0102_ mov1dhor.pdf

(1)

0102) Movimiento Rectilíneo Horizontal

1) Conceptos basicos

• Definir distancia recorrida, posición y cambio de posición.

• Definir vectores posicion, velocidad y aceleración en movimientos en 1 dimensión. • Diferenciar velocidad media y aceleración media de velocidad y aceleración

instantánea.

Distancia Recorrida y Cambio de Posición

Considere la situación ilustrada en la figura 1.Un automovilista debe pasar por una cuesta para llegar a su destino. Parte en la hostería. Su acompañante toma nota de su recorrido, anotando la hora y la distancia recorrida, leída directamente del “cuentakilómetros” del auto.

Hora Referencia Kilometraje

10:05 Salida de la Hostería 44080,3

10:23 Paso frente al servicentro 44106,8

10:31 Frente al cedro, regreso por escasez de bencina. 44115,1

10:38 Llegada al servicentro 44123,4

10:51 Partida hacia la cuesta 44123,4

11:00 Nuevamente frente al cedro 44131,7

11:43 Llegada a la cima 44165,5

A partir de esos datos construyen la siguiente tabla

Hora t[min] ∆∆∆∆t[min] Kilometraje d [km] ∆∆∆∆d[Km] vmedia[Km/h]

10:05 0 44080,3 0

18 26,5 88,3

10:23 18 44106,8 26,5

8 8,3 62,3

10:31 26 44115,1 34,8

7 8,3 71,1

10:38 33 44123,4 43,1

13 0 0,0

10:51 46 44123,4 43,1

9 8,3 55,3

11:00 55 44131,7 51,4

43 33,8 47,2

11:43 98 44165,5 85,2

Donde

Figura 1) Ilustración del problema

• t: tiempo medido a partir del instante de salida de la hostería. • ∆t: intervalo de tiempo transcurrido entre dos referencias sucesivas.

• d: distancia recorrida por el automóvil desde que salió de la hostería.

• ∆d: distancia recorrida entre dos referencias sucesivas. • vmedia= ∆d / ∆t: rapidez media

entre dos referencias sucesivas.

A partir de estos datos se pueden construir los gráficos de “distancia recorrida v/s tiempo” (figura 2a) y su correspondiente “rapidez media en función del tiempo” (figura 2b).

Se observa que la distancia recorrida siempre es positiva y creciente, y su rapidez media de cambio entre dos instantes es siempre positiva. La rapidez instantánea de cambio de distancia recorrida es lo que marca el velocímetro del automóvil.

Mirando sólo estos gráficos, ¿Se podría decir en que instantes el móvil se devolvió a la hostería? La respuesta es no. El cuentakilómetros del auto aumenta su cuenta siempre, independientemente de si el auto va de Santiago a Valparaíso o viceversa. Similarmente, el velocímetro del auto siempre marcará un valor positivo independiente de la trayectoria seguida. Luego, la información que proporciona la distancia recorrida respecto del movimiento es incompleta.

A continuación, describiremos la misma situación anterior, consideraremos la posición del auto con respecto a la hostería a lo largo del camino. Para ello considere la siguiente tabla, obtenida con los mismos datos anteriores.

t[min] ∆∆∆∆t[min] s [km] ∆∆∆∆s[Km]

vmedia_s [Km/h]

0 0

18 26,5 88,3

18 26,5

8 8,3 62,3

26 34,8

7 -8,3 -71,1

33 26,5

13 0 0,0

46 26,5

9 8,3 55,3

55 34,8

43 33,8 47,2

98 68,6

(a) _(b)

(2)

Donde

• s: distancia del auto a la hostería (a lo largo del camino). • ∆s: Cambio de posición entre dos referencias sucesivas. • Vmedia_s= ∆s / ∆t: rapidez media correspondiente.

En la tabla, se observa que los cambios de signo indican cambios en el sentido del movimiento.

A partir de estos datos se pueden construir los gráficos de “posición v/s tiempo” y su correspondiente “rapidez media en función del tiempo”.

Estos gráficos nos proporcionan una información más completa respecto del movimiento del auto, pues a partir de él podemos conocer cuando el auto se aleja de la hostería o se acerca a ella.

Usualmente, el movimiento será descrito en términos de su posición con respecto a un punto de referencia convenientemente establecido.

Modelo General para el movimiento rectilíneo con acelearción constante en una dimensión

En la figura 4 se muestra un móvil en el instante t = 0. El sentido del eje indica los valores positivos.

El modelo general para el movimiento rectilíneo en una dimensión está dado por:

( )

2

0 0

0 a t

2 1 t V X t

X = + + [1]

( )

t V a t V = 0+ 0 [2]

( )

t a0 A = [3]

Donde

• X(t): posición del móvil en función de t. • V(t): velocidad del móvil en función de t.

(a) (b)

Figura 3) (a) Gráfico de posición v/s tiempo; (b) Gráfico de rapidez media de cambio de posición en función del tiempo

O

a₀

X₀ V₀

X t=0

O

a₀

X₀ V₀

X O

a₀

X₀ V₀

X X₀

V₀

X t=0

Figura 4) Sistema de referencia general para el movimiento rectilíneo en una dimensión

• A(t): aceleración del móvil en función de t. • X0: posición del móvil en t=0.

• V0: velocidad del móvil en t=0. • a0: aceleración del móvil en.

Si a0 = 0, se habla de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), o movimiento con velocidad constante. Si a0 ≠ 0, se habla de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), o movimiento con aceleración constante.

La posición, velocidad y aceleración de un móvil son cantidades físicas vectoriales. Como el movimiento es unidimensional, la dirección de éste es siempre la misma, dada por el vector unitario

xˆ_{, por lo que los vectores pueden tener dos orientaciones posibles:}₊_xˆ_y_-_xˆ_{. Para simplificar la}

notación, se suelen omitir los vectores unitarios, trabajando solamente con las magnitudes.

Velocidades media e instantánea, aceleraciones media e instantánea.

Tal como a cualquier cantidad física, se pueden aplicar los conceptos de rapidez media y rapidez instantánea de cambio a la posición y velocidad de un móvil.

En referencia a la figura 5, podemos decir que X1 y X2 son las posiciones del móvil, y que V1 y V2 corresponden a la “rapidez instantánea de cambio de posición

del móvil” en los instantes t1 y t2, respectivamente. Asimismo, a0 es la “aceleración instantánea de cambio de posición del móvil” o “rapidez instantantánea de cambio de velocidad del móvil” en los instante referidos. Para a0 constante, esta aceleración es la misma en t1 y t2.

La rapidez media de cambio de posición del móvil entre t1 y t2 se define como:

1 2

1 2 2 1

t t

X X V

− − =

→ [4]

La aceleración media de cambio de posición del móvil (o “rapidez media de cambio de la velocidad del móvil”) entre t1 y t2 se define como:

1 2

1 2 2 1

t t

V V A

− − =

→ [5]

0 x

t = t₁ t = t₂

V(t₁) = V₁ V(t₂) = V₂

X(t₁) = X₁ X(t₂) = X₂

a₀

(3)

En la siguiente tabla se resumen las diferencias entre rapideces y aceleraciones medias e instantáneas

Media (entre t1 y t2) Instantánea (en t) Rapidez

1 2

t t

X X

−

− V0+a0t

Aceleración

1 2

t t

V V

−

− a₀

Muchas veces se suele hablar de “velocidad” y “rapidez” de un móvil. Para efectos de este curso, el término velocidad se referirá al vector velocidad completo (incluyendo magnitud y orientación

xˆ

+ ó -xˆ_{), mientras que el término}_rapidez_{es un escalar que se referirá}_{solamente a la magnitud}

del vector velocidad, que a su vez es igual a la rapidez instantánea de cambio de la distancia recorrida.

Retardo y adelanto de movimientos.

En más de una ocasión hay problemas en los cuales el movimiento de uno de los móviles implicados parte con

un retardo o adelanto

respecto a la referencia t = 0.

Tales situaciones se enfrentan de la siguiente manera (ver figura 6).

• Si el movimiento parte con un retardo de T, las ecuaciones de posición y velocidad se evalúan en t –T

• Si el movimiento parte con un adelanto de T, las ecuaciones de posición y velocidad se evalúan en t +T

X

t

X(t)

T

-T

0 X(t-T)

X(t+T)

Figura 6) Intepretación de movimientos con retardo y adelanto

Estos criterios se especifican en la siguiente tabla:

Inicio Ecuación de posición Ecuación de Velocidad

t = 0

( )

2

0 0

0 a t

2 1 t V X t

X = + + V

( )

t =V0 +a0t

Retrasado en T

(

)

(

)

(

)

2

0 0

0 a t-T

2 1 T -t V X T -t

X = + ⋅ + ⋅ V

(

t-T

)

=V0+a0⋅

(

t-T

)

Adelantado en T

(

)

(

)

(

)

2

0 0

0 a t T

2 1 T t V X T t

(4)

2) Movimiento con velocidad constante o Rectilíneo Uniforme (MRU) • Conocer y aplicar las ecuaciones de posición y velocidad en el MRU

• Construir, interpretar y analizar gráficos de posición y velocidad en función del tiempo para el MRU.

• Calcular e interpretar el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo en el MRU

En el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), la aceleración del móvil es nula (a0 = 0), por lo que tambien se denomina movimiento con velocidad constante. Con referencia a la figura 9, se puede determinar que la velocidad V0 del cuerpo está dada por:

1 2

1 2 0

t t

x x V

− −

= [6]

De [6] se puede despejar la diferencia de posiciones X2 – X1:

(

2 1

)

0

1

2 x V t t x − = ⋅ − [7]

En la figura 8 se muestra el gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRU. El área bajo la curva achurada A entre t1 y t2 es igual a:

(

2 1

)

0 t t V

A= ⋅ − [8]

Comparando las ecuaciones [7] y [8] se llega fácilmente a la conclusión de que A = X2 – X1,

por lo que el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de posición del móvil entre tales instantes.

Si en la ecuación [7] hacemos los siguientes reemplazos: • t1 = 0 ⇒ X1 = X0 (posición inicial)

• t2 = t ⇒ X2 = X(t)

0 x

t = t₁ t = t₂

X(t₁) = X₁ X(t₂) = X₂

V₀

Figura 9) Movimiento con velocidad constante

Figura 10) Gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRU

Se llega a la ecuación de posición para un móvil en MRU

t V X

X(t)= 0+ 0 [9]

La ecuación [9] corresponde a la ecuación de una recta, cuyo gráfico se aprecia en la figura 9. En este gráfico:

• La posición inicial X0 corresponde al intersecto de la recta con el eje de las ordenadas.

• La velocidad V0 es la pendiente del gráfico.

Retardo y adelanto en MRU

Considere tres móviles moviéndose a la misma velocidad V0 y partiendo desde la misma posición inicial X0. Uno de ellos parte en t = 0 y su ecuación de posición es X

( )

t =X0+V0⋅t; el segundo parte

con un retardo de T respecto del primero, y su ecuación de posición es

( )

t X V t

XR = 0R+ 0⋅ ; el tercer móvil,

en tanto, parte con un adelanto de T respecto del primero, y su ecuación de posición es XA

( )

t =X0A+V0⋅t.

Estas posiciones se muestran en el gráfico de la figura 7.

Del gráfico se puede deducir que:

• X0R=X0−V0⋅T, de donde XR

( )

t =X0 −V0⋅T+V0⋅t=X0 +V0⋅

(

t-T

)

• X0A=X0+V0⋅T, de donde XA

( )

t =X0+V0⋅T+V0⋅t=X0+V0⋅

(

t+T

)

Ejemplo

Considere los móviles A y B de la figura 8, donde D = 60 [km], VA = 5 [m/s] y VB = 7 [m/s]. Determine el instante y posición de encuentro si:

X

₀

X(t)

t

V

₀

Figura 9) Gráfico de posición v/s tiempo para un móvil con MRU

X

t

T

-T

X₀

X_0R X_0A

X_A(t) X(t) X_R(t)

Figura 10) Retardo y adelanto en el MRU

V_A V_B

D

0 x

(5)

a) A y B parten simultáneamente en t = 0 b) B parte 3 [s] después que A

c) B parte 3 [s] antes que A

Desarrollo:

Pregunta a) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:

( )

t V t 5 t XA = A⋅ = ⋅

( )

t D V t 60-7 t

XB = − B⋅ = ⋅

En el instante en que A y B se encuentran, XA(t) = XB(t). Luego:

[ ]

s 5 t 60 t 12 t 7 -60 t

5⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =

Evaluando el tiempo obtenido en cada una de las ecuaciones de posición:

( )

5 5 5 25

[ ]

m

XA = ⋅ =

( )

5 60-7 5 60-35 25

[ ]

m

XB = ⋅ = =

Pregunta b) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:

( )

t V t 5 t XA = A⋅ = ⋅

( )

t D V

(

t-3

)

60-7

(

t-3

)

60 7 t 21 81 7 t

XB = − B⋅ = ⋅ = − ⋅ + = − ⋅

[ ]

s 6.75 t 81 t 12 t 7 -81 t

5⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =

(

6.75

)

5 6.75 33.75

[ ]

m

XA = ⋅ =

(

6.75

)

81-7 6.75 81-47.25 33.75

[ ]

m

XB = ⋅ = =

Pregunta c) Las ecuaciones de posición de A y B están dadas por:

( )

t V t 5 t XA = A⋅ = ⋅

( )

t D V

(

t 3

)

60-7

(

t 3

)

60-7 t 21 39 7 t

XB = − B⋅ + = ⋅ + = ⋅ − = − ⋅

[ ]

s 3.25 t 39 t 12 t 7 -39 t

5⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =

(

3.25

)

5 3.25 16.25

[ ]

m

XA = ⋅ =

(

3.25

)

39-7 3.25 39-22.75 16.25

[ ]

m

(6)

3) Movimiento con aceleracion constante o Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) • Conocer y aplicar las ecuaciones de posición, velocidad y aceeración en el MRUA • Construir, interpretar y analizar gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del

tiempo para el MRUA.

• Calcular e interpretar el área bajo la curva de los gráficos velocidad v/s tiempo y aceleración v/s tiempo en el MRUA

• Conocer y aplicar la expresión v v 2 a0 D 2

1 2

2 − = ⋅ ⋅∆

• Relacionar los conceptos de “móvil acelerando” y “móvil frenando” con los sentidos de aceleración y velocidad

• Resolver gráfica y analíticamente problemas de encuentro entre dos móviles con MRU y/o MRUA

En el movimiento rectilíneo uniforme (MRUA), la aceleración del móvil es una constante no nula (a0 ≠ 0), por lo que tambien se denomina movimiento con aceleración constante. Con referencia a la figura 12, se puede determinar que la aceleración a0 del cuerpo está dada por:

1 2

1 2 0

t t

V V a

− − = [10]

De [10] se puede despejar la diferencia de velocidades V2 – V1:

(

2 1

)

0

1

2 V a t t V − = ⋅ − [11]

En la figura 13 se muestra el gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRUA. El área bajo la curva achurada A entre t1 y t2 es igual a:

(

2 1

)

0 t t a

A= ⋅ − [12]

Comparando las ecuaciones [11] y [12] se llega fácilmente a la conclusión de que A = V2 – V1, por lo que el área bajo la curva del gráfico aceleración v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de velocidad del móvil entre tales instantes.

0 x

t = t₁ t = t₂

V(t1) = V1 V(t2) = V2

X(t₁) = X₁ X(t₂) = X₂ a0

Figura 12) Movimiento con aceleración constante

Figura 13) Gráfico de aceleración v/s tiempo para un MRUA

Si en la ecuación [11] hacemos los siguientes reemplazos:

• t1 = 0 ⇒ V1 = V0 (velocidad inicial) • t2 = t ⇒ V2 = V(t)

Se llega a la ecuación de velocidad para un móvil en MRUA

t a V

V(t)= 0+ 0 [13]

La ecuación [13] corresponde a la ecuación de una recta, cuyo gráfico se aprecia en la figura 14. En este gráfico:

• La velocidad inicial V0 corresponde al intersecto de la recta con el eje de las ordenadas.

• La aceleración a0 es la pendiente del gráfico.

En la figura 15 se observa el mismo gráfico anterior, pero con el área A bajo la curva entre t = t1 y t = t2 achurada. Del análisis anterior, sabemos que el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s tiempo entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de posición del móvil entre tales instantes. Así:

(

)

(

2 1

)

2 1 1

2 t -t

2 v v x -x

A= = + [14]

Reemplazando v2 de v2=v1+a0

(

t2−t1

)

se llega a:

(

)

[

]

(

2 1

)

1

2 0 1 1 1

2 t -t

2 t -t a v v x

-x = + + [15]

Desarrollando convenientemente la expresión anterior, se llega a:

(

)

(

)

2

1 2 0 1 2 1 1

2 a t -t

2 1 t -t v x

-x = + [16]

Si en la ecuación [16] hacemos los siguientes reemplazos: • t1 = 0 ⇒ X1 = X0 (posición inicial) y V1 =V0 (velocidad inicial) • t2 = t ⇒ X2 = X(t)

Se llega a la ecuación de posición para un móvil en MRUA

V

₀

V(t)

t

a

₀

Figura 14) Gráfico de velocidad v/s tiempo para un MRUA

t

V

₀

V(t)

a

₀

V

₁

V

₂

t

₁

t

₂

(7)

2 0 0

0 a t

2 1 t V X

X(t)= + + [17]

La ecuación [17] corresponde a la ecuación de una parábola, cuyo gráfico se aprecia en la figura 16. En este gráfico:

• La posición inicial X0 corresponde al intersecto de la recta con el eje de las ordenadas, que corresponde al instante t = 0.

• La velocidad V0 es la pendiente de la recta tangente al gráfico en el instante t = 0.

• La aceleración a0 está

relacionada con la abertura de la parábola.

o Para a0 > 0 la parábola se abre hacia el eje positivo de las ordenadas, mientras que para a0 < 0 la parábola se abre hacia el eje negativo de las ordenadas.

o Mientras mayor sea la magnitud de a₀, más “cerrada” es la parábola.

Relación independiente del tiempo.

De la ecuación [10] se puede despejar la diferencia entre los instantes como:

0 1 2 1 2

a V V t

t − = − [18]

Reemplazando [18] en [14]:

(

) (

)

D a 2 V V a 2

V V a

V V 2

v v x -x

D 0

2 1 2 2 0

1 2 2 1 1

2 ⇒ − = ⋅ ⋅∆

⋅ − = − +

= =

∆ [19]

La ecuación [19] resulta extremadamente útil para analizar MRUA sin saber nada acerca del tiempo.

Móvil “acelerando” y móvil “frenando”

Diremos que un móvil con MRUA está acelerando cuando su rapidez (magnitud del vector velocidad) aumenta con el tiempo. Ello se produce cuando su vector velocidad y su vector aceleración tienen la misma orientación (₊xˆ_ó_-_xˆ_).

X

t X₀

V₀

a

₀

> 0

a

₀

< 0

Figura 16) Gráfico de posición v/s tiempo para un móvil con MRUA

Por el contrario, diremos que un móvil con MRUA está frenando cuando su rapidez disminuye con el tiempo. Ello se produce cuando su vector velocidad y su vector aceleración tienen orientaciones opuestas entre sí.

Todo esto se resume en la siguiente tabla:

Situación Orientación

( )

t V

r Orientación

( )

t A

r Orientación

del movimiento

( )

t V

r

Móvil…..

( )t V

r ( )t A

r

x

ˆ

+

x

ˆ

₊

x

ˆ

Aumenta Acelerando

( )t V

r ( )t A

r

x

ˆ

+

-

x

ˆ

₊

_x

ˆ

Disminuye Frenando

( )t V

r A( )t r

x

-

ˆ

₊

_x

ˆ

_-

_x

ˆ

Disminuye Frenando

( )t V

r A( )t r

x

-

ˆ

-

x

ˆ

_-

_x

ˆ

Aumenta Acelerando

Análisis de Discriminante

Considere el siguiente problema, ilustrado en la figura 17: Dos autos A y B se mueven en la siguiente forma: en cierto instante el auto A parte del reposo y se mueve con aceleración aA = 2,5 [m/s2] constante; en ese mismo instante el auto B pasa por un punto situado a distancia D = 80 [m] detrás de la largada de A con una rapidez V0 y se mueve con aceleración aB = -0,70 [m/s2_{] constante.}_{Calcule el}

valor mínimo de V0 para que B pueda alcanzar a A. Para tal valor de V0 calcule el tiempo

empleado por B para alcanzar a A y las velocidades de A y B en el instante del encuentro.

A partir de la figura 14, considerando como referencia (X = 0) la posición inicial de B, se pueden plantear las siguientes ecuaciones de posición y velocidad para ambos vehículos:

( )

2

A 2.5t

2 1 80 t

X = + ⋅ [20a]

2.5t (t)

VA = [20b]

A

B

80 [m]

X

a

_A

a

_B

V

₀

(8)

( )

2 0 B 0.7t 2 1 t V t

X = − ⋅ [21a]

0.7t V (t)

VB = 0− [21b]

Cuando los móviles se encuentran, las posiciones de ambos se igualan. Esto es:

( )

2

0 2 B A 0.7t 2 1 t V 2.5t 2 1 80 t X t

X = ⇒ + ⋅ = − ⋅ [22]

Desarrollando [22], se llega a la ecuación de segundo grado 1.6t V0t 80 0 2₋ ₊ ₌

, que al resolverla da la siguiente solución:

3.2 ∆ V 2·1.6 80 1.6 4 V V

t 0 0 0

2 ± = ⋅ ⋅ − ±

= [23]

:

Donde ∆=V02−512 es el discriminante de la

ecuación de segundo grado. A partir de su análisis se puede relacionar su valor con lo que sucede con los móviles A y B.

• Si ∆ < 0 (figura 18a), la raíz del discriminante es compleja y la ecuación [23] no tiene solución real. En términos de los móviles, esto significa que B no alcanza a cruzarse con A. Llega a una distancia mínima de A, pero no lo alcanza.

• Si ∆ > 0 (figura 18b), la raíz del discriminante es real y la ecuación [23] tiene dos soluciones reales distintas. En términos de los móviles, esto significa que B sobrepasa a A, y posteriormente A sobrepasa a B.

• Si ∆ = 0 (figura 18c), la raíz del discriminante es nula y la ecuación [23] tiene una única solución real. En términos de los móviles, esto significa que B alcanza justo a cruzarse con A antes de que éste último se escape.

El V0 mínimo necesario para que B alcance a A se da para el caso ∆ = 0. Luego:

[ ]

m_s 22.63 512 V 512 V 0

∆ 0 0

2 = = ⇒ = ⇒ = [24]

(a)

(b)

(c)

Figura 18) Análisis de discriminante. a) ∆ < 0; b) ∆ > 0; c) ∆ = 0.

Reemplazando [24] en [23], se puede calcular el instante en que B alcanza a A

[ ]

s 7,071 3.2

0 V t₌ 0+ ₌

[25]

Finalmente, reemplazando [24] y [25] en [20b] y [21b], se encuentran las velocidades de los móviles en el instante del encuentro

[ ]

m_s 17.678 (7.071)

VA = [26a]

[ ]

m_s 17.678 (7.071)

VB = [26b]

Se observa que las velocidades de ambos móviles son iguales en el instante del encuentro.

Ejemplo

Considere los móviles A y B mostrados en la figura 19. Considere que D = 25 [m], VA0 = 5 [m/s], aA = 6 [m/s2], VB0 = 3 [m/s] y aB = 2 [m/s2]. Determine el instante y posición de encuentro si:

a) A y B parten simultáneamente en t = 0

b) B parte 1 [s] después que A

Desarrollo:

Pregunta a) las ecuaciones de posición de A y B son

( )

2 2 2

A A0

A 6 t 5 t 3 t

2 1 t 5 t a 2 1 t V t

X = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

( )

2 2 2

B B0

B 1 t 25 3 t t

2 1 t 3 25 t a 2 1 t V D t

X = + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ +

0 25 -t 2 t 2 t t 3 25 t 3 t

5 2 2 2

= ⋅ + ⋅ ⇒ + ⋅ + = ⋅ + ⋅

Resolviendo la ecuación de 2º grado:

[ ]

s yt -4.07

[ ]

s 3.07 t 4 204 2 2 2 25 2 4 2 2

t 1 2

2 = = ⇒ ± − = ⋅ ⋅ ⋅ + ± − = V_B0

D

0 x

V_A0

aA aB

(9)

Aunque desde un punto de vista matemático ambas soluciones son correctas, desde un punto de vista físico sólo tiene sentido el valor positivo, correspondiente a t1 = 3.07 [s]. Luego:

(

3.07

)

5 3.07 3

(

3.07

)

43.64

[ ]

m

XA = ⋅ + ⋅ 2 =

(

3.07

)

25 3 3.07

(

3.07

)

43.64

[ ]

m

XB = + ⋅ + 2=

Pregunta b) las ecuaciones de posición de A y B son

( )

2 2 2

A A0

A 6 t 5 t 3 t

2 1 t 5 t a 2 1 t V t

X = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t-1

) (

t-1

)

25 3 t 3 t 2 t 1 t t 23 0 3 25 1 -t 1 2 1 1 -t 3 25 1 -t a 2 1 1 -t V D t X 2 2 2 2 2 B B0 B = + + = + ⋅ − + − ⋅ + = + ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ + =

0 23 -t 4 t 2 t t 23 t 3 t

5_⋅ ₊ _⋅ 2 ₌ ₊ ₊ 2_⇒ _⋅ 2₊ _⋅ ₌

Resolviendo la ecuación de 2º grado:

[ ]

s yt -4.54

[ ]

s 2.54 t 4 200 4 2 2 23 2 4 4 4

t 1 2

2 = = ⇒ ± − = ⋅ ⋅ ⋅ + ± − =

Aunque desde un punto de vista matemático ambas soluciones son correctas, desde un punto de vista físico sólo tiene sentido el valor positivo, correspondiente a t1 = 2.54 [s]. Luego:

(

2.54

)

5 2.54 3

(

2.54

)

31.96

[ ]

m

XA = ⋅ + ⋅ 2=

(

2.54

)

23 2.54

(

2.54

)

31.96

[ ]

m

XB = + + 2 =

4) Movimiento con aceleración variable

• Relacionar expresiones de x(t), v(t) y a(t) para el caso de acaleración variable. • Interpretar gráficos.

Hasta aquí, se ha analizado el caso simplificado de moviminto rectilíneo horizontal con aceleración constante. Para analizar movimientos más complejos, en los

cuales la acelearción también es una funció del tiempo, se ha necesario usar herramientas matemáticas más avanzadas, como cálculo diferencial (también se puede hacer usando cálculo integral, pero en este curso no se usará pues van a aprender a integrar en Matemática II)

Considere la situación de la figura 20. La velocidad media del móvil entre t1 y t2 está dada por:

1 2 1 2 2 1 t t X X V − − =

→ [27]

Considere que t1 = t y t2 = t + ∆t. Luego, X1 = X(t) y X2 = X(t + ∆t). Reemplazando en [27]

(

)

( )

t t X t t X V₁ ₂

∆ − ∆ + =

→ [27a]

Al aplicar el límite de [27a] cuando ∆t→0, se obtiene la velocidad instantánea del móvil, es decir,

( )

t V V lim_t_→₀ 1→2 =

∆ . Aplicando la definición de derivada:

( )

(

)

( )

dt dX t X' t t X t t X lim t V V lim 0 t 2 1 0

t _∆ = =

− ∆ + = = → ∆ → → ∆ [27b]

En otras palabras, la primera derivada de la función de posición del móvil corresponde a su función de velocidad instantánea.

Por otra parte, respecto a la figura 20, la aceleración media de cambio de posición del móvil (o “rapidez media de cambio de la velocidad instantánea del móvil”) entre t1 y t2 se define como:

1 2 1 2 2 1 t t V V A − − =

→ [28]

Considere que t1 = t y t2 = t + ∆t. Luego, V1 = V(t) y V2 = V(t + ∆t). Reemplazando en [28]

(

)

( )

t t V t t V A1 2

∆ − ∆ + =

→ [28a]

0 x

t = t₁ t = t₂

V(t₁) = V₁ V(t₂) = V₂

X(t₁) = X₁ X(t₂) = X₂

a₀

(10)

Al aplicar el límite de [28a] cuando ∆t→0, se obtiene la aceleración instantánea del móvil, es decir,

( )

t A A lim 1 2

0 t

=

→ →

∆ . Aplicando la definición de derivada:

( )

(

)

( )

dt dV t V' t

t V t t V lim t A A lim

0 t 2

1 0

t _∆ = =

− ∆ + =

=

→ ∆ →

→

∆ [28b]

En otras palabras, la primera derivada de la función de velocidad instantánea del móvil corresponde a su función de aceleración instantánea.

A partir de [27b] y [28b] se puede deducir que

( )

₂

2 dt V d dt dX dt d t V dt

d dt dV t

A =

     = =

= , es decir,

que la segunda derivada de la ecuación de posición del móvil es igual a su ecuación de aceleración instantánea.

Por otra parte, la idea de “área bajo la curva” (analizada para el caso de aceleración constante) se puede extender para el movimiento con aceleración variable. En general:

• El área bajo la curva A(t) v/s t entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de velocidad instantánea del móvil entre tales instantes V(t2) – V(t1)

• El área bajo la curva V(t) v/s t entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de posición del móvil entre tales instantes X(t2) – X(t1)

A partir de la idea de área bajo la curva se define el concepto de integral. Se puede demostrar (no lo haremos, pues para ello primero tienen que estudiar cálculo integral) que:

• Al integrar A(t) se obtiene V(t) • Al integrar V(t) se obtiene X(t)

Todo lo anterior se resume en la figura 21

x v a

t t t

Pendiente Pendiente

( )

[

x

( )

t

]

dt d t

v = ( )

[

v( )t

]

dt d t a =

Area bajo la curva

( )

t a

( )

t dt v =

∫

⋅

Area bajo la curva

( )

t v

( )

t dt x =

∫

⋅