3.1.3 Distribución Binomial

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3.1.3 Distribución Binomial

Hay muchas situaciones en las que sólo interesa conocer si un determinado suceso se produce o no se produce.

Si el suceso ocurre, diremos que hemos obtenido un éxito y lo simbolizamos por E y si no ocurre diremos que hemos obtenido un fracaso y lo simbolizamos por F.

La probabilidad de éxito la llamamos p La probabilidad de fracaso la llamamos q

Lógicamente p+q=1

Se trata de un experimento aleatorio que no tiene más que dos resultados posibles E y F tales que P(E)=p y P(F)=q

Es interesante el caso en el que se repitan pruebas independientes del mismo experimento y la probabilidad de éxito se mantenga constante en todas ellas.

Supongamos que el número de pruebas es cinco (n=5). Un posible resultado sería:

EFFEE

Si queremos calcular la probabilidad, teniendo en cuenta que las pruebas son independientes:

P(EFFEE) = P(E) P(F) P(F) P(E) P(E) = p q q p p = p3 q2

Responden a este modelo experimentos como los siguientes:

- Lanzar una moneda varias veces considerando éxito la obtención de cara. Entonces p=q=1/2

- Lanzar un dado varias veces, considerando éxito que salga el 6 y fracaso que no salga el 6. En este caso p=1/6 y q=5/6.

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- La clasificación de las piezas fabricadas por una máquina, considerando éxito las piezas aceptables y fracaso las piezas defectuosas. En este caso p y q se asignan haciendo un estudio de gran número de piezas.

Diremos que un experimento sigue un modelo binomial si, en cada ejecución, sólo hay dos posibles resultados (E y F), las pruebas son independientes y la probabilidad de éxito es constante.

La idea es la de construir un modelo de asignación de probabilidades de estas características.

Llamaremos variable aleatoria binomial a:

X = "número de éxitos en n pruebas"

Se pueden asignar probabilidades mediante un diagrama en árbol:

F E F E E E E E F F F F E F p q p q p q p q p q p q p q EEE F E E EEF F E F EE F E F F E F F F F F p3 p2q p2q pq2 p2q pq2 pq2 q3

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Construir el árbol puede ser una tarea larga y conviene buscar una fórmula general para un experimento binomial.

Convengamos en identificar todos aquellos resultados que tienen el mismo número de éxitos. Tras n pruebas nos encontraríamos con:

EE...E! " ! pn EE...EF! " ! npn#1q EE...EFF! " ! n n #1

(

)

pn#2q2 ... EF...F! " ! npqn#1 FF... F! " ! qn

Las distintas probabilidades son los sumandos del desarrollo del binomio (p+q)n, por lo que: P X

(

= r

)

= n r ! " # $ % prqn& r

Convenimos en designar al experimento binomial con n pruebas, siendo p la probabilidad de éxito, como B(n,p).

EJEMPLO 3.3:

Se lanza un dado 7 veces. Calcular la probabilidad de obtener 3 seises. p = P(E) = 1/6 n=7

q = P(F) =5/6 K=3

Solución:

X = "número de seises que aparecen al lanzar un dado 7 veces".

P(X= 3) = 7 3 ! " # $ % 1 6 ! " $ % 3 5 6 ! " $ % 4 = 0' 08

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EJEMPLO 3.4:

Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara, al lanzar una moneda cinco veces.

Solución:

X = "número de caras que se obtienen al lanzar una moneda cinco veces"

P(x>1) = P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)

Utilizando el suceso contrario:

P(x>1) = 1-P(x≤1) = 1-(P(x=0)+P(x=1)) =

= 1 - 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 - 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

EJEMPLO 3.5:

Supongamos que en un departamento de control de calidad se examinan lotes de cuatro artículos y se sabe que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es P(D)=1/10 (por lo que la probabilidad de que sea aceptable es P(A)=1-P(D)=9/10).

Definimos la variable aleatoria de manera que a cada elemento del espacio muestral, le asociamos el número de piezas defectuosas. x={0,1,2,3,4}. Calcular la probabilidad asociada a cada valor de la variable.

Solución:

Calculamos sus probabilidades: P(x= 0) = 9 4 ! " # $ 4 = 0, 6561 P(x=1) = 1 10 9 10 ! " # $ 3 4 1 ! " % # $ = 0, 2961

Incluimos el número combinatorio 4 1 ! " # $

% porque se pueden dar cuatro posibilidades.

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P(x= 2) = 1 10 ! " # $ 2 9 10 ! " # $ 2 4 2 ! " % # $ = 0, 0486 P(x= 3) = 1 10 ! " # $ 3 9 10 4 3 ! " % # $ = 0, 0036 P(x= 4) = 1 10 ! " # $ 4 = 0, 0001 EJEMPLO 3.6:

Hallar las probabilidades del experimento binomial B(4,1/3).

Solución: P(x= 0) = 4 0 ! " # $ % 13 ! " $ % 0 2 3 ! " $ % 4 = 0,1975 P(x=1) = 4 1 ! " # $ % 1 3 ! " $ % 1 2 3 ! " $ % 3 = 0, 3951 P(x= 2) = 4 2 ! " # $ % 1 3 ! " $ % 2 2 3 ! " $ % 2 = 0, 2963 P(x= 3) = 4 3 ! " # $ % 1 3 ! " $ % 32 3 = 0, 0988 P(x= 4) = 4 4 ! " # $ % 1 3 ! " $ % 4 = 0, 0123 EJEMPLO 3.7:

En una empresa de fabricación de automóviles se ha observado que el 2% presenta algún defecto. Calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 5 automóviles se encuentren a lo sumo dos defectuosos.

Solución:

La variable X = "número de automóviles defectuosos", sigue una B(50,0'02). P X

(

! 2

)

= P X = 0

(

)

+ P X =1

(

)

+ P X = 2

(

)

= 50 0 " # $ % &

(

0, 02

)

0

(

0, 98

)

50 + 50 1 " # $ % &

(

0, 02

)

(

0, 98

)

49 + 50 2 " # $ % &

(

0, 02

)

2

(

0, 98

)

48

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P(X! 2) = 0' 9216

A medida que aumenta el valor de n se complican los cálculos y es conveniente utilizar tablas.

3.1.3.1 Manejo de tablas

Las tablas están elaboradas con la siguiente estructura (figura 3.1):

n r p 0.01 0.05 ... 0.50 2 0 1 2 3 0 1 2 3 ... ... ... ... ... ... 10 0 1 ... 10

Figura 3.1: Estructura de la tabla de la Distribución Binomial

Si estamos en una B(5,0'45), buscaremos el 5 en la columna de n y si nos piden P(X=4), dentro del grupo n=5, buscamos r=4. En la fila de p buscamos 0'45 y en la confluencia de la horizontal y la vertical, tendremos el valor de la probabilidad.

Podemos encontrarnos con un problema en el caso de ser p>0'5, pues no puede emplearse la tabla directamente, sino que tendremos que tener en cuenta la siguiente propiedad: P X

(

= r

)

= n r ! " # $ % prqn& r= n n& r ! " # $ % pn& rqr

Función de densidad de una variable aleatoria que siga una B(n,p) con n-r éxitos.

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3.1.3.2 Media y desviación típica de una variable

Binomial

MEDIA: µ = E x

[ ]

= x0p0+ x1p1+...+xnpn = = 0 n 0 ! " # $ % qn+ 1 n 1 ! " # $ % pqn&1+...+n n n ! " # $ % pn= np VARIANZA: !2 = V x

[ ]

= x" µ

(

)

2 i=1 n

#

pi = npq DESVIACIÓN TÍPICA: ! = npq EJEMPLO 3.8:

Supongamos que tenemos cinco instrumentos y que sabemos que en promedio un determinado instrumento está averiado uno de cada diez días. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día más de tres instrumentos estén averiados?. ¿Cuál es el número esperado de instrumentos averiados al día?.

Solución:

Nuestra variable será:

X = "número de instrumento averiados en un día"

Sólo hay dos posibles sucesos:

E: Estar averiado F: No estar averiado.

X ~ B(n=5, p=0'1)

(8)

P x

(

= r

)

= 5 r ! " # $ % prq5&r = 5 r ! " # $ % 0,1r0, 95& r P x

(

> 3

)

= P x = 4

(

)

+ P x = 5

(

)

= 4 = 5 4 ! " # $ % p4q+ 5 5 ! " # $ % 0,150, 90= 4, 6 10&4 E x

[ ]

= np = 5 0,1 = 0, 5 Se avería un instrumento cada dos días.

EJEMPLO 3.9:

La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en Biología es 0'3. Hallar la probabilidad de que de un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso:

a) Ninguno de los siete finalice la carrera. b) La finalicen todos.

c) Al menos dos acaben la carrera.

Asimismo, hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que acaban la carrera.

Solución:

Los sucesos son:

E(éxito): acabar la carrera P(E) = p = 0'3 F(fracaso): no acabar la carrera P(F) = q = 0'7

El número de pruebas es siete n = 7

Las pruebas son independientes, porque lo que ocurra con un alumno no tiene nada que ver con lo que le ocurra a otro.

a) P X

(

= r

)

= n r ! " # $ % prqn& r

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P(x= 0) = n 0 ! " # $ % p0qn = 7 0 ! " # $ % q7 = 0, 77 = 0, 0824 b) P(x= 7) = 7 7 ! " # $ % 0, 37q0 = 0, 0002 Imposible c) P X

(

! 2

)

= P X = 2

(

)

+ P X = 3

(

)+...+P X = 7

(

)

= 1" P(X # 1) =1 " P(r = 0) + P(r =1)

(

)

= = 1 " 0, 0824 " 0, 2471 = 0, 6705 Parámetros: E x

[ ]

= np = 7 0, 3 = 2,1 V x

[ ]

= npq = 2, 1 0, 7 =1, 47 ! = 1, 47 EJEMPLO 3.10:

En recientes estudios realizados sobre pacientes portadores de SIDA, se ha podido determinar que el 70% consume algún tipo de droga. En la sala de espera de una consulta especializada en esta enfermedad se encuentran en un determinado momento seis personas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno haya consumido droga?.

Solución:

E: "No consumir droga" P(E) = 0'3 = p F: "Consumir droga" P(F) = 0'7 = q Cada paciente es un caso distinto n=6

P x

(

= 0

)

= 6 0 ! " # $ % p0q6= 0, 1176 EJEMPLO 3.11:

Una población de 20 animales insectívoros se introduce en una zona donde el 14% de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada animal devora al día 5 insectos.

Calcular la probabilidad de que al cabo de una semana queden, como mínimo, la mitad.

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