Unidad 5 – Polinomios II

1 Divisibilidad:

Si el resto de la división P(x) por Q(x) es el polinomio nulo, entonces P(x) es divisible por Q(x) y también por C(x), porque P(x) = Q(x) ▪ C(x)

Valor numérico: es el valor del polinomio que resulta de sustituir las variables por un número.

Por ejemplo si reemplazamos la variable “x” por el número 2 en el polinomio P(x) = 𝑥2 + 2𝑥3 nos quedaría P(2) = 22 _{+ 2▪ 2}3 _{y resolviendo P(2) = 4 + 2 ▪ 8 resulta P(2) = 20}

Raíces de un polinomio:

Las raíces de un polinomio son los valores que lo anulan. En el gráfico nos dice los puntos de corte con el eje x.

En símbolos: a es raíz de P(x) si P(a) = 0

Ejemplo: 2 es raíz de P(x) = 𝑥3 _{– 8 porque P(2) = 2}3 _{– 8}

Actividad 1: Calcular los valores numéricos en cada caso y marcar con un color aquellos que sean raíces del polinomio.

Actividad 2: Indicá cuáles de estos polinomios tienen a 0 como raíz. Explicar cómo podemos hacer para darnos cuenta sin realizar ningún cálculo.

Actividad 3: Buscar las raíces reales de cada polinomio, planteando y resolviendo una ecuación en cada caso. En caso de no tener raíces reales aclararlo.

a)

P(x) = 2𝑥

2 _{– 2 b) P(x) = 𝑥}3 _{+ 8 c) P(x) = 𝑥}2 _{+ 25 d) P(x) = 27𝑥}3 _{+ 64}

Actividad 4:

a) Observar la división y escribir P(x) a partir del cociente y el resto. b) ¿Qué obtenemos si reemplazamos la variable x por la letra a? c) Si el dividendo es P(x) = 𝑥3 _{– 2𝑥}2 _{+ 3 y el divisor es x – 1.}

¿Cuánto vale P(1)? ¿Qué representa? Comprobarlo realizando la división.

2

Teorema del resto

El resto de dividir P(x) por (x – a) es igual a P(a).

Este teorema es muy útil, ya que permite hallar el resto de la división de un polinomio por otros de la forma (x – a) sin tener que realizar la división, es decir, el divisor debe ser un binomio de grado uno y con coeficiente principal uno.

El resto de la división entre P(x)= 𝑥3 – 10 y Q(x)= x + 2 es – 18 porque P(–2)= (−2)3 – 10

Actividad 5: Utilizar el teorema del resto para determinar si P(x) es divisible por Q(x).

a)

P(x) = 2𝑥3 – 3x + 2 Q(x) = x – 2

b)

P(x) = 𝑥2 – 8x – 12 Q(x) = x + 6

c)

P(x) = 2𝑥3 + 2𝑥2 – 5x – 5 Q(x) = x + 1

Actividad 6: Al observar la división, Martín dice que aunque no conozca el polinomio P(x) puede determinar una de sus raíces. Explicar a qué se refiere.

Actividad (para realizar en la casa)

a) Resolvé (𝑥4 + 5𝑥3 + 7x + 3)

: (x + 3) y luego utilizar el teorema del resto para

comprobar si el resto que obtuviste es el correcto.

b) ¿El dividendo es divisible por el divisor? ¿Por qué?

Regla de Ruffini

Es un método de realizar la división de polinomios de una manera sencilla, para ello el divisor debe ser de la forma (x – a), es decir, el divisor debe ser un binomio de grado uno y con coeficiente principal uno.

Actividad 7: Utilizar la regla de Ruffini para determinar el cociente y el resto en cada división. Decir en qué casos el dividendo es divisible por el divisor.

I.

(2𝑥4 _{– 6𝑥}3 _{– 𝑥}2 _{+ 2) : (x – 3) III. (3𝑥}2 _{+ 2x – 1) : (x + 1)}

II. (𝑥

4 – 1

2

𝑥

3 _{– x –} 1

2) : (x – 1) IV. (4𝑥

3 Actividad 8: Completar en cada esquema según corresponda y resolver las divisiones para averiguar el cociente y el resto.

a)

(6

𝑥

3

–

2𝑥

2

+ 4x – 1) : (x _____)

b) (– 2

𝑥

3

+ _______________) : (x + 3)

Cociente: _____________ Resto: _____ Cociente: _______________ Resto: _____

Polinomios expresados como producto

Actividad 9: Marcar con color todas las expresiones equivalentes a P(x) en cada caso.

a)

P(x) =

𝑥

4

+

2𝑥

2

P(x) =

(𝑥

3

+ 2) ▪ x

P(x) =

(𝑥

2

+ 2) ▪

𝑥

2

P(x) =

(𝑥

3

+ 2x) ▪ x

b)

P(x) =

5𝑥

3

–

25𝑥

2

P(x) = – 5x ▪ (– 𝑥

2 _{+ 5x) P(x) = 5x (𝑥}2 _{– 5x) P(x) = 5}

_𝑥

2

_{▪ (x – 5)}

¿Qué significa factorizar? Factorizar un polinomio significa expresar un polinomio como producto de otros polinomios.

¿Cómo se factoriza un polinomio? Hay seis maneras de factorizar un polinomio.  1⁰ caso: Factor común

 2⁰ caso: Factor común en grupos

 3⁰ caso: Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) – (Cuadrado de un binomio)  4⁰ caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto (CCP) – (Cubo de un binomio)  5⁰ caso: Diferencia de Cuadrados

 6⁰ caso: Suma y Resta de Potencia de Igual Exponente (Gauss)

1⁰ caso: Factor común

Es lo contrario de distribuir un factor entre varios sumandos. Es sacar “algo” en común que está en todos los términos del polinomio, puede ser una variable o un número real.

Veamos dos ejemplos: Vamos a factorizar P(x) P(x) = 16

𝑥

3

+ 8

𝑥

2

– 2x + 4

P(x) = 2 ▪ (8

𝑥

3

+ 4

𝑥

2

– x + 2)

4 Vamos a factorizar Q(x)

Q(x) = 6

𝑥

3

+ 9

𝑥

5

– 15

𝑥

2

Q(x) = 3

𝑥

▪ (2

𝑥

2

+ 3

𝑥

4

– 5x)

Actividad 10: Completá para que las expresiones sean equivalentes. a)

5𝑥

3

+ 10

𝑥

2

= _____ ▪ (x + 2)

b)

3𝑥

3

+ 6

𝑥

2

_{– 9x = _____ ▪ (}

_𝑥

2

_{+ 2x – 3)}

Actividad 11: Utilizar factor común para factorizar cada polinomio. a) P(x) = 25x⁴ + 10x³ – 5x²

b) G(x) = 8x⁴ + 2x²

c) J(x) = 6x⁵ + 27x³ – 12x

En el siguiente link, podrán ver cómo se aplica este caso en la factorización de polinomios https://youtu.be/uG1Bune1YUk

Actividades sugeridas: factorizar extrayendo factor común a) 2x3 _{+ 3x –}

_𝑥

2 ₌

b) 4m4 _{– 2m + 3m}3 ₌

c) 6ab – 3ba2 _{+ 12a.b}4 ₌

d) 3 4 x –

1 2 x

2 ₊1 4x

3 ₌

2⁰ caso: Factor común en grupos

Este método es similar al primero, para ello el polinomio debe tener un número par de términos, es decir, debe tener por lo menos 4 términos, separándolo en dos partes.

Veamos un ejemplo: Vamos a factorizar P(x) = 25xy – 10

𝑥

3

+ 15y – 6

𝑥

2

Luego de aplicar el primer caso de factorización por separado nos queda como resultado: P(x) = 5x ▪ (5y – 2

𝑥

2) + 3 ▪ (5y – 2

𝑥

2)

Por último podemos volver a utilizar factor común quedando factorizado el polinomio P(x) P(x) = (5y – 2

𝑥

2) ▪ (5x + 3)

Actividad 12: Utilizar factor común en grupos para factorizar cada polinomio. a) 2ax – ay +5ª + 2bx – by + 5b

b) 3

𝑥

2

+ 3

𝑥

2

𝑎

2

– 4y – 4

𝑎

2

y

5 3⁰ caso: Trinomio cuadrado perfecto

Es cuando hay un trinomio de grado par con dos términos que son cuadrados prefectos y el otro término es igual al doble del producto de sus raíces cuadradas.

Se puede expresar como el cuadrado de un binomio. a² + 2ab + b² = (a + b)²

Veamos un ejemplo: Vamos a factorizar P(x) = 9𝑥2 _{+ 30x + 25}

Actividad 13: En cada caso A(x) es un trinomio cuadrado perfecto que indica el área de un cuadrado en centímetros cuadrados. Escribir cada expresión de manera factorizada. a) A(x) = 𝑥2 + 16x + 64

b) A(x) = 9𝑥2 _{– 6x + 1} c) A(x) = 1

4

+ 4𝑥

2 _{– 2x}

Actividad (para realizar en la casa): En cada caso indicá si es un trinomio cuadrado perfecto. Si lo es, escribí el cuadradado del binomio correspondiente.

a) 4x² + 4x – 1

b) 40x + 16 + 25x²

c) x² + 25 + 5x

6 En el siguiente link, podrán ver cómo se aplica este caso en la factorización de polinomios https://www.youtube.com/watch?v=x6_3rZ1PUAk

Actividades sugeridas:

1) ¿Por qué creen que la expresión (a + b)², se puede considerar un producto? Explicar. 2) Factorizar de la siguiente lista de polinomios, aquéllos que sean factibles de serlo por

el caso “Trinomio cuadrado perfecto”: a) 𝑥2_{+ 3x – 9 =}

b) 𝑥2+ 6x + 9 = c) 4𝑥2

– 8x + 4 =

d) 9

4𝑥

2

_{– 6x + 4 =}

3) En los casos que no fue posible aplicar el caso mencionado, explicar por qué. 5⁰ caso: Diferencia de cuadrados

Es cuando hay una diferencia de dos expresiones elevadas a una potencia par.

Se puede transformar en el producto de la suma de las dos expresiones por su diferencia. a² – b² = (a + b) ▪ (a – b)

Entonces, podemos escribir el polinomio P(x) = 𝑥2 – 4 de manera factorizada como (x + 2) ▪ (x – 2)

Otro ejemplo el polinomio P(x) = – 9𝑥2 _{+ 1 se puede factorizar como (3𝑥}2 _{+ 1) ▪ (–3𝑥}2 _{+ 1)}

Actividad 14: En cada caso A(x) indica el área de un rectángulo en centímetros cuadrados. Escribí cada expresión de manera factorizada.

a) A(x) = 𝑥2

_{– 9}

_{c) A(x) = – 4𝑥}2 _{+ 1} b) A(x) = 𝑥2

– 100

d) A(x) = 16𝑥2

– 49

Actividad (para realizar en la casa): Cuando la expresión sea una diferencia de cuadrados escribirlo de manera factorizada, los que no se pueda explicar por qué. a) 4𝑥2

_{– 81 c)}

1

4 – 𝑥 4

b) 25𝑥4 _{+ 100 d) – 9𝑥}2 _{– 25}

En los siguientes links, podrán ver cómo se aplica este caso en la factorización de polinomios.

7 Responder las siguientes preguntas: ¿Cuántos términos tiene que tener un polinomio para factorizarlo como diferencia de cuadrados? ¿Cómo tienen que ser los signos de esos términos?

Actividades sugeridas:

Aplicar, cuando sea posible, el caso de factorización descripto y en el caso que no sea posible explicar por qué:

a) 3x – 9 =

b) 16x2 _{– 4 =}

c) 25x4 _{– 𝑥}2 ₌

d) 4 9

x

6 _{– 9 =}

Teorema de Gauss

Este teorema permite buscar las posibles raíces racionales del polinomio con esas características.

Sea p el número que divide al término independiente y q el número que divide al coeficiente

principal entonces las posibles raíces son de la forma 𝑝 𝑞

.

Para averiguar cuáles si son raíces y cuales no se debe evaluar P(𝑝 𝑞).

Actividad 15: a) Completar la tabla

Polinomio Posibles raíces

P(x) = x³ – 7x + 6

Q(x) =

𝑥

4

– 5

𝑥

2

+ 4

T(x) =

𝑥

3

–

𝑥

2

– 8x+ 12