Tema 3: Introducción a la probabilidad. Tema 3: Introducción a la probabilidad. Tema 3: Introducción a la probabilidad. 3.

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(1)Tema 3: Introducción a la probabilidad 3.1 Introducción. Tema 3: Introducción a la probabilidad Objetivos del tema:. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. Al final del tema el alumno será capaz de:. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. Comprender y describir los sucesos de un experimento mediante gráficos, tablas, etc.. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos. Equiprobabilidad Métodos combinatorios. Interpretar y calcular probabilidades condicionadas. 3.5 Probabilidad condicionada Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de Bayes. Determinar la independencia de sucesos y utilizarla para calcular probabilidades Utilizar el Teorema de Bayes para el cálculo de probabilidades condicionadas 1. Estadística: Profesora María Durbán. 2 Estadística: Profesora María Durbán. Tema 3: Introducción a la probabilidad 3.1 Introducción. 3.1 Introducción Un investigador puede tener el objetivo de:. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. Describir los resultados de un experimento concreto. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. Estadística descriptiva. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Extraer conclusiones generales aplicables en situaciones similares. Equiprobabilidad Métodos combinatorios. Inferencia. 3.5 Probabilidad condicionada Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de Bayes. El cálculo de probabilidades nos proporciona las reglas para el estudio de experimentos con un componente aleatorio. 3 Estadística: Profesora María Durbán. Necesitamos probabilidad. 4 Estadística: Profesora María Durbán.

(2) Tema 3: Introducción a la probabilidad. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. 3.1 Introducción Experimento: Proceso de observar una característica. 3.2 Fenómenos Fenómenos yy experimentos experimentos aleatorios aleatorios 3.1. Ejemplos. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. Lanzar una moneda tres veces y observar el número de caras. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Medir la corriente en un cable de cobre. Equiprobabilidad Métodos combinatorios. Contar el número de llamas que llegan a una centralita en una hora Medir la resistencia a la compresión del hormigón. 3.5 Probabilidad condicionada Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de Bayes 5 Estadística: Profesora María Durbán. 6 Estadística: Profesora María Durbán. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. Ejemplo. Ejemplo. Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre. Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre. Repetimos el experimento en distintas partes. Repetimos el experimento en distintos momentos. Obtenemos distintos resultados. Errores de medida Debido a las variables no controladas. Impurezas del cobre Calibre del cable. Estadística: Profesora María Durbán. 7. 8 Estadística: Profesora María Durbán.

(3) 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios Diremos que un experimento es aleatorio si ve verifican las siguientes condiciones:. Si esta variabilidad es pequeña no afectará a los resultados del experimento Si la variabilidad es alta puede encubrir resultados importantes. Nuestro objetivo. 1.. Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. 2.. Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener. 3.. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto previamente conocido de posibles resultados. 9 Estadística: Profesora María Durbán. 10 Estadística: Profesora María Durbán. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios Sucesos. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios Sucesos. E espacio muestral. E espacio muestral. Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).. Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, al formado por los sucesos que no están en A. A. A. Se llama suceso a un subconjunto de resultados Suceso elemental Siempre ocurre uno de ellos Son mutuamente excluyentes Suceso compuesto Uniones de sucesos elementales. E espacio muestral. El suceso seguro, E, es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento. El suceso imposible, Ø, es aquel que nunca ocurre como resultado del experimento 11. Estadística: Profesora María Durbán. E espacio muestral. 12 Estadística: Profesora María Durbán.

(4) 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. Operaciones con sucesos. Operaciones con sucesos E espacio muestral. Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B. INTERSEC.. A. Se llama suceso unión de A y B, AUB, al suceso formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). E espacio muestral. B. E espacio muestral. B Se dice que dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, A∩B=Ø. E espacio muestral. UNIÓN. A. A. B. Se llama suceso diferencia de A y B, A-B, al formado por todos los sucesos de A que no están en B, es decir, A∩B E espacio muestral. A B. Consecuencia: 13. Estadística: Profesora María Durbán. A. A = E-A. B. 14. Estadística: Profesora María Durbán. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. Ejemplo. Ejemplo. Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina.. Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina.. A → Peso ≥ 11gr B → Peso ≤ 15gr. A → Peso ≥ 11gr B → Peso ≤ 15gr. C → Peso ≤ 5gr. C → Peso ≤ 5gr. AIC →∅ B − C → 5 < Peso ≤ 15gr. A. C. A 15. Estadística: Profesora María Durbán. A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr B U C → Peso ≤ 15gr. B. Estadística: Profesora María Durbán. B. 11. 15. 16.

(5) 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. Ejemplo. Ejemplo. Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina.. Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina.. A → Peso ≥ 11gr B → Peso ≤ 15gr C → Peso ≤ 5gr. A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr B U C → Peso ≤ 15gr AIC →∅ B − C → 5 < Peso ≤ 15gr. C. A → Peso ≥ 11gr B → Peso ≤ 15gr C → Peso ≤ 5gr. B − C → 5 < Peso ≤ 15gr A. C 15. B. Estadística: Profesora María Durbán. ∅. 17. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios Leyes de Morgan. Ejemplo. Hay ciertas propiedades de la unión, intersección y suceso contrario que son conocidas bajo las leyes de Morgan. Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una máquina.. A → Peso ≥ 11gr B → Peso ≤ 15gr C → Peso ≤ 5gr. 18. Estadística: Profesora María Durbán. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. E espacio muestral. A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr B U C → Peso ≤ 15gr. A U B=A I B. Inte rse c. A B. AIC →∅ B − C → 5 < Peso ≤ 15gr. ció nd e. A. E espacio muestral. A I B=A U B. de ión Un. A. B. B. C 19 Estadística: Profesora María Durbán. A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr B U C → Peso ≤ 15gr AIC →∅. 5. B. 15. 20 Estadística: Profesora María Durbán.

(6) Tema 3: Introducción a la probabilidad. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. 3.1 Introducción En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite aumenta, la frecuencia relativa. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios. f n (A) =. 3.3 Concepto Concepto de de probabilidad probabilidad yy propiedades propiedades 3.2. n o de veces que ocurre A n. converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Pr(A) = lim f n (A) n→∞. Equiprobabilidad Métodos combinatorios. Ejemplo Frecuencia relativa del número de caras obtenidos en lanzamientos sucesivos de una moneda. 3.5 Probabilidad condicionada Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de Bayes. Converge a 1/2 21 Estadística: Profesora María Durbán. 22 Estadística: Profesora María Durbán. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite aumenta, la frecuencia relativa. En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite aumenta, la frecuencia relativa. f n (A) =. n o de veces que ocurre A n. f n (A) =. converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:. n o de veces que ocurre A n. converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:. Pr(A) = lim f n (A). Pr(A) = lim f n (A). n→∞. n→∞. Ejemplo. También podemos entender la probabilidad como el grado de certeza que se posee sobre un suceso, basada en experiencias previas. Frecuencia relativa del número de caras obtenidos en lanzamientos sucesivos de una moneda. La probabilidad depende del grado de información disponible: Los sucesos posibles al realizar el experimento. Converge a 1/2 23 Estadística: Profesora María Durbán. La evidencia empírica existente respecto a la ocurrencia de los sucesos Estadística: Profesora María Durbán. 24.

(7) 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas) 1.. 0≤P(A) ≤1. 2.. P(E)=1. 3.. A2 A5. A3. Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø. El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos:. A1. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. 1. P(A) = 1 - P(A) 2. P(∅) = 0. 3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). ⎛ 5 ⎞ 5 Pr ⎜ U A i ⎟ = ∑ Pr ( A i ) ⎝ i=1 ⎠ i=1. A4. 25 Estadística: Profesora María Durbán. 26 Estadística: Profesora María Durbán. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:. 1. P(A) = 1 - P(A) 2. P(∅) = 0 ∅ = E → Pr(∅) = 1 − Pr( E ) = 1 − 1 = 0 3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:. 1. P(A) = 1 - P(A) 2. P(∅) = 0 B = A ∪ (B ∩ A) → Pr(B) = Pr(A)+Pr(B ∩ A) 3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). 27 Estadística: Profesora María Durbán. E = A ∪ A → 1 = Pr(A) + Pr(A). 28 Estadística: Profesora María Durbán.

(8) 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:. 1. P(A) = 1 - P(A) 2. P(∅) = 0. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:. 1. P(A) = 1 - P(A) 2. P(∅) = 0. 3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(B ∩ A) Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(B-A). 29 Estadística: Profesora María Durbán. 3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). A ∪ B=(A-B) ∪ (B-A) ∪ (A ∩ B) Pr(A ∪ B)=Pr(A)-Pr(A ∩ B)+Pr(B)-Pr(A ∩ B)+Pr(A ∩ B). 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. Ejemplo: Faros de coche. Ejemplo: Faros de coche. Un fabricante de faros de coches controla con regularidad la duración y la intensidad de la luz cuando son sometidos a elevada humedad y temperatura. En la siguiente tabla se presentan las probabilidades de tener un comportamiento satisfactorio en cuanto a intensidad y duración:. Duración Intensidad Satisfactorio. Duración Intensidad Satisfactorio No Satisfactorio. 1. 2.. Satisfactorio. No Satisfactorio. 0.9. 0.023. 0.062. 0.015. No Satisfactorio. A → Satisfactorio en intensidad B → Satisfactorio en duracion. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria? ¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga 31 duración satisfactoria?. Estadística: Profesora María Durbán. 30. Estadística: Profesora María Durbán. Satisfactorio. No Satisfactorio. 0.9. 0.023. 0.062. 0.015. Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B). Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B). 32 Estadística: Profesora María Durbán.

(9) 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades. Ejemplo: Faros de coche. Ejemplo: Faros de coche. Duración Intensidad Satisfactorio No Satisfactorio. A → Satisfactorio en intensidad B → Satisfactorio en duracion 1.. Duración. Satisfactorio. No Satisfactorio. 0.9. 0.023. Satisfactorio. 0.062. 0.015. No Satisfactorio. Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B). Intensidad. Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B). ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?. ¿ Pr(B) ?. B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B). Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(A ∩ B) = 0.9 + 0.062 = 0.962. A → Satisfactorio en intensidad B → Satisfactorio en duracion 2.. No Satisfactorio. 0.9. 0.023. 0.062. 0.015. Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B). Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B). ¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no teng duración satisfactoria?. Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B). Pr(A ∪ B) = 0.923 + 0.038 − 0.023 = 0.938. Pr(A) = Pr(A ∩ B) + Pr(A ∩ B) = 0.9 + 0.023 = 0.923. Tercer Axioma P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø. Satisfactorio. Pr(B) = 1 − Pr(B) = 1 − 0.962 = 0.038. 34. Estadística: Profesora María Durbán. Tema 3: Introducción a la probabilidad. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. 3.1 Introducción. Equiprobabilidad. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles, y no hay razón que privilegie a un resultado frente a otro. Calcularemos la probabilidad de un suceso de la forma siguiente:. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades 3.3 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Dado un suceso compuesto A que contiene f sucesos elementales, su probabilidad será:. Equiprobabilidad Métodos combinatorios. Pr( A) =. 3.5 Probabilidad condicionada Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de Bayes. 1 Probabilidad de cada n suceso elemental. Regla de Laplace 35. Estadística: Profesora María Durbán. casos favorables ( f ) casos posibles (n). 36 Estadística: Profesora María Durbán.

(10) 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica Equiprobabilidad. Ejemplos Lanzamiento de una moneda E = {C , X } → Pr(C ) = 1/ 2. En ocasiones no es fácil determinar los sucesos elementales contenidos en un suceso A:. Lanzamiento de un dado E = {1, 2,3, 4,5, 6} → Pr(3) = 1/ 6. Ejemplo: Lote de ordenadores En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:. Extracción de cartas de la baraja E = {As de copas, dos de copas....}. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?. A → Rechazar el lote = Encontrar dos defectuosos. Pr(Sacar una carta de oros) = 10 / 40. 37 Estadística: Profesora María Durbán. casos favorables Pr( A) = casos posibles Estadística: Profesora María Durbán. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica Ejemplo: Lote de ordenadores. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica Ejemplo: Lote de ordenadores. En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?. En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?. ¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos?. ¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos?. 39 Estadística: Profesora María Durbán. De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos De cuántas maneras puedo seleccionar dos ordenadores. 40 Estadística: Profesora María Durbán.

(11) 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Ejemplo: Lote de ordenadores. Ejemplo: Lote de ordenadores. En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?. En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?. ¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos?. ¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores de entre los 9?. De 3 maneras. 41 Estadística: Profesora María Durbán. 42 Estadística: Profesora María Durbán. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Combinatoria. Ejemplo: Lote de ordenadores. Nos ayuda a calcular el número de reordenaciones de n objetos tomados de k en k SIN CON REEMPLAZAMIENTO REEMPLAZAMIENTO. En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordenadores se eligen simultáneamente. IMPORTA EL ORDEN VARIACIONES. Vnk =. NO IMPORTA EL ORDEN COMBINACIONES. ⎛n⎞ Cnk = ⎜ ⎟ ⎝k ⎠. n! (n − r )!. Si n = k → Permutaciones Estadística: Profesora María Durbán. VRnk = n k. El orden dentro del grupo no importa. ⎛ n + k − 1⎞ CRnk = ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠. Pr( A) =. casos favorables casos posibles. 43. sin reemplazamiento Combinaciones. De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos. C32 =. 3! =3 2!1!. Hay 3 ordenadores defectuosos Estadística: Profesora María Durbán. 44.

(12) 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica Ejemplo: Lote de ordenadores. Ejemplo: Lote de ordenadores. En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? Los ordenadores se eligen simultáneamente El orden dentro del grupo no importa. casos favorables Pr( A) = casos posibles. 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?. sin reemplazamiento Combinaciones. Los ordenadores se eligen simultáneamente El orden dentro del grupo no importa. Combinaciones. Pr( A) = De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores. C92 =. Hay 9 ordenadores en el lote. 9! = 36 2!7!. 3 36. 45. Estadística: Profesora María Durbán. 46 Estadística: Profesora María Durbán. Tema 3: Introducción a la probabilidad. 3.5 Probabilidad condicionada Concepto y propiedades. 3.1 Introducción. E espacio muestral. 3.2 Fenómenos y experimentos aleatorios Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que ha ocurrido el evento B. 3.3 Concepto de probabilidad y propiedades 3.4 Estimación de la probabilidad en la práctica. Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B. Equiprobabilidad Métodos combinatorios. .. A B. A|B 2 casos favorables. 3.5 Probabilidad condicionada 3.4 Probabilidad condicionada Concepto y propiedades Independencia de sucesos Teorema de Bayes. Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B. Pr( A | B) = 47. Estadística: Profesora María Durbán. sin reemplazamiento. Estadística: Profesora María Durbán. 5 casos posibles. 2 2 / 9 Pr( A ∩ B ) = = 5 5/9 Pr( B). 48.

(13) 3.5 Probabilidad condicionada A. 3.5 Probabilidad condicionada. A. A. B. A. B B B. P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,10. P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,08 Pr( A | B) =. B ⊂ A ⇒ Pr( A | B) = 1. Pr( A ∩ B) Pr( B). Pr(A|B)=0,8>Pr(A). Pr(A|B)=1. 3.5 Probabilidad condicionada. También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen Pr( A | B ) = 0.05 fallos superficiales son funcionalmente defectuosas. B ⊂ A ⇒ Pr( A | B) = 1. ⇓. P(A|B)=0. 50. Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallos superficiales son funcionalmente defectuosas Pr( A | B ) = 0.25. Importante:. Pr( B) > 0. Por lo tanto el 90% no tienen fallos visibles en la superficie.. ⇒ Pr( A | B) ≥ Pr( A ∩ B). Pr( A ∩ B) = Pr( A | B) Pr( B) = Pr( B | A) Pr( A) ≤ Pr( A) ≤ Pr( B ) Estadística: Profesora María Durbán. Pr(A|B)=0,05<Pr(A). 3.5 Probabilidad condicionada. Concepto y propiedades. A ∩ B = ∅ ⇒ Pr( A | B) = 0 Pr( A ∩ B) Pr( A | B) = Pr( B). P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0 A ∩ B = ∅ ⇒ Pr( A | B) = 0. P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,005. 100% piezas Manufacturadas. Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallos visibles en la superficie.. Pr( B ) = 0.9. Pr( B) = 0.1. Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa} B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie} ¿Qué porcentaje de piezas tiene fallos y no es funcionalmente defectuosa? 51. Pr( A ∩ B ) = Pr( A | B ) Pr( B ) = (1 − Pr( A | B )) Pr( B ) = 0.75 × 0.1 = 0.075 → 7.5% Estadística: Profesora María Durbán.

(14) 3.5 Probabilidad condicionada. 3.5 Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Ejemplo. Diremos que dos sucesos son independientes si el conocimiento de la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro. A y B son independientes si: Pr( A | B ) = Pr( A). Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad de un sistema. Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione correctamente. Si la probabilidad de que un interruptor cualquiera esté cerrado es 0.99, ¿cuál es la probabilidad de que pase corriente de A a B? A. Pr( A ∩ B) = Pr( A | B) Pr( B) = Pr( A) Pr( B). Pr( B | A) = Pr( B ). B. Pr(pasar corriente de A a B) = 0.992 = 0.9801 53 Estadística: Profesora María Durbán. 54 Estadística: Profesora María Durbán. 3.5 Probabilidad condicionada. 3.5 Probabilidad condicionada. Ejemplo. Teorema de Bayes. Aunque la fiabilidad de cada componente sea alta, si hay muchos componentes, la fiabilidad del sistema puede ser baja. Para aumentar la fiabilidad podemos poner varios sistemas en paralelo: 1. 2. S1. A1. A2. Pr(pasar corriente de A a B) = Pr(S1 ∪ S2 ) = 1 − Pr(no pasar corriente de A a B). A1, A2, A3, A4…. B. A. Son tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.. 1 − Pr(S1 ∩ S2 ) = 1 − ( Pr(S1 ) Pr(S2 ) ) S2. 3. A3 4. Consideramos un experimento que se realiza en dos etapas: en la primera, los sucesos posibles. A4. Pr(S1 ) = 1 − Pr(S1 ) = 1 − 0.9801 = 0.0199. Pr(pasar corriente de A a B) = 1 − 0.01992 = 0.9996 Ha aumentado la fiabilidad en un 2% Estadística: Profesora María Durbán. 55. 56 Estadística: Profesora María Durbán.

(15) 3.5 Probabilidad condicionada. 3.5 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes A2. A1. Teorema de Bayes. En la segunda etapa, todo suceso B depende de lo sucedido en la primera etapa y puede ser descompuesto en sucesos disjuntos. A2. A1. B. Si conocemos la probabilidad de que ocurra B habiendo ocurrido Ai , entonces podemos calcular la probabilidad de B.. B Probabilidad Condicionada P(A∩B)=P(A|B)P(B). B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 ) A3. A4. A3. A4. P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4). 57 Estadística: Profesora María Durbán. 3.5 Probabilidad condicionada. A2. A1. 3.5 Probabilidad condicionada También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen Pr( A | B ) = 0.05 fallos superficiales son funcionalmente defectuosas. …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.. B. Pr(A i |B) =. Por lo tanto el 90% no tienen fallos visibles en la superficie.. Pr(B|A i ) Pr(A i ) Pr(B). Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallos visibles en la superficie. Pr( B) = 0.1. Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa} B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie}. donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:. Estadística: Profesora María Durbán. 100% piezas Manufacturadas. Pr( B ) = 0.9. A4. P(B) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4). Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallos superficiales son funcionalmente defectuosas Pr( A | B ) = 0.25. Pr(A i ∩ B). A3. 58. Estadística: Profesora María Durbán. 59. 1.. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa?. 2.. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que no tenga fallos superficiales?. 60.

(16) 3.5 Probabilidad condicionada. 3.5 Probabilidad condicionada. 1.. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa?. 2.. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que no tenga fallos superficiales?. Pr(B|A) 0.25. Pr(A) 0.1. B. 1.. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa?. Pr(A) = Pr(A|B) Pr(B) + Pr(A|B) Pr(B) = 0.25 × 0.1+0.05 × 0.9=0.07. A|B. 0.25. 0.75. A|B. 0.1. Pieza. B. A|B. 0.75. A|B. Pieza 0.05. 0.9. A|B. 0.95. A|B. Estadística: Profesora María Durbán. 3.5 Probabilidad condicionada 2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que no tenga fallos superficiales?. Pr(A|B) Pr(B) 0.05 × 0.9 = Pr(A) 0.25 × 0.1+0.05 × 0.9 0.045 = = 0.64 A|B 0.25 0.07. Pr(B|A) =. 0.75. A|B. Pieza 0.05. 0.9. A|B. B 0.95 Estadística: Profesora María Durbán. 0.95. 61. Estadística: Profesora María Durbán. B. A|B. B. B. 0.1. 0.05. 0.9. A|B. 63. A|B. 62.

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