−

+

∑

∑

7 SERIES DE POTENCIAS

En diversas aplicaciones son de importancia y trascendencia las series infinitas cuyos términos contienen una o más variables, como es el siguiente caso:

DEFINICIÓN. Sea " "x una variable del campo de los reales. Entonces una serie de la forma:

2

0 1 2

0

n n

n n

n

a x a a x a x a x

∞ =

= + + + + +

∑

" "

se denomina “serie de potencias en x ”

Para simplificar el término general se asume que _x0 _{=1 , aun} en el caso de que x= 0. Es evidente que en una serie de potencias lo que se pretende es determinar los valores de la variable " "x para los cuales la serie es convergente.

Lo primero que se observa, de acuerdo con la definición anterior, es que la serie de potencias es convergente cuando

0

x = . Para determinar los demás valores de " "x donde la serie es convergente, se utilizará básicamente el Criterio del cociente tratado con anterioridad.

TEOREMA. Sea una serie de potencias 0

n n n

a x

∞ =

∑

. Entonces: )i La serie es convergente solamente para x = 0.

)

ii La serie es absolutamente convergente para todo valor real de " "x , esto es, en x∈\ .

)

iii Existe un valor positivo " "r , llamado “radio de convergencia”, tal que la serie es absolutamente convergente si x < r, esto es, si − < <r x r (intervalo de convergencia), y divergente si x > r, es decir, si

x < −r ∪ x r>

8 radio de convergencia es, en el caso

( )

i , igual a cero; en el caso

( )

ii tiende a infinito; y en el caso

( )

iii , el radio de convergencia es " "r .

También se puede dar el caso en que el centro del intervalo de convergencia sea otro valor diferente de cero.

DEFINICIÓN. Sea c∈\. Entonces una serie de la forma:

(

)

(

)

(

)

2

(

)

0 1 2

0

n n

n n

n

a x c a a x c a x c a x c

∞ =

− = + − + − + + − +

∑

" "

se denomina “serie de potencias en x c− ”

También en esta serie se asume que

(

x c−

)

0 =1, aún en el caso de que x c= .

TEOREMA. Sea una serie de potencias

(

)

0

n n

n

a x c ∞

=

−

∑

.

Entonces:

)i La serie es convergente solamente para x c− =0, esto es, si x c= .

)

ii La serie es absolutamente convergente para todo valor real de " "x , esto es, en x∈\.

)

iii Existe un valor positivo " "r , llamado “radio de

convergencia”, tal que la serie es absolutamente convergente si x c r− < , esto es, si c r x c r− < < + (intervalo de convergencia), y divergente si x c r− > , es decir, si

x c r< − ∪ x c r> +

Ejemplo. Determinar los valores de " "x para los cuales la serie de potencias siguiente es absolutamente convergente:

1 ! n n

x n

∞ =

9

Ejemplo. Determinar el radio y el intervalo de convergencia, así como los valores de " "x donde la siguiente serie diverge:

( )

1

1

1n n

n

x n

∞ ₊

=

−

10 Ejemplo. Analizar la naturaleza de la siguiente serie de potencias:

1

1

3

n n n

n _x

∞ =

+

∑

Ejemplo. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente serie de potencias:

2 3 4

0

! n 1 2 6 24

n

n x x x x x

∞ =

= + + + + +

11 Ejemplo. Determinar el intervalo y el radio de convergencia, así como los valores de " "x donde la serie de potencias siguiente es divergente:

(

)

1

2 2 3

n n

n x n

∞ =

− +

∑

Ejemplo. Estudiar la naturaleza de la serie de potencias:

( ) (

₂

)

0

4 1

3 n n

n n

x n

∞ =

+ −

12 SERIES DE POTENCIAS COMO REPRESENTACIONES DE FUNCIONES

Una determinada función puede ser representada mediante una serie de potencias y es evidente que el dominio de la función así representada es el intervalo de convergencia de la serie. Si la serie de potencias es

0 n n n

a x

∞ =

∑

, entonces,

( )

( )

2

0 1 2

0

;

n n

n n

n

f x ∞ a x f x a a x a x a x

=

=

∑

= + + +"+ +"

luego, cuando se pretende calcular el valor de la función en un valor “c” de su dominio, bastará con sustituirlo en la serie de potencias y se tendrá un valor aproximado de la función.

Ejemplo. Considérese la serie geométrica

( )

2 3

1_{− +x x − x +"+ −}1 n _xn _+"

Su razón es r = −x y a=1. Como se sabe, si x <1, la serie es convergente y tiene como suma a:

( )

1 1

1 1 1

a S

r x x

= = =

− − − + ,

por lo que se puede escribir que

( )

2 3

1 _{1 1 ; 1}

1

n _n

x x x x x

x = − + − + + − + <

+ " "

Entonces, como se ve, se trata de una serie de potencias que representa a la función, esto es,

( )

( )

0

1 ₁

1

n _n n

f x x

x

∞ =

= = −

+

∑

si x <1

13

TEOREMA. Sea una serie de potencias 0

n n n

a x

∞ =

∑

con un radio de convergencia no nulo " "r y sea la función " "f definida por:

( )

2

0 1 2

0

n n

n n

n

f x ∞ a x a a x a x a x

=

=

∑

= + + +"+ +"

para toda " "x en el intervalo de convergencia. Si r x r− < < , entonces:

( )

1 2 1

1 2 3

1

) ' n 2 3 n

n n

n

i f x ∞ na x − a a x a x na x − =

=

∑

= + + +"+ +"

( )

1 2 3 1

0 1 2

0

0

1 1 1

)

1 2 3 1

x _{n n n}

n n

a

ii f t dt x a x a x a x a x

n n

∞

+ +

=

= = + + + + +

+ +

∑

∫

" "

Se puede probar que ambas series de potencias tienen el mismo radio de convergencia que

0 n n n

a x

∞ =

∑

.

Nota. El radio de convergencia de la serie de potencias resultante de la derivación o de la integración es el mismo, pero el intervalo puede diferir en sus extremos.

Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función:

( )

(

)

2

2 _{si 2}

2

f x x

x

= < −

14

Ejemplo. Sea la función siguiente y su serie de potencias:

( )

2 3

1 2 3

n n

n

x x x x

f x x

n n

∞ =

=

∑

= + + +"+ +"

Definir las series de potencias que representan a las siguientes funciones y determinar sus respectivos intervalos de convergencia:

( )

( )

( )

) ; ) ' ; )

i f x ii f x iii

∫

f x dx

Solución

( )

2 3

1 )

2 3

n n

n

x x x x

i f x x

n n

∞ =

=

∑

= + + +"+ +"

Se utiliza el criterio del cociente para determinar el intervalo de convergencia y,

(

)

1

1

1 1

lim lim lim lim

1 1

n

n n

n n

n n n n

n

x

a _n nx n

x x

a x n x n

n

+

+ +

→∞ →∞ →∞ →∞

+

= = = =

+ +

1 1 1

15 1 1 1 x x x = − ⎧ = _{⇒ ⎨} =

⎩ no hay información

( )

_{( )}

1 1 1

1 1

1 1

n n

n

n n n

x x

n n n

∞ ∞ ∞

= = =

−

= − ⇒

∑

=

∑

=

∑

− serie armónica

alternada convergente

1 1 1

1 1

1 n n

n n n

x x

n n n

∞ ∞ ∞

= = =

= ⇒

∑

=

∑

=

∑

serie armónica divergente

Entonces el intervalo de convergencia es x∈ −_⎡⎣ 1,1

)

( )

1 1 2 1

1 1

) ' n n 1 n

n n

nx

ii f x x x x x

n

−

∞ ∞

− −

= =

=

∑

=

∑

= + + +"+ +"

1

1 lim n lim n

n

n n

n

a x

x

a+ x −

→∞ = →∞ =

1 1 1

x < ⇒ − < <x convergencia absoluta

1 1 1

x > ⇒ x < − ∪ >x divergencia 1 1 1 x x x = − ⎧ = _{⇒ ⎨} =

⎩ no hay información

( )

1

( )

1

1

1 1

1 n 1n 1 1 1 1 1n

n n

x ∞ x − ∞ − −

= =

= − ⇒

∑

=

∑

− = − + − +"+ − +"

divergente

1 1 1

1 1

1 n 1n 1 1 1 1 1n

n n

x ∞ x − ∞ − −

= =

= ⇒

∑

=

∑

= + + + +"+ +"

divergente

Luego el intervalo de convergencia de esta serie de potencias es x∈ −

( )

1,1

( )

₍

1

₎

2 3 4

₍

1

₎

1 )

1 2 6 12 1

n n

n

x x x x x

iii f x dx

n n n n

+ + ∞ = = = + + + + + + +

∑

∫

" "

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2 1 1 1

1 2 1

lim lim lim

1 2 1 n n n n n

n n n

n

x

n n n n x

a

a x n n x

n n + + + + + →∞ →∞ →∞ + + + = = + + + 2 2 lim 3 2 n

n n _{x x}

n n

→∞

+

= =

16

1 1 1

x < ⇒ − < <x convergencia absoluta

1 1 1

x > ⇒ x < − ∪ >x divergencia 1 1 1 x x x = − ⎧ = _{⇒ ⎨} =

⎩ no hay información

(

)

( )

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n x x

n n n n

+ + ∞ ∞ = = − = − ⇒ = + +

∑

∑

( )

1

₍

₎

1

1 1 1 1 1

1

1 2 6 12 20 n

n n n

∞ + = = − = − + − + +

∑

"

(

)

( )

( )

(

)

2 ₂ 2

1

lim 0

1

1 2 1

' 0 1

n n n

y

f y f y y

y y _{y y}

→∞

⎧ ₌

⎪ ₊

⎪ _⇒

⎨ ₊

⎪ = ⇒ = − < ∀ ≥ + ⎪ ₊ ⎩ convergente

(

)

(

)

(

)

1 1

1 1 1

1 1

1

1 1 1

n n

n n n

x x

n n n n n n

+ + ∞ ∞ ∞ = = = = ⇒ = = + + +

∑

∑

∑

1 1 1 1

2 6 12 20

= + + + +"

que es una serie telescópica y por lo tanto convergente.

Luego el intervalo de convergencia de la serie de potencias es x∈ −⎡_⎣ 1,1⎤_⎦

Queda comprobado que el radio de convergencia es el mismo, pero el intervalo varía en sus extremos.

TEOREMA. SERIE DE TAYLOR

Sea " "f una función tal que

( )

(

)

0

n n

n

f x ∞ a x c =

=

∑

− para toda

" "x en un intervalo abierto que contiene a " "c . Entonces es posible construir la serie

( ) ( ) ( )(

)

''

( ) ( )

2 ( )

( ) ( )

'

n

n

f c f c

17

COROLARIO. SERIE DE MACLAURIN

Sea " "f una función tal que f x

( )

= ∑a x_n n para toda " "x en un intervalo abierto

(

−r r,

)

, entonces se construye la serie

( ) ( ) ( )

_{0 ' 0} '' 0

( )

2 ( )

( )

0

2! !

n

n

f f

f x f f x x x

n

= + + +"+ +"

que se conoce como “Serie de Maclaurin para f x

( )

”.

Nota. Para analizar la convergencia en ambas series, se puede utilizar el criterio del cociente o de D’Alembert.

Ejemplo. Obtener la serie de Maclaurin para las funciones

( )

( )

cos

19 Ejemplo. Obtener el valor de sen

( )

0.1 mediante la serie de Maclaurin y estimar el error que se comete si para ello se utilizan sus dos primeros términos.

Solución

La serie ya obtenida es:

( ) ( )

3 5 7 2 1

1

3! 5! 7! 2 1 !

n n

x x x x

senx x

n +

= − + − + + − + +

" "

Se sustituye " "x por el valor de 0.1 y se llega a:

( )

0.1 0.1 0.001 0.00001

6 120

sen = − + −"

Como se sabe, el error que se comete al usar los primeros dos términos, y su suma como aproximación, es menor que

0.00001

120 . Por lo que el valor aproximado de sen

( )

0.1 , con 6

cifras decimales de exactitud, es de 0.099833

Resulta interesante expresar que es factible utilizar la fórmula

polinomial 3

6

x

senx x= − donde el error que se comete es menor que

5

5!

x .

Ejemplo. Obtener la serie de potencias de Maclaurin para representar a las funciones:

( )

( )

) cos ; )

20

Ejemplo. Obtener la serie de Taylor para representar a la función f x

( )

= senx en potencias de

6

x− π . Solución

Al derivar y sustituir se tiene que:

( )

_{6 2}1

f x = senx ⇒ f⎛ ⎞_{⎜ ⎟}π = ⎝ ⎠

( )

3

' cos '

6 2

f x = x ⇒ f ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}π = ⎝ ⎠

( )

1

'' ''

6 2

f x = −senx ⇒ f ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}π = − ⎝ ⎠

( )

3

''' cos '''

6 2

f x = − x ⇒ f ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}π = − ⎝ ⎠

#

de donde

( )

( )

2 4

1 3 1 3

2 2 6 2 2! 6 2 3! 6

senx = + _⎜⎛x−π _⎟⎞− _⎜⎛x−π ⎞_⎟ − ⎛_⎜x−π ⎞_⎟ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ "

El término general de esta serie está dado por:

( )

( )

2

1 2

1

1 0,2,4.6,...

2 ! 6

3

1 1,3,5,7,...

2 ! 6

n n

n _n

n

x si n

n u

x si n

n

π

π −

⎧ _{⎛ ⎞}

− − =

⎪ _{⎜ ⎟} ⎪ ⎝ ⎠ = ⎨

⎛ ⎞

⎪ − _⎜ − _⎟ = ⎪ _{⎝ ⎠}

⎩

21 EJEMPLO. Utilizar la serie de Maclaurin para aproximar a cuatro cifras decimales la integral:

1 ₂

0senx dx

∫

Solución

Aquí se pude ver una gran utilidad de las series de potencias como representaciones de funciones, ya que la función del integrando no es integrable por los métodos tradicionales de integración. Y resulta sencillo integrar los términos de la serie de potencias que la representa.

Para obtener la serie de Maclaurin para la función _senx2 bastará con sustituir, en la serie que representa a senx, a la

" "x por _{"x . Así,} 2_"

( ) ( )

3 5 7 9 11 2 1

1

3! 5! 7! 9! 11! 2 1 !

n n

x x x x x x

senx x

n

+

= − + − + − + + − + +

" "

( ) ( )

6 10 14 18 22 4 2

2 2 ₁

3! 5! 7! 9! 11! 2 1 !

n n

x x x x x x

senx x

n

+

= − + − + − + + − + +

" "

6 10 14

1 ₂ 1 ₂

0 0 3! 5! 7!

x x x

senx dx = ⎛_⎜x − + − + ⎞_⎟dx

⎝ ⎠

∫

∫

"

1

3 7 11 15

1 ₂

0

0

3 42 1320 75600

x x x x

senx dx = ⎡_⎢ − + − ⎤_⎥

⎣ ⎦

∫

Si se utilizan los primeros tres términos se obtiene

1 ₂

0

1 1 1 _0.310281

3 42 1320

senx dx = − + ≈

∫

El cuarto término es igual a

1

0.0000132275

75600 ≈

Como el error que se comete al tomar los primeros tres términos es menor que el cuarto término, entonces la integral pedida es exacta en sus cuatro primero términos como:

1 ₂

0senx dx 0.3102

22 Ejemplo. Obtener la serie de Taylor para la función

( )

₁1

f x

x

=

+ centrada en c =1 y decir para qué valores de " "x

la representa.

Solución

Se obtienen las derivadas respectivas y se sustituye en ellas el valor de c =1.

( )

1

( )

1 1

1 2

f x f

x

= ⇒ =

+

( )

(

)

2

( )

1 1

' ' 1

4 1

f x f

x

= − ⇒ = −

+

( )

(

)

3

( )

2 2

'' '' 1

8 1

f x f

x

= ⇒ =

+

( )

(

)

4

( )

6 6

''' ''' 1

16 1

f x f

x

= − ⇒ = −

+

( )

_{( )}

(

)

5 ( )

( )

24 24

1

32 1

iv iv

f x f

x

= ⇒ =

+

( )

_{( )}

(

)

6 ( )

( )

120 ₁ 120

64 1

v v

f x f

x

= − ⇒ = −

+

Ahora se sustituyen los valores obtenidos en la serie de Taylor y se llega a:

( ) ( )(

)

'' 1

( ) ( )

2 ( )

( ) ( )

1

1

1 ' 1 1 1 1

1 2! !

n

n

f f

f f x x x

x = + − + − + + n − +

+ " "

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

2 3 4

1

1 1 1 ₁ 2 ₁ 6 ₁ 24 ₁

1 2 4 8 2! 16 3! 32 4!

!

1 1

2 !

n n

n

x x x x

x n _x n + = − − + − − − + − − + ⋅ ⋅ ⋅ + − − + " "

(

)

(

)

2

(

)

3

(

)

4

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1+ x = −2 4 x− + 8 x− −16 x− + 32 x− −

( )

1 1₁

(

1

)

2

n n

n+ x

+ − − +

23 Se aplica el Criterio de la razón y se obtiene:

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 2 1 2 1 1

2 1 ₁ 1

2

lim lim lim lim 1

2 2

1 2 1

2 n n n n n

n _n n

n n n n

n n x x x a x

a _{x x}

+ + + + + + →∞ →∞ →∞ →∞ + − − − = = = − = − − 1

1 1 2 2 1 2

2

x

x x

−

< ⇒ − < ⇒ − < − <

1 x 3 convergente

⇒ − < < ∴

1

1 1 2 1 2 1 2

2

x

x x x

−

> ⇒ − > ⇒ − < − ∪ − >

1 3 divergente

x x

⇒ < − ∪ > ∴

1 1 2 1

1 1 2

2 1 2 3

x x x

x x x − ⎧ − = − ⇒ = − = ⇒ − = _{⇒ ⎨} − = ⇒ = ⎩

( )

1

( )

0 0

1 1

1 1 2 divergente

2 2

n n

n

n n

x ∞ ₊ ∞

= =

= − ⇒

∑

− − =

∑

∴

( )

1

( )

( )

0 0

1 1

3 1 2 1 divergente

2 2

n n n

n

n n

x ∞ ₊ ∞

= =

= ⇒

∑

− =

∑

− ∴

Por lo tanto, la función

( )

1

1

f x

x

=

+ centrada en c =1 es

representada por la serie de potencias

( )

₁

(

)

0 1 1 1 2 n n n n x ∞ + = − −

∑

en