Nivel Terciario
Federico De Olivera Lamas
Este material ha sido el fruto, a´un sin madurar, de un largo trabajo. Encontrar´as que hay una gran cantidad de errores, tanto de “tipeo” como de los “otros”, se podr´ıa decir que reci´en en este a˜no 2008 cuento con la primera versi´on escrita de todos los cap´ıtulos y es en este momento en el que me dispondr´e a corregirlo con un poco m´as de detalle. Todo lector que encuentre alg´un error o simple-mente quiera comentarme alguno de los p´arrafos de estas notas no tiene m´as que escribirme a [email protected] .
Estas notas no tratan de ninguna manera ser un texto que los estudiantes puedan leer como una novela, de hecho, en matem´atica es com´un que un estudiante deba dedicarle un par de horas para poder avanzar una p´agina. Como le´ı en uno de los libros de Lages Lima, el estudiante debe tomar l´apiz y papel y hacer un dibujo tentativo para ir observando los conceptos en una primera aproximaci´on, luego deber´a independizarse de dichos dibujos y pasar a entender formalmente los conceptos independientemente de las particularidades del dibujo.
Debo reconocer que la idea original de las notas fue simplemente acercar al es-tudiante a los libros, ello se debi´o a que en mi experiencia he visto que los libros que son recomendados en la bibliograf´ıa generalmente no son para nada utilizados en los cursos, aclaro m´as, en mi experiencia trabajando en formaci´on docente la gran mayor´ıa de los estudiantes realiza sus estudios sin haber le´ıdo un libro de matem´atica, b´asicamente estudian de apuntes de clase.
caso uno crece con todos los caminos que no desembocan al resultado deseado) . C´omo actuar en estos casos, la idea no es desmotivar al estudiante, por el con-trario, la idea es hacerlo madurar en el razonamiento matem´atico durante el curso para que no tenga que enfrentarse a esas dificultades cuando est´e preparando el examen. Una sugerencia general, muchos de los ejercicios se encuentran resueltos o con gu´ıas en la bibliograf´ıa usada para este material, ello motivar´a a que los estudiantes se acerquen a dichos libros.
Sobre el final de este material, puede encontrarse la Bibliograf´ıa que utilic´e, pero de ninguna manera esta lista es exhaustiva, por ejemplo los libros de Apostol, Spivak, Lin´es, entre otros, son altamente recomendables para estudiar este curso. Con respecto al contenido, este material est´a fuertemente basado en los libros de Lages Lima, un curso de an´alisis y an´alisis real. Tambi´en he usado otros libros como el de Kudriavtsev y el de Piskunov donde he usado algunas ideas interesantes, como para que el estudiante se haga una idea en t´erminos generales es un 50 % de “un curso de an´alisis, Lages”; un 20 % de “an´alisis real, Lages”; un 10 % de “an´alisis matem´atico, Kudriavtsev ” y el resto es un poco de mi interpretaci´on y revolver la cuchara.
Por ´ultimo, agradecer a Santiago y Marcela, mi hijo y esposa, quienes han toler-ado una interminable “cantidad” de fines de semana en los cuales he tenido que aislarme del mundo para poder escribir.
Desde ya mi apoyo al que quiera estudiar matem´atica y en la medida de mis posibilidades, pueden contar conmigo ya sea personalmente o v´ıa
1. Puesta a punto 1
1.1. Funciones. . . 1
1.2. Inyectividad y Sobreyectividad. . . 3
1.3. Imagen y Contra imagen.. . . 6
1.4. Composici´on. . . 7
1.5. Inversa por izquierda y por derecha, Funci´on Inversa.. . . 9
1.6. Extensi´on y Restricci´on. . . 14
1.7. Ejercicios. . . 18
2. Conjuntos finitos e infinitos. 21 2.1. N´umeros naturales . . . 21
2.2. Conjuntos finitos . . . 22
2.3. Conjuntos infinitos . . . 25
2.5. N´umeros reales . . . 33
2.6. Ap´endice. . . 39
2.6.1. El PBO . . . 39
2.6.2. Un desarrollo sobre conjuntos finitos . . . 40
2.6.3. Algo m´as de numerabilidad . . . 44
2.7. Ejercicios . . . 47
3. Sucesiones num´ericas 49 3.1. Conceptos iniciales . . . 49
3.2. L´ımite de una sucesi´on . . . 54
3.3. Propiedades aritm´eticas de los l´ımites . . . 61
3.4. Subsucesiones: l´ım infxn y l´ım supxn . . . 66
3.4.1. l´ım infxn l´ım supxn . . . 68
3.5. Sucesiones de Cauchy . . . 72
3.6. L´ımites infinitos . . . 75
3.7. Ap´endice. . . 79
3.7.1. L´ımite ∞ . . . 79
3.7.2. Sucesiones infinitesimales e infinitas . . . 80
3.7.3. Comparaci´on de sucesiones infinitesimales e infinitas . . . 81
3.7.4. Equivalencia . . . 83
3.8. Ejercicios . . . 91
4. Series num´ericas 95 4.1. Conceptos iniciales . . . 96
4.2. Criterios de clasificaci´on . . . 102
4.3. Asociatividad y conmutatividad . . . 117
4.3.1. Asociatividad . . . 120
4.3.2. Conmutatividad . . . 122
4.4. Ejercicios . . . 128
5. Topolog´ıa en R 131 5.1. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . 131
5.2. Conjuntos densos . . . 145
5.3. Puntos de acumulaci´on y puntos aislados.. . . 146
5.4. Conjuntos compactos. . . 150
5.5. Ejercicios . . . 156
6. L´ımite de funciones 161 6.1. L´ımite finito para x→a. . . 161
6.2. L´ımite de restricciones . . . 172
6.3. L´ımites laterales. . . 175
6.5. L´ımite superior e inferior de una funci´on . . . 187
6.6. Anexo: Indeterminaciones . . . 194
6.6.1. L´ımite ∞ . . . 195
6.6.2. Infinit´esimos e infinitos . . . 196
6.6.3. Equivalencia . . . 198
6.7. Ejercicios . . . 203
7. Continuidad de funciones 207 7.1. Continuidad puntual, funci´on continua. . . 207
7.2. Discontinuidades . . . 216
7.2.1. Clasificaci´on de discontinuidades . . . 217
7.3. Continuidad en un intervalo . . . 221
7.4. Continuidad en conjuntos compactos . . . 225
7.5. Continuidad uniforme. . . 227
7.6. Ejercicios . . . 234
8. Derivada 237 8.1. Derivada puntual . . . 237
8.2. Derivada y crecimiento local . . . 245
8.3. Funciones derivables en un intervalo . . . 247
9. Desarrollo de Taylor 261
9.1. Derivada n-´esima . . . 261
9.2. F´ormula de Taylor . . . 263
9.3. Aplicaciones . . . 273
9.3.1. Estudio de m´aximos y m´ınimos locales . . . 273
9.3.2. Regla de L’Hopital . . . 274
9.3.3. Funciones convexas . . . 276
9.4. Ejercicios . . . 279
10.Integral de Riemann 281 10.1. Integral Superior e Integral inferior . . . 282
10.2. Funciones R-integrables . . . 287
10.2.1. Propiedades de la integral . . . 289
10.3. Condiciones suficiente de integrabilidad . . . 296
10.4. C´alculo de integrales . . . 299
10.5. Resto de Taylor . . . 309
10.6. Ejercicios . . . 312
10.6.1. C´alculo de integrales . . . 314
11.Series de Potencias 317 11.1. Conceptos iniciales . . . 318
11.3. Algunos ejemplos importantes . . . 328
11.3.1. La funci´on exponencial . . . 328
11.3.2. La funci´on Logaritmo. . . 329
11.3.3. La funci´on Arcotangente . . . 330
11.3.4. Las funciones seno y coseno . . . 330
11.4. Ejercicios . . . 333
Puesta a punto
1.1.
Funciones.
Uno de los principales conceptos es el de funci´on, el lector seguramente ya ha tenido varios acercamientos a este concepto, pero tambi´en es altamente probable que en su imagen conceptual visualice algunos tipos particulares de funciones, aquellas dadas por “f´ormulas”.
Antes de seguir detallando convengamos lo que entendemos por funci´on:
Definici´on 1.1 (Funci´on)
Una funci´on es una terna f = (A,B, f(x)) donde A es un conjunto llamado
dominio, B es un conjunto al que llamamos codominio y f(x) es una regla de asignaci´on que asocia a cada elemento del dominio uno y s´olo un elemento del
codominio.
Notaci´on: Si la funci´on es f, entonces anotamos: f :A → B, para indicar que el dominio de f es A y el codominio es B.
Ejemplo 1.1
Sea A={a, b, c}y B={Libro, gato, pera, zapato}, definiendo la corresponden-cia por:f(a) = gato, f(b) = zapato yf(c) = gato, tenemos que f es una funci´on con dominio A, codominio B y la regla de asignaci´on anterior.
Si bien es muy com´un trabajar con funciones definidas sobre distintos tipos de conjuntos (dominio), el ´enfasis en este curso ser´a dado para aquellas funciones que tengan dominio y codominio incluido en el conjunto de los n´umeros reales
R.1
Ejemplo 1.2
Sea f : (0,1)→R tal quef(x) = 2xex. Aqu´ı el dominio de la funci´onf es (0,1), el codominio es R y la regla de asignaci´on es bien determinada por la expresi´on f(x) = 2xex, donde para cada valor x∈(0,1) obtenemos un n´umero real.
Es bueno observar aqu´ı, que en ning´un momento se le pide a una funci´on que “abarque” a todos los valores del codominio. De hecho, en este ejemplo, los reales negativos no son “alcanzados” por los valores del dominio.
Observaci´on: No cabe duda alguna que para determinar una funci´on es necesario indicar su dominio, codominio y su regla de asignaci´on. De esta manera, una funci´on es una terna. En una amplia bibliograf´ıa se hace un abuso de lenguaje, pidiendo que se halle el dominio de una funci´on. Es claro que esto es imposible de hacer, pues, de no estar dado el dominio, no se tiene funci´on.
1Es bueno aclarar que en los propios cursos de an´alisis, por ejemplo An´alisis 2, el dominio
y codominio pueden ser subconjuntos de Rn, tambi´en en probabilidad tendremos funciones
cuyo dominio, por ejemplo, ser´a un subconjunto del conjunto de partes de otro conjunto dado
(llamado espacio muestral), etc.
El abuso de lenguaje se interpreta como: hallar el conjunto X (muchas veces X ⊂ R), lo m´as amplio posible, para que una determinada regla de asignaci´on tenga sentido.
En este curso, no se har´a tal abuso de lenguaje, esperando que los estudiantes erradiquen ´este y puedan evitar confusiones futuras.
En el contexto que estamos trabajando, una funci´on es una terna y por ende con-venimos que para que dos funciones sean iguales dichas ternas deben ser iguales:
Observaci´on: Dos funciones f :A → B, g :C → D, son iguales si:
A =C B=D f(x) = g(x) ∀x∈ A
Ejemplo 1.3
Consideremos las funciones:
f :R→R/ f(x) =x2,
g :R→R/ g(x) = (2x4)2 h :R→R+∪ {0}/ h(x) = x2
Aqu´ı es claro que las funciones f y g son iguales, mientras que las funciones f y h no lo son ya que su codominio no es el mismo (este punto ser´a m´as f´acil de entender cuando estudiemos la inyectividad y sobreyectividad de funciones).
1.2.
Inyectividad y Sobreyectividad.
Pasamos ahora a estudiar algunas caracter´ısticas de las funciones,
Definici´on 1.2 (Funci´on inyectiva, sobreyectiva y biyectiva)
Sea f :A → B
Decimos que f es inyectiva si
∀x, y ∈ A;f(x) = f(y)implicax=y.
Decimos que f es sobreyectivasi
∀y ∈ B, ∃x∈ A/ f(x) =y.
Decimos que una funci´on es biyectivasi es inyectiva y sobreyectiva.
Observaci´on: Es condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on f :A → B sea inyectiva, que se cumpla el contra rec´ıproco de la definici´on ante-rior. Es decir, f :A → B es inyectiva, si y s´olo si
∀x, y ∈ A, con x6=y, se cumple que f(x)6=f(y).
Ejemplo 1.4
Consideremos las funciones siguientes:
1. f :R→R tal que f(x) =x2
2. g :R→R+∪ {0} tal que f(x) = x2.
3. h:R+∪ {0} →
R tal que h(x) =x2.
4. i:R+∪ {0} →
R+∪ {0} tal que i(x) =x2.
El lector podr´a verificar inmediatamente que se trata de cuarto funciones distin-tas.
La funci´on f no es ni inyectiva ni sobreyectiva ya que f(−1) = f(1) = 1 y de aqu´ı que no es inyectiva, adem´as f(x) = x2 ≥ 0∀ x ∈
R, de aqu´ı que no existe
−2. As´ı la funci´onf tampoco es sobreyectiva.
La funci´ong no es inyectiva por el mismo motivo que f no lo es. Sin embargo,g es sobreyectiva ya que siy∈R+∪ {0}entonces existe su ra´ız cuadrada, tomando
x=√y tenemos que g(x) = x2 = (√y)2 =y.
La funci´onhes inyectiva, verifiquemos esto. Six, y ∈R+∪ {0}entonces tenemos
que f(x) = f(y) implica que x2 = y2, tomando ra´ız cuadrada tenemos que
p
(x2) = p
(y2), es decir, |x| = |y|, pero como x, y ≥ 0 tenemos que |x| = x e
|y|= y, de donde concluimos que f(x) = f(y) implica que x= y. Por el mismo motivo que f, h no es sobreyectiva.
Utilizando las mismas herramientas que utilizamos con las funciones f, g y h es inmediato verificar que i es una funci´on inyectiva y sobreyectiva, es decir, biyectiva.
Observaci´on: Queda totalmente aclarado, que si dos funciones tienen distinto codominio, no pueden ser iguales. Por ejemplo, las funcionesf yg anteriores s´olo difieren en su codominio, pero g es sobreyectiva y f no. De igual modo, si dos funciones tienen distinto dominio, no son iguales.
1.3.
Imagen y Contra imagen.
Definici´on 1.3 (Conjunto Imagen )
Dada una funci´onf :A → B y un conjuntoX; X ⊂ A, llamamosimagen deX por f al conjunto
f(X) ={f(x)/ x∈X}={y∈ B/ y =f(x), x∈X}.
No confundirse, si por ejemplo tenemos f : R → R tal que f(x) = 2x4 + 1,
entonces f([1,2)∪(−1,0)) = {f(x)/ x∈[1,2)∪(−1,0)} = (1; 33). Para nada hay que interpretar que al conjunto X hay que “elevarlo a la 4”, “multiplicarlo por 2” y “sumarle 1”, esto no tiene sentido, al menos por ahora. La Figura 1.1 puede ser de ayuda para visualizar la definici´on.
Aprovechemos la definici´on anterior, para definir elrecorrido de una funci´on, ´
este lo definimos como la imagen del dominio, es decir, si f :A → B entonces el
recorrido def esf(A).
Definici´on 1.4 (Conjunto contra-imagen)
Consideremos una funci´on f : A → B y un conjunto Y; Y ⊂ B, llamamos
contra-imagen de Y por f al conjunto
f−1(Y) ={x∈ A/ f(x)∈Y}.
Nuevamente aqu´ı puede surgir una duda que m´as vale no tenerla. Al anotar al conjunto contra-imagen de Y con f−1(Y), para nada estamos hablando de la funci´on inversa de f, es m´as, hasta el momento no sabemos que significa “funci´on inversa”. Al anotar f−1(Y) hay que remitirse a la definici´on, o sea: f−1(Y) ={x∈ A/ f(x)∈Y}. Ver Figura 1.1.
x x
x
x
x x
x
A
B
x
x x
x
x x
x x
A
B
x
f(X) X
Y f (Y)-1
Figura 1.1: Ejemplo: Imagen y Contra imagen por f
Demos alg´un ejemplo de conjunto contra-imagen.
Ejemplo 1.5
Consideremos las funciones f : R → R tal que f(x) = 1 y g : [0,2π] →
R tal que g(x) = sen(x). Hallemos el conjunto contra-imagen del
conjun-to Z por f y el conjunto contraimgen del conjunto R+ por g. f−1(
Z) =
{x∈R/ f(x)∈Z}=R ya que f(x) = 1∈Z∀ x∈R. Mientras que g−1(R+) =
{x∈[0,2π]/ sen(x)∈R+} = (0, π) ya que sen(0) = sen(π) = sen(2π) = 0 y
sen(x)<0 si x∈(π,2π).
1.4.
Composici´
on.
Definici´on 1.5 (Funci´on compuesta)
Dadas dos funciones f : A → B y g;C → D, tal que f(A) ⊂ C, definimos la
funci´on compuesta def con g, a la que anotamosg◦f, mediante:
g◦f :A → D tal que (g◦f) (x) =g(f(x)) ∀x∈ A.
C
D
x x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
A
B
Figura 1.2:Ejemplo de la composici´on de funciones
Es bueno notar, que si bien, al hacer la composici´on def con g, no son necesari-amente utilizados todos los elementos del conjunto C, la funci´on g ◦f est´a bien definida, ya que para todox∈ A existe un elementoy∈ D tal que (g◦f)(x) = y, esto puede ser observado en la Figura 1.2.
Proposici´on 1.1 (La composici´on de funciones es asociativa)
Dadas tres funciones f :A → B, g :C → D y h:E → F, de modo que f(A)⊂ C y g(C)⊂ E.
Entonces,(h◦g)◦f =h◦(g◦f).
Demostraci´on: Observemos primero que: h◦g :C → F y de aqu´ı que (h◦g)◦f :A → F en virtud de que f(A) ⊂ C. De igual modo, tenemos que: g◦f :A → D y de aqu´ı que h◦(g◦f) :A → F ya que (g ◦f)(A)⊂ E.
De lo anterior tenemos que (h◦g)◦f,h◦(g◦f) tienen dominioA y codominio F.
Ahora
[(h◦g)◦f](x) = [h◦g](f(x)) =h[g(f(x))] =h[(g◦f)(x)] = [h◦(g◦f)](x)∀x∈ A.
De donde concluimos que (h◦g)◦f =h◦(g◦f).
1.5.
Inversa por izquierda y por derecha,
Funci´
on Inversa.
El mayor objetivo que tiene esta secci´on, es llegar a mostrar un resultado ya conocido por los estudiantes, una funci´on es invertible, si y s´olo si, es biyectiva. Un resultado que muchas veces es utilizado, pero pocas veces demostrado. Vale la pena aclarar que se intoducir´an algunos conceptos que son ampliamente utilizados en matem´atica.
Definici´on 1.6 (Inversa por izquierda)
Dada una funci´on f : A → B, llamamos inversa por izquierda de f a una funci´on g que cumpla:
g :B → A y (g◦f)(x) =x ∀x∈ A.
Observaci´on: Puede notarse que la inversa por izquierda es una funci´on g tal que (g◦f) =idA.
Ejemplo 1.6
Sea f : (1,2) → R tal que f(x) = x2, entonces, tomando g :
R→(1,2) tal que
g(y) =
√
y siy ∈(1,4) 3/2 siy 6∈(1,4)
, tenemos (g◦f)(x) =g(f(x)) =g(x2)x2∈(1=,4)√x2 =
|x|=x ya que x∈(1,2).
Es bueno notar que la inversa a izquierda puede no ser ´unica. En el ejemplo anterior, basta definir otra funci´on h:R→(1,2) tal que
h(y) =
√
y siy∈(1,4) 4/3 siy6∈(1,4)
, es inmediato verificar que h tambi´en es una inversa por izquierda def, siendog 6=h por ser g(0) = 3/26= 4/3 =h(0).
Un importante resultado ser´a demostrado a continuaci´on, ´este nos da una condi-ci´on para asegurar la existencia de la inversa por izquierda.
Proposici´on 1.2
Una funci´on f :A → B tiene inversa por izquierda, si y s´olo si, es inyectiva.
Demostraci´on: Directo:f tiene una inversa por izquierda, sea ´estag :B → A. De la definici´on de inversa por izquierda tenemos que g(f(x)) =x∀x∈ A. Consideremos x1, x2 ∈ A, si f(x1) = f(x2) tenemos, aplicando g, que
g(f(x1))
| {z }
x1
=g(f(x2))
| {z }
x2
, entoncesf es inyectiva.
Rec´ıproco: Nuestra hip´otesis ahora es que f es inyectiva.
Sabemos, de la definici´on de inyectividad, que cada elemento y ∈ f(A) es la imagen de un ´unico elemento x∈ A. Definamos g del siguiente modo,g :B → A tal que
g(y) =
x siy ∈f(A) x0 fijo en A siy ∈(B −f(A))
Ahora, (g◦f)(x) = g(f(x)) =g(y) = x∀x∈ A, y de aqu´ı que f tiene inversa a
izquierda.
Es claro que una funci´on admite inversa a izquierda siendo inyectiva, pero na-da se ha dicho hasta ahora sobre la sobreyectivina-dad. La Proposici´on 1.3, nos har´a part´ıcipe a la sobreyectividad.
Definici´on 1.7 (Inversa por derecha)
h:B → A, (f◦h)(y) = y ∀y∈ B.
Observaci´on: Al igual que en la definici´on de inversa por izquierda, aqu´ı hay que observar que f◦h=idB,
Ejemplo 1.7
Sea f : R → [0,+∞) tal que f(x) = |x|. Definamos h: [0,+∞)→R tal que h(y) = y. Luego, (f ◦h)(y) = f(h(y)) = f(y) = |y| = y, ∀ y ∈ [0,+∞) y de aqu´ı que h es una inversa por derecha de f.
Notemos que, nuevamente, la inversa por derecha puede no es ´unica, en el ejem-plo anterior, basta tomar g : [0,+∞)→R tal que g(y) = −y y nuevamente (f ◦g)(y) =f(g(y)) =f(−y) =| −y|=y, ∀y∈[0,+∞) y obtenemos que g es otra inversa por derecha de f.
Proposici´on 1.3
Una funci´onf :A → B tiene inversa por derecha, si y s´olo si, es sobreyectiva.
Demostraci´on: Directo:f tiene una inversa por derecha, sea ´esta h:B → A. Para cualquiery∈ B tenemos quef(h(y)) =y. Como h(y)∈ A, concluimos que, para cualquiery∈ B existe un elemento en x∈ A (x=h(y)) tal quef(x) = y y por lo tanto,f es sobreyectiva.
Rec´ıproco:Nuestra hip´otesis ahora es quef es sobreyectiva, entonces, para todo y∈ B, el conjunto f−1({y})6= ∅. Para cada y ∈ B tomemos un elemento x∈ A tal que f(x) = y (existe ya que f−1({y}) 6=∅). Ahora definamos h : B → A tal queh(y) = x.
Ahora, (f◦h)(y) =f(h(y)) =f(x) =y ∀y ∈ B, por lo que f tiene inversa por
Definici´on 1.8 (Funci´on inversa)
Dada una funci´onf :A → B llamamos funci´on inversade f, a una funci´on g, que cumple:
g :B → A tal que g◦f =idA y f ◦g =idB. En caso de existir una tal funci´ong, decimos que f es invertible .
Ejemplo 1.8
Sea f : R → R tal que f(x) = 2x−1. Observemos que queremos construir una funci´ong :R→R tal que g(y) =x ⇔y=f(x). Partamos de esa idea:
y=f(x)⇔y= 2x−1⇔ y+ 1 2 =x.
Lo que nos da la idea para tomarg(y) = y+12 . Verifiquemos que g es inversa def. Basta con verificar que f(g(y)) = y∀y∈R y g(f(x)) =x∀x∈R. Ahora,
f(g(y)) = f(y+ 1 2 ) = 2
y+ 1
2 −1 =y, ∀y∈R y
g(f(x)) =g(2x−1) = (2x−1) + 1
2 =x, ∀x∈R. Entonces g es inversa de f.
Observaci´on: De la propia definici´on de funci´on inversa tenemos que si g es inversa de f, entonces f es inversa de g.
Proposici´on 1.4 (Unicidad de la inversa)
Sea f :A → B una funci´on invertible con inversas g y h. Entonces g =h.
Ahora, f(h(y)) = y ∀y ∈ B, aplicando g tenemos que: g(f(h(y))) = g(y) ∀y ∈ B. Utilizando la asociatividad de la composici´on de funciones, obtenemos que: (g◦f)
| {z }
idA
(h(y)) =g(y)∀y∈ B, luego h(y) = g(y)∀y ∈ B.
En conclusi´on, g =h.
Notaci´on: En virtud de la Proposici´on anterior, de existir la inversa de una funci´on, ´esta es ´unica. Si f es una funci´on invertible, anotamos con f−1 a su funci´on inversa.
A continuaci´on veamos un Teorema que nos da una condici´on necesaria y sufi-ciente para que una funci´on sea invertible.
Teorema 1.5
Dada una funci´onf :A → B. f es invertible si y s´olo si es biyectiva.
Demostraci´on: Directo: Sea f invertible. De la definici´on de funci´on inversa sabemos que,f−1es inversa por izquierda y por derecha def. Por tenerf inversa por izquierda, la Proposici´on 1.2 nos asegura que f es inyectiva. An´alogamente, la proposici´on1.3nos asegura que f es sobreyectiva. En resumen,f es biyectiva.
Rec´ıproco: Sea ahora f biyectiva. De la Proposici´on 1.2 f tiene inversa por izquierda g y de la Proposici´on 1.3 f tiene inversa por derecha h. notemos que g y h tienen igual dominio B e igual codominio A, luego por definici´on de h tenemos que f◦h(y) =y para todo y∈ B, aplicando g a ambos lados y usando la asociatividad de la composici´on tenemos
g f ◦h(y)=g(y)⇒ g◦f
| {z }
=idA
(h(y)) = g(y)⇒h(y) =g(y)
En resumen, existe h : B →A tal que h◦f = idA y f ◦h =idB, es decir, f es
invertible.
1.6.
Extensi´
on y Restricci´
on.
Como ya hemos observado, si dos funciones tienen distinto dominio y codominio, entonces no pueden ser iguales, aunque tengan “igual” regla de asignaci´on. El problema de tener distinto codominio puede ser solucionado f´acilmente, por ejem-plo, sif :A → B, podemos redefinir la funci´on comof∗ :A →f(A) e igual regla de asignaci´on. Si bien las funciones f y f∗ son distintas, a los efectos pr´acticos son tratadas como iguales.
El problema de tener distinto dominio es un tanto m´as complejo de resolver. Veamos la definici´on de extensi´on y restricci´on de una funci´on.
Definici´on 1.9 (Restricci´on de una funci´on)
Dada una funci´on f : A → B con f(x) = y, y un conjunto C; C ⊂ A, decimos que f∗ :C → B es una restricci´on de f al conjunto C si f(x) = f∗(x)∀x∈ C.
Notaci´on: La restricci´on def al conjuntoC se suele anotar como:f|C. Es decir:
f|C :C → B tal que f|C(x) =f(x)∀x∈ C.
Ejemplo 1.9
Consideremos la funci´on f : R → R tal que f(x) = x2−4x+ 3. Es claro, que
esta funci´on no es inyectiva ya que f(0) = f(4) = 3. Tratemos de hallar una restricci´on de f a un conjunto C ⊂ R, de modo que C contenga el subconjunto m´as amplio posible de reales positivos yf|C sea inyectiva.
Figura 1.3:Gr´afico de f en el ejemplo1.9
C = [2,+∞) (anal´aticamente, el v´ertice de la par´abola se obtiene en x = 2). Luego, f|[2,+∞) es inyectiva, ya que si x1, x2 ∈ [2,+∞) entonces f(x1) = f(x2)
implicax2
1−4x1+ 3 = x22−4x2+ 3 de aqu´ı quex21−x22 = 4(x1−x2), factorizando
tenemos (x1−x2)(x1+x2) = 4(x1−x2) (*).
Si suponemos quex1 6=x2, digamosx1 > x2, entoncesx1−x2 >0, multiplicando
por su inverso obtenemos de (*) (x1 +x2) = 4, pero como x2 ≥2 y x1 > x2 ≥2
entoncesx1+x2 >4 obteniendo un absurdo.
El absurdo se produce al suponer x1 6= x2, por lo que concluimos que f(x1) =
f(x2) implica x1 =x2, es decir, f|C es inyectiva.
Siguiendo con el ejemplo anterior, tratemos ahora de probar que f|C :C →f(C)
es invertible y hallemos su inversa (C = [2,+∞)).
Es claro que, del ejemplo, f|[2,+∞) es inyectiva. Tambi´en es sobreyectiva, ya que
su codominio es su recorridof|[2,+∞)([2,+∞)) = [−1,+∞). Por lo tanto, f[2,+∞)
Tratemos de hallar la inversa de f|[2,+∞), :
f|[2,+∞)(x) = y ⇔ x2−4x+ 3 =y ⇔x2−4x+ (3−y) = 0
⇔x= 4 +
p
16−4(3−y)
2 o x=
4−p
16−4(3−y) 2
Como 4− √
16−4(3−y)
2 ≤2, existe por sery≥ −1, esta opci´on es descartada, recordar
que queremos x≥2.
De lo anterior concluimos que la inversa de f|[2,+∞) es
f[2−1,+∞) : [−1,+∞)→[2,+∞) tal que f[2−1,+∞)(y) = 4 +
p
16−4(3−y)
2 ∀y ∈[−1,+∞).
Queda a cargo del lector, verificar que la composici´on por izquierda y por derecha, da la identidad.
Definici´on 1.10 (Extensi´on de una funci´on)
Dada una funci´onf :A → B, y un conjuntoX,A ⊂X, llamamos extensi´onde f al conjuntoX, a la funci´ong :X →D tal que B ⊂D y g(x) =f(x) ∀x∈ A.
Observaci´on: Es claro que si g es una extensi´on de f, entonces, f es una re-stricci´on de g.
Ejemplo 1.10
Un ejemplo de la aplicaci´on de extensi´on es el siguiente. Sea f : (−1,1)→R tal que f(x) = (xex−1)((x2−1)x+1).
Es claro que f est´a bien definida, definiendo g : [−1,1] → R tal que g(x) = ex, tenemos que g es una extensi´on de f.
tal que m ≤ g(x) ≤ M ∀ x ∈ [−1,1](*) y adem´as, existen x1, x2 ∈ [−1,1] tal
queg(x1) = m y g(x2) =M.
1.7.
Ejercicios.
1. Dada una funci´on f :A→B y siendo X, Y ⊂A, probar que:
a) f(XS
Y) = f(X)S
f(Y).
b) f(XT
Y)⊂f(X)T
f(Y).
c) ¿Se cumple la igualdad f(XT
Y) =f(X)T
f(Y)?. Demostrar o dar un contra ejemplo.
d) X ⊂Y ⇒f(X)⊂f(Y).
e) f(φ) =φ.
2. Dada una funci´on f :A→B y siendo Y, Z ⊂B, probar que:
a) f−1(Y S
Z) = f−1(Y)S
f−1(Z).
b) f−1(Y T
Z) = f−1(Y)T
f−1(Z).
c) f−1(Yc) = (f−1(Y))c. d) f−1(B) = A.
e) f−1(φ) = φ.
3. a) Probar que si f : A → B y g : B → C son inyectivas, entonces g◦f :A→C es inyectiva.
b) Y si son sobreyectivas, entonces la composici´on tambi´en lo es.
4. Mostrar que una funci´on f : A → B es inyectiva, si y s´olo si, f(A−X) =f(A)−f(X) para todo X ⊂A.
5. Dada una funci´on f :A→B, pruebe que:
a) f−1(f(X))⊃X para todoX ⊂A.
6. Dada una funci´onf :A→B, pruebe que:
a) Para todoZ ⊂B, se tiene f(f−1(Z))⊂Z.
b) f es sobreyectivasii f(f−1(Z)) = Z para todoZ ⊂B.
Conjuntos finitos e infinitos.
2.1.
N´
umeros naturales
El objetivo de este cap´ıtulo es el estudio de conjuntos finitos, conjuntos infini-tos (numerables y no numerables). Esto nos ser´a de ayuda, sobre todo cuando estudiemos sucesiones y series num´ericas y otros aspectos topol´ogicos.
Introducirnos en el mundo de los conjuntos num´ericos, tiene como requisito el estudio detallado de los n´umeros naturales, la definici´on de suma y de producto en este conjunto, as´ı como tambi´en las propiedades de estas operaciones.
No haremos aqu´ı un desarrollo de la teor´ıa de los n´umeros naturales, eso corresponde a los cursos previos. No obstante, recordemos los axiomas de Peano y el tan importante “Principio de buena ordenaci´on”.
Axiomas de Peano: El conjunto de los n´umeros naturales, al que anotaremos
Nes caracterizado por los siguiente hechos:
ii. Existe un ´unico n´umero natural 0∈N tal que 06=s(n) ∀n∈N.
iii. (Principio de inducci´on) Si un conjunto X ⊂ N es tal que 0 ∈ X y s(X)⊂X entonces X =N.
Notaci´on: Ser´a muy com´un en nuestro curso, trabajar con el conjunto
N− {0}={1,2,3,4,5, ...}, por lo tanto, anotaremos N∗ =N− {0}.
Un Teorema muy importante para nosotros, es el Principio de buena ordenaci´on. Seguramente este resultado ya fue estudiado en cursos previos y por eso omitimos aqu´ı su prueba, el lector interesado puede ver una demostraci´on en el Ap´endice (Secci´on2.6.1), en dicha prueba utilizamos s´olo los resultados hasta ahora vistos (no usamos el cuerpo completo de los reales).
Teorema 2.1 (Principio de buena ordenaci´on)
Todo subconjunto no vac´ıo de n´umeros naturales, tiene un elemento m´ınimo.
2.2.
Conjuntos finitos
¿ Qu´e idea intuitiva tienes de lo que es un conjunto finito ?. Seguramente una primera idea ser´ıa que un conjunto es finito cuando podemos contar sus elementos, por ejemplo los dedos de una mano, la cantidad de naranjas en un caj´on, etc. ¿ Pero qu´e hay de la “cantidad” de granitos de arena en la playa Pocitos, o la cantidad de puntos que tiene un segmento de recta ?.
Una primera idea para definir un conjunto finito, como lo har´ıa un ni˜no, es es-tablecer una correspondencia entre los dedos de su mano y los elementos del conjunto. De esta forma, si ya tenemos un conjunto finito A y un conjunto B se biyecta con ´el1 entoncesB tambi´en ser´a finito.
Esta es la idea de partida para definir los conjuntos finitos.
Comenzaremos introduciendo dos conjuntos especiales que ser´an el pilar para definir a los conjuntos finitos
Sea n∈N, anotamos con In al conjunto In={0,1,2, . . . , n}
Sea n∈N∗, anotamos J
n={1,2, . . . , n}
Observaci´on:Es claro queJn=In−{0}, esta notaci´on nos ser´a de gran utilidad
a la hora de indicar cuantos elementos tiene un conjunto.
Definici´on 2.1 (Conjunto finito)
Decimos que un conjunto A es finito si A es vac´ıo (A = ∅) o si existe una funci´on biyectiva f :Jn →A para alg´unn ∈N∗.
Observaci´on: Es indistinto que la funci´on biyectiva sea de dominio Jn y
codo-minioA, a que sea de dominioAy codominioJn. Esto se debe a que toda funci´on
biyectiva es invertible, y su inversa, tambi´en es biyectiva.
Tamb´ıen podemos definir la biyecci´on deAenIn conn∈Nya que h:Jn →In−1
tal queh(x) =x−1 es biyectiva (el lector puede probarlo), de aqu´ı queh−1◦f : In−1 →A es biyectiva por ser composici´on de biyectivas.
Ejemplo 2.1
Sea A={zapato, pera, libro, w}, entonces la funci´on f :J4 →A tal que f(1) =
pera, f(2) = w, f(3) = zapato, f(4) = libro, es claramente biyectiva y por lo tanto A es finito. En este caso, decimos que A tiene 4 elementos.
Definici´on 2.2 (Cardinal)
Sea A un conjunto finito.
Si A = ∅ decimos que A no tiene elementos y convenimos que su cardinal es cero, card(A) = 0
Si A 6= ∅, por ser A finito, existe una funci´on f : Jn → A biyectiva para
alg´unn∈N∗. En este caso decimos que A tiene n elementos y convenimos que su cardinal es n,card(A) =n.
Notaci´on: En muchos libros se suele anotar #(A) para indicar card(A).
Observaci´on:
Notemos que al definir cardinal estamos definiendo una funci´on que toma un conjunto finitoAy le asigna un naturaln. es decircard(A) = nsii existe una biyecci´on entre A y Jn.
¿Pero c´omo saber que dichones ´unico?, en otros t´erminos, nadie nos afirma a´un que dado un conjunto finito A, no pueda ocurrir que A se biyecte con J2 = {1,2} y tambi´en A se biyecte con J13 = {1,2, . . . ,13}. Si fuera este
caso ¿cu´anto vale card(A). . . 2 o 13?.
Intuitivamente el lector debe manejar que si el conjunto finitoA se biyecta con Jn, entonces dicho n es ´unico y por lo tanto card est´a bien definida.
Evitamos desarrollar el tema aqu´ı, pero el lector interesado puede dirigirse a la secci´on 2.6.2 para estudiar el desarrollo de este tema.
La introducci´on de los conjuntosJnfue realizada con el s´olo fin de hacer m´as
¿Es posible biyectar el conjunto {a, b, c} con el conjunto {a, c}?. Segura-mente el lector maneje la respuesta correcta y esta es “claro que no”.
En conjuntos finitos no es posible biyectar un conjunto con una parte propia de ´el, pero ojo, esto no siempre sucede, m´as adelante veremos que es posible hacer una tal biyeccion en conjuntos que no son finitos. ´Esto ser´a un punto de distinci´on entre los conjuntos finitos y los conjuntos no finitos (infinitos).
En la secci´on2.6.2el lector podr´a encontrar el desarrollo de estos resultados para conjuntos finitos.
2.3.
Conjuntos infinitos
Como ya hab´ıamos adelantado, a todo conjunto que no sea finito le llamare-mos conjunto infinito. Muchas interrogantes aparecen aqu´ı: ¿existen conjuntos infinitos?, ¿que propiedades tienen?, ¿c´omo clasificarlos?, ¿existe algo como el cardinal?.
Algunas preguntas las responderemos aqu´ı y otras quedar´an para cursos posteri-ores, comencemos por formalizar la definici´on:
Definici´on 2.3 (Conjunto infinito)
Decimos que un conjunto A es infinitosi A no es finito.
Para asegurar la existencia de conjuntos infinitos veamos un ejemplo.
Ejemplo 2.2
Recordemos que hab´ıamos visto que no es posible biyectar un conjunto finito con alguna parte propia de ´el. Veremos ahora que esto s´ı es posible en conjuntos infinitos.
Generalmente, al estudiante que se enfrente por primera vez a estos temas le cuesta mucho asimilar estos conceptos. Ello es debido en parte a que a´un no ha incorporado el concepto de “infinito”. Un comentario que siempre hago a mis estudiantes: “con el infinito pasan cosas raras ”. El concepto de infinito es uno de los que a´un hoy, muchos a˜nos despu´es de haberlo estudiado por primera vez, no deja de asombrarme.
Pasemos ahora a estudiar este resultado:
Teorema 2.2
Sea X un conjunto infinito entonces existe una funci´on f :N→X inyectiva.
Demostraci´on: Dado un conjunto X, anotamos xX a un elemento
arbi-trario, fijo en X. Por ser X infinito, X 6= ∅. Definamos f(0) = xX,
sea ahora A1 = X − {f(0)} y definamos f(1) = xA1. Supongamos,
in-ductivamente, que tenemos definidos f(0), f(1), . . . , f(n − 1) y definamos f(n) = xAn, donde An =X− {f(0), f(1), . . . , f(n−1)} 6=∅por ser X infinito y
{f(0), f(1), . . . , f(n−1)} finito. Probemos ahora que f es inyectiva.
Si m, n ∈ N, supongamos m < n, entonces f(m) ∈ {f(0), f(1), . . . , f(n−1)}, como f(n)∈An,f(n)6∈ {f(0), f(1), . . . , f(n−1)}. Con lo que tenemosf(m)6=
f(n).
An´alogamente se prueba si m > n. Por lo tanto, si m 6=n ⇒f(m)6= f(n) ⇒f
Ejercicio 1
Para facilitar la comprenci´on del pr´oximo resultado, le propongo al lector que pruebe que la funci´on f :N→N∗ tal que f(n) =n+ 1 es biyectiva.
Del ejercicio anterior el lector tendr´a un ejemplo de un conjunto, en este caso N que puede ser biyectado con un subconjunto propio de ´el, en este caso N∗. Veamos ahora el resultado en forma general:
Corolario 2.2.1
Un conjunto es infinito, si y s´olo si existe una biyecci´on entre ´el y una parte
propia de ´el.
Demostraci´on: Directo: Sea X infinito, del Teorema 2.2 tenemos que existe f : N → X inyectiva. Sean f(0) = x0, f(1) = x1, . . . , f(n) = xn, . . . e Y =
X− {x0}(X.
Definamos la funci´on g :X →Y tal que
g(x) =
x si x6∈ {x0, . . . , xn, . . .}
xn+1 si x=xn para alg´unn ∈N
Probemos queg es inyectiva. Sean a, b∈X con a6=b entonces:
1. Si a, b6∈ {x0, . . . , xn, . . .} ⇒g(a) =a6=b=g(b).
2. Si a ∈ {x0, . . . , xn, . . .} y b 6∈ {x0, . . . , xn, . . .}, entonces g(a) ∈
{x0, . . . , xn, . . .} y g(b) = b6∈ {x0, . . . , xn, . . .} por lo que g(a)6=g(b).
3. Si b∈ {x0, . . . , xn, . . .}y a6∈ {x0, . . . , xn, . . .} es an´alogo al caso anterior.
4. Si a, b∈ {x0, . . . , xn, . . .} ⇒ ∃m, n ∈N tal que xn =a 6=b = xm, por ser
f funci´on (f(n) =xn yf(m) =xm)tenemos quen 6=m, luegoxn+1 6=xm+1
Probemos que g es sobreyectiva: sea y∈Y =X− {x0}.
1. Siy 6∈ {x1, . . . , xn, . . .} ⇒g(y) =yy por lo tantoytiene alguna preimagen.
2. Si y ∈ {x1, . . . , xn, . . .} ⇒ ∃n ∈N∗ tal quey = xn, luego n−1 ∈N y por
lo tanto g(xn−1) = xn=y, es decir, y tiene preimagen.
De lo anterior concluimos que g es biyectiva.
Rec´ıproco: Sea f : X → Y biyectiva con Y ( X. Supongamos que X es finito, del Corolario 2.8.1 tenemos que no existe ninguna biyecci´on de X con un subconjunto propio en absurdo con la hip´otesis. Por lo tanto,X es infinito.
Observaci´on:Es importante resaltar el resultado anterior: Para que un conjunto sea infinito, es necesario y suficiente que exista una biyecci´on entre el conjunto y un subconjunto propio de ´el. Claramente este es un punto de distinci´on entre los conjuntos finitos y los conjuntos infinitos.
En vista de muchas malas interpretaciones al resultado, vale la pena agregar un comentario. Lo que probamos arriba es que existe una biyecci´on entre X y una parte propia de X, pero ojo, no es cierto que cualquier parte propia se pueda biyectar con X, por ejemplo si X =N, no es posible biyectar N con el conjunto {0,1,2} ¿por qu´e?.
2.4.
Conjuntos numerables
En esta secci´on estudiaremos una primer clasificaci´on de los conjuntos infinitos. En otros cursos posteriores el estudiante podr´a profundizar estos conceptos. Gran parte del estudio de conjuntos infinitos, es dedicado a investigar, si sus elementos pueden ser relacionados uno a uno, con los n´umeros naturales. Si bien la idea de conjunto numerable es m´as general, esencialmente de eso se trata. Una primera idea para acercarnos al concepto de conjunto numerable, es que po-damos asignar un n´umero natural a cada elemento del conjunto, y que “podamos cubrirlo por completo”, es decir, que los naturales nos “alcancen” para renombrar los elementos del conjunto. Esto nos lleva a la siguiente definici´on:
Definici´on 2.4 (Conjunto numerable)
Decimos que un conjunto A es numerablesi:
A es finito o
existe una biyecci´on entreA y N
Observaci´on: Vale aclarar que estamos definiendo a los conjuntos finitos como numerables. Esto es realizado para mantener el concepto de numerar asociado a indicar el primer elemento del conjunto, luego el segundo elemento, etc.
Ejemplo 2.3
1. N es numerable pues f :N→Ntal que f(n) = n es biyectiva. 2. ∅, el conjunto vac´ıo, es finito y por tanto numerable.
4. M´as adelante probaremos que Q, el conjunto de los n´umeros racionales, es numerable y que R no es numerable.
Observaci´on: Es indistinto que la biyecci´on sea deA enNque deN enA. Esto se debe a que si la funci´on es biyectiva es invertible, y su inversa es biyectiva. Al igual que hicimos en las secciones anteriores, dejamos para el ap´endice (en este caso secci´on 2.6.3) el estudio de algunos resultados que pueden ser claramente v´alidos para los estudiantes. De esta forma nos concentramos en resultados no tan conocidos y que ser´an de gran utilidad para lo que sigue del curso y para pr´oximos cursos.
Para avanzar m´as rapidamente, si tenemos una funici´onf :X →Ninyectiva, esto puede ser intuitivamente interpretado como que X tiene “menos” elementos que
N y por ende X ser´a numerable. De forma similar si g : N→ Y es sobreyectiva
entonces Y ser´a numerable. Insisto que estos resultados est´an desarrollados en la secci´on 2.6.3
A partir de estos resultados pasemos ahora a un resultado relativamente sencillo, pero de gran utilidad:
Proposici´on 2.3
N×N es numerable.
Demostraci´on: Sea f : N×N → N tal que f(m, n) = 2m3n, en virtud de la
unicidad de la descomposici´on de un natural en factores primos tenemos que f es inyectiva y como comentamos antes, N×N es numerable (formalmente, del Corolario 2.10.2 tenemos que N×N es numerable).
numerable entonces existe una funci´on biyectiva deN→X. En resumen, siX es numerable, no vac´ıo, entonces existe una funci´on sobreyectiva f :N→X. Notemos que si X = ∅ entonces X ×Y = ∅ y X∪Y = Y, por ende podemos concentrarnos en estudiar los casos en que X 6=∅.
Corolario 2.3.1
El producto cartesiano de dos conjuntos numerables es numerable.
Demostraci´on: Sean X e Y numerables, entonces existen f1 : N → X y f2 :
N→Y sobreyectivas.
Definamos la funci´on f :N×N→X×Y tal que f(m, n) = (f1(n), f2(m)).
Mostremos que f es sobreyectiva. Sea (x, y)∈X×Y, entoncesx∈X ey ∈Y. Por serx∈X y f1 sobreyectiva tenemos que existe m∈Ntal que f1(m) =x. De
forma an´aloga, por ser y∈Y y f2 sobreyectiva, existe n ∈N tal que f2(n) =y.
Por lo tanto f(m, n) = (f1(m), f2(n)) = (x, y) y por lo tanto el elemento (x, y)
tiene preimagen, es decir,f es sobreyectiva y por tantoX×Y es numerable (for-malmente: por el Corolario2.10.3, siendoN×Nnumerable (Corolario2.3)tenemos
queX×Y es numerable).
Ejemplo 2.4
En el ejercicio6b el lector mostrar´a queZes numerable, siendo Z∗ =Z− {0} un subconjunto de un conjunto numerable, tambi´en es numerable y por ende Z×Z∗
es numerable.
De aqu´ı que Q, el conjunto de los n´umeros racionales, es numerable.
Siendo X1, . . . , Xn numerables, lo que puede observarse en el siguiente esquema:
((X1×X2)
| {z }
numerable ×X3)
| {z }
numerable ...
× · · · ×Xn
| {z }
numerable
Lamentablemente, el producto cartesiano infinito de conjuntos numerables no es necesariamente numerable, omitimos aqu´ı mostrar un ejemplo de ello pero el estudiante interesado puede dirigirse al libro de Elon Lages Lima.
Otro gran resultado es lo referente a la uni´on de conjuntos numerables. Antes de comentar demos algunas aclaraciones.
La uni´on de dos conjuntosX1yX2podemos anotarlaX1∪X2 o tambien podemos
anotarla S
i∈{1,2}Xi o tambi´en S2i=1Xi.
De igual forma, por s´olo cuesti´on de notaci´on,
X1∪X2∪ · · · ∪Xn=
[
i∈L
Xi = n
[
i=1
Xi
dondeL={1,2,3, . . . , n}. En este caso el conjuntoLes finito y por ende decimos que es una uni´on finita, se unen finitos conjuntos.
Pero L puede ser tambi´en infinito, en este caso se unen infinitos conjuntos, por ejemplo si tenemos
[0,+∞) = [
i∈N
[n, n+ 1)
en este casoL=Nes infinito y decimos que la uni´on es infinita, se unen infinitos conjuntos.
Ahora, decimos que S
i∈LXi es una uni´on numerable, si el conjunto Les
Corolario 2.3.2
La uni´on numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable.
Demostraci´on: SeanX1, . . . Xn, . . .conjuntos numerables, deseamos probar que
+∞
[
n=1
Xn es numerable.
Como X1, . . . Xn, . . . son conjuntos numerables, existen funciones f1 : N →
X1, . . . fn :N→Xn, . . . sobreyectivas.
Seaf :N×N→
+∞
[
n=1
Xntal quef(m, p) = fm(p). Probemos quef es sobreyectiva.
Dadox ∈S+∞
n=1Xn, entonces x∈Xm0 para alg´unm0 ∈N. Siendo fm0
sobreyec-tiva, existe un natural p0 tal que fm0(p0) = x, luego f(m0, p0) = fm0(p0) =x y
por lo tanto, todo elemento de S+∞
n=1Xn tiene una preimagen en N×N. Siendo
f sobreyectiva y N×N numerable, del Corolario 2.10.3 tenemos que
+∞
[
n=1
Xn es
numerable.
Vamos ahora en la b´usqueda de la existencia de conjuntos no numerables. Para no desperdiciar esfuerzos, nos dirigimos a probar queR, el conjunto de los n´umeros reales, es no numerable. Para llegar a este resultado, probaremos otros que ser´an de gran inter´es a medida que avance el curso.
Comencemos por recordar la estructura de cuerpo ordenado y completo que car-acteriza a R. Vale aclarar que aqu´ı el tema se da por sabido dado que pertenece a cursos previos pero haremos de todos modos un r´apido repaso.
2.5.
N´
umeros reales
Recordemos brevemente queR es un cuerpo:
i Asociatividad: Para todox, y, z ∈R, (x+y) +z =x+ (y+z) y (x·y)·z = x·(y·z).
ii Conmutatividad: Para todo x, y ∈R, x+y=y+x y x·y=y·x.
iii Neutros: Existen en Rdos elementos distintos, 0 y 1 tales que x+ 0 =x y x·1 =x para todo x∈R.
iv Inversos: Todo real x ∈ R posee un inverso aditivo (−x) ∈ R tal que x+ (−x) = 0 y, si x6= 0, existe tambi´en su inverso multiplicativo x−1 ∈R tal que x·x−1 = 1.
v Distributiva: Para todo x, y, z ∈R, x·(y+z) = x·y+x·z.
Muchas propiedades pueden ser deducidas de ´estas. Tal trabajo fue realizado en cursos previos.
Recordemos tambi´en que Res un cuerpo ordenado: Esto significa que existe un conjunto R+, con
R+ ⊂ R, llamado el conjunto de
los n´umeros positivos, que cumple las siguientes condiciones:
i Si x, y ∈R+, entonces x+y∈
R+ y x·y∈R+.
ii Dado x∈R, exactamente una de las tres siguientes alternativas ocurre:
x∈R+
x= 0 −x∈R+
iii SiR−={x∈R:−x∈R+}, entonces
R=R+∪R−∪{0}dondeR+,R−,{0}
Por ´ultimo recordemos que Res completo:
Dado un conjuntoX ⊂Racotado superiormente,Xtiene supremo enR, es decir, existeS ∈ R tal que x ≤S para todo x ∈X y dado ε >0 existe x∈ X tal que S−ε < x≤S.
An´alogamente, cualquier conjuntoX incluido en R, acotado inferiormente, tiene ´ınfimo en R, es decir, existeI ∈Rtal que x≥I para todox∈X y dado ε >0
existex∈X tal que I ≤x < I +ε.
Pasemos r´apidamente ahora a los puntos de inter´es para nuestro curso.
Un intervalo cerrado se dice degenerado cuando su extremo superior coincide con su extremos inferior, es decir, [a, b] es degenerado cuandoa=b.
Definici´on 2.5 (Sistema de intervalos encajados)
Sean I1, I2, . . . , In, . . . ⊂ R intervalos cerrados, decimos que la familia {In : n ∈
N∗} es un sistema de intervalos encajados si In es no degenerado para todo
n∈N∗ y adem´as I
1 ⊃I2 ⊃ · · · ⊃In⊃ · · ·.
Mostraremos ahora un importante resultado que, entre otras cosas nos ayudar´a a mostrar que R no es numerable.
Teorema 2.4 (Intervalos encajados)
Sea {In:n∈N∗} un sistema de intervalos encajados, entonces T
+∞
n=1In 6=∅.
En otras palabras, la intersecci´on de una sucesi´on decreciente de intervalos cer-rados no degenecer-rados no es vac´ıa.
Demostraci´on: Sea In = [an, bn] ∀ n ∈ N∗, por ser [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⊃
De suponer que existe alg´unm > ntal quebm < antendr´ıamosbm< amy [am, bm]
no ser´ıa un intervalo, por lo tanto a1 ≤a2 ≤ · · · ≤an≤ · · · ≤bn≤ · · · ≤b2 ≤b1.
Luego, bn es cota superior de A = {a1, a2, . . . , ai, . . .} para todo n ∈ N∗. Siendo
A ⊂ R acotado superiormente, A tiene supremo. Sea c = supA, de lo anterior tenemos que an ≤ c≤ bn ∀ n ∈N∗, entonces, c∈ In ∀ n ∈N∗ y por lo tanto
c∈T+∞
n=1In, es decir,
T+∞
n=1In6=∅.
Ejemplo 2.5
Probemos que T+∞
n=1[−1/n,1/n] = {0}. Es claro que 0 ∈ [−1/n,1/n]∀ n ∈ N ∗
y de aqu´ı que 0 ∈ T+∞
n=1[−1/n,1/n]. Probemos ahora que
T+∞
n=1[−1/n,1/n] ⊂
{0}. Supongamos que existe c > 0, c ∈ T+∞
n=1[−1/n,1/n], por la propiedad de
Arqu´ımedes, existe un natural n0 tal que n0 > 1c y de aqu´ı que n10 < c, por lo
tanto c6∈[−1/n0,1/n0] y de aqu´ı que que c6∈T +∞
n=1[−1/n,1/n] en absurdo con lo
supuesto. De forma an´aloga se prueba para c < 0. Por tanto T+∞
n=1[−1/n,1/n] =
{0}.
Teorema 2.5
El conjunto de los n´umeros realesR es no numerable.
Demostraci´on: Probemos que no existe funci´on algunaf :N→Rsobreyectiva, con esto, no existe funci´on alguna f : N → R biyectiva y por tanto R no es numerable.
Seaf :N→Runa funci´on arbitraria. Tomemos un intervalo no degeneradoI0tal
que f(0) 6∈I0. Inductivamente, supongamos que tenemos definidos los intervalos
no degeneradosI0, I1, . . . , Intal quef(j)6∈Ij conj = 0, . . . , ny tomemosIn+1de
In+1 =
In si f(n+ 1)6∈In
h
an,f(n+1)+2 an
i
si f(n+ 1)∈In, f(n+ 1)6=an
h
bn+f(n+1)
2 , bn
i
si f(n+ 1)∈In, f(n+ 1) =an
De esta forma, {In : n ∈ N} es un sistema de segmentos encajados y adem´as
f(n)
(1)
6∈ In para todo n ∈ N. Por ser {In : n ∈ N} un sistema de segmentos
encajados, el Teorema 2.4 nos afirma que existe c ∈ T+∞
n=0In. Luego f(n) 6= c
para todo natural n, pues de ser f(n0) = c tendr´ıamos que f(n0) ∈ In0 en
absurdo con (1). Concluimos quef :N→R no es sobreyectiva y por tanto no es biyectiva. Siendof una funci´on arbitraria, tenemos que no existe alguna funci´on biyectivaf :N→Ry por tanto R no es numerable.
Algunos resultados adicionales son desarrollados a partir de este:
Corolario 2.5.1
Cualquier intervalo no degenerado es no numerable.
Demostraci´on: Sea I un intervalo no degenerado, abierto o cerrado, acotado o no. Tomemos (a, b)∈I y probemos que (a, b) es no numerable, de aqu´ı que I no es numerable.
La funci´on g : (−1,1)→(a, b) tal que g(x) = b−2ax+ b+2a es una biyecci´on entre (−1,1) y (a, b), de donde basta probar que el intervalo (−1,1) es no numerable. Sea f : R → (−1,1) tal que f(x) = x
1+|x|. Dejamos como ejercicio probar que f
es biyectiva. Con este resultado obtenemos que (−1,1) es no numerable y por lo
tanto (a, b) e I son no numerables.
Teorema 2.6
Sea I un intervalo no degenerado, existen q, r ∈I con q∈Q y r∈R−Q.
Demostraci´on: En el intervalo no degenerado I siempre hay irracionales, pues de lo contrarioI ⊂Qy tendr´ıamos queI es numerable, en absurdo con el Teorema anterior. Sean a y b irracionales en I, supongamos a < b, por lo tanto (a, b)⊂I. Tomemos n ∈ N∗ tal que 1
n < b−a. Los Intervalos Im = [m/n,(m+ 1)/n] con
m ∈ Z son tales que [
m∈Z
Im = R. Por lo tanto, existe m ∈ Z tal que a ∈ Im.
Como a es irracional, tenemos que m/n < a <(m+ 1)/n. Por ser la longitud de Im menor queb−a, tenemos que (m+ 1)/n < b. Luego, (m+ 1)/n ∈(a, b) y es
2.6.
Ap´
endice
2.6.1.
El PBO
Un Teorema muy importante para nosotros, es el Principio de buena ordenaci´on. Por tal motivo, merece que hagamos aqu´ı una demostraci´on. Las ´unicas her-ramientas que nos permitiremos utilizar son las que se deducen de los axiomas de Peano. En cursos previos, se pudo haber visto alguna demostraci´on, utilizando el cuerpo completo de los n´umeros reales. Aqu´ı daremos otra, que nos servir´a de guia en el estilo de las demostraciones que tendremos luego.
Teorema 1 (Principio de buena ordenaci´on: 2.1)
Todo subconjunto no vac´ıo de n´umeros naturales, tiene un elemento m´ınimo.
Demostraci´on: Sea A⊂N con A6=∅, probemos queA tiene m´ınimo, es decir, existen0 ∈A tal que n0 ≤n ∀n ∈A.
Consideremos el conjunto In y el conjunto X, definidos como sigue:
In={p∈N/ p≤n}={0,1,2,3, ..., n}, X ={n∈N/ In⊂(N−A)}
Notemos, primero que nada, queXes el conjunto de los primeros naturales, hasta que se encuentra alg´un elemento deA. A modo de ejemplo, siA={5,8,12,13} en-tonces N−A={0,1,2,3,4, 6,7, 9,10,11, 14,15,16, ...} y X = {0,1,2,3,4}, pues, I5 6⊂(N −A), I6 6⊂(N −A), . . .
Si 0 ∈ A, el Teorema queda demostrado, pues 0 es el menor elemento de N. Recordemos que 0 no es el siguiente de ning´un natural.
Si 0 6∈ A, entonces I0 ⊂ (N−A) y de aqu´ı que 0 ∈ X. Por ser A 6= ∅ tenemos
cumple la segunda hip´otesis, es decir, existe un natural n1 ∈ X tal que s(n1) =
n1+ 1 6∈ X, es decir n1+ 1 ∈ A. Llamando n0 =n1+ 1 tenemos que todos los
naturales anteriores a n0 pertenecen a X (1,2, . . . , n0 −1 ∈ X)y por ende no
pertenecen a A, de aqu´ı que n0 es el m´ınimo de A.
La afirmaci´on que n0 es el m´ınimo deA es justificada por ser n0 ∈A y todos los
naturales que son menores que n0 pertenecen a X, o sea, no est´an en A.
2.6.2.
Un desarrollo sobre conjuntos finitos
Mostraremos aqu´ı varios resultados. En primera instancia mostraremos que no existe una biyecci´on entre un conjunto finito y un subconjunto propio, finalizare-mos finalizare-mostrando que el cardinal est´a bien definido.
Comencemos con un lema para descongestionar la prueba del resultado pincipal:
Lema 2.7
Sea f : A → B biyectiva y sean a ∈ A y b ∈ B, entonces, existe una funci´on biyectiva g :A → B tal que g(a) = b.
Demostraci´on: Sea b0 = f(a), por ser f sobreyectiva, podemos asegurar que existe a0 ∈ A tal que f(a0) = b. Definamos la funci´on g : A → B con regla de asignaci´ong(a) = b, g(a0) = b0 y g(x) = f(x) ∀x∈(A − {a, a0}).
Queda a cargo del lector verificar que g es biyectiva. Luego, la funci´on cumple la tesis, lo que asegura la existencia de una tal funci´on.
Teorema 2.8
Sea n∈NyA un subconjunto propio del conjuntoIn, es decirA(In. Entonces,
no existe ninguna funci´onf :A→In biyectiva.
A(In. SeaB ={n ∈N: existe una funci´on f :A→In biyectiva con A(In}.
Es claro queB ⊂Ny del supuesto podemos asegurar queB 6=∅. Por el principio de buena ordenaci´on tenemos que B tiene m´ınimo, sean0 = m´ınB.
Observemos quen0 >0, pues de sern0 = 0 obtendr´ıamos una funci´onf :∅ → {0}
biyectiva, lo cual es imposible ya que 0 no tiene preimagen yf no es sobreyectiva. Como n0 ∈ In0 y existe una funci´on f : A → In0 biyectiva para alg´un conjunto
A(In0, entonces existe a∈A tal que f(a) =n0.
i Si n0 6∈A, entoncesA− {a}(In0−1 y la funci´on
f∗ : (A− {a})→In0 − {n0} | {z }
In0−1
tal que f∗(x) =f(x) ∀x∈ (A− {a})
es biyectiva en absurdo con la minimalidad de n0.
ii Si n0 ∈ A, por el Lema 2.7 sabemos que existe una biyecci´on g : A →
In0 tal que g(n0) = n0. Nuevamente tenemos que A − {n0} ( In0−1 y
g∗ : (A− {n0})→In0−1 tal que g
∗(x) =g(x)∀x∈(A− {n
0}) es biyectiva
en absurdo con la minimalidad de n0.
El absurdo se produce al suponer la existencia de una funci´onf :A→Inbiyectiva
con A(In.
Corolario 2.8.1
Sea X un conjunto finito, entonces no existe ninguna biyecci´on entre X y un
subconjunto propio de X.
Demostraci´on: Supongamos que existe una funci´on biyectiva f :X →Y para alg´unY (X.
Por ser X finito (seg´un la oservaci´on a la definici´on de conjunto finito) existe una funci´on biyectiva g : Im → X para alg´un m ∈ N. Como Y ⊂ X entonces
Recordemos que Y ( X, es decir, existe b ∈ X tal que b 6∈ Y, por ello que g−1(b)6∈ A y de aqu´ı que A ( Im Definamos h :A → g(A) tal que h(x) = g(x)
(restringimos g sobre A y ajustamos el codominio para que sea sobreyectiva). Notemos quehes inyectiva por heredar esta propiedad de g, adem´as es sobreyec-tiva ya que su codominio es justo su dominio, de aqu´ı que h es biyectiva.
Ahora, h◦f ◦g−1 :A→Im es biyectiva peroA(Im generando un absurdo con
lo probado el el Teorema 2.8.
El absurdo se produce al suponer que existe una funci´on biyectiva f : X → Y
para alg´unY (X.
Observaci´on:del corolario anterior se desprende que no existe ninguna biyecci´on entre Jn y alg´un subconjunto propio de Jn, esto se debe a que Jn es finito.
Corolario 2.8.2
Sean las funciones f :Jn →X y g :Jm →X biyectivas, entonces n =m.
Demostraci´on: Supongamos que n < m, entonces Jn ( Jm. Siendo g−1◦f :
Jn→Jmbiyectiva, encontramos un absurdo con el Corolario2.8.1. An´alogamente
se prueba si se supone m < n.
Generalicemos el concepto de “cantidad de elementos”, el Corolario 2.8.2 nos asegura que de existir una biyecci´on entre Jn y un conjunto A, el n ∈ N∗ es
´
unico, es por este motivo que la siguiente definici´on es consistente.
Definici´on 2.6 (Cardinal)
Sea Aun conjunto finito. SiA=∅decimos que A no tiene elementos y anotamos card(A) = 0 (cardinal de A). Si A 6= ∅, por ser A finito, existe una funci´on
f : Jn → A biyectiva para alg´un n ∈ N∗. En este caso decimos que A tiene n
Para culminar, veamos la prueba de otros resultados que seguramente el lector tenga incorporados. Mostremos que todo subconjunto de un conjunto finito es tambi´en un conjunto finito:
Teorema 2.9
Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.
Demostraci´on: Primero: Sea X finito y a ∈ X,probemos que X − {a} es finito.
Como X es finito existe una biyecci´on f : Jn → X para alg´un n ∈ N∗, por el
Lema 2.7 podemos asegurar que existe una biyecci´on g :Jn →X con g(n) = a.
Sin= 1 entoncesX−{a}=∅es finito. Sin >1, la funci´ong∗ :Jn−1 →(X−{a})
tal que g∗(x) =g(x) ∀x ∈(X− {a}) es una biyecci´on y por lo tanto (X− {a}) es finito.
Segundo: Para demostrar el caso general hagamos inducci´on completa.
Sicard(X)≤1 entonces sus ´unicos subconjuntos son: el conjunto vac´ıo yX (no se niega queX pueda ser el conjunto vac´ıo), como estos subconjuntos son finitos no hay nada que probar.
Supongamos que el Teorema es v´alido para todo conjunto den elementos. SeaX un conjunto finito con card(X) = n+ 1 e Y ⊂ X. Si Y = X es claro que Y es finito, siY (X ⇒ existea ∈X tal que a 6∈Y, es decir, Y ⊂(X− {a}), Siendo card(X− {a}) = n (ver ejercicio 3c), por la hip´otesis inductiva tenemos que Y
es finito.
Corolario 2.9.1
Un conjunto X ⊂N es finito, si y s´olo si es acotado.
entoncesX ={x1, . . . xn}para alg´unn∈N∗, sea p=x1+· · ·+xn∈N∗, entonces
p es cota superior de X y por lo tantoX es acotado.
Rec´ıproco: Siendo X ⊂ N un conjunto acotado, existe alg´un natural p tal que x≤p para todox∈X, es decir, X ⊂Ip, del Teorema2.9, siendoIp finito,X es
finito.
2.6.3.
Algo m´
as de numerabilidad
Un primer resultado que puede resultar inmediato es que un subconjunto de un conjunto numerable es tambi´en numerable:
Teorema 2.10
Cualquier subconjunto de N es numerable.
Demostraci´on: i. Si X ⊂N es finito, entonces es numerable.
ii. Si X ⊂N es infinito debemos encontrar una biyecci´on entreX y N.
Por ser X infinito X 6= ∅ y por hip´otesis X ⊂ N. Por el principio de buena ordenaci´on podemos asegurar que existe el m´ınimo deX, definamos f(0) = m´ın(X).
Inductivamente definimos f : N → X tal que f(n + 1) = m´ın(X − {f(0), . . . , f(n)}), dicho m´ınimo existe por el principio de buena ordenaci´on (observemos queX− {f(0), . . . , f(n)} 6=∅).
Probemos que f es biyectiva. Seanm, n∈N, supongamosm < n, entonces f(m) ∈ {f(1), . . . , f(n−1)} pero f(n) = m´ın(X− {f(0), . . . , f(n−1)}), de aqu´ı que f(n) 6∈ {f(0), . . . , f(n −1)} y por lo tanto f(m) 6= f(n). An´alogamente se prueba si m > n. Concluimos que f es inyectiva.
X − {f(0), . . . , f(n)}, es decir, c es mayor que todos los elementos del conjuntoA ={f(0), . . . , f(n), . . .}y por lo tanto el conjuntoA, que est´a in-cluido en N, es acotado. El Corolario 2.9.1 nos asegura que A es finito. La funci´on f∗ : N → A tal que f∗(x) = f(x) es inyectiva por lo demostrado arriba y el ejercicio 2 nos afirma que N es finito. El absurdo se produce al suponer que f no es sobreyectiva.
Concluimos que f es biyectiva y por lo tanto X es numerable.
Los siguientes corolarios son utilizados en los resultados principales de numerabil-idad. Adem´as el lector puede tomarlos como guia al momento de resolver algunos ejercicios de similares caracter´ısticas.
Corolario 2.10.1
Sea N0 ⊂N y f :X →N0 biyectiva, entonces X es numerable.
Demostraci´on: Si N0 es finito (existe g : N0 → Jn biyectiva), entonces X es
finito (g◦f :X →Jn biyectiva) y por tanto numerable.
Sea N0 infinito, como N0 ⊂N,por el Teorema 2.10, tenemos que N0 es numerable y por ser infinito, existe h:N0 →Nbiyectiva. Ahora, h◦f :X →N es biyectiva
y por lo tantoX es numerable.
Corolario 2.10.2
Sea f :X →Y inyectiva, si Y es numerable entoncesX es numerable.
Demostraci´on: Si X es finito, entonces X es numerable.
inyectiva. Luego,h :X →(g◦f)(X) tal que h(x) = (g◦f)(x) es biyectiva y por el Corolario 2.10.1, al ser (g◦f)(X)⊂N, tenemos que X es numerable.
Observaci´on: Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable. En efecto, sea X ⊂ Y con Y numerable. La funci´on f : X →Y tal que f(x) =x es inyectiva y por el Corolario 2.10.2 tenemos que X es numerable.
Corolario 2.10.3
Sea f :X →Y sobreyectiva, siX es numerable entonces Y es numerable.
Demostraci´on: Por serf sobreyectiva, del Teorema 1.3, tenemos quef admite inversa a derecha, es decir, existe h:Y →X tal que f ◦h=idY, pero f es una
inversa a izquierda dehy por el Teorema1.2tenemos queh:Y →X es inyectiva. Aplicando el Corolario 2.10.2, siendo h inyectiva y el codominio X numerable,
2.7.
Ejercicios
1. Dada f :X →X con X finito, pruebe que:
a) Si f es inyectiva entonces f es biyectiva.
b) Si f es sobreyectiva entonces f es biyectiva.
2. Dada f :X →Y, pruebe que:
a) Si Y es finito yf es inyectiva entoncesX es finito.
b) Si X es finito y f es sobreyectiva, entonces Y es finito.
3. Sea X un conjunto finito, pruebe que:
a) Si X e Y son finitos y disjuntos entonces card(X∪Y) = card(X) +card(Y).
b) Si Y ⊂X entonces card(X−Y) = card(X)−card(Y).
c) Si X es finito e Y ⊂X entonces card(Y)≤card(X).
d) Si X e Y son finitos entonces X∪Y es finito y card(X∪Y) = card(X) +card(Y)−card(X∩Y)
4. Dada f :X →Y, pruebe:
a) Si X es infinito y f es inyectiva entonces Y es infinito.
b) Si Y es infinito y f es sobreyectiva, entonces X es infinito.
5. SeanX un conjunto finito eY un conjunto infinito. Pruebe que existe una funci´on inyectiva f :X →Y y una funci´on sobreyectivag :Y →X.
6. Pruebe que los siguientes conjuntos son numerables:
b) El conjunto de los n´umeros enteros Z.
c) El conjunto √2Q, de los n´umeros racionales multiplicados por √2.
7. Pruebe que existe g : N → N sobreyectiva tal que g−1({n}) es infinito, para cada n ∈N.
8. Para cada n∈N, sea Pn={X ⊂N, card(X) = n}.
a) Pruebe que Pn es numerable.
b) Concluya que el conjunto Pf de los subconjuntos finitos de N es
nu-merable.
9. Sean Y numerable y f : X → Y sobreyectiva tal que, para cada y ∈ Y, f−1({y}) es numerable. Pruebe queX es numerable.
10. a) Pruebe que el conjunto de los polinomios con coeficientes enteros es numerable.
b) Un n´umero real se llama algebraico cuando es ra´ız de un polinomio con coeficientes enteros. Pruebe que el conjunto de los n´umeros algebraicos es numerable.
c) Un n´umero real es llamado trascendente cuando no es algebraico. Pruebe que existen n´umeros trascendentes y que adem´as no son nu-merables.
Sucesiones num´
ericas
En este cap´ıtulo trataremos a un grupo importante de funciones, las sucesiones. ´estas nos ser´an de apoyo a lo largo todo el curso. Es por este motivo que es conveniente estudiarlas con detenimiento.
3.1.
Conceptos iniciales
Definici´on 3.1 (Sucesi´on real)
Una sucesi´on real, o tambi´en llamada sucesi´on num´erica (de n´umeros reales),
es una funci´on x : N0 → R, donde el conjunto N0 es un subconjunto infinito de n´umeros naturales (N0 ⊂N).
Observaci´on:
1. Siendo N0 un subconjunto infinito de N sabemos que existe una funci´on i : N → N0 biyectiva. Luego, la sucesi´on x :
N0 → R puede ser pensada
simplemente como una funci´on con dominio natural, es decir, x◦i:N→R.