Práctica 1 Simulación realista del potencial de membrana de una neurona

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Pr´actica 1

Simulaci´on realista del potencial de membrana de una neurona

Carlos Garc´ıa Argos (carlos.garciaargos@estudiante.uam.es)

10 de diciembre de 2008

´Indice

1. Introducci´on 1 2. Modelo de Hodgkin-Huxley 1 3. Implementaci´on 2 3.1. prac1hh.m . . . 2 4. Resultados obtenidos 3 5. Conclusiones 5

1. Introducci´on

En esta práctica, el objetivo es estudiar las ecuaciones de Hodgkin-Huxley [1], las cuales describen de forma muy realista el potencial de membrana de una neurona. Esta descripción se hace en base a unas ecuaciones diferen-ciales no lineales acopladas. Las no linealidades introducidas por funciones exponendiferen-ciales dificultan la resolución anal´ıtica, as´ı como el tratamiento numérico de estas ecuaciones.

2. Modelo de Hodgkin-Huxley

Las ecuaciones del modelo de Hodgkin-Huxley que se va a simular en esta pr´actica son las siguientes:

Cm dV dt = Iext− gL(V − VL) − gN am 3_{h (V − V} N a) − gKn4(V − VK) dm(V ) dt = αm(V ) (1 − m) − βm(V )m dh(V ) dt = αh(V ) (1 − h) − βh(V )h dn(V ) dt = αn(V ) (1 − n) − βn(V )m αm(V ) = 0,1 (−V − 40) exp −V − 40 10 − 1 αh(V ) = 0,07 exp −V − 65 20 αn(V ) = 0,01 (−V − 55) exp −V − 55 10 − 1 βm(V ) = 4 exp −V − 65 18 βh(V ) = 1 exp −V − 35 10 + 1 βn(V ) = 0,125 exp −V − 65 80 Donde:

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V es el potencial de membrana en mV

gL, gN ay gK son las conductancias correspondientes a las p´erdidas, el canal de sodio y el canal de potasio,

respectivamente, medidas en mS/cm2.

VL, VN ay VKson los potenciales de equilibrio de cada uno de los canales anteriores, medido en mV .

Iextes el est´ımulo aplicado en la neurona, medido en A/cm2.

3. Implementaci´on

Los datos de la neurona a simular son los siguientes:

Cm= 1 µF/cm2 Area = 7,854 · 10−3cm2 V0= −65 mV

VN a= 50 mV VK = −77 mV VL= −54,387 mV

gN a= 120 mS/cm2 gK= 36 mS/cm2 gL= 0,3 mS/cm2

m0= 0,053 h0= 0,6 n0= 0,318

3.1. prac1hh.m

A continuación se muestra el código fuente para Octave [2] y MATLAB [3], que está adaptado del que se encuentra en [4].

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Neurociencia Computacional 1

% Practica 1: Simulacion realista del potencial de % membrana de una neurona

% Carlos Garcia Argos (carlos.garciaargos@estudiante.uam.es) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Parametros de la membrana %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Conductancias maximas en ms/cm2 (1->K, 2->Na, 3->L) g(1)=36; g(2)=120; g(3)=0.3;

% Area del compartimento en cm2 A = 7.854e-3;

% Corriente maxima en uA Imax = 0.1;

% Potenciales de equilibrio en mV (1->n, 2->m, 3->h) E(1)=-77; E(2)=50; E(3)=-54.387;

% Capacidad en uF/cm2 C=1; % Condiciones iniciales: V0 en mV, x: 1->n0, 2->m0, 3->h0 I_ext=0.0; V0=-65; x=zeros(1,3); x(1) = .318; x(2) = .053; x(3)=.6; t_rec=0;

% Paso para la integracion, suficientemente peque˜no dt=0.01;

% Duracion: 100 ms fin = 100;

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V = V0;

for t=0:dt:fin

% Estimulo inicia en t=0ms y termina en 50ms, cuando Imax != 0 if t==0; I_ext=Imax/A; end

if t==50; I_ext=0.0; end

% Calculo de los parametros alfa y beta alfa(1)=(-V-55)/(100*(exp((-V-55)/10)-1)); alfa(2)=(-V-40)/(10*(exp((-V-40)/10)-1)); alfa(3)=0.07*exp((-V-65)/20); beta(1)=0.125*exp((-V-65)/80); beta(2)=4*exp((-V-65)/18); beta(3)=1/(exp((-V-35)/10)+1);

% Actualizar el vector de parametros n, m y h x = x.*(1-dt.*(alfa+beta)) + alfa.*dt;

% Calcular las conductancias actualizadas gnmh(1)=g(1)*x(1)ˆ4;

gnmh(2)=g(2)*x(2)ˆ3*x(3); gnmh(3)=g(3);

% Calculo la suma de corrientes total I=gnmh.*(V-E);

% Actualizar el potencial de membrana con el metodo de Euler V=V+dt/C*(I_ext-sum(I));

% Guardo las variables para la representacion grafica t_rec=t_rec+1; x_plot(t_rec)=t; y_plot(t_rec)=V; m_plot(t_rec)=x(2); n_plot(t_rec)=x(1); h_plot(t_rec)=x(3); end % Pintarlo todo figure(1);hold off;plot(x_plot,y_plot);

xlabel(’Tiempo (ms)’); ylabel(’Potencial de membrana (mV)’); % Octave

figure(2);hold off;plot(x_plot,m_plot,’1’);hold on; plot(x_plot,n_plot,’2’);plot(x_plot,h_plot,’3’);

xlabel(’Tiempo (ms)’); ylabel(’Variables de membrana’); % Matlab

% figure(2);hold off;plot(x_plot,m_plot,’b’); % hold on;plot(x_plot,n_plot,’black’);

% plot(x_plot,h_plot,’r’);xlabel(’Tiempo’); ylabel(’Tau’);

4. Resultados obtenidos

Se han llevado a cabo dos simulaciones de 100 ms de duraci´on, una con un est´ımulo nulo, Iext = 0 y la otra

con un est´ımulo de valor Iext= 0,1 µA que dura desde t = 0 ms hasta t = 50 ms.

Para el caso de est´ımulo nulo, la Figura 1(a) muestra la evoluci´on temporal del potencial de membrana. En este caso, se observa que apenas se modifica el potencial, que se estabiliza r´apidamente en un potencial cercano al inicial.

Además, las Figuras 1(b), 1(c) y 1(d) muestran los valores de las variables de inactivación y activación del canal de sodio y la de activación del canal de potasio. Se han separado en gráficas independientes para que se

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pueda observar la evoluci´on, ya que las variaciones son muy peque˜nas, como puede verse.

(a) Potencial de la membrana (b) Variable de inactivaci´on del canal de sodio

(c) Variable de activaci´on del canal de sodio (d) Variable de activaci´on del canal de potasio

Figura 1: Caso de est´ımulo nulo

Por otro lado, para el caso de tener el est´ımulo hasta t = 50 ms, en la Figura 2(a) se puede ver el tren de potenciales de acción que se producen hasta el fin del est´ımulo. Y, por último, la Figura 2(b) muestra la evolución de las variables de activación y desactivación de los canales de iones, comprobándose en este caso que el est´ımulo provoca variaciones más amplias de las variables, por lo que puede apreciarse el detalle con la superposición de las mismas.

(a) Potencial de la membrana (b) Variables de activaci´on e inactivaci´on de los canales

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5. Conclusiones

En esta práctica se ha estudiado el comportamiento de una neurona en base al potencial de membrana y su evo-lución temporal cuando se aplica un est´ımulo durante cierto tiempo, as´ı como cuando dicho est´ımulo está ausente. El modelo de Hodgkin-Huxley permite estudiar de forma realista los potenciales de acción en una neurona. A cambio, es necesario tener cierta capacidad de cómputo, ya que las ecuaciones del modelo tienen funciones exponenciales que deben ser evaluadas, que computacionalmente son bastante exigentes. Sin embargo, para ilustrar la evolución de potenciales de acción en neuronas aisladas representa una herramienta muy potente.

Referencias

[1] A. Hodgkin, A. Huxley . A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol., 1952.

[2] GNU/Octave. http://www.octave.org.

[3] MATLAB. http://www.mathworks.es/products/matlab.