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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE PEDAGOGÍA Y CULTURA FÍSICA
MONOGRAFÍA
EL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LA NUMERACIÓN
EN EDUCACIÓN PRIMARIA
Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº 0919-2016-D-FPYCF
Presentada por:
Emilia GUERRERO MAÑUICO
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: A.P. Educación Primaria
A.S. Educación Básica Alternativa
LIMA – PERÚ
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MIEMBROS DEL JURADO
RESOLUCIÓN Nº 0919-2016-D-FPYCF
_____________________________________
Dr. Miguel Alejandro JARA AHUMADA
Presidente
_______________________________
Dr. Juan Teobaldo CAJAVILCA SALINAS
Secretario
_______________________________
Mg. Luis Kleiber HUARCA CARRANZA
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DEDICATORIA
A mis padres y maestros que en
importantes momentos de mi vida
han ido orientándome para ser
mejor persona y profesional.
Dándome la fortaleza y la sabiduría
para seguir avanzando en favor de
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ÍNDICE
DEDICATORIA ... 3
INTRODUCCIÓN ... 7
CAPÍTULO I ENFOQUES DE LA ENSEÑANZA PARA LA NUMERACIÓN 1.1. EL ENFOQUE PSICOGENÉTICO DE JEAN PIAGET ... 10
1.1.1. Adquisición del aprendizaje de conocimientos ... 11
1.1.2. Concepción piagetana de la estructura cognitiva en el aprendizaje ... 12
1.1.3. El estudio del desarrollo evolutivo del niño ... 12
1.1.4. La influencia del lenguaje en el aprendizaje de la matemática.. 14
1.2. EL ENFOQUE ESTRUCTURALISTA DE JEROME BRUNER... 15
1.2.1. El sistema lógico en el proceso de aprendizaje... 16
1.2.2. El sistema de representaciones y el aprendizaje ... 17
1.3. EL ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA DE DAVID AUSUBEL Y SU APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO ... 18
1.3.1. Tipos de aprendizaje ... 18
1.3.2. Modos de adquisición del aprendizaje ... 19
1.4. EL ENFOQUE SOCIOCULTURAL DE LEV VYGOTSKY ... 21
1.4.1. El rol mediador en el aprendizaje ... 21
1.4.2. Zonas de desarrollo en el proceso de aprendizaje ... 22
1.4.3. Labor docente dentro de la Zona de Desarrollo próximo ... 23
1.4.4. El aprendizaje y el contexto social ... 24
CAPÍTULO II SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO 2.1 DESARROLLO DE NOCIONES MATEMÁTICAS ... 26
2.1.1. Noción de espacio ... 27
2.1.2. Noción de posición ... 29
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2.1.4. Noción de magnitud ... 29
2.1.5. Noción de longitud ... 30
2.1.6. Noción de superficie ... 30
2.1.7. Noción peso ... 30
2.1.8. Noción de tiempo ... 31
2.1.9. Noción del número ... 31
2.2 RELACIONES ESPACIO – TEMPORALES ... 31
2.2.1. Estructuración espacio – temporal ... 32
2.2.2. Desarrollo espacio – temporal ... 32
2.3. CONJUNTOS ... 34
2.3.1. La cardinalidad y la ordinalidad en los conjuntos ... 34
2.3.2. Determinación de conjuntos ... 35
2.3.3. Relación de inclusión ... 37
2.3.4. Relación de pertenencia ... 38
2.4. NOCIONES PRENUMÉRICAS ... 39
2.4.1. La clasificación ... 40
2.4.2. Conservación de la cantidad y equivalencia ... 41
2.4.3. La seriación ... 45
2.5. LA CLASIFICACIÓN Y LA SERIACIÓN EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA46 CAPÍTULO III ACCIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO 3.1 CONSTRUCCIÓN DE NÚMERO DESDE LA ANTIGÜEDAD ... 50
3.2 EL SISTEMA CARDINAL ... 52
3.2.1. La idea de uno (la unicidad) ... 52
3.2.2. La coordinabilidad ... 53
3.2.3. El registro ... 53
3.2.4. Las etiquetas ... 54
3.2.5. La cardinalidad ... 54
3.3 EL SISTEMA ORDINAL ... 56
3.3.1. El orden ... 56
3.3.2. El sistema de numeración ... 56
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3.3.4. Los adjetivos matemáticos ... 57
3.3.5. La ordinalidad ... 57
3.4 EL CONTEO ... 58
3.4.1. La abstracción de cantidad ... 59
3.4.2. El orden estable ... 59
3.4.3. La irrelevancia en el orden ... 59
3.4.4. La biunivocidad ... 60
3.4.5. La cardinalidad en el conteo ... 60
3.4.6. Aplicación del conteo en el aula ... 61
CAPÍTULO IV PROCESOS DE ADQUISICIÓN DEL NÚMERO 4.1 PROCESOS DEL PENSAMIENTO ... 63
4.1.1. Desarrollo del pensamiento sensorial ... 63
4.1.2. Desarrollo del pensamiento racional ... 64
4.1.3. Desarrollo del pensamiento lógico ... 64
4.2 PROCESOS DEL PENSAMIENTO PARA LA ADQUISICIÓN DEL NÚMERO ... 65
4.2.1. Observar ... 65
4.2.2. Clasificar ... 65
4.2.3. Relacionar ... 66
4.2.4. Abstraer ... 68
4.2.5. Inducir ... 68
4.2.6. Deducir... 70
4.2.7. Razonar ... 71
4.2.8. Generalizar ... 72
APLICACIÓN DIDÁCTICA ... 73
CONCLUSIÓN ... 79
SUGERENCIAS ... 80
7 INTRODUCCIÓN
Si bien, en la última evaluación ECE en el área de Matemática del 2016 los niños en el Perú han mostrado una mejora del 7,5% en resolución de problemas con respecto al año anterior, aún queda mucho por mejorar con respecto a la enseñanza y al aprendizaje de esta área, en particular de la numeración, ya que constituye la base fundamental para un óptimo desarrollo del pensamiento lógico matemático en los niños.
En la actualidad, el proceso del aprendizaje de la numeración está bastante influenciado por el enfoque constructivista y sociocultural, en la que el niño es consciente de su aprendizaje y construye su propio conocimiento dentro de un contexto social. Sin embargo, en las aulas aún encontramos maestros que están bastante arraigados a los modelos conductistas. Se suma a ello el escaso conocimiento que tienen sobre el desarrollo del número, de las nociones matemáticas, de cómo está construido el sistema decimal y sobre todo de cuáles son los procesos cognitivos que se generan durante su aprendizaje. Lo cual conlleva irremediablemente aun aprendizaje técnico, mecánico y sin ninguna significatividad.
Ante esta problemática la presente monografía pretende brindar las principales teorías pedagógicas que contribuyen a una enseñanza y aprendizaje de la Matemática basada en el enfoque constructivista y sociocultural en la que el niño, como eje principal, se apropia del número y del sistema que lo gobierna. Además, partiendo de los estudios de Piaget se tratará sobre los saberes previos que el niño necesita para la construcción del número.
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maestros podrán promover el desarrollo de estos procesos en las aulas para generar aprendizajes con mayor demanda cognitiva.
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CAPÍTULO I
ENFOQUES DE LA ENSEÑANZA PARA LA NUMERACIÓN
El trabajo docente implica una toma constante de decisiones dentro del aula, sobre todo en la aplicación de estrategias para brindar una enseñanza eficaz y obtener aprendizajes significativos que estén acordes al desarrollo evolutivo del niño (a).
Justamente esta es la problemática que se presenta en la actualidad en las aulas de clase. Donde los docentes aplican “estrategias” empíricas y en otros casos simplemente cumplen una labor de cuidadores. Por otro lado, se planifican contenidos numerosos, con temas poco significativos y que no están ligados a la etapa en la que se encuentra el niño(a).
Esta mala praxis docente, marca un quiebre en el desarrollo del pensamiento y de la inteligencia, creando conocimientos momentáneos o aprendizajes memorísticos que ocultan la incapacidad del acto del pensar. Estos hechos son la causa, en su mayoría, del fracaso escolar, de la pérdida de la comprensión y del desarrollo del pensamiento. Perjudica también, a la parte afectiva, aumentando su inseguridad, disminuyendo su capacidad de afrontar cosas novedosas o llegando a la etiqueta de “No sirvo para estudiar” o “No soy bueno para los estudios”.
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contribuido con la labor docente; pero sí son los más relevantes en cuanto al estudio de la adquisición de conceptos y números; así como del desarrollo del pensamiento lógico.
1.1. EL ENFOQUE PSICOGENÉTICO DE JEAN PIAGET
Jean Piaget ha sido considerado por muchos autores dentro de la rama del estructuralismo, debido a que su teoría se basa en que el aprendizaje se obtiene a través de un proceso de modificaciones estructurales a nivel cerebral. Sin embargo, también podemos situarlo dentro del constructivismo; puesto que, para él, el aprendizaje es una construcción interna que hace el niño(a), en el que los factores socioculturales tienen mucha relevancia.
Los estudios de Jean Piaget han dado luces sobre cómo es el desarrollo evolutivo del niño conocimiento necesario para que el docente sepa cómo actuar frente a una determinada etapa del niño(a) hasta que llega a la edad adulta; así mismo han contribuido a desentrañar los misterios que se suscitan a nivel cognitivo (en la estructura cognitiva) durante el proceso de aprendizaje, explica cómo se inserta un nuevo conocimiento a la estructura existente.
¿Cómo aprende el niño? Para responder esta cuestión Piaget parte del estudio de la inteligencia. Para él la inteligencia es un proceso de adaptación (Flores, 2006). Este proceso tiene dos momentos: la asimilación y la acomodación.
La asimilación es el proceso mediante el cual el niño experimenta directamente a través de sus sentidos con el medio, esta información es recibida por los esquemas en la estructura cognitiva generando un desequilibrio.
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Luego que la estructura cognitiva tiene asimilado y acomodado el nuevo conocimiento aprendido se llega a un estado de equilibrio y se da la adaptación; razón por la cual un niño(a) se hace más competente en una determinada materia (ya está adaptado) o aumenta su capacidad de inteligencia.
1.1.1. Adquisición del aprendizaje de conocimientos
El proceso de aprendizaje para Piaget supone una constante dinámica entre equilibrio y desequilibrio. Es decir, una vez que el niño(a) se encuentra en el estado de equilibrio se le debe presentar una nueva situación lógica que desequilibre su estructura cognitiva. Por ejemplo:
El niño se encuentra en el proceso del conteo para determinar la cantidad de chapitas que se encuentra en el conjunto (asimilación). En una primera instancia el niño(a) no llega a determinar la cantidad exacta o duda, entonces vuelve a realizar el conteo, una vez que tiene el cardinal, con seguridad, lo menciona con una gran emoción: “es 15, hay 15 chapitas” (acomodación). Esta acomodación del conocimiento lleva al niño(a) a un estado de equilibrio adaptativo; sin embargo, no termina ahí. Se le presenta una nueva tarea al niño(a), su compañera de clases trae sus chapitas y los une con las suyas. Ahora cuántas chapas tiene. Se produce un nuevo desequilibrio y posteriormente se dará la acomodación del nuevo conocimiento.
ASIMILACIÓN ACOMODACIÓN
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Por tanto, el proceso por el cual el niño(a) desarrolla su inteligencia debe estar en constante dinamismo generando desequilibrios y acomodaciones de nuevos aprendizajes.
1.1.2. Concepción piagetana de la estructura cognitiva en el aprendizaje.
La estructura cognitiva (EC) es un sistema organizado para realizar la función de la inteligencia, este sistema es dinámico, tiene reglas operacionales y es un proceso en la que se produce la asimilación, la acomodación y el equilibrio favoreciendo el aprendizaje.
Estas estructuras están formadas por esquema, que son ideas mentales con respecto a una experiencia, pueden ser actos reflejos, aprendizajes construidos a través de la experiencia o a través de la información. En la EC hay miles de esquemas, de aprendizaje que el niño(a) posee de acuerdo al contacto y manipulación con el medio.
Los esquemas están en constante relación con la información que proviene del medio. Generándose los procesos de asimilación y de
acomodación, finalizando con el equilibrio. Estos procesos se dan entre los esquemas ya existentes o con un esquema nuevo que se quiere asimilar. Por ello, se afirma que los esquemas son subestructuras que están en constante modificación, favoreciendo la adaptación de la estructura cognitiva, llegando a un equilibrio entre ellos y creando nuevos esquemas y nuevos aprendizajes.
1.1.3. El estudio del desarrollo evolutivo del niño.
El periodo sensomotor que va de 0 a 2 años se caracteriza principalmente por el contacto con las experiencias sensoriales inmediatas y en los movimientos corporales. En este estadio el niño capta la noción de tiempo, espacio, las relaciones de causa y efecto, y adquiere la noción importante de “permanencia del objeto”, conocimiento que va a ser base para adquirir la idea
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cero. Así mismo tienen una noción de adentro, afuera, arriba, abajo. Se caracteriza principalmente por ser egocentrista, por realizar acciones repetitivas, por experimentar y por imitar acciones de otros. En este estadio el niño no entiende mucho el lenguaje y por consiguiente no puede usarlo.
El periodo pre operacional, de 2 – 7 años. En esta fase el niño se guía más
por su intuición que por la lógica; sin embargo, su percepción lógica está más desarrollado que en el estadio anterior, pues ha adquirido un pensamiento simbólico conceptual que a su vez Piaget lo divide en: pensamiento simbólico no verbal y el verbal. En el pensamiento simbólico no verbal el niño usa los objetos de una manera diferente, puede coger su zapato y lo usa como si fuese un carro.
También puede jugar una infinidad de juegos en un solo día o a dormir aun siendo de día. El pensamiento simbólico verbal lo adquiere con el uso del lenguaje, donde el niño va atribuyendo signos verbales a los objetos. El lenguaje le permite conocer más de su entorno por medio de sus preguntas. Sin embargo, para el niño la utilización de ella le puede ser frustrante y confusa; pues le va a costar mucho tiempo poder dominarla. El hecho que caracteriza esta fase es en esencia la adquisición de lenguaje y su dominio.
El cambio que se da entre los cinco y siete años, son de gran trascendencia. Ya que va comprendiendo el lenguaje matemático, (izquierda, derecha, mayor menor), y alcanza un C.I. más estable. Cada niño pasa del razonamiento pre lógico al lógico, en diferentes edades; en forma lenta pero progresiva y continua.
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realiza las operaciones básicas desarrollando así el pensamiento lógico matemático.
En este sub periodo, el niño no maneja lo hipotético ni lo abstracto, no puede asumir un tiempo irreal o una realidad inexistente y es dependiente de lo concreto.
El periodo de las operaciones formales, de 11 – a más. Los niños (adolescentes) de este estadio se caracterizan por poseer una lógica combinatoria; que es resolver problemas realizando todas las combinaciones posibles de forma ordenada y sistemática, no al azar. Poseen un pensamiento hipotético e irreal, con ello pueden resolver problemas y analogías con situaciones inexistentes. De igual manera realizan experimentaciones científicas sin mayor problema para comprenderlos, analizarlos y derivar una conclusión.
1.1.4. La influencia del lenguaje en el aprendizaje de la matemática
El lenguaje es el pivote para el desarrollo del pensamiento lógico. Su adquisición se encuentra en el periodo pre operacional y adquiere mayor relevancia cuando el niño alcanza los 5 – 6 y 7 años.
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razonamiento lógico; lo cual hace que la experiencia de aprendizaje matemático sea asimilada con mayor rapidez y sea significativo.
Este proceso de reflexión y transmisión de sus procesos a través del lenguaje influencia en gran medida, según Piaget, al desarrollo de la inteligencia, del pensamiento lógico y lo hace más competente en determinada materia.
1.2. EL ENFOQUE ESTRUCTURALISTA DE JEROME BRUNER
La teoría de aprendizaje Bruner hace referencia principalmente a una función activa del estudiante, del cual depende el aprendizaje significativo de la matemática. Bajo este enfoque el docente debe propiciar situaciones en la que el estudiante esté en permanente contacto con la realidad de manera tangible o vivencial, ya sea con materiales o provocando situaciones problemáticas en las que pueda hallar las relaciones entre los objetos, o pueda encontrar las características y los detalles que lo van a inducir a establecer propiedades o afirmaciones generales.
Bruner propone un aprendizaje de la matemática basado en una experimentación activa donde se priorice un pensamiento inductivo; así el niño pasará de los detalles, características y ejemplos a la elaboración de una propiedad o principio general.
16 1.2.1. El sistema lógico en el proceso de aprendizaje
Bruner, plantea que el proceso de la formación del pensamiento y de la construcción del pensamiento se dan por la intervención de dos sistemas: el lógico y el de representaciones. Ambos sistemas están estrechamente relacionados, donde el representativo es dependiente del lógico; ya que las representaciones serán o no significativos de acuerdo a las operaciones lógicas que la construyen.
El sistema lógico permite al niño captar la información significativa del medio, organizarla y luego operar sobre esta misma. Se puede captar la realidad a través de tres formas o también llamados códigos por Mounoud (1983).
El primero es el código sensorial; es la información que obtiene a través de las sensaciones que provoca cualquier objeto, circunstancia o hecho de la realidad. Luego le sigue el código perceptual; es la información que adquiere por medio de las imágenes y que es posible guardarla en la memoria y evocar su recuerdo. Y por último el código conceptual; es la información que se adquiere a través del signo o de la palabra, esta forma sustituye a la forma sensorial y perceptual y los transforma en códigos lingüísticos. Este proceso de adquisición de información produce dos tipos de conocimientos:
✓ El conocimiento físico, que es el que detalla las propiedades directas de los objetos; sus características, su forma se presentación, su durabilidad, su importancia, etc. Y aquellas relaciones “posible-imposible”, “imprescindible-sustituible”
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que el niño realiza sobre los objetos en relación a sus propias acciones. (Flores Velazco, 2006)
1.2.2. El sistema de representaciones y el aprendizaje
El sistema de representaciones abarca las formas en la que el mundo matemático es recepcionado e internalizado por el niño(a). Además, este sistema comprende la forma cómo el niño representa y manifiesta su mundo matemático.
✓ La representación enactiva.- representa al mundo a través de la acción y de la actividad motriz. Esta representación es muy importante en la infancia.
✓ La representación icónica. - es la que se realiza a partir de la acción y mediante el desarrollo de las imágenes, estas representan eventos perceptivos con la misma fidelidad, pero del modo convencionalmente selectivo en que una pintura representa al objeto en ella retratado.
✓ La representación simbólica. - expresa objetos y acontecimientos por medio de características formales entre las que destacan el distanciamiento y la arbitrariedad. Surge cuando se internaliza el lenguaje como instrumento de cognición.
18 1.3. EL ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA DE DAVID AUSUBEL Y SU
APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
David Ausubel, nos propone un modelo de aprendizaje basado primordialmente en los conocimientos previos. Este hecho produce un aprendizaje significativo en contraposición al aprendizaje mecánico.
El aprendizaje significativo es un proceso que consiste en relacionar la nueva información con los conocimientos previos que existen en la estructura cognitiva de niño(a). El aprendizaje en este caso se relaciona de manera no arbitraria; con lo que el niño(a) ya sabe, y es influenciado en gran medida por la actitud y predisposición del niño al nuevo aprendizaje. (Ausubel, 1976)
Ausubel, recalcó muy enfáticamente la importancia de los conocimientos previos para lograr un aprendizaje significativo: “si tuviese que reducir toda la psicología educativa en un solo principio enunciaría este: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto, y enséñele a partir de él” (Ausubel, 1976).
1.3.1. Tipos de aprendizaje
Ausubel planteó dos tipos de aprendizaje, según cómo estos son procesados en la estructura cognitiva El primero es el aprendizaje repetitivo o memorístico que se caracteriza por el manejo de la memoria o del entendimiento. Este aprendizaje induce al niño(a) a insertar un nuevo conocimiento que es ajeno a los conocimientos que el posee, haciéndolo
Conocimientos previos
Nueva información
Nueva estructura conceptual
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arbitrario, en el que el niño(a) solo repite lo que dice el profesor o sus compañeros sin entender el por qué.
En contraposición este está el aprendizaje significativo. Este aprendizaje es aquel que se ha interiorizado y relacionado con un conocimiento previo del niño(a), y que es posible evocarlo y explicarlo. Está sujeto también a una actitud de predisposición por parte del niño(a) hacia el aprendizaje.
Es concluyente que el aprendizaje que debemos conseguir en nuestros estudiantes es el significativo; para lo cual el docente tendrá disponer de los recursos materiales y humanos necesarios para las sesiones de clase en cualquier materia.
1.3.2. Modos de adquisición del aprendizaje
✓ Aprendizaje por recepción; donde el contenido de la información es dada al estudiante en su forma final, el niño no realiza ningún descubrimiento independiente. El trabajo en sí del estudiante consiste en internalizar o incorporar el conocimiento que se le brinda de tal modo que lo pueda recuperar cuando lo necesite: y es en este proceso, que se hace significativo. Este aprendizaje supone una mayor madurez cognoscitiva del niño.
✓ Aprendizaje por descubrimiento; es aquel, en el que no se le da el conocimiento general, sino que debe ser descubierto por el estudiante. Luego de ello, debe ajustar la información nueva, integrarla a su estructura cognitiva y reorganizarla. De esta forma se hace significativa.
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Ambos tipos de aprendizajes, pueden ser mecánicos o significativos según las condiciones en las que se presenten ante el niño. Por ello, Ausubel, afirma que existen ciertas condiciones para lograr un aprendizaje sea significativo: (Torres, 2007)
✓ El contenido debe tener sentido lógico; ser potencialmente significativo en su organización y estructuración
✓ Debe articularse con sentido psicológico, en la estructura cognitiva del niño.
✓ El niño debe tener deseos de aprender, la actitud debe ser positiva hacia el aprendizaje, debe tener voluntad de aprender.
Una de las formas para aplicar el aprendizaje significativo a la matemática, teniendo en cuenta los conocimientos previos es la ejemplificaremos de forma breve:
PROFESOR: Niños leamos estos números y observen las cantidades que hay en ellas.
NIÑOS:¡Hay …10,12,14,16,18,20….profesor¡
PROFESOR: Niños, díganme ¿está aumentado la cantidad o está disminuyendo?
NIÑOS: Está avanzando profesor, está aumentando.
PROFESOR: Entonces díganme... ¿Qué sigue del 10?
NIÑOS: El once profesor, el 11…
PROFESOR: Y ¿qué pasó con el 11?,… ¿A dónde se fue?
NIÑOS: También falta el 13 y el 15 profesor.
21 1.4. EL ENFOQUE SOCIOCULTURAL DE LEV VYGOTSKY
Las investigaciones de Lev Vigotsky son unas de las que se han enfocado directamente a la educación formal que se imparten en las aulas de clase. Y de ahí deviene la importancia de conocerlas y ponerlas en práctica en todas las materias. Es una teoría estrictamente funcional dentro de la sesión de aprendizaje.
El contexto social, el desarrollo de la cultura y el manejo adecuado del lenguaje como herramienta para adquirir conocimientos y poder insertarse a la sociedad, son básicamente los aspectos analizados dentro del enfoque Vigotskyano, para llegar al aprendizaje.
1.4.1. El rol mediador en el aprendizaje
Lev Vigotsky concibe el aprendizaje desde la idea de la actividad del ser humano, donde todos los procesos cognitivos, relacionados al aprendizaje, se adquiere a través de la acción que realiza el hombre frente a su contexto social, frente a un estímulo; relacionándose con ellos a través del lenguaje y de la cultura.
Basándose en esta acción, propone un rol mediador del docente dentro de las sesiones de aprendizaje; esto es, una actitud mediadora que facilite al niño obtener aprendizajes basados al Desarrollo Real (DR) que tiene este.
PROFESOR: No, no me olvidé. Vamos a ver. Ahora todos cojan sus materiales de las unidades y cuenten del 10 hasta el 12.
NIÑOS: Ya profesor; diez en mi cabecita, once, y doce.
PROFESOR: Observen ¿Cuántas unidades necesitaron para llegar al 12?
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El proceso aprendizaje no solo implica proporcionar estímulos al niño(a), como se afirmada desde el conductismo, puesto que los estudiantes no son seres pasivos, sin pensamiento o razonamiento. Desde la idea de que el hombre es un ser activo, un estudiante es una persona capaz de actuar frente a cualquier estímulo, modificándolo de acuerdo a sus necesidades de adaptación. Este actuar frente a los estímulos produce ciertas modificaciones internas a nivel cognitivo en el niño(a) que lo van a ayudar en el proceso de aprendizaje.
Este rol activo que tiene el niño(a) frente a los estímulos está regulado por la intervención de mediadores. Vigotsky distingue dos tipos de mediadores. Un mediador material, la herramienta, que va a actuar de forma directa con los estímulos, alterando la estructura y volumen de material con el cual el niño está trabajando. Y el segundo, son los mediadores simbólicos,
expresado principalmente por el lenguaje. Esta herramienta mediadora va modificar la estructura del pensamiento creando nuevos esquemas, nuevos conceptos que se van a manifestar en respuestas y actitudes nuevas que va llevar al niño a obtener un desarrollo del pensamiento y un nuevo aprendizaje. Ya que el lenguaje supone un pensamiento más complejo. Además del lenguaje, hay otros símbolos que ayudan a organizar el complejo mundo social; como el sistema de numeración, la cronología, unidades de longitud, de masa, etc. Estos mediadores tienen la función de lograr que el niño pase d la Zona de Desarrollo Real (ZDR) a la Zona de Desarrollo Potencial, y por ende adquiera nuevos aprendizajes.
1.4.2. Zonas de desarrollo en el proceso de aprendizaje
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✓ La Zona de Desarrollo Real (ZDR); de un niño(a) está dado por todo aquello que puede realizar de manera autónoma, e individual sin intervención de nadie. La ZDR es dinámica y está en constante cambio ya que el niño(a) tiene internalizaciones frecuentes y nuevos aprendizajes. Una vez determinado la ZDR el profesor, situándonos en la escuela, se orienta a determinar qué más puede aprender el niño; a partir de lo que él ya sabe o conoce; entonces estamos hablando de la Zona de Desarrollo Potencial.
✓ La zona de Desarrollo Potencial (ZDP) es aquella a la que el niño va
llegar. Es decir; lo que el niño es capaz de aprender y hacer; pero, que aún no lo hace. Esta zona está supeditada a la ZDR y es expuesto como nuevos objetivos de aprendizaje que el docente tiene para con sus niños. Llegar a ella depende de la mediación material y simbólica que se dé; e implica la adquisición de un nuevo aprendizaje. La ZDR y la ZDP están mediadas e interrelacionadas por la Zona de Desarrollo Próximo; en el que actuamos directamente los docentes.
✓ La zona de Desarrollo Próximo; es la zona donde se manifiestan los dos mediadores: La herramienta y los signos; ambos dirigidos por el docente. Esta zona es un espacio activo de interculturalidad y de intercambio de experiencias, es una zona de interacción constante del profesor – estudiante y de estudiante – estudiante.
1.4.3. Labor docente dentro de la Zona de Desarrollo próximo
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Así mismo el docente debe ser altamente oportuno y perspicaz para hallar el punto de error del niño y poder mediar su perfeccionamiento.
Es en esta zona que se hace más amena y dinámica la sesión de aprendizaje; ya que si un conocimiento o experiencia ya ha sido aprendida por el niño, le va parecer tedioso o nada significativo continuar con lo mismo, provocando ausencia o indisciplina; y por el contrario si el nivel del aprendizaje está por muy encima de la ZDR del niño, le va parecer a este una experiencia difícil de aprender o imposible; desencadenándose la deserción para el curso y una emoción de impotencia al no poder adquirir un conocimiento y simplemente abandonarlo. Por tal motivo el docente debe aplicar mediadores precisos para el nivel de sus niños.
En la Zona de Desarrollo próximo el docente, como mediador, debe provocar en el niño(a) situaciones de conflicto y de discusiones donde un tema o conocimiento se presente de tal forma que los niños(a) genere sus propios pensamientos y razonamientos sobre el tema y los manifieste de forma oral. De ninguna manera se le debe dar un conocimiento o aprendizaje en su forma final, como producto. Esta situación también servirá para que el profesor recoja las opiniones e ideas de los niños(as) para formular una definición o afirmación de un tema. Así permitimos que el niño(a) manifieste sus ideas, razonamientos y participe activamente en la sesión de aprendizaje.
La Zona de Desarrollo Próximo es el espacio el que docente aplicará todas las estrategias necesarias para obtener un aprendizaje significativo, así mismo le servirá como instrumento para plantear una programación, en las Unidades Didácticas y sesiones de aprendizaje, adecuada a la ZDR.
1.4.4. El aprendizaje y el contexto social
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mayores al niño van a manifestar, en el transcurso de su diario vivir, diversos signos como el lenguaje, gestos imágenes, etc. Estos significados y signos deben ser asimilados o interiorizados por el niño para que se dé el aprendizaje.
Por ello; primero debemos partir de la relación del niño con su realidad y con los demás, del contacto con aquellos signos que representen la idea de número como; el tiempo, productos comestibles, con la compra del pan u otros productos, cantidad de integrantes de la familia, número de mascotas, etc. Si el niño(a) no está en constante relación con su medio no va adquirir la idea de un signo o de un significado, haciendo de él una persona con menos capacidades para aprender. Una vez que el niño(a) se relaciona con los demás; con sus padres en su hogar, amigos, docentes etc. Y obtenga una comunicación activa se va a dar el proceso de la internalización de los significados, el aprendizaje, dentro de la estructura mental del niño(a).
Bajo este contexto, debemos precisar y tener en cuenta que los niños se relacionan de diversas formas, unos más que otros, de acuerdo a sus oportunidades sociales. Por tanto cada niño tiene un desarrollo real y potencial diferente, ante esto el docente debe ser bastante minucioso y perceptivo para detectar la verdadera ZDR y aplicar los mediadores materiales y simbólicos necesarios que va a necesitar cada estudiante. Para llegar a la ZDP.
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CAPÍTULO II
SABERES PREVIOS PARA LA
CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO
2.1. DESARROLLO DE NOCIONES MATEMÁTICAS
Las investigaciones y trabajos experimentales que se han realizado en este campo han demostrado que las nociones básicas de las matemáticas corresponden a estructuras fundamentales de la inteligencia. Siguiendo la investigación de Piaget, cabe recalcar que éste no es determinante en cuanto a las edades cronológicas que él plantea, pues su trabajo debe ser considerado como una guía para la instrucción y para actividades de aprestamiento, y no como una base que deba seguirse rígidamente. El maestro que conoce las etapas de desarrollo de Piaget debe ser consciente de su realidad y por ende saber qué es lo que debe enseñar, mejorar o añadir en su aula.
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Lo anterior no quiere decir que la parte externa es el único factor que determina el desarrollo y el perfeccionamiento de las funciones intelectuales, pues no nos olvidemos del aspecto genético que también es un factor influyente.
Una nueva metodología de enseñanza trata de que los procedimientos didácticos se apliquen respetando el carácter espontáneo del desarrollo de la inteligencia del niño y orientando su dinamismo natural hacia el desarrollo de nociones básicas que son el punto de partida de la formación de la matemática. Así, todo lo que se plantee en este trabajo tendrá validez solo si es adaptado y relacionado dentro del contexto en el que se desenvuelve el niño. Es tarea del maestro comprobar y aplicar a su contexto.
El aprestamiento de las matemáticas implica el desarrollo del proceso de formación de nociones básicas de la matemática; que parte de las acciones sensorio-motrices iniciales y llega a las operaciones concretas conformadas por sistemas progresivos de transformación.
“Los niños no aprenden a través de simples observaciones, es la experiencia activa con los objetos que la estimula e impulsa el ejercicio de sus capacidades mentales” (Lira Tejada, 1994).
Esto se debe a que la adquisición de una “noción” matemática es producto de la acción; ya que el desarrollo intelectual del niño está ligado estrechamente a su experiencia sensomotriz. Por ello, en el proceso de aprendizaje – enseñanza el niño debe participar activamente y no dejarlo en la condición de observador; ya que el efecto de la percepción es muy débil para producir una reacción interna, siendo de mayor eficacia la experiencia motora y sensorial. De allí que el niño deba desarrollar ciertas nociones básicas.
2.1.1. Noción de espacio
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El espacio parcial es la extensión más próxima que rodea al niño y la que puede observar, es el espacio donde interactúa desarrollando todo tipo de movimiento.
El espacio total es el lugar por el que el niño transita y no tiene fin ante sus ojos, es toda aquella superficie que el niño pueda observar e imaginar.
El desarrollo de estos conceptos se inicia con la estructuración del espacio práctico ligado íntimamente a los movimientos y al egocentrismo infantil. La estructuración de este espacio está en relación con las posibilidades que tiene el niño de tomar conciencia de sí mismo y conocer el mundo que le rodea, a través de exploraciones sensoriales, visuales, táctiles, musculares y mediante el desplazamiento de su cuerpo.
Primero desarrollará el espacio parcial con respecto a los movimientos de su cuerpo y posteriormente, con respecto a los movimientos de los objetos.
Para ello, el niño debe realizar actividades que le proporcionen los conceptos espaciales de retroceder - avanzar, ir- venir, adentro - afuera, alrededor, cerca – lejos, arriba – abajo, subir – bajar, delante - atrás. La complejidad de estas actividades debe estar en función de la edad de los niños. Como por ejemplo:
•Se organiza a los niños en parejas. Uno de los niños será el guía y el otro el ciego (que estará vendado).
•Ubicarse en un espacio abierto. Puede ser el patio o un parque.
•Se colocan 5 cajas grandes distribuidas por todo el patio, cada caja debe contener varios objetos.
Desarrollo: el profesor indica que los guías orienten a sus compañeros a través de
29
2.1.2. Noción de posición
Comprenden un vasto campo de experimentación que amplía las posibilidades de conocimientos del mundo que rodea al niño. Las primeras nociones espaciales son las palabras arriba, abajo, adelante, atrás, derecha, izquierda, etc. El dominio de estas nociones constituye la base de las relaciones espaciales; esta adquisición es gradual y secuencial. Para dar inicio a esta noción, el niño experimenta desplazándose con su propio cuerpo; para ello: camina hacia delante o hacia atrás; se coloca encima o debajo; pasa adelante o detrás de algo. Más adelante, utiliza su cuerpo como punto de referencia u ubica los objetos que le rodea, por ejemplo: Coloca una caja delante de él; recoge un lápiz que está detrás de él.
Cuando estos aspectos están dominados, el niño está en la capacidad de relacionar los objetos en el espacio, independientemente de él; por ejemplo: coloca un objeto dentro de otro. Por último, los niños son capaces de distinguir relaciones de posición en el espacio gráfico. Ejemplo: pinta de color amarillo los cubos que están encima del escritorio y de color rojo los que están debajo.
2.1.3. Noción de forma
A través de la experiencia, el niño percibe la forma de los objetos; pero no puede representar las figuras que toca. Tiene que pasar la etapa perceptiva para que luego a través de su propia acción llegue a construir y transformar las formas espaciales. Al niño se le tiene que dar la oportunidad de asimilar las experiencias que le van a permitir desarrollar sus habilidades como por ejemplo: Manipular objetos y figuras de diferentes formas.
2.1.4. Noción de magnitud
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expresen cualidades como: grande, pequeño, poco, mucho, etc. este lenguaje es inexacto y se mezcla con su afecto.
2.1.5. Noción de longitud
Esta noción el niño lo relaciona con la cualidad de largura. Para que adquiera esta noción debe tener la idea de distancia, que hace referencia a un espacio ocupado que existe entre dos puntos. En el niño la idea de longitud evoluciona de la siguiente manera:
En primera instancia, el niño calcula visualmente el largo y el alto de las cosas o toma en cuenta el punto más alto o más distante. Por ejemplo cuando se le pregunta: ¿quién es más alto? revisa visualmente el punto más alto y responde. Progresa cuando aproxima los objetos para comparar el tamaño de los objetos. Ahora la evaluación ya no es a distancia. Luego, el niño utiliza las partes de su propio cuerpo para comparar tamaños. Por último; determina las longitudes de los objetos en términos de alto, ancho, bajo, largo; mediante la aplicación de la medida lineal haciendo uso de elementos independientes de su cuerpo.
2.1.6. Noción de superficie
Lo adquiere a través del contacto con los objetos: mesa, puerta, silla, ventanas, hojas de papel, etc. se centra inicialmente en una sola longitud, en el largo y piensa que lo que es más largo siempre es lo más grande.
2.1.7. Noción peso
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2.1.8. Noción de tiempo
La adquisición del tiempo es muy lenta en los primeros años; puesto que, para el niño, el tiempo está asociado a ciertas actividades que habitualmente realiza cada día, como levantarse, tomar desayuno, almorzar o cenar. Además, el niño comienza recordando primero, los días o los momentos que le transmiten más agrados y felicidad; como los días sábados y domingos y las horas de juego.
2.1.9. Noción del número
Esta noción debe ser la meta del aprendizaje de las matemáticas; puesto que para adquirirlo se necesita de una base fuertemente interiorizada basada en experiencias concretas. El niño debe poseer conocimiento de las estructuras pre numéricas.
Las palabras relacionadas con los números son usadas por el niño cuando aprende a hablar; pero es de forma simple y si base de comprensión. El desarrollo de los conceptos numéricos se da en función de la edad y de las oportunidades de aprendizajes que ha rodeado al niño.
2.2. RELACIONES ESPACIO - TEMPORALES
Se entiende como relaciones espacio – temporales a las posiciones relativas que puedan los objetos o seres en un tiempo determinado, de acuerdo a la duración de una acción.
32 2.2.1. Estructuración espacio – temporal
✓ Percepción espacial. Es tener conciencia del espacio que nos rodea y que en este es posible trasladarse o ubicar un objeto en diferentes direcciones y posiciones. Esta percepción; como la del tiempo.
✓ Percepción temporal. Es establecer puntos de referencia en el tiempo, cuyas acciones sean sucesivas y que tengan un orden lógico. Estos puntos construirán un tiempo (mañana, tarde, hoy, ayer, ahora, antes, después, etc.) Estrechamente cohesionado con una o varias acciones.
2.2.2. Desarrollo espacio – temporal
✓ El desarrollo espacial. Según Piaget, la construcción del espacio en el niño inicia con la exploración de su cuerpo y los movimientos que realiza con él, es decir la adquisición del espacio está en función de las capacidades motrices que puede realizar el niño. Esta construcción sigue varias fases o etapas:
- Espacio Topológico. - desde sus primeros días el niño hace contacto visual, auditivo y táctil con aquello que le rodea. Se encuentra en una exploración de un espacio muy próximo a él y centrado en su propio cuerpo. Estas relaciones elementales pueden ser de separación, de orden, de sucesión, de continuidad, etc.
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- Espacio Euclidiano. - desde los 8 años a 12 años, el niño empieza a representar mentalmente su espacio; de forma gráfica, pictórica y escultórica el espacio que le rodea; es así que este va adquiriendo dimensiones, proporciones, profundidad, alturas, medidas de longitud, capacidad etc. Además, con la ayuda del lenguaje, el niño ya es capaz de orientarse en espacios no muy amplios.
- Espacio Racional. - de 12 años a más. En esta etapa la idea de espacio pasa de la acción al pensamiento. Es capaz de orientarse ubicando puntos de referencia fuera de su cuerpo y es capaz de trasladar mentalmente la posición de los objetos o seres. Tiene la percepción de superficie, capacidad y movimiento.
✓ Desarrollo temporal. Al igual que la noción del espacio, la idea de tiempo se desarrolla de forma gradual dependiendo de la maduración el dialogo y el aprestamiento adecuado.
Al inicio, va percibiendo los cambios en las acciones, guiándose del sueño, la vigilia, o el hambre. Posteriormente, cuando el niño comienza a explorar su exterior próximo cae en cuenta que hay acciones que se van realizando constantemente, como el desayuno, la merienda, el almuerzo, la cena y el sueño. Estos hechos van formando la idea de un tiempo que está pasando al realizar todas estas actividades. Van conceptualizando la idea de día, por ejemplo:
34 2.3. CONJUNTOS
A partir de los estudios de Piaget se entiende que el niño adquiere la noción de número desde una sencilla acción: la agrupación. Si bien, agrupar objetos de forma libre no requiere gran demanda cognitiva, la dificultad radica en los procesos que lleva al niño, de forma natural, a la clasificación y seriación de dichos elementos concluyendo en la formación de conjuntos.
La noción de número se da cuando el niño establece la correspondencia de término a término entre dos conjuntos sin tener en cuenta la disposición de ellos, el grosor, el tamaño u otras características, poniéndose en manifiesto la cardinalidad y la ordinalidad.
Por tal motivo, el proceso de enseñanza- aprendizaje enfocado a la adquisición de la noción del número requiere básicamente del aprendizaje de conjuntos, desarrollándolo con material concreto para agrupar, clasificar, ordenar,
establecer un orden y cardinalizar. Además de efectuar todas las relaciones, inclusiones y operaciones con conjuntos cuyo aprendizaje es indispensable para el manejo de los números en cualquier grado de la primaria.
Para el estudio de conjuntos se tendrá en cuenta los símbolos y el lenguaje matemático a fin.
2.3.1. La cardinalidad y la ordinalidad en los conjuntos
35
1°…..
2.3.2. Determinación de conjuntos
Determinar un conjunto es indicar los objetos o elementos que se encuentra en él. En tal sentido un conjunto quedará definido se describimos sus elementos, para ello se puede utilizar imágenes, letras palabras, números, u otra forma de lenguaje que permita describirlos.
Para la denotación de un conjunto se usa las letras del alfabeto en mayúscula, mientras que, para los elementos, en minúscula. Además de los símbolos de la lógica y los símbolos matemáticos tales como: ˄ (y), ˅ (o), / (Tal que), ∈ (relación de pertenencia), Ν (Número natural), entre otros.
El niño ordena los borradores por un lado y por el otro, lápices. De ello resulta dos conjuntos. Ante los cuales los se plantea las siguientes interrogantes:
¿Cuál fue el primer tajador que ordenaste? ¿Cuál es el tercer lápiz?
¿Cuántos tajadores hay? ¿Cuántos lápices hay? ¿Cada tajador corresponde a un lápiz? ¿Por qué? De tal forma que en esta experiencia el niño adquiere la idea de ordinalidad., cardinalidad y de cantidad.
36 Determinación por extensión
Describir los elementos por extensión es listarlos o mencionarlos uno por uno. Así:
Determinar por extensión es lograr que el niño identifique qué elementos y cuántos elementos hay en su conjunto.
Sin embargo, este tipo de descripción solo resulta práctico si los objetos descritos son finitos o cuando se presenta en pequeñas cantidades.
Determinación por comprensión
Determinar un conjunto por compresión o intensión genera una mayor demanda cognitiva en el niño. Ya que requerirá de percibir las propiedades que caracterizan a todos los elementos de un conjunto. A partir de ello formular la descripción mediante un lenguaje formal. En este caso es preciso hacer uso de un lenguaje pertinente y expresivo, pero a la vez, exacto y restrictivo. Este tipo de determinación se inicia, en el III ciclo, usando un lenguaje natural como los sustantivos, verbos, etc. Posteriormente se irán incluyendo el uso de símbolos lógicos, de equivalencia, cuantificadores, y otros. Ejemplo:
M
M= { , , }
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Si un conjunto S tiene por elementos a los seis primero números.
Para los posteriores ciclos sería:
Al inicio el niño reconoce la propiedad: “son números”. Posteriormente debe reconocer las propiedades del número natural, si es mayor, si es menor, si es un número par o impar, etc. Este aprendizaje facilitará el manejo adecuado de los de los números.
2.3.3. Relación de inclusión
Si dentro de un conjunto de números naturales el niño identifica una propiedad particular entre algunos números, sin tener en cuenta la propiedad principal que lo llevó a formar el conjunto, entonces ha formado un subconjunto.
.5
.3 .2 .1
.4 .6 S
Para determinar este conjunto por comprensión se debe tener en cuenta el aumento de la complejidad de acuerdo al ciclo de estudios.
A través de un lenguaje natural un niño del III ciclo lo determina de este modo:
S = {Son los primeros seis números} S = {Son números hasta el 6}
S = {x/x son los primeros seis números}
38 Veamos el conjunto “F” De forma gráfica tendremos:
F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} B = {2; 4; 6; 8; 10}
La relación entre conjunto y subconjunto se denota como inclusión, así:
B C F
Se lee: “El conjunto B es subconjunto de F”.
“El conjunto B está incluido en el conjunto F”
B ₵ F
Se lee. “El conjunto B no es subconjunto de F”.
“El conjunto B no está incluido en el conjunto F”
2.3.4. Relación de pertenencia
Para determinar si un elemento pertenece a un conjunto se denota de la siguiente forma. Tenemos el diagrama con el conjunto G.
* 20 ∈ G: el número 20 pertenece al conjunto G. * 15 ∉ G: El número 20 no pertenece al conjunto G. En este caso el niño determinó que desde
el número 1 hasta el 11 hay cinco números que son pares, y que por tanto pueden formar un conjunto dentro de F.
.3
.7
.1
.5
.11 .9 F
.10
.2 .8
.4 .6 B
.40 .50
39
Determinar la relación de pertenencia a partir de un gráfico tiene poca complejidad, en este proceso el niño solo reconoce visualmente si el elemento está dentro de conjunto. Por ello es preciso proponer actividades en la que el niño establezca la relación de pertenencia entre elemento y conjunto a partir de la determinación por comprensión.
A = {x/x son números naturales mayores que 12 y menores que 20} Por lo tanto: ¿Qué elementos pertenecen al conjunto A?
* 8 ∉ A * 29 ∈ A * 15 ∈ A * 12 ∉ A
En esta actividad el niño tiene que identificar si el 8 es mayor que 12, si el 15 en menor que 20, o si el 12 es mayor que 12. Apropiándose de esta manera de las propiedades naturales de los números.
2.4. NOCIONES PRENUMÉRICAS
Según los estudios de Piaget y de otros científicos que han desarrollado experiencias sobre la noción del número. Se ha determinado que para alcanzar el concepto de número, el niño debe adquirir en su estructura cerebral las capacidades y habilidades para clasificar y seriar. Estas estructuras pre lógicas no hacen referencia alguna al número; sino a la cantidad. Su adquisición está supeditada al desarrollo evolutivo, a la maduración biológica del niño. En este proceso, el lenguaje se hace presente a través de los padres en el hogar, esta interacción va producir la traducción verbal de la cantidad, va generándose un insipiente lenguaje matemático.
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2.4.1. La clasificación
Es un proceso que se basa en la similitud, en la abstracción de las características que tiene un objeto. Es el proceso que constituye en agrupar ciertos objetivos bajo un cierto atributo, de dos o más. Este proceso tiene sus raíces biológicas en los esquemas sensomotores. Donde el objeto es captado por el niño a través de la visión, del tacto, del oído o del olfato. Su ejecución se da una vez que el niño puede retener la información que ha visualizado, logrando juntar los objetos que se le parecen. En este proceso el niño empieza a diferenciar los objetos según su apariencia; su forma, tamaño, grosor, etc. bajo distintas circunstancias. Para que el niño pueda reconocer los objetos como individualmente distintos, es necesario que exista una diferencia cualitativa notable y que los atributos sean conocidos por ellos y que estén dentro de su lenguaje cotidiano.
La propiedad o característica que se elige para clasificar un conjunto de seres u objetos es el “criterio de clasificación”, así existen dos formas en la que el niño clasifica; clasificaciones libres, de acuerdo a su propio criterio y las clasificaciones con propiedades, estas pueden ser uno: color o forma, dos: color y forma, tres: color, forma y tamaño.
La clasificación es el primer estadio del pensamiento lógico matemático y un fundamento necesario para las relaciones y las clasificaciones más abstractas que se darán posteriormente.
Piaget y Inhelder (1985) determinaron una progresión en las tareas que llevan al concepto de clasificación: (Castro Martinez Encarnación, Rico Romero, Castro Martinez Enrique, 1998)
Agrupar, un conjunto de objetos, por parejas que resulten semejantes en algún criterio.
41
Agrupar todos los objetos de un conjunto atendiendo a un criterio y sin dejar ninguno fuera de la clasificación.
Utilizar atributos más abstractos, menos ligados a la proximidad física; como: utilidad, virtudes, habilidades, etc.
2.4.2. Conservación de la cantidad y equivalencia
Conservar la cantidad es tener la seguridad de que la cantidad no varía con la alteración de sus elementos. Este conocimiento sirve de base y se desarrolla simultáneamente con la clasificación, además sienta las bases de las operaciones numéricas.
La equivalencia es la capacidad que tiene el niño para encontrar diferencias y similitudes en las cantidades de dos o más conjunto o en un objeto. Por medio de sus sentidos el niño aprende que los objetos son iguales y distintos a la vez, igual que los conjuntos. De este conocimiento nace la idea de igualdad, de mayor, de menor, más, menos, etc. nociones básicas para la introducción a la aritmética. La adquisición de la equivalencia es necesaria para clasificar y para seriar, y se da por etapas progresivas:
Comparación perceptiva global, sin correspondencia. , el niño se deja llevar por sus sentidos, solo percibe la extensión del espacio que ocupa el conjunto. Así, si 12 chapas están dispersadas sobre la mesa, le parecerá que es mayor a 12 chapas juntas sobre la mesa.
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Correspondencia cualitativa y numérica. El niño realiza operaciones espontáneas de control de correspondencia uno a uno. Se libera de las distracciones perceptuales y conoce que el orden no afecta al número.
Ahora bien, veamos el caso en un aula en la que la maestra les da pelotitas a José y a Sara preparando una situación matemática como la que se muestra:
Para responder esta pregunta, el niño suele cometer varios errores si no se trabaja con material concreto. Puede dar una respuesta equivocada como:
8. Puesto que solo está atendiendo a la primera parte de la expresión “José
tiene 8 pelotas”, incluso reafirma su respuesta argumentando: “mira, ahí dice que tiene 8 pelotas”. No observa la importancia y el significado de “más”. ¿Por qué?,… sencillo. Aún no ha adquirido la competencia de equivalencia y de la conservación de la cantidad; y, por ende no se familiariza con el lenguaje matemático Además este problema corresponde a un segundo nivel, por tanto también significaría que el niño no obtuvo el aprendizaje adecuado en el primer nivel de este problema.
Por tal razón para trabajar estas competencias, ya sea en casos de dificultad de aprendizaje como en las situaciones regulares de enseñanza, se puede realizar las siguientes estrategias.
En primer lugar, el niño debe trabajar con material concreto y, si es posible con material de relevancia personal (figuritas de un álbum de moda, tarjetas de pokémon, yases, colores, etc.). Los niños deben contabilizar sus materiales y comparar las cantidades de manera general. Establecer quién tiene más y quien tiene menos y apuntarlo en un papelote u hoja de trabajo. (Para familiarizarlos con el lenguaje).
José tiene 8 pelotas más que Sara. Y Sara tiene 10.pelotas.
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Tener en cuenta que se debe trabajar en un inicio con cantidades pequeñas menores a veinte, hasta que adquieran la competencia. Luego, se inicia la comparación de cantidades; uno a uno (correspondencia). El docente debe indicar que se debe manejar un orden. En este proceso los niños se darán cuenta que a uno de ellos se le acabó el material, ya no tiene. Surge la intervención del profesor, para indicar que aquel que tiene más lápices, los coloque separado. Así.
Johana cuenta sus lápices. Concluye que tiene 10
María, cuenta y tiene18
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En este punto se promueve la intervención de los niños, para que a través de la observación perciba y concluya que lo que está separado, después de la línea, es lo María que tiene de más . Entonces surgirán las preguntas: ¿Cuántos lápices más tiene María que Johana? ¿Por cuántos lápices le gana María a Johana? ¿Cuántos lápices le faltan a Johana para tener igual cantidad que María? ¿Cuántos lápices le faltan a Johana para tener tantos como María? ¿Cuántos lápices menos tiene Johana que María? Las respuestas deben ser proporcionadas de forma orla observando el material concreto. Posteriormente deben escribirlas en su papelote.
La condición de este trabajo es que los niños deben trabajar de dos o hasta de cuatro, que el grupo exprese sus respuestas en voz alta, las respuestas deben ser completas, además prestar la debida orientación y metacognición en el momento oportuno.
Profesor: ¿Cuántos lápices más tiene María que Johana? Johana: tiene 8 lápices (Incorrecto,)
Profesor: ¿María tiene 8 lápices?
Johana: Sí profesor,… no profesor, María tiene 18 Profesor: entonces…
Johana: ella me gana por 8
45 2.4.3. La seriación
Es la ordenación de un conjunto de objetos en función de la variación de sus características particulares. Es ordenar elementos según sus dimensiones crecientes o decrecientes, por su relación asimétrica de ser “mayor” o “menor”. Los niños van adquiriendo esta noción a través de sus experiencias acompañado de un vocabulario a fin, como: primero, último, al comienzo, al medio, al final. La adquisición de la equivalencia ayuda a establecer las relaciones y modos de seriación, ya sea creciente o decreciente; a través de la idea de “mayor” y “menor”
La habilidad de colocar objetos ordenadamente, de acuerdo con un criterio elegido es un requisito previo para desarrollar seriaciones con las operaciones y relaciones numéricas. (Castro Martinez, 19998). La adquisición de la seriación también se desarrolla en orden progresivo:
Primero, el niño coge los elementos de un conjunto y los ordena de forma libre. Aquí la prioridad es que dentro de la libertad que ejerce el niño, halla un orden.
Después, basado en experiencias previas del anterior paso, el niño comienza a seriar parcialmente los elementos de un conjuntos; esto es, crea una serie interna dejándose llevar por su comparación perceptiva; aunque globalmente no este ordenado.
Finalmente, como resultado de la experiencia y de la asimilación de aprendizajes, el niño crea un sistema en la que un elemento cumple una doble función; es el mayor del que lo antecede y es el menor del que lo precede.
46
Cuando el niño ordena un conjunto, de mayor a menor o viceversa está preparándose para enfrentarse a las sucesiones numéricas, la ordinalidad implica ordenar ciertos elementos y establecer una serie dentro de ellos. La cardinalidad va a establecer el patrón con el que esta seriado un conjunto. Hace mención a “uno más” “más dos”.
2.5. LA CLASIFICACIÓN Y LA SERIACIÓN EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA
En la primaria, la adquisición de la clasificación y la seriación son de vital importancia, el salto de este aprendizaje puede provocar problemas graves en el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Enseñar a numerar a los niños sin ayuda concreta, simplemente de manera verbal sin ninguna funcionalidad, operar con algoritmos antes de interiorizar la idea de “agregar” aplicado a la vida real, es enseñar al niño a quedarse estático, a no pensar; lo cual es perder el tiempo enseñando lo incorrecto. Luego será más difícil “retroceder” para volver a empezar (desaprender para aprender algo nuevo de un conocido). Recordemos en esta parte, a la cita exacta de Rousseau en su libro Emilio: “Vosotros conocéis, y así lo
decís, el precio del tiempo y no queréis perderlo. No veis que es perderlo más el usarlo mal que el no hacer nada con él, y que un niño mal instruido está más lejos de la sabiduría que el que no recibió instrucción alguna”.
Este entendimiento de la enseñanza y aprendizaje de los números, a pesar de ser estudiada y comprobada, muchas veces no es compartida por los docente ni por los padres de familia que desean más que nada que sus hijos sepan sumar, restar, multiplicar o dividir de forma mecánica, que sean “inteligentes” . Este proceso inmoviliza el pensamiento creativo, el razonamiento del niño. Daño que afectará todo el proceso educativo sino se detecta a tiempo.
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Entre los materiales para clasificar que encontramos en el aula y que se puede sugerir que manden los padres, tenemos las chapas, los bloques lógicos, fichas numéricas, los mimos estudiantes, carpetas, sillas, aulas, profesores, cajas de fósforo, fichas léxicas, cuentas, material base 10, entre otros.
Se empieza, en los grados menores, con agrupar de acuerdo a criterios físicos: de color, forma, tamaño grosor; después por criterios más abstractos; como cuando se trabaja con los niños; agruparse de acuerdo a su género; según sus virtudes, “yo soy hijo único, yo no”, de acuerdo a las preferencias: “a mí me gusta la leche, a mí no”. El trabajo físico con los niños hace más significativa la tarea, tener en cuenta que debe ser orientado y en un ambiente controlado.
Un juego en el que los niños se ordenen según su tamaño, según las prendas que visten, según su edad, ordenarlos según la letra de su nombre o apellido, establecer series por género, etc. Las seriaciones, se inician con una exploración libre en los primeros años de escuela, en la primaria la seriación aumenta su complejidad, teniendo en cuenta dos o tres atributos. Así tenemos los siguientes ejemplos de seriación, que deben ser complementadas a las actividades motoras descritas anteriormente y que se deben trabajar de manera individual y grupal. La seriación es de un nivel de 5 y 6 años, usando los materiales concretos, construye series de bajo diversos criterios, la asimilación de ello repercute en su desempeño posterior.
48 ¿Qué figura sigue en la siguiente serie?
El niño se valdrá de la percepción y la experiencia, seriando diversos objetos, para determinar cuál es el orden que los ha construido, y así dar con la figura que falta.
Ordena las siguientes fichas numéricas
El niño tendrá que seriar teniendo en cuenta el criterio de cantidad, lo hará de menor a mayor o viceversa. El conocimiento previo a ello es la noción de número; quién es mayor, cómo sabe que es mayor o no.
50
93
17
39
48
71
¿Qué término sigue en la siguiente serie?
Es el tipo de serie numérica que se debe trabajar en los grados superiores, a partir de los 7 años, y se va haciendo más compleja de acuerdo a la madurez cognitiva. Aquí el trabajo cognitivo está en determinar cuál es el patrón que rige la serie. Posteriormente se puede agregar una letra al espacio vacío.
20
30
35
25
49
50
CAPÍTULO III
ACCIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO
3.1. CONSTRUCCIÓN DE NÚMERO DESDE LA ANTIGÜEDAD
Cuando el hombre tuvo la necesidad de tener una evidencia de la cantidad de animales o de instrumentos que tenía, se encontró con la idea del número; debía establecer “algo” un código que representará esa cantidad.
51
Las evidencias históricas nos dan muestra de diversos símbolos y materiales que utilizaron nuestros antepasados para llevar sus cuentas. El paso del tiempo, las nuevas necesidades y los retos cotidianos, llevaron a los hombres a diseñar diversos sistemas de numeración que cuantifique números bastante grandes y de manera más rápida. Así tenemos: el sistema egipcio; que usaron la agrupación simple y la base 10; los números romanos con el mismo sistema; pero con diferentes numerales. Los griegos utilizaron un sistema cifrado, con base 10 y sus símbolos eran las letras del alfabeto. Los chinos utilizaron la agrupación multiplicativa y se leen o escriben de arriba hacia abajo. Muchos sistemas se crearon, pero el que es más eficaz es la indoarábiga; por que presenta un sistema posicional.
Muestra de la técnica dela tarja
de Inglaterra. Era usado como
un recibo de impuestos.
El quipu, conjunto de nudos en fibras de
algodón que representaban la cantidad de una
cosecha o de animales. Fueron utilizadas en
Perú, por los incas
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Conocer cómo surgió el número y la creación de los sistemas, es una exigencia para los docentes; puesto que entender su formación ayudará a establecer cuáles son las dificultades y por qué se producen estas fallas en los niños en el momento del aprendizaje. Bajo esta idea, estudiaremos qué y cómo se concibió el número en la mente del hombre.
3.2. EL SISTEMA CARDINAL
¿Cómo se construye el número? ¿Cómo nace la idea? ¿Cómo se llega a representarlo? Empezaremos detallando la adquisición del número en su aspecto cardinal. Esto no significa, que la cardinalidad y la ordinabilidad se adquieren de forma separada o en espacios distintos; pues ambos pueden desarrollarse de manera simultánea dependiendo de la estimulación y de un contexto enriquecido.
Según Gomez Alfonso (2000) la idea de número se fue asimilando paso a paso desde la idea de uno hasta el sistema de ordinal.
3.2.1. La idea de uno (la unicidad)
Es producto de la percepción. Si en un conjunto hay varios elementos y en otro solo hay uno, se concibe la idea de “uno”. El hecho de percibir que alguien tiene solo una hija y otros tienen más, forman la idea de unidad, de una cantidad única (1).Los niños perciben la idea de unidad al estar en
NUMERALES DEL SISTEMA INDOARABIGO
53
contacto con varios objetos de su realidad, esto se da en desde pequeños, en casa y en la escuela.
3.2.2. La coordinabilidad
Este segundo paso para formar la idea de número es el acto de establecer la correspondencia de “uno a uno”. Es como decir; que a cada sujeto le corresponde un objeto. Así, en la ejecución y experimentación de este paso, se notará visualmente si faltan objetos, si sobran o si son exactas (iguales). En este punto se llega a la idea de “más que” “menos que” “tantos como” e “igual”.
3.2.3. El registro