1 Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática Proyecto MATEM 2013
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¿Por dónde comenzar su probabilidad
1?
Prof. Asdrúbal Duarte Revisando los programas del MEP, se desprende que el estudio del concepto de probabilidad está restringido al caso de conjuntos finitos. Por lo tanto, conviene arrancar con un enfoque muy intuitivo y enfocando la probabilidad como una aplicación inmediata de la combinatoria.
Un poquito de combinatoria
¿De cuántas maneras…? En su libro “Combinatoria enumerativa”, Eduardo Piza afirma: “La combinatoria enumerativa puede definirse en pocas palabras como el arte de contar configuraciones en problemas de naturaleza discreta”.
Además de contar objetos es necesario conocer la forma de agruparlos u ordenarlos para determinadas situaciones y determinar el número de tales agrupaciones.
En combinatoria hay dos principios básicos: Principio de la multiplicación y Principio de la adición.
Principio de la multiplicación
Vamos a ilustrar este principio con un par de ejemplos sencillos:
Ejemplo 1: Si tres niños, Carlos, Juan y Pedro llegan a comprar entradas para una función de teatro ¿de cuántas maneras pueden formar la fila?
Primer puesto: puede ocuparlo cualquiera de los tres niños. Segundo puesto: puede ocuparlo cualquiera de los dos restantes. Tercer puesto: sólo puede ser ocupado por el tercer niño:
Entonces las filas posibles serán:
1
2
(C,J,P), (C,P,J), (J,C,P), (J,P,C), (P,J,C), (P,CJ), por lo tanto el número de filas posibles es 6, que corresponde al producto de las 3 posibilidades del primero por las dos posibilidades del segundo puesto, por uno (única posibilidad del tercer puesto); es decir 3*2*1=6
Ejemplo 2: Si María tiene dos enaguas y cuatro blusas, ¿de cuántas maneras se puede vestir, usando las enaguas y las blusas?
Hay dos enaguas o faldas y cada una puede combinarse con cuatro blusas. De tienen 2∙4=8 posibilidades de vestirse.
Principio multiplicativo:
Si un experimento se puede realizar de n formas y, a continuación, un segundo experimento, se puede realizar de m formas, entonces el experimento que consiste en efectuar los dos, uno a continuación del otro, se puede hacer de n*m formas.
Nota: el resultado se puede generalizar a más de dos experimentos.
Ejemplo 3: supongamos que en el ejemplo 2, María tiene, además de las 2 faldas y las cuatro blusas, 2 pares de zapatos y 5 sombreros ¿cuántas combinaciones de estas prendas puede hacer para vestirse diferente?
El número de formas diferentes será: 2 4 2 5 80
B
1
• E
1
B
1
B
2
• E
1
B
2
B
3
• E
1
B
3
B
4
• E
1
B
4
E
1
B
1
• E
2
B
1
B
2
• E
2
B
2
B
3
• E
2
B
3
B
4
• E
2
B
4
3
Principio de la adición: Nuevamente, vamos a ilustrar este principio con ejemplos sencillos.
Ejemplo 1: Suponga que queremos ir a comer a un restaurante o bien ir al cine (pero no ambas cosas). Si hay 7 restaurantes y 3 cines. ¿Cuántas posibilidades tenemos?
Comentario: en los ejemplos anteriores, los experimentos se han realizado ambos, primero uno y luego el otro. Sin embargo, puede ocurrir que sólo se pueda realizar el uno o el otro (pero no ambos). Entonces, en vez de multiplicar hay que sumar las posibilidades.
Volviendo a nuestro ejemplo, es claro que podemos escoger uno de los 7 restaurantes o uno de los 3 cines: un total de 7+3=10 posibilidades.
Ejemplo 2: José tiene 6 libros, 3 revistas y 4 periódicos. ¿Cuántas maneras tiene de pasar 15 minutos leyendo, si solo puede leer una cosa?
Claramente podrá leer uno de los 6 libros o una de las 3 revistas o único de los 4 periódicos; un total 6+3+4=13 posibilidades de pasar el tiempo.
Principio de adición: si un experimento se puede realizar de n maneras diferentes y un segundo experimento de m maneras diferentes, y no es posible que ambos experimentos se realicen a la vez, el experimento que consiste en afectar el primero o el segundo, se puede realizar de n+m formas.
Nota: Este principio se puede generalizar a más de dos experimentos.
Permutaciones
Supongamos que tenemos n objetos diferentes o distinguibles. Podemos “arreglarlos” o “disponerlos” en un renglón en un orden cualquiera. Cada uno de estos “arreglos” o “disposiciones” es una permutación de los objetos. Veamos unos ejemplos sencillos.
Ejemplo 1: si Juan, Carlos y Pedro desean sentarse en 3 asientos diferentes, ¿de cuántas formas lo podrán hacer?
Asiento N°1: se puede sentar cualquiera de los tres.
Asiento N°2: se puede sentar uno cualquiera de los dos restantes. Asiento N°3: se puede sentar el último de ellos.
De acuerdo al principio multiplicativo, se pueden sentar de 3 2 1 6 maneras diferentes.
4
1 2 7 8
8 posibilidades 7
... 2 posibilidades1 posibilidad
Puesto Puesto Puesto Puesto
posibilidades
Total: 8 7 6 5 4 3 2 1 40320
Estas diferentes maneras de disponer o colocar n objetos, se llaman permutaciones de los objetos. El número total de maneras es el resultado de multiplicar n números consecutivos, donde el 1 hasta el n. Este número se llama el factorial de n y se representa por n!
Convección: 0!=1
¿Qué sucede si alguno de los objetos se repite en una permutación?
Considere la palabrea CARRO ¿cuántas permutaciones se pueden hacer con estas letras?
Según lo que hemos visto, el número de permutaciones Pn es Pn 5! 5 4 3 2 1 120,
pero sucede que como la R esta repetida, cada permutación se está contando dos veces; por ejemplo en RACRO no se sabe cuál es la R primera o la del cuarto lugar.
Por lo tanto el número de permutaciones diferentes, en este caso, es 120 60 2 .
Otro ejemplo: si tenemos las cuatro letras A, S, S, S, el total de permutaciones diferentes será: 4
ASSS, SASS, SSAS, SSSA ¿Qué se puede especular?
En el caso de la palabra carro, hay dos elementos repetidos y el número de permutaciones diferentes es:
5,2
5! 5 4 3 2 1 60
2! 2 1
P
En el caso de las letras A,S,S,S, hay tres elementos repetidos, el número total de permutaciones diferentes es:
4,3
4! 4 3 2 1 4 3! 3 2 1
P
5
,
! !
n r
n P
r
Variaciones o arreglos
Supongamos que 4 alumnos, Juan, Pedro, Jorge y Carlos, se quieren sentar en 3 asientos (quedan uno sin sentarse) ¿De cuántas maneras lo pueden hacer?
A1: en el primer asiento puede sentarse cualquiera de los cuatro (Hay 4 posibilidades).
A2: en el segundo asiento puede sentarse cualquiera de los otros tres restantes (hay 3
posibilidades)
A3: en el tercer asiento puede sentarse cualquiera de los dos restantes (hay 2 posibilidades)
En total tenemos 4 3 2 1 24 posibilidades.
4!
4!(4, 3) 4! 24
4 3 ! 1!
A
¿Qué pasa si en vez de 4 son 5 los estudiantes?
A1: en el asiento 1 puede sentarse cualquiera de los 5 (hay 5 posibilidades)
A2: en el segundo asiento se puede sentar cualquiera de los cuatro restantes (hay 4
posibilidades)
A3: en el tercer asiento se pueden sentar cualquiera de los tres estudiantes restantes (3
posibilidades)
En total hay: 5 4 3 60 posibilidades distintas.
Note que el total de posibilidades de sentarse 5 estudiantes en 3 asientos es:
5!
5! 5 4 3 2 1(5,3) 5 4 3
5 3 ! 2! 2 1
A
De manera general, este tipo de situaciones puede interpretarse de la siguiente manera: Calcular el número de maneras diferentes con que se puede llevar r lugares cuando se dispone de n objetos diferentes.
6
3er lugar: cuando los dos primeros lugares han sido llenados, el tercer lugar se puede llenar de (n-2) maneras siguiendo con este mismo razonamiento, se tiene:
résimo lugar: se puede llenar de n
r1
n r 1 y por el principio multiplicativo, se tiene:
1
2
1
n n n n r formas diferentes.
Estas agrupaciones de r objetos entre n objetos dados, de maneras que se tiene en cuenta el orden de los r objetos, se llaman variaciones o arreglos de n objetos tomados r a r.
Se denotan por A(n,r) o Vn,r
,
1
2
1
A n r n n n n r
Combinaciones
Hasta aquí el orden en que aparecen las cosas ha sido tomado en cuenta. Por ejemplo, Jorge sentado a la derecha de Carlos es en caso distinto al de estar Carlos sentado a la derecha de Jorge.
C J J C
Sin embargo, hay situaciones donde el orden no interesa y sólo es importante el número de conjuntos que pueden formarse con su determinado número de objetos.
Ejemplo 1: Suponga que tenemos 6 libros y sólo queremos llevar dos al colegio. ¿Cuántas maneras diferentes hay de hacerlo?
Si reubicamos los libros del 1 al 6, los casos posibles son: 15 posibilidades (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
7
Vamos a reescribir el resultado usando la notación factorial:
6!
15 5*3 15
2! 6 2 !
Otro ejemplo: si en una familia hay 4 hermanos y el papá quiere llevar dos al cine, ¿de cuántas maneras lo puede hacer?
Supongamos que son: María, Marta, Ricardo y Rosa las posibles maneras son: 6 posibilidades.
(María, Marta), (María, Ricardo), (María, Rosa), (Marta, Ricardo), (Marta, Rosa), (Ricardo, Rosa).
4! 6
2!(4 2)!
Estos conjuntos que se pueden formar a partir de n objetos, tomando r de ellos, sin que interese el orden de los mismos, se llaman combinaciones de n objetos tomados r a r. El total de estos conjuntos se demuestran por:
!
,! !
n n
C n r
r r n r
Probabilidad
Considere el siguiente experimento:
“lanzar dos dados y sumar los números obtenidos” los resultados posibles serán: 2,3,4,5,…..,12. En este caso, decimos que el espacio muestral es el conjunto
2,3, 4,5,...,12 . Es decir, el espacio muestral de un experimento es el conjunto formado
por todos los resultados posibles del experimento. Cada uno de los elementos del espacio muestral se llama punto muestral.
Si M es el espacio muestral de su determinado experimento, todo subconjunto de M se llama un suceso.
8 Espacio muestral: M
5,10, 20,50
A
5, 20
es el suceso o evento que ocurre si la moneda extraída es de 5 ó 20 colones. B
10,50
este evento ocurre si se saca una moneda de 10 o de 50. C
5,10
suceso que ocurre si la moneda es de 5 o 10 colones.A partir de eventos, usando las operaciones sobre conjuntos, podemos obtener nuevos eventos.
5, 20 5,10 5
5, 20 10, 50 5,10, 20, 50 ´ / 10, 50
A C A B
A M A
Probabilidad
Generalidades: ciertos fenómenos físicos son susceptibles de entrar en el marco de una teoría determinística y, de esta forma, dan lugar a previsiones. Contrariamente, existe una categoría de fenómenos físicos, llamados fenómenos aleatorios, de los cuales se conoce suficientemente el mecanismo para estar seguro que es invariante, pero del cual no sabríamos prever el comportamiento futuro. El ejemplo típico de estos fenómenos es el dado que se lanza sobre una mesa. Se sabe que el dado es indeformable, que la mesa es plana, y con cada experimento se pone en juego el mismo mecanismo. Sin embargo, resulta imposible proveer cual será el resultado con un lanzamiento.
Ocurre a menudo que, numerosos estudios estadísticos sobre poblaciones formadas de un cierto número de medidas de su experimento aleatorio (fenómeno aleatorio), dan para cada característica frecuencia de realización muy parecida. Este hecho ha llevado a los matemáticos a preguntarse si no será posible preveer teóricamente un valor alrededor del cual las diferentes frecuencias experimentales se agrupan. Esto es la noción de probabilidad.
¿Cómo se utiliza en la práctica la probabilidad?
9
El cálculo de probabilidades le permite, entonces, deducir las probabilidades de eventos más complejos definidos a partir de los precedentes (probabilidades que sólo valen según la hipótesis de trabajo)
En situaciones favorables, el estadístico puede proceder a verificaciones parciales (encuestas) que le permiten, siguiendo reglas precisas, confirmaciones o desestimas la hipótesis de partida.
Un poco de vocabulario
La teoría de probabilidades ha heredado de su origen concreto un vocabulario específico que corresponde a los mismos conceptos de teoría de conjuntos.
Un fenómeno aleatorio o experimento aleatorio dado, está ligado a un cierto número de posibilidades (resultados posibilidades), las diferentes realizaciones posibles correspondientes al fenómeno aleatorio; una solamente de estas posibilidades se realizará.
: el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio, se denomina universo y espacio muestral.
A: un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplos: el experimento aleatorio consiste en lanzar un dado. El universo de
posibilidades o espacio muestral será
1, 2,3, 4,5, 6
Algunos eventos o sucesos:
2, 4, 6 , el resultado es par; 1, 2, 3 , el resultado es impar; 1, 2, 3 , el resultado es menor que 4.
A B C
Probabilidad sobre conjuntos finitos
Ya hemos dicho que el espacio muestral es un experimento aleatorio, es el conjunto de los resultados posibles de dicho experimento.
Sea :N el número de elementos del espacio muestral .
Sea S un evento o suceso y sea Ns: el número de elementos de dicho evento S.
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cociente entre el número de casos favorables (elementos de S) y el números de casos posibles (elementos del espacio muestral), o sea:
NsP S N
Ejemplo: de una baraja normal de 52 cartas, se sacan 2 cartas al azar sin reemplazo. Si S es el evento que una de las cartas sea un dos y la otra un tres, en muestra P(S).
Solución:
Podemos hacer caso omiso del orden en el que se sacan las cartas.
Como espacio muestral seleccionamos el conjunto de todas las combinaciones de las 52 cartas tomadas 2 a 2. Por lo tanto
52 52!
1326
2 2! 52 2 !
N
como hay cuatro palos,
un dos y un tres pueden ser sacados de 4 maneras cada uno. Luego, Ns 4 4 y
4 4 16 852 1326 663
2
s
N P S
N
Ejemplo:
El experimento consiste en lanzar un dado, entonces
1, 2,3, 4,5, 6
y N 6. Sea S el suceso que consiste en que salga un número par; es decir S
2, 4, 6 y
Ns 3.Luego
3 16 2
Ns P S
N
Algunas consecuencias de la definición
Si , S Ns 0 y consecuentemente P s
0. En este caso se dice que S es un evento imposible. Si S , entonces P S
Ns N 1N N
, se dice que S es “seguro” o que hay
“certeza” de que ocurra.
Si S es un suceso cualquiera, S (S puede ser ), es siempre cierto que
s
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Si para un mismo espacio muestral , tenemos dos eventos A y B tales que
A B (eventos excluyentes) NA B NANB y
A B
A B A B
N N N N
P P A P B
N N N
Si A es el evento complementario de A (evento contrario)
y A A 1
A A
N N N
N N N P A P A N N
Probabilidad condicional
Supongamos que se selecciona al azar un alumno de colegio. La probabilidad de que esté cursando algebra es pequeña. Pero si después de seleccionado, encontramos que tiene 15 años, la probabilidad de que esté recibiendo algebra aumenta. Sea el conjunto de los alumnos del colegio (Todos los niveles escolares).(espacio muestral)
A: el conjunto de los alumnos que está cursando álgebra (suceso) B: el conjunto de los alumnos que tienen 15 años.
Se tiene:
P(A): probabilidad de que esté cursando algebra NA
N
P(B): probabilidad de que el alumno tenga 15 años NB
N
P AB : probabilidad de que esté cursando álgebra y tenga 15 años NA B
N
AP
B : probabilidad de que esté cursando álgebra sabiendo que tiene 15 años A B
B
N N
12 Note que:
A BB
N A
P
B N
puesto que el considerar sólo alumnos que tienen 15 años, el número total
de casos es NB y el número de casos favorables es NA B .
De aquí resulta:
y
A B
A B
A B B
A A
B B B
B
N
N
P
P
P
P
P
N
P
N
que se conoce cómo la “fórmula” de la probabilidad condicional.
Ejemplo: considere la palabra PROBABILIDAD y cada letra la escribimos en fichas iguales y las metemos en una bolsa. ¿cuál es la probabilidad de sacar una ficha con la letra R? ¿Cuál es la probabilidad si se sabe que se ha sacado una consonante?
: , 1
A R A
: conjunto de las consonantes , , , , , , , 7
B P R B B L D D B
: P R O B A B I L I D A D, , , , , , , , , , ,
12
y por lo tanto
A B A
1P
12
A A
13
1 12
7 12
1 7 1
12 12 7
A B A
B
B
N N P A B
N N
B P
A P A B P P
B
A A
P P
B B