Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la
Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la
Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la
Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la
enseñanza
enseñanza
enseñanza
enseñanza
Autoras: Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa - Equipo Áreas curriculares del Ministerio de Educación
Desde hace más de tres décadas se han divulgado en nuestro país numerosos aportes referidos a la enseñanza de la Matemática, que dieron lugar a variadas experiencias en distintas escuelas y vienen orientando las políticas curriculares en el área desde hace varios años, generando un enfoque concordante a través del tiempo. Este enfoque responde a las demandas sociales emergentes en relación con las competencias deseables a desarrollar en los alumnos, y ha sido plasmado en diferentes documentos curriculares en cuyo análisis es necesario seguir trabajando entre docentes, en espacios de trabajo común.
Por ello, en esta clase desarrollaremos algunos puntos de partida generales incluidos en
Enseñar Matemática en el segundo ciclo de los Cuadernos para el aula NAP, que han sido elaborados a partir de diferentes trabajos de especialistas en Didáctica de la Matemática.
EL TRABAJO MATEMÁTICO EN LA ESCUELA
Desde una perspectiva que entiende a la Matemática como una forma de producción, como una cultura, incluimos a continuación algunas reflexiones extraídas de los mencionados documentos, que permiten caracterizar la práctica matemática que consideramos pertinente promover en las aulas.
“Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela
El conocimiento matemático, como ocurre con otros conocimientos y con las producciones
históricos, en diálogo permanente con problemas que tienen lugar en los distintos entornos
sociales y culturales.
Cuando se quiere estudiar una determinada situación o interactuar con ella desde la
Matemática, se formulan preguntas que pueden referirse tanto al mundo natural y social
como a la misma Matemática. Para responderlas, se utilizan modelos matemáticos conocidos o se elaboran conjeturas y se producen nuevos modelos. En todos, las conclusiones
que se elaboran se interpretan para determinar si responden o no a las preguntas planteadas
inicialmente.
También forma parte de este proceso mejorar la eficacia de los modelos que se crean y de las
formas de comunicar los descubrimientos, así como establecer relaciones entre lo nuevo y lo
que ya se conoce.
El proceso de construcción y las conclusiones resultantes tienen rasgos específicos: un modo
particular de pensar y proceder, y conocimientos con características particulares. Estos
conocimientos permiten anticipar el resultado de algunas acciones sin realizarlas efectivamente. Por ejemplo, para determinar de cuántas formas distintas puedo combinar 5
entradas, 12 platos centrales y 10 postres diferentes en un restaurante, es posible calcular el
producto 5 x 12 x 10 sin necesidad de armar las diferentes posibilidades y contarlas. Por otra
parte, los resultados se consideran necesariamente verdaderos si, para obtenerlos, se han respetado reglas matemáticas. Por ejemplo, para la multiplicación planteada en el problema
anterior, se puede justificar que 5 x 12 x 10 = 5 x 2 x 6 x 10 = (5 x 2) x 10 x 6 = 10 x 10 x 6,
aplicando propiedades de la multiplicación. En el mismo sentido, al trabajar con figuras en
Geometría es posible afirmar, aun sin hacer ningún dibujo, que si se construye un
cuadrilátero cuyas diagonales son distintas, este no puede ser un cuadrado pues, si lo fuera,
tendría sus diagonales iguales.
A la vez, la obtención de nuevos resultados conlleva la necesidad de crear un lenguaje para
comunicarlos. Los números, las figuras y las relaciones tienen representaciones cuyo uso se
conviene entre los matemáticos.
De esta manera, la actividad matemática en la ciencia está muy fuertemente ligada a la
resolución de problemas y a un modo particular de razonar y comunicar los resultados.
Esta forma de trabajar en Matemática debería ser también la que caracterice
la actividad en el aula desde los inicios de la escolaridad. Se trata de que los alumnos entren
ellos) frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para validarlos. Luego, con la
intervención del maestro, los reconocerán como conocimientos que forman parte de la
Matemática. Así, en la escuela, los niños deberían ser introducidos en la cultura matemática,
es decir, en las formas de trabajar “matemáticamente”.
Desde esta perspectiva, entendemos que saber Matemática requiere dominar los conocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la resolución de
problemas, y también para definirlos y reconocerlos como objetos de una cultura.
Reconsiderar el sentido de la Matemática en la escuela
La concepción que cada persona se va formando de la Matemática depende del modo en que
va conociendo y usando los conocimientos matemáticos. En este proceso, la escuela tiene un
rol fundamental, ya que es allí donde se enseña y se aprende de un modo sistemático a usar
la Matemática. El tipo de trabajo que se realice en la escuela influirá fuertemente en la
relación que cada persona construya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o no
capaz de aprenderla.
Cuando la enseñanza de la Matemática, en lugar de plantearse como la introducción a la
cultura de una disciplina científica, se presenta solo como el dominio de una técnica, la actividad en el aula se limita a reconocer, luego de las correspondientes explicaciones del
maestro, qué definición usar, qué regla hay que aplicar o qué operación “hay que hacer” en
cada tipo de problema.
Se aprende qué hacer, pero no para qué hacerlo ni en qué circunstancia hacer cada cosa.
Esta enseñanza ha derivado en dificultades que ya conocemos: por una parte, aunque
permite que algunos alumnos logren cierto nivel de “éxito”, cuando el aprendizaje se evalúa
en términos de respuestas correctas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos que
no se sienten capaces de aprender Matemática de este modo. Por otra parte, lo así
aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar los
conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron.
Otras veces, la actividad en el aula incluye la resolución de problemas diversos, y se pasa de
uno a otro y a otro sin un trabajo reflexivo que vuelva sobre lo realizado.
Trabajar solo resolviendo problemas, sin explicar o fundamentar “matemáticamente”,
también es insuficiente. El trabajo que implica volver sobre lo realizado, por uno mismo o por
del conocimiento que se pone en juego en la resolución de los problemas, en las formas de
obtenerlo y de validarlo. Sin este proceso, los conocimientos matemáticos aprendidos en la
escuela (las nociones y las formas de trabajar en Matemática) no tendrán, a futuro, las
mismas posibilidades de reutilización, ya que quedarían asociados a su uso en algunos casos
particulares.
En síntesis, “cómo” se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo, “qué”
Matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea una
disyuntiva central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso
a la Matemática de unos pocos o de todos.
Priorizar un tipo de trabajo matemático
Resulta pues vital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los niños se
inician en el estudio de la Matemática, la construcción del sentido de los conocimientos por medio de la resolución de problemas y de la reflexión sobre estos, para promover así un
modo particular de trabajo matemático que esté al alcance de todos los alumnos y que
suponga para cada uno:
• Involucrarse en la resolución del problema presentado, vinculando lo que se quiere resolver
con lo que ya se sabe y plantearse nuevas preguntas.
• Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros considerando que
los procedimientos incorrectos o las exploraciones que no los llevan al resultado esperado
son instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje.
• Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y de los resultados obtenidos.
• Reflexionar para determinar qué procedimientos fueron los más adecuados o útiles para la
situación resuelta.
• Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con los demás,
confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación convencional.
• Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos o justificarlas
utilizando contraejemplos o propiedades conocidas.
• Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos.
• Interpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma de
• Producir textos con información matemática avanzando en el uso del vocabulario
adecuado”.
Para generar en el aula un trabajo matemático de las características del que acabamos de
describir es necesario diseñar actividades que den lugar a diferentes tipos de tareas por
parte de los alumnos: algunas que prioricen la resolución, otras la comunicación en forma
oral o escrita, otras la justificación, otras la formulación de preguntas. Cabe advertir que si
bien el acento de dichas actividades puede estar puesto en un tipo de tarea particular, de
ningún modo implica dejar de lado las otras. Por ejemplo, las justificaciones deben estar
presentes en las distintas prácticas propias del quehacer matemático.
Por otra parte, y con respecto a la construcción del sentido (…), dice Guy Brousseau: “El
sentido de un conocimiento matemático se define no sólo por la colección de situaciones
donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de
situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, sino también por el
conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de
formulaciones que retoma, etc.” (Brousseau, 1983: 170)
Así, al seleccionar un conjunto de problemas para trabajar con una noción a enseñar, es
necesario advertir dos cuestiones. Por un lado, que se trata de un recorte entre muchos
posibles respecto de una colección más amplia cuyo estudio demandará varios años de
escolaridad. Precisar los criterios que fundamentan los distintos recortes en cada nivel de
concreción curricular, da lugar a la explicitación del propósito particular que orienta un nivel,
un ciclo, un año, una unidad de trabajo. Por otro lado, que ese conjunto de problemas debe
incluir aquellos que permiten analizar los límites de la noción en estudio, es decir, problemas
en los que la noción no funciona como instrumento de resolución. Un ejemplo es el de
considerar, en el conjunto de problemas para trabajar la noción de proporcionalidad,
algunos donde esta relación no se cumpla (como es el caso de los problemas de costo de
viajes en taxi, con un pago fijo por la bajada de bandera y luego un costo por kilómetro)
Cabe destacar aquí en el nivel del aula que muchas veces, con la intención de no confundir a
los alumnos, el maestro evita incluir este tipo de problemas para enseñar un contenido,
Otro didacta, Roland Charnay, avanza sobre una primera descripción de los problemas
matemáticos que dan lugar a la construcción de sentido o, como él lo denomina, la
“significación” de un conocimiento afirmando que “….la construcción de la significación de
un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:
- un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los
límites de este campo?
- un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo
funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?” (Charnay, 1994:53)
En cuanto a los niveles de significación, ningún proyecto de enseñanza debiera descuidar la
presencia de ambos de manera equilibrada. Un énfasis en el nivel de significación externa no
contribuye a los procesos de puesta en relación y generalización de las nociones en juego y,
un énfasis en el análisis del funcionamiento de las herramientas, sin haber dado
previamente lugar a su uso en contextos variados, obstaculiza la identificación de las
situaciones donde resultan necesarias.
Por otra parte, Gerard Vergnaud despliega una caracterización de los tipos de conocimiento
ligados a la construcción de un concepto, poniendo a los “saberes hacer” en un pie de
igualdad con los “saberes expresados” y considerando que lo que permite y lo que define la
adquisición de un concepto es la acción en situación en la que ambos se ponen en juego. Él
sostiene que “El saber-hacer no puede oponerse al saber, puesto que constituye sucriterio y
se fundamenta en él. Saber y saber-hacer son dos vertientes indisociables del pensamiento
conceptual.”
“Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su
aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretenden
resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño”. (Vergnaud, 1990 : 133-170)
Estas ideas estuvieron presentes en la elaboración de diversas producciones curriculares
como los NAP y los diseños curriculares provinciales como también en distintos materiales
de desarrollo curricular. En los diferentes documentos curriculares se plantea como
actividad principal de la clase de matemática la resolución de problemas y la reflexión sobre
la misma, lo que involucra para el maestro tanto la elección de problemas desafiantes pero
clase, cuestiones que, de modo general, abordaremos en esta clase y profundizaremos en las
restantes.
LA SELECCIÓN DE PROBLEMAS
Para atender a la construcción de sentido que mencionamos, será necesario precisar con
qué criterios se seleccionaran los problemas que configuran el proyecto de enseñanza de un
tema particular.
En los Cuadernos para el Aula del Segundo Ciclo se lee:
“Elegir los problemas
Estamos afirmando que el sentido de los conocimientos matemáticos se construye al resolver
problemas y reflexionar sobre ellos. Esto nos plantea, en principio, algunos interrogantes
centrales: ¿qué problemas presentamos?, ¿cómo conviene seleccionar el repertorio de
actividades para un determinado contenido y un grupo particular de alumnos?
En principio, la posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente nivel de
generalidad como para poder utilizarla en distintas situaciones dependerá de que la variedad
de problemas considerados al estudiarla sea representativa de la diversidad de contextos de
uso, de significados y de representaciones asociados a la noción. También habrá que tener en
cuenta que la noción que se quiere enseñar surja como una “herramienta necesaria” para
resolver el problema y no como una definición que hay que aplicar, y que la presentación de
Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos, es decir, si
estos le permiten iniciar la resolución del problema y, para hacerlo, elabora un cierto
procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificándolas y
estableciendo nuevas relaciones.
En este sentido, la actividad que puede resultar problemática para un alumno no lo es
necesariamente para otro, puesto que depende de los conocimientos de que dispone. Así,
para atender la heterogeneidad en cada grupo de alumnos respecto de sus conocimientos
iniciales y dar a todos la posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas
preguntas, confiar en que todos los niños pueden responderlas de algún modo, admitir
diferentes procedimientos y, luego, trabajar con los conocimientos que surjan para avanzar
hacia los que se quiere enseñar por medio del planteo de nuevas preguntas”.
Con relación a la selección de problemas, es necesario tener presente que la inclusión de
problemas desafiantes orientados a abordar nuevas nociones o nuevos procedimientos, no
implica dejar de lado instancias tendientes a la consolidación de lo que se está aprendiendo.
Es necesario también proponer actividades que permitan utilizar dichas nociones o
procedimientos en situaciones diferentes, lo que permitirá la extensión de su campo de
utilización, enriqueciendo su sentido. También es necesario pensar en actividades tendientes
a que los alumnos alcancen un mayor dominio de lo que están aprendiendo, lo que
favorecerá que dichos aprendizajes estén más anclados y disponibles.
Además de considerar la finalidad a que apunta cada problema y el tipo de tareas que se
promueve, es necesario tener en cuenta los contextos en los que se plantean, los
significados que se priorizan, las representaciones involucradas, las variables didácticas
seleccionadas, el tipo de tarea que se le propone a los alumnos y el carácter de herramienta
u objeto que pueden revestir las nociones involucradas.
A continuación nos centraremos en los contextos en que se proponen los problemas, el
carácter de instrumento u objeto de los conocimientos involucrados y los tipos de tareas ,
reservando para las próximas clases los análisis que apunten a los significados, las
Con relación a los contextos
Leemos en los Cuadernos para el Aula para el segundo ciclo:
“Para cada noción es posible considerar diferentes contextos que nos permitan plantear
problemas en los que la resolución requiera su uso. Estos contextos podrán ser matemáticos
o no, incluyendo entre estos últimos los de la vida cotidiana, los ligados a la información que
aparece en los medios de comunicación y los de otras disciplinas” (Ministerio de Educación,
2003: 21).
De nuestra experiencia como capacitadores, podemos afirmar que, en ocasiones, se
interpreta que por ejemplo, “hacer cuentas” es equivalente a trabajar problemas en el
contexto matemático. Esta asimilación nos interpela a reflexionar en la capacitación sobre la
idea de que, si bien resolver cuentas es un trabajo en ese contexto, puede tanto apuntar a
afianzar el dominio de una técnica como constituirse en un buen problema. Para ello es
necesario que la actividad planteada sobre las cuentas permita que se establezcan “nuevas
relaciones” o se descubran “nuevos conceptos” y no se trate solo de ejercitar “una sucesión
fija de pasos”
Podemos analizar dos ejemplos sobre problemas ligados a “las cuentas” que forman parte
de una de las secuencias con operaciones con números naturales, la elaborada para sexto
grado.
Actividad para los alumnos: Descomponer para multiplicar
a) Analizá esta forma de multiplicar y explicá qué propiedades aseguran que los
resultados que se obtienen son correctos:
14 x 36 =
7 x 2 x 9 x 4
63 x 2 x 2 x 2 = 126 x 2 x 2 = 252 x 2 = 504
b) ¿Podrías usar este tipo de descomposiciones para hacer alguna de estas
operaciones? ¿Por qué?
En esta actividad, se piden varias tareas, analizar un procedimiento para multiplicar y
justificarlo, y repetirlo si es posible para otros números. Al intentar usarlo, los alumnos verán
qué condición deben cumplir los factores para que el procedimiento sea posible, nuevo
conocimiento que deriva de la resolución.
Actividad para los alumnos: Dividir sin calculadora
Cuando Lucio no tiene la calculadora multiplica el divisor por 10, por 50, por 100 para aproximar el cociente y opera así.: 4.560 : 24 =
24 x 10 = 240 240 x 5 = 1200 240 x 10 = 2400
4560 / 24
2400 100
2160
1200 50
960
240 10
720
240 10
480
240 10
240
240 10
0 190
a) Usen el método de Lucio para resolver: 6.580 : 32 = 13.875 : 425 =
b) ¿Piensan que podrían modificar el método de Lucio para hacer la cuenta en menos pasos?
También en este problema deben analizar un procedimiento dado para poder repetir los
una transformación de esos pasos -por ejemplo usando dobles o triples del x 10- en un
nuevo problema intramatemático.
En el mismo texto dice: “Los contextos tendrán que ser significativos para los alumnos, es
decir que implicarán un desafío que puedan resolver en el marco de sus posibilidades
cognitivas y sus experiencias sociales y culturales previas. Asimismo, los conocimientos
involucrados en el problema deberán cobrar interés para ellos y ser coherentes desde el
punto de vista disciplinar”. (Ministerio de Educación, 2003: 20)
En relación con la significatividad habrá que poner el foco en la capacitación en dos
cuestiones. La primera es que no solo es significativo un contexto que aluda al mundo
cercano, a las experiencias de la vida cotidiana. También lo son aquellos contextos que los
chicos conocen a través de cuentos, historias, viajes, programas de televisión, etc. Asimismo
pueden ser significativas las curiosidades, los “trucos” numéricos, los acertijos, siempre que
los saberes requeridos para abordar la pregunta sean aquellos que los alumnos conocen.
La segunda cuestión es que, al elegir los contextos para elaborar problemas y formular las
preguntas, es importante revisar que las preguntas tengan sentido en sí mismas, es decir,
que aludan a problemas reales o verosímiles. Muchas veces, las preguntas no atienden al
sentido que tiene averiguar lo que se pide. Cabría preguntarse frente a ellas: ¿quién puede
necesitar saberlo? y ¿para qué? Por ejemplo: ¿cuántos años tienen entre la mamá y la hija?,
¿cuántas manchas tiene una jirafa? Si pretendemos que los alumnos consideren que la
matemática nos provee de herramientas útiles para resolver “verdaderos problemas”,
tendremos que cuidar que lo que se pregunta tenga sentido.
Un contexto que podría ser utilizado en la clase de matemática es el de los juegos. Su
inclusión va más allá de la idea de despertar el interés, pues permite a los alumnos resolver
problemas que tienen sentido y habilita a que “hagan Matemática, es decir elaboren
estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus
pares, expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus
producciones con las de otros, acepten críticas y otros puntos de vista”. (Chemello, Agrasar,
Este recurso de enseñanza da lugar a plantear una considerable cantidad de problemas con
una dinámica que permite a los alumnos acordar resultados, y discutir procedimientos entre
ellos.
En relación con este recurso, el foco de la intervención se suele poner no sólo en jugar
efectivamente, sino también en analizar posibles estrategias de juego basadas en diferentes
conocimientos, considerando variantes al cambiar “algo” en la situación: los materiales, la
organización del grupo, las reglas.
Será también interesante elaborar con los docentes actividades para plantear a los niños
luego de jugar -algunas de juego simulado y otras intramatemáticas- y discutir a qué
conclusiones, reglas, formulaciones podrían arribar los alumnos.
Cuando se da lugar a este tipo de elaboración en el acompañamiento, las propuestas de
actividades que plantean como tarea para los alumnos decidir cómo jugar, o decidir quién
gana, son más frecuentes que las que apuntan a analizar jugadas de otros, o a elaborar una
explicación sobre por qué se jugó de cierta forma.
A propósito de puntualizar el sentido de incluir juegos en la clase de Matemática, B. Charlot
plantea:
“Si por juego se designa una actividad donde el alumno realiza con placer -que no excluye el
esfuerzo, sino que lo sostiene-, una actividad que permite un funcionamiento del
pensamiento no condicionado por reglas exteriores vividas por el alumno como artificiales y
arbitrarias, no tengo ninguna objeción. Además el alumno tiene derecho a que su actividad
sea socialmente reconocida como un trabajo serio y no como un juego y se engañe a ciertos
alumnos con la idea de que ellos juegan en la escuela en vez de trabajar!
Pero si por juego matemático, se designa una actividad puntual no articulada alrededor de
un campo de problemas, no anclado en el programa, sin proyecto intelectual ni institucional,
ya no estoy de acuerdo. Estos momentos de aventura matemática no son para excluir, pero
no pueden constituir la base de un aprendizaje de las matemáticas. Este supone la
articulación entre situaciones, que para el maestro al menos, sean ricas de progresión futura.
El alumno debe sentir que él progresa y el docente, por su lado, no puede librarse de toda
Con relación al carácter de instrumento o de objeto
Como dijimos anteriormente, otro aspecto a considerar en la selección de los problemas es
si la noción que queremos trabajar al presentar el problema permite resolverlo, o si es un
objeto de estudio. Veamos como caracteriza estas dos nociones su autora, Regine Douady.
“Para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter “instrumento” y su carácter “objeto”. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversos problemas que permite resolver. Un concepto toma sentido por su carácter instrumento. No
obstante, ese carácter pone en juego las relaciones que mantiene con los otros conceptos
implicados en el mismo problema. Es decir, desde una óptica instrumental, no se puede
hablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravitan eventualmente alrededor
de un concepto principal. También el aprendizaje deberá considerar tal conjunto.
Diremos que un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema,
justificando el uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumento
puede ser adaptado a varios tipos de problema. Recíprocamente, varios instrumentos
pueden ser adaptados a un mismo problema. No obstante, cada uno tiene un cierto ámbito
de validez (…)
Por objeto, entendemos el concepto matemático, considerado como objeto cultural que tiene su lugar en una construcción más amplia, que es la del conocimiento inteligente en un
momento dado, reconocido socialmente.
(…)
La actividad principal en matemáticas, en el cuadro escolar, o en los centros de investigación
profesional, consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. El investigador puede
declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema de
validación propio de las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel de
instrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad científica, el concepto es
descontextualizado para que pueda servir nuevamente. Se convierte así, en objeto de saber.”
(Douady, 1983)
En nuestro caso, al resolver un problema que requiera de la puesta en juego de una
multiplicación o una división, los cálculos funcionan como una “herramienta”, como un
instrumento matemático que permite dar respuesta a la pregunta. En cambio, si
realizados con diferentes procedimientos, esos cálculos son “objeto de estudio”. Del mismo
modo, “producir una manera de realizar un cálculo” también es un problema y las dos
actividades de las páginas 7 y 8, “Descomponer para multiplicar” y “Dividir sin calculadora”
son ejemplos de problemas donde los cálculos son objeto de estudio. Ambos tipos de
problemas deberían formar parte del proyecto de enseñanza.
Con relación a los tipos de tareas
En los Cuadernos para el aula del Segundo Ciclo leemos:
“Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones, trabajarán usando los
conocimientos matemáticos de manera implícita, sin nombrarlos ni escribirlos, por ejemplo,
al medir, construir, decidir cómo jugar o calcular. En otras, utilizarán los conocimientos
matemáticos de manera explícita: tendrán que describir cómo midieron o calcularon, qué
instrumentos usaron para construir y qué hicieron en cada paso, o producirán un instructivo
para que otro construya una figura o realice un cálculo, explicarán por qué decidieron utilizar
un procedimiento u otro, cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado. También
darán razones para convencer a otro compañero de que los números encontrados o las
figuras dibujadas cumplen con las condiciones del problema; tendrán que argumentar sobre
si un procedimiento es o no correcto. En otras oportunidades, será el maestro el que presente
una afirmación para que los alumnos discutan sobre su validez”.
Análisis de problemas
A continuación presentamos algunos problemas extraídos de las secuencias elaboradas para
este curso, y realizamos un primer análisis atendiendo a lo que venimos desarrollando.
Actividad para los alumnos: Deudas pendientes
a) En una empresa lograron ahorrar en el año $78.000. Quieren saldar las 12 cuotas pendientes de $2.500 de una maquinaria. Pagarán un bono a sus 32 empleados de $ 1.200 a cada uno. Realizarán una fiesta de fin de año cuyo costo será de $2.735. También tienen ahorrados del año anterior $ 24.400 y depositado en una cuenta $11.000. Deciden ponerse al día con la deuda impositiva de $4500 y para ello deberán pagar intereses de cuatro cuotas de $ 421. ¿Les alcanza para todos sus planes?
b) Reunite con otros compañeros y compartan sus producciones
- ¿Hicieron las mismas cuentas?
- ¿Es posible ordenar los cálculos en grupos para hacerlos con una calculadora sin anotar resultados parciales?
- ¿Hay una sola forma de hacerlo?
El problema está planteado en un contexto extramatemático, dado que se trata de cálculos
que usualmente se realizan en las empresas, y que son accesibles para los alumnos del
Segundo Ciclo.
En el inciso a) la tarea está centrada en resolver cálculos, para lo que es posible utilizar
diversos procedimientos, pues las operaciones pueden ser realizadas inicialmente en forma
separada, para luego trabajar con los resultados, y también se puede armar una o dos
expresiones combinadas.
Notemos que en este inciso, las operaciones y su orden surgen como herramientas
necesarias de resolución y que su uso no está explicitado en el enunciado del problema (por
ejemplo, expresando “tengan en cuenta el orden de las operaciones”), lo que favorece la
construcción de sentido por parte de los alumnos.
En el inciso b) se propone discutir acerca del orden en que se deben realizar una serie de
cálculos y sobre el uso del paréntesis, lo que permite explicitar relaciones que posiblemente
se hayan usado anteriormente de manera implícita. Este análisis implica la consideración de
los cálculos y la forma de escribirlos como objeto de estudio.
Otro aspecto a tener en cuenta es que los datos no se presentan en el orden en el que deben
Actividad para los alumnos: Descomponer para dividir
a) Para resolver el cálculo 936 : 9, a dos amigos se les ocurrieron distintas
descomposiciones.
Juan: 900 : 9 + 36 : 9
Pedro: 936 : 3 + 936 : 3 + 936 : 3
¿Con quién estás de acuerdo? ¿O ambos son correctos? ¿Por qué?
b) ¿Usarías alguna de esas descomposiciones para dividir 1890 : 9 o 468 : 9?
c) ¿Cómo podrías descomponer 504 para que fuera fácil de dividir por 9? ¿Y 675?
d) Pedro dice que se puede descomponer el dividendo en una suma si cada
sumando es múltiplo de 9. Juan dice que no hace falta y le muestra esta cuenta,
¿Quién tiene razón?
1760 : 9 1700 + 60 / 9 .
900 54 100 + 80 + 8 + 6 + 1 = 195
800 6
720
80
72
8 14
5
e) Para resolver 480 : 12, también se presentan dos maneras de descomponer el
número que divide (el divisor)
480 : 12 = 480 : 10 : 2 480 : 12 = 480 : 4 : 3
¿Es lo mismo? ¿Por qué?
En este caso se trata de un problema planteado en contexto intramatemático, y la tarea
sumandos el dividendo o el divisor. Luego se avanza en un análisis acerca de cómo elegir los
sumandos para descomponer el dividendo y el divisor de modo que se facilite el cálculo. Es
importante tener en cuenta que, si bien lo que dice Pedro es cierto (sólo hay que tener
cuidado y no olvidarse de los restos parciales) conviene elegir al menos un sumando que sea
múltiplo para facilitar el cálculo y hacer menos aproximaciones. Notemos que en este caso
se prioriza un trabajo acerca de las propiedades de la división en cuanto objetos de estudio.
Actividad para los alumnos: Haciendo etiquetas
Dos amigas recortan papel autoadhesivo para hacer etiquetas. Las dos han recortado etiquetas iguales a ésta (dibujo).
Sol usó la tercera parte del papel que tenía y recortó una etiqueta como esta.
Mili dice que usó la mitad de su papel que tenía. a) ¿Es posible que ambas tengan razón?
b) Dibujá cómo podrían haber sido los papeles que tenían Sol y Mili.
c) El papel que tenía Sol, o el que tenía Mili, ¿podrían haber sido como este? ¿Por qué?
En esta actividad se promueve un trabajo en el que se considera un único entero dividido en
partes iguales. La misma está planteada en un contexto extramatemático, ya que se trata de
etiquetas que se recortan de un rectángulo inicial. Aquí, dos etiquetas de igual forma y
tamaño resultan ser partes distintas (1/2 y 1/3 respectivamente) de enteros diferentes, lo
que puede obtenerse como conclusión al reconstruir cada uno de ellos. Esta reconstrucción
podrá dar rectángulos distintos según como ubiquen las partes. Luego, habrá que comparar
un rectángulo dibujado con los obtenidos por los niños al hacer la reconstrucción, lo que
podrá o no dar el mismo dibujo y habrá que ver si se puede tratar del mismo papel o no.
Finalmente, se pide obtener cuartos en un rectángulo, lo que permitirá obtener como
conclusión que partes iguales pueden tener diferentes formas.
Notemos que las tareas que se promueven apuntan a justificar procedimientos realizados
por otros y a representar, específicamente a dibujar. En todas ellas la noción de fracción
como parte de un entero funciona como instrumento implícito.
Actividad para los alumnos: Otros procedimientos
I. a) Dibujá un cuadrilátero cuyas diagonales miden 4 y 7 cm., de modo que
cada una corte a la otra en el punto medio.
b) ¿Podés asegurar que la figura que dibujaste es igual a la que hicieron tus
compañeros sin verlas? ¿Por qué?
II. a) Para que Mariana pudiera construir esta figura sin verla, los chicos escribieron
b) ¿Qué información habría que agregar a cada mensaje para que la figura sea un
romboide que se pueda superponer con el del dibujo?
Se trata de una actividad planteada en contexto intramatemático, en la que las propiedades
de los cuadriláteros constituyen una herramienta implícita de resolución. En la primera
parte, la tarea consiste en realizar una construcción, y luego en discutir acerca de la unicidad
o no de la misma. Los alumnos deberán concluir que es posible construir tantos
cuadriláteros como quieran, ya que hay “muchas” soluciones. En la segunda parte, se
promueven tareas que apuntan a la comunicación escrita y a la justificación, y permite
relacionar datos con cantidad de soluciones. En este caso las propiedades de las diagonales
del romboide permitirán establecer las condiciones para que la construcción sea única.
Los problemas y su gestión en clase
Para que los alumnos puedan involucrarse en una práctica matemática como la que
describimos, además de seleccionar problemas utilizando los criterios explicitados, es
necesario tener en cuenta otras condiciones: qué materiales pueden utilizarse, cómo
organizaremos la clase, que interacciones entre alumnos prevemos en función de la
organización propuesta, y cuáles serían las intervenciones que deberíamos realizar durante
el desarrollo de la clase. Para analizar estas cuestiones nos remitimos nuevamente a la
“Las situaciones de enseñanza
En algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse solo mediante el
enunciado de un problema o con una pregunta para un conjunto bien elegido de cálculos o
con un interrogante que deba ser respondido a partir de una información publicada en el
diario o en un texto de Ciencias Naturales o de Ciencias Sociales. En otras ocasiones, habrá
que proporcionar los instrumentos de Geometría para realizar una construcción o los
materiales para un juego –por ejemplo dados y tablas para anotar puntajes, el croquis de un
recorrido, un mapa, etc. En todos los casos, una primera condición es asegurarnos de tener
disponibles los materiales a utilizar.
También habrá que anticipar cuál es el tipo de interacciones que queremos que se den para organizar distintos momentos de la clase: las de cada alumno y el problema, las de los
alumnos entre sí y las de los alumnos con el maestro. Para ello, habrá que proponer, según
convenga y de manera no excluyente, momentos de trabajo en forma individual, en
pequeños grupos o con toda la clase.
……….
En Segundo Ciclo, es importante también que los alumnos comiencen a analizar el nivel de
generalidad que tienen las respuestas a los problemas que resuelven. Así, comprobar que se pueden obtener dos triángulos iguales plegando un cuadrado de papel glasé no es suficiente
para afirmar que las diagonales de cualquier cuadrado son congruentes. Asimismo, habrá
que descubrir y explicitar que algunas afirmaciones son verdaderas en un campo numérico, o
para un conjunto de figuras, y no lo son para otros. Por ejemplo, el producto de una
multiplicación es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con números
naturales, pero esto no es cierto si, por ejemplo, los factores son números racionales menores
que 1.
Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para que ocurran las
interacciones que nos interesan, diseñamos una situación problemática a propósito del
conocimiento que queremos enseñar. Esta situación incluye un conjunto de elementos y
relaciones que estarán presentes en la clase: el problema, los materiales, una cierta
organización del grupo, un desarrollo con momentos para distintos intercambios. Al
planificar, también anticipamos los diferentes procedimientos y las representaciones que
La gestión de la clase
Hemos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de trabajo matemático
que buscamos promover, serán fundamentales las intervenciones del docente durante la
clase.
El trabajo de resolución de problemas que se propone en este enfoque genera muchas veces
inseguridad. Pensamos: ¿cómo voy a presentar este problema si no muestro antes cómo
hacerlo?, ¿cómo voy a organizar la clase si cada uno responde de una manera distinta? o
¿cómo voy a corregir si hay distintos procedimientos en los cuadernos? Respecto de la
primera pregunta, para iniciar el aprendizaje de un nuevo conocimiento en el proyecto de
cada año escolar tendremos que presentar un problema asegurándonos de que todos hayan comprendido cuál es el desafío que se les propone. Para que cada alumno acepte ocuparse
de él, es esencial generar el deseo de resolverlo. Este tipo de intervención, que busca que el
alumno se haga cargo de la resolución, es siempre parte del inicio de la clase, pero puede
reiterarse en distintos momentos, toda vez que sea necesario y oportuno. Es una invitación
para que el chico resuelva por sí solo y no una orientación sobre cómo debe hacerlo o qué
debe hacer. Para comenzar, los niños lo resuelven de manera individual o en pequeños grupos, con diferentes procedimientos, según los conocimientos de los que dispone cada
uno”
Antes de seguir avanzando, consideremos como ejemplos dos problemas y la diversidad de
procedimientos que los alumnos podrían utilizar para resolverlos identificando los
conocimientos puestos en juego.
Chocolates en el cine
Ana festejó su cumple yendo al cine con sus amigas Vero y Luz. Llevaron 4
chocolates para repartir en partes iguales entre las 3, sin que sobre nada. Dibuja
El reparto de chocolates, se puede pensar de varias formas, dando lugar a procedimientos
diferentes:
Seguramente los chicos trabajarán sobre una representación rectangular o cuadrada, dado
el contexto del problema. En el primer procedimiento se piensa que cada chica come 1
chocolate y la tercera parte de otro, en el segundo, recibe dos mitades y la tercera parte de
otro y en el último, recibe una tercera parte de cada uno de los 4 chocolates. En los tres
procedimientos los conocimientos que los alumnos ponen en juego son la idea de división
como reparto, la de dividir un entero en partes iguales y las de ½ y 1/3, fracciones que son la
expresión de una cantidad que es una parte de un todo. También las escrituras de la parte
podrán ser distintas, aditivas, con palabras, sólo con fracciones unitarias, con fracciones
mayores que 1, entre otras, poniendo de manifiesto conocimientos diferentes
“1 y 1/3” 1 + 1/3 ½ + ½ + 1/3
1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 4/3 “cuatro terceras partes”
Algunos alumnos podrían realizar procedimientos con errores marcando los tercios de la
forma siguiente:
Vemos que si bien se ha considerado que son tres partes, se ha obviado que el reparto debe
ser equitativo y por lo tanto las partes iguales.
Envolver un regalo
Las amigas de Ana le llevaron como regalito una tarjeta. La idea fue hacer una
mitad cada una en su casa, y luego pegarlas sobre un rectángulo de cartulina que
compró Vero. Cuando se encontraron ambas se sorprendieron porque no podían
La no coincidencia de las partes para formar un único entero, pudo provenir de dos
cuestiones diferentes. Una de ellas es que no hicieran mitades del mismo rectángulo con lo
que las partes no resultaban de igual área.
Otra cuestión es que cada amiga pensara en una mitad de forma distinta a la otra.
A B C
En términos de conocimientos, se ponen en juego dos ideas relativas a la noción de fracción
cuando se consideran partes de cantidades: “para que las partes sean comparables entre sí
deben referirse a una misma unidad” y “si bien la parte de una cantidad es independiente de
la forma, dada una parte, siempre se pueden reconstruir enteros de la misma cantidad de
magnitud, que no necesariamente tienen la misma forma”.
En este caso (A, B, y C) se trata de tres enteros iguales, todas las partes “mitades” tienen la
misma área y distinta forma y si se combinan, por ejemplo, un triángulo de A y un cuadrado
de B se obtiene un entero de la misma área que el rectángulo original.
Volviendo a la caracterización de la gestión de la clase, esta variedad de procedimientos
deberá ser objeto de debate y reflexión, tal como se explicita a continuación retomando el
texto incluido en los Cuadernos para el aula. Cabe señalar que este análisis de lo producido
no necesariamente se realiza inmediatamente después de terminar de resolver. Por
ejemplo, algunos procedimientos podrían conservarse para ser retomados en otra clase.
“…, habrá que dar lugar a un intercambio donde participen todos los alumnos y en el que se vayan explicando las diferentes aproximaciones al conocimiento que se quiere enseñar, y
modo todas las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta al problema
planteado.
Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos utilizados por los chicos, es
necesario animarlos a dar razones de lo realizado, a explicar por qué lo hicieron de cierta forma, a argumentar sobre la validez de sus producciones. Esto les permitirá volver sobre lo
que han pensado, para analizar sus aciertos y errores, y controlar, de este modo, el trabajo.
Alentarlos a hablar o participar a aquellos que no lo hacen espontáneamente significa
trabajar suponiendo que los chicos pueden progresar y no que van a fracasar.
En algún caso, recuperar todas las producciones escritas distintas, y presentarlas en conjunto
para compararlas y discutir cómo mejorar cada una, puede contribuir a “despersonalizar” las
mismas, focalizando el análisis en su validez o nivel de generalidad y no en los conocimientos
de quienes las elaboraron. Así el “error” de unos se capitaliza en la reflexión de todos.
Este trabajo incorpora a los alumnos en el proceso de evaluación en un lugar diferente del
habitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que les ratifica de inmediato si
lo que hicieron está bien o no. Si han asumido como propia la tarea de resolución, querrán
saber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que organizó el quehacer
matemático en el aula. El debate del conjunto de la clase dará por válida o no una respuesta,
y llevará a la modificación de los procedimientos que conducen a errores.
En un comienzo, las razones que los alumnos den al debatir se apoyarán en ejemplos,
comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medidas, entre otros casos,
para luego avanzar hacia el uso de propiedades.
A la vez, estas últimas se enunciarán con distintos niveles de generalidad; por ejemplo,
pasaremos de: Podés hacer 4 + 3 y te da lo mismo que 3 + 4, en el Primer Ciclo, a: Al sumar es
posible cambiar el orden de los números, en el Segundo Ciclo.
Con la intervención del maestro, se reconocerán y sistematizarán los saberes que se van
descubriendo. Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase y el
conocimiento matemático al que se pretende llegar, introduciendo las reglas y el lenguaje
específicos, y entre los conocimientos ya incorporados y los nuevos, es una tarea que está
siempre a cargo del maestro y que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen
Para esto, no tenemos que basarnos en ningún esquema rígido. Esas intervenciones pueden
darse en distintos momentos, siempre que sean oportunas; es decir que lleguen después de
que los alumnos hayan desplegado sus propios razonamientos.
El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro. Cuando los chicos están resolviendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podrá pasar cerca de cada uno,
atendiendo lo que van haciendo, los términos que usan, lo que escriben, quiénes no
participan y quiénes siguen atentamente –aun sin hablar– lo que hacen sus compañeros. De
tal modo, el maestro tendrá un registro del conjunto de conocimientos que se despliegan en
la clase. Esta información será fundamental para tomar decisiones en el momento del
debate: ¿qué grupo conviene que hable primero?, ¿cuáles tienen una respuesta similar?,
¿qué procedimiento es el más potente para hacer avanzar el debate hacia el conocimiento
que se espera enseñar? Esto permitirá optimizar el tiempo dedicado
a la puesta en común, de manera que no resulte tediosa para los alumnos ya que, cuando los
procedimientos son muy similares, bastará con tomar como objeto de análisis la producción
de uno solo de los grupos.
El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, puesto que es él quien lo
conduce. A veces, las conclusiones a las que los chicos llegan en conjunto son parcialmente
válidas. Allí, el maestro podrá decir, por ejemplo: Por ahora acordamos que resolvemos así;
en la próxima clase lo seguiremos viendo. De esta manera, interviene en el proceso sin
anticiparse, pero dejando marcas, planteando la provisoriedad de lo acordado o alguna
contradicción que queda pendiente por resolver. Así, no invalidaremos el trabajo de la
“comunidad clase”, pero dejaremos instalado que hay alguna cuestión que hay que seguir
discutiendo.
En relación con el modo de organizar la clase frente a las distintas respuestas y tiempos de trabajo de los niños, los docentes muchas veces planteamos situaciones para que sean
resueltas por todo el grupo, lo que nos permite valorar, corregir, hacer señalamientos a las
intervenciones de los alumnos.
Es cierto que es más fácil llevar adelante el trabajo colectivo sobre un único procedimiento,
pero de este modo se corre el riesgo de que solo un grupo de alumnos participe activamente
siguiendo al maestro, mientras otros se quedan al margen de la propuesta; y aunque todos lo
La alternativa que proponemos a la organización habitual de la clase, según nuestros
objetivos, será armar la actividad de distintas maneras: individual, por pares o grupos de más
alumnos, y aun con distintos tipos de tareas para cada grupo o dentro del mismo grupo,
alentando la movilidad de los roles y estando atentos a la posible configuración de
estereotipos que, lamentablemente, algunas veces hacen que la discriminación se exprese en
la clase de Matemática.
Tanto los momentos de trabajo individual como los compartidos en grupo aportan al alumno
un tipo de interacción diferente con el conocimiento, por lo que ambos deberán estar
presentes en la clase.
Muchas veces, cuando estamos a cargo de un plurigrado, separamos a los niños según el año/grado que cursan, y vamos atendiendo a un grupo por vez.
Sin embargo, a la hora de realizar adaptaciones a las actividades presentadas, es importante
tener en cuenta el enfoque de enseñanza, de manera de no perder la riqueza de las
propuestas que ofrecemos. Por ejemplo, para alcanzar determinados aprendizajes, es
indispensable generar espacios de debate en los que deberían participar alumnos que
compartan repertorios de conocimientos y niveles de análisis similares. Sin embargo, ocurre
muy frecuentemente que en estos escenarios haya solo uno o que sean muy pocos los
alumnos en alguno de los años/grados, lo que hace imposible organizar un verdadero debate
entre ellos. En estos casos, proponemos agrupar niños de varios años/grados y organizar
actividades con un contexto común, proponiendo una tarea distinta a cada grupo, de modo
que los desafíos sean adecuados a los distintos conocimientos de los alumnos. Esto permite
que en el momento de la confrontación todos los alumnos puedan entender las discusiones
que se generen e incluso puedan participar de las mismas, aunque no sean originadas por la
actividad que le correspondió a su grupo. Por ejemplo, se podría proponer para grupos
armados con niños de 4º, 5º y 6º años/grados un juego como “La escoba del uno” 1 de cartas
con fracciones, diferenciando la complejidad a la hora de analizar las partidas simuladas.
En esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene diferentes funciones: en él, cada chico ensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no con su resolución y,
eventualmente, registra sus progresos, por ejemplo, en tablas en las que da cuenta del
repertorio de cálculos que ya conoce. De este modo, el cuaderno o la carpeta resultan un
registro de la historia del aprendizaje y los docentes podemos recuperar las conclusiones que
En este sentido, conviene además conversar con los padres que, acostumbrados a otros usos
del cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar en él huellas de errores que para
nosotros juegan un papel constructivo en el aprendizaje. De todos modos, es recomendable
discutir con el equipo de colegas de la escuela cómo se registra en el cuaderno la presencia
de una producción que se revisará más adelante.
También el pizarrón tiene diferentes funciones. Allí aparecerá todo lo que sea de interés para el grupo completo de la clase, por ejemplo: los procedimientos que queremos que los
alumnos comparen, escritos por un representante del grupo que los elaboró o por el maestro,
según lo que parezca más oportuno.
Convendrá usar también papeles afiche o de otro tipo para llevar el registro de las
conclusiones, como tablas de productos, acuerdos sobre cómo describir una figura, etc., para
que el grupo las pueda consultar cuando sea necesario.
Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en el aprendizaje, de generar confianza en las propias posibilidades de aprender y de poner en evidencia la
multiplicidad de formas de pensar frente a una misma cuestión, así como la necesidad de
acordar cuáles se consideran adecuadas en función de las reglas propias de la Matemática.
Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que los niños
sientan que los errores y los aciertos surgen en función de los conocimientos que circulan en la clase, es decir que pueden ser discutidos y validados con argumentos y explicaciones. Es así
como pretendemos que los chicos vayan internalizando progresivamente que la Matemática
es una ciencia cuyos resultados y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de la
aplicación de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una
práctica de la adivinación o del azar o un saber que no sufre transformaciones.
De todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de actividades que
puedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas herramientas, e intervenir
convenientemente para que todos puedan avanzar, supone para nosotros una dificultad
mucho mayor que la de presentar un problema que la mayoría resuelve de la misma manera.
Quizá nos dé un poco de tranquilidad saber que a trabajar en grupo se aprende y que, en el
inicio de este aprendizaje, hay que tolerar una cuota de desorganización, hasta que los
alumnos incorporen la nueva dinámica.
Una cuestión ligada a la organización de la enseñanza que conviene tener en cuenta es la de
secuencia para desarrollar cierto contenido. El criterio que utilizamos al presentar algunos
ejemplos en el apartado “Propuestas para la enseñanza” es que en cada nueva actividad de
una misma secuencia se tome como conocimiento de partida aquel que haya sido
sistematizado como conclusión en la anterior.
Otra cuestión también ligada a la elaboración de una unidad de trabajo, y que permite
mejorar el uso del tiempo de clase, es la articulación de contenidos. Algunos contenidos relacionados con distintos NAP pueden abordarse en una misma unidad y aún en una misma
secuencia. Por ello, es conveniente tener en cuenta que la presentación de los NAP no indica
un orden de enseñanza y que, antes de armar las unidades, es indispensable tener un
BIBLIOGRAFÍA
- Consejo Federal de Cultura y Educación (1995) Contenidos Básicos Comunes para la Educación General Básica. Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. (pp. 108-110)
- Charlot, Bernard. La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de la matemática.Conferencia dictada en Cannes, marzo 1986.
- Charnay, R. (1994) “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, en Parra, C. y Saiz, I. (comps.) Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Paidós Educador, Bs. As.
- Chemello, G. (coord.), Agrasar, M. y Chara, S. (2001), El juego como recurso para aprender. Juegos en Matemática EGB 1 (Material para docentes y recortable para alumnos), Buenos Aires, Ministerio de Educación (Disponible en
www.me.gov.ar/curriform/matematica.html ).
- Douady, Régine (1983) “Relación enseñanza-aprendizaje. Dialéctica instrumento-objeto, juego de marcos”, en Cuaderno de didáctica de la matemática Nº 3. Université Paris Diderot – Paris 7 Traducido en Selección Bibliográfica I, Programa para la Transformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura y Educación, (1994) (Disponible en
http://www.slideshare.net/favalenc/dialectica-douady)
- Ministerio de Educación, (2006) Enseñar Matemática en el segundo ciclo en los
Cuadernos para el aula NAP. Buenos Aires. (Disponible en
www.me.gov.ar/curriform/matematica.html ).
- Sadovsky, P. (coord.); Quaranta, M., Ponce, H. (2006) Cálculo mental con números naturales Apuntes para la enseñanza. Gob de la Ciudad de Bs As. Secretaría de
Educación. Dirección de Currícula. Disponible en
http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pdf/primaria/calculo_natu rales_web.pdf).
- Vergnaud, G. (1983) “Actividad y conocimiento operatorio”, en C. Coll (comp.) Psicología genética y aprendizajes escolares. Siglo XXI, Madrid. (pp. 91-104).
