Obtención de distribuciones de dosis producidas por diferentes arreglos de alambres de lr 192 en tratamientos de braquiterapia ocular utilizando el método de Monte Carlo

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INTRODUCCIÓN

El cáncer es una de las mayores causas de muerte en el mundo actual, especialmente en los países desarrollados donde se ha podido controlar la gran mayoría de enfermedades endémicas. Existen más de 200 tipos diferentes de cáncer que pueden ocurrir en cualquier parte del cuerpo, el órgano visual no está exento.

La radioterapia es una alternativa para conservar el ojo y la visión de los pacientes con cánceres intraoculares. Las formas más comunes de radioterapia en cáncer intraocular son teleterapia de protones y braquiterapia.

El ojo por ser un órgano que se encuentra en constante movimiento, irradiarlo con precisión resulta bastante complicado mediante el uso de teleterapia; además debido a sus pequeñas dimensiones, el campo de irradiación debe ser bastante pequeño, lo que origina dificultades en este tipo de tratamiento.

Debido al alto costo de los irradiadores de protones y a lo anteriormente expuesto, la braquiterapia ocular es la mejor alternativa en nuestro medio para el tratamiento de cáncer intraocular.

La fuente de radiación elegida para este trabajo son hilos de Ir 192, los cuales tienen la ventaja de no producir contaminación, además gracias a la alta actividad específica del Ir 192 los hilos son delgados; lo que permite irradiar zonas pequeñas del cuerpo, como el ojo, y crear distribuciones de dosis con mayor facilidad. La energía promedio del Ir 192( 0.38 MeV), permite una distribución de dosis que se adapta tanto para tratamientos en la superficie del globo ocular, como para tumores situados a cierta profundidad5. El hilo de Ir 192 es producido en el IPEN (Instituto Peruano de Energía Nuclear) por lo cual es de fácil disponibilidad en nuestro país. El objetivo fundamental de esta tesis es dar pautas para generar distribuciones más específicas para cada caso de tratamiento; para lo cual, se ha creado un programa que simula distribuciones de fuentes de Iridio en braquiterapia ocular.

Existen varios programas de simulación tales como Penélope, EGS4, MNCP, etc en los cuales se puede realizar la simulación de distribuciones de fuentes de Iridio. Estos programas están diseñados para realizar una amplia variedad de simulaciones y dar información bastante detallada de los resultados de la simulación; debido a esto, sus algoritmos son bastante extensos y requieren un buen equipo de computación para que el tiempo de simulación no sea excesivo; lo cual limita la capacidad de trabajo en Física Médica.

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I FUNDAMENTO TEORICO

1.-Dosimetría

1.1. Cantidades que Describen la Interacción de la Radiación con la Materia

1.1.1 Kerma.-El Kerma puede ser definido en términos de una cantidad estocástica relacionada energía transferida. La energía transferida en un volumen V está dada por:

+ −

= Rin u Rout unonr Q

tr ( ) ( )

ε ( 1.1)

donde (Rin)u= es la energía radiante (ver glosario) de las partículas sin carga entrando a V.

(Rout)nonru = es la energía radiante de las partículas sin carga saliendo de V,

exceptuando las que son originadas por pérdidas radiativas de energía cinética de las partículas cargadas generadas en V.

Q = es la energía neta originada por las transformaciones masa energía en V (mEentonces Q es positivo, Emnegativo)

El Kerma está definido como el valor esperado de la energía transferida por los fotones y/o neutrones, a las partículas cargadas por unidad de masa en un punto de interés, incluyendo pérdidas radiativas de energía. Podemos definir al kerma en un punto de interés P en el interior de V como:

dm d dm d

K = (εtr)e ≡ εtr (1.2)

donde (εtr)e es el valor esperado de la energía transferida en el volumen finito V durante algún intervalo de tiempo

Para fotones monoenergéticos el Kerma en un punto P está relacionado por la fluencia de energía en ese punto y el coeficiente másico de transferencia de energía

Z E tr

,

) (

ρ µ

, el cual es característica de la energía del fotón y Z del material en el punto P:

EZ

tr

K .( ρ ) ,

µ ψ

= (1.3)

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tr EZ

, ) (

ρ µ

, está dado en cm2/g

El kerma puede ser expresado en unidades de erg/g , rad o J/kg. La última unidad es también llamada gray (Gy)

Componentes del Kerma.- El Kerma para rayos-x o rayos-γ , es la energía transferida a los electrones y positrones por unidad de masa del medio. La energía cinética de un electrón rápido puede ser gastada mediante dos formas:

a)Interacción de la fuerza Coulombiana con los electrones atómicos del material absorbente; teniendo como resultado la disipación de la energía localmente debido a que el electrón produce ionizaciónes y excitaciónes en o cerca de su trayectoria. Estas son llamadas interacciones de colisión.

b)Interacciones Radiativas con el campo Coulombiano de los núcleos atómicos; en este tipo de interacciones, rayos-x (bremsstrahlung) son emitidos como consecuencia de la desaceleración del electrón al interaccionar con el campo Coulombiano del núcleo atómico. Estos fotones de rayos-x son relativamente penetrantes comparados con los electrones y ellos llevan su energía lejos del trayecto de la partícula cargada.

Como el Kerma incluye la energía cinética recibida por las partículas cargadas sin distinguir si está va ha ser gastada por los electrones en colisiones o en interacciones radiativas, podemos subdividir el K en dos partes:

K =Kc +Kr (1.4)

Donde los subíndices ‘c’ y ‘r’ se refieren a “colisión” y “radiativa” respectivamente.

1.1.2 El Kerma de Colisión (K )c .-El Kerma puede ser definido en términos de la

energía neta transferida; la cual para un volumen V se define como:

= −

+ − −

= r

u tr r

u nonr u out u

in n

tr R R R Q ε R

ε ( ) ( ) (1.5)

Donde r

u

R es la energía radiante emitida por las partículas cargadas originadas en V debido a pérdidas radiativas, sin tener en cuenta el lugar donde ocurre la pérdida radiativa.

El kerma de colisión está definido como el valor esperado de la energía neta transferida a los electrones por los fotones y neutrones, excluyendo las pérdidas radiativas. Para un punto de interés P el Kc de colisión está dado por:

dm d

K e

n tr c

) (ε

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Para fotones monoenergéticos Kcestá relacionado con la fluencia de energía( ψ) y por el coeficiente másico de absorción en EZ

, ) (

ρ µ

por la fórmula:

en EZ c

K ( ) ,

ρ µ ψ

= (1.7)

Z E en

,

) (

ρ µ

, depende de la energía (E) y del Z en el punto P del material en que se evalúa el kerma, pero además depende en cierto grado del medio presente a lo largo de las trayectorias de los electrones originados en P. Esto porque las pérdidas radiativas por los electrones son mayores en materiales de alto Z, por lo cual Kres mayor y Kc correspondientemente menor.

1.1.3 Dosis Absorbida.- La dosis absorbida puede ser definida en términos de la

energía impartida; la cual para un volumen V se define como:

ε =(Rin)u −(Rout)u +(Rin)c−(Rout)c +

Q (1.8)

Donde (Rin)u y

Q están definidas igual que en la ecuación 1.1, (Rout)u es la

energía de toda la radiación sin carga saliendo de V, (Rin)c es la energía radiante de las partículas cargadas entrando a V, y (Rout)c es la energía radiante de las partículas cargadas saliendo de V.

La dosis absorbida D está definida como el valor esperado de la energía impartida por unidad de masa en un punto. Podemos entonces definir la dosis absorbida D en un punto de interés P en el interior de un volumen V como:

dm d

D= ε (1.9)

No es posible escribir una ecuación relacionando la dosis absorbida con la fluencia o fluencia de energía de un campo de radiación indirectamente ionizante, como fue hecho para el kerma (formulas 1.3) y para el kerma de colisión (fórmula 1.7). La Dosis absorbida no está directamente relacionada con el campo de radiación indirectamente ionizante, ya que es consecuencia de la energía depositada por las partículas cargadas secundarias.

Las unidades y dimensiones de dosis absorbida son las mismas que las usadas para kerma.

1.1.4 Exposición.-Exposición es simbolizado por X, y está definido por el ICRU (1980) como “ el cociente de dQ por dm, donde el valor de dQ es el valor absoluto de l total de la carga de los iones de un signo producidas en el aire cuando todos los electrones (negatrones y positrones) liberados por los fotones en una masa de aire

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dm dQ

X = 1.10

En una nota de aclaración el ICRU también señala que “la ionización originada a partir de la absorción de bremsstrahlung emitida por los electrones no es incluida en dQ”

*Exposición y Kerma.- Exposición es equivalente al kerma de colisión en aire. Esta puede ser calculada a partir del Kcol conociendo la carga de ionización producida por unidad de energía depositada por los fotones . La energía media requerida para producir un par de iones en aire seco es casi constante para todas las energías de los electrones y tiene un valor de W =33.97 eV/par de iones. Si e es la carga del electrón (=1.602 x 10-19C), entonces

e W

es la energía promedio requerida por unidad de carga de ionización producida. Teniendo en cuenta que 1eV = 1.602 x 10-19J,

e W

= 33.97 J/C. La exposición (X) está dada por:

      = W e K

X ( col)aire. (1.11)

A partir de la ecuación 1.7 y 1.11,

aire aire en aire W e X             = . ρ µ

ψ (1.12)

En el SI la unidad para la Exposición es el C/kg y la unidad especial es el roentgen (1R=2.58 x 10-4C/kg).

De (1.11) podemos deducir que el factor de Exposición de Exposición a kerma de

colisión en aire es igual a Gy

C J kg C 00876 . 0 97 . 33 10 58 .

2 × −4 × =

1.1.5 Frecuencia de Exposición.- La frecuencia de exposición en un punto P y en el tiempo t es,

dt dX

X = (1.13)

la cual puede ser utilizada para definir X en todos los tiempos dentro de algún extenso periodo de irradiación, esto hace la frecuencia de exposición una función de

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*Constante de Frecuencia de Exposición(Γ).-Supongamos que un radioisótopo emite N fotones de diferentes energías y con diferentes probabilidades por

desintegración. Imaginemos una esfera de 1m de radio alrededor de esta fuente puntual de 1 Ci de actividad. Como 1 Ci sufre 3.7 x 1010 decaimientos por segundo, y el área de la esfera de 1m de radio es 4π m2 y como 1h = 3600s , nosotros tenemos que la fluencia de energía por hora a 1 m de una fuente puntual de 1Ci es

= × × N i i iE f 1 10 4 3600 10 7 . 3

π ( 1.14)

donde fi es el número de fotones emitidos por decaimiento de energía Ei. De la

ecuación (1.12) tenemos la exposición por hora a 1m de la fuente de 1 Ci,

=      × × N

i airei aire

en i i W e E f 1 , 10 4 3600 10 7 . 3 ρ µ

π ( 1.15)

donde 

     ρ µen

es el coeficiente de absorción másico de energía en el aire para fotones de energía Ei.

Sustituyendo los valores, 0.00876J/(kg.R)

e Waire =

, 1 MeV = 1.602 x 10-13J, y expresando el coeficiente másico de absorción de energía en metros cuadrados por kilogramo, la ecuación anterior se convierte

= −       = N

i airi

en i

iE Rh

f X 1 1 , ) ( 8 . 193 ρ µ

(1.16)

La constante de frecuencia de exposición Γδestá definida como

δ .( )δ 2 X A l =

Γ (1.17)

donde Xδes la frecuencia de exposición para fotones de energía mayor que δ (δ es una apropiada energía de corte para el espectro de energía) a una distancia l de una fuente puntual de actividad A. Si X es en R/h, l es en m, y A en Ci, las dimensiones de Γδestán dadas en Rm2h-1Ci-1. Podemos notar que Γδ es numéricamente igual a X en la ecuación 1.16. Entonces la constante de frecuencia de exposición puede ser escrita como:

=      = Γ N

i airei

en i iE f 1 , 8 . 193 ρ µ

δ Rm2h-1Ci-1 (1.18)

donde la energía Ei es expresada en MeV y

i air en ,       ρ µ

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1.2 Partículas Cargadas y Equilibrio Radiactivo

1.2.1 Radiación de Equilibrio.- Consideramos un volumen V, como en la figura 1.1 conteniendo una fuente radiativa distribuida. Un volumen más pequeño v existe en el interior de V, dentro de este volumen interior v existe un punto de interés P. V tiene que ser suficientemente grande tal que la máxima distancia de penetración d

de los rayos emitidos por la fuente radiativa (excluyendo neutrinos) y su progenie (dispersión y rayos secundarios) es menor que la mínima distancia s de separación de las fronteras de V y v. La radiación es emitida en promedio isotrópicamente. Si las siguientes cuatro condiciones existen en todo V, podemos decir que existe

radiación de equilibrio en el volumen v (en el límite no estocástico) a. La composición atómica del medio es homogenia.

b. La densidad del medio es homogenia.

c. La fuente radiativa está uniformemente distribuida.

d. No hay campos eléctricos o magnéticos presentes que perturben el trayecto de las partículas cargadas, excepto los campos asociados con la orientación aleatoria individual de los átomos.

Imaginemos ahora un plano T ( ver figura 1.1 ) que es tangente al volumen v en el punto P’, y consideremos los rayos cruzando el plano por unidad de área en la zona del plano tangente a v. En el límite no estocástico habrá una perfecta reciprocidad de rayos de cada tipo y de energía cruzando ambos caminos, esto debido a que la distribución de la fuente radiactiva dentro de la esfera S de radio d alrededor del punto P’ es perfectamente simétrica con respecto al plano T. Esto será verdad para todas las posibles orientaciones de los planos tangentes alrededor del volumen v; por lo tanto uno puede decir que, en el límite no estocástico, para cada tipo de energía de rayo ingresando a v, otro idéntico rayo sale. Esta condición es llamada

radiación de equilibrio (RE) con respecto a v.

Consecuentemente podemos decir que en el volumen v se cumple: (Rin)u =(Rout)u (1.19)

(Rin)c =(Rout)c (1.20)

Esto quiere decir que la energía que ingresa y sale de v está balanceada para ambas indirectamente ionizante y directamente ionizante radiación, las barras representan valores esperados. La energía impartida (ecuación 1.8) puede ser entonces simplificada por:

ε =

Q (1.21)

Lo cual significa que bajo condiciones de RE el valor esperado de la energía impartida al material en el volumen v es igual al emitido por el material radiactivo en el volumen v, excluyendo lo que es dado por neutrinos.

1.2.1 Equilibrio de Partículas Cargadas.-Equilibrio de partículas cargadas(CPE) existe para un volumen v si para cada partícula cargada de un tipo y energía saliendo de v

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práctica del CPE radica del hecho de que bajo ciertas condiciones es posible aproximarse a un CPE aún en la ausencia de RE.

1.2.2 CPE Para Radiación Indirectamente Ionizante Proveniente de Fuentes Externas.- En la figura 1.2 un volumen V es mostrado conteniendo un volumen más pequeño v. Los límites de v y V se requiere que estén separados por el menos la máxima distancia de penetración de las partículas secundarias cargadas presentes. Si las siguientes condiciones son satisfechas a través de todo V, CPE existirá para el volumen v (en el límite no estocástico):

a. La composición atómica del medio es homogenia. b. La densidad del medio es homogenia.

c. Existe un campo uniforme de radiación indirectamente ionizante (es decir los rayos deben ser insignificantemente atenuados por su paso a través del medio).

d. No hay campos eléctricos o magnéticos inhomogenios presentes.

Debido a la uniformidad del campo de radiación indirectamente ionizante y del medio en todo V, uno puede decir que el número de partículas cargadas producidas por unidad de volumen en cada intervalo de energía y elemento de ángulo sólido será uniforme en todo V (en el límite no estocástico). En este caso las partículas originadas por la radiación indirectamente ionizante no son emitidas isotrópicamente como en el caso de fuentes radiativas puntuales, la interacción de neutrones y fotones generalmente produce partículas secundarias y radiación dispersa con una anisotrópica distribución angular, pero esa anisotropía es homogenia en todo V. Esta condición junto con la uniformidad del medio V (condiciones a y b) son suficientes para producir CPE para el volumen v.

Esto es demostrado en la figura 1.2 para el caso simplificado en que las partículas cargadas tienen trayectorias rectas, todas emitidas un ángulo θ con respecto al rayo primario monodireccional. Consideremos primero el trayecto de la partícula cargada e1, generada por la total absorción de un rayo de radiación indirectamente

ionizante en el punto P1 justo sobre la frontera de v . La partícula e1 cruza v y lleva

fuera del volumen 2/3 de su original energía cinética. Una segunda interacción idéntica ocurre en el punto P2 generando una partícula cargada e2 , la cual ingresa a v con 2/3 de su energía original, y sale con 1/3 de su original energía, igualmente una tercera e idéntica interacción es generada en P3 generando la partícula cargada

e3 , la cual entra a v con 1/3de su origina l energía, y gasta toda su energía en v .

CPE existe en el límite no estocástico, ya que la energía cinética total gastada en v

por las tres partículas es igual a la que se hubiera gastado en v si la partícula e1

hubiera gastado toda su energía en el interior de v.

En el límite no estocástico, si asumimos que existe CPE la ecuación 1.8 se transforma en:

ε =(Rin)−(Rout)+

Q (1.22)

Substituimos ahora 1.22 en 1.5 obtenemos:

out u out nonu r ur n

tr =ε +(R ) −(R ) − −R

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Figura1.1

Radiación de equilibrio. Extendido sobre un volumen V conteniendo un medio homogenio y una homogenia e isotrópica distribución de una fuente radiactiva. Radiación de equilibrio existirá en el más pequeño interno volumen v si la distancia máxima de penetración (d) de los rayos primarios más sus secundarios es menor que la separación mínima s de v a las fronteras de V.

Figura 1.2

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Figura 1.3

Ilustración de las ecuaciones (2.24) y (2.25). CPE existe (en el límite no estocástico) debido a que el electrón e2 ingresa al volumen v con una energía cinética T igual a la que es llevada fuera por el electrón e1. Si e1emite un rayo-x hν1, e2 emitirá también un rayo-x idéntico hν2 (sobre el promedio). Si hν2escapa de v, entonces r

u u

out h h R

R ) = 2 = 1 =

( ν ν

y a partir de (Rout)nonrur =0, la ecuación 2.24 es satisfecha.

Como siempre, si hν2es absorbida en el interior de v, produciendo electrones secundarios 2

'

e , entonces (Rout)u =0 pero r

u

R todavía es igual a hν1 y ( )nonrr =0 u

out

R como

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Además, bajo estas mismas condiciones nosotros podemos también asumir que cualquier interacción radiativa por una partícula cargada después que ésta sale de v

será reemplazada por una idéntica interacción en el interior de v (como se puede ver en la fig 1.3). Obtenemos:

(Rout)u =(Rout)unonr +Rru (1.24)

ésto considerando que el volumen es suficientemente pequeño para permitir que los fotones producto de las pérdidas radiativas escapen, como es mostrado en la figura 1.3. Entonces las ecuaciones 1.23 y 1.24 se pueden simplificar a la igualdad:

ε =εntr (1.25)

Reduciendo v a un volumen infinitesimal dv, conteniendo la masa dm alrededor del punto de interés P, nosotros podemos escribir:

dm d dm

dε εtrn

= (1.26)

Consecuentemente bajo la condición de CPE

D = Kc (1.27)

Estas igualdades 1.26 y 1.27 son aplicables a un volumen infinitesimal de tal manera que la igualdad 1.24 sea válida.

La igualdad 1.27 provee que bajo las condiciones de CPE en un punto de un medio, la dosis es igual al kerma de colisión en dicho punto. Esto es verdadero indiferentemente con las pérdidas radiactivas.

2.- Simulación por El Método de Monte Carlo.

Este método para resolver problemas consiste en representar la solución del problema como un parámetro de una hipotética población. Se construye una muestra de la población mediante una secuencia de números aleatorios, a partir de dicha muestra estimaciones estadísticas y parámetros pueden ser obtenidos13.

2.1 Definiciones Básicas

2.1.1 Números Aleatorios.-Es una cantidad que es resultado de un proceso repetitivo cuyo valor no puede ser predicho con certeza. En el mundo real, la aleatoriedad es originada por factores incontrolables (como ocurre en los juegos de azar) o en la naturaleza cuántica de los sistemas microscópicos.

La computadora no está capacitada para generar números aleatorios, lo que obtenemos de la computadora son secuencias de números generados por funciones matemáticas, las cuales tienen un periodo a partir del cual se vuelve a repetir la secuencia.

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obtener x dentro de un intervalo (a,b) nosotros utilizamos la probabilidad P{x \ a < x < b}, definida como la razón n / N donde n es el número de valores de x que se encuentran dentro de dicho intervalo y N es el total número de valores que puede tener x., en el límite que N→∞. La probabilidad de obtener x en un intervalo diferencial de longitud dx alrededor de x1 puede ser expresada como:

P{x \ x1 <x < x1+dx} = p(x1)dx (2.1)

Donde p(x) es la función de distribución de probabilidad de x. La cual debe cumplir con las siguientes dos condiciones:

-No debe ser negativa, puesto que las probabilidades negativas no tienen significado:

p(x)>0

-La función de distribución de probabilidad debe estar normalizada a la unidad:

= max min 1 ) ( x x dx x

p (2.2)

donde el valor de x debe estar dentro del intervalo (xmin,xmax).

La definición anterior incluye también singulares distribuciones tales como la Delta de Dirac δ(xx0), la cual está definida por:

          > << < = − b

a x b

a x b x a x f dx x x x f 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( )

( δ (2.3)

para cualquier función f(x) que es continua en x0. Una definición equivalente, más

intuitiva es la siguiente:

( ) lim ( )

0 0 , 0

0 U x

x

x xx+

→ ∆

≡ −

δ (2.4)

la cual representa la distribución delta como el límite de ancho cero de una secuencia de distribuciones uniformes centradas en el punto x0 . De aquí, que la

distribución de Dirac describe un único valor discreto de una variable aleatoria (es decir una constante). La función de distribución de probabilidades de una variable aleatoria x que toma los valores discretos x = x1, x2,.... con sus respectivas

probabilidades p1,p2,.... puede ser expresada como una mixtura de distribuciones

delta,

=

i

i

i x x

p x

p( ) δ( ) (2.5)

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2.1.3 Función de Distribución Acumulativa.-Dada una variable aleatoria x continua, la acumulativa función de distribución de x está definida por:

x x dx x p x P min ' ) ' ( )

( (2.6)

esta es una función no decreciente de x que varía desde P(xmin) = 0 a hasta

P(xmax)=1. En el caso de funciones de distribuciones de probabilidades discretas de

la forma (2.5), P(x) es una función de paso (ver glosario). Notamos que la probabilidad P{x \ a<b} de obtener x en el intervalo (a,b) es

P{x\ a < x <b} =

= −

b a a P b P dx x

p( ) ( ) ( ) (2.7) y p(x) = dP(x)/dx..

2.1.4 Momentos de la Función de Distribución de Probabilidad p(x).- El enésimo momento de p(x) está definido como:

=

max min ) ( x x n n dx x p x

x (2.8)

El momento x0 es simplemente la integral de p(x), la cual es igual a la unidad, por definición, momentos de más alto orden pueden o no existir.

El primer momento, cuando éste existe, es llamado el valor medio o esperado de la variable aleatoria x,

x =

xp(x)dx (2.9) El valor esperado de una función f(x) está definida en forma similar

f(x) =

f(x)p(x)dx (2.10)

Como f(x) es una variable aleatoria, esta tiene su propia función de distribución de probabilidad, π (f), el cual es tal que la probabilidad de tener f dentro de un cierto intervalo de longitud df es igual a la probabilidad de tener x en el correspondiente intervalo o intervalos. Si f(x) es una función x monótonamente creciente (tal que la correspondencia entre los valores de x y f sean uno a uno), p(x)dx = π(f)df y

π(f)= p(x)(df /dx)−1 (2.11) El valor esperado posee la propiedad de linealidad:

) ( ) ( ) ( )

( 2 2 1 1 2 2

1

1f x a f x a f x a f x

a + = + (2.12)

(19)

− = − =

2 2 2 2

) ( ) ( ) ( )

var(x x x x x p x dx x x (2.13) Similarmente la varianza de una función f(x) está definida por:

var{f(x)}= f2(x) − f(x) 2 (2.14)

2.1.6 Desviación Standard.- Es la raíz cuadrada de la varianza, σ ≡

[

var(x)

]

1/2, ésta da la medida de la dispersión de la variable aleatoria (es decir el ancho de la función de distribución de probabilidad)

2.2 Variables Aleatorias de dos Dimensiones

2.2.1 Marginal de la Función de Probabilidad de Distribución.-Vamos a considerara ahora el caso de dos variables aleatorias, (x,y). La correspondiente función de probabilidad de distribución de la juntura satisface las condiciones:

P(x,y)≥0 y

∫ ∫

dx dyp(x,y)=1. (2.15) La marginal de la función de probabilidad de distribución está definida como:

p x y dy

x

q( ) ( , ) y q(y)≡

p(x,y)dx (2.16) q(x) es la probabilidad de obtener el valor x y cualquier valor de y.

2.2.2 Función de Distribución de Probabilidad Marginal.-La función de distribución de probabilidad de la juntura puede ser expresada como:

p(x,y)=q(x)p(y/x)=q(y)p(x/y) (2.17) donde ) ( ) , ( ) / ( y q y x p y x

p = y

) ( ) , ( ) / ( x q y x p x y

p = ( 2.18)

son las funciones de distribución de probabilidad marginal de x y y, respectivamente. Notemos que p(x/y) es la normalizada función de distribución de probabilidad de x para un valor estable y.

2.2.3 Valor Esperado de una Función f(x,y).-El valor esperado de una función f(x,y) es:

f(x,y) =

∫ ∫

dx dyf(x,y)p(x,y). (2.19) 2.2.4 Momentos de una Función de Distribución p(x,y).-Están definidos por:

(20)

xn =

∫ ∫

dx dyxnp(x,y)=

xnq(x)dx (2.21)

Nuevamente solo el momento x0y0 es necesariamente definido.

2.2.5 Varianza .- Cuando los correspondientes primer y segundo momento existen, las varianzas de x y y están definidas por

var(x)= x2 − x 2 y var(y)= y2 − y 2 . (2.22) La varianza de x + y es:

) , cov( 2 ) var( ) var( ) ( )

var(x+y = x+y 2 − x+ y 2 = x + y + x y (2.23) donde

cov(x,y)= xyx y (2.24) es la covarianza de x y y, la cual puede ser positiva o negativa, Una cantidad relacionada es el coeficiente de correlación, dado por

) var( ) var( ) , cov( ) , ( y x y x y x =

ρ ( 2.25)

el cual puede tomar valores desde –1 a 1. Notar que cov (x,x)=var(x). Cuando las variables x y y son independientes, es decir cuando p(x,y)=px (x)py(y), nosotros

tenemos que:

cov(x,y)=0 y var(x+y) = var(x) + var(y) (2.26) y

var{a1x+a2y}=a12 var(x)+a22var(y) (2.27)

2.3 El método de la Transformada Inversa

La función de distribución acumulativa (fórmula 2.6), es una función no decreciente de x, consecuentemente ésta posee una función inversa P-1(ξ ). La transformación ξ = P(x) define una nueva variable que toma valores en el intervalo (0,1). Apoyándonos en la correspondencia entre los valores de x y ξ, la función de distribución de probabilidad de ξ, pξ(ξ), y la de x, p(x), están relacionadas por pξ (ξ)dξ = p(x)dx.. Por lo tanto,

1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 =       =       = − − dx x dP x p dx d x p

pξ ξ ξ (2.28)

Esto si ξ está distribuido uniformemente en el intervalo (0,1).

Ahora es claro que si ξ es un número aleatorio, la variable x definida por x = P-1(ξ) está aleatoriamente distribuida en el intervalo (xmin,xmax) con función de

(21)

para generar valores aleatorios de x utilizando números uniformemente distribuidos entre (0,1). La aleatoriedad de x es garantizada por la de ξ. Notemos que x es la (única) raíz de la ecuación

= x x dx x p min ' ) ' (

ξ (2.29)

la cual es llamada ecuación de muestreo de la variable x. Este procedimiento para muestreos aleatorios es conocido como el método de la transformada inversa, y es particularmente adecuado para funciones de distribuciones de probabilidad p(x) dadas por expresiones analíticas simples.

2.3.1 Transformada Inversa Numérica.- El método de la transformada inversa puede también ser eficientemente usada para el muestreo aleatorio de distribuciones continuas p (x) que están dadas en forma numérica. Para aplicar este método, la acumulativa función de distribución P(x) tiene que ser evaluada en los puntos xi en

que se ha dividido el intervalo de valores de x. La ecuación de muestreo P(x) = ξ puede entonces ser resuelta por interpolación inversa, es decir interpolando en la tabla (ξi,xi), donde ξiP(xi) (ξ es tomada como una variable independiente).

2.3.2 Distribuciones Discretas.- El método de la transformada inversa puede también ser aplicado a distribuciones discretas. Consideremos que la variable aleatoria x puede tomar los valores discretos x = 1 ,....N con probabilidades puntuales p1,....,pN,

respectivamente. La correspondiente función de distribución de probabilidad puede expresarse como:

= − = N i

i x i

p x p 1 ) ( )

( δ (2.30)

donde δ(x) es la distribución de Dirac. Aquí se asume que p(x) está definido en un intervalo (a,b) con a<1 y b<N. La correspondiente función de distribución acumulativa es: [ ]

= = X i i p x P 1 )

( (2.31)

donde [x] es la parte entera de x. Notemos que P(x) = 0 cuando x<1. Entonces la ecuación 2.29 conduce a la fórmula de muestreo:

x = 1 si ξ≤ p1

x =2 si p1 < ξ≤ p1 + p2

. .

x = j si

=− < ≤

ij= i j

i pi 1p

1

1 ξ (2.32) .

(22)

2.4 El Método de la Rejección.-Este método tiene la ventaja que no requiere una función de distribución de probabilidad acumulativa, la cual muchas veces es difícil de obtener y aun más difícil es hallar la inversa de esa función.

El método de rejección es basado en un simple argumento geométrico:

Si graficamos la función de distribución de probabilidad p(x) como la queremos generar, tal que el área bajo la curva en cualquier rango de x corresponde a la deseada probabilidad de generar x en ese rango; si nosotros tenemos algún modo de escoger un punto aleatorio en dos dimensiones, con una uniforme probabilidad de distribución en el área bajo la curva, entonces el valor x del punto aleatorio tendría la distribución p(x).

Ahora, si sobre el mismo gráfico, dibujamos cualquier otra curva f(x) la cual tiene un área finita y se extiende en todas partes por encima de la función de probabilidad de distribución original. (Esto es siempre posible porque la curva original encierra solamente un área unidad, ver inciso 2.1.2 de este capítulo). Nosotros llamaremos a f(x) función de comparación. Imaginemos ahora que tenemos algún modo de escoger un punto aleatorio en dos dimensiones que es uniforme en el área bajo la curva de la función de comparación. Siempre que el punto caiga dentro del área bajo la función de distribución de probabilidad p(x), nosotros lo aceptaremos, tal que los valores de x tienen la deseada distribución.

La función de comparación f(x) debe de ser una función de distribución de probabilidad que se puede muestrear por el método de la transformada inversa, de tal forma que podamos generar puntos aleatoriamente distribuidos en el área bajo su curva.

La gráfica 2.2 ilustra este procedimiento. 2.5 Integración Monte Carlo

Como ya ha sido señalado por James (1980)22, al menos en un sentido formal, todos los cálculos hechas por Monte Carlo son equivalentes a integraciones. Esta equivalencia permite una fundamentación teórica formal para las técnicas de Monte Carlo. Un aspecto importante de la simulación es la evaluación de las incertidumbres estadísticas de las cantidades calculadas. Nosotros derivaremos la formulación básica considerando el más simple cálculo Monte Carlo, que es la evaluación de una integral unidimensional. Evidentemente, los resultados son también válidos para integrales multidimensionales.

Consideremos la integral =

b

a

dx x F

I ( ) (2.33)

La cual nosotros replanteamos en la forma de valor esperado,

I =

f(x)p(x)dxf (2.34)

al introducir una arbitraria función de distribución de probabilidad p(x) y definir

f(x) = F(x)/p(x) [es asumido que p(x)>0 en (a,b) y p(x) = 0 fuera de este intervalo]. La evaluación Monte Carlo de la integral I es muy simple: generar un gran número

N de puntos aleatorios xi a partir de la función de distribución de probabilidad p(x)

y acumular la suma de valores f(xi) en un contador. Al final del cálculo el valor

(23)

= ≡ N i i x f N f 1 ). ( 1 (2.35)

La ley de los grandes números dice que, cuando N es muy grande, fI (en probabilidad) (2.36)

En terminología estadística, esto significa que f , el resultado Monte Carlo, es una consistente estimación de la integral (2.33). Esto es válido para cualquier función

f(x) que es finita y continua por partes, es decir, con un número finito de discontinuidades.

La ley de los grandes números (2.36) puede ser replanteada como

= ∞ → = N i i

N N f x

f

1

) ( 1

lim (2.37)

Aplicando esta ley a la integral que define la varianza de f(x) (fórmula 2.14) 2 2 ) ( ) ( )} (

var{f x =

f x p x dxf (2.38) Nosotros obtenemos

[

]

              − =

= = ∞ → 2 1 1 2 ) ( 1 ) ( 1 lim )} ( var{ N i N i i i

N N f x N f x

x

f (2.39)

Es claro que diferentes corridas Monte Carlo (con diferentes, independientes secuencias de N números aleatorios xi de p(x) ) producirán diferentes estimaciones

de f . Esto implica que el resultado de nuestro código Monte Carlo está afectado por incertidumbres estadísticas, similar a las encontradas en experimentos de laboratorio, las cuales necesitan ser apropiadamente evaluadas para determinar la “exactitud” de los resultados Monte Carlo. Para este propósito, nosotros podemos considerar f como una variable aleatoria, la función de distribución de probabilidad de f , es en principio desconocida. Su media y varianza están dadas por

= = = = = N i N i

i f f

N x f N f 1 1 1 ) ( 1 (2.40) y

( )

{

}

{

}

= = = =       = N i N i

i f x

N x f N x f N f 1 2 1 ) ( var 1 ) ( var 1 ) ( 1 var

var (2.41)

(24)

Figura 2.1

El método de la transformada inversa. La transformación θ=P(x) define una nueva variable que toma valores en el intervalo (0,1)

Figura 2.2

El método de la rejección. p(x) es la función de distribución de probabilidad, f(x) es la función de comparación. Imaginemos ahora que tenemos un modo de escoger un punto aleatorio en dos dimensiones que es uniforme en el área bajo la curva de la función de comparación. Siempre que el punto caiga dentro del área bajo la función de distribución de probabilidad p(x) , nosotros lo aceptaremos, tal que los valores de x tienen la deseada distribución.

p(x)

f(x)

xf xdx

0

) (

f(xo) rejectado

aceptado

(25)

{

}

N x f f f ) ( var ) var( = ≡

σ (2.42)

da una medida de la incertidumbre estadística de la estimación Monte Carlo de f . Nosotros podemos ahora hablar del teorema del límite central, el cual establece que, en el límite N →∞, la función de distribución de probabilidad de f es una normal (Gaussiana) distribución con una media f y desviación standard σf,

        − − = 2 2 2 ) ( exp 2 1 ) ( f f f f f p σ π

σ (2.43)

Esto significa que, para valores de N suficientemente grandes, para los cuales el teorema es aplicable, el intervalo f ±nσfcontiene el valor exacto de f con una

probabilidad del 68.3% si n = 1, del 95.4% si n=2 y 99.7 si n = 3.

3.- La Radioterapia

La Radioterapia es un tipo de tratamiento oncológico que utiliza las radiaciones para eliminar las células tumorales en la parte del organismo donde se apliquen.

La radioterapia actúa sobre el tumor, destruyendo las células malignas y así impide que crezca y se reproduzca. Esta acción también puede ejercerse sobre los tejidos normales, sin embargo, los tejidos tumorales son más sensibles a la radiación y no pueden reparar el daño producido en forma tan eficiente como lo hace el tejido normal.

Según la distancia en que esté la fuente de irradiación, se pueden distinguir dos tipos de tratamientos:

* Teleterapia o radioterapia externa, en que la fuente de irradiación está a cierta distancia del paciente en equipos de grandes dimensiones, como son la unidad de Cobalto y el acelerador lineal. La radiación puede ser de rayos Gamma, rayos X o Electrones.

* Braquiterapia, en la cual la fuente de irradiación está cerca o en el área a tratar.

El programa que presento simula distribuciones de fuentes para tratamientos de braquiterapia ocular, por lo cual voy a profundizar un poco más en el tema.

Braquiterapia

(26)

3.1Cálculo de la distribución de dosis producida por una fuente lineal

Integral de Sievert.-La distribución de frecuencia de exposición de una fuente lineal

de braquiterapia puede ser calculada utilizando la integral de Sievert, introducida por Sievert en 1921. El método consiste en dividir la fuente lineal en pequeños elementos de fuente, aplicar la ley del inverso del cuadrado y correcciones por filtración a cada elemento de fuente.

Considerar una fuente de longitud activa L y grosor de pared t (ver fig 3.1). La contribución a la frecuencia de exposición dI en un punto P(x,y) dada por el elemento de fuente de longitud dx está dado por

θ µ'..sec 2 1 . . . ) ,

( e t

r dx L A y x

dI = Γ − (3.1)

donde A y Γson la actividad y la constante de frecuencia de exposición de la fuente (definida en 1.1.5 de este capítulo) y µ’ es el coeficiente de atenuación efectivo para el filtro. Otras variables son definidas por la (fig 3.1). Haciendo uso de las siguientes relaciones: θ θ θ θ d y dx y x y r 2 sec tan sec = = =

e integrando la ecuación 3.1 , nosotros obtenemos la frecuencia de exposición I(x,y) para toda la fuente.

= Γ

− 2 1 sec . '. ) , ( θ θ θ µ θ d e Ly A y x

I t (3.2)

Williamson JF18 da la siguiente expresión para µ’ como función del grosor del filtro d:

                − =

i aire i en i i i d aire i en i i E p e E p d d i en ) / ( ) / ( ln 1 ) ( ' . ρ µ ρ µ µ µ (3.3)

donde pi es el número de fotones con energía Ei emitidos por desintegración, y

aire i en/ )

(µ ρ es el coeficiente másico de absorción de energía en aire para fotones de energía Ei.

(27)

( )

K X aire en aire agua en agua agua c ) / ( ) / ( 00876 . 0 ρ µ ψ ρ µ ψ

= (3.4)

donde (µen /ρ)es coeficiente másico de absorción promediado sobre toda fluencia de energía del expectro de fotones.

X es la exposición en R. y 0.00876 es el factor conversor de R a Gy.

la razón

(

(

)

)

aire en agua en ρ µ ρ µ / /

varía lentamente con la energía del fotón (~ 10% de variación

desde los 10 keV a 10 MeV).

La razón

aire agua ψ ψ

es diferente de 1 debido a que la atenuación y dispersión producida

por el agua es diferente a la del aire. Meisberger11 formuló un polinomio de tercer

orden, en función de la distancia a la fuente (r), ajustando el promedio de sus datos teóricos y todos los datos experimentales disponibles. Este polinomio ajusta a la

fórmula 3.4 considerando el efecto de la razón

aire agua ψ ψ

. Con lo cual finalmente de

3.2 y 3.4 tenemos,

( )

=

(

(

)

)

Γ

2 −

1 ) ( / / 00876 .

0 '..sec

θ θ θ µ ϕ θ ρ µ ρ µ d r e Ly A k t aire en agua en agua

c (3.5)

donde 2 3

)

(r = A+Br+Cr +Dr

ϕ es el polinomio de Meisberg

3.2 Distribuciones de Dosis

Es raramente posible medir la distribución de dosis directamente en los pacientes tratados con radiación. Datos sobre distribución de dosis son casi enteramente obtenidos de medidas en fantomas (materiales equivalentes al tejido).

Los datos básicos acerca de una distribución de dosis son usualmente medidos en un fantoma de agua, esto debido a que las propiedades de dispersión y absorción de radiación del agua son similares a las del músculo y otros tejidos suaves.

3.2.1 Porcentaje de Dosis en Profundidad.

Una forma de caracterizar una distribución de dosis, es normalizar la dosis en profundidad con respecto al un punto de referencia.

3.2.2 Curvas de Isodosis

(28)

Figura 3.1

La integral de Sievert. Considerar una fuente de longitud activa L y grosor de pared t. La contribución a la frecuencia de exposición dI en un punto P(x,y) dad por el elemento de volumen de fuente de longitud dx está dado por:

θ µ'sec 2

1 )

,

( e t

r dx L A y x

(29)

4.- El ojo

Los globos oculares se encuentran protegidos por las órbitas óseas del cráneo y están rodeadas de tejido adiposo conectivo. Se abre hacia el medio externo una sexta parte del ojo y el resto se encuentra dentro de la órbita. Los párpados les proporcionan protección adicional, los cuales se encuentran sobre las superficies expuestas de los ojos. Los bordes de los párpados tienen pestañas y contienen pequeñas glándulas que producen una sustancia aceitosa. Las glándulas lagrimales, que se encuentran en la esquina exterior de cada órbita secretan lágrimas constantemente, las cuales se extienden sobre la superficie expuesta del ojo y se encargan de limpiar las impurezas arrastrándolas al conducto lagrimal o al exterior mantienen húmedas a las células de la conjuntiva y la cara interna de los párpados con un líquido de reacción apropiada no irritante.

Estructura del Globo Ocular TUNICAS O CAPAS

El globo ocular es una esfera hueca de aproximadamente 2.5 cm de diámetro que está compuesta de tres capas de tejido. La esclerótica o túnica exterior tiene función protectora y está compuesta por tejido conectivo, duro, blanco y fibroso, La porción anterior de la esclerótica es conocida como córnea, la cual es transparente de manera que los rayos luminosos puedan penetrar en el ojo. La esclerótica contiene terminaciones nerviosas sensitivas al dolor y carece de vasos sanguíneos.

La Túnica media o coroides es la capa vascular pues contiene muchos vasos sanguíneos y contiene un pigmento pardo oscuro. El cuerpo ciliar forma una zona circular alrededor de su parte anterior y consta de músculo liso del cual se extienden los ligamentos suspensorios para mantener al cristalino en su lugar. El iris es la parte pigmentada del ojo, se une al cuerpo ciliar y es una estructura circular. Las fibras musculares del iris se encargan de controlar la constricción y dilatación de la pupila, que es el agujero en su centro.

La Túnica interna o retina es una capa incompleta que no tiene porción anterior. En la retina existen dos tipos de células especializadas, sensibles a los rayos luminosos. Los conos, en un número de siete millones, son los que se encargan de la visión diurna e interpretan los detalles finos de contraste, color y forma. La mayor parte de los conos se encuentran en una depresión cerca del polo posterior del globo ocular, conocida como fóvea y de esta manera es la parte donde la visión es más precisa. Los bastones, en número de alrededor de 100 millones, se localizan en las partes más periféricas de la retina y son activados únicamente por la luz tenue. Estas células son diferentes a los conos porque no son capaces de distinguir el detalle fino o el color. De manera que en la noche cuando están funcionando los bastones, es difícil distinguir los colores o ver límites precisos.

(30)

de uno de estos grupos forman las fibras del nervio óptico, el cual abandona la región posterior del globo ocular un poco hacia el lado nasal del centro del globo ocular. El punto ciego es la porción de la retina donde sale el nervio óptico y carece de conos y bastones.

CAVIDADES

La parte hueca del globo ocular está dividida en dos zonas principales. La zona anterior se subdivide por el iris en una cámara anterior, que es posterior a la córnea y anterior al iris, y la cámara posterior, que se encuentra detrás del iris y antes del cristalino. Estas dos cámaras se encuentran llenas de humor acuoso, el cual es un líquido transparente, y como su nombre lo indica, acuosos, que es producido por los procesos ciliares.

Detrás del cristalino se encuentra la cámara vítrea, la cual se encuentra llena de una sustancia gelatinosa conocida como humor vítreo, el cual tiene la consistencia de la clara de huevo cruda y se encarga de mantener la presión intraocular de manera que el globo ocular no se hunda al ser sometido a presiones exteriores.

5.- El cáncer ocular

Cáncer es un término general para más de cien enfermedades caracterizadas por un crecimiento anormal de células incontrolado. El tumor resultante puede invadir y destruir tejidos normales y / o sembrase en otras partes del cuerpo. El cáncer ocular es cuando este efecto se produce en el globo ocular.

A continuación menciono algunos tipos de cáncer ocular:

(31)

Los Melanomas pequeños se pueden tratar, pero como existe la posibilidad de que el tumor no crezca, y como el crecimiento sugiere que el tumor es uncáncer, habitualmente estos tumores se observan para demostrar el crecimiento antes de realizar un tratamiento.

Los melanomas de tamaño medio habitualmente se tratan con radiación o extirpando el ojo. No se sabe cuál de los tratamientos es mejor ( igual) para la prevención de la diseminación de la enfermedad (metástasis). Ambos tratamientos pueden dañar la visión. En la consulta se deben discutir los riesgos y beneficios de cada opción.

Los Melanomas de tamaño grande se tratan mejor extirpando el ojo (enucleación). Esto es así porque la cantidad de radiación necesaria para destruir el tumor que ocupa la mayor parte del ojo, es más de lo que el ojo puede soportar. En un periodo de meses o años, los pacientes con melanomas grandes tratados con radiación suelen padecer síntomas incómodos y al final se les tiene que extirpar el ojo.

Retinoblastoma.- Es un tumor canceroso de la retina.

Durante los últimos 30 años, el tratamiento ha evolucionado desde la simple enucleación (extirpación del ojo), a la radioterapia especializada y más recientemente a la quimioterapia basada en terapia multimodal. Aunque los retinoblastomas generalmente se curan con radiación, los investigadores han

sugerido que la irradiación aumenta el riesgo de desarrollar segundos cánceres en la vida adulta.

6 Tratamientos contra el cáncer ocular.-

Cuando es posible, muchos centros ofrecen la radiación como una alternativa de conservar el ojo y la visión a los pacientes con cánceres intraoculares. Los dos tipos principales son radioterapia con placa y radioterapia externa .

(32)

II SIMULACIÓN

Como ya se mencionó en la introducción, el trabajo de tesis consiste en crear un programa alternativo a los ya existentes en el transporte de radiación, por tal motivo, hemos denominado a este programa Programa Alternativo.

Este programa Alternativo es creado con el objetivo específico de simular las distribuciones de dosis producidas por diferentes arreglos de fuentes de Ir-192 en tratamientos de radioterapia con Placa (ver 6 capítulo I).

Este capítulo explica como realiza la simulación el programa Alternativo en forma paralela al programa Penélope. La importancia de comparar el programa Alternativo con Penélope radica en que los resultados producto de la simulación en el programa Alternativo son comparados con el programa Penélope.

1 La fuente de Iridio

Tanto para la simulación en el programa Alternativo como Penélope es necesario ingresar el espectro de energías del Ir-192, la geometría y composición de la fuente. La geometría, espectro de energías y composición de la fuente utilizada en la simulación es la misma para ambos programas. El espectro de energías y lugar en el interior donde se produce el decaimiento es simulado de la misma manera en ambos programas.

1.1 Especificaciones del Iridio

El Iridio 192 es un elemento radiactivo que decae en un 4.7% por captura electrónica y un 95.3% por transiciones β-, seguidas por transiciones γ y los rayos-x característicos de las capas K y L.

La vida media para el Iridio es de 73.825 días, y en promedio un decaimiento resultará en la emisión de un electrón y de 2.363 fotones. La relación entre la actividad de la fuente A, y el número de fotones emitidos por segundo está dado por:

Nfotones = A.(2.363±0.3%) (1.1)

Donde 0.3% es el error estimado por el autor del artículo.

El Ir tiene un espectro complicado de rayos γ (ver gráfica 1.3) con una energía promedio de 0.38 MeV. Los datos del espectro del Iridio que presento a continuación son los obtenidos por Douchemin y Coursol2.

(33)

Para simular el espectro de energía se ha tomado el valor promedio de energía para cada intervalo de ésta, y se ha normalizado al 100% los valores porcentuales, los valores ingresados en la simulación los presento en el siguiente cuadro:

Energía promedio (Kev)

Porcentaje de fotones emitidos al 100%

10.5 2.45

60.4 4.54

70.5 7.12

136.5 0.08

201.5 0.2

205.5 1.49

283.5 1.11

295.5 12.21

308.5 12.72

3.16.5 35.04

374.5 0.31

416.5 0.28

468.5 20.23

484.5 1.34

489.5 0.18

Intervalo de energía (keV)

Porcentaje de fo-tones emitidos p/ c

100 decaimientos

7-14 5.8

61-67 10.72

71-79 2.892

136-137 0.181

201-202 0.485

205-206 3.33

283-284 0.266

295-296 28.85

308-309 30.05

316-317 82.8

374-375 0.721

416-417 0.664

468-469 47.8

484-485 3.16

489-490 0.427

588-589 4.48

604-605 8.16

612-613 5.26

884-885 0.288

(34)

588 1.89

604.5 3.45

612.5 2.23

884.5 0.12

Total 100%

El número de fotones simulados (N) para un tiempo t y actividad inicial A está dado por:

2.363 (1 t)

e A

N λ

λ

= (1.2)

El espectro de energía de los electrones emitidos por el Iridio está dado en la gráfica 1.1.

Para efectos de la simulación la forma de esa gráfica es aproximada a la de una recta que va de 0.1MeV, 90% a 0.62MeV,0%; ésto debido a que la energía de corte en la simulación es de 0.1MeV. El número de electrones (Ne) simulados para un tiempo t transcurrido está dado por:

) 1 ( 9 .

0 t

e e

A

N λ

λ − −

= (1.3)

donde A es la actividad de la fuente, y λ es la constante de semidesintegración. La distribución de energía es originada a partir de la siguiente fórmula:

1 . 0 27041 . 0 52 .

0 − +

= ξ

E (1.4)

Donde E es la energía del electrón emitido y ξ es un número aleatorio entre 0 y 1. La deducción de la fórmula anterior está en el apéndice III.

1.2 El alambre de Iridio Simulado.- El alambre de Iridio simulado en este trabajo es de baja tasa y es el fabricado por el IPEN procedente de CIS Biointernational de Francia con las siguientes características:

Diámetro exterior del alambre incluido cubierta: 0.3 mm. El alambre está constituido por una aleación de Iridio (20%) - Platino (80%) y una cubierta(blindaje) de 0.1mm de espesor - Platino (100%).

Actividad Específica: 1-3 mCi/cm

Las características del alambre se pueden ver en la figura 1.2.

Estas referencias me fueron dadas por el Ing. David Carrillo.

(35)

Gráfica 1.1

Espectro β del Ir. El espectro es obtenido utilizando los datos dados por Duchemin y Coursol

Rf = radio de la fuente=0.05mm

RB = radio de la fuente

incluyendo el blindaje = 0.15mm

Rf

RB

Gráfica 1.2

(36)

dadas en el apéndice VI. Está aproximación también a sido verificada en 1.8 del capítulo III.

El Iridio radiactivo se encuentra esparcido uniformemente dentro del cilindro interior de la fuente cuyo radio es de 0.05mm. El punto del cilindro interior en donde se va a producir el decaimiento radiactivo es hallado aleatoriamente en la simulación utilizando coordenadas cilíndricas (φ,R,Z) y ubicando el origen de coordenadas en el centro de gravedad de la fuente. Las fórmulas utilizadas:

2 .L L

Z =ξ − (1.4) φ =ξ.2π (1.5) R=0.05 ξ (1.6) Donde L es la longitud de la fuente y ξ es un número aleatorio entre 0 y 1.

2 Materiales y Geometrías Simuladas. 2.1 Materiales

El espacio de simulación tanto para el programa Alternativo como Penélope está dividido por superficies las cuales pueden contener los siguientes materiales: platino, agua y oro de 18.

2.2 Volumen de Simulación

Tanto en el programa Alternativo como Penélope se simula un fantoma de agua (ver 2.2 del fundamento teórico), en cuyo interior puede haber lo siguiente:

* una sola fuente de Iridio

* una distribución de fuentes de Iridio

* la placa de oro de 18K con la distribución de fuentes.

El espacio de simulación es dividido de la misma manera para ambos programas: Al simular una sola fuente se utilizan coordenadas cilíndricas para dividir el espacio de simulación, en elementos de volumen dados por,

∫ ∫ ∫

∆ + ∆ − ∆ + ∆ −               +∆ −       ∆ ∆ = 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 Z Z Z Z R R R R R R R R Z drdz rd π π

φ 2.1

Donde ∆R=1 y ∆Z=1.

(37)

Al simular distribuciones de fuentes, en ambos casos, tanto con la placa de oro o sin ésta, el espacio de simulación está dividido, utilizando coordenadas cartesianas en elementos de volumen dados por,

∫ ∫ ∫

∆ + ∆ − ∆ + ∆ − ∆ + ∆ − ∆ ∆ ∆ = 2 2 2 2 2 2 Z Z Z Z Y Y Y Y X X X X Z Y X

dxdydz (2.2)

Donde ∆X = ∆Y = ∆Z =1

Los elementos de volumen para este caso son especificados por las coordenadas cartesianas X, Y, Z. (ver figura 2.2)

En las simulaciones se mide la energía recibida por cada elemento de volumen de agua.

2.3 Puntos de Referencia

El programa Alternativo establece la posición y dirección de las partículas de manera similar al programa Penélope, pero no igual, para mayor información ver referencia (21).

Para establecer la posición y dirección de las partículas en el programa Alternativo se utilizan dos sistemas coordenados: el sistema fijo de laboratorio y el sistema móvil.

Sistema Fijo de Laboratorio (X, Y, Z).- En el caso de simulación de una sola fuente radiactiva su origen está ubicado en el centro de masa de la fuente, tal como se muestra en la (figura 2.3). Cuando se simula una distribución de fuentes pegadas en una placa esférica (ver fig 2.4) el origen del sistema de laboratorio está ubicado en el centro de la esfera.

Sistema Movil (X1, Y1, Z1) .-A cada partícula que se simula se le asigna un sistema móvil, cuya ubicación respecto al sistema fijo de laboratorio da la posición en que se encuentra la partícula. El eje Z del sistema móvil es ubicado sobre la dirección de movimiento de la partícula (ver figura 2.3). La dirección de la partícula es tomada respecto al sistema de coordenadas de laboratorio y está dada por los parámetros u, v y w:

θ φ φ cos sin cos = = = w v u (2.3)

Donde φ y θ son los ángulos azimutal y polar en coordenadas esféricas.

Cuando la partícula sufre una interacción cambia la dirección de su movimiento. El cambio en la dirección de su movimiento está dado por los ángulos φm y θm, que

(38)

o

R

Z

R

Z

Figura 2.1

Elemento de volumen cuando se simula una sola fuente

Z

Y

X

R Z

X

Y

Figura 2.2

(39)

Figura 2.3

Sistema de referencia en el caso de simulación de una sola fuente. X,Y,Z es el sistema de laboratorio. X1,Y1,Z1 es el sistema móvil que se le asigna a la partícula , R da la posición en que se encuentra la particula con respecto al sistema de laboratorio.

La partícula se mueve en la dirección de Z1.

.

Figura 2.4

Sistema de referencia de laboratorio (X,Y,Z) para el caso de simulación de un arreglo de fuentes .

Z

X

Y Z1

X1

Y1

R

0

Z

X

(40)

RI=12.5mm

RE=14mm RP

TH=1.5

Fuente

0

PSI

fuente Figura 2.5

Placa utilizada en la simulación. RP es el radio de la placa, RI, RE, TH son el radio interno, el externo y el grosor del casquete

Z

Angulo0

X

Y

Figura 2.6

(41)

se ha desplazado una distancia D, la ubicación de la partícula respecto al sistema X1i, Y1i, Z1i estará dada por:

) cos( 1 ) sin( ) sin( 1 ) cos( ) sin( 1 m i m m i m m i D Z D Y D X θ φ θ φ θ = = = (2.4)

Las componentes en X, Y, Z de D respecto al sistema de laboratorio están dadas por la matriz de rotación:

                      − − − − = i i i i i i i i i i i i i i i Z Y X w w v w u w v u w v w u Z Y X 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 (2.5)

Donde X1, Y1, Z1 son las componentes de D en el sistema de laboratorio,

u i , v i y w i son los parámetros de dirección de la partícula antes que se produzca

el cambio en la dirección de su movimiento.

Los parámetros de dirección de la partícula u, v y w después del cambio de dirección están dados por:

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z Y X Z w Y X Y v Y X X u + + = + = + = (2.6)

La posición del sistema móvil después del cambio de dirección y del desplazamiento respecto al sistema de laboratorio estará dada por:

1 1 1 Z Z Z Y Y Y X X X i i i + = + = + = ( 2.7)

Donde Xi, Yi, Zi es la posición del sistema móvil antes de que se produzca el

cambio de dirección y desplazamiento con respecto al sistema de laboratorio; X, Y, Z es la nueva posición del sistema móvil respecto al de laboratorio.

2.4 Ubicación de las fuentes sobre la placa

Las fuentes son ubicadas sobre la placa de oro utilizando las mismas fórmulas tanto en el programa Alternativo como Penélope.

Figure

GRÁFICO 1.9.1 102030405060708090nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir

GRÁFICO 1.9.1

102030405060708090nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir p.108
GRÁFICO 1.9.2

GRÁFICO 1.9.2

p.108
GRÁFICO 1.9.3 510152025303540nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir

GRÁFICO 1.9.3

510152025303540nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir p.109
GRÁFICO 1.9.4

GRÁFICO 1.9.4

p.109
GRÁFICO 1.9.5 24681012141618nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir

GRÁFICO 1.9.5

24681012141618nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir p.110
GRÁFICO 1.9.6

GRÁFICO 1.9.6

p.110
GRÁFICO 1.9.7 024681012nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir

GRÁFICO 1.9.7

024681012nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir p.111
GRÁFICO 1.9.8

GRÁFICO 1.9.8

p.111
GRÁFICO 1.9.9 123456nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir

GRÁFICO 1.9.9

123456nGy DelectronesDOSIS PRODUCIDA POR LOS ELECTRONES DEL Ir p.112
GRÁFICO 1.9.10

GRÁFICO 1.9.10

p.112
GRÁFICO 1.9.11

GRÁFICO 1.9.11

p.113
Gráfico 5.1.1

Gráfico 5.1.1

p.151
Gráfico 5.1.2

Gráfico 5.1.2

p.152
Gráfico 5.1.3

Gráfico 5.1.3

p.153
Gráfico 5.3

Gráfico 5.3

p.154

Referencias

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