Teoria PROBABILIDAD

(1)

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

Los experimentos o fenómenos cuyo resultado no puede conocerse hasta haber realizado la experiencia se llaman aleatorios o estocásticos. Cuando el resultado puede preverse de antemano se llaman deterministas.

ESPACIO MUESTRAL

Se llama espacio muestral asociado a una experiencia al conjunto de todos los posibles resultados de la misma. Se designa por "Ω". Puede ser:

a)Discreto y finito ( lanzar un dado y mirar el resultado)

b)Discreto e Infinito numerable( lanzar una moneda hasta que salga cara) c)Continuo ( medida del diámetro de las manzanas de un huerto)

SUCESOS ELEMENTALES.

Sucesos que asociamos a cada uno de los posibles resultados del espacio muestral que no se pueden descomponer en otros más sencillos.

SUCESO ALEATORIO

Llamaremos suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir a la unión de varios sucesos elementales

Ejercicio:

1. Describe el espacio muestral asociado al experimento y cuenta el número de sucesos elementales. a) Lanzar dos monedas

b) Lanzar un dado

c) Lanzar una chincheta al aire

d) Sacar una carta de la baraja de 40.

f) Lanzar tres monedas

h) Lanzar dos dados

SUCESO CONTRARIO DE OTRO.

Si A es un suceso, se llama suceso contrario de A, y se designa por AC, al suceso definido por la condición de que se verifica, siempre que no se verifica A.

SUCESO SEGURO Y SUCESO IMPOSIBLE

Suceso seguro es el que se verifica siempre. Se representa por Ω. Suceso imposible ∅ es el que no se verifica nunca.

UNIÓN DE SUCESOS

Se llama unión de los sucesos A y B al suceso que se verifica siempre que se verifica A, se verifica B, o ambos a la vez. Se expresa A∪B.

(2)

INTERSECCION DE SUCESOS

Se llama intersección de los sucesos A y B al suceso que se verifica siempre que se verifican A y B a la vez. Se expresa A∩B.

SUCESOS INCOMPATIBLES

Dos sucesos se llaman incompatibles cuando A∩B= ∅ . Es decir cuando al verificarse uno de ellos no puede verificarse el otro. En caso contrario se llaman compatibles.

SUCESO CONTENIDO EN OTRO

Se dice que un suceso A está contenido en otro B, si siempre que ocurre A, ocurre B. Se representa A⊂B.

DIFERENCIA DE SUCESOS

Se llama diferencia de dos sucesos A y B, y se expresa A−B, al suceso que se verifica cuando ocurre A y no ocurre B. Es decir, A−B=A∩BC

Ejercicio

Al sacar una carta de una baraja considera los sucesos: A= “ sacar oros” , B= “sacar una figura” Describe los sucesos: AC, BC, A∪B, A∩B, A−B

FRECUENCIA RELATIVA DE UN SUCESO

Cuando un experimento se realiza "N" veces, habiéndose realizado el suceso A, n_A veces, diremos que la

frecuencia relativa del suceso A es el cociente

N n A fr ₌ A

) (

DEFINICION DE PROBABILIDAD

La frecuencia relativa de un determinado suceso A, tienden a aproximarse a un número fijo al aumentar el número de veces que se repite un experimento. A este número se le llama probabilidad del suceso A. Se designa

( )

P A

.

Propiedades: 1.

0 <

P A

( )

<

1

2.Si A y B son sucesos incompatibles se verifica que P(A∪B)=P(A)+P(B)

3.Si A y B son sucesos compatibles se verifica que P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 4.Si AC es el suceso contrario de A, se verifica que P(AC)=1−P(A)

5.Si ∅ es el suceso imposible: P( )∅ =0 6.Si Ω es el suceso seguro : P(Ω)=1 7.Si A⊂B , entonces

P A

( )

<

P B

( )

.

LEY DE LAPLACE.

Si el espacio muestral se compone de "

n

" sucesos elementales equiprobables y el suceso es la unión de "r" sucesos elementales, generalizando la propiedad 2, se obtiene la llamada Ley de Laplace

posibles casos

n

favorables casos

n A P

º º )

(3)

PROBABILIDAD CONDICIONADA

SUCESO CONDICIONADO

El suceso que consiste en que se verifique A, siempre que haya ocurrido B en el mismo experimento, se denomina suceso A condicionado por B, y se representa por

A B

.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Se define la probabilidad del suceso A condicionado por el suceso B, y se escribe

P A B

(

)

(

)

(

)

( )

P A B P A B

P B ∩ =

SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. REGLA DEL PRODUCTO

Dos sucesos A y B se llaman independientes si

P A B

(

)

=

P A

( )

, es decir, si ocurrido B no se altera la

probabilidad de A. En este caso se verifica siempre que también

P B

( )

=

P B A

(

)

. Por tanto según la definición anterior se verifica:

1.Si A y Bson sucesos independientes:

P A

(

∩

B

)

=

P A P B

( )

⋅

( )

2.Si A y Bson sucesos independientes:

P A

(

∩

B

)

=

P A P B A

( )

⋅

(

)

=

P B

( )

⋅

P A B

(

)

Las dos últimas expresiones se denominan "REGLA DEL PRODUCTO" para la intersección de sucesos.

EJERCICIO 1

En una baraja de 40 cartas se extraen sucesivamente dos cartas sin devolver la primera. Determina: a.Probabilidad de obtener dos copas

b.Probabilidad de obtener dos cartas del mismo palo

c.Probabilidad de obtener dos cartas de diferente palo

d.Probabilidad de obtener al menos un as

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Cuando un suceso B puede presentarse condicionado por otros A A A₁, ₂, ₃,...,An, incompatibles dos a dos, y tales que su unión es el suceso seguro, se verifica:

) / ( ). ( ... ... )

/ ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( ). ( )

(B P A₁ P B A₁ P A₂ P B A₂ P A₃ P B A₃ P A_n P B A_n

P = + + + +

Para llegar a este resultado utilizaremos el diagrama de árbol del tipo siguiente y asignaremos a cada rama la probabilidad de que se presente el suceso que aparece al final de la misma. Observa que las probabilidades de la segunda rama son probabilidades condicionadas.

Observa que al suceso B puede llegarse a través de los caminos A A A₁, ₂, ₃,...,A_n y que

∑

=

n

i i

A P

1

1 ) (

EJERCICIO 2.

Una empresa elabora sus productos en cuatro fábricas: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se

fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

(4)

Llamando M ≡ "el producto mal envasado", y B≡ “al producto bien envasado”, se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol, tenemos:

( )

1

(

/

1

)

( )

2

(

/

2

)

( )

3

(

/

3

)

( )

4

(

/

4

)

P M

=

P F

⋅

P M F

+

P F

⋅

P M F

+

P F

⋅

P M F

+

P F

⋅

P M F

0.4·0.01 0.3·0.02 0.2·0.07 0.1·0.04 0.004 0.006 0.014 0.004 0.028

= + + + = + + + =

FÓRMULA DE BAYES

En las condiciones del teorema anterior, aplicando la definición de probabilidad condicionada, podemos calcular la probabilidad de que el suceso B se haya presentado a través de alguna rana concreta, esto es, la probabilidad a posteriori ( sabiendo que ha ocurrido el suceso B).

Esta fórmula se conoce como Fórmula de Bayes:

) / ( ). ( ... ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) ( ) / ( ). ( ) ( ) ( ) / ( 2 2 1

1 n n

i i i i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P A B P A P B P B A P B A P + + + = = ∩ = EJERCICIO 3.

Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola.

Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Llamamos R _{= "sacar}_{bola roja" y}_N_{= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las}

distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es

P A R

(

)

. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

1 3

( ) ( / ) ( ) ( / ) _{3 8}

( / ) 0.26

1 3 1 2 1 2

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

3 8 3 3 3 5

P A P R A P A P R A P A R

P R P A P R A P B P R B P C P R C

⋅

⋅ ⋅

= = = =

⋅ + ⋅ + ⋅

(5)

EJERCICIO 4.

Una determinada enfermedad puede estar provocada por tres causas, A, B o C en las proporciones 30%, 20% y 50%, respectivamente. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% de los casos si está provocada por B y en el 10% de los casos si está provocada por C. Un enfermo hospitalizado tiene diagnosticada esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la causa sea A?

Solución

( ) ( ) 0.2 0.3 0.06

( ) 0.2727

( ) 0.2 0.3 0.2 0.55 0.5 0.1 0.22

P H A P A P A H

P H

⋅ ⋅

= = = =

⋅ + ⋅ + ⋅

EJERCICIO 5.

En un determinado país, 64 de cada 100000 mujeres de raza negra mueren en el parto mientras que la proporción es de sólo 17 de cada 100000 para las mujeres de raza blanca. El 90% de los partos corresponden a mujeres de raza blanca. Una mujer acaba de fallecer a consecuencia del parto, calcular la probabilidad de que sea de raza negra.

Solución:

( ) ( ) 0.00064 0.1 0.000064

( ) 0.2949

( ) 0.00064 0.1 0.00017 0.9 0.000217

P M N P N P N M

P M

⋅ ⋅

= = = =