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Integral definida
1. Si f(x)x, calcular
10 f(x)dxde dos formas.
a) Representando y f(x)y utilizando fórmulas de geometría elemental. b) Mediante el límite de la suma de las áreas de rectángulos.
(Comentario: más adelante la hallaremos de una tercera forma llamada regla de Barrow).
2. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f(x)x2, el eje horizontal y las rectas verticales x0 y 1
x , mediante el límite de la suma de las áreas de rectángulos.
(Ayuda:
6 ) 1 2 )( 1 ( 3
2
12 2 2 2 n n n
n
).
(Comentario: en un ejercicio posterior hallaremos esta área utilizando la regla de Barrow).
Propiedades de la integral
3. a) Enuncia y demuestra el teorema del valor medio del cálculo integral.
b) Comprueba que se puede aplicar el teorema del valor medio del cálculo integral a la función f(x)x2 en el intervalo
0,1 y halla el número real c
0,1 que verifica el teorema.(Ayuda: en un ejercicio anterior comprobamos que
3 1
1
0 2
x dx )4. Sea f :
2,2
R continua en
2,2
tal que:
2
1 1
2 f(t)dt f(t)dt
¿Se puede asegurar que existen b y c en
2,2
tales que b1, c1 y f(b) f(c)?La integral definida y su relación con su derivada: teorema fundamental del cálculo integral
5. a) Enuncia y demuestra el teorema fundamental del cálculo integral.
b) Sea la función F x
xt dt 02
)
( . Halla F'(x). Halla la expresión de F(x) e interpreta gráficamente su
significado para x
0,1 .6. Sea g x
xf t dt 0 ( ))
( donde f es la de la figura:
a) ¿Tiene g algún máximo relativo en [0, 10]? Si es así, ¿dónde está localizado? b) Si hay, da un mínimo relativo de g en [0, 10].
c) ¿Para qué valor de x alcanza g el máximo absoluto en [0, 10]? ¿Y el mínimo absoluto? d) ¿En qué intervalos la función g es cóncava hacia arriba?
e) Esboza la gráfica de g.
Regla de Barrow
7. a) Enuncia y demuestra la regla de Barrow.
b) Calcula
10 2
dx
x y comprueba que coincide con el resultado del ejercicio 2 de esta colección.
8. Calcula:
a)
3(2x28)dx b)
1 1
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9. (CCSS2) Calcula, aplicando la fórmula de Barrow, las siguientes integrales:
a)
21 xdx b)
4 0 2 3 ) 3 4
(x x x dx c)
1
04e 1dx e
x x
d)
2
1 2 12
1
dx x
e)
41
1
dx
x f)
54 x 3dx g)
1
1 2 dx
e ex x
h)
e1 xdx
3
10.A) Calcula por cambio de variable dx x
x
e
1ln
de dos formas:
a) Deshaciendo el cambio y aplicando la regla de Barrow. b) Utilizando el teorema de sustitución.
B) Repite el ejercicio con
4
0 x 1dx
x
11.Para hacer un estudio sobre la capacidad de memorizar de un niño se utiliza el siguiente modelo: si x es su edad en años, entonces su capacidad de memorizar viene dada por: f(x)12xlnx siendo 0x5
Calcula el valor medio de capacidad de memorizar de un niño entre su primer y su tercer cumpleaños.
12.Obtén la derivada de
42 3
)
( x
x sentdt
x g
13.(PAU 2008 Sep 3.1) Dada la función f(t)atb (con a y b constantes reales), se define
11 ( )
)
(x x x f t dt
F .
Se pide obtener razonadamente:
a) La integral
11 ( )
x
dt t
f . (1,5 puntos).
b) La expresión de la derivada F ’(x) de la función F(x). (0,5 puntos).
c) La relación entre los valores a y b para la que se verifica: F "(0) = 0. (1,3 puntos).
14.(PAU 2009 Jun 3.2 a,b) Dada la función real f(x)exex se pide calcular razonadamente: a) La función f (x) + f (–x). (1,1 puntos).
b) La integral
a
a f(x)dx, donde a es un número real positivo. (1,1 puntos).
15.Dada la función g x
xet dt 02 )
( , ¿tiene g(x) puntos de inflexión? Razona tu respuesta.
16.Sea F x
x tdt2
1 ln
)
( con x1.
a) Calcula F'(e).
b) ¿Es una función constante? Justifica tu respuesta.
17.Sea la función dt
t t sen x
F
x 1)
( definida para x1.
Halla los valores de x en los que alcanza sus máximos y mínimos relativos.
18.Dada la función F x
x t et dt 0 2 2 ) 1 ( )( , definida para todo xR:
a) Calcula F'(x), estudia el crecimiento de F(x) y halla las abscisas de sus máximos y mínimos relativos. b) Calcula F"(x), estudia la concavidad y convexidad de F(x) y halla las abscisas de sus puntos de inflexión.
19.Sea F(x) la función definida por
1 1
2 )
( e x t
x
dt e x
F . Halla los puntos en los que se anula F'(x).
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21.Halla el punto del intervalo
0,2 en el que la función
x
dt t t x f
01 2
1 )
( alcanza su mínimo.
22.a) Calcula los extremos relativos y absolutos de la función f :
7,1
R definida por f(x)x36x249. b) Sea el punto en el que f alcanza su máximo absoluto. Calcula
7 f(x)dx.
23.a) Si f es una función continua, obtener F'(x) siendo: F x
x
f t t t
dt 03 2
) ( )
(
b) Si f(1)1 y además
1 0 f(t)dt 1, halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) en el punto
1,F(1)
.24.Sean las funciones F x
x et dt 12 5 )
( y g(x)x2, calcula
F
g(x)
'.25.De una función integrable f :
1,1
R se sabe que para x
1,1
es f(x) 1x2.De los números –3; –2; –1; 2,5 y 2,75; ¿cuáles pueden ser el valor de la integral
1
1f(x)dx? Cálculo de áreas mediante integrales
26.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por la recta x = 3, el eje de abscisas y la parábola 2 x y Sol: 9 u.a.
27.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la parábola yx22x3. Sol: 32/3 u.a.
28.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por el eje de abscisas, la parábola yx21 y sus ordenadas en los puntos x = 0 y x = 3.
Sol: 22/3 u.a.
29.(CCSS2) Hallar el área encerrada entre la curva y x34x23x, el eje OX y las rectas x0, x4.
Sol: 8 u.a.
30.(CCSS2) Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: y x2x2, y2x
Sol: 2 9
u.a.
31.(CCSS2) Hallar el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) x31 g(x)x1
Sol: . . 2 1
a u
32.(CCSS2) Considera la función:
0 1
0 1
) (
2 2
x si x
x si x
x
f Representa el recinto limitado por los ejes de
coordenadas y la gráfica de la función y halla su área.
Sol: 1 u.a.
33.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por las curvas
x
y 8 , y x , el eje OX y la recta x8.
Sol: 8ln2) 3
16
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34.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por el eje de ordenadas, la recta y = 3 y la curva yex Sol: 3ln 3 2 u.a..
35.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por la recta y = x y el arco de parábola y = 2x Sol: 2/3 u.a..
36.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por la parábola yx21 y la recta y = 3. Sol: 32/3 u.a.
37.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por la parábola yx25 y la recta y = 2x+3 Sol: 36 u.a.
38.(CCSS2) Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 3x y las rectas y =1 y x = 2
Sol: -2 u.a.. 3
ln 8
39.(CCSS2) Área del recinto limitado por la curva y = 10 + 7x x2 y el eje OX Sol:
6 89 89
40.(PAU 2011 Sep B3d) Un coche recorre el arco de parábola de ecuación 2y = 36 – x2, variando la x de –6 a 6. Se representa por f (x) a la distancia del punto (0, 9) al punto (x, y) del arco donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:
d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola y el segmento rectilíneo que une los punto (– 6, 0) y (6, 0). (4 puntos)
41.(PAU 2010 Sep A3) Dadas las funciones f (x) = x3 y g(x) = 2x2 – x, se pide:
a) Obtener razonadamente los puntos de intersección A y B de las curvas y = f (x) e y = g(x). (3 puntos). b) Demostrar que f(x)g(x) cuando x> 0. (3 puntos).
c) Calcular razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los puntos A y B . (4 puntos).
42.(PAU 2009 Jun 3.1,b,c)
b) Obtener razonadamente los valores A y B tales que
x B x A x
x
3 3 3
3 1
(1 punto).
c) Calcular razonadamente el área de la superficie S limitada por la curva
x x y
3 3
1
el eje OX y las
rectas de ecuaciones x = –2 y x = 2 . (1,3 puntos).
43.(PAU 2008 Sep 3.2) Para cada número real positivo , se considera la función g(x) x2 . Se pide calcular razonadamente:
a) El área de la región del plano limitada por el eje X , el eje Y, la recta x 6 y la curva y = g (x). (2 puntos). b) El valor para el que la curva y x2 divide al rectángulo de vértices (0,0), ( 6,0), ( 6,6),
) 6 , 0
( en dos regiones de igual área. (1,3 puntos).
44.(PAU 2008 Jun 3.1) Se considera, en el primer cuadrante, la región R del plano limitada por: el eje X , el eje Y,
la recta x = 2 y la curva 2
4 1
x y
.
a) Calcular razonadamente el área de la región R. (1,5 puntos).
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45.(PAU 2006 Sep A3 b,c) Dadas las funciones f(x)x33x8 y g(x)3x, se pide: b) Calcular el punto de corte de la curva y = f (x) y la recta y = g (x) (1 punto).
c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y = f (x) y las rectas y = g(x), x3 y x0. (1,3 puntos).
46.(PAU 2006 Jun A3c) c) Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y x2 4 y las rectas x = –1, x = 4 e y=0 (1,1 puntos).
47.(PAU 2005 Jun A3) Dadas las curvas y = (x –1)3, y = 5 – x2 calcular razonadamente: a) Su punto de corte (1,1 puntos).
b) El área encerrada por ellas y el eje OY (2,2puntos).
48.Calcula el área de la región sombreada, donde f(x)3x, g(x)3x y h(x)4x2
49.Una regla muy antigua dice que el área de un segmento parabólico es dos tercios del producto de la base por la altura. Confirma esta regla usando el cálculo integral.
50.La curva roja forma parte de la gráfica de la función y = arcsenx. Calcula de dos formas el área de la región sombreada.
51.Calcula el área de la región limitada por estas cuatro curvas: yx5, y2, y1, y2 x
52.Demuestra que el área de un círculo de radio R es R2 , utilizando el cálculo integral.
53.En la figura se muestra la parte positiva de la gráfica de y4xx2. Encuentra la ecuación de una recta vertical para que el área de la zona sombreada sea de 9 u.a.
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55.Dada la función
2
2
x x
y , calcula el área encerrada por la curva, el eje X y las rectas perpendiculares al eje X
que pasan por el máximo y el mínimo de la función dada.
56.Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)x32x2 x, y la recta tangente a dicha gráfica en el máximo relativo.
Representa gráficamente la función hallando los puntos de corte con los ejes y los extremos relativos. 57.a) Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones ysenx, ycosx, y0, x3
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
58.Sea f :RR la función definida por
4 1 2 )
(x x2 x f
a) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f y sus tangentes en los puntos de abscisa
2 1
0 x y
2 1
1 x
b) Prueba que el eje de ordenadas divide el recinto anterior en dos zonas que tienen igual área.
59.a) Halla el área del triángulo formado por el eje X y las rectas tangente y normal a la curva yex en el punto de abscisa x = –1.
b) Halla el área de la región limitada por la curva de ecuación yex y el eje X para los valores 1x0. 60.Dada la función
4 12 )
( 2
2
x x x
f , calcula el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el eje X.
61.a) Halla la recta tangente a la curva de ecuación yx33x en el punto de abscisa x = –1. b) Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada y calcula el área.
62.Halla la ecuación de una parábola de eje vertical que delimita con el eje X un recinto de base
0,3 y área 9.63.Se considera
2 1
2 )
(
2 2
x si x
x si b ax x
f , se pide:
a) Calcula a y b para que f sea continua y derivable en todo R
b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcula el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas x = 1, x = 3.
Otras aplicaciones de la integral definida (nivel universitario) Teoría:
* Define volumen de un sólido de revolución y comprueba que es
b
a f x dx
V ( ) 2 si gira alrededor del eje OX y
el disco (o arandela) genérico infinitesimal es perpendicular al eje de revolución o bien es
b a x f x dx
V 2 ( ) si
gira alrededor del eje OY y el tubo genérico infinitesimal es paralelo al eje de revolución.
* Hallar el volumen de un sólido por secciones transversales. Es
baA x dx
V ( ) . La fórmula del volumen del sólido de
revolución es un caso particular de esta fórmula.
* El área de una superficie de revolución es
b
a f x f x dx
S 2 ( ) 1 '( ) 2
* La longitud de un arco de curva plana es L b
f x
dxa
2
) ( ' 1
* Dado un arco de curva AB expresada en coordenadas polares r f(), es
f d
SOAB
2
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b
a
revR f x dx
V ( ) 2
b
a
revR f x f x dx
S 2 ( ) 1 '( )2
b
a ntornoY
rev x f xdx
V Re 2 ( )
b
a S A x dx
V ( )
f x dx L b
a curva
2
) ( '
1
f d
SR
( ) 2 21
b
a R f x dx
S ( )
Volumen y superficie de un cuerpo de revolución
64.Dada la región R delimitada por las curvas yx3, y0, x0 y x1.
a) Calcula el volumen y superficie lateral engendrado al girar el recinto R alrededor del eje X. b) Calcula el volumen engendrado al girar el recinto R alrededor del eje Y.
c) Dado el recinto S limitado por 3
x
y , x0, y1, halla el volumen del sólido que se forma al girar S alrededor del eje Y y compáralo con el volumen del apartado b).
65.Dada la curva y x1 entre x1 y x5.
a) Calcula el volumen engendrado al girar el recinto anterior alrededor del eje X. b) Calcula el volumen engendrado al girar el recinto anterior alrededor del eje Y.
66.Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos limitados por las gráficas que se indican: a) f(x) x, g(x)x2
b) y2 4x, x4
67.a) Deduce la fórmula que asegura que el volumen de una esfera de radio r es 3
3 4
r V
b) Deduce la fórmula que asegura que el área de una esfera de radio r es 2
4 r
A
68.a) Deduce la fórmula que asegura que el volumen de un cono de radio r y altura h es V r2h
3 1
b) Deduce la fórmula que asegura que el área lateral de un cono de radio r, altura h y generatriz g es Arg
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70.Halla el volumen del sólido que resulta de girar, alrededor del eje OY, la región limitada por las funciones
x x
f( )2 y g(x)x2 de dos formas: considerando la arandela genérica infinitesimal perpendicular al eje de revolución o el tubo genérico infinitesimal paralelo al eje de revolución.
71.Halla el volumen engendrado por la región plana definida por el eje X, la curva de ecuación yex, el eje Y y la recta x = 3, al girar alrededor del eje X de dos formas: considerando la arandela genérica infinitesimal (corona cilíndrica de altura muy pequeña) perpendicular al eje de revolución o el tubo genérico infinitesimal (corona cilíndrica con R–r muy pequeño) paralelo al eje de revolución.
72.Demuestra que el volumen de un toro es V 22Rr2 y su superficie lateral S42Rr
73.La región del plano limitada por las curvas yx2 e y1 gira alrededor de la recta horizontal y3generando un sólido de revolución. Halla el volumen del sólido de dos formas: considerando la arandela genérica
infinitesimal (corona cilíndrica de altura muy pequeña) perpendicular al eje de revolución o el tubo genérico infinitesimal (corona cilíndrica con R–r muy pequeño) paralelo al eje de revolución.
74.Dada la región del plano S delimitada por y3 x2 1, x=0 e y=5. Encuentra el volumen del sólido al girar S sobre el eje Y de dos formas: considerando el disco genérico infinitesimal (cilindro de altura muy pequeña) perpendicular al eje de revolución o el tubo genérico infinitesimal (corona cilíndrica con R–r muy pequeño) paralelo al eje de revolución.
75.Dada la región del plano S delimitada por ylnx, y=3 , y=1 , 4 e
x . Encuentra el volumen del sólido al girar S sobre el eje OY de dos formas: considerando la arandela genérica infinitesimal (corona cilíndrica de altura muy pequeña) perpendicular al eje de revolución o el tubo genérico infinitesimal (corona cilíndrica con R–r muy pequeño) paralelo al eje de revolución. Repite el ejercicio si S gira sobre el eje OX.
76.Hallar el volumen que engendra la elipse 9x2 + 16y2 = 144, al girar alrededor de su eje mayor.
77.La curva ysen2x, x
0, , gira en torno a OX determinando un sólido del que se pide el volumen.78.Hallar el volumen engendrado al girar la superficie limitada por y2 = x3 (parábola semicúbica), el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.
79.Halla el volumen del sólido engendrado al girar en torno al eje Y la región limitada por y2x2, y4x2 y la recta y2.
80.Halla el volumen del sólido engendrado al girar en torno al eje Y la región limitada por 2
x
y , y2 27x
81.Al girar alrededor del eje OX, el segmento de curva y x comprendido entre las abscisas x=0 y x=a, engendra un tronco de paraboloide de revolución cuya superficie equivale a la de una esfera de radio 13/12. Hállese el valor de "a" para que esto ocurra.
82.Hallar la superficie del elipsoide de revolución engendrado por la elipse de semiejes 4 y 2 al girar alrededor del eje mayor.
83.Calcular el área de la superficie generada al girar en torno al eje Y la curva yx2 siendo 0x3.
84.Calcular el área de la superficie generada al girar en torno al eje Y la curva 1 4
2 2 y
x .
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85.Demuestra que el volumen de la pirámide regular de altura h y de base un cuadrado de lado L es V L2h
3 1
86.Las secciones transversales de cierto sólido por planos perpendiculares al eje Y son semicírculos con diámetros que van desde la curva xy2 hasta la curva x8y2 el sólido está entre los puntos de intersección de las dos curvas. Demuestra que el volumen se puede hallar con la integral
2 2
2 2
) 4
( y dy
V
87.Encontrar el volumen de un sólido que se genera al cortar dos cilindros rectos iguales y perpendiculares.
88.Halla el volumen de una pirámide de base un hexágono de lado "a". 89.Halla el volumen de tetraedro regular truncado de altura "h".
Longitudes de arcos
90.Demuestra que la longitud de una circunferencia de radio R es 2R , utilizando el cálculo integral.
91.Un móvil se desplaza siguiendo la trayectoria de la gráfica de la función y
x1
3 , donde x representa el tiempo. Calcula el espacio recorrido en el intervalo de tiempo [0, 3].92.Hallar la longitud de la curva
x x y
24 48
4
en [2, 4].
93.Hallar la longitud del arco de curva yln(1x2)en [1/3, 2/3].
94.Hallar la longitud de la curva 2 2
) 3 (
9y x x en la parte comprendida entre los puntos de intersección con el eje OX. (Dibújese la curva. Debe hallarse la longitud de los dos arcos simétricos respecto de OX).
95.Calcula la longitud del arco de curva
2 x x
e e y
siendo 0xb (arco de catenaria)
96.Calcula la longitud del arco de parábola y x2 3x4 determinado por el eje X.
97.Calcula la longitud del arco de curva y x lnx
2 1 4 1 2
siendo 1x2 .
98.Calcula la longitud del arco de curva yln(cosx) siendo
4 0x .
Área de recintos limitados por curvas que están expresadas en coordenadas polares
99.Hallar el área encerrada por la curva de ecuación (en coordenadas polares) r()4cos siendo 0 2
100. Hallar el área encerrada por la curva de ecuación (en coordenadas polares) r()4sen(2) siendo 02
101. Hallar el área encerrada por la cardiode (en coordenadas polares) r()1cos siendo 02
102. Hallar el área encerrada por la lemniscata de Bernouilli (en coordenadas polares) r2 a2cos(2) siendo
2
0
103. Hallar el área encerrada por la espiral de Arquímedes (en coordenadas polares) r()a y los radios vectores correspondientes a 0 y .
104. Hallar el área de la rosa de tres pétalos (en coordenadas polares) r()sen(3) siendo 02
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Aplicaciones de la integral a otras ciencias
106. La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m/s por la siguiente gráfica:
a) Calcula la función espacio-recorrido.
b) Dibuja la gráfica de la función espacio-recorrido.
c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido.
107. Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta debido a la acción de una fuerza F que depende continuamente de la posición x del objeto en dicha línea recta. Se sabe que el trabajo realizado por la fuerza para mover el
objeto desde x = a hasta x = b está dado por
baF x dx
W ( ) .
a) Si la fuerza es
21 2 ) (
x x
F , calcula el trabajo para ir desde x = 3 hasta x = 5.
b) Determina razonadamente si la fuerza
2
21 2 )
(
x x
G realiza más o menos trabajo que F(x) para el mismo
desplazamiento.
108. La densidad de una barra de 5 m de largo y sección A = 0,01 m2 es
4 800 )
(
x x
kg/m3 donde x mide la
distancia de cada punto al extremo izquierdo de la varilla. Halla su masa.
109. La densidad de coches (x) (en coches por km) en los primeros 20 km de una autovía de salida de una gran ciudad viene dada por la función (x)300
2sen4 x0,15
siendo x la distancia en km al comienzo de la autovía.a) Escribe una suma de Riemann para hallar el número de coches en esos 20 km con cinco intervalos de igual longitud tomando como punto muestra el extremo izquierdo.