Ecuaciones de primer grado

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Puesto que este arte sobrepasa cualquier humana sutileza y la perspicacia del talento mortal y es un verdadero regalo celestial y una prueba clara de la capacidad de las mentes humanas, cualquiera que se aplique a ella creerá que no hay nada que no pueda ser entendido.

Gerolamo Cardano. Ars Magna. 1545

Hay que remontarse hasta el cuarto milenio antes de Cristo (alrededor del 3.500 a.C.) para encontrar los primeros ejemplos de ecuaciones de primer grado. Normalmente las usaban para averiguar longitudes en construcción o agricultura. También se encuentran algunas ecuaciones sencillas de segundo grado, usadas para averiguar superficies o algún lado de un triángulo rectángulo (Teorema de Pitágoras).

En el primer milenio antes de Cristo (en Egipto, India y China) ya se usaban habitualmente ecuaciones de primer y segundo grado, y se enseñaba en las escuelas algún método de resolución para casos sencillos. Normalmente se usaban métodos geométricos o el tanteo de soluciones por aproximación (método de la falsa posción). Como las ecuaciones se usaban, fundamentalmente, para el cálculo de medidas de longitud y superficie, sólo consideraban como soluciones los números positivos (el uso de los números negativos no empezó hasta el Renacimiento, y no se extendió hasta un par de siglos después).

Fueron los matemáticos griegos (Pitágoras de Samos, Thales de Mileto, Euclides de Megara,

Diofanto de Alejandría, Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Perga entre otros) los que se

dedicaron a sistematizar y demostrar la validez de los métodos de resolución. Prácticamente todas las aplicaciones y demostraciones son geométricas, siguiendo el ejemplo del libro Elementos de

Euclides. Los matemáticos citados sentaron las bases de la matemática tal como la conocemos. La

calidad de sus investigaciones y la cantidad de sus descubrimientos y aplicaciones a otras ciencias no fue superada hasta veinte siglos después.

Ecuaciones de primer grado

Hasta el Renacimiento, en que se empezó a usar el álgebra simbólica tal como la conocemos, la resolución de ecuaciones de primer grado se hacía siguiendo los métodos que habían descubierto los egipcios y habían perfeccionado los griegos. Veamos como ejemplo el problema propuesto por

Fibonacci en su Liber abaci y la forma de resolverlo que propone, comparándola con la forma en

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Tenemos un pez que pesa 60 libras, la cabeza pesa tres quintas partes del peso del cuerpo y la cola pesa un tercio de la cabeza. Pregunto ¿cuánto pesará el cuerpo?

Harás esto: dí que el cuerpo del pescado pese 30 libras, los

3

5 de 30 hacen 18, que sería el peso de la cabeza. La cola

pesa 1

3 de la cabeza, esto es 6. Pon todo esto junto y

obtendrás 54; pero tú querías que fueran 60, que menos 6 es lo que has obtenido; por tanto, poniendo 30 obtuve 6 menos.

Primer tanteo: suponemos que la solución es 30 y vemos cuánto nos equivocamos (6).

Toma una nueva posición: toma ahora que el cuerpo del pez pese 25, la cabeza pesaría los 3

5 , que hacen 15 y la cola,

que es un tercio de la cabeza, sería un tercio de 15 que es 5. Suma juntos 25, 15 y 5, hacen 45; pero tú querías 60; poniendo 25 obtuve 15 menos.

Segundo tanteo: suponemos que la solución es 25 y vemos por cuánto nos equivocamos (15).

Ahora multiplica 15 por 30, hacen 450, luego 6 por 25, que hacen 150; resta esto último de 450, te quedará 300. Resta 6 de 15, quedan 9, que es el divisor. Divide 300 por 9 y resultan 33 y 1

3 .

Establece una proporcionalidad (regla de tres) entre los errores relativos, los absolutos y las cantidades: x  15−6 30∙ 25  15 25− 6 30

}

x=



15 ∙ 30−6∙ 25 25 ∙30



∙ 25∙ 30 15−6 Los 3 5 de 33 1

3 son 20, y un tercio de 20 son 6 y 2

3 .Por

tanto el pez pesará 33 1

3 , la cabeza 20 y la cola 6 2 3 .

Verifica el resultado que ha obtenido (33+ 1

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Nosotros haríamos esto:

Peso del pez: 60 libras Peso del cuerpo: x Peso de la cabeza: 3 5∙ x Peso de la cola: 1 3∙ 3 5∙ x x3 5∙ x  1 3∙ 3 5∙ x=60 5 ∙5x3xx 5 =60 ∙5 9x 9 = 300 9 ; x= 100 3 =33 1 3

Ecuaciones de segundo grado

Europa recuperó una parte de la matemática griega gracias a las traducciones que realizaron los matemáticos árabes de las obras clásicas. Al-Kwarizmi, en su obra Al-jabr wal muqabala (de la que deriva el nombre del álgebra) no sólo tradujo sino que sistematizó los métodos algebraicos existentes e innovó en algunos métodos de resolución. En su obra recogió las ecuaciones de segundo grado y la forma de resolverlas en todos los casos en que se pueden presentar (teniendo en cuenta sólo los coeficientes positivos). Explica cada método con un caso particular. Vemos un ejemplo.

El cuadrado de la cosa junto con diez veces las

cosa es treinta y nueve. x² + 10x = 39 Toma la mitad de 10 . Busca el cuadrado de la

cosa a la que le has añadido 5 (la mitad de 10). Este cuadrado es igual al formado for 39 al que le has añadido el cuadrado de 5.

(x + 5)² = 39 + 5² (x + 5)² = 64 (x + 5)² = 8²

Así que la solución que buscas es 3. x + 5 = 8 x = 3

Al-Kwarizmi da una demostración geométrica de este sistema: Considera que x² + 10x es el área del rectángulo, que igual a 39.

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Esa área es igual que la de la siguiente figura (gnomon):

Por tanto, (x + 5)² = 39 + 5²

Es decir, (x + 5) es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 5 y



39 . Si se dibuja tal triángulo, la hipotenusa reducida en 5 unidades es la cantidad buscada.

La explicación gráfica de éste y el resto de casos los puedes encontrar en la página: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Topicos/AlgebraGeometrica/InprimaketaAlgebraGeo.asp

Cuando nosotros aplicamos la fórmula con la que despejamos x de una ecuación de segundo grado, hacemos algo parecido:

2 =b 2₋_{4 ac} 4a2

Haciendo la raíz cuadrada en ambos miembros:

2 2 4 4 2 a ac b a b

x+ =± − Resolviendo la raíz del denominador:

a ac b a b x 2 4 2 2 ₋ ± = + ac b b 2₋4 ± − = = −b± b2 −4ac

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Ecuación de tercer grado

La fórmula general para resolver estas ecuaciones fue descubierta por primera vez por Scipione

del Ferro, pero éste sólo se la transmitió, en su lecho de muerte, a su yerno Annibale della Nave y a

su alumno Antonio María del Fiore. Precisamente fue en un reto propuesto por éste último, cuando

Niccolo Tartaglia descubrió la fórmula por segunda vez. Él se la transmitió, con la condición de que

no se la revelara a nadie (cosa que no cumplió) a Gerolamo Cardano para resolver la ecuación cuando se presentara de alguna de estas tres formas: x³ + px = q ; x³ = px + q ; x³ + q = px. Como el álgebra simbólica (tal como lo conocemos) no estaba desarrollada todavía, la forma de transmitir estas fórmulas no era fácil. Tartaglia, además, decidió hacerlo en en forma de tercetos encadenados. Vemos la explicación del primer caso con su traducción al álgebra simbólica al lado.

Cuando está el cubo con las cosas preso y se iguala a algún número discreto busca otros dos que difieran en eso.

x³ + px = q

Buscamos dos números t y s tales que

t – s = q

Después tú harás esto que te espeto que su producto siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto.

t · s=



p

3



3

Después el resultado general de sus lados cúbicos bien restados te dará a ti la cosa principal.

x=



3t−



3 s

Partiendo de la forma general de la ecuación de tercer grado: ax³ + bx² + cx + d = 0

Dividimos ambos miembros por a y sustituimos la variable x por la variable z=x_3ab . Desarrollando, queda la siguiente ecuación (que ya sabemos que es similar a la descrita por Tartaglia):

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Haciendo un nuevo cambio de variable, haciendo z = u +v:

(u + v)³ + p· (u + v) – q = 0

Desarrollando la potencia y operando se llega a una ecuación de segundo grado (que sabemos resolver) en que las soluciones son u³ y v³. Deshaciendo todos los cambios de variable que hemos ido haciendo, podemos resumir la solución con la fórmula general:

x=



3 q 2



q 2



2 



p 3



3

Ecuación de cuarto grado

A estas ecuaciones prácticamente no se las había prestado atención hasta el Renacimiento ya que no tenían una relación directa con el mundo físico como las anteriores (ec. de primer grado – longitud; ec. de segundo grado – área; ec. de tercer grado – volumen). Fue Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano, el que descubrió el método para resolverlas y se lo transmitió a su maestro, que lo publicó en su Ars Magna junto con los métodos anteriores.

La explicación del método es algo complicada, pero básicamente consiste en buscar cuadrados perfectos de binomios de segundo grado a ambos lados de la igualdad. Se llega así a una ecuación de tercer grado que se resuelve por el método anterior.

Ecuaciones de grado superior

Fueron muchos e importantes los matemáticos que buscaron métodos generales para resolver ecuaciones de grado superior a 4. Tras los pasos dados por gigantes como Lagrange, Gauss,

Cauchy, Ruffini y otros, finalmente, ya en el siglo XIX, Niels Henrik Abel demostró la

imposibilidad de que existiera tal método general. Pero esta es otra historia que deberá ser contada en otro momento...