Geometría. Tabla de Contenidos. Triángulos. Slide 1 / 224 Slide 2 / 224. Slide 3 / 224. Slide 4 / 224. Slide 6 / 224. Slide 5 / 224.

(1)

Geometría

Triángulos

2015-10-02 www.njctl.org

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Tabla de Contenidos

· PARCC Preguntas de Muestra y Aplicaciones · Triángulos

· Triángulos semejantes

Click sobre el tema para ir a la sección

· Teorema de la Suma de Triángulos · Teorema de los Ángulos Exteriores · Inecuaciones en Triángulos

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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.

MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros.

MP4: Modelar con matemática.

MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso.

MP7: Buscar y hacer uso de la estructura

MP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

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Volver a la tabla de contenidos

Triángulos

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Figuras Geométricas

Euclides hizo ahora la transición a figura geométrica, como la que está formada por un límite que separa el espacio que está dentro de la figura del que no lo está.

Definición 13. Un límite es aquello que está en el extremo de alguna cosa

Definición 14. Una figura es aquella contenida por cualquier límtes o límite.

(2)

Sus definiciones 15 de 18 relacionadas a círculos, se discutirán más tarde. En este capítulo, discutiremos los triángulos que son un ejemplo de figuras rectilíneas: una figura limitada por líneas rectas.

Un triángulo está limitado por tres líneas.

Definición 19. Las figuras rectilíneas son aquellas contenidas por líneas rectas, siendo figuras trilaterales aquellas contenidas por tres, cuadriláteros aquellas contenidas por cuatro y multilaterales aquellas contenidas por más de cuatro líneas rectas.

Figuras Geométricas

Partes de un triángulo

Cada triángulo tiene tres lados y tres vértices. Cada vértice es donde se encuentran los lados

Un par de lados y el vértice definen un ángulo, de modo que cada triángulo incluye tres ángulos.

Escribe "lado" junto a cada lado y marca con círculo los vértices sobre el triángulo de abajo.

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1 La letra sobre este triángulo que corresponde al lado es:

A

B

C

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2 La letra sobre este triángulo que representa al vértice es:

A

B

C

_Respu es ta

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Partes de un triángulo

C

A

B

Cada vértice se nombra con una letra.

Los lados pueden ser

nombrados con las letras de los dos vértices o con la de el lado. El triángulo es nombrado con un triángulo de símbolo adelante, seguido de las tres letras de los vértices.

Nombra los tres lados de este triángulo ______ ______ ______

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3 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?

A AB

B BC

C AC

C

(3)

4 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?

A AB

B BC

C AC

C

A

B

R es pu es ta

5 ¿Cuál es el nombre de este triángulo?

A ΔABC

B ΔBCA

C ΔACB

C

A

B

D ΔCAB

E todos

R es pu es ta

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Partes de un triángulo

C A B

Arriba el lado rojo es ________________ A,

mientras que los lados verdes son ________________ a A. Un lado está opuesto al

ángulo si éste no lo toca. De otra manera, es adyacente al ángulo.. R es pu es ta

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6 ¿Qué lado está opuesto al ángulo B?

A AB

B CA

C BC

D Ninguno

C

A

B

R es pu es ta

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7 ¿Qué lado está opuesto al ángulo A?

A AB

B CA

C BC

D Ninguno

C

A

B

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8 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo C?

A AB & BC

B CA & BA

C BC & CA

D Ninguno

C

A

B

(4)

9 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo B?

A AB & BC

B CA & BA

C BC & CA

D Ninguno

C

A

B

R es pu es ta

Tipos de triángulos

En general un triángulo puede tener lados de diferentes longitudes y ángulos de diferentes medidas.

Sin embargo, hay nombres dados para triángulos que tienen ángulos especiales o algunos lados o ángulos iguales.

Euclides definió los nombres para un número de esos en sus definiciones.

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Definición 20: De figuras trilaterales, un triángulo equilátero es aquel

que tiene sus tres lados iguales, un triángulo isosceles es aquel que tiene dos lados iguales y un triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales.

Clasificando triángulos

Los Triángulos pueden ser clasificados por sus lados o por sus ángulos.

En su definición, Euclides usó los lados. En su siguiente definición, Euclides usó los ángulos.

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Definición 21: Más allá de las figuras trilaterales, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo

es que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos. .

Trabajaremos con ambas definiciones, ya que en muchos casos ambas aplican a los mismos triángulos.

Clasificando triángulos

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Triángulos agudos

En un triángulo acutángulos cada uno de sus ángulos es agudo.

Observa que en este triángulo no hay ángulos iguales o mayores a 90º. Definición 21: "...un triángulo acutángulo es que tiene sus tres ángulos agudos."

Clasificando triángulos

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Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.

Observa que sólo un ángulo tiene 90º, lo que significa que los otros dos suman 90º; y por lo tanto son agudos.

Al lado opuesto al ángulo recto se lo llama hipotenusa y a los otros dos lados se los llama catetos.

Definición 21: "...un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto..."

(5)

Triángulo Isósceles

Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud. Los ángulos opuestos a aquel formado por dos lados iguales son

de la misma medida.

x x

Definición 20: "...Un triángulo isósceles es

aquel que tiene dos de sus lados de igual longitud..."

Clasificando triángulos

Triángulo Isósceles

A los ángulos iguales de medida x en el diagrama se los llama ángulos de la base. Al lado que está entre ellos se lo llama base.

A los otros dos lados, opuestos a los ángulos de la base y congruentes entre sí se los llama catetos.

Es un caso especial de triángulo acutángulo.

x x

Clasificando triángulos

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Triángulo obtusángulo

Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo que es mayor que 90º y dos ángulos agudos.

Observa que un ángulo es mayor que 90º, lo que significa que la suma de los otros dos es menor que 90º; y que son agudos..

Definición 21: "...un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso..."

Clasificando triángulos

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Equiangular / Triángulo equilátero

Un triángulo equiangular o equilátero tiene los tres ángulos de igual medida y los lados de igual longitud.

Definición 20: "...un triángulo equilátero

es el que tiene sus tres lados iguales..."

Todos los lados tienen la misma medida y todos los lados son de igual longitud. Cada ángulo mide 60º.

Es un triángulo agudo especial.

x

Clasificando triángulos

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Triángulo Escaleno

Ninguno de los lados o ángulos de un triángulo escaleno son congruentes entre sí.

Definición 20: "...un triángulo

escaleno es que que tiene sus tres lados desiguales..."

Observa que en este triángulo ninguno de sus lados o ángulos son iguales.

Clasificando triángulos

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10 Un triángulo isósceles es _______________ un

triángulo equilátero

A

Algunas veces

B

Siempre

C Nunca

(6)

11 Un triángulo obtusángulo es _______________

triángulo isósceles.

A

Algunas veces

B

Siempre

C Nunca

Res pu es ta

12 Un triángulo puede tener más de un ángulo obtuso.

Verdadero

Falso

R es pu es ta

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13 Un triángulo puede tener más de un ángulo recto.

True

False

R es pu es ta

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14 En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°

Verdadero Falso Res pu es ta

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15 Un triángulo equilátero también es un triángulo

isósceles

Verdadero

Falso

Res pu es ta

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16 Este triángulo es clasificado como _____.

(Marca todo lo que aplica)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

60º

8.6 60º

60º

8.6

R es pu es ta

(7)

17 Este triángulo es clasificado como _____.

(Marca todo lo que aplica)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

57º

79º

44º

6.1

8.7

7.4

R es pu es ta

18 Este triángulo es clasificado como _____.

(Marca todo lo que aplica.)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

26°

128°

26°

2.5

4.5

R es pu es ta

Slide 39 / 224

19 Este triángulo es clasificado como _____.

Marca todo lo que aplica.

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

4.8

4.8 45°

45°

6.8

R es pu es ta

Slide 40 / 224

Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulos

Ejemplo

isósceles, agudoClick para la respuesta

Slide 41 / 224

Ejemplo

escaleno, obtusoClick para la _respuesta

Slide 42 / 224

Ejemplo

escaleno, agudoClick para la respuesta

(8)

20 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cm

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

Res pu es ta

21 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitudes de lado: 3 cm, 2 cm, 3 cm

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

R es pu es ta

Slide 45 / 224

22 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitudes del lado: 5 cm, 5 cm, 5 cm

A Equilátero

B Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F Recto

G Obtuso

R es pu es ta

Slide 46 / 224

23 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Medidas de los ángulos: 25°, 120°, 35°

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

R es pu es ta

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24 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Medidas de los ángulos: 30°, 60°, 90°

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

R es pu es ta

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25 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cm

Medidas de los ángulos: 37°, 53°, 90°

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

R es pu es ta

(9)

26 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

A

_120°

B

C

R es pu es ta

L

M

N

27 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

R es pu es ta

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H

J

K

45°

85°

50°

28 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

R es pu es ta

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Teorema de la

Suma de

Triángulos

Slide 53 / 224

Teorema de la Suma de Triángulos

A

B C

Podemos usar lo que aprendimos sobre las rectas paralelas para determinar la suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo.

Primero, vamos a trazar dos rectas paralelas. La primera entre la base del triángulo y la otra pasando por el vértice opuesto.

Slide 54 / 224

Y extender AB para hacerla transversal. Luego, vamos a nombrar algunos de los ángulos.

A B C x x y y

(10)

29 ¿Cuál es el nombre para el par de ángulos nombrado

como x y qué relación hay entre ellos?

A exteriores de afuera, son desiguales

B interiores alternos, son desiguales

C interiores alternos, son iguales

D exteriores de afuera, son iguales

¿Esto es igual para el par de ángulos nombrados

como y?

R es pu es ta A B C

Por lo tanto, ambos ángulos etiquetados como x son iguales y los dos pueden ser llamados x y tienen igual medida que B.

x

Repite el mismo proceso con el lado AC y calcula el ángulo a lo largo de la paralela de arriba que es igual al ángulo C.

Teorema de la Suma de Triángulos

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A B C x x y y

Vamos a volver a nombrar a los ángulos con A, B y C.

Teorema de la Suma de Triángulos

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A

B C

La suma de aquellos ángulos a lo largo de la recta paralela superior es igual a 180º, de modo que A + B + C = 180º

B C

No hacemos suposiciones especiales sobre este triángulo, de manera que esta demostración aplica a todos los triángulos: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.

Teorema de la Suma de Triángulos

Slide 59 / 224

La medida de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

Click aquí para ir al laboratorio llamando "Teorema de la suma de Triángulos".

A

B C

Teorema de la Suma de Triángulos

Pr ác tic a de Ma te m áti ca

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Ejemplo: Teorema de la Suma de Triángulos

32º J

K 20º L

Calcula la medida del ángulo que falta.

R

es

pu

es

(11)

30 ¿Cuál es la m∠B?

A

B

C

52°

53°

R es pu es ta

31 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?

57°

L

M

N

R es pu es ta

Slide 63 / 224

32 En ΔABC, si m∠ B es 84° y m∠ C es 36°, ¿cuál

es la m∠ A?

R es pu es ta

Slide 64 / 224

33 En el ΔDEF, si m

∠ D es 63° y la m∠ E es 12°, calcula

la m∠ F.

R es pu es ta

Slide 65 / 224

Resuelve para x

55°

(12x+8)°

(8x-3)°

P

Q

R

Ejemplo

R es pu es ta

Slide 66 / 224

Q

R

S

2x°

5x°

8x°

34 Resuelve para x.

Entonces calcula:

m∠ Q =

m∠ R =

m∠ S =

R es pu es ta

(12)

35 ¿Cuál es la medida de ∠ B?

C

B

A

(3x-17)0 (x+40)0 _(2x-5)0 R es pu es ta

Corolario para el Teorema de la

Suma de Triángulos

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

A B

C

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Dado: Triángulo ABC es un triángulo rectángulo Demostración: sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios

A B

C

Demostración del Corolario del Teorema

de la Suma de Triángulos

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36 ¿Qué razón aplica al paso 1?

A Propiedad de Sustracción de la Igualdad B Propiedad de Sustitución de la Igualdad C Dado

D Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto

A B

C

Afirmación Razón

1 E triángulo ABC es un triángulo _rectángulo ? 2 Los Triángulos Rectángulos _{contienen un ángulo recto.} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ? 5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ? 7 ? Definición de complementario R es pu es ta

Slide 71 / 224

A B

C

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Los triángulos rectángulos _{contienen un ángulo recto.} ?

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario A Propiedad de Sustracción de la Igualdad

B Propiedad de Sustitución de la Igualdad C Dado

D Definición de Triángulo Rectángulo

E Definición de un ángulo recto Res

pu es ta

D Definición de triángulo rectángulo

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A B

C

A La medida de un ángulo llano es 180º B m∠A + m∠B + m∠C = 180º

C m∠B + m∠C = 90º D m∠B + m∠C = 180º E ∠A es un ángulo recto

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Los triángulos rectángulos _{contienen un ángulo recto.} ?

4 m∠ A = 90º ? 5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ? 7 ? Definición de complementario R es pu es ta _B m∠A + m∠B + m∠C = 180º

(13)

A B

C

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Un triángulo rectángulo _{contiene un ángulo recto.} ?

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

pu

es

ta _{E Definición de ángulo} recto

A B

C

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Un triángulo rectángulo _{contiene un ángulo recto} ?

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

E Definición de un ángulo recto _Respu

es

ta _{B Propiedad de} Sustitución de la Igualdad

Slide 75 / 224

A B

C

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario

A Propiedad de Sustracción de la Igualdad B Propiedad de Sustitución de la Igualdad C Dado

pu es ta _{A Propiedad de} Sustracción de la Igualdad

Slide 76 / 224

A B

C

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario A La medida de un ángulo recto es 180º

B La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º

C Los ángulos agudos son complementarios D Los ángulos agudos son suplementarios

E ∠A es un ángulo recto R

es

pu

es

ta _{C Los ángulos agudos} son complementarios

Slide 77 / 224

A B

C Dado: El triángulo ABC es un triángulo rectángulo Prueba: Sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios

Afirmación Razòn

1 El triángulo ABC es un triángulo _rectángulo Dado 2 Un triángulo rectángulo contiene un _{ángulo recto.} Definición de triángulo _rectángulo 3 m∠A + m∠B + m∠C = 180º Teorema de los ángulos _interiores 4 m∠A = 90º Definición de ángulo recto 5 90º + m∠B + m∠C = 180º Propiedad de sustitución _{de la igualdad} 6 m∠B + m∠C = 90º Propiedad de sustracción _{de la igualdad} 7 Los ángulos agudos son _{complementarios} _{complementario}Definición de

Demostración del Corolario del Teorema

de la Suma de Triángulos

Slide 78 / 224

Ejemplo

La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es cinco veces la medida del otro ángulo agudo.

Calcula la medida de cada ángulo agudo.

R

es

pu

es

(14)

43 En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos

agudos es 90°.

Verdadero

Falso

44 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?

57°

L

M

N

Slide 81 / 224

45 Resuelve para x.

A

B

C

B

A

¿Cuáles son las

medidas de los

tres ángulos?

x+57 = 90º

x = 33º

Slide 82 / 224

46 Resuelve para x.

¿Cuáles son las

medidas de los

tres ángulos?

Slide 83 / 224

47 m∠1 + m∠2 =

1

2

3 A

R es pu es ta

Slide 84 / 224

48 m∠1 + m∠3 =

1

2

3

R es pu es ta

(15)

20°

X°

49 Calcula el valor de x en el diagrama

R

es

pu

es

ta

Teorema de los Ángulos

Exteriores

Volver a la Tabla de Contenidos

Slide 87 / 224

Los ángulos exteriores están formados por la extensión de un lado cualquiera de un triángulo.

El ángulo exterior es entonces el ángulo entre el lado extendido y el lado más cercano del triángulo. Abajo se muestra un lado exterior.

Tómate un momento y traza otro.

Ángulos Exteriores

A

B C

xº

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Ya que un triángulo tiene tres vértices y dos ángulos externos puede ser trazado en cada vértice, es posible trazar seis ángulos externos al triángulo.

Traza el otro ángulo externo al vértice A.

A B C xº

Ángulos Exteriores

Slide 89 / 224

A B C xº xº

Los ángulos exteriores en cada vértice son congruentes, ya que son ángulos verticales u opuestos por el vértice.

Ángulos Exteriores

Slide 90 / 224

Los ángulos interiores de un triángulo son ∠A, ∠ABC y ∠C. Una vez que se traza un ángulo exterior, un ángulo interior es adyacente y los otros dos son remotos.

Ya que se puede trazar ángulos exteriores en cualquier vértice, cualquier ángulo anterior puede ser remoto dependiendo sobre qué vértice se traza el ángulo externo.

Ángulos Interiores Remotos

A

B C

En este caso, ∠A y ∠C son los ángulos interiores remotos y ∠ABC es el ángulo adyacente interior

(16)

50 ¿Cuáles son los ángulos interiores remotos en este

ejemplo?

A ∠A y ∠B

B ∠A y ∠C

C ∠B y ∠C

A

B

C

xº xº

51 Si AB es una línea recta, ¿Cuál es la suma de ∠2 y

∠1?

1 A

B

2 Slide 93 / 224

52 En este diagrama, ¿cuál es la suma de P, Q y R?

P

R

Q

Res pu es ta

Slide 94 / 224

A B C D

La medida de cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos interiores remotos.

m∠DBA = m∠A + m∠C ó

x = m∠A + m∠C

Teorema de los Ángulos Exteriores

xº

Slide 95 / 224

Dado: ∠DBA es un ángulo exterior al ΔABC y ∠A y ∠C son ángulos remotos interiores. Prueba: m∠DBA = m∠A + m∠C

Demostración del Teorema de los

Ángulos Exteriores Remotos

A

B C

D

xº

Slide 96 / 224

A Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios B Definición complementario

C Teorema de los ángulos interiores D Propiedad de sustitución de la igualdad E Definición de ángulo recto

A

B C

D xº

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado 2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ? 3 ? _{suplementarios}Definición de 4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ? 5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ? 6 ? sustracción de la Propiedad de igualdad R es pu es ta

(17)

54 ¿Qué afirmación aplica al paso 3?

A m∠DBA + m∠ABC = 180°

B m∠DBA = m∠A + m∠C

C m∠A + m∠B = 180°

D m∠DBA + m∠A = 90°

E m∠DBA + m∠A = 180°

A B C x D Afirmación Razón

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado 2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?

3 ? _{suplementario}Definición de

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ?

6 ? sustracción de la Propiedad de igualdad R es pue sta

A

B C

x D

1 ∠ DBA es un ángulo exterior la ΔABC y ∠ A _{y ∠ C son ángulos interiores remotos} Dado 2∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ? 3 ? _{suplementario}Definición de 4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ? 5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ? 6 ? sustracción de la Propiedad de

igualdad A Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios B Definición de complementario

C Teorema de los ángulos interiores D Propiedad de sustitución de la igualdad

E Definición de ángulo recto Resp

uesta

Slide 99 / 224

56 ¿Qué razones aplican al paso 5?

A

B C

x D

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado 2∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ? 3 ? _{suplementario}Definición de 4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ? 5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ? 6 ? sustracción de la Propiedad de

igualdad A Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios B Definición complementario

C Teorema de los ángulos interiores D Propiedad de sustitución de la igualdad

E Definición de ángulo recto Resp

uesta

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57 ¿Qué afirmaciones aplican al paso 6?

A m∠DBA + m∠ABC = 180° B m∠DBA = m∠A + m∠C C m∠A + m∠B = 180° D m∠DBA + m∠A = 90° E m∠DBA + m∠A = 180° A B C x D Afirmaciones Razón

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado 2∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ? 3 ? _{suplementarios}Definición de 4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ? 5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ? 6 ? sustracción de la Propiedad de igualdad R es pu es ta

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Afirmaciones Razón

1 ∠ DBA es un ángulo ΔABC y ∠ A y ∠ C

son ángulos interiores remotos Dado

2 _{∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios} Los ángulos que forman un

par lineal son suplementarios

3 ∠ DBA + m∠ ABC = 180° Definición de suplementarios

4 _{m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180°} Teorema de los ángulos _interiores 5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC +

m∠ C Propiedad de sustitución de la igualdad

6 _{m∠ DBA = m∠ A + m∠ C} Propiedad de sustracción de la

igualdad Demostración del Teorema de Ángulos Exteriores

Dado: ∠ DBA es un ángulo

exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos.

Prueba: m∠ DBA = m∠ A + m∠ C A B C x D

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58 En esta caso, ¿cuál debe ser la relación entre los

ángulos interiores de ΔPQR y ∠1?

A m∠Q = m∠1

B m∠1 = m∠P

C m∠1 = m∠Q + m∠R

D m∠1 = m∠P + m∠R

E m∠1 = m∠Q + m∠P

1

P

R

Q

R es pu es ta

(18)

59 En este caso, ¿cuál debe ser la relación entre los

ángulos interiores de ΔPQR y ∠2?

A m∠Q = m∠2

B m∠2 = m∠P

C m∠2 = m∠Q + m∠R

D m∠2 = m∠P + m∠R

E m∠2 = m∠Q + m∠P

2 P R Q

Ejemplo: usando el Teorema de los ángulos

exteriores

140º Xº Xº P Q R ¿Cuál es el valor de x? Res pu es ta

Slide 105 / 224

Ejemplo

Resuelve para x e y. 21° 34° x° y° Res pu es ta

Slide 106 / 224

xº yº 75º 50º

Ejemplo

Resuelve para x e y. R es pu es ta

Slide 107 / 224

60 Resuelve para x.

xº yº

60º

55º

R es pu es ta

Slide 108 / 224

61 Resuelve y.

xº

yº

60º

55º

R es pu es ta

(19)

62 Calcula el valor de x.

2xº

yº

60º

94º

R es pu es ta

63 Calcula el valor de x.

(2x+3)º

yº

100º

51º

R es pu es ta

Slide 111 / 224

64 Calcula el valor de x.

(x+2)°

y°

(3x-5)°

33°

R es pu es ta

Slide 112 / 224

65 El segmento PS bisecta a ∠RST, ¿cuál es el valor de w?

25°

P

S

T

R

wº

R es pu es ta

Slide 113 / 224

Ejemplo

Calcula los ángulos que faltan en el diagrama.

60° 7 103° 43° 45° 30° 5 4 3 2 1 N ota s pa ra e l Pr ofe so r

Slide 114 / 224

40º

1

2

4

5

3 60º

66 Calcula la medida de ∠1.

R es pu es ta

(20)

67 Calcula la medida de∠2.

40º

1

2

4

5

3 60º

R es pu es ta

68 Calcula la medida de ∠3.

40º

1

2

4

5

3 60º

R es pu es ta

Slide 117 / 224

69 40º

1

2

4

5

3 60º

Calcula la medida de ∠4.

R es pu es ta

Slide 118 / 224

70 Calcula la medida de ∠5.

40º

1

2

4

5

3 60º

R es pu es ta

Slide 119 / 224

Desigualdad en

triángulos

Slide 120 / 224

Desigualdades en un triángulo

Para determinar desigualdades en un triángulo descargar el esquema, "desigualdades en un triángulo" y la hoja de trabajo "desigualgades en un triángulo" Ir al esquema, "Desigualdades en un triángulo." Ir a la hoja de trabajo, "Desigualdades en un triángulo."

(21)

Ángulos desiguales en un triángulo

El lado más largo está opuesto siempre al ángulo más grande. El lado más corto está siempre opuesto la ángulo más pequeño.

71 Nombra el lado más largo del triángulo.

A AB

B BC

C CA

D todos son iguales

A

B

C

35°

60°

85°

R es pu es ta

Slide 123 / 224

72 Nombra el lado más corto de este triángulo.

A AB

B BC

C CA

D son todos iguales

A

B

C

35°

60°

85°

R es pu es ta

Slide 124 / 224

73 Nombra el lado más corto de este triángulo.

A AB

B BC

C CA

D son todos iguales

A

B

C

35°

105°

40°

R es pu es ta

Slide 125 / 224

74 Nombra el ángulo más grande de este triángulo.

A ∠A

B ∠B

C ∠C

D Son todos iguales

A

B

C

10

14

8

R es pu es ta

Slide 126 / 224

75 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.

A ∠A

B ∠B

C ∠C

D Son todos iguales

A

B

C

10

14

8

R es pu es ta

(22)

A

C

10

10 76 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.

A ∠A

B ∠B

C ∠C

D Son todos iguales

B

R

es

pu

es

ta

Desigualdades de longitud en

un triángulo

Un lado no puede ser más largo que la suma de los otros dos lados. Un lado no puede ser más corto que la diferencia de los otros dos lados.

Slide 129 / 224

Ningún lado puede ser más largo que la suma de los otros dos lados.

Esto se deriva del hecho de que si los dos lados más cortos no pueden ser ubicados en un ángulo de 180º y excede la longitud del lado más largo, no se puede formar un triángulo.

Como se muestra abajo, si el lado azul es más largo que la suma del lado rojo y del lado verde, no se puede formar un triángulo. Mueve los lados de abajo e intenta formar un triángulo.

Desigualdades de longitud en

un triángulo

Slide 130 / 224

Ningún lado puede ser menor a la diferencia entre los otros dos lados.

Esto se deriva del hecho de que si los lados más largos no pueden ser ubicados en un ángulo de 0° grado para alcanzar el extremo del lado más corto, no se puede formar un triángulo. Como se muestra abajo, si el lado azul también es corto para alcanzar a la línea roja, incluso cuando la línea roja está en el ángulo más pequeño, no se puede formar un triángulo.

Desigualdades de longitud en

un triángulo

Slide 131 / 224

77 ¿Cuál es la máxima longitud del tercer lado para formar

un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?

R es pu es ta

Slide 132 / 224

78 ¿Cuándo es la máxima longitud del tercer lado para

formar un triángulo si los otros lados son de 8 y 7?

R

es

pu

es

(23)

79 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar

un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?

R

es

pu

es

ta

80 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar

un triángulo si los otros lados son de 7 y 8?

R es pu es ta

Slide 135 / 224

Triángulos Semejantes

Slide 136 / 224

Recuerda que:

Congruencia

Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, por alguna combinación de traslación, rotación y reflexión de manera que cada parte de cada objeto se superponga. Este es el símbolo para congruencia:

Si a es congruente a b se mostraría como

lo cuál se lee como "a es congruente a b"

a b

Slide 137 / 224

Sólo los segmentos con la misma longitud son congruentes. También, todos los segmentos congruentes tienen la misma longitud.

Antes aprendimos que:

Segmentos Congruentes

a b c d c d a b

Slide 138 / 224

Recuerda:

Ángulos Congruentes

A B

∠

∠C ∠D

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Dos ángulos no son congruentes si tienen diferentes medidas.

A

B

C

D

(24)

Triángulos Congruentes

Los triángulos están construidos por tres segmentos Y tres ángulos.

Para que un triángulo sea congruente con otro los tres lados Y los tres ángulos deben ser congruentes.

Triángulos Semejantes

Si los tres lados de dos triángulos son congruentes, vamos a demostrar que los tres ángulos también son congruentes. Por consiguiente, los triángulos son congruentes. Además, dos triángulos pueden tener todos sus ángulos congruentes, con todos o ninguno de sus lados siendo congruentes.

En ese caso, se dice que los triángulos son Semejantes.

Slide 141 / 224

Triángulos Congruentes

Los Triángulos Congruentes también son Triángulos Semejantes ya que todos sus ángulos son congruentes. Los Triángulos Congruentes son además un caso especial de

triángulos semejantes. Nos enfocaremos primero en los triángulos semejantes, y luego trabajaremos con los triángulos

congruentes en una unitad posterior.

Los triángulos Semejantes representan una gran herramienta para resolver problemas y son el fundamento de la

trigonometría.

Slide 142 / 224

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener diferentes tamaños.

Si tienen igual forma y son del mismo tamaño, son semejantes y congruentes. A B C D E F

Triángulos Semejantes tienen Lados

Proporcionales

Slide 143 / 224

Triángulos Semejantes

Este es el símbolo para semejanza

De modo que, la afirmación simbólica para El triángulo ABC es semejante al triángulo DEF

es: DEF DEF

ΔABC Δ

Slide 144 / 224

Nombrando Triángulos Semejantes

Esta afirmación nos dice más que dos triángulos son semejantes.

Nos dice también que los ángulos son iguales En este caso, que

m∠A = m∠D m∠B = m∠E m∠C = m∠F

Y así que son lados correspondientes y proporcionales. AB corresponde a DE BC corresponde a EF CA corresponde a FD DEF DEF ΔABC Δ

(25)

De manera que, cuando estás nombrando triángulos semejantes, el orden de las letras importa.

No tienen que ser alfabéticas.

Pero tienen que ser nombrados de manera que ángulos iguales correspondan con los otros iguales.

DEF DEF

ΔABC Δ

Nombrando Triángulos Semejantes

_{Demostrando triángulos semejantes}

Si puedes probar que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes, directamente queda comprobado que son semejantes.

Además, hay atajos para demostrar que son triángulos semejantes.

Exploraremos tres conjuntos de condiciones que implican que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes, significando que los triángulos deben ser semejantes.

Slide 147 / 224

Teorema de la Semejanza

Ángulo a Ángulo

Sabemos del Teorema de la Suma de Triángulos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180º.

De modo que, si dos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes que suman x, entonces el tercer ángulo en ambos triángulos debe ser (180 - x)º ....formando tres pares de ángulos congruentes.

Una forma de demostrar que dos triángulos son semejantes es probar que dos de sus ángulos en cada

triángulo son congruentes.

Slide 148 / 224

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos en otro triángulo, sus terceros ángulos son congruentes y los triángulos son semejantes. Aquí está la demostración

1 ∠ A y ∠ B en ΔABC son ≅ a ∠ D y ∠ E _{en ΔDEF} Dada 2 m∠ A = m∠ D; m∠ B = m∠ E Definición de ángulos _congruentes 3m∠ A+ m∠ B + m∠ C = 180º

m∠ D+ m∠ E + m∠ F = 180º Teorema de la suma de triángulos 4m∠ C =180º - (m∠ A + m∠ B)

m∠ F =180º- (m∠ D + m∠ E) Propiedad de sustracción de la igualdad 5m∠ C =180º - (m∠ A + m∠ B)

m∠ F =180º- (m∠ A + m∠ B) Propiedad de sustitución de la igualdad 6 m∠ C = m∠ F Propiedad de sustitución _{de la igualdad} 7 ΔABC y ΔDEF son semejantes Definición de semejanza

Teorema de la Semejanza Ángulo a Ángulo

Slide 149 / 224

Si dos triángulos tiene sus lados proporcionales, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales a los que sus lados correspondientes subtienden.

Euclides- Libro 7: Proposición 5

Los triángulos equiangulares son semejantes, de modo que esto establece que los triángulos con lados proporcionales son semejantes.

Esta es la segunda forma para demostrar que los triángulos son semejantes:

Si se puede demostrar que los tres pares de lados en dos triángulos son proporcionales, entonces se habrá

demostrado que los triángulos son semejantes.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

Slide 150 / 224

Esto se deriva de la forma que contruimos ángulos congruentes. Hicimos uso del hecho de que si dos ángulos son congruentes, sus lados se separan a la misma razón a medida que se alejan del vértice.

Aquí está el dibujo que usamos para construir ∠ABC de modo que sería congruente a ∠FGH.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

F

G _H

A

C B

(26)

Si trazamos los segmentos verdes conectando los puntos donde los arcos azules intersecan las semirrectas, podemos ver que la longitud de ese segmento sería la misma para ambos ángulos. Ya que los ángulos son congruentes, el segmento opuesto a aquellos ángulos también serán congruentes, si este interseca ambos lados del ángulo a la misma distancia desde el vértice en ambos casos.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

F G _H A C B D E

En este caso los segmentos AC y DE serán congruentes ya que los segmentos GD y GE también son congruentes a los segmentos AB y BC.

De modo que el ΔDEG es congruente al ΔABC, ya que todos los ángulos y lados son iguales.

Cambiando la escala del ΔABC no cambiará la medida de sus ángulos. Los lados serán proporcionales a aquellos del ΔDEG, pero no iguales.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

F G _H A C B D E

Slide 153 / 224

El diagrama de abajo muestra una ampliación del ΔABC y podemos ver que las medidas de los ángulos no cambiaron.

Aún son triángulos semejantes. Los lados correspondientes son proporcionales.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

A C B F G _H D E

Slide 154 / 224

A C B

Removiendo los arcos y desplazando el triángulo más pequeño dentro del más grande se hace claro que todos los ángulos son congruentes y los lados están en proporción.

Así que, la segunda forma de demostrar triángulos semejantes es mostrar que todos sus lados están en proporción.

F D

E

G H

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

Slide 155 / 224

Si dos triángulos tienen un ángulo igual a otro y los lados alrededor del ángulo igual están en proporción, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales con los correspondientes ángulos que subtienden.

Los Elementos de Euclides - Libro Sexto- Proposición 6 La tercera forma de demostrar que son semejantes es mostrar que pueden compartir un ángulo que es igual y los dos lados formando ese ángulo son proporcionales en los dos triángulos.

Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado

Slide 156 / 224

Esto deriva directamente del trabajo que hemos hecho para mostrar que la proporcionalidad Lado-Lado-Lado puede ser usada para demostrar triángulos semejantes.

Si recuerdas, el segmento que forma el tercer lado de un triángulo está completamente definido por el ángulo opuesto y la longitud de los otros dos lados.

(27)

Si los ángulos son congruentes y los dos lados del ángulo están en proporción, el tercer lado debe estar también en proporción.

Si los tres lados están en proporción, los triángulos deben ser semejantes debido al Teorema Lado-Lado-Lado.

Puedes ver esto en la página siguiente.

Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado

A B

C D

E

F Si ∠B ≅ ∠E y los segmentos AB y BC son proporcionales a los segmentos ED y EF, entonces el segmento AC también debe ser proporcional al segmento DF. Ya que los tres lados están en proporción, los triángulos son semejantes.

Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado

Slide 159 / 224

Error común

NO PUEDES demostrar triángulos semejantes Lado- Lado. Ángulo.

No es lo mismo que Lado-Ángulo-Lado.

Como se muestra abajo, dos triángulos pueden tener dos lados correspondientes y un ángulo correspondientes congruente, pero NO ser semejantes.

Slide 160 / 224

81 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

x

E No son semejantes

R es pu es ta

Slide 161 / 224

82 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

R es pu es ta

Slide 162 / 224

83 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

6

4

8

12

16 A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D No son semejantes

E Podrían no ser semejantes

(28)

84 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

4

8

3

6

10 A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

R es pu es ta

85 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos

triángulos son semejantes?

4

8

3

6 x

x

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

R es pu es ta

Slide 165 / 224

86

¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

4

3 x

8

6 x

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

R es pu es ta

Slide 166 / 224

87 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

Slide 167 / 224

88 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

R es pu es ta

Slide 168 / 224

89 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

R

es

pu

es

(29)

90 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A

B

C

D

E

Nota que BC es paralelo a DE.

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

R es pu es ta

B

A B C D E

Teorema del Divisor de Lado

Cualquier recta paralela a un lado de un triángulo formará un triángulo que es semejante al primer triángulo.

Como aprenderemos más tarde, también hace todos los lados proporcionales, dividiéndolos...de ahí el nombre del teorema.

Slide 171 / 224

A

B C

D E

Dado: BC es paralelo a DE Prueba: ΔABC ~ ΔADE.

Demostración del Teorema del

Divisor de Lado

Slide 172 / 224

91 ¿Cuál es la razón para el paso 2?

A Teorema de Semejanza Ángulo- Ángulo

B Teorema de la Semejanza Lado- Lado- Lado

C Propiedad Reflexiva de Congruencia

D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentes

E Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos interiores alternos son

congruentes

A B C D E Afirmación Razón 1 BC es paralelo a DE Dada 2 ∠ ABC ≅ ∠ D; ∠ ACB ≅ ∠ E ? 3 ∠ A ≅ ∠ A ? 4 ΔABC ~ ΔADE ? R es pu es ta

Slide 173 / 224

92 ¿Cuál es la razón para el paso 3?

A

B C D E Afirmación Razón 1 BC es paralelo a DE Dada 2 ∠ ABC ≅ ∠ D; ∠ ACB ≅ ∠ E ? 3 ∠ A ≅ ∠ A ? 4 ΔABC ~ ΔADE ?

A Teorema de Semejanza Ángulo- Ángulo

B Teorema de la Semejanza Lado- Lado- Lado

C Propiedad Reflexiva de Congruencia

D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentes

E Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos interiores alternos son

congruentes

R es pu es ta

Slide 174 / 224

93 ¿Cuál es la razón para el paso 4?

A

B C D E Afirmación Razón 1 BC es paralela a DE Dada 2 ∠ ABC ≅ ∠ D; ∠ ACB ≅ ∠ E ? 3 ∠ A ≅ ∠ A ? 4 ΔABC ~ ΔADE ?

A Teorema de Semejanza Ángulo- Ángulo

B Teorema de la Semejanza Lado- Lado- Lado

C Propiedad Reflexiva de Congruencia

D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentes

E Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos interiores alternos son

congruentes

R es pu es ta

(30)

Demostración del Teorema Lado Divisor

Dado: BC es paralelo a DE

Prueba: ΔABC ~ ΔADE

A B C D E Afirmación Razón 1 BC es paralelo a DE Dada 2 ∠ ABC ≅ ∠ D; ∠ ACB ≅ _{∠ E}

Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, los

ángulos correspondientes son congruentes 3 ∠ A ≅ ∠ A Propiedad Reflexiva de la _Congruencia 4 ΔABC ~ ΔADE Teorema de la Semejanza Ángulo- _Ángulo

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener diferentes tamaños. Si tienen la misma forma y el mismo tamaño, son congruentes.

Si tienen igual forma y son de diferentes tamalos, son semejantes y sus lados están en proporción.

A B

C D

E

F

Teorema Triángulos Semejantes

tienen Lados Proporcionales

Slide 177 / 224

Lo contrario también es cierto y demostrará ser muy útil. Si dos triángulos son semejantes, todos sus lados

correspondientes están en proporción.

*Mientras Euclides si probó ese teorema, sus demostraciones resultaron en otros teoremas que tendrían que ser probados primero y se irían de los objetivos de este curso. Así que, sólo relacionaremos sobre ese teorema y observa que la

demostración está disponible en Los Elementos de Euclides- Libro Sexto: Proposición 5

Teorema Triángulos Semejantes

tienen Lados Proporcionales

Slide 178 / 224

Triángulos Semejantes y

Proporcionalidad

A

B

C

D

E

F

En los triángulos de abajo, si sabemos que

m∠A = m∠D, m∠B = m∠E, y m∠C = m∠F,

Entonces sabemos que los triángulos son semejantes.

Slide 179 / 224

A

B

C

D

E

F

También sabemos que los lados correspondientes son proporcionales. El símbolo para proporcional es la letra griega, alfa: #

AB α DE, ya que AB corresponde a DE BC α EF, ya que BC corresponde a EF AC α DF, ya que AC corresponde a DF

Triángulos Semejantes y

Proporcionalidad

Slide 180 / 224

Lados Correspondientes

A

B

C

D

E

F

Nuestro trabajo con triángulos similares y nuestro futuro trabajo con triángulos congruentes nos requiere identificar los lados correspondientes.

Una forma de hacer esto es localizar los lados opuestos a los ángulos congruentes. Si sabemos que los triángulos ABC y EDF son semejantes y que el ángulo A es congruente al ánguo D, entonces los lados opuestos a A y D están en proporción: BC α EF

(31)

Lados Correspondientes

A

B

C

D

E

F

Otra forma de indentificar lados correspondientes es usar la descripción de Euclides...aquellos ángulos [son] iguales a los que los lados correpondientes subtienden."

Abajo, ya que el ángulo A es igual al ángulo D y el ángulo B es igual al ángulo E, entonces los lados AB y DE están en proporción.

A

B

C

D

E

F

Cualquiera de estos enfoques funciona, usa el que sea más fácil Identifica los lados correspondientes con los lados que conectan ángulos iguales o los lados opuestos a ángulos iguales... obtendrás el mismo resultado.

Lados Correspondientes

Slide 183 / 224

Triágulos Semejantes y Proporcionalidad

A

B

C

D

E

F

Otra manera de decir que dos lados son proporcionales es decir que uno está en una versión ampliada del otro. Si multiplicas todos los lados de un triángulo por el mismo factor de escala, K, obtienes el otro triángulo. En este caso, si ΔABC es k veces más grande que ΔDEF, entonces:

AB = kDE BC = kEF AC = kDF

Slide 184 / 224

A

B

C

D

E

F

O resulta de dividir los lados proporcionales:

AB BC AC DE EF DF = k= =

Esta propiedad de proporcionalidad es muy útil en la resolución de problemas usando triángulos semejantes y provee el fundamento para la trigonometría.

Triágulos Semejantes y Proporcionalidad

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94 Si m∠A = m∠D, m∠B = m∠E, y m∠C = m∠F, identifica

que lado corresponde al lado AB.

A DE

B EF

C FG

A

B

C

D

E

F

R es pu es ta

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95 Si m∠I = m∠M, m∠H = m∠N, y m∠J = m∠L, identifica que

lado corresponde al lado IJ.

A MN

B NL

C ML

I

J

H

M

N

L

(32)

A B C 8 D E F 4

Ejemplo- Lados Proporcionales

Dado que el ΔABC es similar al ΔDEF, y dadas las longitudes indicadas, calcula las longitudes de AB y BC.

5 7

Ya que los triángulos son semejantes sabemos que la siguiente relación cabe entre todos los lados correspondientes.

Primero, vamos a calcular la constante de proporcionalidad, k, a partir de usar los dos lados de valores: AC y DF. ¿Qué relación podría escribir para determinar el valor de k?

AB BC AC ED EF DF = k= =

A

B

C

8

D

E

F

4

5 7

Ejemplo- Lados Proporcionales

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A B C 5 7 8 D E F 4 AB BC AC ED EF DF = k = 2= = AC 8 DF 4= = k = 2

Esto significa que los otros dos lados del ΔABC también serán dos veces más grandes que los lados correspondientes de ΔDEF

¿Cómo podríamos escribir las proporciones requeridas para calcular AB y BC?

Ejemplo- Lados Proporcionales

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A

B

C

5 7 8

D

E

F

4

AB ED = 2 BC EF = 2 AB 5 = 2 AB = 10 BC 7 = 2 BC = 14

Ejemplo- Lados Proporcionales

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96 Dado que m∠ A = m∠ D, m∠ B = m∠ E, y m∠ C = m∠ F.

Si BC = 8, DE = 6, y AB = 4, EF = ?

A

B

C

D

E

F

R es pu es ta

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97 Dado que ΔJIH es semejante a ΔLMN; calcula la longitud

de LM.

I

J

H

M

N

L

14

10

12

5

R es pu es ta

(33)

98 Dado que ΔJIH es semejante a ΔLMN; calcula la

longitud de LN.

I

J

H

M

N

L

14

10

12

5

R es pu es ta

99 Dado que BC es paralelo a DE y las longitudes dadas,

calcula la longitud de DE.

A

B

C

D

E

8

6

4

R es pu es ta

Slide 195 / 224

100 Dado que BC es paralelo a DE y las longitudes dadas,

calcula la longitud de DB.

A

B

C

D

E

9

7

3

R es pu es ta

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Ejemplo - Semejanza y Lados Proporcionales

D

P

K

12

9

18 R

L

B

6

12

10

Determina si los triángulos son semejantes. Si son semejantes, escribe una afirmación de semejanza. Si no son similares, explica por qué.

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D

P

K

12

9

18 R

L

B

6

12

10

Para identificar los lados correspondientes sin perder mucho tiempo, primero escribe todos los lados desde el más corto al más largo de ambos triángulos y compara para ver si son proporcionales.

Entonces puedes identificar los lados correspondientes y la constante de proporcionalidad.

Ejemplo - Semejanza y Lados Proporcionales

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D P K 15 9 18 R L B 6 12 10

Lado de ΔPDK Longitud Lado del ΔBRL Longitud Razón

DK 9 BR 6 1.5

PD 15 RL 10 1.5

PK 18 BL 12 1.5

Todos los lados correspondientes tienen una relación de 1.5:1, de modo que los triángulos son semejantes. Esto también prueba el orden de los lados, así que podemos decir que ΔKDP es semejan a ΔBRL. Controla para asegurte que todos los lados están en el orden correcto.