La gráfica como una herramienta de modelación: una propuesta didáctica para la comprensión de la función cuadrática en estudiantes de enseñanza media

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(1)Facultad de Educación Departamento de Pedagogías Medias y Didácticas Específicas Programa de Magíster en Didáctica de la Matemática. “La gráfica como una herramienta de modelación: una propuesta didáctica para la comprensión de la función cuadrática en estudiantes de enseñanza media”. Informe de trabajo final para optar al grado de Magíster en Didáctica de la Matemática Francia Andrea Jáuregui Quezada Profesor Guía: Dr. Marcos Barra Becerra Profesor Informante: Mg. Miguel Díaz Flores. Santiago, Chile 2016.

(2) Dedicatoria A toda mi familia, en especial a mis dos amores, mi hijo Danilo y a mi esposo Danilo Passi, gracias por su ayuda, comprensión y paciencia en estos años de estudio.. 2.

(3) Agradecimientos En primer lugar, doy gracias a Dios por acompañarme a mí y a mi familia en cada momento de la vida. A toda mi familia, a mis padres, en especial a mi madre Isabel y a mi hermana Fanny. De igual manera agradezco el apoyo incondicional de mi esposo e hijo. A mis amigos Leticia, José y Cecilia por darme la fuerza para continuar y terminar este proyecto. Al Liceo Laura Vicuña y en especial a las niñas que aceptaron llevar a cabo la propuesta didáctica con mucha dedicación. A mis estudiantes de 4º Medio F del Liceo Ciencia y Tecnología que colaboraron con las actividades anteriores de los diferentes ramos del magister. También agradezco a todos los profesores del magister por compartir sus conocimientos y experiencias, las que fueron fundamentales para crecer profesionalmente. Finalmente, agradezco a mi director de tesis Dr. Marcos Barra Becerra por compartir sus conocimientos y haber sido un excelente guía en este proceso. A él le doy las gracias por su paciencia, su tiempo, sus recomendaciones, motivación y exigencia lo que me permitió concluir esta última etapa.. 3.

(4) TABLA DE CONTENIDO Página RESUMEN. 06. INTRODUCCIÓN. 07. CAPÍTULO I ANTECEDENTES Y PROBLEMÁTICA. 10. 1.1 Análisis conceptual de la parábola. 10. 1.2. La noción de parábola en la enseñanza. 13. 1.3. La gráfica para modelar situaciones relacionadas con la función cuadrática 15 1.4 Presencia en el Currículo Nacional. 17. 1.5 Antecedentes de mediciones nacionales (PSU). 19. 1.6 Descripción del contenido en los textos escolares. 20. 1.7 Problemática de Investigación. 25. 1.8 Objetivos de la investigación. 25. CAPÍTULO II MARCO REFERENCIAL: LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA 2.1 La Educación Matemática Realista. 28. 2.2 Aportes de otras investigaciones con sustento teórico en la Educación Matemática Realista 34 CAPÍTULO III Marco Metodológico 3.1 Marco Metodológico de Investigación. 37. 3.1.1. Etapa de Observación. 38 4.

(5) 3.1.2. Concepciones de las estudiantes. 38. 3.2. Etapa de Diseño. 40. 3.3. Diseño de la Propuesta Didáctica. 41. 3.3.1. Descripción de la muestra. 41. 3.3.2. Propuesta Didáctica. 42. 3.4. Metodología de Análisis de Datos. 43. CAPÍTULO IV ANÁLISIS DE DATOS Y CONCLUSIONES 4.1 Descripción del momento. 47. 4.2 Análisis de las respuestas de cada uno de los grupos. 47. 4.3 Análisis general. 79. 4.4 Conclusiones. 86. 4.5 Consideraciones finales. 88. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 90. ANEXO I. 96. ANEXO II. 101. ANEXO III. 111. 5.

(6) Resumen En este trabajo de investigación presentamos un estudio sobre la función cuadrática, orientado a modelar situaciones que permitan que los estudiantes de educación secundaria hagan uso de la graficación para responder al fenómeno que enfrentan, entendiendo a la graficación como una herramienta que facilita la construcción de la conceptualización de la función cuadrática. Para realizar este estudio se analizaron diferentes antecedentes desde la historia de la función cuadrática como también de los aspectos epistemológicos de la misma. Dichos antecedentes nos permitieron identificar las dificultades que existen en el proceso de enseñanzaaprendizaje con respecto a que los estudiantes logren resolver situaciones cotidianas utilizando la gráfica de la función cuadrática. El marco referencial La Educación Matemática Realista de Hans Freudenthal, es el que da sustento a nuestra investigación, considerando los elementos relevantes de dicha teoría tanto para el diseño de la propuesta didáctica como para el análisis de los datos. La metodología de investigación es cualitativa y descriptiva, ya que nos permite analizar e interpretar los datos recogidos desde la experimentación y observación de las actividades realizadas por las alumnas en el aula. En este trabajo se analizaron las dificultades que presentaban los estudiantes con respecto al aprendizaje de dicha función, considerando además diferentes antecedentes y la Educación Matemática Realista, diseñamos una propuesta didáctica basada en diferentes situaciones cotidianas para que las estudiantes establecieran posibles soluciones, que nos dieron evidencias para establecer sí construyeron el concepto de función cuadrática.. 6.

(7) Introducción En este trabajo de investigación se presentará un estudio sobre la función cuadrática, orientado a modelar situaciones cotidianas que permitan que los estudiantes hagan uso de la graficación para responder al fenómeno que enfrentan, entendiendo a la gráfica como una herramienta que facilita la construcción de la conceptualización de la función cuadrática. Este estudio se llevó a cabo en educación media, específicamente con estudiantes de tercero medio de un colegio particular subvencionado. Durante la enseñanza y aprendizaje de la matemática tenemos una red de habilidades que se deben desarrollar, siendo una de ellas la de modelar que está presente desde la educación básica hasta la educación media, aumentando su complejidad según el nivel. En Chile se considera que modelar es “construir un modelo físico o abstracto que capture parte de las características de una realidad para poder estudiarla, modificarla y/o poder evaluarla; asimismo, ese modelo permite buscar soluciones, aplicarlas a otras realidades (objetos, fenómenos, situaciones, etc.) estimar, comparar impactos y representar relaciones” (MINEDUC, 2015). Esta habilidad fue considerada en la propuesta didáctica, ya que en las diferentes situaciones los estudiantes deben construir un modelo gráfico o hacer uso de éste, que les permita comprender las características o propiedades principales de la función cuadrática. Considerando que nuestro trabajo es potenciar que los estudiantes desde un contexto cotidiano puedan comprender el concepto de función cuadrática mediante su gráfica, entonces, como planteamos anteriormente utilizamos la habilidad de modelar en este estudio, pero más centrada en la matematización que plantea Freudenthal (1991), la cual dice que los estudiantes dan valor al aprendizaje de la matemática cuando están conectadas con la realidad que ellos experimentan y que la matematización horizontal es la que permite que el estudiante transite del mundo real al de los símbolos, es decir, es una forma de modelar situaciones. Lo anterior da cuenta de lo relevante del marco teórico en este estudio, La Educación Matemática Realista, ya que es una teoría de aprendizaje basada en la importancia de conectar la matemática con la realidad de los estudiantes. Como bien lo plantea (Freudenthal, 1973) La matemática es una actividad de resolución de problemas, de reconocer (o de encontrar) problemas, pero es también una actividad de organización de una disciplina. Esta actividad puede dirigirse a considerar un fragmento de la realidad que invita a ser organizado con patrones matemáticos o un asunto matemático: resultados nuevos o viejos, nuestros o ajenos, que requieran ser organizados de acuerdo 7.

(8) con nuevas ideas, ser mejor entendidos, elaborados en contextos más amplios o desde un abordaje axiomático. Por lo tanto, estos elementos nos permitieron elaborar una propuesta cuyo objetivo es aminorar las dificultades que nuestros estudiantes tienen en el aula para construir el concepto de función cuadrática. En el Capítulo I se presenta la función cuadrática desde los aspectos históricos y epistemológicos, además de diferentes antecedentes que avalan que las dificultades que enfrentamos hoy en día en la construcción y comprensión de dicha función tiene un sustento teórico. En el Capítulo II se describe los conceptos fundamentales del marco referencial y cómo estos conceptos se relacionan con el objeto matemático en estudio, además de determinar cuáles de ellos se consideraran para el análisis de los datos. En el Capítulo III se fundamenta por qué, es una metodología de investigación cualitativa y descriptiva, además de los elementos que se consideraron para realizar la propuesta didáctica, finalizando con la descripción detallada de su diseño. En el Capítulo IV se presenta un exhaustivo análisis de los datos recogidos y las conclusiones finales de nuestro trabajo de investigación.. 8.

(9) Capítulo I Antecedentes y Problemática. 9.

(10) 1. Antecedentes y Problemática de Investigación 1.1.. Análisis conceptual de la parábola.. El desarrollo epistemológico e histórico de la función Cuadrática nos permite conocer su proceso de construcción. Como todo concepto surge a través del tiempo y se va formalizando. Para comprender la construcción de este concepto es necesario revisar previamente como emerge el concepto de Función. El concepto de función surge de los aportes de diferentes civilizaciones. A los babilónicos y egipcios se les atribuye la idea de dependencia entre variables y específicamente los babilónicos escribieron diferentes tablas que representaban relaciones entre magnitudes. Un ejemplo de tablilla babilónica es la que se muestra a continuación (imagen 1), que permitía calcular los inversos de los números sexagesimales regulares entre 2 y 81.. Imagen 1: ejemplo de tabilla babilónica. Posteriormente, los griegos también aportaron a la noción de dependencia entre variables, específicamente Arquímedes. Los Árabes sentaron las bases del álgebra y tenían tablas para seno, coseno, secante, cosecante, tangente y cotangente. En Europa, en el período del Renacimiento los aportes de Cardano y Viéte al concepto de función fueron generar símbolos para representar objetos matemáticos. Durante los siglos XVII y XVIII, Descartes introduce el sistema de coordenadas y Fermat las ecuaciones para representar ciertas curvas. En los siguientes siglos prosigue el avance de la formalización del concepto con las aportaciones de Newton, Leibniz, Bernoulli, Euler, Cauchy, Lobachevsky, Dirichlet, Riemann y Lagrange, pero es en el Siglo XIX cuando Dirichlet da una definición satisfactoria de función, acercándose al actual concepto de función que conocemos hoy en día. 10.

(11) La Función Cuadrática El concepto de función cuadrática surge con los aportes de Galileo Galilei (1564-1642), como lo plantea Vivas (2010), “Con Galileo se inaugura un gran momento para la consolidación del concepto función cuadrática, estableciendo la ruptura en la concepción de parábola como figura para ser considerada como el resultado del comportamiento de algunas variables. Afirma que la parábola es un punto en movimiento por lo cual podría pensarse a las cónicas como objetos matemáticos que, en relación con el movimiento, permite identificarlas como el producto de la trayectoria de un cuerpo que se mueve de acuerdo a una ley, a un patrón o a una causa. Por lo tanto la gráfica se construye de acuerdo con la relación de la variación entre las cantidades. Así, por ejemplo, una gráfica de caída libre no puede comprenderse como la vertical respecto a la horizontal, sino que ésta debe considerar las variables en juego, en una relación de dependencia que las determina.” Así mismo, otro aporte de Galileo es el uso de fórmulas para relacionar ciertas cantidades que permiten representar las relaciones entre determinadas variables y algún fenómeno. Luego, uno de los principales hitos históricos es el descubrimiento de las secciones cónicas que podemos atribuirle a Menecmo, aunque no se conoce con exactitud cuando se descubrieron las cónicas, una de las primeras civilizaciones en las cuales aparecen como soluciones a problemas es en la antigua Grecia. En Grecia, Hipócrates fue el primero en esbozar una idea de función cuadrática, cuando plantea la solución al problema de la duplicación del cubo o la cuadratura del círculo, una interpretación de esta idea la aporta Kline (1992): “Hipócrates debió haber razonado con base en la geometría, en particular en las secciones cónicas, este razonamiento remite a la geometría analítica que permite ver que “x” e “y” son las coordenadas del punto de intersección de dos parábolas o de una parábola y de una hipérbola”. Además, en el año 260 A.C Apolonio realiza un tratado de las secciones cónicas basado en estudios de Euclides, Platón y Arquímedes, entre otros. Apolonio nombra a la Parábola refiriéndose a una superficie de la forma 𝑦 = 𝑥 2 que está relacionada con el área. Al respecto Pappus agrega la 11.

(12) propiedad, que Kline (1992) define como: “el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias desde un punto fijo (foco) y desde una línea fija (directriz) están en razón constante es una cónica". Asimismo De La Torre (1997), citado en Mesa (2008), expresa: “En las cónicas, Apolonio desarrolla exhaustivamente la teoría: estudia los ejes, los centros, los diámetros, las asíntotas y las cuerdas conjugadas. Según anota Rouse Ball, sólo se le escapó la idea de la directriz y no se percató del foco de la parábola; sin embargo en los tres primeros libros de su tratado están contenidas la mayor parte de las proposiciones que se encuentran en los textos modernos”. Posteriormente, en el siglo XVII se plantea que las secciones cónicas fue uno de los pasos más importantes para relacionar lo algebraico con lo geométrico con respecto a la cuadratura como también relacionar la gráfica de una ecuación con los puntos generados por la expresión, aportes que fueron realizados por Viéte, Fermat y Descartes. Más tarde, en los siguientes siglos la formalización de la función cuadrática se generaliza hasta establecer el concepto actual que estudiamos hoy en día.. 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0; 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ Esta notación es la que simboliza a cualquier función cuadrática y algunas de sus propiedades son: Las gráficas que las representan son parábolas. El valor del parámetro 𝑎 determina la amplitud de la parábola. Si 𝑎 es positivo la parábola se abre hacia arriba y si es negativo se abre hacia abajo. El coeficiente 𝑐 determina la segunda coordenada del punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas En cuanto a la gráfica de la función cuadrática está dada por la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥), que se define como el lugar geométrico de los puntos (x, y) cuyas coordenadas cumplen con la ecuación. Así pues, para graficar la función cuadrática en el plano cartesiano debemos determinar la concavidad de la parábola, la intersección con los ejes X e Y, el vértice y el eje de simetría. Además, podemos analizar con respecto a la 12.

(13) gráfica el dominio y recorrido de la función, junto con determinar máximos o mínimos de dicha función. Un ejemplo de la representación gráfica de la función cuadrática en el plano cartesiano es la imagen que se muestra a continuación (imagen 2):. Imagen 2: representación gráfica de la función cuadrática en el plano cartesiano. En definitiva, todos estos antecedentes nos permitieron identificar qué elementos son fundamentales en la enseñanza del concepto función cuadrática en la educación secundaria. En conclusión, el conocimiento histórico y epistemológico de la noción en estudio, nos permitió evidenciar que el concepto matemático ha surgido desde la necesidad del hombre y por ende han transcurrido siglos para lograr formalizar dicho concepto, por lo tanto, debemos tener esto en cuenta cuando presentamos a nuestros estudiantes la noción de función cuadrática y dar a conocer que no es un concepto nacido y acabado por los científicos matemáticos, sino más bien, es una noción que ha sido perfeccionada a través de la historia. 1.2. La noción de parábola en la enseñanza Durante la enseñanza de la parábola constatamos diferentes dificultades, al respecto González (2004), establece que “los estudiantes tienen dificultad para asociar la expresión algebraica de una función a partir de su gráfica, no sólo no identificando correctamente sus coeficientes sino incluso confundiendo el tipo de función que están analizando”. También (Díaz, 2013), plantea que “otra dificultad es articular representaciones en el caso de la función cuadrática, incluso se manifiestan en todas las variables en juego. 13.

(14) Una de las más notorias resultó la relación entre el coeficiente del término lineal con la posición del eje de la parábola. Asimismo fue claro que los alumnos no acertaron a establecer el coeficiente del término cuadrático mediante la información visual contenida en la gráfica”. Así mismo, Huapaya (2012), afirma que “los estudiantes tienen dificultades para interpretar situaciones representadas por la función cuadrática, no interpretan ni modelan dichas situaciones”. De la misma forma, en Insuasty (2004, citado por Insuasty, 2014) se afirma que los estudiantes tienen dificultades con respecto a la función cuadrática, ya que no manejan el concepto de función previamente y tampoco comprenden cómo afectan los parámetros de la función cuadrática a la gráfica de dicha función. Todo esto evidencia dificultades en el aprendizaje del concepto función cuadrática, dado que adquirir conceptos en nuestra disciplina requiere una abstracción mayor que en la vida cotidiana (Alemany, 2007). Para lograr la aprehensión conceptual es importante visualizar diferentes gráficas de la función cuadrática y reconocer sus características particulares como primer encuentro con la noción, ya que potenciar la habilidad de visualización en los estudiantes favorece la comprensión del concepto. Al respecto (Zimmermann, 1990) afirma que: “Conceptualmente, el papel del pensamiento visual es tan fundamental para el aprendizaje del cálculo que es difícil imaginar un curso exitoso de cálculo que no enfatice los elementos visuales del tema. Esto es especialmente verdad si el curso tiene la intención de promover un entendimiento conceptual, el cual es ampliamente reconocido como carente en la mayoría de los cursos de cálculo como es actualmente enseñado. La manipulación algebraica ha sido enfatizada en demasía y en el proceso el espíritu del cálculo se ha perdido”. Por lo tanto, estos antecedentes sobre las dificultades de los estudiantes con respecto a la comprensión de los parámetros de la función cuadrática y qué representan en su gráfica o cómo resolver una situación cotidiana utilizando dicha función, nos aportaron a la construcción de la propuesta didáctica en qué elementos tenemos que considerar para aminorar las falencias y lograr potenciar los conceptos que son fundamentales como sus características o propiedades y que puedan a través del análisis de las situaciones contextualizadas o de su gráfica conceptualizar el concepto de función cuadrática.. 14.

(15) 1.3. La gráfica para modelar situaciones relacionadas con la función cuadrática La graficación al igual que modelar favorecen la comprensión de conceptos matemáticos, entonces, durante la educación secundaria “tiene que ser algo más robusto que una representación o una aplicación matemática”, debe fomentar que se construya “de acuerdo con las operaciones que los estudiantes son capaces de hacer, con las condiciones que ellos son capaces de capturar y transformar y con los conceptos que van construyendo progresivamente”, Cordero (2004). Entonces, hacer uso de la gráfica en la modelación de situaciones fomenta la compresión de conceptos, pero este proceso no es irreflexivo, requiere de tiempo, como bien afirma (Villa, 2007), que: “la construcción de un modelo no se hace de manera automática ni inmediata, por el contrario, requiere de cierto período de tiempo en el cual el modelador pone en juego sus conocimientos matemáticos, el conocimiento del contexto y de la situación y sus habilidades para describir, establecer y representar las relaciones existentes entre las "cantidades", de tal manera que se pueda construir un nuevo objeto matemático”. Por lo tanto, diseñar situaciones que utilicen la gráfica de la función cuadrática para que el estudiante analice y extraiga conclusiones es necesario para que modele la función. Un ejemplo de lo expresado lo encontramos en la investigación de Benítez (2008) que da cuenta de la importancia de representar de diferentes formas la función cuadrática y en su estudio presenta diferentes actividades basadas en visualizar la función cuadrática y determinar cómo esto aporta a su comprensión y modelación. Una de las actividades de esta investigación es la que se muestra a continuación (imagen 3):. Imagen 3: ejemplo de una actividad de la investigación de Benítez (2008) 15.

(16) En esta actividad se espera que los estudiantes construyan la expresión algebraica que representan las dos parábolas. Esta transformación requiere del análisis de la función cuadrática, por lo tanto, implica que el estudiante moviliza sus conocimientos matemáticos fomentando la comprensión de dicha función. Luego de revisar los aportes de hacer uso de la gráfica para modelar situaciones, definiremos lo que en este estudio entenderemos por modelar. Con respecto a modelar, consideramos lo que se plantea en Bressan (2005), “El uso de modelos en la Educación Matemática Realista dista del concepto generalizado de modelización matemática, como traducción de situaciones problemáticas a expresiones matemáticas que pueden funcionar como modelos. En esta corriente, el modelo es el resultado de organizar una actividad por parte del sujeto, sosteniendo una profunda implicación constitutiva entre modelo y situación (Gravemeijer, 2002). En la Educación Matemática Realista se respetan los modelos que surgen de los propios alumnos y se acercan otros inspirados en las estrategias informales, ya sean utilizadas por los estudiantes, ya sea que aparecen en la historia de la matemática (estudiados a partir de la fenomenología didáctica)”. Aunque, más centrado en la que dice Freudenthal (1991), citado por Bressan (2004), “El modelo es simplemente un intermediario, a menudo indispensable, a través del cual una realidad o teoría compleja es idealizada o simplificada a fines de volverla susceptible de un tratamiento matemático formal” Por lo tanto, al considerar estas acepciones serán válidas las justificaciones, explicaciones o procedimientos por parte de los estudiantes desde una matemática informal o formal para dar respuestas a las diferentes situaciones propuestas, que den evidencia que comprendieron y construyeron el concepto de función cuadrática. En resumen, los antecedentes nos permitieron identificar que los estudiantes tienen dificultad para reconocer cómo influyen los diferentes parámetros en la gráfica de la función cuadrática, cómo reconocer la función cuadrática en las diferentes situaciones contextualizadas y específicamente cómo a través de la gráfica de la función cuadrática implícita o explícitamente en situaciones contextualizadas reconocer sus características o propiedades como por ejemplo identificar el vértice, la concavidad o la intersección con los ejes cartesianos entre otros.. 16.

(17) 1.4 Presencia en el Currículo Nacional En Chile, en matemática durante la enseñanza escolar se ha incorporado la enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática en tercero medio, como se evidencia en los planes y programas de matemática del currículo nacional (imagen 4). Programa de estudio de tercero medio, actualización 2009, Mineduc.. Imagen 4: planes y programas de tercero medio. En nuestro trabajo de investigación, consideramos en el diseño de la propuesta didáctica los siguientes aprendizajes esperados: AE07, AE08 y AE09. Específicamente, determinar que situaciones se pueden modelar con la función cuadrática, representar valores (x, y) de la función cuadrática en el plano cartesiano, determinar las intersecciones de la gráfica de la función con el eje X (ceros de la función), utilizar modelos dados de función cuadrática para resolver problemas relativos a situaciones de cambio cuadrático y elaborar modelos para resolver problemas relativos a situaciones de cambio cuadrático. 17.

(18) Así mismo, el ministerio de educación propone algunas actividades que permiten desarrollar los aprendizajes esperados para la enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática, algunas de ellas son las que se muestran a continuación (imagen 5):. Imagen 5: actividades propuestas en los planes y programas de tercero medio. (Documentos oficiales vigentes, para la E. Básica, E. Media y Formación Técnico-Profesional. Programas de Estudio 3º y 4º Medio correspondientes a la actualización 2009).. Con respecto a las actividades propuestas, en general, se pide una mayor reflexión para resolver dichas actividades, pero no permiten que el estudiante desde una situación en contexto descubra el contenido que se desea enseñar, el estudiante no participa en el proceso de aprendizaje activamente, más bien es un receptor pasivo que debe memorizar pasos para graficar la función cuadrática. Entonces, en nuestro trabajo queremos fomentar que el estudiante tenga un rol activo en su aprendizaje, por ende, en el desarrollo de las actividades, como dice Freudenthal (1983) “Las cosas están al revés si se parte de enseñar el resultado de una actividad más que de enseñar la actividad misma”. Después de revisar los planes y programas de tercero medio con respecto a la función cuadrática, debemos considerar la importancia que tiene dicha función en las mediciones nacionales, siendo una de las más importantes la Prueba de Selección Universitaria (P.S.U.).. 18.

(19) 1.5 Antecedentes de mediciones nacionales (PSU) En esta medición la función cuadrática se encuentra en el área temática de las funciones, como se muestra a continuación: Área Temática: Funciones Objetivos Fundamentales Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean funciones cuadráticas. Contenidos Mínimos Obligatorios Representación y análisis gráfico de la función f(x) = ax² + bx + c, para distintos valores de a, b y c. Discusión de las condiciones que debe cumplir la función cuadrática para que su gráfica intersecte el eje x (ceros de la función). Análisis de las variaciones de la gráfica de la función cuadrática a partir de la modificación de los parámetros. Modelamiento de situaciones o fenómenos asociados a funciones cuadráticas.. Para medir los contenidos mínimos correspondiente a la función cuadrática tenemos por ejemplo las siguientes preguntas: (Información extraída del sitio web psu.demre.cl) PREGUNTA 34 En los rectángulos en que el largo (x) es igual al doble del ancho, el área de ellos en función del largo es: A). (2x)². B). 2x². C). 1 4. 𝑥2. D). x². E). 1 2 𝑥 2. PREGUNTA 79 El gráfico de la función f(x) = x² - qx – 3 determinar el valor de q, si se sabe que:. es una parábola. Se puede. 19.

(20) (1) El gráfico de la parábola intersecta al eje x en el punto (-1, 0). (2) Su vértice es el punto (1, -4). A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Estos ejemplos nos permitieron establecer que el contenido es evaluado requiriendo que los estudiantes logren aplicar y analizar los parámetros y propiedades de la función cuadrática, por lo tanto, su enseñanza no se puede limitar a recordar fórmulas y resolver ejercicios mecánicamente, muy por el contrario, se debe lograr que conceptualicen dicha función. Considerando lo anterior, tener los resultados estadísticos de las estudiantes del establecimiento educacional en el cual se llevó a cabo nuestro trabajo de investigación, es una información que aportó para conocer el nivel académico de las alumnas. El estudio se llevó a cabo en el Liceo Laura Vicuña, de procedencia particular subvencionada, nivel socioeconómico medio alto e imparte enseñanza básica y media (ver anexo III). Resultados Año 2014 2015. Promedio P.S.U. Matemática 510,49 517,1. 1.6 Descripción del contenido en los textos escolares 1.6.1. En el texto del estudiante de 3º Medio de Matemática, de Saiz & Blumenthal, distribuido por el ministerio de educación año 2012, primero se presenta una situación, luego se escribe la función cuadrática que la modela y posteriormente se explica la parábola (imagen 6). Continúa mostrando la gráfica de una función cuadrática en el plano cartesiano ubicando los puntos dados en una tabla (imagen 7). En las siguientes páginas se va explicando la concavidad (imagen 8), la pertenencia de puntos, la intersección con los ejes, el vértice y el eje de simetría. Posteriormente, se plantean ejercicios en los cuales deben utilizar los contenidos entregados para encontrar la solución. Finalmente se pide a los 20.

(21) estudiantes que resuelvan situaciones dada la gráfica de la función o dentro de la misma situación se específica la función cuadrática y deben responder preguntas utilizando la función dada, terminando la actividad con una situación que los estudiantes deben modelar (imagen 9). Imagen 6: definición de la parábola (pág. Imagen 7: gráfica de la función 99). cuadrática dado los puntos en una tabla (pág. 100).. Imagen 8: Concavidad de la parábola Imagen 9: Actividades para el (pág. 103). estudiante (pág. 135).. 21.

(22) 1.6.2. En el texto de matemática de 3º medio, de Álvarez, Romero & Vallejos, de la editorial Santillana, año 2001, se presentan diferentes imágenes de la función cuadrática, luego una situación donde utilizan una función cuadrática y el alumno(a) debe responder dos preguntas, posteriormente en la actividad el estudiante debe completar una tabla y graficar en el plano cartesiano los puntos encontrados, luego debe contestar otras preguntas (imagen 10). En las siguientes páginas se explica la simetría, el crecimiento de una función cuadrática, la concavidad de la parábola (imagen 11), la construcción de la función cuadrática, el desplazamiento, el discriminante, máximos y mínimos, cada uno de los contenidos con situaciones asociadas y ejemplos resueltos. Finalmente en la evaluación presenta preguntas con alternativa de todo el contenido y algunas situaciones, un par de ellas piden modelar la función cuadrática (imagen 12). Imagen 10: presentación de la función Imagen 11: concavidad de cuadrática (pág. 71). función cuadrática (pág. 74).. Imagen 12: evaluación cuadrática (pág. 87).. de. la. función. 22. la.

(23) 1.6.3. En el texto de Álgebra, de Carreño & Cruz, de la Editorial Arrayan del año 2002, se presenta la definición de función cuadrática y sus diferentes gráficas (Imagen 13), se explica la concavidad, intersección con ejes, vértice, dominio y recorrido de la función (Imagen 14). Posteriormente se dan diferentes ejemplos (Imagen 15) y una lista de ejercicios (Imagen 16) que el estudiante debe resolver, terminando con el solucionario de los ejercicios. En este texto no se encuentran situaciones contextualizadas que los estudiantes deban resolver haciendo uso de la función cuadrática. Imagen 13: definición de la función Imagen 14: vértice, dominio cuadrática (pág. 240). y recorrido de la función (pág. 241).. Imagen 15: ejemplos de ejercicios Imagen 16: ejercicios de función resueltos (pág. 242). cuadrática (pág. 244).. 23.

(24) 1.6.4. En el texto de matemática de 3º medio, de González & Soto, de la Editorial Mare Nostrum del año 2006, se define la función cuadrática y se nombra a la curva que la representa como parábola. Se presenta una tabla y su gráfica (Imagen 17). Se muestran diferentes gráficas para determinar desplazamientos, máximos y mínimos (Imagen 18), luego se presenta la fórmula del vértice (Imagen 19), concluyendo con ejercicios en los cuales el estudiante debe graficar y hallar el vértice (Imagen 20). Imagen 17: gráfica de la función Imagen 18: máximos y mínimos de la cuadrática (pág. 88). función cuadrática (pág. 89).. Imagen 19: fórmula del vértice de Imagen 20: ejercicios para el estudiante la función cuadrática (pág. 91). (pág. 91).. Al describir la propuesta de cómo se enseña la función cuadrática en los diferentes textos escolares, se establece que consiste en dar a conocer todos los elementos necesarios para poder graficar, luego dar ejercicios para ser graficados y sólo en dos libros se pide resolver situaciones utilizando la función cuadrática. Por lo tanto, revisar estos textos, nos dio información para el diseño de la propuesta didáctica, ya que las situaciones contextualizadas deben permitir a los estudiantes desde la experimentación, modelar las situaciones haciendo uso de la gráfica y así logren reconceptualizar la función cuadrática. 24.

(25) 1.7 Problemática de Investigación Considerando todos los antecedentes expuestos anteriormente, se evidencia que los estudiantes de enseñanza media tienen dificultades para construir y comprender el concepto de función cuadrática, su representación gráfica e identificar dicha función en contextos reales. Esto se refleja en las diferentes investigaciones mencionadas, en las cuales los estudiantes al ser enfrentados a las distintas actividades no logran dar solución a una situación que involucra dicha función. Un ejemplo de esto, es la investigación de Huapaya (2012), donde concluye que los estudiantes no modelan ni interpretan diferentes situaciones haciendo uso de la función cuadrática. Lo anterior denota la falta de herramientas para resolver situaciones contextualizadas. Entonces, es necesario que las dificultades que tienen los estudiantes para reconocer, identificar, relacionar, modelar, entre otras, el contenido matemático con respecto a la función cuadrática que está presente en las diferentes situaciones contextualizadas, se minimicen, a través de generar actividades en contextos reales que permitan al estudiante movilizar sus conocimientos. Por lo tanto, es pertinente diseñar una propuesta didáctica para lograr que los estudiantes justifiquen sus procedimientos y den respuestas a las situaciones evidenciando que han sido capaces de reconceptualizar el concepto de función cuadrática a través de un proceso progresivo de matematización. Entonces, nuestro trabajo pone énfasis en qué herramientas es necesario desarrollar en los estudiantes para qué logren construir y comprender la función cuadrática y sean capaces de modelar diferentes situaciones utilizando dicha función. Preguntas de Investigación En relación a todo lo planteado surgen entonces las siguientes interrogantes ¿Modelar situaciones en contexto permiten al estudiante construir y comprender la función cuadrática?, ¿es la graficación un proceso que aporta al desarrollo de habilidades matemáticas y, específicamente, a modelar situaciones relacionadas a la función cuadrática? 1.8 Objetivos de la investigación Objetivo General Construir el concepto de función cuadrática, a través de situaciones en contexto real de los estudiantes, que promueven el uso de la graficación como la herramienta que modela y permite el proceso de matematización para dicho concepto. 25.

(26) Objetivos Específicos 1.- Analizar, a través de situaciones experimentales, las concepciones de los estudiantes con respecto a modelar y graficar funciones. 2.- Aplicar situaciones en contexto real de la función cuadrática, en las cuales el estudiante aplique sus propios conocimientos para responder a los fenómenos que enfrenta. 3.- Identificar los conceptos que emergen de los estudiantes, sus explicaciones y justificaciones que realizan para responder las situaciones propuestas. 4.- Identificar, desde las construcciones del modelo gráfico y en las situaciones que presenten los estudiantes, la construcción del concepto de función cuadrática.. 26.

(27) Capítulo II Marco Referencial. 27.

(28) 2.1 La Educación Matemática Realista (EMR) Hans Freudenthal El profesor Freudenthal, pertenece a la generación de grandes educadores universitarios que han protagonizado cambios a partir de la segunda guerra mundial. En el campo de la Educación Matemática es el creador de la Fenomenología Didáctica, teoría que, sobre la base del análisis epistemológico de los conceptos matemáticos, obtiene implicaciones para su aprendizaje y permite establecer secuencias didácticas que contribuyen a la adquisición de esos conceptos. La influencia del profesor Freudenthal en el campo de la educación matemática es considerable. No puede entenderse la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en Europa durante los últimos 50 años sin tener en cuenta sus contribuciones y participación. Se desempeñó en diferentes funciones en distintas universidades y sociedades matemáticas. El profesor Freudenthal es Doctor Honoris Causa por las Universidades de Humboldt de Berlín, Erlangen, Libre de Bruselas, York de Toronto y Ámsterdam. Su participación en el Programa de Doctorado de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, junto con su prestigioso valor científico avala la concesión del Doctorado Honoris Causa por la Universidad de Granada. Una de las frases importantes de Freudenthal es “Hacer matemáticas en la clase de matemáticas”. Las oposiciones que Freudenthal presentaba a la psicología y a la didáctica de la época se fundamentaban en su conocimiento profundo de la disciplina matemática, su interés por su aprendizaje y su experiencia en el aula. Para Freudenthal el aprendizaje presenta discontinuidades, es decir, saltos repentinos de reinvención y va de estructuras complejas y ricas del mundo real a las más generales, abstracto y formal de la matemática. También, presentaba diferencias con Piaget con respecto al desarrollo psicológico y la relación que establece con el aprendizaje de la matemática, Freudenthal opinaba que las mismas están relacionadas no con el desarrollo cognoscitivo sino con el lingüístico, Freudenthal (1982). Igualmente criticaba la investigación empirista – estadística, focalizada en metodologías cuya fuerza consiste en “conocer todo acerca de investigación, pero nada acerca de educación”. 28.

(29) La Educación Matemática Realista La EMR no pretende ser una teoría general del aprendizaje (como lo es por ejemplo el constructivismo), sino que es más bien una teoría global (una filosofía según Freudenthal), se caracteriza por un conjunto de teorías locales de enseñanza de tópicos de la matemática y se basa en las siguientes ideas centrales.  Pensar la matemática como una actividad humana, lo que se denomina matematización. Heuvel-Panhuizen (2003), dice “para Freudenthal las matemáticas no eran el cuerpo del conocimientos matemáticos, sino la actividad de resolver problemas y buscar problemas y, en términos más generales, la actividad de organizar la disciplina a partir de la realidad o de la matemática misma, a lo que llamó matematización.  Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos niveles donde los contextos y los modelos poseen un papel relevante, ese desarrollo se lleva a cabo por el proceso didáctico denominado reinvención guiada, en un ambiente de heterogeneidad cognitiva. El profesor tiene un rol bien definido como mediador entre los estudiantes y las situaciones contextualizadas.  Desde el punto de vista curricular, la reinvención guiada de la matemática en tanto a la actividad de matematización, requiere de la fenomenología didáctica como metodología de investigación, esto es la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados matemáticamente. Dos fuentes principales de dicha búsqueda son: la historia de la matemática y las invenciones y producciones matemáticas espontáneas de los estudiantes. Principios de la Educación Matemática Realista 1.- Principio de Actividad: la matemática es pensada como una actividad humana a la que todos pueden acceder y puede ser mejor aprendida haciéndola. Freudenthal (1968), citado en Heuvel-Panhuizen (2009) dice “lo que los seres humanos tienen que aprender no es matemáticas como sistema cerrado, sino como una actividad: el proceso de matematizar la realidad y, de ser posible incluso, el de matematizar las matemáticas” Freudenthal, (1983): “las cosas están al revés si se enseña el resultado de una actividad más que la actividad misma”. Hacer matemática es más 29.

(30) importante que aprenderla como un producto terminado, propicia la matemática para todos. Plantea que no todos serán matemáticos, pero es importante que aprendan a abordar matemática y críticamente los problemas que se le presenten en situaciones cotidianas. En la perspectiva realista se propone que la matemática posee un valor educativo, en este sentido Freudenthal (1980), entiende que el término educación encierra el logro de objetivos de la instrucción formal, como desarrollo de actitudes de toda clase: morales, sociales, emocionales, religiosas y cognitivas, todo esto permite que el ser humano sea un hombre culto y formado, que es uno de los principales objetivos de la educación. Para Freudenthal es importante fomentar una actitud matemática desde las edades tempranas, dentro de ellas tenemos:  Desarrollar un lenguaje que suba de nivel  Cambiar la perspectiva o punto de vista y reconocer cuando un cambio de perspectiva es incorrecto dentro de una situación o problema dado.  Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para resolver un problema.  Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto.  Tratar la propia actividad como materia prima para la reflexión con miras a alcanzar un nivel más alto. 2.- Principio de Realidad: la matemática surge como la matematización de la realidad, luego el aprendizaje matemático debe originarse también en esa realidad. Al respecto Freudenthal dice que es mejor “aplicar el término de realidad a lo que la experiencia del sentido común toma como real en un cierto escenario”. Los contextos en la Educación Matemática Realista al ser significativo para el aprendiz se constituyen en puntos abiertos de partida de su actividad matemática, usando el sentido común, sus estrategias informales, usándose en profundidad. Bressan (2004), aclara que no se trata de utilizar la realidad experimentada como único recurso en el aula, ya que limitaría las oportunidades de los estudiantes para aprender matemáticas, es decir, operar dentro del ámbito mismo de la matemática. Más bien, es una forma de trabajo en el aula que permita que los estudiantes discutan no sólo de las estrategias para resolver situaciones, sino también en lo que respecta a la interpretación de las propias situaciones problemáticas. 30.

(31) 3.- Principios de reinvención: como se expresa, según Freudenthal (1991), la matemática no es otra cosa que una forma de sentido común sólo que más organizada. “Para transformarlo en matemática genuina y para progresar, el sentido común debe ser sistematizado y organizado. Es un proceso a través de la reinvención guiada como un balance sutil entre la libertad de inventar y la fuerza de guiar” La educación matemática debe dar a los alumnos la oportunidad, guiada por el profesor, de reinventar la matemática. El papel del profesor es el sujeto que media entre el estudiante y las situaciones problemáticas, entre los alumnos entre sí, entre las producciones informales de los alumnos(as) y las herramientas formales de la matemática como disciplina. Para lograr orientar durante el proceso es importante que el docente tenga en cuenta que debe contar con la capacidad de: anticipación, observación y reflexión acerca de los aprendizajes a corto y largo plazo de los estudiantes. Esto permite conocer las comprensiones y habilidades de los alumnos(as) para organizar las actividades en el aula y dar lugar a la reinvención y los cambios de nivel que pretende lograr en esas comprensiones. 4.- Principio de niveles: matematización progresiva. Los alumnos deben comenzar con un problema para luego analizar su propia actividad matemática. El proceso de matematización fue profundizado por Treffers (1978, 1987) y es retomado por Freudenthal (1991). Este proceso lo evidencia de dos formas:  Matematización horizontal: plantea de lo real a lo simbólico, es decir, convertir un problema contextual en un problema matemático, basándose en el sentido común, en lo intuitivo, lo experimental, entre otros.  Matematización vertical: consiste en el tratamiento específico de la matemática, es decir, dentro de la matemática misma, basándose en la generalización, prueba, estrategias de reflexión, simbolización, entre otras. Estas dos formas deben desarrollarse en forma continua, con el objetivo de avanzar en los distintos niveles de formalización matemática. La educación matemática realista admite que los estudiantes pasan por distintos niveles de comprensión, que Gravemeijer (2002) los define en cuatro niveles que son:. 31.

(32)  Nivel Situacional: consiste en el conocimiento de la situación y las estrategias son utilizadas en el contexto de la situación misma. Los estudiantes utilizan sus conocimientos, el sentido común, su experiencia y pueden identificar la matemática que está involucrada en el contexto.  Nivel Referencial: es aquel donde aparecen los modelos, descripciones, conceptos y procedimientos que esquematizan el problema, pero se refieren a la situación particular.  Nivel General: es aquel en el cual se desarrolla a través de la exploración, reflexión y generalización de lo que se ha realizado en el nivel anterior pero propiciando una focalización matemática sobre las estrategias que supera la referencia al contexto.  Nivel Formal: en este nivel se trabaja con los procedimientos y notaciones convencionales. Estos niveles son dinámicos y los estudiantes pueden pasar de un nivel a otro o funcionar en distintos niveles de comprensión en diferentes contenidos o parte de ellos. Estos niveles más que permitir al alumno(a) saber qué tiene que hacer, se utilizan para monitorear sus procesos de aprendizaje. Para establecer cambios de nivel deben existir los modelos y la reflexión colectiva que son representaciones de las situaciones donde se reflejan aspectos esenciales de los conceptos y las relaciones matemáticas que son relevantes para solucionar la situación dada. También sirven como puentes importantes para sortear la distancia entre la matemática contextual e informal y la matemática formal. Este proceso debe basarse en el análisis reflexivo del trabajo oral y escrito de los estudiantes. Bressan (2016) dice que el nivel situacional corresponde a la matematización horizontal y que los niveles restantes corresponden a la matematización vertical. 5.- Principio de interacción: es importante clarificar que en la EMR la matemática se considera una actividad social. La interacción lleva a la reflexión y a capacitar a los estudiantes para llegar a niveles de mayor comprensión. Freudenthal (1987) dice que los problemas se seleccionan de manera que dan lugar a soluciones apelando a diferentes niveles de comprensión de manera tal que todos los alumnos(as) puedan trabajar en ellos. 6.- Principio de interconexión: la resolución de situaciones problemáticas realista a menudo exige establecer conexión y la aplicación de un amplio rango de comprensiones y herramientas matemáticas. 32.

(33) Con respecto a este punto Freudenthal (1982) nos plantea que: “Lo que realmente importa es saber cómo encaja el tema en todo el cuerpo de la enseñanza matemática, si se puede, o no, integrar con todo o si es tan estrafalario o aislado que, finalmente, no dejaría ninguna huella en la educación”. Niveles en la Educación Matemática Realista (Bressan & Gallego, 2011) FORMAL. Conocimiento Formal. MATEMATIZACIÓN VERTICAL. INTERACCIÓN - REINVENCIÓN. Reflexión GENERAL. “Modelo para”. Reflexión REFERENCIAL. “Modelo de”. Reflexión SITUACIONAL. “Contexto”. MATEMÁTICA HORIZONTAL. 33.

(34) 2.2. Aportes de otras investigaciones con sustento teórico en la EMR. Existen diferentes investigaciones sobre objetos matemáticos, en las cuales se utilizó, como referente teórico, la educación matemática realista. A continuación se muestra algunas de ellas y su aporte a nuestro estudio. 2.2.1 El uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista: Ejemplo de una trayectoria longitudinal sobre porcentaje. En esta investigación (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2009) nos evidencia que en la EMR, los modelos se ven cómo representaciones de situaciones que reflejan, necesariamente, aspectos fundamentales de conceptos y estructuras matemáticas relevantes para la situación problema, pero que pueden tener diversas manifestaciones. Esto significa que no se toma el término modelo de manera literal. Materiales, bosquejos visuales, situaciones paradigmáticas, esquemas, diagramas e incluso símbolos llegan a servir de modelos. Este estudio nos dio una base para comprender el concepto de modelo que se utilizó en nuestra investigación. 2.2.2. Propuesta didáctica para la enseñanza de las fracciones en cuarto grado de educación primaria. En este estudio (Perera & Valdemoros, 2007) dan cuenta de la importancia de relacionar las tareas con la vida real del niño. Las actividades propician que el estudiante desarrolle significados como medida, cociente intuitivo y los rudimentos de operador multiplicativo. Logrando con ello que construyan el concepto de fracción. Esta investigación nos aportó para el diseño de la propuesta didáctica, en la construcción de las actividades que deben guiar al estudiante en la conceptualización de la noción, en este caso, la función cuadrática. En nuestra investigación la relevancia del marco referencial fue constituir un aporte, tanto en las directrices de la propuesta didáctica, como en los aspectos relevantes que consideramos del aprendizaje de nuestros estudiantes, es decir, qué elementos corroboran que el aprendizaje del concepto de la función cuadrática fue logrado. En el diseño de las diferentes situaciones se consideró el referente teórico que nos dio las bases para implementar situaciones que utilizarán el contexto real de las alumnas, Freudenthal (1991), citado en Bressan (2016) dice “un contexto en ese dominio de la realidad el cual, en algún proceso de aprendizaje particular, es revelado al alumno en orden a ser matematizado”. Por lo tanto, las situaciones deben ser significativas para las estudiantes y pueden ser tomadas desde experiencias cotidianas, entonces las situaciones propuestas deben cumplir con estas características, además la propuesta didáctica consideró el trabajo grupal, porque el aprendizaje matemático en la EMR es 34.

(35) considerado una actividad social que permite mayores niveles de comprensión mediante la reflexión colectiva. De igual manera, para el análisis de los datos se consideraron los niveles: situacional, referencial, general y formal, ya que la EMR acepta que los estudiantes pasan por distintos niveles de comprensión en el proceso de la matematización progresiva. Estos niveles permitieron establecer qué estrategias, modelos, lenguaje, conceptos, entre otros, utilizaron las estudiantes para dar respuesta a las diferentes situaciones y así constatar el logro del aprendizaje, en este caso, la construcción del concepto de función cuadrática.. 35.

(36) Capítulo III Marco Metodológico. 36.

(37) 3.1 Marco Metodológico de Investigación En esta investigación se utilizó la metodología cualitativa y descriptiva. Cualitativa porque permite recoger la información desde la experimentación de los participantes, como lo plantea Krause (1995). Además, la investigación cualitativa se utiliza porque es una actividad sistemática orientada a la comprensión en profundidad de fenómenos educativos y sociales, a la transformación de la práctica y escenarios socioeducativos, a la toma de decisiones y también hacia el descubrimiento y desarrollo de un cuerpo organizado de conocimientos. (Sandin, 2003) Descriptiva porque permite describir, registrar, analizar e interpretar hechos o fenómenos, cuya característica principal es presentar interpretaciones correctas sobre las observaciones realizadas a individuos o grupos de personas. En nuestra investigación, la metodología de estudio hace uso de situaciones que describen ciertos fenómenos para que el estudiante pueda modelar y genere una forma de matematización para dar respuesta a las situaciones propuestas. En ésta investigación se desarrollan las siguientes etapas, observación: con una actividad exploratoria, diseño: la propuesta didáctica para construir el concepto de Función Cuadrática y análisis metodológico de los datos.. 37.

(38) 3.1.1. Etapa de Observación En esta etapa se procede a conversar con los directivos de la institución y proponer el trabajo de investigación, luego se produce un acercamiento con las estudiantes del curso seleccionado y se aplica una actividad exploratoria, registrando evidencias fotográficas y videos. Posteriormente se realiza una breve descripción de los datos recogidos para detectar las concepciones de las estudiantes con respectos a los conocimientos previos de modelar y graficar funciones. 3.1.2. Concepciones de las estudiantes Antes de ejecutar la propuesta, se llevó a cabo una actividad exploratoria (ver anexo I) que las estudiantes realizaron en forma individual, el propósito de la actividad fue conocer las concepciones previas de las alumnas con respecto a modelar y graficar funciones. Rúbrica para el análisis de la actividad exploratoria Ítem. Indicadores. ¿Qué conceptos o conocimientos pone en juego?. 1.- Identifica variables 2.- Reconoce dependencia entre variables 3.- Reconoce la igualdad como ecuación. ¿Cómo utiliza esos conceptos?. 1.- Determina estrategias para resolver el problema 2.- Opera correctamente las variables 3.- Aplica las propiedades de los números reales para resolver la ecuación 4.- Determina la pertenencia de la solución. 1.- Discrimina la función a utilizar 2.- Establece la función a utilizar 3.- Identifica variable independiente y dependiente de la función. ¿Utiliza nociones de función lineal o cuadrática? ¿Construye y utiliza un modelo gráfico para responder a la situación?. 1.- Formula el problema en términos matemáticos 2.- Modela en forma grafica el problema 3.- Argumenta el uso del modelo elegido. 4.- Determina otro tipo de solución. ¿El o los modelos que construye son adecuados o responden correctamente al problema?. 1.- Presenta una tabla, gráfico o ecuación como solución al problema 2.- Valida que el o los modelos responden a la situación propuesta. 3.- Verifica que la solución que se obtiene (utilizando el o los modelos) sea correcta. 4.- Determina otro tipo de solución. Nivel Alto-Medio-Bajo. 38.

(39) Descriptores: Nivel Alto: logra tres o cuatro indicadores Nivel Medio: logra al menos dos indicadores Nivel bajo: logra uno o ningún indicador Descripción de la actividad exploratoria Las alumnas recibieron una actividad con tres problemas, que debían responder haciendo uso de sus conocimientos previos, sin intervención del docente. Las indicaciones fueron que no había respuestas erróneas y que no borraran nada de lo desarrollado en la hoja, porque el estudio estaba centrado en indagar que conceptos ponen en juego para dar respuestas a cada una de las situaciones propuestas. Resultados de las respuestas a los problemas propuestos. Ítem A) ¿Qué conceptos o conocimientos pone en juego? B) ¿Cómo utiliza esos conceptos? C) ¿Utiliza nociones de función lineal o cuadrática?. Indicadores A 1 2 3. 16. 5. 1. B 2. 3. 4. 1. C 2. 3. 1. D 2. 3. 4. 1. E 2. 3. 4. 7 35. 9. 4. 1. D) ¿Construye y utiliza un modelo gráfico para responder a la situación? E) ¿El o los modelos que construye son adecuados o responden correctamente al problema?. Conclusiones de la Actividad Exploratoria  Las estudiantes sólo desarrollaron los primeros ítems de la rúbrica  Los indicadores que más lograron fue el de plantear una estrategia de solución e identificar variables  Las estudiantes no reconocen el concepto de función o dependencia entre variables  No representan gráficamente las situaciones  No argumentan el modelo elegido  No validan que sea correcto  Por lo tanto su desempeño como grupo curso es de un nivel bajo con respecto a la modelación de situaciones. 39.

(40) Aporte de la actividad exploratoria al diseño de la propuesta didáctica La actividad exploratoria nos permitió clarificar que las situaciones contextualizadas para la propuesta didáctica debían considerar el nivel de logro de los conceptos anteriores y principalmente situaciones que las estudiantes reconocieran como cotidianas, además de guiar a través de diferentes preguntas el proceso de aprendizaje de las características o propiedades del objeto matemático en estudio, en este caso, la función cuadrática. 3.2. Etapa de Diseño Recapitulando, todos los puntos anteriores, tenemos elementos necesarios para construir el diseño de la propuesta didáctica, en síntesis lo más importante que se extrae es: Epistemología de la Función Cuadrática El concepto nace desde la necesidad del hombre El concepto como la noción actual que conocemos ha evolucionado desde épocas antiguas con los aportes de importante científicos. La importancia de reconocer en las secciones cónicas a la representación gráfica de la parábola Relacionar la gráfica de la ecuación con los puntos generados por la expresión cuadrática. Planes y Programas del Mineduc Que los actuales programas comienzan el aprendizaje de la función cuadrática con los conceptos de concavidad, intersección de la curva con los ejes, vértice, simetría, dominio y recorrido, posteriormente presentan actividades en las cuales se debe aplicar los conceptos enseñados previamente. Las actividades propuestas tienen un alto grado de complejidad. En las actividades para modelar, la función cuadrática está dada y debe ser utilizada para responder lo pedido. Los estudiantes en dichas actividades tiene un rol pasivo que deben memorizar los pasos para graficar la función cuadrática. Descripción de textos Los textos revisados proponen la presentación del contenido necesario para enseñar a graficar dando fórmulas. Las situaciones se utilizan con el mismo propósito de explicar los pasos para graficar. 40.

(41) Las actividades que deben resolver los estudiantes para el contenido son ejercicios que se basan en graficar memorizando los pasos y fórmulas. Las situaciones que deben modelar son escasas y al final de la unidad, no son consideradas para lograr aprendizajes, sino más bien como aplicación.. Concepciones de las estudiantes Las estudiantes no reconocen el concepto de función en los problemas propuestos, es decir, tienen dificultad para determinar cuál variable es dependiente y cuál es independiente. Con respecto a la resolución de situaciones, no reconocen el contenido matemático involucrado, por lo tanto, presentan dificultad para determinar la solución correcta. No reconocen a la gráfica como una posible solución a la situación propuesta. En conjunto, todos estos antecedentes fueron considerados para construir el diseño final de la propuesta didáctica. 3. 3. Diseño de la Propuesta Didáctica 3.3.1. Descripción de la muestra La propuesta didáctica como ya se ha mencionado en los capítulos anteriores se realizó en el Liceo Laura Vicuña, comuna de La Cisterna. Las estudiantes pertenecen al nivel de tercero medio científico humanista, la dependencia es particular subvencionada, por lo tanto, el nivel socio económico es medio-alto. Los resultados simce del año 2015 son los puntajes más alto históricamente logrado por las estudiantes del establecimiento, 309 puntos promedio, que corresponden al curso de las alumnas que realizó la propuesta didáctica. Por lo tanto, tienen un alto grado motivacional por el rendimiento académico.. 41.

(42) 3.3.2. Propuesta Didáctica Propuesta Didáctica Descripción del instrumento aplicado La propuesta situaciones:. consiste. en. tres. Primera situación: Consiste en presentar una imagen que debe ser asociada con una gráfica en el plano cartesiano. Segunda situación: Consiste en una situación que debe ser representada en el plano cartesiano. Tercera Situación: Consiste en presentar una gráfica en el plano cartesiano y las estudiantes deben construir una situación que pueda ser representada con la información entregada. En la situación 1 y 2 se incluyen preguntas que permiten a las estudiantes analizar, fundamentar y conjeturar sobre la gráfica que representan las situaciones dadas. En la situación 3 son las estudiantes las que deben formular preguntas para que otros grupos puedan bosquejar la gráfica.. Objetivo de instrumento. la. aplicación. Finalmente deben extraer conclusiones de las tres situaciones propuestas con respecto a las características principales de la función cuadrática. del Construir el concepto de función cuadrática, a través de situaciones en contexto real de los estudiantes, 42.

(43) Donde se aplicó. En qué condiciones se aplicó. que promueven el uso de la graficación como la herramienta que modela y permite el proceso de matematización para dicho concepto. El trabajo se llevó a cabo en el Liceo Laura Vicuña, ubicado en la comuna de La Cisterna, siendo un colegio de Iglesia que asume sus directrices y principios y en comunión con las orientaciones de la Congregación Instituto Hijas de María Auxiliadora. El curso en el cuál se realizó la propuesta didáctica fue el Tercero Medio B, con un total de 42 niñas que se agruparon de tres integrantes en forma voluntaria. El tiempo asignado para responder a las situaciones propuestas fue de tres horas pedagógicas.. En el anexo II se presenta la propuesta didáctica. 3.4. Metodología de Análisis de Datos Para llevar a cabo el análisis de la información se consideraron algunos aspectos relevantes del referente teórico, dichos aspectos son: el nivel situacional, el nivel referencial, el nivel general y el nivel formal, donde a la vez hemos generado indicadores de cada uno de los niveles. En este sentido la investigación es cualitativa, ya que cumple con ser exploratoria que describe e interpreta las producciones de las estudiantes. Por lo tanto, se utilizó los principios de niveles de la matemática realista como base de análisis de este estudio y a continuación presentamos los indicadores de los diferentes niveles que nos permitieron analizar cada una de las producciones de las estudiantes según los resultados obtenidos en la propuesta didáctica. Estos indicadores nos posibilitaron observar los elementos centrales para decidir si las estudiantes están en un nivel situacional, referencial, general o formal y poder establecer la matematización lograda.. 43.

(44) Tabla de Análisis de Datos Niveles Nivel Situacional Este indicador permite establecer sí las estudiantes identifican de la misma situación y experiencia cotidiana conceptos relacionados con el contenido matemático involucrado Nivel Referencial. Indicadores Utiliza el sentido común para seleccionar los datos relevantes de la situación, explicando los procedimientos para responder a la situación propuesta en forma intuitiva. Por lo tanto, logra identificar correctamente la gráfica que corresponde a la situación. Modela gráficamente la situación dada analizando la información matemática del contexto, logrando describir los conceptos involucrados en la situación mediante notaciones simples o describiendo procesos.. Este indicador permite establecer sí las estudiantes relacionan el contenido matemático involucrado presentando procedimientos, esquemas o describiéndolos pero siempre dentro del contexto planteado. Nivel General Discrimina la información necesaria para plantear la situación mediante Este indicador permite establecer si la reflexión matemática, utilizando la entregada para las estudiantes extrapolan los información estrategias o conceptos matemáticos involucrados establecer más allá de la misma situación, por procedimientos matemáticos. Por lo ejemplo: reconocen que el vértice de tanto, es capaz de generalizar características la parábola les permite determinar extrayendo principales del concepto matemático máximos o mínimos. involucrado. Nivel Formal Organiza la información entregada mediante procedimientos o Este indicador permite establecer si notaciones convencionales de la modelando las estudiantes prescinden de las matemática, situaciones planteadas y trabajan gráficamente o algebraicamente la propuesta justificando dentro del contenido matemático, por situación ejemplo: utilizan los parámetros y matemáticamente sus respuestas. propiedades de la función cuadrática para justificar sus respuestas.. Con toda esta información se procedió a revisar los 14 trabajos grupales de las alumnas. 44.

(45) Los grupos trabajaron la propuesta didáctica, luego de terminada se analizó y describió el desarrollo realizado, de la siguiente forma:   . Descripción del momento en forma general Descripción del trabajo y nivel logrado por cada grupo Descripción de la matematización lograda. 45.

(46) Capítulo IV Análisis y conclusiones. 46.

(47) 4.1. Descripción del momento Las estudiantes formaron grupos en forma voluntaria de tres integrantes. Posteriormente se dan las indicaciones para desarrollar la actividad, la profesora les dice que es una actividad de resolución de situaciones para la cual ninguna respuesta se considera incorrecta y que no eliminen nada de lo desarrollado en las hojas, por lo tanto, sobre el contenido matemático no se aclararan consultas, ya que para el trabajo de investigación es necesario que con los conocimientos que actualmente tienen adquirido logren dar respuesta a dichas situaciones. Una vez dada las indicaciones, se entrega la propuesta didáctica a cada grupo, las estudiantes comienzan de inmediato a leer las situaciones propuestas y a responder según lo pedido. El desarrollo de la actividad siempre fue en un clima propicio donde las estudiantes realizaron algunas consultas sobre las situaciones más bien orientadas a la comprensión lectora o significado de alguna palabra. Al terminar cada grupo va entregando, finalizando con el agradecimiento por el trabajo desarrollado en el aula. 4.2. Análisis de las respuestas de cada uno de los grupos 4.2.1 Grupo 1: 4.2.1.1 Descripción del trabajo El grupo uno desarrolló las tres situaciones dando respuesta a las interrogantes planteadas, su trabajo demostró que no logra relacionar las situaciones con el contenido matemático, siendo uno de los grupos que no responde correctamente la primera situación, no identifica correctamente la gráfica que corresponde a la situación dada (fig. 1). Con respecto a la situación 2 no grafica correctamente (fig. 2) y en la situación 3 no utiliza la información dada en la gráfica para crear la situación. Respuesta Situación 1. Fig. 1. 47.

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