Aquí

I F

Integración

8

8.1 Funciones integrables 113 8.2 Teorema fundamental del Cálculo 119 8.3 Ejer-cicios 122

El área de un recinto, la longitud de un cable que cuelga entre dos postes, el volumen o la superficie de una esfera...Estos son el tipo de problemas que vamos a resolver en este capítulo. Para ello presentamos el concepto de integral de una función.

8.1 Funciones integrables

Definición 8.1. Unapartición P de un intervalo[a,b] es un conjunto finito del tipoP = {x0,x1, . . . ,xn}donde

a=x0< x1< . . . < xn ₁< xn=b.

Ejemplo 8.2. Los conjuntos{0,1_},n0,1₂,1oon0,1₃,1₂,1oson particiones del intervalo[0,1]. No lo son, en cambio, conjuntos comon0,1

2,13,1 o

,n0,1 3,12

o .

Definición 8.3. Sea f : [a,b]_!Runa función acotada yPuna partición del intervalo. La suma superior S(f,P)de la función f relativa a la particiónPes

S(f,P)=supf([x0,x1])(x1 x0)+supf([x1,x2])(x2 x1)+. . . +supf([xn 1,xn])(xn xn 1).

Análogamente se define lasuma inferior I(f,P)como

I(f,P)=inf f([x0,x1]) (x1 x0)+supf([x1,x2])(x2 x1)+. . . +sup f([x_{n 1},x_n])(x_n x_{n 1}).

Las sumas inferiores y superiores que vemos en la siguiente figura son una aproximación del área que queremos calcular. Ahora bien, el valor de la suma inferior siempre será menor que el de la integral y a la suma superior le ocurre lo contrario.

Definición 8.4. La integral superiorde f se define como Z

[a,b]f =inf S(f,P) : Ppartición de[a,b] . Laintegral inferior de f se define como

Z

[a,b]

F I

x0 x1 x2 x3 ... xn

f

x0 x1 x2 x3 ... xn

f

Suma superior Suma inferior

Figura 8.1 Sumas superiores e inferiores

Las integrales superior e inferior son aproximaciones a la integral de la función. En un caso por exceso y en otro por defecto. Cuando ambas aproximaciones coinciden, tenemos una función integrable.

Definición 8.5. Sea f : [a,b] ! Runa función acotada. Diremos que f esintegrable si coinciden la integral superior e inferior. En ese caso, denotaremosR_[a,b] f a dicha integral.

También usaremos con frecuencia las notacionesR_ab f oR_ab f(x)dxsi queremos hacer hincapié en la variable de integración.

Ejemplo 8.6. Calcular la integral de f(x)=xen el intervalo[0,1]Consideremos la particiónPn del intervalo[0,1]que consiste en dividirlo enntrozos iguales:

Pn=

( 0,1_n,2

n, . . . ,nn1,1 )

.

Como la función f es creciente, su valor máximo se alcanzará en el extremo de la derecha y el mínimo en el extremos de la izquierda. Con esto es fácil calcular el valor de las sumas superiores e inferiores.

S(f,Pn)=

n X

i=1

f✓_ni◆1_n = 1

n2 n X

i=1

i= n(n+1)

2n2 , y I(f,Pn)=

n X

i=1

f i _n1!1_n = 1

n2 n X

i=1

i 1= (n 1)n

2n2 .

Si hacemos tenderna infinito,limn!1S(f,Pn)=limn!1S(f,Pn)= 1₂. Por tantoR₀1x dx= 1₂.

I F

8.1.1 Propiedades

Comenzamos recogiendo información sobre la integrabilidad de funciones relacionada con las operaciones usuales.

Linealidad de la integral

Con respecto a la suma, el conjunto de las funciones integrables es un espacio vectorial y la integral es una aplicación lineal.

Proposición 8.7. Sean f,g: [a,b]!Rintegrables. Entonces a) La suma f +ges integrable yR(f+g)=R f+R g.

b) Si 2R, entoncesR( f)= R f.

Producto de funciones

La integral que acabamos de introducir también se comporta bien con respecto al producto aunque en este casonohay una identidad que relaciones la integral de un producto de funciones con el producto de las integrales.

Proposición 8.8. Sean f,g: [a,b]!Rintegrables.

a) El producto de ambas funciones, f g, es una función integrable.

b) (Desigualdad de Schwarz)⇣R(f g)⌘2R f2 R g2.

c) (Desigualdad de Minkowski)⇣R(f +g)2⌘1/2 ⇣R f2⌘1/2+⇣R g2⌘1/2.

Orden

En cuanto al orden, el siguiente resultado nos dice que la integral lo conserva.

Proposición 8.9. Sean f,g : [a,b] _! R integrables. Si f(x) _ g(x)para cualquier x ₂ [a,b], entonces

Z b

a f(x)dx

Z b

a g(x)dx.

En particular, si f(x) 0para cualquierxse tiene que0R_ab f(x)dx.

No es evidente de la definición, pero se puede comprobar que si una función es integrable, su valor absoluto también lo es.

Proposición 8.10. Sea f : [a,b]!Rintegrable. Entonces la función_| f_|(x)= |f(x)|es integra-ble y

Z

[a,b] f(x)dx 

Z

F I

Dominio

Se puede demostrar que si una función es integrable en un intervalo, también lo es en cualquier intervalo contenido en él. Teniendo en cuenta esto, podemos calcular la integral de una función en un intervalo dividiendo este en varios trozos y sumar los resultados. Esto se conoce como aditividad de de la integral respecto de su dominio.

Proposición 8.11 (Aditividad respecto del dominio). Sea f : [a,b]_!Runa función acotada yc 2]a,b]. Entonces f es integrable en[a,b] si, y sólo si, es integrable en los intervalos[a,c]y

[c,b]. En ese caso,

Z b

a f(x)dx= Z c

a f(x)dx+ Z b

c f(x)dx.

Observación 8.12. La integral de una función fen un intervalo[a,b]no cambia si “trasladamos” dicha función.

Z b

a f

a _b

Z b+k

a+k f(x k)

a+k b+k

Podemos utilizar esto para simplificar el cálculo de algunas integrales. Por ejemplo, si f es una función impar, entonces

Z a

a f(x)dx=0.

a

a 0

¿Por qué? Sólo tenemos que mirar la gráfica de la función. El área entre0yaes igual que el área entre ay0pero con signos opuestos y ambas se cancelan. Por ejemplo

Z a

ax

3_dx=0.

Si por el contrario f es una función par entoncesRa_a f =2R₀a f.

8.1.2 Condiciones suficientes de integrabilidad

Ya hemos visto que las funciones integrables tienen muchas propiedades interesantes. La siguien-te cuestión es ¿hay muchas? ¿Qué funciones son insiguien-tegrables? ¿Tenemos suficiensiguien-tes ejemplos de funciones integrables?

El primer resultado que presentamos nos dice que el conjunto de las funciones integrables in-cluye a la mayoría de las funciones con las que hemos estado trabajando hasta ahora.

I F

b) Si f es monótona, entonces es integrable.

Observa que no hemos mencionado que la función tenga que ser acotada. En ninguno de los casos es necesario: para funciones monótonas es inmediato y para funciones continuas es conse-cuencia de la propiedad de compacidad.

Podemos ir un poco más lejos, si “estropeamos” una función integrable en unos pocos puntos, ni la integrabilidad ni el valor de la integral se alteran.

Proposición 8.14. Sea f : [a,b]_!Rintegrable. Seag: [a,b]_!Rverificando que el conjunto

{x2[a,b] : f(x)6=g(x)}es finito. Entoncesges integrable y Z b

a f(x)dx= Z b

a g(x)dx.

Esta resultado afirma que si se cambia el valor de una función en una cantidad finita de puntos se obtiene una función que sigue siendo integrable y, de hecho, el valor de la integral no cambia.

Observación 8.15. Existen funciones integrables que no son continuas.Este hecho debería estar

claro después de haber afirmado que las funciones monótonas son integrables y recordando que ya conocemos funciones monótonas que no son continuas (como por ejemplo la parte entera). De todas formas la última proposición nos da una manera muy fácil de fabricar funciones integrables que no son continuas: tómese una función continua y cámbiesele el valor en un punto. De este modo se obtiene una función que deja de ser continua en dicho punto pero que tiene la misma integral.

Cambiando el valor de una función en un punto sólo obtenemos discontinuidades evitables. Aunque las discontinuidades no sean evitables, si no son demasiadas, la función es integrable.

Proposición 8.16. Sea f : [a,b]!Racotada. Si f tiene una cantidad finita de discontinuidades,

entonces es integrable.

Existe una caracterización completa de las funciones integrables. Para darla, se necesita hablar de conjuntos “pequeños”: los llamados conjuntos de medida nula. Si la medida, la longitud en esta caso de un intervalo acotado es`(I)=sup(I) inf(I). Un conjunto de medida nula es un conjunto que tiene longitud cero. Veamos la definición con más detalle.

Definición 8.17. SeaAun subconjunto deR. Diremos queAes unconjunto de medida nula

si dado">0existe una sucesión de intervalos acotados_{In}verificando que

a) A✓S1i=1In, y

b) `(I1)+`(I2)+· · ·+`(In)",8n2N.

Ejemplo 8.18. Cualquier conjunto finito es de medida nula.

Teorema 8.19 (de Lebesgue). Sea f : [a,b]!Runa función acotada. Son equivalentes:

a) f es integrable.

F I

8.1.3 Sumas de Riemann

Una de las dificultades de la definición de integral que hemos dado radica en el hecho de que

involucratodaslas posibles particiones del intervalo[a,b]. La segunda dificultad es averiguar cuál

es el supremo o el ínfimo de la función en cada uno de los intervalos asociados a una partición. Vamos a dar respuesta a ambas cuestiones:

a) En cuanto a las particiones, veremos que es necesario considerar todas sino sólo algunas elegi-das adecuadamente. Así nos encontraremos el concepto de norma de una partición.

b) En cuanto al segundo punto, el teorema de Darboux nos dirá que no hace falta calcular el supremo ni el ínfimo y que cualquier punto del intervalo puede jugar el mismo papel.

Comencemos con las particiones. El ejemplo típico de partición que hemos usado consiste en

dividir el intervalo[a,b]en trozos iguales. Aumentando el número de trozos, nos aproximamos

al valor de la integral. En este caso, la longitud de cada uno de los trozos es b a

n , la longitud del

intervalo dividido por el número de trozos,n. La norma de una partición nos mide el tamaño de

los trozos o, más concretamente, el tamaño del trozo más grande.

Definición 8.20. SeaP = {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b} una partición del intervalo

[a,b]. Lanormade la particiónPes

kPk=max{xi xi 1 : i=1,2, . . . ,n_}.

Si en las sumas inferiores y superiores aproximábamos por rectángulos cuya altura era el supre-mo o el ínfisupre-mo de la función, ahora vasupre-mos a elegir cosupre-mo altura el valor de la función en un punto arbitrario en cada uno de los intervalos relativos la partición. Para cada partición, tenemos muchas posibles elecciones de puntos. A cualquiera de éstas, las vamos a llamar sumas integrales o sumas de Riemann.

Definición 8.21. Sea f : [a,b] _!Runa función y seaP={a= x0 < x1 < x2 < . . . < xn =

b} una partición del intervalo[a,b]. Unasuma integralosuma de Riemannes una suma de

la forma

f(y1)(x1 x0)+ f(y2)(x2 x1)+· · ·+ f(yn)(xn xn 1)

I T C

x0 x1 x2 yi xn

f(yi)

f

Figura 8.2 Suma integral o de Riemann Ya podemos dar la respuesta a la pregunta que

planteamos al principio de la sección: para apro-ximarnos al valor de la integral de la función só-lo tenemos que asegurarnos de que la norma de las particiones tiendan a cero independientemen-te de cuáles sean los puntos elegidos en el inindependientemen-terva- interva-lo. Una de las formas más fáciles de conseguirlo es dividiendo el intervalo en ntrozos iguales y hacerntender a infinito.

Esta es una versión “light” del teorema de Dar-boux que, de hecho, permite caracterizar las fun-ciones integrables utilizando sumas integrales en lugar de sumas superiores e inferiores.

Teorema 8.22 (de Darboux). Sea f : [a,b] _! R una función acotada y sea_{P_n} una

sucesión de particiones del intervalo[a,b]con lim

n!1kPnk=0. Entonces, siSnson sumas de

Riemann asociadas aPnse cumple_nlim

!1Sn =

Z

f.

8.2 Teorema fundamental del Cálculo

Si f es una función definida yaes un elemento de su dominio, diremos que f es integrable en [a,a]y queR_aa f(x)dx=0. También convendremos queR_ab f = R_ba f.

Definición 8.23. SeaIun intervalo. Diremos que f :I !Reslocalmente integrable si es

integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido enI.

Ejemplo 8.24.

a) Las funciones continuas y las funciones monótonas son localmente integrables. b) Si f es integrable en[a,b], es localmente integrable en dicho intervalo.

Lema 8.25. Sea funa función localmente integrable en un intervaloIy seana,b,c2I. Entonces

Z b

a f(x)dx= Z c

a f(x)dx+ Z b

c f(x)dx.

Obsérvese que la comodidad del lema anterior radica en que no sabemos como están ordenados

a,byc.

Definición 8.26. Sif es una función localmente integrable enIya2Ipodemos definir una

nueva función que mide como cambia la integral de la función de la forma

F(x)=

Z x

a f(t)dt.

A las funcionesFdefinidas de esta forma las llamaremosintegrales indefinidas de f.

T C I

Definición 8.27. Sea I un intervalo de R. Unaprimitiva de una función f : I _! Res

una funciónG : I ! R continua y derivable en el interior del intervalo que cumple que G0_{(x)= f(x)para cualquier xen el interior deI.}

x a

Figura 8.3 Integral indefinida

Observación 8.28. Dos integrales indefinidas se diferencian en

una constante. Ocurre lo mismo para dos primitivas de una misma función. En efecto, la diferencia entre dos funciones con la misma derivada tiene derivada cero y por tanto es constante (en un interva-lo). En cuanto a integrales indefinidas, si

F(x)= Z x

a f(t)dt, y G(x)= Z x

b f(t)dt

son integrales indefinidas, entonces

F(x) G(x)= Z x

a f(t)dt Z x

b f(t)dt

= Z x

a f(t)dt+ Z b

x f(t)dt= Z b

a f(t)dt.

Existe una gran tendencia a confundir integral y primitiva. Es usual que hablemos de “vamos a calcular la integral” cuando nos estamos refiriendo a “encontremos una función cuya derivada sea...”. Los conceptos de integral definida y primitiva son, en principio, independientes. El objetivo de los dos siguientes resultados es poner de manifiesto que existe una clara relación entre ellos y, de paso, obtener una forma práctica de calcular integrales.

Teorema 8.29 (fundamental del Cálculo). SeaI un intervalo, f : I ! Runa función

localmente integrable yFuna integral indefinida de f. Entonces a) Fes una función continua.

b) Si f es continua ena2I, entoncesFes derivable enaconF0_{(a)= f(a).}

En particular, si f es una función continua,Fes una función derivable yF0_{(x)= f(x)para} todoxenI.

Ejemplo 8.30.

a) La función parte entera,E(x), es monótona y por tanto integrable en cualquier intervalo. Dicho de otra manera, la función parte entera es localmente integrable enR. Cualquier integral

inde-finida será una función continua en todoRy derivable enR_\Z. Sin embargo, la función parte

entera no tiene primitiva. El teorema del valor intermedio para las derivadas (Teorema 5.21) nos dice que la función parte entera no es la derivada de nadie porque su imagen no es un intervalo.

b) La función f : [ 1,1]_!Rdefinida como

f(x)=

(_{0, six=±1,} 1

p

1 x2, si 1< x<1,

I T C

Una de las primeras utilidades del Teorema fundamental del Cálculo es poder definir funciones de una manera rigurosa usando la integral. Por ejemplo, se puede definir la función logaritmo como

log(x)=

Z x

1 1

t dt.

La funciónG(x)=R_gh₍(_xx₎) f(t)dtes continua si lo son fyg. Si, además,gyhson derivables, y fes

continua, entoncesGes derivable con Z h(x)

g(x) f(t)dt !0

(x)= f(h(x))h0(x) f(g(x))g0(x).

Ejemplo 8.31. La función f(x)=R₁x2+1 sen(_tt)dtes derivable y su derivada es

f0_(x)= sen ⇣

x2₊₁⌘

x2₊₁ 2x.

8.2.1 Regla de Barrow

El siguiente resultado, la regla de Barrow, nos permite resolver de modo práctico el cálculo de integrales y sustituirlo por el cálculo de primitivas.

Teorema 8.32 (Regla de Barrow). Sea f : [a,b] _!Rintegrable yGuna primitiva de f.

Entonces

Z b

a f(x)dx=G(b) G(a).

Ejemplo 8.33. La primera integral que calculamos fue la de la identidad en el intervalo[0,1](ver

Ejemplo 8.6). Ahora podemos calcularla mucho más fácilmente. Z 1

0 x dx= "_x2

2 #1

0 = 1 2.

Ejemplo 8.34. Las propiedades de la integral nos pueden servir para darnos cuenta de que

esta-mos haciendo algo mal. Por ejemplo: Z 1

1 p

x2_+x4_dx=Z 1 1x

p

1+x2dx=

"₂ 3

1

2(1+x2)3/2 #1

1=0 .

A primera vista puede parecer correcto, pero la integral de una función continua y positiva no puede valer cero, tiene que ser positiva también. ¿Qué hemos hecho mal? La respuesta es quepx2 es|x|y noxcomo hemos dicho. Hagámosla correctamente:

Z 1

1 p

x2_+x4_dx=Z 1 1|x|

p

1+x2dx

usemos que el integrando es una función par,

=2

Z 1

0 x p

1+x2dx=

"₂

3(1+x2)3/2 #1

0= 2p2

E I

Corolario 8.35 (Teorema de cambio de variable). Sea : [a,b] _!Runa función derivable

y con derivada 0 _{integrable. SeaI un intervalo tal que ([a,b]) ⇢ I y f : I ! R una función}

continua con primitivaG. Entonces

Z b

a (f )

0 ₌Z (b)

(a) f =G( (b)) G( (a)).

8.3 Ejercicios

Ejercicio 8.1. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:

a) F(x)=R_ax sen3(t)dt,

b) F(x)=R_xb_1+t2_+sen1 2_(t)dt,

c) F(x)=R_ab_1+t2_+senx 2_(t)dt.

Ejercicio 8.2. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:

a) F(x)=R₀x2sen(log(1+t))dt,

b) F(x)=R_x12sen3(t)dt,

c) F(x)=R_xx₂3cos3(t)dt.

Ejercicio 8.3. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f :R+_!Rdefinida como

E

f(x)=

Z x3 _x2

0 e

t2 dt.

Como consecuencia, estudiar los extremos relativos de dicha función.

Ejercicio 8.4. Calcula el siguiente límite: E

lim

x!0

Z sen(x)

x2_+x e t2

dt

sen2_(x) .

Ejercicio 8.5. Calcula el máximo absoluto de la función f : [1,+1[!Rdefinida por

E

f(x)=

Z x 1

0 (e

t2

e 2t)dt.

Sabiendo que_xlim

!+1f(x)=

1

2(p⇡ 1), calcula el mínimo absoluto de f.

Ejercicio 8.6. Calcula el siguiente límite

lim

x!0

R2x

x sen(sen(t))dt

I E

Ejercicio 8.7. Se considera la función f(x)=R x

3 _x2

0 e t

2

dt,₈x₂R.

E

a) Encuentra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f enR.

b) Calcula los extremos relativos de f.

c) Calculalim

x!0

C C

Cálculo de primitivas

9

9.1 Cálculo de primitivas

Utilizaremos la notación R f(x)dxpara denotar una primitiva de la función f. Además, abu-sando del lenguaje, a menudo hablaremos de “integral de la función” cuando deberíamos decir “primitiva de la función”.

Los métodos que vamos a comentar son sólo unos pocos y cubren la mayoría de los casos usuales, pero no debes olvidar que hay muchos más. En cualquier caso, lo primero y más importante es manejar con soltura las derivadas de las funciones elementales. En elApéndice Bpuedes encontrar un par de tablas con algunas de las derivadas y primitivas.

Inmediatas Versión general

Z

xm_dx= xm+1

m+1 +C(m6= 1)

Z

g(x)m_g0_(x)dx= g(x)m+1

m+1 +C (m6= 1)

Z _dx

x =log|x|+C

Z _g0(x)

g(x) dx=log|g(x)|+C

Z

ex_dx=ex_+C Z _eg(x)_g0_(x)dx=eg(x)_+C Z

ax_dx= ax

log(a) +C (a>0,a6=1)

Z

ag(x)_g0_(x)dx= ag(x)

log(a)+C (a>0,a6=1)

Z

sen(x)dx= cos(x)+C

Z

sen(g(x))g0_{(x)dx= cos(g(x))+C}

Z

cos(x)dx=sen(x)+C

Z

cos(g(x))g0_{(x)=sen(g(x))+C}

Z

tanx dx= log|cos(x)|+C

Z

tan(g(x))g0_{(x)dx= log|cos(g(x))|+C}

Z

cotan(x)dx=log|sen(x)|+C

Z

cotan(g(x))g0_{(x)dx=log|sen(g(x))|+C}

Z

sec2_{(x)dx=tan(x)+C} Z _sec2_(g(x))g0_{(x)dx=tan(g(x))+C}

Z

cosec2_{(x)dx= cotan(x)+C} Z _cosec2_(g(x))g0_{(x)dx= cotan(g(x))+C}

Z _dx

p

1 x2 =arcsen(x)+C

Z _g0(x) q

1 g(x)2 =arcsen(g(x))+C Z _dx

1+x2 =arctan(x)+C

Z _g0(x)

C C

Inmediatas Versión general

Z

xm_dx= xm+1

m+1+C(m6= 1)

Z

g(x)m_g0_(x)dx= g(x)m+1

m+1 +C (m6= 1)

Z

senh(x)dx=cosh(x)+C

Z

senh(g(x))g0_{(x)dx=cosh(g(x))+C}

Z

cosh(x)dx=senh(x)+C

Z

cosh(g(x))g0_{(x)dx=senh(g(x))+C}

9.1.1 Cambio de variable

Mediante un cambio de variable es posible transformar la integral en otra más sencilla. Si

hace-mosy= (x),dy= 0(x)dx, se tiene

Z

f( (x)) 0_(x)dx=Z _f(y)dy.

Para terminar sólo tenemos que deshacer el cambio.

Ejemplo 9.1. CalcularR ex_+3e2x 2+ex dx.

Z _ex

+3e2x 2+ex dx=

" _y=ex dy=exdx

#

=

Z _y

+3y2 2+y ·

1 ydy=

Z ₁

+3y 2+y dy

=

Z

3 5

2+y

!

dy

=3y 5 log_|y+2_|=3ex 5 log ex+2 .

9.1.2 Integración por partes

Siuyvson dos funciones, teniendo en cuenta que(u·v)0 _=u·v0_+v·u0_{, obtenemos que}

Z

u(x)v0_{(x)dx=u(x)v(x)} Z _v(x)u0_(x)dx.

Esta fórmula aparece escrita en muchas ocasiones de la forma

Z

udv=uv

Z

vdu

El teorema especifica con un poco más de rigurosidad las condiciones necesarias.

Teorema 9.2 (Integración por partes). Seanu,v : [a,b] _! Rfunciones derivables con

derivada continua. Entoncesuv0_yvu0_{son integrables en[a,b]y}

Z b

a u(x)v

0_{(x)dx=u(b)v(b) u(a)v(a)} Z b

a v(x)u

0_(x)dx.

Ejemplo 9.3. CalcularR x ex_dx.

Z

x ex_dx= u= x, du=dx dv=exdx, v=ex = x e

x Z _ex_{dx= x e}x _ex _=ex_{(x 1).}

C C

Z

sen(x)ex_dx="u=sen(x), du=cos(x)dx

dv=exdx, v=ex

#

=sen(x)ex Z

cos(x)ex_dx

=

"_{u=cos(x), du= sen(x)dx}

dv=exdx, v=ex

#

=sen(x)ex cos(x)ex Z

sen(x)ex_dx,

con lo que despejando tenemosR sen(x)ex_dx= 1

2(sen(x)ex cos(x)ex).

9.1.3 Integración de funciones racionales

SeanP(x)yQ(x) dos polinomios, y queremos calcularR _QP(₍x_x)₎dx. Si el grado dePes mayor o igual que el deQ, podemos dividir los dos polinomios obteniendo

P(x)

Q(x) =H(x)+GQ((xx)),

dondeH(x)yG(x)son polinomios y el grado deGes menor que el grado deQ. Por tanto, supon-dremos siempre que el grado dePes menor que el grado deQ.

Integrales del tipo

R

El cambio de variabley=ax+bla transforma en una integral inmediata de la formaR P_y(ny)dy.

Ejemplo 9.5.

Z _3x2_+5x+2

(x 1)3 dx=⇥y= x 1,dy=dx⇤=

Z _3(y+1)2_+5(y+1)+2

y3 dy

=

Z _3y2_+11y+10

y3 dy

=3 Z _dy

y +11

Z _dy

y2 +10 Z _dy

y3

=3 log|y| 11

y 10

1 2

1

y2

=3 log|x 1| 11

x 1

5 (x 1)2.

Integrales del tipo

R

, donde el denominador no tiene raíces reales

Siempre se puede escribir x2 _{+bx+c = (x d)}2_{+ k}2_{, con lo que descomponemos nuestra} integral en dos:

Z _Mx+N

x2_+bx+cdx=

Z _Mx+N

(x d)2_+k2dx=

Z _{M(x d)+N+Md} (x d)2_+k2 dx

=

Z _{M(x d)} (x d)2_+k2dx+

Z _N

+Md (x d)2_+k2 dx

= M

2 log (x d)2+k2 +(N+Md)

Z _dx

(x d)2_+k2

C C

Ejemplo 9.6. CalcularR 2x+3

x2_+2x+2dx.

Comox2_+2x+2=(x+1)2_{+1, hacemos el cambioy= x+1}

Z _2x

+3

x2_+2x+2dx=

Z _{2(y 1)}

+3 y2₊₁ dy=

Z _2y

y2₊₁dy+

Z _dy

y2₊₁

=log(y2+1)+arctan(y)=log(x2+2x+2)+arctan(x+1).

Raíces reales y/o complejas simples

En este caso

Q(x)=(x a1)(x a2). . .(x an)(x2+b1x+c1)(x2+b2x+c2). . .(x2+bmx+cm).

Lo que vamos a hacer es descomponer de nuevo en fracciones más sencillas de la siguiente manera: P(x)

Q(x) = x aA1 1 +

A2

x a2 +· · ·+

An

x an

+ B1x+C1 x2_+b1x+c1 +

B2x+C2

x2_+b2x+c2 +· · ·

Bmx+Cm

x2_+bmx+cm,

dondeA1,A2, . . . ,An,B1,B2, . . . ,Cmson constantes a determinar. Para calcularlas desarrollamos

e igualamos los coeficientes del mismo grado.

Observación 9.7. Si el polinomioQ(x)sólo tiene raíces reales se pueden calcular las constantes

A1,...,Andando a la variablexlos valoresa1,...,an.

Ejemplo 9.8. Cálculo deR 1

x4 ₁dx:

Comox4 _{1=(x 1)(x+1)(x}2_{+1), la descomposición nos quedaría:}

1 x4 ₁ =

A

x 1 + xB+1 +

Cx+D x2₊₁

Si desarrollamos e igualamos coeficientes: 1

x4 ₁ =

A(x+1)(x2+1)+B(x 1)(x2+1)+(Cx+D)(x2 1) x4 ₁

1=(A+B+C)x3+(A B+D)x2+(A+B C)x+(A B D) A+B+C =0

A B+D=0 A+B C =0

A B D=1

9 >>>>> = >>>>> ; =) 8 >>>>> < >>>>> :

A=1/4

B= 1/4

C=0 D= 1/2

Por tanto,

Z _dx

x4 ₁ =

1 4

Z _dx

x 1 14

Z _dx

x+1 1 2

Z _dx

x2₊₁

=1

4log|x 1| 1

4log|x+1| 1

2arctan(x).

Raíces reales múltiples

En este caso el denominador tiene la formaQ(x)=(x a1)r1(x a2)r2. . .(x an)rn, y podemos

C C

P(x)

Q(x) = x aA1 1 + A2

(x a1)2 +· · ·+ Ar1 (x a1)r1 +

B1

x a2 +

B2

(x a2)2 +· · · Crn

(x an)rn

Cada una de estas fracciones pertenecen a alguno de los casos ya estudiados.

Ejemplo 9.9. CalcularR 1

(x 1)(x+1)3dx 1

(x 1)(x+1)3 =

A

x 1 +

B

x+1 +

C (x+1)2 +

D (x+1)3

= A(x+1)

3_{+B(x 1)(x+1)}2_{+C(x 1)(x+1)+D(x 1)}

(x 1)(x+1)3

= (A+B)x

3_+(3A+B+C)x2_{+(3A B+D)x+A B C D}

(x 1)(x+1)3

= 1

(x 1)(x+1)3

Igualando coeficientes:

A+B=0

3A+B+C=0

3A B+D=0

A B C D=1

9 >>>>> = >>>>> ; () 8 >>>>> < >>>>> :

A= 1₈

B= 1₈

C = 1₄

D= 1₂. La integral nos queda

Z _dx

(x 1)(x+1)3 =

1 8

Z _dx

x 1 18

Z _dx

x+1 1 4

Z _dx

(x+1)2 1 2

Z _dx

(x+1)3 =1

8log|x 1| 1

8log|x+1|+ 1

4(x+1)+

1 4(x+1)2.

Raíces reales y complejas múltiples. Método de Hermite

El método que vamos a estudiar, conocido como Método de Hermite, consiste en descomponer

P(x)

Q(x) como suma de fracciones más simples de una forma muy particular. Pasos a seguir: Paso 1

Descomponemos el denominador,Q(x), como producto de factores de grado 1 y factores de grado 2 irreducibles:

Q(x)=(x a1)↵1· · ·(x an)↵n(x2+b1x+c1) 1· · ·(x2+bmx+cm) m.

Paso 2

Escribimos el cociente P_Q(₍x_x)₎ de la siguiente forma: P(x)

Q(x) =x a1A1 +· · ·+ x aAn n +

M1x+N1

x2_+b1x+c1 +· · ·+

Mmx+Nm

x2_+bmx+cm+

+ d

dx (x a1)↵1 1_{· · ·}(x a_n)↵n 1(x2₊F(x)b1x₊c1) 1 1_{· · ·}(x2₊b_mx₊c_m) m 1

!

donde A1, . . . ,An,M1, . . . ,Mm,N1, . . . ,Nmson coeficientes que tenemos que determinar, y en la

C C

su denominador. En resumen, se trata de escribir _QP(₍x_x)₎ como suma de fracciones simples, una por

cada factor, más la derivada de un cociente que tiene por denominador lo que queda deQ(x).

¿Cómo determinamos todos los coeficientes? Basta efectuar la derivada, reducir todas las

frac-ciones a común denominador (que será Q(x)), e igualar P(x) al numerador resultante. Esto nos

producirá un sistema de ecuaciones cuya resolución nos dará el valor de todos los coeficientes.

Paso 3

Una vez escrita la función racional _QP(₍x_x)₎de la forma anterior, es fácil calcular su integral:

Z _P(x)

Q(x)dx=

Z _A

1

x a1dx+· · ·+

Z _M

1x+N1

x2_+b1x+c1dx+· · ·

+ F(x)

(x a1)↵1 1_{· · ·}(x a_n)↵n 1(x2₊b1x₊c1) 1 1_{· · ·}(x2₊b_mx₊c_m) m 1

Ejemplo 9.10. Cálculo deR x2 (x2₊₉₎2 dx. x2

(x2₊₉₎2 = Mx

+N

x2₊₉ +_dxd ax

+b

x2₊₉

!

= (Mx+N)(x

2₊₉₎

(x2₊₉₎2 +

a(x2_{+9) 2x(ax+b)}

(x2₊₉₎2

= Mx

3_{+(N a)x}2_{+(9M 2b)x+(9a+9N)}

(x2₊₉₎2

Igualando los numeradores coeficiente a coeficiente, obtenemos el sistema de ecuaciones:

M =0

a+N =1

2b+9M =0

9a+9N =0

9 >>>>> = >>>>> ; =)

⇢ _{M=0 b=0}

N =1/2 a= 1/2

De esta forma se tiene

Z _x2

(x2₊₉₎2dx= 1 2x x2₊₉ +

1 2

Z _dx

x2₊₉,

y la última integral vale

Z _dx

x2₊₉ =

Z _1/9 ⇣_x

3

⌘2

+1

dx= 1

3arctan ✓_x 3 ◆ . En resumen,

Z _x2

(x2₊₉₎2dx= x

2(x2₊₉₎+

1 6arctan ✓_x 3 ◆ .

Ejemplo 9.11. CalcularR x2 ₂

x3_(x2₊₁₎2 dx. x2 ₂

x3_(x2₊₁₎2 = A_x + Mx

+N

x2₊₁ + _dxd ax

3_+bx2_+cx+d x2_(x2₊₁₎

!

.

Realizando la derivada y reduciendo a común denominador, obtenemos un sistema de ecuaciones

C C

Z _x2 ₂

x3_(x2₊₁₎2 dx=

(5/2)x2+1

x2_(x2₊₁₎ +5 log(x)

5

2log(x2+1).

9.1.4 Integración de funciones trigonométricas

Integrales de la forma

R

sen(ax) cos(bx),

R

sen(ax) sen(bx),

R

cos(ax) cos(bx)

Se resuelven usando las identidades sen(x) sen(y)=1

2[cos(x y) cos(x+y)],

cos(x) cos(y)=1

2[cos(x y)+cos(x+y)],

sen(x) cos(y)=1

2[sen(x+y)+sen(x y)].

Ejemplo 9.12. Z

sen(3x) cos(2x)dx= 1

2 Z

sen(5x)dx+ 1

2 Z

sen(x)dx= 1

10cos(5x) 12cos(x).

Integrales de la forma

R

tan

_(x),

R

_cotan

_(x)

Se reducen a una con grado inferior separandotan2_(x)ocotan2_{(x)y sustituyéndolo porsec}2_(x)

1ycosec2_{(x) 1.}

Ejemplo 9.13. CalcularR tan5_(x)dx. Z

tan5_(x)dx=Z _tan3_{(x) tan}2_(x)dx=Z _tan3_(x)⇣_sec2_{(x) 1}⌘ _dx

=

Z

tan3_{(x) sec}2_(x)dx Z _tan3_(x)dx.

Acabamos por separado cada integral: Z

tan3_{(x) sec}2_(x)dx= 1

4tan4(x)dx (utilizando el cambioy=tan(x)) Z

tan3_(x)dx=Z _{tan(x) tan}2_(x)dx=Z _tan(x)(sec2_{(x) 1)dx}

=

Z

tan(x) sec2_(x)dx Z _tan(x)dx= 1

2tan2(x)+log|cos(x)|.

Integrales de la forma

R

sen

_{(x) cos}

_{(x), con}

_n

_o

_m

_{enteros impares}

Se transforman en una integral racional con el cambioy = cos(x)(simes impar) oy= sen(x)

(sines impar).

Ejemplo 9.14. CalcularR cos_sen32(x)_(x)dx.

Z _cos3(x)

sen2_(x)dx=

Z _{(1 sen2(x)) cos(x)dx}

sen2_(x) =

" _y=sen(x)

dy=cos(x)dx

#

=

Z _{1 y2} y2 dy

= 1

y y= 1

C C

Integrales de la forma

R

sen

₍

_x

_{) cos}

₍

_x

₎

_{, con}

_n

_y

_m

_{enteros pares}

Se resuelven usando las identidadescos2_(x)= 1

2(1+cos(2x)), ysen2(x)= 12(1 cos(2x)).

Ejemplo 9.15. CalcularR cos2_(x)dx.

Z

cos2(x)dx=

Z _1+cos(2x)

2 dx=

Z _dx

2 +

Z _cos(2x)

2 dx= x 2 +

sen(2x) 4 .

Integrales de la forma

R

R

(sen(

x

)

,

cos(

x

))

,

R

una función racional par.

Diremos queRes una función racional par si R(sen(x),cos(x)) = R( sen(x), cos(x)). Se

re-suelven utilizando el cambioy=tan(x)

Ejemplo 9.16. CalcularR dx

sen3_{(x) cos}5_(x)

Z _dx

sen3_{(x) cos}5_(x) =

" _y=tan(x)

dy=sec2x dx

#

=

Z _(1+y2₎3 y3 dy

= 1

2cotan2(x)+3 log|tan(x)|+ 23tan2(x)+ 14tan4(x).

Integrales de la forma

R

R

(sen(

x

)

,

cos(

x

))

,

R

una función racional

Se trata de calcular primitivas de funciones racionales ensen(x)ycos(x), es decir, funciones que sean cociente de dos polinomios ensen(x)ycos(x). En general, se hace el cambio de variable

t=tan⇣x₂⌘, con lo quesen(x) = ₁₊2t_t2,cos(x) = 1 t 2

1+t2, ydx=

2dt

1+t2. Con este cambio convertimos la integral en la integral de una función racional, que ya hemos estudiado.

Ejemplo 9.17. CalcularR dx

sen(x) tan(x)

Z _dx

sen(x) tan(x) =

Z _cos(x)dx

sen(x) cos(x) sen(x) =



tan✓x₂◆=t =· · ·=

Z _t2 ₁

2t3 dt

= 1 4t2 +

log|t|

2 = _{4 tan}12⇣x

2

⌘+ 1

2log tan

✓_x

2

◆

.

9.1.5 Integración de funciones hiperbólicas

Integrales de la forma

R

R

(senh(

x

)

,

cosh(

x

))

, R una función racional

Se trata de calcular primitivas de funciones racionales ensenh(x)ycosh(x), es decir, funciones que sean cociente de dos polinomios ensenh(x)ycosh(x). En general, se hace el cambio de variable

ex_{=t, con lo que la integral en una racional, que ya hemos estudiado.} Ejemplo 9.18. CalcularR dx

C C

Z _dx

1+2 senh(x)+3 cosh(x) =

Z _dx

1+ 5₂ex+ 1₂e x =

" _ex _=t

dx=dt/t

#

=2

Z _dt

5t2_+2t+1

=arctan 5t+1

2

!

=arctan 5e

x₊₁

2

!

.

En algunos casos, utilizar un método similar al que usamos para calcular primitivas de funciones trigonométricas puede simplificar los cálculos. El siguiente método es un ejemplo de ello.

Integrales de la forma

R

senh(

ax

) cosh(

bx

),

R

senh(

ax

) senh(

bx

)

o

R

cosh(

ax

) cosh(

bx

)

Se resuelven usando las identidades

senh(x) senh(y)=1

2(cosh(x+y) senh(x y)) cosh(x) cosh(y)=1

2(cosh(x+y)+senh(x y)) senh(x) cosh(y)=1

2(senh(x+y)+senh(x y)).

Ejemplo 9.19.

Z

senh(3x) cosh(x)dx= 1

2

Z

senh(4x)dx+ 1

2

Z

senh(2x)dx= 1

8cosh(4x) 1

4cosh(2x).

9.1.6 Integración de funciones irracionales

Integrales de la forma

R

R

x

,

⇣

⌘

q₁

_,

⇣

⌘

q₂

_{, . . . ,}

⇣

⌘

!

Se resuelven utilizando el cambio de variableyq ₌ ax+b

cx+d, dondeqes el mínimo común múltiplo

deq1,q2, . . . ,qn.

Ejemplo 9.20. CalcularR _pdx

x+p3x

Haciendo el cambio x=y6,

Z _dx

p_x

+p3x =

Z _6y5

y3_+y2 dy=6

Z _y3

y+1dy

=2y3 3y2+6y 6 log|y+1|=2px 3p3x+6p6x 6 log p6x+1 .

Integrales de la forma

R

R

⇣

x

,

p

a

x

⌘

Se transforman en una integral trigonométrica con el cambio x = asen(t)o x = acos(t).

Tam-bién se puede realizar el cambio x= atanh(t)y se transforma en una integral hiperbólica.

Ejemplo 9.21. Cálculo deR p4 x2

C C

Hacemos el cambiox=2 sen(t), con lo quedx=2 cos(t)dtyp4 x2=p4 4 sen2(t)=2 cos(t).

Sustituyendo:

Z p_{4 x2}

x2 dx=

Z _{(2 cos(t))(2 cos(t))}

4 sen2_(t) dt=

Z

cotan2_(t)dt

=

Z

(cosec2_{(t) 1)dt= cotan(t) t}

usando quecotan(t)= cos(_sen(t_t)₎ =

p

4 x2

x , se tiene que

= p

4 x2

x arcsen ✓_x

2

◆

.

Integrales de la forma

R

R

⇣

x

,

p

a

+

x

⌘

Se transforman en una integral trigonométrica usando el cambiox=atan(t). También se pueden

resolver utilizando el cambiox=a senh(t).

Ejemplo 9.22. CalcularR dx xp1+x2.

Hacemos el cambiox=tan(t), dx=sec2(t)dt,

Z _dx

xp1+x2 =

Z _sec2_(t) tan(t) sec(t)dt=

Z _dt

sen(t) = log cos

✓_t

2

◆

+log sen

✓_t

2

◆

.

Ejemplo 9.23. CalcularR x2 p

1+x2 dx.

Hacemos el cambiox=senh(t),

Z _x2

p

1+x2 dx =

Z

senh2_(t)dt= 1 2

Z

(cosh(2t) 1)dt= 1

4senh(2t)

t

2.

Integrales de la forma

R

R

⇣

x

,

p

x

a

⌘

Se resuelven utilizando los cambiosx=asec(t)ox=acosh(t).

Ejemplo 9.24. CalcularR px2 _1dx.

Z p

x2 _1dx=Z _tan(t) sen(t) cos2_(t)dt=

Z _sen2(t)

cos3_(t)dt,

que se resuelve aplicando los métodos ya vistos. También podríamos haber utilizado el cambio

x=cosh(t)y, en ese caso, se tiene que

Z p

x2 _1dx=Z _senh2_(t)dt=Z cosh(2t) 1

2 dt

= 1 2t+

1

4senh(2t)

usando quesenh(2t)=2 senh(t) cosh(t)=2

q

C E

= x

p x2 ₁

2 arccosh(x)2 .

Integrales de la forma

R

R

⇣

x

,

p

ax

+

bx

+

c

⌘

Se reducen a uno de los casos anteriores completando cuadrados, esto es, escribiendoax2_+bx+c de la formaa(x+↵)2+ .

Ejemplo 9.25. CalcularR _pdx

8x x2. Transformamos el integrando:

8x x2 _{= (x}2 _{8x+16)+16= (x 4)}2₊₁₆₌₁₆0BBBBB

@1 x₄4 !21

CCCCC A

y hacemos el cambio de variabley=(x 4)/4:

Z _dx p

8x x2 =

Z _dx r

16✓1 ⇣x 4 4

⌘2◆ =

"_{y=(x 4)/4} dy=dx/4

#

=

=

Z _4dy

4p1 y2 =

Z _dy p

1 y2 =arcsen(y)=arcsen x 4

4 !

.

9.2 Ejercicios

9.2.1 Integrales inmediatas y cambio de variable

Ejercicio 9.1. Calcula las siguientes primitivas

a) R 5x6_dx

b) R x(x+1)(x 2)dx

c) R(2+3x3)2dx

d) R dx n p_x

e) R(a23 x23)3dx

f) R x2₊₁

x 1dx

Ejercicio 9.2. Calcula las siguientes primitivas

a) R p31+log(_x x)dx b) R edxx₊₁ c)

R

x(2x+5)10dx

9.2.2 Integración por partes

Ejercicio 9.3. Calcula las siguientes primitivas

a) R log(x)dx b) R arctan(x)dx c) R arcsen(x)dx

d) R xsen(x)dx e) R xe x_dx

f) R x2_e3x_dx

g) R xsen(x) cos(x)dx

9.2.3 Integración de funciones racionales

E C

a) R x2 _5x+9

x2 _5x+6dx

b) R 5x3₊₂

x3 _5x2_+4xdx

c) R dx x(x+1)2

d) R dx

(x2 _4x+3)(x2_+4x+5)

e) R dx (x+a)(x+b)

Ejercicio 9.5. Calcula las siguientes primitivas a) R dx

x3₊₁

b) R dx (x+1)2(x2+1)2

c) R dx (x4 ₁₎2

9.2.4 Integración de funciones trigonométricas

b) R sen5_(x)dx

c) R sen2_{(x) cos}3_(x)dx d) R sen2_{(x) cos}2_(x)dx

e) R cos6_(3x)dx f) R cos_sen53(x)_(x)dx

Ejercicio 9.7. Calcula las siguientes primitivas a) R ₁₊cos(x)_cos(x)dx

b) R 1+tan(x)

1 tan(x)dx c) R dx

1+cos2(3x)

d) R dx

3 sen2_{(x)+5 cos}2_(x)

I I

Integrales impropias

10

10.1 Integrales impropias en intervalos acotados

Hasta ahora hemos visto cómo calcular integrales de funciones acotadas en intervalos cerrados y acotados. En esta sección vamos a extender la noción de integral a intervalos de cualquier tipo y a funciones no acotadas. Pensemos por un momento en un caso concreto: la función f(x)= p 1

1 x2

en] 1,1[. Sabemos calcular su integral en cualquier intervalo de la forma[a,b]_⇢] 1,1[:

Z b

a

dx

p

1 x2 =arcsen(b) arcsen(a).

Si queremos definir la integral en] 1,1[, la idea más natural parece tomar límites. Movamosb

hacia1yahacia 1. La forma más cómoda de formalizar estos límites es utilizar sucesiones. Definición 10.1. Sea f :]a,b[_! Runa función localmente integrable. Diremos que f es impropiamente integrablesi para cualesquiera sucesiones{an}y{bn}de elementos de]a,b[ con lim

n!1an =aynlim!1bn=bse cumple que existe el límite

1

lim

n!1

Z bn

an

f(x)dx.

En ese caso, usaremos la notación

lim

n!1

Z bn

an

f(x)dx=

Z b

a f(x)dx.

La integral impropia satisface propiedades similares a la de la integral ya vista. Sirvan los si-guientes resultados como muestra.

Proposición 10.2 (Aditividad respecto del dominio). Sea funa función localmente integrable en el intervalo]a,b[y seac₂]a,b[. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

a) f es impropiamente integrable en]a,b[.

b) f es impropiamente integrable en]a,c[y en]c,b[.

Además, caso de ser ciertas, se cumple que

Z b

a f(x)dx=

Z c

a f(x)dx+

Z b

c f(x)dx

Proposición 10.3. Sean f ygfunciones impropiamente integrables en]a,b[y sean ,µnúmeros

reales.

a) La función f +µges impropiamente integrable y

En esta definición no hemos asumido que el límite es único. Esto se obtiene como consecuencia de que el límite exista

1

I I

Z b

a ( f +µg)(x)dx=

Z b

a f(x)dx+µ

Z b

a g(x)dx.

b) Si f(x)g(x)para todoxen]a,b[, entoncesR_ab f _R_abg.

Sí hay una diferencia en cuanto a la integrabilidad impropia de la función|f|. Hay funciones impropiamente integrables cuyo valor absoluto no lo es. El recíproco sí es cierto.

Teorema 10.4 (Test de comparación). Sea f una función localmente integrable en]a,b[y

supongamos queges una función impropiamente integrable en]a,b[con_| f(x)_|g(x), para

todox2]a,b[. Entonces f es impropiamente integrable y se cumple que

Z b

a f(x)dx 

Z b

a g(x) dx.

En particular si f es localmente integrable y|f|es impropiamente integrable, f también es impropiamente integrable.

Ejemplo 10.5. La función f(x) = sen(_xx) si x > 0 y f(0) = 1 es impropiamente integrable en ]0,+1[pero|f|no lo es.

En el caso de funciones continuas la situación es un poco más sencilla. El teorema fundamen-tal del Cálculo nos garantiza que la integral indefinida es una primitiva. Vamos a ver tres casos posibles.

10.2 Integración en intervalos no acotados

Supongamos que tenemos una función definida en un intervalo no acotado, f : [a,+1[! R,

que es continua en todo[a,+1[. Podemos buscar una primitiva de f, llamémoslaF, y estudiar su comportamiento en+1: si la funciónFtiene límite en+1, diremos que existe la integral impropia de f en[a,+1[, y dicha integral valdrá:

Z +1

a f(x)dx=

✓ lim

x!+1F(x) ◆

F(a),

es decir, la integral vale “F(+₁) F(a)”, considerandoF(+₁)=limx!+1F(x). Si el límite de la primitiva es+1o 1, diremos que la integral vale+1o 1.

Una vez que hemos definido una integral para este tipo de funciones, podemos generalizar el área bajo una curva, la longitud de un arco de curva, la superficie y el volumen de un sólido de revolución,etc. siendo todas fórmulas perfectamente válidas.

El caso de una función definida en un intervalo de la forma] 1,b]es completamente análogo.

Además, si tenemos una función definida en todoR, podemos dividir la integral como:

Z +1

1 f(x)dx =

Z c

1 f(x)dx +

Z +1

c f(x)dx

para cualquierc2R. Si la suma vale “_{1 1}”,no podemos calcular la integral.

Ejemplo 10.6. Calcular el área comprendida bajo la curvay=1/x2en el intervalo[1,+1[. Viendo el área bajo la curva como una integral se tiene que

A= Z +1

1

dx x2 =

" ₁ x

#+1

1 = xlim!+1 1 x

!

I A

10.3 Algunos casos particulares

10.3.1 Integración de funciones continuas en intervalos abiertos

Se trata de calcular integrales de funciones definidas en un intervalo abierto en uno de sus extremos, y que tienen una asíntota vertical en dicho extremo. Supongamos que el intervalo es de la forma]a,b]; el caso de un intervalo[a,b[es completamente análogo.

Sea pues f :]a,b] _! Runa función continua a la que queremos calcular su integral, y sea F

una primitiva suya. Estudiamos entonces el límite por la derecha de la primitiva ena, y si existe podemos calcular la integral de f:

Z b

a f(x)dx=F(b) ✓

lim

x!a+F(x) ◆

Nota:Si el límite de la primitiva es+1o 1, diremos que la integral vale+1o 1. Si tenemos

una función continua en un intervalo abierto f :]a,b[_!R, su integral valdrá

Z b

a f(x)dx= ✓

lim

x!b F(x) ◆ ✓

lim

x!a+F(x) ◆

Otra vez, si la suma vale “1 1”’,no podemos calcular la integral.

Al igual que antes, podemos aplicar estos resultados al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes.

Ejemplo 10.7. Calcular el área bajo la curvay=1/pxen]0,1].

Aplicamos la fórmula dada, y tenemos

A=

Z 1

0 1

p_xdx=

"

2px#1

0=2

✓

lim

x!0+2 p_x◆

=2.

10.3.2 Integración de funciones continuas en un intervalo salvo un punto interior

tiene una asíntota vertical en x = c. Entonces, si queremos calcular la integral de f entrea yb,

tenemos que dividir dicha integral en dos trozos: la integral en[a,c[y la integral en]c,b]. Como

estos dos casos quedan contemplados en los supuestos anteriores, podemos calcular la integral de

f entreaybcomo

Z b

a f(x)dx= Z c

a f(x)dx+ Z b

c f(x)dx.

El único problema que se puede presentar es, de nuevo, que la suma valga “1 1”, en cuyo caso no podemos calcular la integral.

Ejemplo 10.8. CalcularR1₁log⇣x2⌘_dx.

La función que nos dan es f : [ 1,1]_{\ {}0_}! R, f(x) = log(x2). Esta función tiene una asíntota

vertical enx=0, por lo que para calcular su integral dividimos el intervalo en dos partes,[ 1,0[

y]0,1]. Cada una de las dos integrales vale:

Z 0

1log

⇣

x2⌘_dx=h_xlog⇣_x2⌘ _2xi0

1= 2

Z 1

0 log

⇣