Procesos de objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico
por parte de estudiantes de décimo grado
Liliana Marcela González Carrillo
Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática
Facultad de Ciencias y Educación
Procesos de objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico
por parte de estudiantes de décimo grado
Liliana Marcela González Carrillo
20142184014
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de Magíster en Educación con Énfasis en Educación Matemática
Director
Rodolfo Vergel Causado, Ph. D.
Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática
Facultad de Ciencias y Educación
DEDICATORIA
A Dios, por haberme dado la vida y las oportunidades para culminar mis estudios de maestría
A mis padres, por ser mi ejemplo de vida, comprensión y amor infinito
A mis hermanas, por creer en mí y en mis sueños
A mis tías, por su apoyo incondicional
AGRADECIMIENTOS
A mi maestro Rodolfo Vergel por su acompañamiento y compromiso durante todo mi proceso de formación, por compartir desinteresadamente su sabiduría y por alentarme continuamente a seguir en el camino de la academia.
A mis queridos profesores de la Maestría por sus valiosas enseñanzas, aportes y reflexiones.
Al rector y coordinadoras del colegio Álvaro Camargo De La Torre por todo el apoyo que me brindaron en este reto profesional.
Tabla de Contenido
Introducción 1
Capítulo 1. Antecedentes y planteamiento del problema 5
1.1 Antecedentes 5
1.1.1 Perspectiva semiótica y la Teoría de la Objetivación (TO) 5
1.1.2 Pensamiento probabilístico 8
1.2 Campo problemático 11
1.2.1 Objetivos 15
Capítulo 2. Marco Teórico 16
2.1 Sobre la Teoría de la Objetivación – TO 16
2.1.1 Sobre los Medios Semióticos de Objetivación - MSO, los procesos de objetivación (PO) y nodos semióticos 20
2.2 Sobre el pensamiento probabilístico 22
2.2.1 Sobre la emergencia de la probabilidad: algunos aportes históricos 22
2.2.2 Sobre la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad 27
2.2.3 Sobre los significados de probabilidad 26
2.2.4 Algunas definiciones consideradas en el estudio 34
Capítulo 3. Metodología 36
3.1 Diseño metodológico 36
3.1.1 Fases del diseño 37
Capítulo 4. Análisis Multimodal 52
4.1 Descripción 52
4.2 Análisis de la actividad matemática 54
4.2.1 Tarea 1: Cara y sello 54
4.2.2 Tarea 2: ¿Quién llega primero? 77
4.2.3 Tarea 3: Blanco y negro 89
Capítulo 5. Conclusiones y resultados 97
Índice de figuras y tablas
Figura 1. General, particular y singular 19
Figura 2. Diseño metodológico 37
Figura 3. Tarea 1 y 2 41
Figura 4. Tarea 3 43
Figura 5. Proceso de recolección de la información 46
Figura 6. Ejemplo transcripción e identificación de MSO y PO 49
Figura 7. Interacción durante el juego 55
Figura 8. Representaciones tabulares tarea 1 56
Figura 9.Producción Julián y Edwin 57
Figura 10. Producción Esteban y Diego 58
Figura 11. Uso de símbolos matemáticos 60
Figura 12. Representaciones numéricas 71
Figura 13. Representaciones tabulares 78
Figura 14. Producción Juan, David y Edwin 80
Figura15. Producción Juliana, Alison y Daniel 81
Figura16 Modos de expresión semiótica del valor de probabilidad 82
Figura17. Algunos registros escritos. Socialización tarea cara y sello 83
Figura18. Concentración de significado. Lengua natural (palabras escritas) - Registro numérico (fracciones) e icónico 84
Figura 19. Concentración de significado. Lengua natural (palabras escritas) - Registro numérico (fracciones, decimales, porcentajes) 84
Figura 20. Concentración de significado. Cambio de representación numérica (Fracciones, decimales, porcentajes) 85
Figura 21.Momento de trabajo individual 90
Tabla 1. Elementos que caracterizan los diferentes significados de probabilidad 33
Tabla 2. Categorías teóricas MSO – PO 38
Tabla 3. Elementos considerados para la adaptación de las tareas 40
Tabla 4. Criterios para la sistematización de la información de los episodios 49
1
Introducción
Los Lineamientos Curriculares Colombianos en Matemáticas (MEN, 1998) presentaban ya
para finales de los 90’s, una clasificación sugerida para los cinco tipos de pensamiento matemático (pensamiento numérico, pensamiento espacial, pensamiento métrico, pensamiento aleatorio o probabilístico y pensamiento variacional) y sus correspondientes
sistemas conceptuales y simbólicos, producto del interés de investigadores en Educación Matemática en Colombia por reflexionar y considerar orientaciones generales sobre el
currículo nacional para la educación básica y media en ésta área del conocimiento.
Continuando con el ejercicio reflexivo de repensar los fines de la Educación Matemática en nuestro país y con el ánimo de responder a los requerimientos actuales de la sociedad, se
publican los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas Colombianos (MEN, 2006), en donde se ofrece una caracterización del conocimiento matemático en general y a su vez distingue dos dimensiones del mismo
a) La dimensión práctica, que expresa condiciones sociales de relación de la persona
con su entorno, y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como
ciudadano. b) La dimensión formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus
justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en
sus diversos registros de representación. (MEN, 2006, p. 50)
Se precisa frente a la actividad matemática de los estudiantes lo esperado en términos de competencias y habilidades para conceptualizar, comprender y transferir1 ideas y
1 Entendido como el uso de modelos matemáticos en otros dominios conceptuales dentro y fuera de las
2
conocimientos propios de cada uno de los pensamientos a partir de la caracterización
de los procesos generales. 2
De igual manera, se desvela la complejidad inherente al aprendizaje de las matemáticas,
razón por la cual dichos estándares son presentados considerando una coherencia vertical establecida por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados, y una coherencia horizontal en términos de la relación
existente entre un estándar determinado con los estándares de los otros pensamientos dentro del mismo conjunto de grados (MEN, 2006, p. 79). Esta organización, invita a concebir la
formación matemática de nuestros estudiantes como un proceso continuo toda vez que “Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren
de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y
comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos” 3 (MEN, 2006, p.49)
En particular, dichos documentos oficiales en referencia al campo del pensamiento
aleatorio, proponen el estudio de situaciones aleatorias desde los primeros grados de
escolaridad hasta la culminación de la educación media con grados de complejidad gradual.
Este reconocimiento en términos curriculares se debe en parte porque esta tipología de pensamiento se sitúa en un área de las matemáticas que trata con situaciones que presentan
múltiples variables y resultados impredecibles, esto es, con situaciones no deterministas o aleatorias (marcada característica que diferencia este pensamiento de los otros cuatro) y su
significativo alcance radica en el establecimiento de modelos matemáticos para el
2 Los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son:
formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos (MEN, 2006, p. 51).
3
tratamiento de la incertidumbre los cuales están presentes en la ciencia, la vida cotidiana y
la cultura (MEN, 1998, p. 47), ofreciendo posibilidades de interpretación que facultarían a los estudiantes para la toma de decisiones de manera consciente y razonada cuando no es
posible predecir lo que ocurrirá al familiarizarse de manera paulatina con la incertidumbre presente en ellas.
Estas iniciativas y planteamientos armonizan con la emergencia del interés por el estudio de
la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad en la escuela en el marco de la Educación Estocástica (que incluye las disciplinas de probabilidad y estadística) en diferentes países,
encaminando esfuerzos hacia el aporte de elementos disciplinares, didácticos y metodológicos entre otros.
Pues como cita Batanero (2001) “en la actualidad asistimos a un aumento notable de las
publicaciones, diseños curriculares e investigación relacionados con este tema” (p. 3); todo ello con el fin de compartir y someter a juicio de la comunidad académica iniciativas
relacionadas con proyectos curriculares, materiales didácticos, software educativo, investigaciones, revistas, reuniones y congresos sobre el pensamiento estocástico (Batanero, 2005, p. 7). Las contribuciones al campo del pensamiento probabilístico de un
lado pretenden un refinamiento de las comprensiones asociadas a la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad y el mejoramiento de las prácticas de aula a través de la difusión de
resultados de investigación y de otro se busca concienciar al maestro frente a la comprensión de las dificultades a las cuales se ven abocados los estudiantes cuando se
enfrentan a situaciones aleatorias y la manera en que progresivamente se instancia el pensamiento probabilístico en las diferentes etapas de escolaridad.
Con el propósito de continuar en esta ruta de indagación en el dominio del pensamiento
4
matemáticas cuando abordan situaciones no deterministas4 en tareas vinculadas a la
asignación de probabilidad y como estas adquieren formas corpóreas y tangibles, en otras palabras, inquirir acerca del rol que desempeñan el cuerpo, el discurso (oral y escrito), los
artefactos, los signos y la interacción social, como mediatizadores de la actividad matemática de estudiantes de grado décimo en el contexto de lo aleatorio en tareas sobre asignación de probabilidad.
Nos parece que una perspectiva sociocultural contemporánea de la Educación Matemática como la Teoría de la Objetivación (TO), al presentar sensibilidad frente al objeto de estudio
que formulamos, ofrece un “lente teórico” para observar a través de él, cómo es que emergen estas posibles formas de pensamiento probabilístico confiriéndonos los elementos necesarios para su análisis e interpretación.
Consecuentemente, desarrollaremos la presentación del documento en cinco partes; en la primera se abordan los componentes que delimitan la propuesta y la pregunta que da norte a
la investigación, la segunda parte corresponde a los fundamentos teóricos base tenidos en cuenta respecto al pensamiento probabilístico, a la didáctica de la probabilidad y la Teoría Cultural de la Objetivación. En la tercera damos cuenta de la metodología y las fases del
diseño, en la cuarta parte presentamos el análisis de los datos, y, finalmente, en la quinta parte se presentan las conclusiones y observaciones finales.
4 Las situaciones aleatorias o no deterministas se caracterizan por tener la propiedad de ser no reversibles
5
Capítulo 1
Antecedentes y planteamiento del problema
1.1 Antecedentes
En el presente capítulo exponemos algunas investigaciones centradas en el estudio de la semiótica, la Teoría de la Objetivación y el pensamiento probabilístico, las cuales a nuestro
juicio presentaron un panorama prolijo que abonó el terreno para la proyección de la pregunta orientadora y los objetivos que acotaron y fijaron el camino de indagación en nuestra propuesta investigativa.
1.1.1 Perspectiva semiótica y la Teoría de la Objetivación (TO)
Investigadores en Educación Matemática y sus estudios sobre semiótica 5 (D’Amore, 2006,
D’ Amore, Fandiño y Iory, 2013; Duval, 1999; Vergel, 2013, 2014a, 2014b, 2015a, 2015b;
Rojas, 2010, 2012a, 2012b; Radford, 2004a, 2004b, 2006, 2010a; Batanero, 2005), han mostrado que ésta línea de investigación en particular parece ofrecer posibilidades para interpretar aspectos tales como la compleja actividad matemática de los estudiantes en la
sala de clase cuando se trabaja con ideas matemáticas, la elección y uso de diferentes registros de representación, la plural composición de elementos que confluyen en la
comunicación y en el discurso utilizado por profesores y estudiantes, el recurso a diversos medios de expresión para exteriorizar el pensamiento y el rol desempeñado por los
artefactos, entre otros.
5 La Semiótica hace referencia a la disciplina que estudia los signos en general, o mejor, que estudia los
6
Sugerimos centrar la atención en la perspectiva Semiótica Cultural, que parece brindar un
amplio espectro para enriquecer nuestras comprensiones acerca de la actividad matemática emergente en la sala de clase entre estudiantes y profesores.
Desde esta perspectiva, se pone de presente la importancia de concebir al ser dentro de su entorno cultural ya que éste, lo condiciona con hábitos de discriminación (a nivel ético, estético, político, etc.), de acuerdo con categorías y prácticas preestablecidas aceptadas y
compartidas culturalmente a través de la historia, supeditando así su forma de actuar y pensar dentro del sistema a de referencia disponible. La praxis social aparece como la base
de la cognición (Radford, 2004a), entendida como una actividad humana, sensible, concreta, mediada y cargada de significados. En consecuencia, el saber se origina en el curso de la actividad humana mediatizada por objetos, instrumentos y signos, y el
conocimiento se encuentra en estrecha relación con la cultura en términos de “reflexión cognitiva del mundo de acuerdo con formas culturales de significación”, 6 (Radford, 2004a,
p. 12).
Creemos que el acento puesto en la cultura y en la actividad humana como sensual y concreta, suscita posibilidades alternativas y complementarias de indagación, interpretación
y conceptualización de la actividad matemática de los estudiantes desde el campo de la semiótica.
Un ejemplo de ello es la Teoría de la Objetivación (TO), orilla teórica desde donde hemos planteado este estudio. La TO se enmarca en las corrientes socioculturales contemporáneas
que, desde una perspectiva semiótica, concibe el proceso de enseñanza - aprendizaje como un proceso histórico - cultural. Las investigaciones lideradas por Luis Radford y sus colaboradores han focalizado sus esfuerzos en la caracterización de formas de pensamiento
7
algebraico (Radford, 2008, 2010a, 2010b; Miranda, Radford, y Guzmán, 2007; Vergel
2013, 2015a, 2015b), donde la mediación semiótica juega un papel constitutivo del acto cognitivo posicionando los objetos conceptuales en el plano social (Radford, 2006).
Así mismo, la TO resulta ser sensible a la convergencia de registros semióticos de naturaleza diversa, la materialización del pensamiento a través del cuerpo, los procesos de reflexión que llevan a la elaboración de significados y el acercamiento a la lógica cultural
de producción de los objetos matemáticos (como formas de producción de conocimiento y formas de cooperación humana) (Radford, 2014a).
En el contexto colombiano estas ideas teóricas también han sido objeto de estudio gracias al liderazgo de Rodolfo Vergel7 y Diana Jaramillo8 y con pesquisas en el campo del
pensamiento algebraico9 (Villanueva, 2012; Lasprilla y Camelo 2012; Lasprilla 2012, 2014;
González, 2012; Gómez, 2013; Vergel, 2014a, 2015a, 2015b; Moreno, 2014; Moreno 2015; Cadavid y Quintero, 2011; Cadavid y Restrepo, 2011). En estos trabajos se pone de relieve
la inclusión del cuerpo en el acto de conocer, en un esfuerzo por comprender la producción de saberes y de subjetividades en la actividad matemática de los estudiantes en el aula de clase.
En particular contamos con dos producciones colombianas que incursionan en el campo de pensamiento aditivo (Pantano, 2014) y el campo de pensamiento multiplicativo (Mojica,
2014) respectivamente, en donde se han propuesto vectores o componentes analíticos que potencialmente podrían caracterizar formas de pensamiento culturalmente codificadas
asociadas a estos dominios conceptuales. Estos estudios muestran, que las formas estables
7 Universidad Distrital Francisco José De Caldas. 8 Universidad De Antioquia.
9 Tesis doctorales, artículos publicados en revistas indexadas y la dirección de trabajos de grado a nivel de
8
de conciencia de los objetos conceptuales en los y las estudiantes, devienen de la
orientación de acciones intencionadas que desencadenan el despliegue de recursos semióticos (como inscripciones, el lenguaje, los signos, la actividad perceptual etc.), esto
es, medios semióticos de objetivación utilizados por los estudiantes en un esfuerzo que es a la vez elaboración de significados y toma de conciencia de los objetos conceptuales (Radford, 2006). Estos recursos semióticos, se convierten en constituyentes del acto
cognitivo en donde signos e instrumentos desempeñan funciones diferentes en los procesos de objetivación del conocimiento (Contracción e Iconicidad) usados por maestros y
estudiantes en el aula.
Es así, que los estudios de Pantano (2014) y Mojica (2014), al documentar la experiencia, sugirieron extrapolar los elementos de la teoría a otros dominios conceptuales. Sus
hallazgos, de un lado, aportan información que robustece la TO y de otro abre nuevas posibilidades de investigación.
1.1.2 Pensamiento probabilístico
Resulta relevante el interés investigativo suscitado acerca de la enseñanza - aprendizaje de la estadística y la probabilidad dentro del campo de la Educación Matemática. Instituciones
y asociaciones como el Instituto Internacional de Estadística (ISI), Centros Internacionales de Educación Estadística (ISEC), ICOTS (International Conference on Statistical
Education), ICME (International Congress of Mathematics Education), IASE (International Association for Statistical Education) entre otros, son muestra de la preocupación internacional por establecer espacios de debate en torno al pensamiento estocástico.
9
dominio, que desde los diferentes niveles educativos reflexionan frente al desarrollo
curricular, tratamiento de temáticas en los libros de texto y materiales didácticos entre otros. Como asociación, la IASE, asume la responsabilidad de organizar el ICOTS y las
Round Table Conference asociadas al ICME (Batanero, 2001).
Estos son apenas algunos de los muchos eventos que son desarrollados alrededor del mundo con la intención de consolidar una incluyente comunidad académica mediante la
participación de docentes, investigadores en Educación Matemática y profesionales en general (de otras áreas de conocimiento), inquietos por la formación de ciudadanos
alfabetizados y competentes en el campo de la estocástica.
Dentro de la literatura disponible, encontramos reflexiones en torno al panorama actual de los estándares a nivel de estocástica en términos de las competencias que debe adquirir y
desarrollar un estudiante y que a su vez han de ser manejadas por los profesores dadas las necesidades de la sociedad actual frente al tratamiento de la información (Cuevas, 2012;
Batanero y Serrano, 1995). También hallamos interesantes recorridos históricos acerca de los orígenes de la teoría del azar y su evolución (Fernández, 2007; Mateos-Aparicio, 2001), así como de los diferentes significados que han sido asignados a la probabilidad bajo una
caracterización específica a lo largo de la historia y que siguen vigentes en la actualidad (Batanero, 2005). De igual modo, aparece una gran variedad de estudios sobre didáctica de
la estadística que intentan mostrar vías de desarrollo para potenciar el pensamiento aleatorio desde la sugerencia de secuencias didácticas para el trabajo de aula (Batanero,
2001; 2013; Batanero y Sánchez, 2013; Sánchez y Valdez, 2013).
10
En Colombia recién en el año 2014 se consolida la Asociación Colombiana de Educación
Estocástica (ACEdEst). La ACEdEst lideró la realización del I Encuentro Colombiano de Educación Estocástica (ECEE) con el interés de favorecer un espacio de discusión y
participación en asuntos relacionados con la estadística y probabilidad en nuestro país. En el ámbito nacional se han realizado aportaciones al campo del pensamiento probabilístico con la intención de procurar alternativas de trabajo en la sala de clase.
En específico algunas de estas contribuciones refieren a propuestas de aula que toman en cuenta aspectos tales como la inclusión de software y uso de TIC en el aula de clase
(Yañez, 2003, Jaimes, 2012; Gallo y Cisneros, 2011), sugerencias metodológicas y propuestas de unidades didácticas (Acevedo, 2011; Acevedo, Jaramillo y Esteban, 2013; Casas y González, (2001); Castaño, 2013; Garzón y García, 2009; Velásquez, 2014), los
juegos como estrategia didáctica y lúdica en el aula de clase (Morales y Restrepo, 2009), entre otros.
En síntesis, observamos que hay una importante producción académica en torno al pensamiento probabilístico y la Teoría de la Objetivación ciertamente inmersa en procesos de investigación continuos.
Es así que con el ánimo de imbricar los elementos conceptuales y metodológicos de la TO con los planteamientos vinculados al desarrollo del pensamiento probabilístico, nuestra
propuesta espera nutrir este campo de investigación, mediante el rastreo de rasgos característicos de formas prototípicas de pensamiento histórica y culturalmente constituidas
de las maneras en que el saber probabilístico se instancia y se actualiza a través de la labor conjunta en la sala de clase convirtiéndose en objeto de conciencia para los estudiantes, entendiendo la probabilidad como “un patrón fijo de actividad reflexiva incrustado en el
11
111), esto es, considerar la probabilidad como un objeto de la cultura, desplegando así
posibilidades de indagación al respecto. 1.2 Campo problemático
En las últimas tres décadas aproximadamente, investigadores en el campo de la Educación
Estocástica, se han preocupado por conducir estudios en torno al desarrollo de lo que se ha denominado alfabetización cuantitativa en los ciudadanos (Ver por ejemplo, White, 1981;
Gal, 2002, 2003; Gal, Ginsburg, y Schau, 1997, Gal y Garfield, 1997; Garfield, 1994, 1995, 1999, 2002, 2003). Dicha alfabetización hace referencia a las disciplinas de probabilidad y estadística como ciencias propias de los datos haciéndose necesario potenciar habilidades
para su tratamiento y análisis (Cuevas, 2012).
En palabras de Gal (1995, citado en Batanero 2005, p. 252), “una persona con cultura
probabilística sería capaz de comprender los enunciados de probabilidad en el contexto de apuestas, votaciones o inversión en la bolsa, y tomar una decisión fundamentada en ellos”,
así pues la formación en probabilidades y manejo de la incertidumbre en diferentes fenómenos aleatorios dotaría de herramientas matemáticas a los individuos para hacer frente a estos sucesos que se presentan en la vida cotidiana.
Azcárate (2006) destaca la importancia de fortalecer la capacidad para el análisis, interpretación y comunicación de la información en situaciones de la vida diaria cargadas
de incertidumbre (por ejemplo los juegos de azar, predicción del clima, inversiones económicas), es decir situaciones inciertas que implican la toma de una decisión. En contraste con este argumento, Bennet (1998, citado en Batanero, 2006, p. 1) aduce que “La
12
(citado en Insunza, 2011) plantea que el aprendizaje de la probabilidad en la escuela ayuda
a preparar a los estudiantes para la vida toda vez que los fenómenos azarosos y los eventos aleatorios hacen parte de nuestro escenario cultural y permean nuestra vida personal y
profesional.
De acuerdo a lo anterior, parece ser que el abordar situaciones no deterministas en la sala de clase no resulta ser un asunto menor, pues con y a través de ellas se procura propiciar la
toma decisiones, el planteamiento de conjeturas, la exposición de argumentos, etc.; en ambientes donde los estudiantes tengan experiencias con la incertidumbre y el azar.
El acercamiento a este tipo de contextos en la escuela, abre posibilidades para el uso del lenguaje, el reconocimiento del contexto de las situaciones, la capacidad para inquirir, la interacción con otros individuos y con el entorno, los cuales parecen apoyarse en un
conjunto de creencias y actitudes culturalmente establecidas que influyen y subordinan la interpretación de una situación particular de estudio.
Luego valdría la pena observar con atención las acciones que emprenden los estudiantes al enfrentarse a situaciones no deterministas. Dado que en el dominio del pensamiento probabilístico tratamos con entidades abstractas a diferencia de otros campos de las
matemáticas (Batanero, 2013), posiblemente puedan desencadenarse ciertas diferencias en relación con la actividad matemática de los estudiantes en estos contextos.
Por ejemplo, en el campo del pensamiento numérico, sumar y restar se asumen como operaciones inversas entre sí. Para iniciar el reconocimiento de estas operaciones (más allá
13
determinar cuántos hay en total. Al deshacer la acción de “juntar” podemos regresar al
estado inicial.
Si esta operación (juntar – separar) se realiza repetidas veces bajo las mismas condiciones
el resultado sigue siendo el mismo.
En el contexto de lo aleatorio, estas ideas cambian. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire si la primera vez cae cara no podemos asegurar que en el segundo lanzamiento caerá
de nuevo cara o que luego de una racha en donde se ha obtenido cara en lanzamientos sucesivos, el lanzamiento justamente siguiente sea también cara; puesto que cada lanzamiento corresponde a un evento único e irrepetible, y aunque el experimento sea
realizado bajo las mismas condiciones los resultados pueden ser diferentes cada vez.
El primer ejemplo presentado intenta ilustrar algunas características de las situaciones
deterministas como la reversibilidad y las respuestas únicas. El segundo ejemplo muestra una situación no determinista o aleatoria, en donde la acción lanzar la moneda al aire es presentada como evento único. Las características mencionadas (la reversibilidad y las
respuestas únicas), carecen de sentido en este tipo de situaciones, debido de un lado a la imposibilidad de regresar al estado original del evento una vez iniciada la experiencia y de
otro debido a la ausencia de certeza predictiva del resultado.
Es justamente esta distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o no
deterministas el punto de partida para el estudio de la probabilidad.
“Separar” Descomponer
14
Es así, que de acuerdo con las ideas expuestas líneas atrás, sentamos las bases para nuestra
investigación en el marco de los constructos teóricos de la Teoría de la Objetivación (TO) y en aspectos conceptuales del pensamiento probabilístico, orientando la indagación hacia el
papel de la mediación semiótica (el cuerpo, el discurso, los artefactos, los signos y la interacción social) en la actividad matemática de los y las estudiantes en ese proceso de objetivación del saber en situaciones no deterministas. 10 Entendida la objetivación según lo
teorizado por Radford (2010, p. 44) como la relación con las “acciones encaminadas a hacer evidente algo a alguien por ejemplo un cierto aspecto de un objeto concreto, como su
color, su tamaño o una propiedad matemática general , esto es, darse cuenta o ser consciente de las relaciones matemáticas”. Mientras que los procesos de objetivación, se constituyen en “procesos sociales a través de los cuales los individuos se familiarizan con
las formas culturales e históricamente constituidas de pensar” (Vergel, 2014a, p.59).
En suma, centramos la atención analítica en identificar, describir y analizar los medios
semióticos de objetivación a los cuales acuden los estudiantes así como los procesos de objetivación desarrollados, en su labor conjunta, como una caracterización posible de formas de pensamiento probabilístico al abordar tareas en torno a la asignación de
probabilidad de un evento. En consecuencia, buscamos responder la pregunta que da norte al presente estudio:
¿Qué procesos de objetivación desarrollan estudiantes de grado décimo al abordar tareas
sobre asignación de probabilidad?
10 Las situaciones no deterministas o aleatorias son aquellas en las que no se puede saber con seguridad
15 1.2.1 Objetivos
Con la intención de responder a la pregunta anterior, planteamos los siguientes objetivos que de manera focalizada orientaron nuestras actuaciones:
Objetivo general
Describir y analizar los procesos de objetivación desarrollados por estudiantes de grado
décimo al abordar tareas referidas a asignación de probabilidad de un evento.
Objetivos específicos
• Describirlos medios semióticos de objetivación emergentes en la actividad matemática de los estudiantes de grado décimo a partir de la implementación de una serie de tareas
en torno a la asignación de probabilidad de eventos.
16
Capítulo 2
Marco teórico
A continuación presentamos los elementos teóricos que tuvimos en consideración para la
construcción y desarrollo de nuestra propuesta así como para la interpretación de la actividad matemática de los estudiantes, atendiendo a la pregunta de investigación, los
constructos teóricos de la Teoría de la Objetivación y aspectos relacionados con el pensamiento probabilístico.
2.1 Sobre la Teoría de la Objetivación - TO
La TO es una teoría de enseñanza – aprendizaje de las matemáticas que propone “la meta de la Educación Matemática en términos de una dinámica política, social, histórica y
cultural encaminada a la creación dialéctica de sujetos éticos y reflexivos quienes se posicionan críticamente en discursos y prácticas matemáticas histórica y culturalmente constituidas siempre en evolución” (Radford, 2015a, p. 549). Esta mirada amplificada
intenta abarcar las dimensiones del ser humano que confluyen cuando se trabaja con ideas matemáticas en la sala de clase en términos no cognitivistas esbozando una responsabilidad
formativa en la constitución del sujeto como miembro de una comunidad que subsume el ámbito conceptual.
Esta postura se soporta en el materialismo dialéctico11 y trae a la base la idea de creación
dinámica y recíproca entre ser y cultura. Propone la idea de labor como “una forma social de acción conjunta que incluye nociones de expresión del sujeto que labora” (Radford,
11 La Teoría de la Objetivación se inspira en la dialéctica de Georg Hegel, el materialismo histórico de Karl
17
2014a, p. 137). Esta idea de labor es traída al centro de la TO como la categoría conceptual
fundamental, por cuanto es en la actividad conjunta que contactamos con los sistemas de ideas culturales que regulan la manera en que percibimos el mundo y actuamos en él.
Estas ideas coinciden con lo expuesto por Hegel (2001) (citado en Radford, 2014a), quien declaro, que es en la labor en donde acaece la recíproca formación del individuo y la cultura. En efecto, se admite que es en la labor en donde se “aprende a estar con otros,
abrirse a la comprensión de otras voces y otras conciencias, en pocas palabras a Ser-con-otros” (Radford, 2006, p.117), y nos topamos con el Otro, con su individualidad, de manera
que “en su sentido ontológico, la labor significa alteridad—el encuentro de eso que no soy yo, y que al encontrarlo, me transforma” (Radford, 2014a, p. 138). Soy en tanto el Otro y su presencia, me otorga existencia. Así, se determinan modos de relacionarnos en la clase de
matemáticas como una comunidad, reconociendo al Otro como parte constitutiva del Yo. En la labor conjunta nos relacionamos con las dimensiones físicas (tangibles) y
conceptuales del mundo, de acuerdo con las formas de pensar y actuar asociadas a los sistemas de ideas y a los significados que se encuentran a disposición en la cultura, subyugados unos y otros al sentido histórico evolutivo de la traza demarcada por nuestros
antepasados. Para resumir, en palabras de Radford (2004a, p. 7) “las actividades que realiza un individuo no son simplemente de él, pues dichas actividades han sido configuradas en el
curso de un proceso filogenético”, citando a Wartofsky (1979).
Desde esta perspectiva el pensamiento es concebido como una práctica social, como una
reflexión mediatizada del mundo que depende de la forma o modo de las actividades de los individuos (Radford, 2006). Este argumento ya había sido esbozado por Davydov (1981, citado en Vergel, 2014a, p.60) respecto a que “el pensamiento es el movimiento de formas
18
Bajo estas premisas y en el marco de la concepción dialéctico materialista adoptada por la
TO, la enseñanza-aprendizaje integra un inseparable proceso, esto es, un “trabajo conjunto12 sensible, material y conceptual de estudiantes y profesores encaminado a la
creación de sujetos reflexivos y éticos que se posicionan críticamente en prácticas matemáticas histórico-culturalmente constituidas” (Radford, 2013b, pp. 6 - 7), que atiende tanto a la dimensión del saber cómo a la dimensión del ser, al poner de presente la
importancia de ocuparse tanto del estudio de los conocimientos matemáticos como de la formación del sujeto, que resultan inherentes a la actividad matemática de los participantes.
De ahí que para la TO el saber (knowledge) se constituya como la producción resultante de la labor humana a través de generaciones como una “síntesis evolutiva culturalmente codificada de maneras de hacer, pensar y relacionarse con otros y con el mundo” (Radford,
2015a, p. 549), que transita entre el general (como algo que puede ocurrir en términos de potencialidad, posibilidad, formas conceptuales ideales) y el singular (como la ocurrencia
del hecho).
Dicho saber como potencialidad, como pura posibilidad y como entidad abstracta altamente sofisticada y refinada a través del tiempo por la actividad humana y como legado
generacional del hacer, pensar y actuar de grupos sociales, solo puede llegar a ser objeto de conciencia y pensamiento de las personas cuando es puesto en movimiento (cuando es
actualizado) a través la actividad conjunta sensual y material entendida como evento irrepetible en el aula de clase de la que participan estudiantes y profesor, y que a su vez
media entre el general y el singular (Radford, 2015c).
19
La actividad como particular, como mediación del general al singular, corresponde a un
proceso semiótico toda vez que estudiantes y profesores recurren a signos involucrándose así en procesos de significación, lo que la dialéctica Hegeliana (Citado en Radford, 2013a,
p. 15) llamaría “la ascensión de lo abstracto a lo concreto”. Entonces, a través de la actividad conjunta, el saber es actualizado (instanciado) dando lugar al conociendo (knowing) como la concreción del contenido conceptual que aparece a través de la actividad
que media. Según Ilyenkov (1977 citado en Radford, 2013a, p. 17) el knowing “lleva el sello de la actividad que media”, esto es, en palabras de Radford (2013a, 17) “el particular
es la actividad por la que el general aparece en el singular -o, en otras palabras, cómo el saber es instanciado en el conociendo”. Pues el saber al ser actualizado a través de la actividad conjunta, se convierte en objeto de conciencia y pensamiento en los estudiantes
(un sistema de ideas acerca de un objeto cultural).
De este modo, en la actividad de la sala de clase, las formas de colaboración humana
emergentes se basan en una ética comunitaria que fomenta modos de colaboración e interacción que promueven el compromiso en el trabajo conjunto, el asumir la
responsabilidad hacia los demás miembros de la comunidad y el cuidado del otro (Radford, 2013b).
La labor que surge en el aula de clase se desarrolla en un espacio de acción conjunta entre
los participantes en donde concurren de forma coordinada el discurso, los gestos, los
Saber - Knowledge
Como pura posibilidad
(General)
Conociendo - Knowing
Singular como actualización del saber
(Singular)
Actividad conjunta
(Particular)
20
artefactos y signos para pensar y actuar colectivamente. En este sentido, la TO teoriza la
ética comunitaria de la labor como togethering, que explica la manera ética en que los individuos se comprometen, responden, y sintonizan el uno al otro, a pesar de sus
diferencias cognitivas, y emocionales (entre otras), en la búsqueda de una meta común, que se fundamenta en la confianza y la responsabilidad (Radford, 2011).
2.1.1 Sobre los Medios Semióticos de Objetivación - MSO, los procesos de objetivación (PO) y nodos semióticos
Para Charleton (1996, citado en Radford, 2003, p. 40),
El término objetivación tiene sus raíces en la palabra objeto cuyo origen deriva del verbo en latín objetare que significa “lanzar algo en el camino, tirar antes”, y el sufijo
cacion que viene del verbo facere que significa “hacer” o “hacer para”.
La objetivación “es un proceso social que se lleva a cabo con otros” (Radford, 2015a. P. 551). Está vinculado con las acciones que conducen a arrojar algo delante de alguien, en hacer visible o mostrar algo a alguien. Es así, que el proceso de objetivación del saber es
un proceso sensual y emocional de toma de conciencia de los objetos culturales, para lo cual los sujetos nos valemos de diferentes recursos. Radford (2004b) teoriza estos recursos
como medios semióticos de objetivación, que corresponden a “objetos, artefactos, términos lingüísticos, en general signos que se utilizan para hacer visible una intención y para llevar a término una acción” (p. 19).
Dado que los procesos de producción de conocimiento, están incrustados en sistemas de actividad que incluyen una amplia gama de medios físicos y sensuales de objetivación
21
pensamiento. Estos, dan cuenta de la complejidad de los procesos de objetivación en
situaciones de enseñanza- aprendizaje.
La TO, sugiere que el pensamiento es producto de una práctica social. Para Radford, 2006,
p. 111) “los objetos son patrones fijos de actividad reflexiva incrustados en el mundo, en cambio constante de la práctica social mediatizada por los artefactos”.13 En este sentido,
los objetos conceptuales se generan en el curso de la actividad matemática del sujeto, un
sujeto concreto y real permeado constantemente por las concepciones de otros sujetos, de su cultura y su historia.
La vinculación de herramientas, signos, y dispositivos lingüísticos a través de los cuales los sujetos organizan sus acciones en espacio y tiempo y que son utilizados intencionalmente en el proceso de objetivación, en donde signo y pensamiento concurren
para dotar de sentido a los objetos conceptuales, no son simplemente elementos periféricos de la actividad (Vergel, 2014b). En efecto, los signos al no reducirse a su mera
representación, nos conminan a inquirir acerca del tipo de actividad que ellos permiten realizar (Vergel, 2014b).
En la TO, se distinguen dos procesos de objetivación a saber Iconicidad y Contracción. La
Iconicidad es caracterizada como una manera en que el sujeto nota rasgos similares de una experiencia anterior y los aprovecha en una nueva situación para orientar sus acciones.
Paralelamente, Radford (2009a) llama Orquestación Icónica a la acción de los sujetos de reformular un gesto de alguien más, con palabras, tonos e intenciones propias, es una
orquestación en el sentido de que es más que una copia que permite alcanzar la comprensión de algo que es nuevo.
22
El proceso de objetivación Contracción Semiótica se refiere a las situaciones en las que los
estudiantes requieren resumir sus acciones, razonamientos o experiencias matemáticas. Este proceso de objetivación lleva a discriminar entre lo que se considera relevante e irrelevante,
y conduce a una concentración de significado (es decir, a un menor recurso de palabras, símbolos o a la utilización de términos más refinados y precisos), y a un nivel más profundo de conciencia.
De esta manera, dado que la objetivación es ese proceso de dotar de sentido a los objetos conceptuales de manera gradual, la Iconicidad y la Contracción son procesos que nos
permiten hacer la transición progresiva de falta de claridad, a una de esas capas más claras de objetivación (Radford, 2008).
Hemos insistido que la actividad matemática, corresponde a una labor conjunta sensible y
material, razón por la cual es posible que los sujetos movilicen más de un medio semiótico de objetivación de manera simultánea. Esto es, según Radford (2009a) “una parte de
actividad semiótica de los estudiantes donde la acción, gesto y palabra trabajan en conjunto para lograr la objetivación del conocimiento” (p.7), emergiendo entonces la idea de nodo semiótico
2.2. Sobre el pensamiento probabilístico
El MEN (2006) señala que “el pensamiento probabilístico o estocástico ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de
información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar” (p. 64). No nos resulta ajeno, que habitualmente empleamos este tipo de pensamiento en diferentes escenarios y contextos tanto personales como profesionales (Por ejemplo, desde
23
espera para tomar el autobús, pronóstico del clima, realizar una inversión económica, etc).
Es decir, que hacemos uso del pensamiento probabilístico cuando nos encontramos frente a situaciones de incertidumbre y nos permite prever o predecir hechos o comportamientos,
dentro de un rango de posibilidades, habilitándonos para tomar decisiones conscientes, hacer inferencias o emitir juicios.
Es así, que la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias, constituyen
el punto de partida para el estudio de la probabilidad. Pues en palabras de Batanero lo determinista siempre ocurre en la misma forma mientras que lo aleatorio resulta ser
impredecible (es aleatorio porque es impredecible) debido a que en ocasiones hay muchas causas que actúan independientemente y no podemos saber lo que ocurrirá (Comunicación personal, 22 de Octubre de 2014).
2.2.1 Sobre la emergencia de probabilidad: algunos apuntes históricos
Parece ser que la probabilidad desde sus inicios ha estado vinculada con los juegos de azar.
Según Wilhelmi (2004, p. I) la etimología de la palabra azar deriva de árabe az-zahr que significa “el dado de jugar”. Los hallazgos de vestigios de culturas antiguas así como descubrimientos arqueológicos muestran que culturas como la egipcia, griega y romana
participaron de la práctica de juegos de azar mediante el uso lúdico de huesos de astrágalo (hueso del talón en los mamíferos), tabas (nombre vulgar del astrágalo), “dados” los cuales
derivan de las tabas que al desgastarse perdían su forma rectangular y se hacían cúbicas. Según Mateos-Aparicio (2001) el azar en las civilizaciones antiguas tenía una connotación divina. Posiblemente, como una manera de predecir el futuro, “los sacerdotes o pitonisas
24
dioses como procedimiento mediante el cual la Fortuna, los Hados o el Destino podían
expresar sus deseos” (Mateos-Aparicio, 2001, p. 2).
Sin embargo, las ideas sobre el azar, vendrían a ser formalizadas mucho tiempo después
que el hombre tuviera experiencias con el azar. En el siglo XVI, Cardano escribe el primer tratado relacionado con el mundo del azar, titulado Liber de Ludo Alae, publicado sólo hasta 1663. En su obra, Cardano abordó la idea clásica de la probabilidad sin definirla
manera explícita mediante la relación entre el número total de resultados y el número de resultados favorables e introdujo un rango para asignar un valor de probabilidad p entre 0 y
1, a un suceso cuyo resultado se desconoce con antelación (Fernández, 2007).
El inicio del estudio y formalización de la probabilidad parece señalarse en los albores del siglo XVII, con las comunicaciones escritas entre Blas Pascal (1623-1662) y Pierre Fermat
(1601-1665). Pascal, matemático, físico y filósofo junto con Fermat, matemático y juez, se dan a la tarea de resolver lógica y matemáticamente problemas relacionados con juegos de
azar, respecto a apuestas ventajosas en el lanzamiento de un dado y a métodos de reparto en juegos inconclusos, planteados por el caballero de Meré quien era un experto jugador perteneciente a la alta sociedad. Posteriormente, Huygens (1629-1695) entra en contacto
con Pascal y Fermat poniendo a su consideración su obra De Ratiocinis in Ludo Aleae (1657). Así, Pascal, Fermat y Huygens se destacan por haber establecido los fundamentos
modernos de la teoría de la probabilidad desarrollada a lo largo del siglo XVIII.
Entre los intelectuales que realizaron aportaciones importantes al desarrollo conceptual del
campo de la probabilidad, se encuentra Jacques Bernoulli (1654-1705), quien estudió la manera de calcular la probabilidad de un suceso. A continuación, estas ideas son retomadas por Laplace (1749-1827) y desarrolla el modelo que actualmente conocemos como la
25
cuantificar numéricamente el valor de probabilidad de un evento que cuenta con un número
finito de posibilidades. Durante los siglos siguientes matemáticos y estudiosos de la probabilidad (Por ejemplo, Abraham De Moivre (1667-1754); Thomas Bayes
(1702-1761)), con sus aportes lograron que el campo se consolidara de manera definitiva.
Es claro entonces, que las ideas sobre azar y probabilidad son tan antiguos como la civilización misma y su constitución teórica ha sido un proceso interesante donde paradojas
y situaciones de la vida real llevaron a celebres pensadores a interesarse por este dominio conceptual. Al respecto Batanero (2006) aduce de manera concluyente que
La construcción de la teoría de la probabilidad no ha sido sencilla, y es sólo el esfuerzo
y el aprendizaje a partir del análisis de los propios errores, lo que llevó al progreso de la
misma (Batanero, Henry y Parzysz, 2005). Una mirada a la historia permite tomar
conciencia de que los objetos probabilísticos no son inmutables, sino fruto del ingenio y
la construcción humana para dar respuesta a situaciones problemáticas. (p. 2)
La cita anterior pone de presente la idea de saber probabilístico como una síntesis
histórica y cultural de actividad humana que ha sido refinada a través de generaciones (Radford, 2013a).
Llegados a este punto, nos parece conveniente mencionar que nuestra intención con esta breve revisión de la literatura, es hacer extensiva una invitación al lector a reflexionar en torno a la emergencia histórica de la probabilidad (y sus aspectos conceptuales asociados),
su proceso evolutivo, la complejidad intrínseca y extrínseca que la ha acompañado y el reconocimiento de su constitución como resultado del trabajo humano conjunto.
26
simulación (en concordancia con sus orígenes en los jugos de azar) se constituyen en una
oportunidad de aprendizaje, que brindan la oportunidad de llevar a los y las estudiantes a la formalización y modelización matemática de fenómenos asociados con elementos
probabilísticos a través de un proceso gradual.
En efecto, creemos que favorecer contextos que ofrezcan la potencialidad de interacción con juegos y/o con experiencias de la cotidianidad, contribuirán a que de manera
progresiva, los estudiantes se aproximen a una toma de conciencia de la incertidumbre, la irreversibilidad y el azar presente en ellos. Es decir, notar la naturaleza no determinista de
las situaciones toda vez que no es posible concluir a priori acerca de un experimento, aunque este, se repita muchas veces bajo las mismas condiciones dada la característica aleatoria de los resultados.
Gal (2005, citado en Sánchez, 2009, p. 63) argumenta que “el aprendizaje de la probabilidad permite acercar a los estudiantes a tener contacto y familiarizarse con eventos
aleatorios presentes en su cotidianidad, de allí su importancia en tanto utilidad para la vida”. Así que resulta vital que los estudiantes se aventuren a hacer estimaciones (como intuición inicial del azar)14, cualitativas o cuantitativas para la designación del valor de
probabilidad de eventos o sucesos. Esto es, tener la ocasión de manejar diferentes grados de incertidumbre en una situación no determinista, que lo capaciten para la toma de
decisiones de manera razonada en este tipo de contextos, teniendo a su disposición herramientas conceptuales y operativas.
14 Esto es, permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o
27
Por tanto el aprendizaje de la probabilidad requiere por parte del maestro conocer y
comprender a profundidad los conceptos probabilísticos, las concepciones de sus estudiantes acerca de ellos y explorar de manera crítica las aportaciones investigativas en el
campo a propósito de su enseñanza. En palabras de Agnelli (2009) “La Probabilidad es una rama viva de la matemática y el avance en la construcción de su teoría amplía sus campos de interés y sus interconexiones con otras ramas de la matemática” (p. 26).
2.2.2 Sobre la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad
Estudios en el campo de la Educación Estocástica, particularmente los referidos a la enseñanza y el aprendizaje en el dominio del pensamiento probabilístico, muestran que las
contribuciones académicas pueden ubicarse en tres estadios o períodos a partir de la segunda mitad del siglo XX según Jones y Thornton (2005).
El primero de ellos, corresponde al estadio Piagetano (años 50’s y los 60´s). Piaget e Inhelder desde una mirada psicológica, centraron sus investigaciones en el desarrollo de la
estructura cognitiva del pensamiento probabilístico en estudiantes jóvenes. Si bien, su interés no estuvo dirigido hacia una visión curricular de la probabilidad en la escuela, puede afirmarse que sus trabajos abrieron posibilidades de indagación y estimularon estudios
posteriores sobre el fenómeno de enseñanza-aprendizaje de esta disciplina.
El período comprendido en las décadas de los años 70´s y 80´s, se conoce como el estadio
Post-Piagetano. Continuando en la línea de trabajo a nivel psicológico trazada en el estadio anterior, emergen en esta etapa, estudios acerca de la naturaleza de las concepciones e intuiciones con Fischbein (1975), distinguiendo estas últimas entre intuiciones primarias
28
instrucción en la escuela). Por su parte, Tversky y Kahneman (1974) adelantaron estudios
acerca de las estrategias y heurísticas a las que recurren las personas para manifestar juicios probabilísticos en situaciones no deterministas. Green (1983), sugirió un test acerca de las
intuiciones probabilísticas en niños, determinando argumentos correctos e incorrectos para determinar si una sucesión era aleatoria o no.
Estas investigaciones evidenciaron una necesidad latente y ambientaron transformaciones
curriculares a nivel mundial en términos de la inclusión de las disciplinas de estadística y probabilidad en los planes de estudios, durante los años 90´s en adelante, lo cual se
corresponde al período contemporáneo.
En esta fase, las pesquisas fueron focalizadas específicamente en temas concernientes al fenómeno de enseñanza-aprendizaje. Watson, Collis, y Moritz, (1997), trataron de desvelar
las creencias que los estudiantes han consolidado en su experiencia previo a la escuela. Batanero y Serrano, (1999) y Jones, Langrall, Thornton y Mogill, (1999), realizaron
propuestas a nivel de didáctica y experimentos de enseñanza para abordar aspectos conceptuales de la probabilidad en la sala de clase. Pratt (2000) presentó posibilidades de trabajo probabilístico mediante la incorporación de la tecnología. También, Batanero,
Henry y Parzysz (2005) ampliaron la mirada clásica de la probabilidad al incluir en sus estudios una perspectiva frecuencial y subjetiva. Gal (2002), postuló la idea de
alfabetización cuantitativa (numérica) haciendo alusión a la estadística y a probabilidad. Empieza a acuñarse el término cultura estadística la cual tiene en cuenta elementos tales
como los conocimientos y destrezas, el razonamiento estadístico, las intuiciones y las actitudes.
Podemos observar que en cada uno de los períodos esbozados anteriormente, se presentan
29
movidos por el interés de inquirir en torno a aspectos asociados a la enseñanza-aprendizaje
de la probabilidad en edad escolar.
Estas aportaciones han contribuido para que el campo de la Educación Estocástica se consolide como una disciplina joven con problemas propios vinculados a la estadística y la probabilidad.
2.2.3 Sobre los Significados de probabilidad
Siguiendo a Sánchez (2013, p. 41), la noción de probabilidad se manifiesta como el resultado del “esfuerzo por cuantificar lo aleatorio, el azar o la incertidumbre”, el cual ha
seguido un complejo proceso de evolución, en términos de formalización, al parecer debido a los enfoques emergentes cronológicamente hablando.
Para comenzar, creemos oportuno señalar que en congruencia con la evolución de los aspectos conceptuales vinculados a la probabilidad, es posible distinguir sus significados
históricos asociados (intuitivo, clásico, frecuencial, subjetivo, axiomático), los cuales siguen presentes en la actualidad.
El significado intuitivo de la probabilidad, corresponde a las ideas intuitivas primarias que
los niños y adultos forman a lo largo de su vida en ausencia del estudio propiamente dicho de la probabilidad haciendo uso explícito de frases y expresiones para asignar la
probabilidad a situaciones de incertidumbre de la vida cotidiana y los juegos de azar. Los estudiantes ante ciertas situaciones pueden comparar la verosimilitud de sucesos con palabras del lenguaje cotidiano (seguro, más probable, menos probable, imposible), de
30
una moneda para elegir la cancha, porque en otras oportunidades ha ganado con esta
elección, luego él, tiene la creencia que cada vez que lo haga sucederá (como un evento de ocurrencia segura). Es decir que la probabilidad es asignada de modo cualitativo con base
en creencias individuales y carece de formalismo matemático.
El significado Laplaciano o clásico, refiere a la cuantificación numérica de la probabilidad de un evento que puede suceder un número finito de veces con igualdad de posibilidades de
ocurrencia, a partir de una fracción que liga al numerador el número de casos favorables y al denominador el número de todos los casos posibles (conocida como regla de Laplace).
P (A) =𝑁𝑜.𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑁𝑜. 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Por ejemplo al lanzar de un dado cúbico de seis caras, la probabilidad del evento caer
número impar correspondería a tres casos favorables {1,3,5}, de seis casos posibles {1,2,3,4,5,6}. Usando la regla de Laplace se obtendría:
P (Caer número impar) =3
6
El significado frecuencial o empírico, hace uso de la idea de frecuencia relativa para la asignación del valor de probabilidad de eventos. En este caso, se recurre a un número
considerable de ensayos de un experimento, de tal manera que se procure un acercamiento a la probabilidad teórica, esto es, el límite al cual tiende la frecuencia relativa a estabilizarse a un valor fijo. Esta propiedad se conoce como ley de los grandes números (establecida por
Jacob Bernouilli).
P(A)
=
lim
𝑛→∞ 𝑓 𝑛
f : número de veces que aparece A.
31
Por ejemplo podría sugerirse un experimento en el cual se lance una moneda al aire un
número grande de veces (100 o 1000 lanzamientos) bajo las mismas condiciones, para notar que el número de caras y sellos obtenidos tenderá a estabilizarse al valor 0.5, esto es,
acercarse a la probabilidad teórica a través de la experimentación. Es decir, que si lanzamos la moneda y obtenemos cara 529 veces, la probabilidad aproximada será de 0.529. Hoy en día contamos con software que nos permite hacer estas simulaciones de manera rápida.
El Significado subjetivo, se apoya en la opinión personal de los sujetos, sus experiencias previas o su intuición, y a partir de una evaluación de toda la información disponible se
asigna un valor de probabilidad al evento que se fundamenta en la creencia de posibilidad de ocurrencia del mismo. Por ejemplo:
Consideremos […] la probabilidad de que un individuo particular viva más de 35
años. Es verdad que poseemos información estadística sobre sus posibilidades de
supervivencia a esta edad, pero hay muchas consideraciones que podrían influenciar
un cambio en esta probabilidad, si tuviésemos que estimarla. Por ejemplo, el hecho de
que el sujeto sufriera cierta enfermedad, como cáncer o sida, o que fuese piloto de
carreras. (Batanero, 1995, p. 5)
El Significado axiomático, atañe a modelos matemáticos que permiten realizar una
descripción e interpretación de los fenómenos aleatorios en la realidad, presentando un amplio espectro de aplicación en diferentes esferas del conocimiento y campos de actividad humana. El modelo matemático propuesto por Kolmogorov (siglo XX), fundamentado en la
teoría de conjuntos para establecer una axiomática con solidez matemática, fue aceptada independiente al significado otorgado a la naturaleza de la probabilidad.
32
Sea S cualquier espacio muestral de cierto experimento aleatorio y E cualquier evento
de éste. Se llamará función de probabilidad sobre el espacio muestral S a P (E) si satisface los siguientes axiomas:
.
Este modelo sigue vigente en la actualidad, guardando el espacio para su tratamiento en niveles universitarios.
En concordancia con los significados de la probabilidad y según lo argumentado por Azcárate (2006), acerca de los distintos momentos históricos
Podemos suponer que para unas personas el azar y lo aleatorio será, por ejemplo, todo
aquello que tiene que ver con la "suerte" o el "destino" y por tanto incontrolable; para
otros simplemente el producto de nuestra ignorancia sobre ciertos fenómenos, sobre
las causas que los originan o sobre su funcionamiento, lo que conlleva su imposible
control; en algunos casos, la explicación considerada puede estar más en función de la
complejidad intrínseca de los fenómenos y por tanto, de la imposibilidad de una
predicción exacta de su resultado; etc. (p. 3.)
De este modo, resulta fundamental que el maestro tenga conocimiento acerca de los significados históricos de la probabilidad para ser trabajados en la escuela, pues presentan,
en palabras de Batanero (Batanero, 2005, p.260) “el carácter multifacético de la probabilidad de ahí que su enseñanza no puede limitarse a una de estas diferentes
perspectivas, en razón de que están ligadas dialécticamente”. Toda vez, que cada uno de los significados pone de relieve variadas características asociadas a la probabilidad (ver tabla
1. P (E) 0. 2. P (S) = 1.
3. Si, para los eventos E1, E2, E3,…..,
EiEj= para toda i ≠ j, entonces
33
1) y esto a su vez determinaría sus campos de acción en términos de utilidad y pertinencia
de acuerdo al contexto.
Significado Campos de problemas Algoritmos y procedimientos Elementos lingüísticos Definiciones y propiedades Algunos conceptos relacionados Intuitivo Sorteo Adivinación Manipuladores de generadores de azar: cartas, dados…
Lenguaje ordinario Opinión impredecible, creencia
Suerte
Destino
Clásica
Cálculo de esperanzas o riesgos en juegos de azar
Combinatoria
Proporciones
Análisis a priori de la estructura del experimento
Listado de sucesos
Formulas combinatorias
Cociente de casos favorables y posibles
Equiprobabilidad de sucesos simples
Esperanza Equitatividad Independencia Frecuencial Estimación de parámetros en poblaciones
Registros de datos estadísticos a posteriori
Ajuste de curvas matemáticas
Análisis matemático
Simulación
Tablas de gráficos estadísticos
Curvas de densidad
Tablas de números aleatorios
Tablas de distribuciones
Límite de las frecuencias relativas
Carácter objetivo basado en la evidencia empírica Frecuencia relativa Universo Variable aleatoria
Distribución de probabilidad Subjetiva Mejora del conocimiento sobre sucesos inciertos, incluso no repetibles
Teorema de Bayes
Asignación subjetiva de probabilidades
Expresión de la probabilidad condicional
Carácter subjetivo
Revisable con la experiencia
Probabilidad condicional
Distribuciones a priori y a posteriori Axiomática Cuantificar la incertidumbre de resultados en experimentos aleatorio abstractos
Teoría de conjuntos
Álgebra de conjuntos
Teoría de la medida
Símbolos conjuntistas
Función medible Espacio muestral
Espacio de probabilidad
Conjuntos de Borel
Aunque presentamos el amplio espectro en torno a los significados históricos de la probabilidad y sus principales elementos característicos documentados en la literatura, es de
mencionar que para efectos de nuestra propuesta nos concentramos en los significados de probabilidad intuitivo y clásico para la adaptación de las tareas y análisis de la actividad desplegada a propósito de las mismas. Tomamos esta decisión con el propósito de acotar
34
aparecieron en la historia de la probabilidad y además son los que con mayor fuerza se
trabajan en la escuela.
Destacamos además que nuestro foco analítico se constituye en observar con detenimiento
cuáles medios de expresión (verbales, escritos, gestuales, entre otros) son movilizados por los estudiantes durante la actividad matemática, y cómo estos son empleados con un destino de comunicación de ideas matemáticas asociadas a la probabilidad (azar, incertidumbre,
casos o chances, etc.), dando forma tangible y corpórea al pensamiento probabilístico en la labor conjunta de estudiantes y profesor ambientada por las tareas. Nos interesa rastrear
cómo es que aparecen esas formas de pensar acerca del objeto probabilidad, conceptualizado, desde la TO, como una síntesis de formas cultural e históricamente codificadas de acción, reflexión y pensamiento que se encuentran a la base de situaciones
no deterministas.
2.2.4 Algunas definiciones consideradas en el estudio
Para efectos de la selección, adaptación de las tareas, y el análisis de la actividad matemática de los estudiantes, hacemos explícito el significado de los siguientes términos (Canavos, 1988; Batanero, 2003).
Matemáticamente, la probabilidad sería cualquier función medible normada de un algebra de sucesos en el intervalo [0, 1].
Un evento, es un grupo de resultados contenidos en el espacio muestral, cuyos miembros tiene una característica común.
Eventos mutuamente excluyentes, son eventos que no tiene resultados comunes, esto es que
no pueden aparecer simultáneamente.
35
Eventos compuestos, son los que están formados por dos o más resultados del experimento;
es decir, por dos o más sucesos elementales.
Evento seguro, es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por
todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral. Se asigna valor numérico 1.
Eventos posibles, son los que tienen posibilidad de suceder dentro de un rango específico.
Se asigna un valor numérico real entre 0 y 1.
Evento imposible, es el que nunca se verifica. Se asigna valor numérico 0.
Espacio muestral, corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento de tipo aleatorio. Este puede ser discreto (si su resultado puede ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos) o continuo (si sus
resultados consisten en u intervalo de número reales).
Regla de Laplace: Corresponde al cociente entre el número de casos favorables del evento
observado en relación con el número de casos posible.
Eventos equiprobables: Cuando los eventos del espacio muestral tienen igualdad de ocurrencia en el experimento, esto es, tienen la misma probabilidad. Esta no puede
