1).- Para > 0, B= {x R L : p. x I} = {x R L

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(1)

Pontificia Universidad Católica del Perú Programa de Maestría en Economía Curso: Microeconomía Intermedia

Profesores: Claudia Barriga & José Gallardo Asistente: César Gil Malca

Propiedades de las funciones de demanda Walrasiana, utilidad indirecta y gasto

I. Función de demanda Walrasiana1: 1).- La X X (Pi,I) d d es homogénea de grado o en Pi y en I. 2).- La X X (Pi,I) d d

cumple con la ley de Walras: p.x=I para todo x X (Pi,I)

d

. 3).- La XdXd(Pi,I)si la preferencia es convexa, entonces u (.) es cuasiconcava, entonces,Xd(Pi,I)es un conjunto convexo. Además, si las preferencias son estrictamente cuasiconcava, entonces Xd(Pi,I)consta de un solo elemento.

Demostración:

1).-

Para  > 0, B= {x  RL:  p. x ≤  I} = {x  RL: p. x ≤ I}; esto quiere decir que el conjunto de cestas de consumo factible (que es convexa) en el problema de maximización no cambia cuando todos los precios y el Ingreso son multiplicados por una constante  > 0. Note que esta propiedad no requiere de algún supuesto sobre la utilidad. Intuitivamente, considerando la restricción presupuestal lineal que tiene como puntos de intersección en los ejes a

i

P

I

, los cambios en precios e ingreso en la misma

proporción no produce cambio alguno en la posición de la restricción presupuestal lineal y por lo tanto no produce cambios en la canasta óptima.

2).- La Ley de Walras se satisface del supuesto de no saciedad local, esto es, si p. x < I para algún x  x (p, I), ahí  e > 0 y  y x (p, I), tal que,  y – x ≤ e, entonces si x se elige contradice el óptimo del problema de maximización de la utilidad, es decir, la cesta óptima del problema de maximización se va obtener en el punto donde se intersecte la pendiente de la función de utilidad con la recta presupuestaria dada por p.x=I, que cumple con la ley de Walras.

1 Ver: Chapter 3, Andreu Mas colell, Michael Whinston y Jerry Green (1995), ´´Microeconomics Theory´´ Oxford University Press.

(2)

3).- Suponemos que (.) es cuasiconcava y existen 2 cestas x y x’ (x  x’) las cuales son elementos x (p, I).

Para establecer el resultado, nosotros demostraremos que x”= x + (1- ) x’ pertenece a x (p, I) para algún  [0, 1].

Para empezar, sabemos que (x) =  (x’) y la igualamos a * y dado que (.) es cuasiconcava tenemos por definición:

(x + (1 - ) x’) (x) + (1 - )  (x’)

(x + (1 - ) x’) * + (1 - ) * = *

 (X”) *

Además, sabemos que p x ≤ I y px’ ≤ I, tenemos: px ≤ I y (1 - ) px’ ≤ (1 - ) I sumando tenemos:

p (x + (1 - ) x’) ≤ I p.x”≤ I

Por lo tanto x” está en el conjunto factible convexo (arriba definido como B= {x  RL: p. x ≤ I}).

Por lo tanto, si (x”) * y x” es factible tenemos que x”  x (p, w).

Cuando  (.) es estrictamente cuasiconcava, sigue el mismo argumento pero usando el concepto estrictamente cuaisconcava.

II. Función de Utilidad Indirecta2:

1).- La

V

(

P

i

,

I

)

es homogénea de grado 0 en Pi y I.

2).- la

V

(

P

i

,

I

)

es una función creciente en I y no creciente en Pi 3).- La

V

(

P

i

,

I

)

es cuasiconvexa.

4).- La

V

(

P

i

,

I

)

es continua en I y en Pi.

Demostración:

1).- Si los precios y el ingreso se multiplica ambos por un

0, el conjunto de cestas de consumo factible (que es convexa) en el problema de maximización no cambia por la propiedad de homogeneidad de grado 0 en Pi y en I de la demanda walrasiana. Entonces dado que las cestas óptimas no cambian, cuando varían precios e ingreso, al reemplazar esas en la función de utilidad me da la función de utilidad indirecta que no sufre ningún cambio, así tenemos:

V

(

P

i

,

I

)

V

(

P

i

,

I

)

para cualquier

.

(3)

2).- Sea B= {x: px ≤ I} y B´

= {x: p´.x ≤ I} siendo p´ ≥ p. En ese caso, B  B´. Por lo tanto el máximo de u(x) en B es, al menos tan elevado como u(x) en B´, es decir, un aumento de los precios reduce la utilidad del individuo evaluada monetariamente. El argumento es similar para el caso del I. Intuitivamente un incremento en el ingreso aumenta la utilidad del individuo evaluada monetariamente.

3).- Supongamos que p y p´ son tales que

V

(

P

i

,

I

)

k

,

V

(

P

i

,

I

)

k

´

.

Sea p´´ =

p+ (1-

) p´. Se quiere demostrar que

V

(

P

i´´

,

I

)

k

definimos los conjuntos presupuestarios:

B= {x: px

I} B´= {x: p´ x

I} B´´= {x: p´´ x

I}

Se demostrara que cualquier x perteneciente a B´´ debe pertenecer a B o a B´, es decir, B´´  B U B´, Supongamos que no es así, en ese caso, x es tal que

xp + (1-

) p´ x

I, pero px > I y p´ x > I si multiplicamos a ambos lados por

y por (1-

) tenemos:

px >

I y (1-

) p´x > (1-

) I, sumando tenemos:

px + (1-

) p´ x > I, lo que contradice el supuesto inicial.

Podemos ver:

V

(

P

i´´

,

I

)

= máx. u(x) sujeta a x pertenece a B´´

máx. u(x) sujeta a x pertenece a B U B´

k ya que

V

(

P

i

,

I

)

k

,

V

(

P

i

,

I

)

k

´

4).- Para la continuidad es suficiente probar: para una secuencia {{pn, In}}n1 con (pn, In)

(p, I) para algún u, si V (pn, In)

u para todo n, entonces V (p, I)

u; si V (pn, In)

u para todo n, entonces V (p, I)

u. Suponemos V (pn, In)

u para todo n, entonces por monotonocidad de e (.) en u3, nosotros tenemos In

e (pn, u) para todo n. Por la continuidad de e (.), I

e (p, u), podemos decir que V (p, I)

u.

El mismo argumento se usa para V (pn, In)

u para toda n.

3 Por monotonocidad se sabe que I´

> I. Definimos u = V(p,u) y u = V(p,u´ ), entonces e(p, u)=I y e (p, u´)=I´, por la monotonocidad de e (.) y I´ > I, nosotros tenemos u´ > u, eso es, V (p, w´) > V (p, w).

También, se puede asumir que P´

P. Definimos u = V (p, I) y u´= V (p´, I), entonces e (p, u) = e (p´, u´)= I. Por la monotonocidad de e (.) y P´

P, se tiene u´

u, eso es, V (p, I)

V (p´, I).

(4)

III. Función de gasto4:

1).- La

e

(

P

i

,

u

)

es homogénea de grado 1 en Pi.

2).- La

e

(

P

i

,

u

)

es una función creciente en Pi y en la u. 3).- La

e

(

P

i

,

u

)

es cóncava en Pi.

4).- La

e

(

P

i

,

u

)

es continua en Pi.

Demostración:

1).- Dado que las cestas óptimas no cambian en el problema de minimización del gasto cuando a los precios se les multiplica por un escalar  > 0, es decir: min. (p). x y min. p. x dan las mismas cestas óptimas, tenemos: e (p,) = p. X* = e (p,). Es decir, el aumento en  en los precios causa un aumento en la misma proporción  en el gasto.

2).- Suponiendo que e (p,) no fuera estrictamente creciente en  y tenemos x’ y x’’ las cestas de consumo óptimo para los niveles de utilidad ’ y ” respectivamente, donde

” >’ y p.x’  p.x” > 0, construimos una cesta X =  z”, donde   (0,1). Por continuidad de (.), entonces allí  cercano a 1 tal que  (x) >’ y p.x’ > p. x (esta vez es una relación estricta), pero esto se contradice con el óptimo x’ del problema de minimización del gasto dada ’. Intuitivamente, si el consumidor quiere disponer de mayor utilidad necesariamente incurrirá en un mayor gasto.

Para demostrar que e (p,) es creciente en pi, suponemos que los vectores de precios p” y p’ tienen pi´´ 

p

i ´y pk” = pk’ para todo k  i. Si tenemos que x” es un vector óptimo en el problema de minimización de gasto para el p”. Entonces e (p”,) = p”. X”

 p´. X”  e (p’,), donde la última desigualdad se da de la definición del e (p’,).

3).- Fijamos un nivel de utilidad ´, y tenemos p” = p + (1- ) p’ para un   [0, 1]. Suponemos que x” es una cesta óptima en el problema de minimización del gasto cuando los precios son p”. entonces tenemos:

e (p”,) = p”. X” = px” + (1 - ) p’. X”  e (p,´) + (1 - ) e (p’,´),

Donde la última desigualdad se da a causa (x”)  ´ y la definición de la función de gasto implica que p.x”  e (p.´) y p’. X”  e (p’,´).

4

Ver: Chapter 3, Andreu Mas colell, Michael Whinston y Jerry Green (1995), ´´Microeconomics Theory´´ Oxford University Press.

(5)

Intuitivamente, la concavidad de la función de gasto respecto al precio de un bien se da por que una variación del precio de un bien, manteniendo todo lo demás constante, producirá una variación en menos proporción del gasto dado la posibilidad de sustitución del bien.

4).- Para la continuidad es suficiente probar: para una secuencia {{pn, un}}n1 con (pn, un)

(p, u) para algún I, si e (pn, un)

I para todo n, entonces e (p, u)

I; si e (pn, un)

I para todo n, entonces e (p, u)

I. Suponemos e (pn, un)

I para todo n, entonces por monotonocidad de V (.) en I ( mencionada en la pie de página 3), nosotros tenemos un

V (pn, I) para todo n. Por la continuidad de V (.), u

V (p, I). Por la monotonocidad de V (.) en I, nosotros tenemos e (p, u)

I. El mismo argumento se usa para e (pn, un)

I.

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