teniendo en cuenta que la relación de equipolencia es una relación de igualdad: ( ) ( )

(1)

Junio 2002. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 2 puntos) Los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2), C(1, 3, 3) son tres vértices consecutivos de una paralelogramo.

Se pide:

a) (1punto) Hallar las coordenadas del cuarto vértice D y calcular el área de dicho paralelogramo. b) (1 punto) Clasificar el paralelogramo por sus lados y por sus ángulos.

Solución

Si cuatro puntos son coplanarios será por que entre ellos existen parejas de vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo dirección y sentido.

Fijándonos en la figura:

DC AB≅

teniendo en cuenta que la relación de equipolencia es una relación de igualdad:

(

b1−a1,b2−a2,b3−a3

) (

= c1−d1,c2−d2,c3−d3

)

igualando por componentes

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d c a b d c a b d c a b − = − − = − − = −

aplicando a los datos del enunciado A (1, 1, 1), B (2, 2, 2), C (1, 3, 3), se despejan las coordenada del punto D

2 − 1 = 1 − d1: d1 = 0

2 − 1 = 3 − d2: d2 = 2

2 − 1 = 3 − d3: d3 = 2

D = (0, 2, 2)

El área de un paralelogramo se calcula como aplicación del producto vectorial de vectores.

(

ABCD

)

AB AD ÁREA = ×

(

1,1,1

)

AD

(

1,1,1

)

AB= = −

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 ) 2 ( 0 2 , 2 , 0 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 AD AB ÁREA _ = − = + − +       − − − = − × = × = 8 ÁREA=

Para clasificar un paralelogramo se calculan las longitudes de los lados y los ángulos Longitud del lado AB = AB= 12+12+12 = 3

Longitud del lado AD = AD =

( )

−12+12+12 = 3

Ángulo (DAB) :

(

)

( ) (

)

3 1 3 3 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 AD AB AD AB DAB cos = ⋅ − = ⋅ = o o

(

)

70'5º 3 1 arccos DAB =α= = º 5 ' 109 180⇒β= = β + α

(2)

Septiembre 2001. Ejercicio 2A. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Sean A, B y C tres puntos del espacio tridimensional que verifican la relación CA

3 CB=−

(a) (1 punto) Calcular el valor que toma k en la expresión AB k AC=

(b) (1 punto) Si A(1,2, -1) y B(3,6,9), hallar las coordenadas del punto C que cumple la relación de partida.

Solución:

a. Se pide calcular la relación entre dos vectores determinados por tres puntos alineados, conocida la relación entre otros dos vectores determinados entre esos mismos puntos.

Gráficamente.

Como puede verse en la figura la relación pedida es: AB 4 1 AC=

Analíticamente.

Partiendo de la relación dada CB=−3CA, se debe llegar a una relación entre AC y AB. Para ello habrá que tener en cuenta :

c b CB r r − = , CA=ar−cr

sustituyendo en la relación de partida:

(

a c

)

b c 3a 3c 3· c b CA 3 CB r r r r r r r r + − = − − − = − − =

teniendo en cuenta la relación que se busca, se ordena de otra forma a 3 c 4 b r r r − =

restando ar en los dos miembros de la igualdad se llega a una relación entre los vectores que se piden

(

c a

)

4 a b a 4 c 4 a b a a 3 c 4 a b r r r r r r r r r r r r r − = − ⇒ − = − ⇒ − − = − AC 4 AB= despejando AB 4 1 AC= b. CB=−3CA:

(

3−c₁,6−c₂,9−c₃

)

=−3⋅

(

1−c₁,2−c₂,−1−c₃

)

(

)

(

)

(

)

     ⇒        = = = ⇒      − − − = − − − = − − − = − 2 3 , 3 , 2 3 C 2 3 c 3 c 2 3 c c 1 · 3 c 9 c 2 · 3 c 6 c 1 · 3 c 3 3 2 1 3 3 2 2 1 1

Septiembre 2001. Ejercicio 3B. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera el tetraedro cuyos vértices son A(1, 0, 0), B(1, 1,1), C( - 2, 1, 0) y D (0, 1, 3). (a) (1 punto) Hallar el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD. (b) (1 punto) Calcular la distancia de D al plano determinado por los puntos A, B y C. (c) (1 punto) Hallar la distancia entre las rectas AC y BD.

(3)

a. El área de un triangulo definido por sus vértices se calcula como un medio del módulo producto vectorial de dos vectores formados entre sus vértices.

(

)

·AB AC 2 1 ABC ÁREA = × teniendo en cuenta

( ) (

) ( )

(

) (

)

    − = − − = − = = − = − = 0 , 1 , 3 0 , 0 , 1 0 , 1 , 2 a c AC 1 , 1 , 0 0 , 0 , 1 1 , 1 , 1 a b AB r r r r

el producto vectorial de estos vectores es

( ) (

)

(

1, 3,3

)

1 3 1 0 , 0 3 1 0 , 0 1 1 1 0 1 3 1 1 0 k j i 0 , 1 , 3 1 , 1 , 0 AC AB _= − −       − − − = − = − × = × r r r y su módulo

(

1, 3,3

)

( ) ( )

1 3 3 19 AC AB× = − − = − 2+ − 2+ 2 = sustituyendo en la expresión del área del triángulo

(

)

2 u 2 19 19 · 2 1 AC AB · 2 1 ABC ÁREA = × = =

El volumen de un tetraedro se obtiene como un sexto del valor absoluto del producto mixto de tres vectores formados con los vértices.

(

)

·AD

(

AB AC

)

6 1 ABCD VOLUMEN = o × teniendo en cuenta:

( ) (

) ( )

(

) (

)

( ) (

) (

)

     − = − = − = − = − − = − = = − = − = 3 , 1 , 1 0 , 0 , 1 3 , 1 , 0 a d AD 0 , 1 , 3 0 , 0 , 1 0 , 1 , 2 a c AC 1 , 1 , 0 0 , 0 , 1 1 , 1 , 1 a b AB r r r r r r

el volumen del tetraedro es

(

)

(

) ( ) (

[

)

]

3 u 6 7 7 · 6 1 0 1 3 1 1 0 3 1 1 · 6 1 0 , 1 , 3 1 , 1 , 0 3 , 1 , 1 · 6 1 ABCD VOLUMEN = = − − = − × − = o

b. La distancia de D al plano π que contiene a los puntos A, B, C se puede calcular como la altura del tetraedro, considerando la base como el área del triángulo ABC.

(

)

BASE ALTURA 3 1 ABCD V = ×

(

)

= ÁREA

(

ABC

) (

×dD−π

)

3 1 ABCD V teniendo en cuenta

(

)

(

)

(

)

      = = × = = × = u 2 19 19 · 2 1 AC AB · 2 1 ABC ÁREA u 6 7 AC AB AD · 6 1 ABCD VOLUMEN 2 3 o

sustituyendo en la expresión del volumen y despejando la distancia del punto D al plano π

(

)

₍

(

₎

)

u 19 19 · 7 19 7 2 19 6 7 3 ABC ÁREA ABCD VOLUMEN 3 D d −π = ⋅ = ⋅ = =

(4)

i. Calculando un plano paralelo a las dos rectas y que contenga a una de ellas. La mínima distancia entre las rectas es la distancia de cualquier punto de la recta paralela al plano.

ii. Calculando los puntos de corte A, B, de la perpendicular común con ambas rectas, teniendo en cuenta para ello qué el vector AB debe ser perpendicular a los vectores de dirección de las rectas.

iii. Como aplicación del producto mixto de tres vectores. Teniendo en cuenta que el volumen de un paralelepípedo es (Área de la base)×(Altura), la altura es la mínima distancia entre la recta por lo que despejando y teniendo en cuenta las aplicaciones del producto mixto y del módulo del producto vectorial:

( )

(

)

s r s r d d d d AB base la de Área pedo paralelepí Volumen h s r d r r r r o × × = = = −

Con los datos de los apartados anteriores los más sencillo es aplicar el tercer método.

(

)

(

)



(

)

(

)

 − = = = ⇒    − = = 0 , 1 , 3 AC d : rección Vectordedi 0 , 0 , 1 A : Punto 0 , 1 , 2 C 0 , 0 , 1 A : r r r

( )



( )

(

)

 − = = = ⇒    = = 2 , 0 , 1 BD d : rección Vectordedi 1 , 1 , 1 B : Punto 3 , 1 , 0 D 1 , 1 , 1 B : s s r

aplicando estos datos a la ecuación de la distancia del tercer método:

( )

₍

_{) (}

₎

2 . 0 , 1 0 , 1 , 3 ) tetraedro ( V · 6 base la de Área pedo paralelepí Volumen h s r d − × − = = = −

(

) (

)

41 0 1 1 3 2 1 0 3 2 0 0 1 2 . 0 , 1 0 , 1 , 3 2 2 2 = − − + − − + = − × −

sustituyendo en la expresión de la distancia

( )

u 41 7 41 6 7 · 6 s r d − = =

Septiembre 2000. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 2 puntos. Se consideran los puntos A(1, λ, 0), B(1, 1, λ−2) y C(1, −1, λ)

a) (1 punto)Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor que tome el parámetro λ. b) (1 punto) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos

Solución

a. Si tres puntos están alineados, los vectores que se forman entre ellos son proporcionales.

(

b1 a1,b2 a2,b3 a3

)

K·

(

c1 a1,c2 a2,c3 a3

)

AC · K AB= ⇒ − − − = − − − 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a c a b a c a b a c a b − − = − − = − − sustituyendo por los datos:

λ − λ = λ − − λ − = ⇒ λ − λ = λ − − λ − = − − 2 1 1 0 0 2 1 1 1 1 1 1 para que se cumplan las igualdades:

(5)

le incompatib sistema 0 2 : 0 2 1 : 0 1 1 : 0 1 ⇒        = λ = λ = − λ − = λ = λ − − = λ = λ −

No existe ningún valor de λ que verifique simultáneamente todas las igualdades. Para cualquier valor que tome λ, los puntos no están alineados.

b.

(

)

(

) (

)

= λ λ − − − λ λ − ⋅ = λ λ − − × − λ λ − ⋅ = × ⋅ = 1 0 2 1 0 k j i 2 1 , 1 , 0 2 , 1 , 0 2 1 AC AB 2 1 ABC Área r r r

(

)

2 2 2 2 u 1 0 0 2 2 1 0 , 0 , 2 2 1 1 0 1 0 , 0 2 0 , 1 2 1 2 1 = + + ⋅ = − ⋅ =         λ − − λ − λ − λ − λ λ − − − λ λ − ⋅ =

Junio 2000. 1A. Calificación máxima: 2 puntos

Resolver la siguiente ecuación vectorial xr×(2,1,−1)=(1,3,5), sabiendo que xr = 6 donde el símbolo × significa “ producto vectorial “.

Solución.

Se pide calcular un vector xr=

(

x,y,z

)

que cumpla dos condiciones:

1. (x, y, z) x (2, 1, -1) = (1, 3, 5). Aplicando el producto vectorial al primer miembro de la ecuación e identificando:

(

) (

)

( )

1,3,5 1 2 y x , 1 2 z x , 1 1 z y 1 1 2 z y x k j i 1 , 1 , 2 z , y , x _=       − − − = − = − × r r r

(

) ( )

     = − = + = − − = − + − − 5 y 2 x 3 z 2 x 1 z y : 5 , 3 , 1 y 2 x , z 2 x , z y

Estudio del sistema:

          − − − 5 0 2 1 3 2 0 1 1 1 1 0

rg . Tomando el menor de orden 2 distinto de cero,

1 0 1 1 0 = −

, se estudian sus menores orlados:

0 0 2 1 2 0 1 1 1 0 = − − − : 0 5 2 1 3 0 1 1 1 0 = − −

rg A = rg A’ = 2. Sistema compatible indeterminado En el sistema      = − = + − = + 5 y 2 x 3 z 2 x 1 z y :

S3 solo hay dos ecuaciones linealmente independientes. Teniendo en cuenta el menor de orden dos distinto de cero, las ecuaciones linealmente independientes son:    = + − = + 3 z 2 x 1 y x 2. xr = 6 : x2+y2+z2 = 6. Simplificando: x2 + y2 + z2 = 6

Las dos condiciones plantean el sistema:

     = + + = + − = + 6 z y x 3 z 2 x 1 z y 2 2 2

(6)

(

3 2z

) (

1 z

)

z 6 : 6 z y x z 2 3 x z 1 y 2 2 2 2 2 2 = + − − + −      = + + − = − − = desarrollando y resolviendo:     = = = + − 3 2 z 1 z : 0 4 z 10 z 6 2 con cada valor de z se obtiene un vector distinto

(

)

          ₋ = ⇒ = − = ⇒ = 3 2 , 3 5 , 3 5 x 3 2 z 1 , 2 , 1 x 1 z r r

Junio 1999. 2B Calificación máxima: 2 puntos. Sean A, B y C los puntos de la recta

3 6 z 2 6 y 12 x− = + = −

que están en los planos coordenados x = 0. y= 0 y z = 0 respectivamente.

a) (1 punto) Determinar razonadamente cual de los tres puntos se encuentra entre los otros dos.

b) (1 punto) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar, razonadamente, cuál de los triángulos DAB, DAC, o DBC tiene mayor área.

Solución.

a. Para estudiar la posición relativa de tres puntos se estudia el valor de la razón simple entre ellos.

     − = < < < < > > ⋅ = C y B entre esta A AC k AB 0 K Si C y A entre esta B AC AB 1 K 0 Si B y A entre esta C AC AB 1 K Si AC K AB

Coordenadas de los puntos:

• A:

(

)

      − −      − = − = − − = + = − = − = + = − _:_A₀_, ₃₀_, ₃₀ 30 z : 3 6 z 12 0 30 y : 2 6 y 12 0 : 0 x 3 6 z 2 6 y 12 x • B:

(

)

           = − = + = + = − = − = + = − _:_B₁₅_,₀_,₁₅ 15 z : 3 6 z 2 6 0 15 x : 2 6 0 12 x : 0 y 3 6 z 2 6 y 12 x • C:

(

)

      −      − = − = + = − = − = − = + = − _:_C₁₀_, ₁₀_,₀ 10 y : 3 6 0 2 6 y 10 x : 3 6 0 12 x : 0 z 3 6 z 2 6 y 12 x

( )

(

) (

)

( )

(

) (

)

2AC 3 AB 2 3 30 45 20 30 10 15 : 30 , 20 , 10 30 0 , 30 10 , 0 10 AC 45 , 30 , 15 30 15 , 30 0 , 0 15 AB ₌ ₌ ₌ _⇒ ₌     = − − − − − − = = − − − − − = AC AB>

⇒ C esta entre A y B

b. Los tres triángulos tienen la misma altura, que es la distancia del punto D a la recta

3 6 z 2 6 y 12

x− = + = − , por lo tanto se diferencian en la base, y es de mayor área el de mayor base DAB.

Modelo 1999. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 2 puntos.

Dados los vectores µ=

(

a,1+a,2a

)

υ=

(

a,1,a

)

y ω=

(

1,a,1

)

se pide:

a) (1 punto) Determinar los valores de a para que los vectores µ

,

υ

y

ω sean linealmente dependientes.

(7)

b) (0,5 puntos) Estudiar si el vector c=

(

3,3,0

)

depende linealmente de los vectores µ

,

υ

y

para ω el caso a = 2. Justificar la respuesta.

c) (0,5 puntos) Justificar razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad

( )

ν ω 0

µo × =

Nota: el símbolo × significa vectorial. Solución.

a. Para que tres vectores sean linealmente dependientes, el rango de la matriz que forman debe ser menor de 3, y por tanto todos los menores de orden tres de la matriz deben ser nulos.

3 ω υ µ rg <           r r r 0 1 a 1 a 1 a a 2 a 1 a = +

( ) ( )

     = − = = = − ⋅ + ⋅ = + 1 a 1 a 0 a : 0 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 2 a 1 a

Para a = 0, a = ‒1 o a = 1, los tres vectores son linealmente dependientes.

b. Para a = 2, los tres vectores µ

,

υ

y

ω son linealmente independientes y por tanto cualquier vector de R3 se puede expresar como combinación lineal de ellos.

(

3,3,0

) (

=α2,3,4

) (

+β2,1,2

) ( )

+γ1,2,1 ω 3 υ 2 3 µ 2 3 c 3 γ 2 3 β 2 3 α 0 γ β 2 α 4 3 γ 2 β α 3 3 γ β 2 α 2 solviendo Re _⇒r₌₋ r₊ r₊ r         = = − =      →       = + + = + + = + +

c. Para a = 0, los tres vectores son linealmente dependientes, pertenecen a un mismo plano y por lo tanto el producto vectorial de dos de ellos es un vector perpendicular al tercero.

( )

ν×ω ⊥µ⇒µo

( )

ν×ω =0

Junio 1998.EJERCICIO 1B.

a) Comprobar que los vectores: ar=

( )

1,1,3 , b=

(

−1,2,0

)

r

y cr=

( )

1,3,5 son linealmente dependientes b) Encontrar la ecuación del plano π determinado por el punto Q(-1, 0, 1) y los vectores b

r

y cr. Solución.

a. Para saber si tres vectores son linealmente independientes, se estudia el rango de la matriz que forman.           − =           5 3 1 0 2 1 3 1 1 c b a rg r r r 3 c b a rg 0 5 3 1 0 2 1 3 1 1 <           ⇒ = − r r r

Los vectores son linealmente dependientes.

b. Usando la determinación lineal de un punto y dos vectores: 0 5 3 1 0 2 1 1 z y 1 x π − = − + ≡ 0 15 z 5 y 5 x 10 π≡ + − + = 0 3 z y x 2 π≡ + − + =

(8)

Junio 1998. EJERCICIO 2B. Encontrar los vectores unitarios de R3 que son perpendiculares a

( )

1,0,1

v=

r

y forman un ángulo de 60° con _

      = 2 1 , 2 2 , 2 1 wr Solución.

Se buscan vectores del tipo ur=

(

x,y,z

)

que cumplan las siguientes condiciones:

• ur =1 ⇒ x2+y2+z2 =1 Elevando al cuadrado para quitar la raíz: x2+y2+z2 =12

• ur⊥vr⇒urovr=0

(

x,y,z

) ( )

o1,0,1 =0 : x⋅1+y⋅0+z⋅1=0 : x+z=0

• α=60º

(

α ≡ ángulo entre los vectores urywr

)

.

w u w u º 60 cos r r r o r ⋅

= . El módulo de ur vale 1, por ser

unitario. 1 2 1 2 2 2 1 w 2 2 2 =       +         +       = r .

(

)

1 1 2 1 , 2 2 , 2 1 z , y , x 2 1 ⋅         = o Simplificando la expresión: x+ 2y+z=1

Las condiciones que cumplen los vectores que se piden, permiten plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

      = + + = + = + + 1 z y 2 x 0 z x 1 z y x2 2 2 2

Sustituyendo la segunda ecuación en la tercera se calcula el valor de y 2 2 2 1 y 1 y 2 : 1 z y 2 x 0 z x = = ⇒ =    = + + = +

Con la primera y segunda ecuación y el valor de y se calculan los valores de x, z.

( )

2 1 x x x z : 0 z x 2 1 z x : 0 z x 1 z 2 2 x : 2 2 y 0 z x 1 z y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + ⇒ − =     = + = +      = + = +         +        = = + = + + 2 1 x 2 2 = : 2 1 4 1 x=± =± :                − = ′ = ⇒ − =         − = − = ⇒ = 2 1 , 2 2 , 2 1 u : 2 1 z 2 1 x : Si 2 1 , 2 2 , 2 1 u : 2 1 z 2 1 x : Si r r

Junio 1997. Ejercicio 1A. Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando las respuestas.

a) Si los puntos A, B, C, y D pertenecen a un mismo plano, entonces los vectores AB, AC y AD son linealmente independientes

b) Sean (A, vr) y (A’,vr’ ) las determinaciones lineales de dos rectas r y r’. Si los vectores AA, vr y

v

r

’ son linealmente dependientes, entonces las rectas r y r’ son coplanarias. Septiembre 1996. EJERCICIO 2A. ¿Es siempre cierto que (a b) (a b) 2 (a b)

v r r r r r × ⋅ = + × − ( él “×”

representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

Solución.

Por definición, el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ambos.

(9)

•

(

ur×vr

) (

× wr×ur

)

⊥wr×ur

• ur×vr⊥ur

• wr×ur⊥ur

La única dirección perpendicular común al vector

(

ur×rv

) (

× wr×ur

)

es la dirección del vector ur. Junio 1996. EJERCICIO 3A. Dados los vectores ar, b

r y cr tales que ar =3, b=1 r y cr =4 y 0 c b a+ +r= r r

, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b bocr arocr

r r o r + + Solución.

La suma de vectores es otro vector.

Si ar+b

r

+cr=0

r

Si dos vectores son iguales, tienen igual módulo

0 0 c b a+ + = = r r r r

Por definición de módulo

(

raíz cuadrada positiva del producto escalar del vector por si mismo

)

:

(

a b c

) (

a b c

)

c b a r r r o r r r r r r + + + + + = + +

Teniendo en cuenta que el modulo de 0

r es cero

(

a+b+c

) (

a+b+c

)

=0⇒

(

a+b+c

) (

a+b+rc

)

=0 r r o r r r r r r o r r r

Desarrollando el producto escalar, se obtiene una expresión de la que se puede despejar los dobles productos pedidos

(

a+b+c

) (

a+b+c

)

=a a+b b+c c+2a b+2a c+2borc=0 r r o r r o r r o r r o r r o r r r r o r r r

(

a b a c b c

) (

a a b b c c

)

2 ror r o r r o r r o r r o r r o r + + − = + +

(

a a b b c c

)

2 1 c b c a b a ror r o r r o r r o r r o r r o r + + − = + +

Teniendo en cuenta que el producto escalar de un vector por si mismo es el módulo del vector elevado al cuadrado

(

vrovr= vr2

)

(

3 1 4

)

13 2 1 c b a 2 1 c b c a b a 2 2 2=− 2 + 2+ 2 =−      + + − = + + or r r r r r o r r o r

Junio 1996. EJERCICIO 2B. Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser ciertas, justifíquense; en caso contrario, póngase ejemplos que lo confirmen.

a) El producto mixto de tres vectores cualesquiera no nulos es siempre distinto de cero. b) Si ar, b

r

y cr son tres vectores del espacio tridimensional R3 no nulos que satisfacen la condición

ar·b

r

=ar·cr, entonces se verifica que b

r

=cr. Solución.

a. Falso. Si los vectores son linealmente dependientes, el producto mixto es nulo. Ejemplo:

( )

1,1,2 ur= , vr=

( )

2,1,3 , wr =

(

3,2,5

)

.

(

)

0 5 2 3 3 1 2 2 1 1 w v uro r×r = = b. Falso. ar=

( )

1,2,1, b=

( )

1,1,1 r , cr=

(

0,2,0

)

( ) ( )

( ) (

1,2,1 0,2,0

)

1 0 2 2 1 0 4 :b c c a 4 1 1 1 2 1 1 1 , 1 , 1 1 , 2 , 1 b a r r o r o r o r o r ≠     = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

(10)

Junio 1995. CUESTIÓN 1ª. En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según los diagonales de las tres caras que pasan por dichos vértices. Los módulos o magnitudes de estas fuerzas son 1, 2 y 3.

Hallar el módulo de la fuerza resultante de aquellas tres. Solución

Se pide calcular la suma de tres vectores

(

F1 ,F2,F3

)

r r r

, de los que se conoce su dirección y su módulo. La dirección nos la dan diciendo que están en las direcciones de las diagonales de un cubo, por lo tanto si construimos un eje de coordenadas sobre el vértice común, y sobre él un cubo de arista 1, los vectores de las diagonales de las caras que forman el vértice tendrán por componentes:

( )

1,1,0

ur₁= ; ur₂ =

( )

0,1,1 ; ur₃ =

( )

1,0,1

Para calcular las componentes de los vectores del problema, normalizamos los vectores de dirección y multiplicamos por sus respectivos módulos.

(

)

        = + + ⋅ = ⋅ = ,0 2 1 , 2 1 0 1 1 0 , 1 , 1 1 u u F F 2 2 2 1 1 1 1 r r r r

(

)

        = + + ⋅ = ⋅ = 2 2 , 2 2 , 0 1 1 0 1 , 1 , 0 2 u u F F 2 2 2 2 2 2 2 r r r r

(

)

        = + + ⋅ = ⋅ = 2 3 , 0 , 2 3 1 0 1 1 , 0 , 1 3 u u F F 2 2 2 3 3 2 3 r r r r

Conocidas las componentes de cada vector, se hace la suma y se calcula el módulo

        =         +         +         = + + 2 5 , 2 3 , 2 4 2 3 , 0 , 2 3 2 2 , 2 2 , 0 0 , 2 1 , 2 1 F F F₁ ₂ ₃ r r r 5 2 50 2 5 2 3 2 4 F F F 2 2 2 3 2 1  = =       +         +         = + +r r r

Junio 1994. 2B. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sean, ar,b y c tres vectores linealmente independientes. Indicar cual o cuales de los siguientes productos mixtos valen 0

En cada uno de estos casos, ha de razonarse la contestación. (2 puntos)

(

a c,a c,a b cr

)

r r r r r r + + − + ,

(

a c,b,a b

)

r r r r r + + ,

(

a c,b cr,cr ar

)

r r r − − − Solución

Se define el producto mixto de tres vectores

(

ur,vr,wr

)

como el producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos, es decir:

[

ur,vr,wr

]

=uro

(

vr×wr

)

El producto mixto de tres vectores

(

ur,vr,wr

)

es nulo sí: a) Uno de los vectores es el vector nulo

b) Los vectores son linealmente dependientes. Si a,by cr

r r

son tres vectores linealmente independientes, forman una base de R3, por lo tanto se puede expresar las ternas de vectores propuestas en función de a,by cr

r r I

)

Sea u₁ a c; u₂ a c; u₃ a b cr r r r r r r r r r + + = − = +

= vectores que se pueden expresar como:

) 1 , 1 , 1 ( u ); 1 , 0 , 1 ( u ); 1 , 0 , 1 ( ur₁= r₂ = − r₃=

(11)

(

)

3 1 1 1 1 0 1 1 0 1 rg 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 ; 1 1 1 1 0 1 1 0 1 rg u , u , u rg ₁ ₂ ₃ =           − ⇒ ≠ −           − = r r r 3 2 1,u y u

ur r r son linealmente independientes y su producto mixto es distinto de cero. II

)

Sea u₁=a+c=(1,0,1); u₂ =b=(0,1,0); u₃ =a+b=(1,1,0) r r r r r r r r

(

)

1 0 rg

(

u ,u ,u

)

3 0 1 1 0 1 0 1 0 1 ; 0 1 1 0 1 0 1 0 1 rg u , u , u rg ₁ ₂ ₃ =− ≠ ⇒ ₁ ₂ ₃ =           = r r r r r r

Linealmente independientes luego su producto mixto distinto de cero

III

)

Sea u₁=a−c=(1,0,−1); u₂ =b−rc=(0,1,−1); ru₃=cr−ar=(−1,0,1) r r r r r

(

)

0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 ; 1 0 1 1 1 0 1 0 1 rg u , u , u rg ₁ ₂ ₃ = − − −           − − − = r r r