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LOGICA Y RAZONAMIENTO MATEMATICO

Paulina Gómez Depto de Matemáticas 1.1 CONCEPTO DE LOGICA

En nuestro lenguaje habitual, decimos que algo es lógico si es consecuente y ordenado e ilógico si no tiene coherencia interna.

LOGICA viene de la palabra LOGIA (del grigo LOGOS) que significa estudio racional, por tanto, la lócica es la ciencia que estudia los razonamientos y los expresa mediante un lenguaje, es pues, el estudio de los métodos que permiten evaluar argumentos o razonamientos para decidir si la conclusión está sustentada por unos enunciados (premisas) iniciales.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas.

La lógica matemática proporciona métodos para determinar cuando un razonamiento es válido. Estudia los principios de los razonamientos correctos, sin embargo no garantiza que llegemos a conclusiones verdaderas, ya que podemos partir de enunciados falsos. 1.2 ALGO DE HISTORIA

Durante el periodo de 600 AC hasta 300 AC, en Grecia se desarrollaron los principios formales de las matemáticas. A este periodo se le conoce como periodo clásico, donde sus principales representantes son Platón, Aristóteles y Euclides. Platón introduce sus ideas o abstracciones; Aristóteles presenta el razonamiento deductivo y sistematizado y Euclides es el personaje que mayor influencia tuvo en las matemáticos, al establecer el método axiomático.

Platón (427-347 AC) intenta instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos, y crea la Academia en Atenas, que no era solo una institución filosófica, sino servía de formación política a los jóvenes de la aristocracia.). Sostuvo la existencia de dos mundos distintos (el de las ideas y el de las cosas). Según Platón, lo concreto se entiende sólo en función de lo abstracto, resultando que el mundo sensible debe su existencia al mundo de las ideas. Platón escogió el diálogo como su forma literaria para verter su pensamiento; como personaje central de sus Diálogos sitúa a Sócrates, de quien recibió una notable influencia.

Aristóteles. Los tratados de lógica de Aristóteles (384-332 a.C.), conocidos como Organón, contienen el primer tratamiento sistemático de las leyes de pensamiento en relación con la adquisición de conocimiento. Estos representan el primer intento de establecer a la lógica como ciencia. Aristóteles da una clasificación de todos los conceptos o nociones (sustancias, cantidad, relación, acción, pasión, diferencia, propiedad y accidente) y trata las reglas del razonamiento silogístico. Aristóteles no hace

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de la lógica una disciplina metafísica, pero si establece una correspondencia entre el pensamiento lógico y la estructura ontológica.

El silogismo fue adoptado por los escolásticos (representantes del sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media) quienes la enriquecieron con numerosos y detallados estudios y se esforzaron en formalizarlo. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito. Los escolásticos prestaban gran atención al método, se caracterizaban por el artificio verbal.

En el siglo XVII, Leibniz fue el primero formular la lógica como base del razonamiento matemático. La lógica nace como ciencia en el siglo XIX. En 1854 Geoge Boole publico su libro “Leyes del Pensamiento”, en el que proporciona un modelo algebraico de la lógica de proposiciones, a él se le debe el ALGEBRA DE BOOLE utilizada en el diseño de circuitos lógicos.

En 1879, Gottob Frege publica “Fundamentos de aritmética conceptualmente derivada” en el cual formaliza la lógica de predicados.

En el siglo XX se destacan entre otros, Berttrand Russel, Peano, Hilbert y Godel.

A mediados del siglo XX con la aparición de ls computadores surgió la necesidad de determinar si era posible especificar formalmente programas y definir sistemas de demostración automática de teoremas, se habla entonces de la lógica informática, nace la inteligencia artificial y el primer lenguaje declarativo: LISP de McCarthy. En 1972 Colmerauer creo el primer lenguaje de programación lógica, el PROLOG.

Después de los años 80 se empiezan a utilizar las lógicas no clásicas, que permiten dar una interpretación probabilistica de la incertidumbre, por ejemplo la lógica difusa (borrosa y fussy)

1.3 CONCEPTOS DE VERDAD Y VALIDEZ

Verdad El concepto de verdad es uno de los más controvertidos de la Filosofía. En este contexto, se dice que un enunciado (o una proposición) es verdadero, cuando hay una correspondencia entre la realidad y el enunciado. Los enunciados o proposiciones se definen como oraciones declarativas que pueden ser verdaderas o falsas.

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Muchas veces no es problemático determinar el valor de verdad de un enunciado: si afirmo "Esta mesa es de madera", lo normal es que cuente con los medios para establecer su verdad o falsedad. Si afirmo que "Napoleón viajó a Egipto en enero de 1800", "Los protones se componen de electrones y neutrones" me encuentro con unas proposiciones que ha de recurrir a métodos más complejos para averiguar su verdad o falsedad.

Lo que debemos recordar en lo sucesivo es que los enunciados sólo son verdaderos o falsos. Nunca diremos que un argumento es verdadero o falso, sino diremos que es válido o inválido.

Validez. La lógica se ocupa principalmente de establecer una clara distinción entre razonamientos válidos y razonamientos inválidos. Los razonamientos válidos son aquellos en los que la inferencia entre las premisas y la conclusión es perfecta. Por tanto, lo esencial para determinar si un argumento es o no válido es analizar su forma o estructura (independientemente de su contenido material). A continuación proporcionamos tres formas equivalentes de establecer este criterio de validez:

• Si las premisas de un argumento válido son verdaderas, entonces su conclusión también es verdadera.

• Es imposible que la conclusión de un argumento válido sea falsa siendo sus premisas verdaderas.

• En un argumento válido, la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión.

En este contexto también consideraremos que las premisas, en tanto que son conjuntos de proposiciones, son verdaderas sólo cuando todas y cada una de ellas sean verdaderas, y que son falsas cuando al menos una de ellas sea falsa.

Cuando un argumento no es válido, entonces es inválido; en este caso es posible que la conclusión sea falsa mientras que las premisas son verdaderas. Incluso puede ocurrir que en un argumento inválido (la inferencia es incorrecta) las premisas sean verdaderas y la conclusión sea verdadera o falsa. La validez de la inferencia de un argumento deductivo es independiente de la verdad de sus premisas, pero que sólo podemos garantizar la verdad de la conclusión haciendo una inferencia válida a partir de premisas verdaderas. Solidez. Algunos lógicos afirman que un argumento es sólido cuando es a la vez formalmente válido y materialmente adecuado (sus premisas y su conclusión son verdaderas).

1.4 LENGUAJE NATURAL

Para comunicarnos con los demas utilizamos un lenguaje natural, los lenguajes naturales están caracterizados por su gramática que es la que permite decidir si una frase es o nó válida.

Por ejemplo: El perro de Luis habla ingles

Es una frase válida, tiene un sujeto del cual decimos algo (predicado) y gramaticalmente esta bien construida aunque sea falso lo que se afirma.

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gramática), no analiza el sentido de la frase sino su construcción desde el punto de vista gramatical.

La SEMANTICA se ocupa del sentido de las frases sintácticamente válidas, analiza la relación entre el lenguaje y su significado, se refiere a la interpretación. La frase anterior es sintácticamente válida pero le falta sentido semántico.

1.5 LENGUAJE FORMAL

La gramática de los lenguajes naturales se caracteriza por su flexibilidad y su complejidad, es muy complicado, podríamos decir que imposible hacer una representación completa de todas las reglas de un lenguaje natural.

Un lenguaje formal cuenta con unos símbolos, unas reglas y unos operadores que permiten establecer relaciones entre ellos.

Los lenguajes formales se caracterizan por:

● Se desarrollan para una teoría preestablecida ● Tienen un componente semántico mínimo

● La sintaxis produce resultados que no son ambiguos. ● Permiten la construcción computacional

1.5 LOGICA CLASICA

El lenguaje formal de la lógica se construye a partir de unos elementos básicos (atómicos) llamados proposiciones.

En la lógica aristotélica, una proposición (o declaración) es una una oración declarativa, que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez (ley del tercio excluido). Las preguntas y las órdenes, por ejemplo, no son afirmaciones. La afirmación “x > 5” es falsa cuando x es menor o igual que 5, y verdadera de lo contrario. Hay muchas afirmaciones que no sabemos si son verdaderas o falsas. La lógica se encarga en gran parte de demostrar la verdad o falsedad de cierto tipo de afirmaciones.

p: Está haciendo sol. Es una proposición que puede ser verdadera o falsa q: -17 + 38 = 21 Es una proposición siempre verdadera

r: x > 2y-9 Es valor de verdad de esta proposición depende del valor de x t: Hola ¿como estas? No es una proposición, no puede asignarsele un valor de verdad. s: 0>100 Es una proposición siempre falsa

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asigna un valor de verdad F o 0.

Las proposiciones que no contienen operadores lógicos se denominan proposiciones atómicas (primitivas o primarias) cuando se combinan dos a mas proposiciones mediante operadores lógicos se construyen proposiciones moleculares o compuestas.

Según su valor de verdad decimos que una proposición es una:

Tautología: si siempre es verdadera.

Contradicción: es siempre falsa.

Indeterminación o contingencia: es una proposición que puede tomar cualquiera de los dos valores de verdad. Por ejemplo: Hace sol.

Equivalencia lógica. Dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes si siempre toman el mismo valor de verdad.

La LÓGICA DE PROPOSICIONES (LP) estudia las fórmulas proposicionales construidas a partir de las proposiciones y los conectivos lógicos

SIMBOLO SE LEE SE LLAMA

¬ NO Negación

∧ Y Conjunción

∨ O Disyunción inclusiva

⊕ O..O Disyunción exclusiva

→ SI … ENTONCES … Condicional

↔ … SI Y SOLO SI … Bicondicional

La LOGICA DE PREDICADOS (LPO) es una generalización de la lógica de proposiciones, distingue entre los objetos y sus propiedades o posibles relaciones, para ello emplea los cuantificadores universales y existenciales.

Proposición Universal Afirmativa ∀x , p x

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Proposición Universal Negativa ∀x ,¬ p  x

Ningún político es mentiroso Proposición Particular Afirmativa ∃x , p x 

Algunos políticos son mentirosos Proposición Particular Negativa ∃x ,¬ p x

Algunos políticos no son mentirosos

Proposición Cuando es Verdadera Cuando es Falsa

x , p x Al menos para un elemento a del universo la proposición p(a) es verdadera

p(a): remplazamos x por a

Para cada elemento a del universo la proposición p(a) es Falsa, esto es, para todo elemento a del universo la proposición ¬p(a) es verdadera

x , p x Para cada elemento a del universo

la proposición p(a) es verdadera Existe al menos un elemento a del universo, tal que la proposición p(a) es Falsa, esto es, para algún elemento a del universo la proposición ¬p(a) es verdadera

x ,¬ p x  Existe al menos un elemento a del universo, tal que la proposición ¬ p(a) es verdadera

Para todo elemento a del universo la proposición p(a) es verdadera

x ,¬ p  x Para cada elemento a del universo la proposicoión p(a) es falsa, esto es, para todo elemento a del universo la proposición ¬p(a) es verdadera

Existe almenos un elemento a del universo tal que p(a) es verdadera

1.5.1 RAZONAMIENTOS

Un RAZONAMIENTO o ARGUMENTO es un conjunto de dos o más proposiciones relacionadas unas con las otras de tal manera que las proposiciones llamadas 'premisas' se supone que dan soporte a la proposición denominada 'conclusión'.

La transición o movimiento desde las premisas hasta la conclusión, es decir, la conexión lógica entre las premisas y la conclusión, es la inferencia sobre la que descansa el argumento.

Por ejemplo:

Todos los mamimeros son racionales Los perros son mamíferos

Es un razonamiento válido aunque una de sus premisas sea falsa

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Por lo tanto los perros son racionales Si estudio apruebo la asignatura Aprobe la asignatura

por tanto estudie

Es un razonamiento no válido, puede aprobar aunque no haya estudiado

En un razonamiento tenemos una o varias proposiciones y apoyados en ella (o ellas) inferimos una conclusión. Entíendase que hay razonamiento si la conclusión se apoya en las premisas, de cualquier otra manera puede haber pensamiento (en sentido general), reflexión, cavilación, especulación, discusión, descripción, explicación o lo que se quiera... pero no hay *razonamiento*.

Un razonamiento es válido si la conclusión es necesariamente verdadera siempre que las premisas sean verdaderas

Las palabras antes mencionadas pueden incluir razonamientos (algo que sería de desear, por ejemplo, en toda discusión) pero no son categorías idénticas. Es obvio que se puede discutir sin razonar (un modelo de ello podrían ser las "tipicas" discusiones pareja).

¿Cómo se localiza un razonamiento? ¿Cómo decirle a una máquina inteligente, por ejemplo, que está escuchando o leyendo un razonamiento?.

Existen, como dice Copi, 'indicadores de conclusión': "Entre los más comunes (...) se cuentan

"por lo tanto", "por ende", "así",

"luego",

"por consiguiente", "se sigue que", "podemos inferir" y "podemos concluír".

Existen dos tipos de razonamientos: Razonamientos deductivos y razonamientos inductivos.

Un RAZONOMIENTOS DEDUCTIVO es válido cuando sus premisas ofrecen un fundamento seguro para la conclusión.

Ejemplos:

1. Todas las ballenas don mamíferos Todos los mamíferos tienes pulmones ∴ Todas las ballenas tienen pulmones

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En este caso el razonamiento es válido y las premisas son verdaderas 2. Todas las arañas tiene seis patas

Todos los seres de seis patas tienen alas ∴ Todas las arañas tienen alas.

En este caso el razonamiento es válido y las premisas son falsas. 3. Si yo poseyera todo el oro de Fort Knox será muy rico

No poseo todo el oro de Fort Knox ∴ no soy muy rico

En este caso el razonamiento es inválido y las premisas son verdaderas

Un RAZONAMIENTO INDUCTIVO no pretende que sus premisas ofrezcan una evidencia total de la verad de la conclusión, sino que ofrezcan cierta evidencia de ella. No son válidos o inválidos.

Los argumentos inductivos, por lo tanto, cumplen con su criterio de corrección en un mayor o menor grado, dependiendo de la cantidad y calidad del apoyo que reciban. Ningún argumento inductivo es completamente perfecto o enteramente inútil, aunque se puede elegir cuál de entre varias inducciones es relativamente mejor o peor que otras en el sentido de que se asegure la verdad de la conclusión con un mayor o menor grado de probabilidad. En tales casos, información adicional relevante de algún modo relacionada con el argumento con frecuencia puede afectar a la fiabilidad de un argumento inductivo al proporcinar otra evidencia que cambie nuestra estimación de la probabilidad de la verdad de la conclusión.

Las inferencias inductivas proceden desde lo particular hacia lo general, desde lo menos general hacia lo más general, y no tienen un término medio que conecte firmemente una verdad con otra

Inferencias deductivas Inferencias inductivas La deducción descansa en la aceptación de

un principio general, y razona desde dicho principio general, a través de pasos bien establecidos y firmes, hasta la conclusión.

Las inferencias razonan a partir de repetidas observaciones particulares (que con frecuencia son observables, empíricas, captables por nuestros sentidos) hacia verdades más generales por medio de generalizaciones estadísticas y analogías (que con frecuencia son inobservables). En los argumentos deductivos la garantía

de que de la verdad de las premisas se sigue la verdad de la conclusión ocurre porque en la inferencia deductiva válida la

La inferencia inductiva válida sólo garantiza la verdad de la conclusión a partir de la verdad de las premisas sólo en un cierto grado porque la conclusión aporta más

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conclusión no afirma contenido material alguno más allá de lo que afirman las premisas. Con la inferencia deductiva válida, en realidad no ampliamos nuestros conocimientos, sino que los expresamos de otro modo. Por ello, información adicional sobre las premisas no modificará la calidad de la deducción.

información de la que está contenida en las premisas. Este es el motivo de que la información adicional con frecuencia pueda jugar un papel determinante para juzgar el grado de validez de una inferencia inductiva.

Los argumentos deductivos parece que juegan un papel más importante en las disciplinas que tienen un contenido teórico más prominente, como las matemáticas o la filosofía.

Los argumentos inductivos juegan un papel más importante en las disciplinas que tienen mayor contenido empírico, como la física, la química, la biología, etc.

Una FALACIA es un razonamiento incorrecto, en lógica se llama FALACIA a un razonamiento incorrecto que parece correcto.

Ejemplos:

1. Si Ardila Lule poseyera todo el oro de Fort Knox será muy rico Ardila Lule no posee todo el oro de Fort Knox

∴ Ardila Lule no soy muy rico

2. Sea a = b multiplicando por a, se tiene que a2 = ab , restando b2 a cala lado de la igualdad: a2-b2 = ab-b2 factorizando (diferencia de cuadrados) (a+b)(a-b) = b(a-b) dividiendo por (a-b) se tiene que a+b = b pero a = b, luego

2b = b dividiendo por b, se concluye que 2 = 1

3. cos2x = 1-sen2x

1+cosx = 1+(1-sen2x)1/2

(1+cosx)2 = (1+(1-sen2x)1/2)2 para x = π, (1-1)2 = (1+(1-0)1/2)2

0 = (1+1)2 0 = 4

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Un DILEMA es un problema que puede resolverse mediante dos soluciones, ninguna de las cuales es completamente aceptable. Ejemplo:

El dilema del prisionero El enunciado clásico del dilema del prisionero es:

La policía arresta a dos sospechosos. No hay pruebas suficientes para condenarlos, y tras haberlos separado, los visita a cada uno y les ofrece el mismo trato. Si uno confiesa y su cómplice no, el cómplice será condenado a la pena total, diez años, y el primero será liberado. Si uno calla y el cómplice confiesa, el primero recibirá esa pena y será el cómplice quien salga libre. Si ambos permanecen callados, todo lo que podrán hacer será encerrarlos durante seis meses por un cargo menor. Si ambos confiesan, ambos serán condenados a seis años.

Lo que puede resumirse como:

Tú lo niegas Tú confiesas

Él lo niega Ambos son condenados a 6 meses Él es condenado a 10 años; tú sales libre

Él confiesa Él sale libre; tú eres condenado a 10 años Ambos son condenados a 6 años.

Vamos a suponer que ambos prisioneros son completamente egoístas y su única meta es reducir su propia estancia en la cárcel. Como prisioneros tienen dos opciones: cooperar con su cómplice y permanecer callado, o traicionar a su cómplice y confesar.

El resultado de cada elección depende de la elección del cómplice. Desafortunadamente, uno no conoce qué ha elegido hacer el otro. Incluso si pudiesen hablar entre sí, no podrían estar seguros de confiar mutuamente.

Hay varios tipos de dilemas, los mas comunes son:

DILEMA SIMPLE CONSTRUCTIVO: Consta de dos premisas condicionales con el mismo concecuente y una disyunción de los dos antecedentes

● Si estos libros dicen lo mismo que el Corán hay que quemarlos (están de mas) ● Si dicen algo distinto, hay que quemarlos, porque contradicen el Corán.

∴ Estos libros hay que quemarlos

DILEMA SIMPLE DESTRUCTIVO. Consta de dos premisas condicionales y una disyunción que niega los dos consecuentes.

● Si estudio me va bien en la universidad ● Si estudio mis padres serán felices

● No me va bien en la universidad o mis padre no son felices por tanto no estudio

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una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es “lo opuesto a lo que uno considera cierto”.

Una paradoja clásica es aquella que nos cuenta Cervantes en el Don Quijote: Merced a su ingenio sencillo de campesino, Sancho Panza divirtió al Duque y a la Duquesa que lo pusieron a cargo del gobierno de la ínsula de Barataria. Sancho dejó admirados a los circunstantes por sus juicios y sentencias. Se extendió fuera de la isla su fama, y ella trajo un forastero con el fin de plantearle una cuestión al Gobernador.

El texto de Cervantes es: Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío...Y esté vuesa merced atento porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre este río estaba una puente, y al cabo de ella, una horca y una como casa de audiencia, en lo cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río , de la puente y del señorío, que era en esta forma “Si alguno pasara por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adonde y a que va; y si jurare la verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira , muera, por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna.” Sabida esta ley y la rigurosa condición della pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decían la verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, ,pues que tomando juramento a un hombre , juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento, y dijeron “Si a este hombre lo dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y conforme a la ley debe morir; y si lo ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca, y habiendo jurado la verdad, por la misma ley debe ser libre.”

Pídase a vuesa merced, señor gobernador, que harán los jueces de tal hombre; que aún hasta agora están dudosos y suspensos. Y habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuesa merced, me enviaron a mi a que suplicase a vuesa merced de su parte diese su parecer en tan intrincado y dudoso caso.

La paradoja se puede resumir en el siguiente diagrama

Otro ejemplo de paradoja es el siguiente:

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2 altares, uno llamado de la Verdad y otro de la Mentira donde se realizan los sacrificios de acuerdo a una respuesta de la víctima fuera verdadera o falsa. Como es la decisión ante el siguiente caso?

Pregunta: ¿Donde te vamos a matar? Respuesta: En el altar de la Mentira

Opciones: 1.- Si la respuesta fuera verdadera el sacrificio debería cumplirse en el altar de la Verdad.

2.- Si la respuesta fuera el sacrificio debería cumplirse en el altar de la Mentira. En ambos casos cualquier la decisión sería contradictoria.

LOGICA PROPOSICIONAL Se habla de dos tipos de enuciados o proposiciones:

Atómicas: Constan de una sola proposición, no se pueden descomponer más. Por ejemplo: El gato sonrió la ver al ratón.

Moleculares: Compuestas por dos o más proposiciones, consta de varios enunciados atómicos, se pueden descomponer. Ejemplo: El gato sonrió al ver al ratón y el ratón huyó.

Para simbilizar las proposiciones generalmente se utilizan las letras minúsculas a partir de la p, como son la p, q, r, s, etc.

CONECTIVOS LOGICOS

Son términos que conectan los enunciados atómicos, formando así los enunciados moleculares LA CONJUNCIÓN ( p∧q ) p q p∧q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

La conjunción p∧q es verdadera si y solo si las dos proposiciones son verdaderas.

Basta con que una de las proposiciones sea falsa para que la conjunción sea falsa.

LA DISYUNCIÓN ( p∨q ) p q p∨q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

La disyunción p∨q es verdadera si y solo si al menos una de las dos proposiciones es verdadera.

Es falsa únicamente cuando las dos proposiciones son falsas.

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es verdadera sí exactamente una de las es verdadera, es decir, es falsa si las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas.

LA NEGACIÓN

p ¬ p

0 1

1 0

La negación ¬p es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. En lenguaje natural la expresamos como: No es el caso que po también es falso que p.

Para denotar ¬p se utilizan tambien los símbolos p', ~p, p CONDICIONAL

Si p y q son proposiciones, la proposición compuesta si p entonces q es una proposición condicional, que se nota p → q , se define

¬p∨q

.

p q pq

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Es decir, la HIPÓTESIS expresa una CONDICIÓN SUFICIENTE para la conclusión. La CONCLUSIÓN expresa una CONDICIÓN NECESARIA para la hipótesis.

p es la hipótesis ( o antecedente) y q es la conclusión ( o consecuente). p → q p es una condición suficiente para q

q es una condición necesaria para p.

La proposición p → q puede ser verdadera aunque la proposición q → p sea falsa, la proposición q → p es la recíproca de p → q .

La proposición ¬p → ¬q es la proposición contraria de p → q

La proposición ¬q → ¬p es la contrarrecíproca de p → q, además ¬ p → ¬q ≡ p → q Si la proposición p → q es una tautología (siempre verdadera) decimos que p implica q y se denota p ⇒ q

BICONDICIONAL.

La proposición bicondicional, se nota por p ↔ q , se define p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p)

0 0 1 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

Si la proposición es una tautología se dice que p y q son proposiciones equivalentes y se denota por p ⇔ q.

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ORDEN DE PRIORIDAD DE LOS CONECTIVOS LOGICOS

Se utilizan los paréntisis para indicar el orden en que se aplican los operadores logicos en

una proposición compuesta, para evitar el uso excesivo se definen las prioridades de la

siguiente manera:

i) La negación tiene prioridad sobre los demas opredores. ¬p˄q significa (¬p) ˄ q nunca

se entendera como ¬(p ˄ q)

ii) El operador conjunción tiene prioridad sobre la disyunción, p ˄ q ˅ r significa (p ˄ q)˅r.

iii) Los operadores condicionales son los de menor prioridad, y entre ellos el condicional

(→) tiene prioridad sobre el bocondicional (↔)

ALGUNAS EQUIVALENCIAS LOGICAS Disyunción p ∨ q ≡ ¬(¬ p ∧ ¬q)

Conjunción p ∧ q ≡ ¬(¬ p ∨ ¬q) Condicional p → q ≡ ¬p ∨ q

Bicondicional p ↔ q ≡ ((p → q) ∧ (q → p)) Disyunción exclusiva p ∨ q ≡ ¬( p ↔ q ).

Axiomas y reglas de transformación. ( p ∨ p ) → p q → ( p ∨ q ) ( p ∨ q ) → ( q ∨ p )

( p → q ) → [ ( r ∨ p ) → ( r ∨ q ) ]

LEYES DE LA LÓGICA DE PROPOSICIONES

1) Ley de identidad p → p

p ↔ p. 2) Ley de la doble negación p ↔ ¬¬p.

3) Ley del tercio excluido p ∨ ¬p (siempre es 1). 4) Ley de contradicción ¬ (p ∨ ¬p) ≡ ¬p ∧ p (siempre es 0). 5) Leyes de Morgan ¬ (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)

¬ (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q). 6) Ley de reducción al absurdo [¬p → (q ∧ ¬q)] ↔ p. 7) Ley Contrapositiva p → q ≡ ¬q → ¬ p.

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8) Leyes de conmutación (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) ; (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) (p ↔ q ) ↔ (q ↔ p) 9) Leyes de asociación [(p ∨ q)∨r]↔[p ∨(q ∨r)] [(p∧q)∧r]↔[p∧(q∧r)] [(p↔q )↔r]↔[p↔(q↔r)] 10) Leyes de transposición (p → q) → (¬q → ¬p) (p ↔ q) ↔ (¬q ↔ ¬p) 11) Leyes distributivas [p ∧ ( q ∨ r)]↔[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] [p ∨ ( q ∧ r)]↔[(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] ; [p → ( q ∧ r) ] ↔ [ (p → q) ∧ (p → r) ] [ p → ( q ∨ r) ] ↔ [ (p → q) ∨ (p → r) ] 12) Ley de permutación [ p → ( q → r ) ] ↔ [ q → ( p → r ) ] 13)Ley del silogismo ( p → q ) → [ ( q → r ) → ( p → r ) ] ??? 14) Silogismo hipotético o [(p↔q)∧(q↔r)]→ (p↔r)

Transitividad [(p→ q)∧(q→ r)]→ (p→ r) 15) Leyes de inferencia de la alternativa [ ¬p ∧ ( p ∨ q ) ] → q o de los silogismos disyuntivos [ p ∧ (¬ p ∨ ¬q ) ] → q

16) Ley del dilema constructivo [ ( p ∨ q ) ∧ ( p → r ) ∧ ( q → r ) ] → q

17) Segunda ley del dilema constructivo [ ( ( p → q ) ∧ ( r → s ) ) ∧ ( p ∨ r ) ] → ( q ∨ s ) 18) Ley del dilema destructivo [(¬p ∨ ¬q ) ∧ ( r → p ) ∧ ( s → q ) ] → ( ¬r ∨ ¬s ) 19) Ley de exportación [ ( p ∧ q ) → r ] ↔ [ p → ( q → r ) ]

20) Ley de resolución [ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( p ∧ r ) ] → ( q ∨ r ) 21) Ley del bicondicional ( p ↔ q ) ↔ [ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ] 22) Condicional-disyunción ( p → q ) ↔ ( ¬p ∨ q )

23) Condicional-conjunción ( p → q ) ↔ ¬( p ∧ ¬q ) 24) Leyes de simplificación ( p ∧ q ) → p ; p → ( p ∨ q ) 25) Leyes de expansión ( p → q ) ↔ [ p ↔ ( p ∧ q ) ]

( p → q ) ↔ [ q ↔ ( p ∧ q ) ] 26) Modus ponendo ponens [ ( p → q ) ∧ p ] → q

Figure

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