• No se han encontrado resultados

Descargar examen Septiembre10-Fase General.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Descargar examen Septiembre10-Fase General."

Copied!
12
0
0

Texto completo

(1)

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID SEPTIEMBRE 2010

MATERIA: MATEMATICAS II -FASE GENERAL INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas.

Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.

OPCIÓN A

Ejercicio 1. Calificación máxima: (3 puntos).

Dada la matriz:

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− =

1 2

1 1

1 1

1

1 1

1

m m m

m m

A

se pide:

a)(2 puntos) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m. b)(1 punto) En el caso de m=0,resolver el sistema.

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

0 0 0 ·

t z y x

A

SOLUCION

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− =

1 2

1 1

1 1

1

1 1

1

m m m

m m

A

(

)

(

)

Ruffini de

Método m

m m

m m m m

m m m

m m

m m

m m

m m

m m

m A

→ = − + − = − − + − − − + + − =

= + −

+ − − + + − →

= − −

= ⇒

0 4 3 2

2 2

2

) 2 · 1 (

) 1 ·( 2 1

· 0 1 2

1

1 1

1 1

2 3 2

3 2

(2)

Para

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − −

− −

= →

− =

2 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 2

1

1 A

m

2 1 1

2 2 1

1 1 2

1 1 1

− − − −

− =

A Todos los determinantes de orden 3 por 3dan cero, buscamos

determinantes distintos de cero de orden dos por dos.

( )

2 0

1 2 1 1 2

1 1

1 =− + = ≠ → =

− =

A rg A

Para

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = →

=

1 2 1 1

1 2 1 1

1 2 1 1

2

2 A

m

1 1 1

2 1 1

2 1 1

2 1 1 =

A Todos los determinantes de orden 3 por 3 y 2 por 2 dan cero.

( )

1 0

1 1

2 = = ≠ → =

A rg A

( )

2

1⇒ =

= rg A m

( )

1

2⇒ =

= rg A m

( )

3 2

,

1 ⇒ =

= rg A

m

b) Resuelvo el sistema, sumando

las dos primeras ecuaciones entre sí:

→ = = =

− + +

+ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ − + − ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

0 0 0

2 0

0 0 ·

1 2 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

t t t

z y y y

x x x

t z y x

→ =

= =

− + +

+ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ − + − →

+ = 1 2 1

0 0 0

2

E E E

t t t

z y y y

x x x

→ = = =

− + + ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ −

0 0 0 2

2 t t t

z y y x

x t

= = =

+ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ − → =

0 0 0

2 0

z t

(3)

0 2

2 0

2 0 0

2 0

= → − = + − ⎯ ⎯ → ⎯

⎩ ⎨ ⎧

− = +

− = →

⎩ ⎨ ⎧

= + +

= − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎩

⎨ ⎧

= + +

=

= =−

z z

z y

y

z y y

z y x

y

x x y λ λ

λ λ λ

λ λ

λ

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= = − =

= = →

0

t z y

x

Solución

λ λ λ

EJERCICIO 2.( Puntuación máxima: 3 puntos)

Dada las rectas:

⎩ ⎨ ⎧

= −

= ≡

⎩ ⎨ ⎧

= = ≡

0 0 :

3 1

2 1

z y

x r

z y r

Se pide:

a) (2 puntos) Hallar la ecuación de la recta t que corta a r1 y r2 y es perpendicular a ambas.

b) (1 punto) Hallar la mínima distancia entre r1 y r2.

SOLUCION

a)La recta perpendicular a dichas rectas la calculo mediante intersección de dos planos que contienen cada uno a una recta y la recta perpendicular a cada una de ellas, s.

y

Determino un punto y un vector de las rectas r1.

y

Calculo s:

(

)

⎩ ⎨ ⎧

⊥ = ≡

2 1

1

r r s

r

α

(

)

⎩ ⎨ ⎧

⊥ = ≡

1 2

2

r r s

r

β

) 0 , 0 , 1 (

) 3 , 1 , 0 (

3 1 3

1

1 1 1

r r V

P

z y x

z y r

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

→ =

= = → ⎩

⎨ ⎧

= = ≡

λ

) 1 , 1 , 0 (

) 0 , 0 , 0 ( 0

0 0

2 2 2

r r V P

z y x

z y

x r

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

→ = = = → ⎩

⎨ ⎧

= −

= ≡

λ λ

(

) (

)

(

0, 1,1

)

1 1 0

0 0 1 1 , 1 , 0 0 , 0 , 1

2

1 × = × = = − = −

k j

k j i V

V s r r

Calculo los planos, α y β .

y

(

0, 1,1

)

) 0 , 0 , 1 (

) 3 , 1 , 0 (

1 1

− ≡

s r r

V V P

α

(

0, 1,1

)

) 1 , 1 , 0 (

) 0 , 0 , 0 (

2 2

− ≡

s r r

V V P

(4)

(

)

0 1 1 0 3 1 0 4 0 0

0 1

3 1

1 , 1 , 0

) 0 , 0 , 1 (

) 3 , 1 , 0 (

1 1

= + − − → = + − + − → = −

− −

≡ → −

z y y z

z y

x

V V P

s r r

α α

(

)

0 1 1 0 2 0

1 1 0

1 , 1 , 0

) 1 , 1 , 0 (

) 0 , 0 , 0 (

1 1

= → = −

≡ → −

x

z y x

V V P

s r r

β β

Para calcular la recta, aplico un sistema entre ambos planos:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= − =

= ≡

− = → = + − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎩

+ =

⎯ → ⎯ ⎩

=

≡ = =

λ λ

λ λ

λ

z y

x t

z z

z y x

t x y

4 0

4 0

4 0

4 0

2

0 ⎧ =

⎧− yz+4= 0 x 0

b)

b) Los vectores determinan el paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas. El punto A y B son los puntos de las rectas r1 y r2.

El volumen de un paralelepípedo es .

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:

(

)

(

)

(

) (

)

( )( )

(

)

( )

2 2

2 2

2 · 2

2 2

2 2

2 3 1

1 1 0

) 3 ·( 1 1 · 1 0 · 0

1 , 1 , 0 1

, 1 , 0

2 2 2

2 1 2

1

= =

= = − = +

− +

− + − − + =

= −

= −

= ×

= −

s R

s R R R

V V r

r d

EJERCICIO 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)

1 , 1 , 0 3 , 1 , 0 1 , 1 , 0 3 0 , 1 0 , 0 0

·V ×V − − − × − − − × −

P P

Calcular los límites:

a)

(

)

ax

x arctgx Lim +

→0 1 b) x

x

x x e

e x Lim

5 7

2 3

+ +

SOLUCION

a)

(

+

)

=

x a x arctgx Lim 1

0

(

+

)

= →

1 0

(5)

(

+

)

=

x a x arctgx Lim 1

0 =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+

arctgX arctgX x a

x

arctgX Lim

1 · ·

0 1

1 1

= ⎟

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

x arctgX arctgX a

Lim

x

x

arctgX Lim

1 · ·

0

0

1 1

1 → x =

arctgX a Lim x

e

·

0 0 =

0 ·arctg a

e 0 =

0

e

→ = In e ación

e

e0 det min 0

Rompo la indeterminación del exponente mediante la regla de L´Hopital.

⎯ ⎯

⎯ →

⎯ =

=

Hopital L

x x Ind

arctgX a

Lim ´

0 0

0

·

(

)

( )

=

→ /

/

0

·

x arctgX a

Lim

x =

+

1

1 1

· 2

0

x a Lim

x

= +

0 2

1 x a Lim

x + = = a

a a

1 0

1 2 Vuelvo al límite: .

a e

(

)

ax a

x arctgx e

Lim + =

→0 1

b) Ind

e e e

x e x

Lim x

x

x ∞ =

∞ = +

∞ + ∞ = + +

∞ ∞

7· 5·

· 2 · 3 5

7 2 3

Rompo la indeterminación mediante L´Hopital.

⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = + +

∞ →

Hopital L x

x

x x e

e x

Lim ´

5 7

2

3

(

)

(

+

)

=

+

→ /

/

5 7

2 3

x x x

e x

e x

Lim =

+ +

x

x

x e

e Lim

5 7

2

3 =

x

x

x e

e Lim

5 2

5 2 5 2

=

∞ →

x Lim

EJERCICIO 4.( Puntuación máxima: 2 puntos) Calcular:

(

)

− 1

0 4 2

1

) dx

x x punto

a

(

)

π

(

0 ·cos 1

) punto x xdx

b

)

(6)

1

0 4 2

) dx

x x

a

− = 1

0 4 2

dx x

x

(

)

− −

=1 0

2 1 2 4

· x dx

x

(

)

− −

= 1

0

2 1 2 4 · 2 · 2

1

dx x x

(

)

=

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ − − − =

+ −

1

0 1 2 1 2

1 2 1 4 · 2

1 x

(

)

= ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎜⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − =

1

0 2 1 2

2 1 4 · 2

1 x

(

)

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − =

1

0 2 1 2 1

4 x

(

)

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

1

0 2 1 2 4 x

(

)

(

− −

]

=

= 2 10

4 x

(

(

4

)

]

4 12

(

4 02

)

3 4 3 2

1 0

2 =− − − − − =− + =− +

− −

= x

b)

(

)

( )

→Resuelvo la integral por partes

π

0 ·cos 1

) punto x x dx

b

→ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

= → =

= → = →

x xdx dv u xxdxdu v dxsenx

cos ·cos

0

π

]

π

(

)

]

π

0

0 cos

·senx x

x − −

= = x·senx+cosx

]

π0

(

· cos

) (

0· 0 cos0

)

0 1

= π

0 · ·v vdu u

2 1 0

]

= π π

0

0 ·

·senx senxdx x

− = − − − = +

− +

=

π

sen

π

π

sen

OPCION B

EJERCICIO 1.( Puntuación máxima: 3 puntos) Dados el plano:

a z y x− + =

≡2 3

1

π

y el plano π2, determinado por el punto P(0,2,4) y los vectores V1 =

(

0,2,6

)

y

(

b

)

V2 = 1,0, , se pide:

a)(1 punto) Calcular los valores de a y b para que π1 y π2 sean paralelos.

b)(1 punto) Para a=1 y b=0 determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de π1 y π2.

c)(1 punto) Para a=4 y b=-2 determinar los puntos que están a igual distancia de π1 y

2

π .

SOLUCION

(7)

(

)

(

)

1 0 0 2 6 12 2 8 0 2 6 2 4 0

6 2

0

4 2

, 0 , 1

6 , 2 , 0

) 4 , 2 , 0 (

2

2 1

2 = → + − − + = → + − − =

− − ≡

⇒ =

=

bx y z bx y z

b z y x

b V

V P

π π

Para que dos planos sean paralelos, los coeficientes de las incógnitas han de ser iguales o proporcionales y los términos independientes distintos, los comparamos.

a z y x− + =

≡2 3

1

π

0 4 2 6 2

2 ≡ bx+ yz− =

π

→ ≠ − = − = ≡

4 2 1 3 6 2 2

2

1 b a

π π

2 2 4

2 1 2

2 1

− ≠

− = → ≠ − = − = ≡

a b a b

π π

Para esos valores de a y b los planos son paralelos.

b) La recta intersección entre los planos será la recta t, la calcularemos mediante un sistema de ecuaciones.

para a=1 π1 ≡2x−3y+z=ay →π1 ≡2x−3y+z=1

para b=0 π2 ≡2bx+6y−2z−4=0 y π2 ≡+6y−2z−4=0

2 2 7 7

2 2 1 3

6 2

1 3

2 · 3 2 3

2 6

2 4 0

4 2 6

1 3

2 0

4 2 6

1 3

2

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ

λ

+ = → = − → = + − −

= + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + − → + = + = ⎩

⎨ ⎧

→ = − −

= + − ⎯

⎯→ ⎯ ⎩

⎨ ⎧

= − −

= + −

≡ =

x x

x

x y

y y x

z y

z y x

t z

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= + =

+ = ≡

λ λ

λ

z y x

t

3 22 2 7

c) Los puntos P

(

x,y,z

)

otro, por tanto la fórmula que emplear

buscados deben de estar a la misma distancia de un plano y de emos será la distancia punto-planoπ1 y punto-plano π2.

(

A−π1

) (

=d A−π2

)

d

( )

− + =

+

− + − →

2 2 2

1 3 2

4 · 1 · 3 ·

2x y z

( )

− + →

+

+ + −

2 2 2

1 3 2

2 · 1 · 3 ·

2x y z

(

) (

)

(

(

)

)

(

2 3 4

)

(2 3 2) 4 6 2 10 0

0 6 ) 2 3

2 ( 4 3

2

0 10 2 6 4 2 3

2 4 3

2

0 6 2 3

2 4 3

2 2

3 2 4 3

2

2 3

2 4 3

2

= − + − → + + − − = − + − +

→ = → + + − − = − + − −

= − + − → + + − = − + −

− − + − = − + + → = →

→ + + − ± = − + − ±

→ + + − = − + −

z y x z

y x z

y x

NO z

y x z

y x

z y x z

y x z

y x

NO z

y x z

y x

z y x z

y x

z y x z

y x

El plano que equidista los mismo de ambos planos es el formado por 0

10 2 6

(8)

EJERCICIO 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Los puntos P( 1,2,1), Q(2,1,1) y A(a,0,0) con a>3, determinar un plano

π

que corta a los semiejes positivos de OY y OZ en los puntos B y C respectivamente. Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A,B, C y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo.

SOLUCION

Dibujamos el plano

π

:

Obtenemos la ecuación del plano pi en su forma canónica para poder expresar el volumen del tetraedro formado por los planos de los ejes y el plano pi. Al pedirnos el volumen mínimo del tetraedro ,tendremos que resolver mediante optimización, calcular la derivada de dicho volumen, hallar el valor de a y buscar su valor mínimo con la segunda derivada:

El plano

π

se obtiene mediante el determinante formado por un punto y dos vectores. Como tenemos tres puntos ( P,Q y A), formaremos dos vectores QPy AP.

(

1,2,1

) (

− 2,1,1

) (

= 1−2,2−1,1−1

) (

= −1,1,0

)

= − =P Q QP

(

1,2,1

) (

a,0,0

) (

1 a,2 0,1 0

) (

1 a,2,1

)

A P

AP= − = − = − − − = −

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)(

) (

)

[

]

(

a

)

z a y

x a z az y x

a az z y x y

a az z

z x

y a az z

z x

y z

a

z x

a

z y x

a AP

QP P

a A Q P

= − + + → = − + +

→ = − + − + → = + − + − − + −

→ = + − + − − − + − − →→ =

− − − −

− − − − → = −

− − − ≡ ⇒ −

= − = ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

→ ≡

3 3

0 3

0 1

1 2

0 ) 2 1

( 2 2 1 0

2 1

· 1

) 1 ·( 2 1 0

1 2 1

0 1 1

1 2 1

1 , 2 , 1

0 , 1 , 1

) 1 , 2 , 1 (

0 , 0 ,

1 , 1 , 2

1 , 2 , 1

π π

Para obtener la ecuación general del plano, divido por el término independiente a la

ecuación

(

)

= →

− + + → = − + +

a

a z y x a z a y x

3 1 1 1 3

(9)

1 1 3 = + + ⇒ = − + + ≡ c z b y a x a a z a y a x π

Para obtener el volumen del tetraedro aplico la siguiente fórmula, sustituyendo los valores de a, b y c en función del parámetro a:

( )

) 3 ·( 6 3 · · · 6 1 6 1 0 0 0 0 0 0 · 6 1 · 6 1 3 − = → − = = = × • = a a V a a a a abc c b a c b a V

Resuelvo la primera derivada e igualo a cero para obtener los posibles valores de a

(

)

(

)

(

)

(

)

2 9 0 9 2 0 0 0 9 2 · 9 2 0 3 · 6 9 3 3 3 · 3 · 6 1 ) 3 ·( 6 2 1 2 2 2 3 / / 2 2 3 3 2 3 2 / 3 = → = − = → = → = − = − = → = → − − − = − − − = → − = a a a a a a a a V V a a a a a a a a V a a V

Como el valor de a tiene que ser mayor que 3, cogemos el valor de a=9/2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

(

(

)

(

)

)

(

)

]

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

3

2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 2 2 // 2 2 3 / 3 · 3 27 9 3 · 3 · 2 27 9 · 2 3 · 6 54 18 2 3 · 6 18 4 54 18 18 6 3 6 2 · 9 2 3 · 18 6 · 3 3 · 6 3 · 12 · 9 2 3 · 6 )· 18 6 ( 3 · 6 9 2 − + − = − + − = − + − = − + − + − − = = − − − − − − = − − − − − − = → − − = a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a V a a a V

(

)

→ + −

= 3 2 3

// 3 · 3 27 9 a a a a V → + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 4 5 2 6 3 9 3 2 2 2 3 3 3 2 3 // 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 · 3 2 3 · 9 2 9 2 9 3 2 9 · 3 2 9 · 27 2 9 · 9 2 9 2 9 V 3 4 2 2 3 5 4 2 1 · 3 2 3 2 3 2 3 · 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −

= = − − > →Mínimo

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 125 . 0 5 . 1 25 . 2 375 . 30 2 1 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 5 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →

= ,0,0 2 9 2 9 A a

Ejercicio 3.(Puntuación máxima: 2 puntos)

Dado el sistema: se pide:

(10)

b) (0,5 punto) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razona la respuesta.

c) (0,5 punto) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razona la respuesta.

SOLUCION

a)La compatibilidad de un sistema se estudia relacionando los rangos de la matriz (A) y de la matriz

( )

A∗ ampliada.

⇒ = →

≠ −

= →

= →

≠ − = →

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

→ ⎩

⎨ ⎧

= = + − − +

∗ ∗

2 ) ( 0 3 1

0 1

2 ) ( 0 1 2

2 1

3 1 1 2

0 1 2 1

1 1 2

1 2 1

3 0 2

2

1 1

A rg A

A rg A

A A

z z y

y x x

( )

( )

3

2 =

=

= ∗

n

A rg A

rg

(

)

. . . min

deter ado SCI In

Compatible Sistema

b) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razona la respuesta

Para que sea un sistema compatible determinado deberemos de añadir una ecuación, porque tenemos dos ecuaciones para tres incógnitas. Dicha ecuación deberá ser independiente de las oras dos, para que los rangos sean iguales.

Condición para que un sistema sea sistema compatible determinado.

( )

( )

. . det min

(

. . .

)

3 3

3

D C S ado er

De Compatible Sistema

n A rg

A rg

⇒ →

== =

Añadimos por ejemplo la ecuación: xz=0.

→ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= −

= = + − − +

0 3 0 2

2

z x

z z y

y x x

⇒ = →

= →

≠ −

− =

→ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − =

≠ −

− =

→ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − =

∗ ∗

∗ ( ) 3

3 ) (

0 0 1 0

3 1 1

1 1 2

0 1 0 1

3 1 1 2

1 1 2 1

0 1 0 1

1 1 2

1 2 1

1 0 1

1 1 2

1 2 1

A rg

A rg

A A

A A

Si añadimos esta ecuación, el sistema se convertirá en SCD.

c)Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razona la respuesta

(11)

Condición para que un sistema sea sistema incompatible.

( )

( )

.

( )

. .

3 3

2

I S le Incompatib Sistema

n A rg

A rg

⇒ →

== =

Añadimos por ejemplo la ecuación:

z y x z y x z y x E E

E3 = 1 − 2 = +2 − −(2 − + )=− +3 −2 .

→ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= − + −

= = + − − +

0 2 3

3 0 2

2

z y x

z z y

y x x

⇒ = →

= →

≠ −

− =

→ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − =

= − −

− − =

→ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− − =

∗ ∗

∗ ( ) 3

2 ) (

0 0 1 0

3 1 1

0 1 2

0 1 0 1

3 1 1 2

0 1 2 1

0 2 3 1

1 1 2

1 2 1

2 3 1

1 1 2

1 2 1

A rg

A rg

A A

A A

Si añadimos esta ecuación, el sistema se convertirá en SI. Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Dada la matriz:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+ − −

=

2 0

0 1 0

a a a a

a a

A

Se pide:

a)(1 punto) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. b)(1 punto) ¿Para qué valores de a existe la matriz inversa ?. Calcular −1

A

1 −

A para a=1

SOLUCION

Para estudiar el rango de la matriz, calculo el determinante y lo igualamos a cero.

( )(

)(

)

(

)

(

)

2 0 0

2 2

2 2

·

0 0 0 0

2 · 1 · 2

0

0 1 0

2 0

0 1 0

2 1 2

3 2

2 3 3 2

3

= = → = − = + + + − − = + + + − =

= − − − + + + − − = + − −

= → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+ − −

=

a a a

a a a a a a a a

a a

a a

a a a

a a a

a a

A a

a a a

a a

A

Para 2 0

2 1

= =

a a

(12)

b)Para que la matriz tenga matriz inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero, para todos los valores de a excepto 0 y 2 tiene inversa.

Calculo su inversa para a=1 1.- Hallo el determinante de A:

1

3 1 0

0 0 1

1 0 1

3 1 0

0 0 1

1 0 1

= −

= ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛−

= A

A

2.- Hallo los adjuntos de A: ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

) (

A A A

A A A

A A A A Adj

0 ) 1 ·( 3 1

0

0 11

11 = − =

+

A ; ·( 1) 3

3 0

0

1 1 2

12 = − =−

+

A ; ·( 1) 1

1 0

0

1 1 3

13 = − =

+

A

1

) 1 ·( 3 1

1

0 2 1

21 = − =

+

A , ·( 1) 3

3 0

1

1 2 2

22 − =−

= +

A ; ·( 1) 1

1 0

0

1 2 3

23 − =

= +

A

0 ) 1 ·( 0 0

1

0 31

31 = − =

+

A ; ·( 1) 1

0 1

1

1 3 2

32 − =

= +

A ·( 1) 0

0 1

1

1 3 3

33 − =

= +

A

⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − =

t

A Adj

0 1 0

1 3 1

1 3 0 ) (

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = =

0 1 1

1 3 3

0 1 0

· 1 1 ) ( * 1

1

A Adj A A

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =

0 1 1

1 3 3

Referencias

Documento similar

Tras establecer un programa de trabajo (en el que se fijaban pre- visiones para las reuniones que se pretendían celebrar los posteriores 10 de julio —actual papel de los

El caballo de batalla en la justificación de la empresa pública es, pues, como ya se hizo notar anteriormente, el concretar cuándo es in- suficiente la iniciativa privada en un

Consecuentemente, en el siglo xviii hay un cambio en la cosmovi- sión, con un alcance o efecto reducido en los pueblos (periferia), concretados en vecinos de determinados pueblos

Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija D. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz

Para ello, trabajaremos con una colección de cartas redactadas desde allí, impresa en Évora en 1598 y otros documentos jesuitas: el Sumario de las cosas de Japón (1583),

dente: algunas decían que doña Leonor, "con muy grand rescelo e miedo que avía del rey don Pedro que nueva- mente regnaba, e de la reyna doña María, su madre del dicho rey,

Entre nosotros anda un escritor de cosas de filología, paisano de Costa, que no deja de tener ingenio y garbo; pero cuyas obras tienen de todo menos de ciencia, y aun

• La ecuación en su forma simétrica nos indica que la recta corta al plano en x = 1.67 y en y = -12.5. •